Lemma di Kronecker
# Lemma di Kronecker

In matematica, il lemma di Kronecker è un risultato sulla relazione tra la convergenza di una successione e la convergenza di una particolare serie relativa ad essa. Il lemma è spesso utilizzato nelle dimostrazioni di teoremi sulle somme di variabili aleatorie indipendenti, come la legge dei grandi numeri. Il nome del lemma è dovuto al matematico tedesco Leopold Kronecker.

## Il lemma

Se $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ è una successione infinita di numeri reali tale che

    $\sum _{m=1}^{\infty }x_{m}=s$

esiste ed è finito, allora per ogni successione crescente $0<b_{1}\leq b_{2}\leq b_{3}\leq \ldots$ e $b_{n}\to \infty$ si ha che

    $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=0.$

### Dimostrazione

Siano $S_{k}$ le somma parziali della successione $x_{n}$. Usando la sommazione per parti,

    ${\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}$

Preso un $\epsilon >0$, si sceglie $N$ in modo che $|S_{k}-s|<\epsilon$ per ogni $k>N$, sempre possibile poiché la successione converge a $s$. Allora il membro destro è:

    $S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}$
    $=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s)$
    $=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {b_{n}-b_{N}}{b_{n}}}s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s).$

Ora, facendo tendere $n$ all'infinito, il primo termine tende a $s$, che si cancella con il terzo. Il secondo termine va a zero (poiché la sommatoria è su un numeri finito di termini). Dal momento che la successione $b$ è crescente, l'ultimo addendo è maggiorato da $\epsilon (b_{n}-b_{N})/b_{n}\leq \epsilon$. Quindi riassumendo, per ogni $\epsilon >0$ si può trovare un $N$ tale che

    $\left|{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}\right|<\epsilon$

per ogni $n>N$, e allora per definizione di limite di una successione si ha che

    $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=0.$
