Equazione logaritmica
# Equazione logaritmica

Un'equazione logaritmica è un'equazione in cui l'incognita compare come argomento o come base di un logaritmo, come ad esempio $log_{2}(x+3)=7\;$. È un'equazione trascendente, in quanto non riconducibile a somme o prodotti di polinomi. Non è un'equazione logaritmica una equazione del tipo $x^{3}+4x+log_{3}7=0\;$, perché l'incognita non compare né come argomento, né come base del logaritmo.

## Risoluzione di un'equazione logaritmica

Per la risoluzione di un'equazione logaritmica ci si affida di solito alla definizione di logaritmo: il logaritmo in base $a$ di argomento $b$ (e si scrive $log_{a}b\;$) è l'esponente da assegnare alla base per ottenere l'argomento: se $log_{a}b=x\to a^{x}=b$.

Pertanto, se si ha un'equazione logaritmica da risolvere, prima si cerca di portarla nella forma più ridotta possibile, con a sinistra del segno di uguale il logaritmo e a destra il termine noto; poi, se l'incognita è nell'argomento del logaritmo, si dà a $x$ il valore dell'esponente che occorre assegnare alla base per ottenere il termine noto. Dopo aver risolto l'equazione è necessario verificare se le soluzioni trovate soddisfino o meno le condizioni di esistenza dell'equazione data. Infatti:

* l'argomento di un logaritmo deve essere sempre strettamente positivo
* la base di un logaritmo deve sempre essere strettamente positiva e diversa da $1$.

Esempio 1: $log_{2}(x+5)=3\;$.

$3$ è l'esponente da dare a $2$ per ottenere $x+5$, quindi $x+5=2^{3}\to x+5=8\to x=3\;$. Tale soluzione è accettabile poiché il campo di esistenza dell'equazione impone la stretta positività dell'argomento: $x+5>0\to x>-5$, pertanto la soluzione $x=3$ rientra nell'intervallo desiderato.

Esempio 2: $log_{x}32=5$.

$5$ è l'esponente da dare a $x$ per ottenere $32$, da cui $x^{5}=32\to x^{5}=2^{5}\to x=2$. Tale soluzione è compatibile con la condizione di esistenza della base, $x>0,\;x\neq 1$.

