Funzione translogaritmica
# Funzione translogaritmica

La translogaritmica (in inglese translog), che sta per logaritmica trascendente (transcendental logarithmic), è una particolare classe di funzioni, originariamente utilizzata da Berndt e Christensen (1973), che trova utilizzo in economia ed econometria come specificazione flessibile delle funzioni di utilità, produzione e costo.

La forma generale di una funzione translogaritmica è:

    $\ \ln y=\beta _{0}+\sum _{i=1}^{N}\beta _{i}\ln x_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{ij}\ln x_{i}\ln x_{j}$ (1)

Tale classe di funzioni è detta flessibile perché permette l'analisi degli effetti che, dipendendo dalle derivate seconde, come le elasticità di sostituzione, vengono solitamente assunti dati e costanti nelle forme funzionali "classiche" quali la Cobb-Douglas e la CES.

La translogaritmica può essere vista anche come sviluppo in serie di Taylor al secondo ordine di una generica funzione:

    $\ y=f(\mathbf {x} )$

Infatti, trasformando in logaritmi otteniamo:

    $\ \ln y=\ln f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

Ed esprimendo tutto in funzione dei logaritmi:

    $\ \ln y=g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=h(\ln x_{1},\ln x_{2},\ldots ,\ln x_{n})$

Sviluppando la funzione in serie di Taylor al secondo ordine attorno al punto $\ \mathbf {x} =[1,1,\ldots ,1]$ si ha:

    $\ \ln y=h(\mathbf {0} )+\sum _{i=1}^{N}h_{i}(\mathbf {0} )\ln x_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}h_{ij}(\mathbf {0} )\ln x_{i}\ln x_{j}+\varepsilon$

dove:

    $h_{i}(\mathbf {0} )=\left.{\frac {\partial h(\ln x_{1},\ln x_{2},\ldots ,\ln x_{n})}{\partial \ln x_{i}}}\right|_{\ln \mathbf {x} =\mathbf {0} }$
    $h_{ij}(\mathbf {0} )=\left.{\frac {\partial ^{2}h(\ln x_{1},\ln x_{2},\ldots ,\ln x_{n})}{\partial \ln x_{i}\partial \ln x_{j}}}\right|_{\ln \mathbf {x} =\mathbf {0} }$

Poiché sia la funzione che le sue derivate, prime e seconde, valutate in uno stesso punto sono costanti, possiamo interpretarle come coefficienti e derivare la formulazione (1).

## La Cobb-Douglas come caso particolare della translogaritmica

Nel caso in cui $\ \gamma _{ij}=0$ (con i,j = 1,2,...,N) la translogaritmica diventa:

    $\ \ln y=\beta _{0}+\sum _{i=1}^{N}\beta _{i}\ln x_{i}$

da cui:

    $\ y=A\prod _{i=1}^{N}x_{i}^{\beta _{i}}$

che è la forma generale di una Cobb-Douglas.

