Lemma di Gauss (polinomi)
# Lemma di Gauss (polinomi)

Con il nome di lemma di Gauss ci si riferisce, nella teoria dei polinomi, a due diverse affermazioni:

* il prodotto di due polinomi primitivi è anch'esso primitivo;
* se un polinomio è irriducibile in $\mathbb {Z} [x]$, allora è irriducibile anche in $\mathbb {Q} [x]$, cioè un polinomio a coefficienti interi irriducibile negli interi è irriducibile anche nei razionali.

La seconda asserzione è una diretta conseguenza della prima ed entrambe si possono estendere al caso in cui al posto di $\mathbb {Z}$ si considera un dominio a fattorizzazione unica R e al posto di $\mathbb {Q}$ si considera il campo della frazioni F di R.

Prende il nome dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss.

## Dimostrazione del primo lemma

Siano f(x) e g(x) due polinomi primitivi (a coefficienti interi); questo vuol dire che il massimo comun divisore dei coefficienti di ciascun polinomio è 1. Supponiamo per assurdo che il loro prodotto h(x)=f(x) g(x) non sia primitivo: di conseguenza esisterà un primo p che divide tutti i coefficienti di h(x). Poiché f(x) e g(x) sono primitivi, esisteranno dei loro coefficienti che non sono divisi da p.

L'idea è ora di "costruire" un coefficiente di h(x) che non è diviso da p: consideriamo dunque $a_r$ e $b_s,$ i due coefficienti di grado minimo che non sono divisi da p, e costruiamo $c_{r+s},$ il coefficiente di h(x) di grado r+s. Lo possiamo scrivere come:

    $c_{r+s}=a_{r}b_{s}+(a_{r+1}b_{s-1}+a_{r+2}b_{s-2}+\ldots )+(a_{r-1}b_{s+1}+a_{r-2}b_{s+2}+\ldots )$

Il primo addendo non è divisibile per p; tuttavia lo sono le due quantità tra parentesi, in quanto ognuno tra i $b_{s-1},$ $b_{s-2}...$ lo è, come ognuno tra i $a_{r-1},$ $a_{r-2},$ eccetera. Quindi si può scrivere

$c_{r+s}=a_{r}b_{s}+ph$

per un h intero. Ma $c_{r+s}$ è somma di una quantità divisibile e una no, e dunque non può essere divisibile per p e ciò è assurdo. Quindi h(x) è primitivo, come volevasi dimostrare.

### Dimostrazione alternativa

Un'altra dimostrazione può essere data usando l'anello $\mathbb {Z} _{p}[x]$ dei polinomi a coefficienti nel campo finito $\mathbb {Z} _{p}$

Si assuma infatti per assurdo che h(x)=f(x) g(x) non sia primitivo. Come nella dimostrazione precedente, esisterà un primo p che divide tutti i suoi coefficienti. Allora nell'anello $\mathbb {Z} _{p}[x]$ risulterà f(x) g(x)=0. Ma essendo $\mathbb {Z} _{p}$ un campo, è anche un dominio d'integrità (ovvero, non esistono divisori dello zero), e quindi anche l'anello dei suoi polinomi è un dominio d'integrità. Quindi uno tra f(x) e g(x) dovrebbe essere 0 in $\mathbb {Z} _{p}[x]$, ovvero tutti i suoi coefficienti dovrebbero essere divisibili per p. Ma avevamo supposto che sia f(x) che g(x) fossero primitivi, e quindi questo è assurdo, e h(x) è primitivo.

## Dimostrazione del secondo lemma

Questo secondo lemma è equivalente a dire che se un polinomio a coefficienti interi si scompone in $\mathbb {Q} [x]$, allora si scompone anche in $\mathbb {Z} [x]$.

Se f(x) non è primitivo allora si ottiene subito una scomposizione non banale in $\mathbb {Z} [x]$ e quindi possiamo assumere, senza perdere in generalità, che f(x) sia primitivo. Se si pone f(x)=g(x) h(x), con $g(x),h(x)\in \mathbb {Q} [x]$ non costanti, allora esistono $a,b\in \mathbb {Q} \setminus \{0\}$ tali che $g'(x)=a\cdot g(x)$ e $h'(x)=b\cdot h(x)$ siano polinomi primitivi di $\mathbb {Z} [x]$. Abbiamo dunque:

    $f(x)=(a^{-1}\cdot a\cdot g(x))(b^{-1}\cdot b\cdot h(x))=(ab)^{-1}g'(x)h'(x)$

Per il lemma precedente, il prodotto di g'(x) e h'(x) è primitivo come f(x), e quindi ab deve essere uguale a $\pm 1$, e quindi f(x) è riducibile in $\mathbb {Z} [x]$.

## Conseguenze

* Conseguenza del primo lemma è che l'MCD del prodotto di due polinomi è il prodotto del loro MCD.
* Il secondo lemma implica che si può capire l'irriducibilità di un polinomio tra i razionali studiando un polinomio tra gli interi, dove possono essere applicati strumenti come il criterio di Eisenstein.
* Teorema delle radici razionali
