Seminorma
# Seminorma

In algebra lineare, una seminorma è una generalizzazione del concetto di norma che, a differenza di quest'ultima, può assegnare lunghezza zero anche ad un vettore diverso da zero.

La nozione di seminorma è utilizzata in vari ambiti dell'analisi funzionale. Una famiglia numerabile di seminorme, per esempio, consente di indurre una topologia su uno spazio di Fréchet.

## Definizione

Una seminorma definita su uno spazio vettoriale $X$ sul campo $\mathbb {K}$, che può essere quello dei numeri reali o complessi, è una funzione:

    ${\begin{matrix}\|\cdot \|:&X&\longrightarrow &[0,+\infty )\\&x&\mapsto &\|x\|\end{matrix}}$

che verifica la condizione di omogeneità:

    $\|\lambda x\|=|\lambda |\|x\|\qquad \forall \lambda \in \mathbb {K}$

e la disuguaglianza triangolare:

    $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\qquad \forall x,y\in X$

## Spazio localmente convesso

Uno spazio vettoriale topologico $X$ nel quale è definita una famiglia $P$ di seminorme è uno spazio localmente convesso se:

    $\cap _{p\in P}\{x\in X|p(x)=0\}=\{0_{X}\}$

Uno spazio localmente convesso è infatti definito come uno spazio vettoriale $X$ nel quale è definita una famiglia di seminorme $\{\|\cdot \|_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$. La topologia naturale che caratterizza uno spazio localmente convesso è la topologia più debole tale per cui le seminorme della famiglia sono funzioni continue, e continua è l'operazione di addizione.

Una base di intorni del punto $x_{0}$ per tale topologia si ottiene definendo per ogni sottoinsieme finito $B$ di $A$:

    $U_{B,\varepsilon }(x_{0})=\{x\in V:\|x-x_{0}\|_{\alpha }<\varepsilon \ \alpha \in B\}\qquad \forall \epsilon >0$

Si dimostra che se uno spazio localmente convesso è metrizzabile, allora è possibile definire una topologia generata da una famiglia numerabile di seminorme ed il punto 0 ha una base numerabile di intorni. Uno spazio localmente convesso completo e metrizzabile è detto spazio di Fréchet.

