Indice di Divisia
# Indice di Divisia

L'indice di Divisia, dal nome dell'economista francese François-Jean-Marie Divisia, è un indice definito in ambito continuo utilizzato per la misurazione delle variazioni nei volumi e nei prezzi di determinati aggregati.

Adattamenti al caso discreto dell'indice di Divisia, e quindi sue approssimazioni empiriche, sono:

* l'indice di Laspeyres;
* l'indice di Paasche;
* l'indice di Fisher;
* l'indice di Törnqvist.

## Calcolo dell'indice

Il valore di un aggregato risulta uguale alla somma delle quantità degli elementi che lo compongono moltiplicati per i rispettivi prezzi. Indicando con $\ X_{t}$ il valore dell'aggregato X al tempo t, con $\ p_{it}$ e $\ q_{it}$, rispettivamente, il prezzo e la quantità dell'elemento i al tempo t, avremo:

    $\ X_{t}=\sum _{i}p_{it}\ q_{it}$

Derivando rispetto al tempo e dividendo per $\ X_{t}$ otteniamo:

    ${\frac {{\dot {X}}_{t}}{X_{t}}}=\sum _{i}{\frac {q_{it}}{\sum _{i}p_{it}\ q_{it}}}{\dot {p}}_{it}+\sum _{i}{\frac {p_{it}}{\sum _{i}p_{it}\ q_{it}}}{\dot {q}}_{it}$

dove $\ {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}$.

Dall'equazione precedente otteniamo:

    ${\frac {{\dot {X}}_{t}}{X_{t}}}=\sum _{i}v_{it}{\frac {{\dot {p}}_{it}}{p_{it}}}+\sum _{i}v_{it}{\frac {{\dot {q}}_{it}}{q_{it}}}$

dove $\ v_{it}$ è la quota di i sul totale nel periodo t, ovvero:

    $v_{it}={\frac {q_{it}p_{it}}{\sum _{i}p_{it}\ q_{it}}}$

Essendo:

    ${\frac {d\log x}{dt}}={\frac {\dot {x}}{x}}$

una formulazione alternativa è:

    (1) $\ {\frac {d\log X_{t}}{dt}}=\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {p}_{it}}{dt}}+\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {q}_{it}}{dt}}$

Nelle equazioni precedenti il primo addendo rappresenta la variazione dell'aggregato osservabile a seguito della variazione dei prezzi, costanti le quantità, mentre il secondo registra i cambiamenti imputabili alle variazioni nei volumi, costanti i prezzi.

In caso di un solo bene avremmo:

    $\ X_{t}=P_{t}\ Q_{t}$

da cui:

    (2) $\ {\frac {d\log X_{t}}{dt}}={\frac {d\log P_{t}}{dt}}+{\frac {d\log Q_{t}}{dt}}$

Notando il parallelismo tra la (1) e la (2) possiamo scrivere:

    $\ {\frac {d\log P_{t}}{dt}}=\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {p}_{it}}{dt}}$
    $\ {\frac {d\log Q_{t}}{dt}}=\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {q}_{it}}{dt}}$

Consideriamo la prima equazione. Dato un anno base (0), la variazione dell'indice tra l'anno base ed un anno T sarà dato da:

    $\int _{0}^{T}{\frac {d\log P_{t}}{dt}}dt=\int _{0}^{T}\left(\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {p}_{it}}{dt}}\right)dt$

da cui, integrando, otteniamo:

    $\log {\frac {P_{T}}{P_{0}}}=\int _{0}^{T}\left(\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {p}_{it}}{dt}}\right)dt$

L'indice dei prezzi di Divisia è dunque uguale a:

    ${\frac {P_{T}}{P_{0}}}=\exp \left(\int _{0}^{T}\left(\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {p}_{it}}{dt}}\right)dt\right)$

Analogamente, l'indice dei volumi di Divisia è dato da:

    ${\frac {Q_{T}}{Q_{0}}}=\exp \left(\int _{0}^{T}\left(\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {q}_{it}}{dt}}\right)dt\right)$
