Residuo quadratico
# Residuo quadratico

In teoria dei numeri, un numero intero $q$ è chiamato residuo quadratico modulo $p$ se esiste un intero $x$ tale che:

    ${x^{2}}\equiv {q}{\mbox{ (mod }}p{\mbox}}.$

In caso contrario, $q$ è detto essere un non-residuo quadratico.

In effetti, un residuo quadratico modulo $p$ è un numero che ammette una radice quadrata nell'aritmetica modulare di modulo $p$. La legge di reciprocità quadratica è un mezzo importante per determinare se un numero è un residuo o un non-residuo, unitamente al simbolo di Legendre ed al lemma di Gauss.

Se $p$ è un numero primo dispari, allora metà dei numeri $1,2,\ldots ,p-1$ sono residui e metà non-residui quadratici.

## Somma dei residui quadratici

Considerando la somma dei residui quadratici modulo $p$ con $p$ primo maggiore di $3$, ed indicandola con $\sum r$, si ha:

    $\sum r={\begin{cases}p\epsilon ,&{\text{se }}p\equiv 1,5{\pmod {8}},\\{\frac {1}{3}}p(p-1-\epsilon ),&{\text{se }}p\equiv 3{\pmod {8}},\\{\frac {1}{2}}p(p-1-2\epsilon ),&{\text{se }}p\equiv 7{\pmod {8}},\\\end{cases}}$

dove $\epsilon ={\frac {p-1}{4}}$ è il numero dei residui quadratici in $\left\{1,2,\ldots ,{\frac {p-1}{2}}\right\}$.

