Lemma di Dynkin
# Lemma di Dynkin

Il lemma di Dynkin, altresì detto teorema delle classi monotone, è un enunciato importante in teoria della misura che ha, tra le varie conseguenze, il teorema di unicità delle probabilità. Deve il suo nome al matematico russo Evgenij Borisovič Dynkin.

## Definizioni preliminari

Un $\pi$-sistema è una famiglia di parti ${\mathcal {I}}$ di un insieme $\Omega$ con le seguenti caratteristiche:

* ${\mathcal {I}}\neq \varnothing ;$
* $A,B\in {\mathcal {I}}\Rightarrow A\cap B\in {\mathcal {I}}.$

Una classe monotona (detta anche $\lambda$-sistema) è una famiglia di parti ${\mathcal {M}}$ di un insieme $\Omega$ con le seguenti caratteristiche:

* $\Omega \in {\mathcal {M}};$
* $A,B\in {\mathcal {M}},A\subset B\Rightarrow B\setminus A\in {\mathcal {M}};$
* $\{A_{n}\}\in {\mathcal {M}}$, $A_{n}\subset A_{n+1}\Rightarrow \bigcup _{n=1}^{\infty }{A_{n}}\in {\mathcal {M}}.$

Si definisce $\sigma$-algebra generata da una famiglia di parti ${\mathcal {F}}$, in notazione $\sigma ({\mathcal {F}})$ la più piccola $\sigma$-algebra contenente ${\mathcal {F}}$; analogamente e con la notazione $\lambda ({\mathcal {F}})$ è definita la classe monotona generata da ${\mathcal {F}}$.

## Enunciato del lemma e dimostrazione

Se ${\mathcal {I}}$ è un $\pi$-sistema contenente $\Omega$, allora si ha l'uguaglianza $\lambda ({\mathcal {I}})=\sigma ({\mathcal {I}})$.

Infatti, se ${\mathcal {I}}$ contiene $\Omega$ allora è evidente che $\lambda ({\mathcal {I}})$ è chiusa per passaggio al complementare, perché $A^{c}=\Omega \setminus A$ e una classe monotona è chiusa rispetto alla differenza insiemistica. Abbiamo dimostrato la prima delle due caratteristiche fondamentali di una $\sigma$-algebra.

Se una classe di insiemi è chiusa per passaggio al complementare e per intersezioni finite, applicando le leggi di De Morgan, essa è chiusa per unioni finite. Se inoltre una famiglia di insiemi è chiusa per unioni finite e per unioni numerabili crescenti (terza proprietà di classe monotona nell'elenco), allora questa sarà chiusa per tutte le unioni numerabili (altra proprietà fondante delle $\sigma$-algebre).

Non resta che dimostrare la chiusura di $\lambda ({\mathcal {I}})$. La suddetta dimostrazione si articola in due parti:

* $A\in {\mathcal {I}},B\in \lambda ({\mathcal {I}})\Rightarrow A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}});$
* $A\in \lambda ({\mathcal {I}}),B\in \lambda ({\mathcal {I}})\Rightarrow A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}}).$

Non si tratta che di effettuare banali verifiche delle proprietà di $\lambda$-sistema sulle seguenti classi di insiemi:

* ${\mathcal {M}}:=\{B\in \lambda ({\mathcal {I}})|A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}}),A\in {\mathcal {I}}\};$
* ${\mathcal {M}}':=\{B\in \lambda ({\mathcal {I}})|A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}}),A\in \lambda ({\mathcal {I}})\}.$
