Decomposizione JSJ
# Decomposizione JSJ

In geometria la decomposizione JSJ è un teorema riguardante le 3-varietà. Il nome è legato alle iniziali dei tre matematici che formularono il teorema alla fine degli anni settanta, e cioè William Jaco, Peter Shalen e Klaus Johannson.

Il teorema garantisce che ogni 3-varietà irriducibile si decompone lungo tori in modo unico. Per questo è anche chiamato teorema di decomposizione lungo tori. Può essere interpretato come una seconda decomposizione, dopo quella lungo sfere garantita dal teorema di Kneser-Milnor. Il teorema è un ingrediente fondamentale nella formulazione della congettura di geometrizzazione di Thurston.

## Enunciato

L'enunciato può essere espresso in vari modi diversi. Sia $M$ una 3-varietà irriducibile. Tutte le superfici e le mappe menzionate sono supposte differenziabili.

### Isotopia

Un toro incompressibile $T_{0}\subset M$ è importante se per ogni altro toro incompressibile $T_{1}\subset M$ esiste una isotopia che sposta $T_{1}$ in un altro toro $T_{1}'$ disgiunto da $T_{0}$. Qui per isotopia si intende una isotopia della mappa inclusione

    $i:T_{1}\hookrightarrow M$

che trasforma $i$ in $i'$ con $i'(T_{1})=T_{1}'$.

Due tori disgiunti $T_{1}$ e $T_{2}$ in $M$ sono paralleli se sono il bordo di una sottovarietà con bordo di $M$ omeomorfa a $T_{1}\times [-1,1]$. Il teorema JSJ asserisce il fatto seguente.

In $M$ esiste un'unica famiglia massimale $T_{1},\ldots ,T_{k}$ di tori importanti disgiunti e non paralleli a coppie. La famiglia è unica a meno di isotopie.

Nell'enunciato, per "unicità a meno di isotopia" si intende che due famiglie di questo tipo $T_{1},\ldots ,T_{k}$ e $T_{1}',\ldots ,T_{h}'$ hanno la stessa cardinalità $k=h$ ed esiste una isotopia ambiente di $M$ che sposta contemporaneamente ogni $T_{i}$ su $T_{i}'$ (a meno di riordinare i tori).

### Varietà di Seifert

L'enunciato seguente è più noto; fa uso delle varietà di Seifert.

In $M$ esiste un'unica famiglia minimale $T_{1},\ldots ,T_{k}$ di tori incompressibili disgiunti il cui complementare è unione di varietà di Seifert e varietà atoroidali.

L'unicità è a meno di isotopia, come nell'enunciato precedente. La famiglia qui è però minimale, dove prima era massimale.

