Costante Omega
# Costante Omega

La costante Omega è una costante matematica definita da

    $\Omega \cdot e^{\Omega }=1$

e la cui espansione decimale inizia con

    $\Omega =0,5671432904097838729999686622...$

È il valore di W(1), dove W è la funzione W di Lambert o funzione omega (da cui il nome della costante).

Ovviamente Ω può essere anche definito come la soluzione di

    $e^{-\Omega }=\Omega$

o anche di

    $\ln(1/\Omega )=\Omega .$

La costante $\Omega$ può essere calcolata attraverso un metodo iterativo: partendo da una stima iniziale $\Omega _{0}$ e considerando la successione

    $\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.$

che avrà limite $\Omega$ quando $n\to \infty$. La convergenza di questa iterazione avviene poiché $\Omega$ è un punto fisso attrattivo della funzione $e^{-x}$.

Ad ogni modo è molto più efficiente utilizzare l'iterazione

    $\Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}},$

poiché la funzione

    $f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}},$

ha il medesimo punto fisso ma ha derivata nulla nel suddetto punto, e quindi la convergenza è quadratica (il numero di cifre corrette raddoppia approssimativamente ad ogni iterazione).

Un'identità tramite integrale improprio dovuta a Victor Adamchik è la seguente:

    $\Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\,dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1.$

## Irrazionalità e trascendenza

La costante $\Omega$ è un numero trascendente.

Per dimostrare la sua irrazionalità è possibile servirsi del fatto che e è trascendente: se $\Omega ={\frac {p}{q}}$ (con p e q interi), allora

    $1={\frac {p}{q}}e^{p/q}$

cioè

    $e={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}$

e quindi e sarebbe algebrico, il che è assurdo.

La trascendenza di $\Omega$ è una conseguenza del teorema di Lindemann-Weierstrass: se fosse algebrico, il numero $e^{\Omega }$ sarebbe trascendente, così come ${\Omega \cdot e^{\Omega }}$, il che è assurdo perché questa quantità è uguale a 1 per definizione. Quindi $\Omega$ è trascendente.

