Funzione vettoriale
# Funzione vettoriale

In matematica, una funzione vettoriale è una funzione di variabile reale che assume valori nel prodotto cartesiano $\mathbb {R} ^{n}$. Una funzione di questo tipo è identificata da una n-upla di funzioni reali $f_i(x),$ in cui ognuna rappresenta la dipendenza dell'i-esima componente del vettore immagine dall'argomento. Il dominio può a sua volta essere a una o più dimensioni.

Ad esempio, una funzione dai reali verso i vettori bidimensionali può essere indicata come:

    $\mathbf {f} (x)=\langle f_{1}(x),f_{2}(x)\rangle$

o, utilizzando la notazione dei versori,

    $\mathbf {f} (x)=f_{1}(x)\mathbf {\hat {i}} +f_{2}(x)\mathbf {\hat {j}}$

in cui $f_1$ e $f_2$ sono funzioni $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.

Il dominio di una funzione vettoriale è l'intersezione dei domini delle n funzioni reali.

## Derivazione di una funzione vettoriale

Se $\mathbf {f} :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$, si definisce la derivata di una funzione vettoriale esattamente allo stesso modo delle funzioni reali, cioè come il limite del rapporto incrementale:

    $\mathbf {f} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {f} (t+h)-\mathbf {f} (t)}{h}},$.

Grazie alle proprietà delle operazioni sui vettori, se tale limite esiste esso coincide con il vettore delle derivate delle singole funzioni, cioè $\mathbf {f} '(x)=\langle f'_{1}(x),f'_{2}(x),...,f'_{n}(x)\rangle$.

Tutte le proprietà comode della derivazione reale ritornano in quella vettoriale. Notare che in particolare per la linearità della derivata e per la regola del prodotto, questo risultato può essere ricavato anche dalla scrittura di $\mathbf {f}$ mediante versori, in quanto la derivata di un versore costante è 0.

Se $\mathbf {f} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$, con $n,m>0$, allora si hanno $mn$ derivate parziali, ognuna per ogni combinazione delle $n$ variabili con le $m$ funzioni scalari. L'insieme di queste derivate (se esiste) si indica di solito in una matrice di $m$ righe e $n$ colonne, dove la i-esima riga rappresenta il gradiente della i-esima funzione scalare $y_i.$

    ${\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\cdots &\vdots \\{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$

detta matrice jacobiana di $\mathbf {f}$.

## Esempi

* La funzione che dato un numero reale restituisce la sua parte intera e la sua parte frazionaria è una funzione vettoriale.
* Un esempio meno banale e di estrema importanza è la parametrizzazione di una curva nel piano, o meglio nello spazio, a valori quindi in $\mathbb {R} ^{3}$.
