Equazione biquadratica
# Equazione biquadratica

Le equazioni biquadratiche sono particolari equazioni trinomie ($ax^{2n}+bx^{n}+c\,=\,0$) in cui $n=2$ e che pertanto si riducono alla forma:

    $ax^{4}+bx^{2}+c=0,$

dove $a,b,c$ sono numeri reali o complessi e $a\neq 0$. Posto:

    $x^{2}=y,$

possiamo riscrivere l'equazione in termini di $y$:

    $ay^{2}+by+c=0.$

Risolvendo questa equazione quadratica (detta equazione risolvente) possiamo ottenere due, una o nessuna soluzione nella variabile $y$.

Secondo il teorema fondamentale dell'algebra le soluzioni complesse sono in ogni caso 4, se computate con le rispettive molteplicità.

## Esempi

* $x^{4}=0.$

Effettuando il cambio di variabile $x^{2}=y,$ l'equazione diventa:

    $y^{2}=0,$

che possiede unica soluzione $y=0$ con molteplicità $2$. Ritornando alla variabile $x$ si ottiene ancora un'unica soluzione $x=0$, ma con molteplicità $4$.

* $x^{4}-1=0.$

Effettuando il solito cambio di variabile si ottiene l'equazione di secondo grado pura $y^{2}=1$ che possiede due soluzioni reali distinte $y_{1}=1$ e $y_{2}=-1$. Ritornando alla variabile $x$ ed estraendo la radice quadrata, si ottengono in totale $4$ soluzioni complesse ognuna con molteplicità $1$: $1$, $-1$, $i$ e $-i$.

