Ordinamento tra numeri reali
# Ordinamento tra numeri reali

Quando si parla di ordinamento dei numeri reali, si intendono tutte le relazioni di confronto che si possono stabilire tra essi; il metodo più semplice per effettuare questa operazione è considerare i numeri reali attraverso le troncate. Utilizzando le troncate si agisce in pratica tra numeri in forma decimale, anche se caso per caso possono cambiare, agendo sull'indice.

## Uguaglianza fra numeri in forma decimale

Dati due numeri reali a e b:

    $a=b\Longleftrightarrow \forall {n}\in \mathbb {N} \;\left[a\right]_{n}-\left[b\right]_{n}\leq 10^{-n}$

Non è difficile dedurre che tale criterio vale per entrambe le due diverse condizioni sotto le quali due serie esprimono numeri eguali:

* uguali per ogni singola cifra
* due rappresentazioni, l'una 0-periodica e l'altra 9-periodica dello stesso decimale finito

Un'altra importante conseguenza di questa definizione è il fatto che essa ci permetta di verificare come il criterio di eguaglianza fra i numeri reali goda delle tre proprietà fondamentali delle relazioni d’equivalenza che avevamo viste rispettate anche per il campo dei razionali e dei naturali. Infatti l'uguaglianza tra reali possiede:

* La proprietà riflessiva, cioè dato un numero reale r, r=r
* La proprietà simmetrica, cioè se, dati due reali a e b, a=b, allora avremo anche che b=a
* La proprietà transitiva, che afferma, dati tre numeri reali p,q,r, se p=q e q=r, allora p=r

## Disuguaglianza fra numeri in forma decimale

Per stabilire se due numeri reali a e b sono diversi si utilizza il seguente principio:

    $a\neq \ b\Longleftrightarrow \exists \ {\tilde {n}}\in \mathbb {N} \;:\left[a\right]_{\tilde {n}}-\left[b\right]_{\tilde {n}}>\ 10^{-n}$

In realtà si può formulare il criterio in un secondo modo osservando che se la differenza fra le due troncate a n cifre è strettamente maggiore di :$10^{-n}$, e cioè di un'unità sull'ultima cifra, ciò vuol dire che vale almeno due unità, e cioè: $2\cdot 10^{-n}$. Il criterio può dunque essere enunciato come segue:

    $a\neq \ b\Longleftrightarrow \exists \ {\tilde {n}}\in \mathbb {N} \;:\left[a\right]_{\tilde {n}}-\left[b\right]_{\tilde {n}}\geq \ 2\cdot 10^{-n}$

## Ordinamento fra numeri in forma decimale

Consideriamo due numeri reali, x e y : adesso vediamo quali devono essere le caratteristiche delle loro troncate affinché sussistano tra loro relazioni di maggiorazione o minorazione (stretta o no):

* ${x}\leq \ {y}\quad$ se
   * $x=y\quad \qquad \quad \qquad \qquad$ o
   * $\forall {n}\in \mathbb {N} \;\left[x\right]_{n}\leq \ \left[y\right]_{n}$
* $y>\ x\quad \qquad \qquad \quad$ se $\qquad \quad \qquad x\neq \ y\quad$ e $\qquad \qquad \quad x\leq \ y$
