Equazione di Legendre
# Equazione di Legendre

In matematica, l'equazione di Legendre, il cui nome si deve a Adrien-Marie Legendre, è l'equazione differenziale lineare del secondo ordine

    $(1-x^{2})y''-2xy'+ky=0\qquad x\in (-1,1).$

Si tratta di un problema di Sturm-Liouville con $p(x)=1-x^{2}$, $q(x)=0$ e coefficiente uguale a 1. Si può scrivere anche nella forma:

    $((1-x^{2})y')'+ky=0$

## L'equazione

Nella forma più generale:

    $(1-x^{2})^{2}y''-2x(1-x^{2})y'+((l^{2}+l)(1-x^{2})-\alpha ^{2})y=0$

oppure:

    $(1-x^{2})^{2}y''-2x(1-x^{2})y'+((l^{2}+l)(1-x^{2})+\alpha ^{2})y=0$

Le loro soluzioni generali, chiamate armoniche sferiche, sono esprimibili come combinazione lineare:

    $y(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)$

dove $y_{1}(x)$ e $y_{2}(x)$ sono soluzioni parziali linearmente indipendenti, chiamate funzioni sferiche.

L'equazione di Legendre è legata all'equazione di Laplace in coordinate sferiche:

    ${\frac {\partial ^{2}{Y(\theta ,\varphi )}}{\partial {\theta }^{2}}}+\cot(\theta ){\frac {\partial {Y(\theta ,\varphi )}}{\partial {\theta }}}+{\frac {1}{\sin ^{2}{\theta }}}{\frac {\partial ^{2}{Y(\theta ,\varphi )}}{\partial {\varphi }^{2}}}+l(l+1)Y(\theta ,\varphi )=0$

con la condizione al contorno:

    $Y(\theta ,\varphi +2\pi )=Y(\theta ,\varphi )$

dove $l$ è un intero positivo. Si tratta di un classico problema fisico a simmetria sferica, trattato nelle coordinate polari $r,\theta ,\varphi$, ed è facilmente risolubile tramite il metodo della separazione delle variabili. Cioè, supponendo che la soluzione sia una funzione data dal prodotto di due funzioni indipendenti:

    $Y(\theta ,\phi )=\Theta (\theta )\Phi (\varphi )$

da cui, sostituendo e moltiplicando per ${\frac {\sin ^{2}{\theta }}{\Theta \Phi }}$ si ottiene:

    $\sin ^{2}{\theta }{\frac {\Theta ^{''}}{\Theta }}+\sin(\theta )\cos(\theta ){\frac {\Theta ^{'}}{\Theta }}+l(l+1)\sin ^{2}(\theta )+{\frac {\Phi ^{''}}{\Phi }}=0$

dalla quale si vede che deve essere:

    $\sin ^{2}{\theta }{\frac {\Theta ^{''}}{\Theta }}+\sin(\theta )\cos(\theta ){\frac {\Theta ^{'}}{\Theta }}+l(l+1)\sin ^{2}(\theta )=-{\frac {\Phi ^{''}}{\Phi }}={\text{costante}}$

Ricordando poi la condizione di periodicità, la costante di separazione dovrà essere pari a $-\alpha ^{2}$ con m numero intero. Si ha dunque come soluzione della parte in $\Phi$:

    $\Phi (\varphi )=e^{\pm i\alpha \varphi }$

mentre si vede che la parte in $\Theta (\theta )$ deve soddisfare la relazione:

    $\sin ^{2}(\theta )\Theta ^{''}+\sin(\theta )\cos(\theta )\Theta ^{'}+{(l(l+1)\sin ^{2}(\theta )-\alpha ^{2})}\Theta =0$.

Per risolvere quest'ultima converrà fare un cambiamento di variabile e sostituire $\cos(\theta )=x$ e si ritrova:

    $(1-x^{2})^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Theta }{\mathrm {d} x^{2}}}-2x(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} x}}+(l(l+1)(1-x^{2})-\alpha ^{2})\Theta =0$

Nella forma:

    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}P(x)\right]+n(n+1)P(x)=0$

è a sua volta un caso particolare del problema di Sturm-Liouville.

