Teorema di disintegrazione
# Teorema di disintegrazione

In matematica, in particolare nell'ambito della teoria della misura e della teoria della probabilità, il teorema di disintegrazione definisce rigorosamente l'idea di una restrizione non banale della misura a un sottoinsieme di misura nulla dello spazio di misura che si utilizza.

La "disintegrazione" può essere vista come la procedura inversa alla costruzione della misura prodotto.

## Enunciato

Sia $P(X)$ una collezione di misure di probabilità di Borel su uno spazio metrico $(X,d)$. Siano inoltre $Y$ e $X$ due spazi di Radon (ovvero spazi metrici separabili sui quali ogni misura di probabilità è una misura di Radon). Considerando una delle misure di probabilità $\mu \in P(Y)$, sia $\pi :Y\to X$ una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Borel e $\nu \in P(X)$ la misura push-forward $\nu =\pi _{*}(\mu )=\mu \circ \pi ^{-1}$.

Allora esiste quasi ovunque una famiglia di misure di probabilità $\{\mu _{x}\}_{x\in X}\subseteq P(Y)$ tale che:

* la mappatura $x\mapsto \mu _{x}(B)$ è una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Borel per ogni insieme $B\subseteq Y$ misurabile rispetto alla relativa misura di Borel;
* $\mu _{x}$ assume valori non nulli sulla fibra $\pi ^{-1}(x)$, ovvero per quasi tutti (rispetto a $\nu$) gli $x\in X$ si ha:

    $\mu _{x}\left(Y\setminus \pi ^{-1}(x)\right)=0$
    e dunque:
    $\mu _{x}(E)=\mu _{x}(E\cap \pi ^{-1}(x))$
* per ogni funzione Borel-misurabile $f:Y\to [0,\infty ]$ si ha:

    $\int _{Y}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=\int _{X}\int _{\pi ^{-1}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu _{x}(y)\mathrm {d} \nu (x)$
    In particolare, per ogni evento $E\subseteq Y$, assumendo che $f$ sia la funzione indicatrice di $E$ si ha:
    $\mu (E)=\int _{X}\mu _{x}\left(E\right)\,\mathrm {d} \nu (x)$
