Funzione trascendente di Lerch
# Funzione trascendente di Lerch

In matematica, la funzione trascendente di Lerch è una generalizzazione della funzione zeta di Hurwitz e della funzione polilogaritmo. Fu studiata da Lipschitz nel 1857 e poi da Lerch nel 1887.

È definita con la serie:

$\Phi (z,s,a)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\dfrac {z^{n}}{(a+n)^{s}}},$

con $z,s\in \mathbb {C} ,a\notin \mathbb {Z} _{\leq 0}$. La serie è convergente per $|z|<1$. Per Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle |z|=1} , la serie è convergente solamente per $\mathrm {Re} \ s>1$.

Ovviamente:

$\Phi (1,s,a)=\zeta (s,a)$, la funzione zeta di Hurwitz.

Per $a=1$, si ha $z\Phi (z,s,1)=\operatorname {Li_{s}} (z)$, la funzione polilogaritmo.

È possibile dimostrare che:

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}dt$

sviluppando ${\dfrac {1}{1-ze^{-t}}}=1+ze^{-t}+z^{2}e^{-2t}+\ldots$.

La funzione zeta di Lerch è definita come

    $L(x)=\Phi (e^{i2\pi x},a,s)$.
