Funzione proposizionale
# Funzione proposizionale

Nel calcolo proposizionale, una funzione proposizionale o predicato è un espresso in un modo tale per cui esso assume il valore di verità vero o falso, ad eccezione del caso in cui al suo interno compaia una variabile (x) non definita o non specificata (e dunque libera), che lascia la proposizione indeterminata. La frase può contenere molteplici variabili libere (ad esempio n variabili, nel qual caso la funzione accetta n argomenti).

## Descrizione

La funzione proposizionale A(x) (o A(x_1, x_2, ..., x_n)) è una funzione matematica astratta da predicati o da forme proposizionali. Si consideri la proposizione "x è caldo", dove l'espressione "è caldo" è il predicato e x è una variabile libera tale che la proposizione abbia un valore di verità indeterminato (né vero né falso): se alla variabile x si sostituisce un valore specifico come "lava"o "ghiaccio", essa assume rispettivamente un valore vero oppure falso.

Le funzioni proposizionali sono utili nella teoria degli insiemi. A riguardo, nel 1903 Bertrand Russell scrisse in The Principles of Mathematics (pagina 106):

«... è diventato necessario prendere la funzione proposizionale come una nozione primitiva.»

Più tardi Russell esaminò il problema se le funzioni proposizionali fossero predicative o meno, e propose due teorie nel tentativo di rispondere a questa domanda.

Una funzione proposizionale, o un predicato, in una variabile x è una formula aperta p ( x ) in cui x diventa una proposizione quando si dà a x un valore scelto all'interno del dominio di valori che x può assumere.

Secondo Clarence Lewis, "una proposizione è una qualsiasi espressione che è vera o falsa; una funzione proposizionale è un'espressione, contenente una o più variabili, che diventa una proposizione quando a ciascuna delle variabili è sostituito uno dei suoi valori scelti da un dominio del discorso degli individui». Lewis utilizzò le funzioni proposizionali per introdurre le relazioni: ad esempio, una funzione proposizionale di n variabili è una relazione di arietà n . Il caso di n = 2 corrisponde a relazioni binarie, di cui esistono relazioni omogenee (entrambe le variabili appartengono allo stesso insieme) e relazioni eterogenee.

