Capacità termica
# Capacità termica

Si definisce capacità termica di un corpo (o più in generale di un qualunque sistema) il rapporto fra il calore scambiato tra il corpo e l'ambiente e la variazione di temperatura che ne consegue. Indica la quantità di calore da fornire a una sostanza per innalzarne la temperatura di un kelvin (K). Dire che una sostanza ha un'alta capacità termica significa che riesce ad assorbire tanto calore innalzando di poco la propria temperatura.

In formule:

    $C={\frac {Q}{\Delta T}}$

Nel Sistema Internazionale l'unità di misura della capacità termica è il J/K. Esprime cioè la quantità di calore in joule (J), e la temperatura in kelvin (K).

## Capacità termica unitaria e calore specifico

La capacità termica C è proporzionale alla capacità termica unitaria c e alla quantità di sostanza N:

    $C=N\cdot c$

Analogamente, la capacità termica è uguale al prodotto tra il "calore specifico per unità di massa"$c_{m}$ e la massa del campione di sostanza M:

    $C=M\cdot c_{m}$

A differenza della capacità termica unitaria, che dipende solo dalla natura del materiale e non ha unità di misura, la grandezza più comune rappresentata dal calore specifico di un corpo dipende sia dalla natura del materiale, che dalla sua massa.

Per questo motivo nella letteratura tecnica sono state pubblicate tabelle relative ai valori dei calori specifici dei materiali, mentre purtroppo sono più rare le tabelle relative alle capacità termiche unitarie dei materiali. Una volta noto il calore specifico è quindi sufficiente moltiplicarlo per la massa (se si tratta di calore specifico massico) o la quantità di sostanza (se si tratta di calore specifico numerico, o molare).

In una trasformazione infinitesima, indicando con $\delta Q$ la quantità di calore assorbita dal corpo di massa m passando da una temperatura iniziale T alla temperatura T + dT, si ha:

    $\delta Q=m\cdot c\cdot dT$

Tale relazione è valida solo se non si ha una transizione di fase, altrimenti bisogna utilizzare il calore latente $\lambda$ per esprimere il calore scambiato:

    $\delta Q=\lambda \cdot dm$

dove $\delta Q$ la quantità di calore necessaria per realizzare il passaggio di stato di una quantità di massa dm.

## Relazione di Mayer

In termodinamica la capacità termica isocora $(c_v)$ corrisponde alla derivata parziale dell'energia interna rispetto alla temperatura:

    $c_{v}={\frac {\partial u}{\partial T}}$

A pressione costante invece $(c_p)$ coincide con la derivata parziale dell'entalpia rispetto alla temperatura:

    $c_{p}={\frac {\partial h}{\partial T}}$

Dalla definizione di entalpia (h = u + p/ρ), si ha che la differenza tra $c_p$ e $c_v$ è pari a:

    ${\frac {\partial h}{\partial T}}={\frac {\partial \left(u+{\frac {p}{\rho }}\right)}{\partial T}}={\frac {\partial u}{\partial T}}+{\frac {\partial \left({\frac {p}{\rho }}\right)}{\partial T}}$

essendo p e ρ la pressione e il volume e del sistema termodinamico preso in esame.

Per un solido o un liquido queste due quantità sono sostanzialmente uguali.

Per un gas invece la differenza, pari al lavoro di espansione, è significativa ed è quindi opportuno specificare le condizioni del sistema. Con buona approssimazione, considerando una mole di gas, possiamo ricavare dalla relazione costitutiva dei gas ideali che:

    ${\frac {\partial ({\frac {p}{\rho }})}{\partial T}}={\frac {\partial (NT)}{\partial T}}=N$

da cui:

    $c_{p}=c_{v}+R$

La precedente equazione, che lega le capacità termiche a mezzo della costante dei gas ideali, è la "legge di Mayer" per i gas ideali

    $c_{p}=c_{v}+R$
    Altrimenti può essere espressa anche considerando i calori specifici per unità di massa, dividendo l'espressione per la massa molecolare m.

## Solidi

La capacità termica dei solidi monoatomici si può calcolare in modi diversi a seconda del modello che si utilizza:

* Modello classico: legge di Dulong e Petit
* Modello di Einstein (quantistico)
* Modello di Debye (quantistico)

I tre modelli portano a risultati equivalenti ad alte temperature, ma si discostano a temperature inferiori. I modelli di Einstein e Debye sono concordi anche a basse temperature ma si discostano a temperature intermedie.

Tutti questi modelli presentano differenze con i risultati sperimentali.

## Dipendenza della capacità termica dalla temperatura

La capacità termica molare a pressione costante $C_p$ e la capacità termica molare a volume costante $C_v$ di una determinata sostanza variano con la temperatura. In alcune banche dati termodinamiche è possibile risalire alla relazione sperimentale, in genere polinomiale, che esprime queste due grandezze in funzione della temperatura.

