Lemma del cerchio grande
# Lemma del cerchio grande

In analisi complessa, il lemma del cerchio grande (o lemma del grande arco di cerchio) permette di risolvere integrali impropri aventi come integranda una funzione razionale.

## Enunciato

Sia $\Omega$ un insieme aperto illimitato del piano complesso $\mathbb {C}$. Sia $f(z)$ olomorfa in $\Omega$ e tale che:

    $\lim _{z\in \Omega ;\,|z|\rightarrow +\infty }zf(z)=0,$

allora

    $\lim _{R\rightarrow +\infty }\,\,\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }f(z)\,dz=0,$

dove $R$ rappresenta il raggio della semicirconferenza utilizzata per creare una curva chiusa attorno a un polo.

## Dimostrazione

Si ha che:

    $\forall \varepsilon >0,\,\exists \,\,M>0:\forall \,R>M\Rightarrow \left|\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }f(z)\,dz\right|<\varepsilon$

Inoltre vale che:

    $\forall \varepsilon >0,\,\exists \,\,{\frac {\varepsilon }{\phi _{2}-\phi _{1}}}\,:\,\forall z,\,\left|z\right|>M\,\,\Rightarrow \left|z\cdot f(z)\right|<{\frac {\varepsilon }{\phi _{2}-\phi _{1}}}$

Si calcola di seguito il modulo dell'integrale:

    $\left|\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }f(z)\,dz\right|\leq \int _{\gamma _{R}\cap \Omega }\left|f(z)\,dz\right|\leq \int _{\gamma _{R}\cap \Omega }{\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|}}\,dz=$

Poiché si è supposto $R>M$, con $R=\left|z\right|$, ed essendo $\left|z\right|$ il raggio della circonferenza, si può portare fuori dal segno di integrale tutta la frazione. Quindi:

    $={\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|}}\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }dz={\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|}}\cdot (\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|=\varepsilon$

L'integrale rimasto non è altro che la lunghezza dell'arco di circonferenza compresa tra i due angoli $\phi _{1},\,\phi _{2}$.

