Lemma di Riemann-Lebesgue
# Lemma di Riemann-Lebesgue

In matematica, in particolare nell'analisi armonica, il lemma di Riemann-Lebesgue, il cui nome è dovuto a Bernhard Riemann e Henri Lebesgue, è un teorema che afferma che la trasformata di Fourier o Laplace di una funzione integrabile si annulla all'infinito. Grazie ad esso è possibile dimostrare che $\lbrace e^{int}\rbrace _{n\in \mathbb {Z} }$è una base per lo spazio di Hilbert $L^{2}([0,2\pi ])$.

## Il teorema

Sia $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ una funzione misurabile. Se $f$ è sommabile allora:

    $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-izx}\,dx\rightarrow 0{\text{ per }}z\rightarrow \pm \infty$

La trasformata di Fourier di $f$ tende quindi a $0$ per valori infiniti di $z$.

Il lemma di Riemann–Lebesgue è valido in diverse situazioni, riportate nel seguito.

* Se $f$ è in $L^{1}$ e definita in $(0,+\infty )$, allora il lemma di Riemann–Lebesgue è valido anche per la trasformata di Laplace $f$:

    $\int _{0}^{+\infty }f(t)e^{-tz}\,dt\to 0$
    per $|z|\to +\infty$ all'interno del semipiano $\Im (z)\geq 0$.
* Se $f$ è in $L^{1}$ e definita su un intervallo limitato, allora i coefficienti di Fourier di $f$ tendono a $0$ per $n\to \pm \infty$. Questo fatto si ottiene estendendo $f$ alla funzione nulla al di fuori dell'intervallo, ed applicando il lemma sull'intero asse reale.
* Il lemma di Riemann–Lebesgue è valido anche per la trasformata di Fourier in più dimensioni. Se $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, allora:

    ${\hat {f}}(\xi )\to 0{\text{ per }}|\xi |\rightarrow +\infty$
    dove ${\hat {f}}$ è la trasformata di Fourier:
    ${\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-ix\cdot \xi }f(x)\,dx$

## Dimostrazione

Si consideri il caso monodimensionale, da cui segue senza difficoltà il caso in dimensione arbitraria, e sia $f$ una funzione liscia a supporto compatto. Integrando per parti in ogni variabile:

    $\left|\int f(x)e^{-izx}dx\right|=\left|\int {\frac {1}{iz}}f'(x)e^{-izx}dx\right|\leq {\frac {1}{|z|}}\int |f'(x)|dx\rightarrow 0{\mbox{ per}}\ z\rightarrow \pm \infty$

Se $f$ è una funzione integrabile qualsiasi, può essere approssimata in $L^{1}$ da una funzione liscia a supporto compatto $g$ tale che $\|f-g\|_{L^{1}}<\varepsilon$. Si ha allora:

    $\limsup _{z\rightarrow \pm \infty }|{\hat {f}}(z)|\leq \limsup _{z\to \pm \infty }\left|\int (f(x)-g(x))e^{-ixz}dx\right|+\limsup _{z\rightarrow \pm \infty }\left|\int g(x)e^{-ixz}dx\right|\leq \varepsilon +0=\varepsilon$

e dal momento che questo vale per ogni $\varepsilon >0$ segue la tesi.

Nel caso in cui $t\in \mathbb {C}$, si supponga che $f$ sia a supporto compatto su $(0,+\infty )$ e che sia differenziabile con continuità. Dette $F$ e $G$ le trasformate (di Fourier o Laplace) rispettivamente di $f$ e $f'$, per le proprietà della trasformata si ha $F(t)=G(t)/t$, da cui $F(z)\rightarrow 0$ per $|t|\rightarrow +\infty$. Poiché la funzione in tale forma è densa in $L^{1}(0,+\infty )$, ciò vale per ogni scelta di $f$.

