Funzione subarmonica
# Funzione subarmonica

In matematica, i concetti di funzione subarmonica e funzione superarmonica identificano un'importante classe di funzioni utilizzate nello studio delle equazioni alle derivate parziali, in analisi complessa e nella teoria del potenziale.

Dati $G\subset \mathbb {R} ^{n}$ e una funzione semicontinua superiormente:

    $\varphi \colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}$

la funzione $\varphi$ è subarmonica se per ogni palla chiusa ${\overline {B(x,r)}}\subset G$ con centro in $x$ e raggio $r$, e per ogni funzione continua a valori reali $h$ definita su ${\overline {B(x,r)}}$ che è una funzione armonica in $B(x,r)$ e soddisfa $\varphi (y)\leq h(y)$ per ogni $y$ sulla frontiera $\partial B(x,r)$ di $B(x,r)$, allora quest'ultima disuguaglianza può essere estesa a tutta la palla:

    $\varphi (y)\leq h(y)\qquad \forall y\in B(x,r)$

Una funzione $u$ è detta superarmonica se $-u$ è subarmonica.

## Proprietà

* Una funzione è armonica se e solo se è sia subarmonica che superarmonica.
* Se $\phi \,$ è di classe $C^{2}$ su un aperto $G$ in ${\mathbb {R} }^{n}$, allora $\phi \,$ è subarmonica se e solo se si verifica $\Delta \phi \geq 0$ su $G$, dove $\Delta$ è l'operatore di Laplace.
* Il massimo di una funzione subarmonica non può essere raggiunto nei punti interni del suo dominio, a meno che non si tratti di una funzione costante, come stabilisce il principio del massimo. Il minimo, tuttavia, si può trovare anche all'interno del dominio.
* Le funzioni subarmoniche formano un cono convesso, ovvero una combinazione lineare di funzioni subarmoniche con coefficienti positivi è subarmonica.
* Il limite di una successione decrescente di funzioni subarmoniche è subarmonico (oppure identicamente uguale a $-\infty$).
