Similitudine (geometria)
# Similitudine (geometria)

La similitudine è una trasformazione geometrica, del piano o dello spazio, che conserva i rapporti tra le distanze. In altre parole, una trasformazione $f$ del piano (o dello spazio) in sé è una similitudine se e solo se esiste un numero reale positivo $k$ tale che:

    $d(f(A),f(B))=k\cdot d(A,B)$

per ogni coppia di punti $(A,B).$

Ogni similitudine si può ottenere dalla composizione di una omotetia e una isometria, o viceversa.

Queste trasformazioni mantengono la "forma" (non vengono modificati gli angoli) dell'oggetto, pur cambiandone la posizione, l'orientazione o la grandezza; quindi due oggetti simili hanno la stessa "forma".

## Esempi

Due circonferenze nel piano sono sempre simili. Tutti i quadrati sono simili: più in generale, tutti i poligoni regolari con un numero fissato di lati sono simili.

Tutte le parabole sono simili fra loro, mentre ellissi ed iperboli non lo sono necessariamente.

Quando due oggetti $P$ e $Q$ sono simili, si scrive generalmente

    $P\sim Q.$

## Geometria affine

In geometria affine, una similitudine del piano cartesiano è una particolare affinità

    $f(x)=Ax+b.$

In questa notazione $x$ indica un generico punto del piano $(x_{1},x_{2})$, mentre $A$ è una matrice 2x2

    $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$

e $b$ è un vettore colonna fissato $(b_{1},b_{2})$. Nella notazione si fa uso della moltiplicazione fra matrici.

Una affinità descritta in questo modo è una similitudine se e solo se:

    $a_{11}^{2}+a_{21}^{2}=a_{12}^{2}+a_{22}^{2}=|a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}|=|\det A|\neq 0.$

Questo è equivalente a chiedere che i coefficienti $a_{ij}$ siano non tutti nulli e che una delle due seguenti condizioni sia verificata:

* $a_{11}=a_{22}\wedge a_{12}=-a_{21}$, oppure
* $a_{11}=-a_{22}\wedge a_{12}=a_{21}$.

Nel primo caso, il determinante di $A$ è positivo, la similitudine preserva l'orientazione e si dice diretta. Nel secondo caso il determinante è negativo, l'orientazione è ribaltata e si dice inversa.

## Poligoni

### Triangoli simili

Esistono alcuni criteri che permettono di determinare se due triangoli sono simili, il primo è il più noto:

* Due triangoli sono simili se e solo se hanno ordinatamente tre angoli congruenti.
   * Corollario 1. Due triangoli equilateri sono simili.
   * Corollario 2. Due triangoli rettangoli, con un angolo acuto congruente, sono simili.
   * Corollario 3. Due triangoli isosceli, con gli angoli al vertice congruenti, sono simili.
* Due triangoli $ABC$ e $DEF$ aventi: due lati proporzionali e l'angolo compreso congruente sono simili.
   * ${AB \over DE}={BC \over EF}$
   * gli angoli in $B$ e in $E$ sono uguali,
   * Corollario. Due triangoli rettangoli sono simili se hanno i cateti in proporzione
* Due triangoli $ABC$ e $DEF$aventi: i lati proporzionali sono simili.

    ${\frac {AB}{DE}}={\frac {AC}{DF}}={\frac {BC}{EF}}$

### Poligoni simili

Esistono criteri analoghi per due poligoni arbitrari nel piano. Il più importante è il seguente:

Due poligoni sono simili se hanno gli angoli corrispondenti congruenti e i lati corrispondenti in proporzione.

In verità, non è necessario effettuare la verifica su tutti gli angoli e tutti i lati: è possibile escludere

* due lati qualsiasi consecutivi e l'angolo compreso tra essi, oppure
* due angoli qualsiasi consecutivi e il lato compreso tra essi, oppure
* tre angoli consecutivi.

Se il poligono non è un triangolo, non è vero che due poligoni aventi gli angoli interni uguali sono simili: ad esempio, due rettangoli hanno sempre gli stessi angoli interni, ma sono simili soltanto se hanno lo stesso rapporto fra i lati.

## Numeri complessi e figure auto-similari

### Numeri complessi

Ogni similitudine fra due oggetti nel piano può essere elegantemente espressa tramite l'uso dei numeri complessi. È sufficiente descrivere il piano come piano complesso: in questo modo, ogni similitudine è esprimibile tramite una trasformazione lineare del tipo

    $z\mapsto az+b$

oppure

    $z\mapsto a{\bar {z}}+b,$

dove $a$ e $b$ sono due numeri complessi, e ${\bar {z}}$ è il complesso coniugato di $z.$

### Frattali

Un frattale è un oggetto geometrico autosimilare: ogni sua piccola parte contiene un oggetto simile all'oggetto grande.

