Insieme perfetto
# Insieme perfetto

In matematica, e in particolare in topologia, un insieme perfetto è un insieme chiuso senza punti isolati e uno spazio perfetto è uno spazio topologico senza punti isolati. In questi spazi ogni punto può essere approssimato arbitrariamente bene da altri punti, cioè dato un punto e un intorno del punto esiste un altro punto nell'intorno.

In questo articolo ogni spazio che non è perfetto sarà detto imperfetto.

## Esempi

La retta reale $\mathbb {R}$ è uno spazio perfetto connesso. Gli spazi di Baire sono spazi perfetti totalmente sconnessi, e pertanto questo vale anche per lo spazio di Cantor $\mathbf {2} ^{\omega }$.

Ogni insieme non vuoto ammette una topologia con la quale è imperfetto: la topologia discreta. Ogni insieme con più di un punto ammette una topologia con la quale è perfetto: la topologia banale.

## Proprietà

Ogni sottoinsieme aperto di uno spazio perfetto è perfetto.

Ogni spazio perfetto non vuoto ha sottospazi che sono imperfetti con la topologia di sottospazio: i singoletti.

La proprietà di uno spazio topologico di essere perfetto è una proprietà locale: uno spazio è perfetto se e solo se ogni punto ammette una base di intorni tale che ogni intorno in tale base è perfetto nella topologia di sottospazio.

Sia $\{X_{i}\}_{i\in I}$ una famiglia di spazi topologici. Come per ogni proprietà locale, l'unione disgiunta $\bigsqcup _{i}X_{i}$ è perfetta se e solo se ogni $X_{i}$ è perfetto.

Il prodotto cartesiano di una famiglia $\{X_{i}\}_{i\in I}$ è perfetto nella topologia prodotto se e solo se vale almeno una delle seguenti proprietà:

* almeno uno degli spazi $X_{i}$ è perfetto;
* $I=\varnothing$;
* è infinito l'insieme degli indici $i\in I$ tali che $X_{i}$ ha almeno due punti.

L'immagine tramite una funzione continua e i quozienti di spazi perfetti non sono necessariamente perfetti. Ma l'immagine di uno spazio perfetto rispetto ad una funzione continua iniettiva è perfetta.

Un insieme perfetto contenuto in uno spazio metrico completo è non numerabile.

