Parentesi di Jacobi
# Parentesi di Jacobi

In matematica, una parentesi di Jacobi (da Carl Gustav Jakob Jacobi) di due funzioni $f(x,y,q)$ e $g(x,y,q)$ di $2n+1$ variabili indipendenti $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$, $y$ e $q=(q_{1},\dots ,q_{n})$, è l'espressione differenziale:

    $[f,g]=\sum _{k=1}^{n}\left[{\frac {\partial f}{\partial q_{k}}}\left({\frac {\partial g}{\partial x_{k}}}+q_{k}{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)-{\frac {\partial g}{\partial q_{k}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}+q_{k}{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\right]$

Essa soddisfa le proprietà:

    $[f,g]=-[g,f]$
    $[f,gh]=g[f,h]+h[f,g]$

e l'Identità di Jacobi.

Un caso particolare di questa relazione, quello in cui $f$ e $g$ non dipendono da $y$, è la parentesi di Poisson:

    $[f,g]=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial g}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial g}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}\right)$
