Funzione q-esponenziale
# Funzione q-esponenziale

Nella matematica combinatoria e nello studio delle funzioni speciali il termine q-esponenziale viene usato per due q-analoghi della classica funzione esponenziale.

## Definizioni

Consideriamo le seguenti funzioni

    $e_{q}(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(q;q)_{n}}}=\prod _{n=0}^{\infty }(1-zq^{n})^{-1}={\frac {1}{(z;q)_{\infty }}}$

e

    $E_{q}(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n \choose 2}z^{n}}{(q;q)_{n}}}=\prod _{n=0}^{\infty }(1+q^{n}z)=(-z;q)_{\infty }$ .

dove

    $(z;q)_{n}:=(1-z)(1-zq)\cdots (1-zq^{n-1})$

è il q-fattoriale crescente. Che la prima funzione costituisca un q-analogo dell'esponenziale ordinario segue dalla proprietà

    $\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}e_{q}(z)=e_{q}(z)$

dove l'operatore di derivazione a sinistra è la q-derivata. L'identità precedente si verifica facilmente considerando la q-derivata del monomio

    $\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}=z^{n-1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=[n]_{q}z^{n-1}$ .

Qui $[n]_{q}$ denota il q-bracket.

## Proprietà

Per q reale con $q<1$ la funzione $e_{q}(z)$ è una funzione intera di z.

## Espressione ipergeometrica

In termini della q-serie ipergeometrica, la prima funzione q-esponenziale $e_{q}(t)$ viene espressa da

    $e_{q}(z)=\;_{1}\phi _{0}(0;q,z)$ .

Esiste una simile espressione per la seconda funzione in termini della q-serie ipergeometrica generalizzata.

