Sottogruppo normale
# Sottogruppo normale

In teoria dei gruppi, il sottogruppo normale (o invariante) è un sottogruppo in cui i laterali sinistro e destro di ogni elemento del gruppo coincidono.

In formule, il sottogruppo $K\subset G$ è normale se

    $gK=Kg$

per ogni elemento $g\in G$. Il fatto che $K$ sia normale per $G$ si indica con $K\triangleleft G$.

I sottogruppi normali sono importanti perché permettono di definire il gruppo quoziente $G/K$.

## Definizioni equivalenti

Esistono numerosi modi equivalenti per definire un sottogruppo normale. Tra questi:

* K è un sottogruppo normale se viene mandato in sé da ogni automorfismo interno:

    $\forall g\in G,k\in K\quad gkg^{-1}\in K$
* K è un sottogruppo normale se è chiuso rispetto all'operazione di coniugio

## Proprietà

* Se $K\triangleleft H\triangleleft G$, non è detto che $K\triangleleft G$. Infatti possono esserci isomorfismi non interni di $H$ che sono isomorfismi interni di $G$ e che non mandano $K$ in sé. Per esempio, nel gruppo alterno $A_{4}$ ci sono tre sottogruppi di ordine 2, e ognuno di essi è normale nell'unico sottogruppo (abeliano) di ordine 4, che è a sua volta normale in $A_{4}$. Ma i tre sottogruppi di ordine due sono permutati ciclicamente dall'automorfismo interno indotto da ogni elemento di $A_{4}$ di ordine 3, e dunque nessuno di essi è normale in $A_{4}$.

Se però si aggiunge l'ipotesi che $K$ sia caratteristico, in $H$, cioè mandato in sé da ogni automorfismo di $H$, si ha che effettivamente $K\triangleleft G$.

## Esempi

* In un gruppo abeliano, ogni sottogruppo è normale.
* Il nucleo di un omomorfismo h: G → H è un sottogruppo normale di G.
* I sottogruppi {e} e G (il più piccolo ed il più grande fra i sottogruppi di G) sono sempre normali. Se sono gli unici sottogruppi normali, il gruppo si dice semplice.
* Il gruppo delle traslazioni dello spazio euclideo è un sottogruppo normale del gruppo dei movimenti rigidi dello spazio. Ad esempio, in tre dimensioni: se si ruota, poi si trasla, e infine si ruota nell'altro verso, si ottiene una traslazione (che può essere diversa da quella iniziale).
* L'intersezione di una famiglia di sottogruppi normali è normale.
* L'immagine inversa tramite omomorfismo di un sottogruppo normale è normale. Invece l'immagine di un sottogruppo normale tramite un omomorfismo non è necessariamente normale.
* Prodotto di gruppi normali in un prodotto di gruppi è normale.
* Ogni sottogruppo di indice 2 è normale. Più in generale, se l'indice del sottogruppo $H$ del gruppo finito $G$ è il più piccolo numero primo che divide l'ordine di $G$, allora $H$ è un sottogruppo normale di $G$.
