Funzione propria
# Funzione propria

In topologia una funzione continua fra spazi topologici è propria se la controimmagine di ogni insieme compatto è compatta.

## Definizione

Una funzione continua

    $f\colon X\to Y$

fra spazi topologici è propria se la controimmagine $f^{-1}(K)$ di ogni sottoinsieme compatto $K$ di $Y$ è un insieme compatto in $X$.

### Successioni divergenti

Una definizione equivalente è la seguente. Una successione divergente in uno spazio topologico è una successione di punti che fuoriesce da qualsiasi insieme compatto. Una funzione è propria se e solo se manda successioni divergenti in successioni divergenti.

## Esempi

Una funzione strettamente convessa che ammette un minimo è propria. Ad esempio la parabola $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}$ è propria. La controimmagine di un compatto connesso $[-a^{2},b^{2}]$ è infatti il compatto $[0,b]$.

Una funzione limitata $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ non è mai propria.

Il fatto di essere propria o meno dipende, oltre che dall'espressione della funzione, dal dominio e/o dal codominio. Ad esempio la funzione $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=e^{x}$, non è propria, infatti la controimmagine dell'intervallo $[0,1]$, che è un compatto, è $(-\infty ,0]$ che non è un compatto. D'altro canto, si noti invece che la funzione $f\colon [0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=e^{x}$ è propria.

## Proprietà

* Ogni mappa continua da uno spazio compatto a uno spazio di Hausdorff è chiusa e propria.
* Ogni mappa propria ammette grado topologico.
