Disuguaglianza di Hardy-Littlewood
# Disuguaglianza di Hardy-Littlewood

In matematica, la disuguaglianza di Hardy-Littlewood, il cui nome si deve a G. H. Hardy e John Edensor Littlewood, stabilisce che se $f$ e $g$ sono funzioni misurabili reali e non-negative che si annullano all'infinito, e se sono definite sullo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$, allora:

    $\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,dx\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x)\,dx$

dove $f^{*}$ e $g^{*}$ sono i riordinamenti simmetrici decrescenti di $f$ e $g$ rispettivamente.

## Dimostrazione

Il teorema di rappresentazione della torta a strati di una funzione misurabile reale non-negativa $f$ definita su $\mathbb {R} ^{n}$ è la relazione:

    $f(x)=\int _{0}^{+\infty }\chi _{L(f,t)}(x)\,\mathrm {d} t\qquad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}$

dove $\chi _{L(f,t)}$ denota la funzione indicatrice dell'insieme di livello $L(f,t)=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:f(y)\geq t\}$. Questa rappresentazione segue dal fatto che:

    $1_{L(f,t)}(x)=1_{[0,f(x)]}(t)$

e quindi utilizzando la formula:

    $f(x)=\int _{0}^{f(x)}\mathrm {d} t$

Grazie a tale rappresentazione si può scrivere:

    $f(x)=\int _{0}^{\infty }\chi _{f(x)>r}\,dr\qquad g(x)=\int _{0}^{\infty }\chi _{g(x)>s}\,ds$

dove $\chi _{f(x)>r}$ denota la funzione indicatrice dell'insieme $E_{f}$ dato da:

    $E_{f}=\left\{x\in X:f(x)>r\right\}$

Analogamente, $\chi _{g(x)>s}$ denota la funzione indicatrice dell'insieme $E_{f}$ dato da:

    $E_{g}=\left\{x\in X:g(x)>s\right\}$

Si ha dunque:

    $\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,dx=\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\chi _{f(x)>r}\chi _{g(x)>s}\,dr\,ds\,dx$
          $=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{f(x)>r\cap g(x)>s}\,dx\,dr\,ds$
          $=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\mu \left(\left\{f(x)>r\right\}\cap \left\{g(x)>s\right\}\right)\,dr\,ds$
          $\leq \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\min \left(\mu \left(f(x)>r\right);\mu \left(g(x)>s\right)\right)\,dr\,ds$
          $=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\min \left(\mu \left(f^{*}(x)>r\right);\mu \left(g^{*}(x)>s\right)\right)\,dr\,ds$
          $=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\mu \left(\left\{f^{\ast }(x)>r\right\}\cap \left\{g^{\ast }(x)>s\right\}\right)\,dr\,ds$
          $=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x)\,dx$
