Corpo con manici
# Corpo con manici

In geometria, un corpo con manici è uno spazio topologico ottenuto agganciando alcuni "manici" alla palla tridimensionale.

Si tratta di un oggetto usato in topologia della dimensione bassa, specialmente nello studio delle 3-varietà.

## Definizione

Un corpo con $k$ manici è una particolare 3-varietà con bordo. Può essere definita in modo equivalente in uno dei modi seguenti:

* una 3-varietà con bordo $M$ contenente $k$ dischi disgiunti propriamente immersi $D_{1},\ldots ,D_{k}$ tali che la varietà ottenuta tagliando $M$ lungo questi è omeomorfa al disco

    $D=\{x\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ |x|\leq 1\}.$
* la 3-varietà con bordo $M$ ottenuta scegliendo nel bordo $\partial D$ del disco $2k$ dischi 2-dimensionali disgiunti e incollandoli a coppie;
* la somma connessa al bordo di $k$ oggetti, che possono essere tori solidi e bottiglie di Klein solide.

Il numero $k$ è il genere del corpo con manici.

### Orientabilità

Il corpo con manici è orientabile se è soddisfatta una di queste richieste equivalenti:

* Il corpo con manici è omeomorfo ad un sottoinsieme di $\mathbb {R} ^{3}$.
* Il corpo è ottenuto incollando dischi tramite mappe che invertono l'orientazione.
* Il corpo è somma connessa di soli tori solidi

Spesso per "corpo con manici" si intende implicitamente un corpo con manici orientabile.

## Proprietà

Un corpo con manici è uno spazio compatto.

### Bordo

Il bordo del corpo con manici di genere $k$ è una superficie compatta e senza bordo. Se il corpo è orientabile, la superficie è orientabile e di genere $k$. Altrimenti la superficie è non orientabile e di genere $2k$.

### Equivalenza omotopica

Un corpo con manici di genere $k$ è omotopicamente equivalente ad un grafo. La sua caratteristica di Eulero è $1-k$.

