Risoluzione all'identità
# Risoluzione all'identità

In matematica, la risoluzione all'identità è una formula che ha importanti risvolti pratici nell'algebra lineare e nell'analisi funzionale, in particolare nella risoluzione di problemi legati a spazi vettoriali dotati di una base ortonormale.

## La relazione

Sia $T$ un operatore autoaggiunto ed $E\subset \mathbb {R}$ un insieme di Borel. Detta $\mathbf {1} _{E}$ la funzione indicatrice di $E$, allora $\mathbf {1} _{E}(T)$ è una proiezione autoaggiunta su $H$, e la risoluzione all'identità:

    $\Omega :E\mapsto \mathbf {1} _{E}(T)$

è una misura a valori di proiettore per $T$. Se $T$ è ambientato in uno spazio di Hilbert $H$, la misura di $\mathbb {R}$ rispetto a $\Omega$ è l'operatore identità su $H$.

Adoperando la notazione di Dirac, in cui $|\cdot \rangle$ rappresentano vettori in $H$ e $\langle \cdot |$ covettori (cioè funzionali lineari) nello spazio duale $H^{*}$, è possibile rappresentare ogni vettore $|\psi \rangle$ nella forma:

    $|\psi \rangle =a_{1}|e_{1}\rangle +\cdots +a_{n}|e_{n}\rangle =\sum _{k}{a_{k}|e_{k}\rangle }$

dove l'insieme di vettori $\{|e_{k}\rangle \}_{k=1}^{n}$ è una base ortonormale di tale spazio rispetto al prodotto hermitiano $\langle \cdot |\cdot \rangle$ definito su $H$. La normalizzazione è data da:

    $\langle \psi |\psi \rangle =1$

In particolare, essendo la base ortonormale, si ha che:

    $\langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}$

dove $\delta _{ij}$ è la delta di Kronecker. La risoluzione all'identità è data dalla relazione di completezza:

    $id_{H}=\sum _{i}\left|i\right\rangle \left\langle i\right|$

dove $id_{H}$ è l'identità su $H$ di dimensione $n$.

In uno spazio di Hilbert allargato, di dimensione infinita (e non numerabile), si scrive:

    $\int {dx|x\rangle \langle x|}=id$

dove l'integrale è esteso su tutto l'insieme di variabilità delle $x$.

## Dimostrazione

Per la linearità del prodotto hermitiano, dato un qualunque vettore:

    $|\psi \rangle =\sum _{k}{a_{k}|e_{k}\rangle }\in H$

vale la proprietà:

    $\langle e_{j}|\psi \rangle =\langle e_{j}|\left(\sum _{k}{a_{k}|e_{k}\rangle }\right)=\sum _{k}{a_{k}\langle e_{j}|e_{k}\rangle }=a_{j}$

Si può dunque scrivere l'identità:

    $\left(id_{H}-\sum _{k}{|e_{k}\rangle \langle e_{k}|}\right)|\psi \rangle =|\psi \rangle -\sum _{k}{|e_{k}\rangle \langle e_{k}|\psi \rangle }=|\psi \rangle -\sum _{k}{|e_{k}\rangle a_{k}}=|\psi \rangle -|\psi \rangle =0$

da cui discende

    $id_{H}-\sum _{k}{|e_{k}\rangle \langle e_{k}|}=O_{H}$

dove $O_{H}$ è la funzione nulla su $H$, cioè la tesi.

