Lemma di Lax-Milgram
# Lemma di Lax-Milgram

Il lemma di Lax-Milgram è un risultato di analisi funzionale con rilevanti applicazioni nella teoria delle equazioni alle derivate parziali ed è fondamentale in analisi numerica per lo studio del metodo degli elementi finiti. Il punto di partenza è la formulazione debole del problema alle derivate parziali.

Nel 1971 Ivo Babuška fornì una generalizzazione del teorema, il teorema di Babuška-Lax-Milgram.

## Enunciato

Sia $V$ uno spazio di Hilbert con norma $\|\cdot \|$, sia $b(u,v)$ una forma bilineare su $V$ e sia $F$ un funzionale lineare e continuo che opera su elementi di $V$ (ossia un elemento del duale $V^{*}$ di $V$); si voglia trovare $u\in V$ soluzione del problema variazionale:

    $b(u,v)=\langle F,v\rangle ,\qquad \forall v\in V,$

dove $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ rappresenta la dualità fra $V$ e $V^{*}$. Se la forma bilineare è continua, ossia esiste una costante $C$ positiva tale che:

    $|b(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|,\qquad \forall u,v\in V,$

ed è inoltre coerciva o ellittica, ossia esiste $\alpha$ positiva tale che:

    $b(v,v)\geq \alpha \|v\|^{2},\qquad \forall v\in V,$

allora il problema variazionale ammette un'unica soluzione. Si noti come non sia necessaria l'ipotesi che la forma bilineare sia simmetrica. Il lemma di Lax-Milgram fornisce inoltre una stima di stabilità per la soluzione $u$:

    $\|u\|\leq {\frac {\|F\|_{V^{*}}}{\alpha }}.$
