Omotopia
# Omotopia

In topologia, due funzioni continue da uno spazio topologico $X$ ad un altro $Y$ sono dette omotope (dal greco homos = identico e topos = luogo) se una delle due può essere "deformata con continuità" nell'altra, e tale trasformazione è detta omotopia fra le due funzioni.

Un uso importante dell'omotopia è nella definizione dei gruppi di omotopia (il più importante fra questi è il gruppo fondamentale), invarianti molto importanti per distinguere spazi topologici non omeomorfi e per formalizzare rigorosamente nozioni intuitive quali "il numero di buchi" di uno spazio. L'omotopia definisce una relazione di equivalenza sull'insieme delle funzioni continue da $X$ ad $Y$.

## Definizione formale

Formalmente, un'omotopia fra due funzioni continue $f$ e $g$ da uno spazio topologico $X$ a uno spazio topologico $Y$ è una funzione continua $H\colon X\times [0,1]\to Y$ dal prodotto dello spazio $X$ con l'intervallo unitario $[0,1]$ a $Y$ tale che, per tutti i punti $x$ in $X$, $H(x,0)=f(x)$ e $H(x,1)=g(x)$.

Se pensiamo al secondo parametro di $H$ come il "tempo", allora $H$ descrive una "deformazione continua" di $f$ in $g$: al tempo $0$ abbiamo la funzione $f$, al tempo $1$ abbiamo la funzione $g$.

## Esempi

Due funzioni continue $f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ qualsiasi fra spazi euclidei sono omotope. Si può infatti trasformare con continuità l'una nell'altra con la seguente omotopia:

    $G\colon \mathbb {R} ^{n}\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{m}$
    $G(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x)$

Lo stesso risultato vale per una qualsiasi coppia di funzioni $f,g\colon X\to \mathbb {R} ^{m}$ definite su uno spazio topologico $X$ arbitrario. Notiamo che, anche se $f$ e $g$ sono iniettive, la "deformazione al tempo $t$" data da $tf(x)+(1-t)g(x)$ può non essere iniettiva.

## Proprietà

### Relazione di equivalenza

Essere omotopi è una relazione di equivalenza sull'insieme di tutte le funzioni continue da $X$ a $Y$. Questa relazione di omotopia è compatibile con la composizione di funzioni in questo senso: se $f_{1},g_{1}\colon X\to Y$ sono omotope, e $f_{2},g_{2}\colon Y\to Z$ sono omotope, allora anche le loro composizioni $f_{2}\circ f_{1}\colon X\to Z$ e $g_{2}\circ g_{1}\colon X\to Z$ sono omotope.

Una funzione $f\colon X\to Y$ è detta omotopicamente nulla se è omotopa a una funzione costante. Se $Y$ è connesso per archi, le funzioni costanti da $X$ in $Y$ sono tutte omotope fra loro. Uno spazio topologico connesso per archi $X$ per cui ogni funzione continua $f\colon X\to X$ è omotopicamente nulla si dice contrattile o contraibile. Per quanto visto sopra, uno spazio euclideo è contrattile. Intuitivamente, uno spazio contrattile può essere "contratto ad un punto" in modo continuo.

Uno spazio $X$ è contrattile se e solo se la applicazione identica da $X$ in sé è omotopicamente nulla.

### Spazi omotopicamente equivalenti

Dati due spazi $X$ e $Y$, diciamo che sono omotopicamente equivalenti, oppure che hanno lo stesso tipo di omotopia se esistono due funzioni $f\colon X\to Y$ e $g\colon Y\to X$ tali che $g\circ f$ è omotopa alla funzione identità $\mathrm {id} _{X}$ su $X$ e $f\circ g$ è omotopa alla funzione identità $\mathrm {id} _{Y}$ su $Y$. Le applicazioni $f$ e $g$ sono dette equivalenze di omotopia.

Si dimostra facilmente che uno spazio $X$ è contrattile se e solo se è omotopicamente equivalente allo spazio topologico $P$ fatto da un punto solo. Chiaramente, ogni omeomorfismo è una equivalenza di omotopia, ma il contrario non è sempre vero: uno spazio euclideo è contrattile, ma non è omeomorfo ad un punto.

Intuitivamente, due spazi $X$ e $Y$ sono omotopicamente equivalenti se possono essere trasformati l'uno nell'altro con operazioni di deformazione, contrazione ed espansione. Ad esempio, una palla è omotopicamente equivalente ad un punto, mentre $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ è omotopicamente equivalente alla circonferenza $S^{1}$.

Uno spazio omotopicamente equivalente a un punto è detto contrattile o contraibile. Esempi di spazi contraibili sono la palla $n$-dimensionale e $\mathbb {R} ^{n}$, per qualsiasi $n$. Un altro esempio è la superficie dell'ipersfera $S^{n}$ per $n$ dispari, che possiede una caratteristica di Eulero $\chi =0$, pari a quella del punto (per $n$ pari, la caratteristica vale $2$, come quella della superficie sferica).

