Funzione poligamma
# Funzione poligamma

In matematica, per funzione poligamma di ordine m si intende la funzione speciale definita come derivata logaritmica m+1-esima della funzione Gamma:

    $\psi _{m}(z):=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m+1}\ln {\Gamma (z)}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}\psi _{0}(z)$ .

Qui

    $\psi _{0}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}$

denota la funzione digamma e $\Gamma (z)$ denota la funzione gamma.

## Generalità

La funzione poligamma si denota anche $\,\psi ^{(m)}$. La funzione $\,\psi _{1}$ viene detta anche funzione trigamma e la $\,\psi _{2}$ funzione tetragamma.

Nel semipiano complesso Re z >0 la funzione poligamma si può trattare mediante la seguente rappresentazione integrale.

    $\psi _{n}(z)=(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{n}e^{-tz}}{1-e^{-t}}}dt\$ .

Vale la relazione di ricorrenza

    $\psi _{n}(z+1)=\psi _{n}(z)+(-)^{n}\;n!\;z^{-(n+1)}$

Una poligamma ha la seguente rappresentazione mediante serie

    $\psi _{n}(z)=(-1)^{n+1}\;n!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{n+1}}}$

che vale per n>0 e per ogni argomento complesso che non sia un intero negativo. Questa identità può essere scritta più concisamente servendosi della funzione zeta di Hurwitz

    $\psi _{n}(z)=(-1)^{n+1}\;n!\;\zeta (n+1,z)$ .

Si osserva quindi che la zeta di Hurwitz costituisce una famiglia di funzioni che amplia la famiglia costituita dalla poligamma: questa è caratterizzata da un parametro che varia nell'insieme degli interi positivi e la prima famiglia la amplia consentendo al parametro di variare nel campo complesso.

Lo sviluppo di Taylor con centro in $z_0=1$ è

    $\psi _{n}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{n+k+1}(n+k)!\;\zeta (n+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}$

che converge per |z|<1. Qui $\,\zeta (s)$ denota la funzione zeta di Riemann.

Valgono inoltre la formula di riflessione

    $\psi _{n}(1-z)+(-1)^{n+1}\psi _{n}(z)=(-1)^{n}\,\pi \,{d^{n} \over dz^{n}}\cot(\pi z)$

e la formula di moltiplicazione

    $\psi _{n}(mz)=\delta _{n,0}\ln m+{1 \over m^{n+1}}\sum _{k=0}^{m-1}\psi _{n}\left(z+{k \over m}\right)$

## Alcuni valori particolari

Si dimostra che

    ${\frac {d}{dz}}\ln {\Gamma {(z)}}={\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{0}(z)=-\gamma -{\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{z+k}}-{\frac {1}{k}}\right)$

dove $\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni. Questa serie, per $z=m$ intero positivo, si riduce ad una somma finita

    ${\frac {\Gamma '{(m)}}{\Gamma {(m)}}}=\psi _{0}(m)=-\gamma +1+{\frac {1}{2}}+\dots +{\frac {1}{m-1}}$

Derivando membro a membro rispetto a $z$ si ha, ancora,

    ${\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}$

che per $z=0$ diverge, mentre per $z=1$ diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2

    $\left[{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}\right]_{z=1}=\psi _{1}(1)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+k)^{2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$