### Proprietà invarianti per omotopia

Molte delle proprietà invarianti per omeomorfismo sono in verità invarianti anche per omotopia. Se $X$ e $Y$ sono omotopicamente equivalenti, allora

* se $X$ è connesso, allora lo è anche $Y$
* se $X$ è connesso per archi, allora lo è anche $Y$
* se $X$ e $Y$ sono connessi per archi, allora i gruppi fondamentali di $X$ e $Y$ sono isomorfi, così come i gruppi di omotopia superiori.
* in particolare, se $X$ è semplicemente connesso, allora lo è anche $Y$
* i gruppi di omologia e di coomologia di $X$ e $Y$ sono isomorfi
* il genere di una superficie è invariante per omotopia.

In particolare, uno spazio contraibile è semplicemente connesso. Non vale il contrario: la sfera $S^{n}$ è semplicemente connessa per ogni $n$ maggiore di 1 e non contraibile.

D'altra parte, esistono concetti che distinguono spazi omotopi ma non omeomorfi. Esistono esempi di spazi $X$ e $Y$ omotopicamente equivalenti dove:

* $X$ è compatto e $Y$ no ($X$ è un punto e $Y$ uno spazio euclideo)
* $X$ è una varietà topologica o differenziabile e $Y$ no
* $X$ e $Y$ sono varietà topologiche di dimensioni diverse
* $X$ e $Y$ hanno omologia a supporto compatto diversa

## Categoria delle omotopie e invarianti per omotopie

Più in astratto, si può ricorrere ai concetti della teoria delle categorie. Si può definire una categoria delle omotopie, i cui oggetti sono spazi topologici, e i cui morfismi sono classi di omotopia di applicazioni continue. Due spazi topologici $X$ e $Y$ sono isomorfi in questa categoria se e solo se sono omotopicamente equivalenti.

Un invariante per omotopie è una qualsiasi funzione sullo spazio (o sulle applicazioni), che rispetta la relazione di equivalenza di omotopia (risp. omotopia); tali invarianti fanno parte della teoria delle omotopie.

Un esempio di invariante per omotopie è il gruppo fondamentale di uno spazio.

Nella pratica, la teoria delle omotopie è portata avanti lavorando su CW-complessi, per comodità tecnica.

## Omotopia relativa

È necessario definire la nozione di omotopia relativa a un sottospazio, in modo particolare per definire il gruppo fondamentale. Esistono omotopie che mantengono fissi gli elementi di un sottospazio. Formalmente: se $f$ e $g$ sono applicazioni continue da $X$ a $Y$ e $K$ è un sottoinsieme di $X$, allora diciamo che $f$ e $g$ sono omotope relativamente a $K$ se esiste una omotopia $H\colon X\times [0,1]\to Y$ tra $f$ e $g$ tale che $H(k,t)=f(k)=g(k)$ per ogni $k\in K$ e $t\in [0,1]$.

## Isotopia

Nel caso in cui le due funzioni continue date $f$ e $g$ dallo spazio topologico $X$ allo spazio topologico $Y$ siano un omeomorfismo con l'immagine (cioè, sono un omeomorfismo se ristrette da $X$ alla loro immagine), si può chiedere se possano essere connesse 'attraverso omeomorfismi con l'immagine'. Questo dà origine al concetto di isotopia, cioè una omotopia $H$ (nella notazione usata precedentemente) tale che per ogni $t$ fissato, $H(x,t)$ è un omeomorfismo sull'immagine.

La richiesta che due funzioni siano isotope è una richiesta molto più forte rispetto alla richiesta di omotopia. Ad esempio:

* l'applicazione dal disco unitario in $\mathbb {R} ^{2}$ definita da $f(x,y)=(-x,-y)$, che consiste in una rotazione di 180 gradi rispetto all'origine, è isotopa alla mappa identica: le due mappe possono essere connesse da rotazioni di angolo $\alpha$ con $\alpha$ che varia da 0 gradi a 180
* l'applicazione dall'intervallo $[-1,1]$ in $\mathbb {R}$ definita da $f(x)=-x$ non è isotopa all'identità! (d'altro canto, tutte le mappe a valori in $\mathbb {R}$ sono omotope, perché $\mathbb {R}$ è contrattile)
* In generale, l'applicazione dalla palla in $\mathbb {R} ^{n}$ definita da $f(v)=-v$ è isotopa all'identità se e solo se $n$ è pari: questo perché per $n$ dispari tale mappa cambia l'orientazione della palla.

### Isotopia ambiente

Una isotopia ambiente di uno spazio topologico $X$ è una isotopia fra la funzione identità $\mathrm {id} \colon X\to X$ ed un altro omeomorfismo $f\colon X\to X$.

L'isotopia ambiente è usata per costruire relazioni di equivalenza fra sottospazi di alcuni spazi topologici, ad esempio nella teoria dei nodi: quando è sensato considerare due nodi equivalenti? Prendiamo due nodi $K_{1}$ e $K_{2}$ in uno spazio a tre dimensioni. L'idea intuitiva di "deformazione" di un nodo nell'altro corrisponde proprio ad una isotopia ambiente fra la funzione identità $\mathrm {id} \colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ ed un omeomorfismo $f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ che porta il primo nodo nel secondo, cioè tale che $f(K_{1})=K_{2}$.

