Equazione integrale
# Equazione integrale

Si chiama equazione integrale ogni equazione che ha l'incognita sotto il segno di integrale. Per esempio, l'equazione di risoluzione di un'equazione differenziale è un'equazione integrale: in generale c'è una forte relazione tra equazioni differenziali ed integrali, e alcuni problemi possono essere formulati in entrambi i modi, come ad esempio le equazioni di Maxwell.

## Equazioni integrali lineari

Lo studio delle equazioni integrali si divide in due settori, relativi alle equazioni lineari e a quelle non lineari. Un'equazione integrale lineare generica nell'incognita $\varphi (x)$ ha la forma:

    $A(x)\varphi (x)+\int _{\Omega }K(x,s)\varphi (s)\ ds=f(x)\qquad x\in D$

dove $K(x,z)$ si chiama nucleo dell'equazione integrale, la funzione $A$ è detta coefficiente e $f$ il termine noto. L'insieme $\Omega$ è un sottoinsieme di uno spazio euclideo. Nel caso in cui $K$ e $A$ siano matrici e $f$, $\varphi$ funzioni vettoriali, allora si ha un sistema di equazioni lineari integrali. Se $f=0$ l'equazione (o sistema) si dice omogenea.

Un'equazione integrale lineare in cui un estremo dell'intervallo di integrazione è variabile viene detta equazione di Volterra:

    $y(x)=\int _{a}^{x}K(x,z)y(z)\ dz+f(x)$

dove $y(x)$ è la funzione incognita.

Se, invece, entrambi gli estremi dell'intervallo di integrazione sono fissi

    $y(x)=\int _{a}^{b}K(x,z)y(z)\ dz+f(x)$

viene chiamata equazione integrale di Fredholm.

Quando la funzione incognita si trova solo sotto il segno di integrale allora si hanno equazioni di Volterra e di Fredholm di prima specie, quelle sopra sono dette di seconda specie.

## Equazioni integrali non lineari

Un'equazione di Volterra non lineare ha la forma generale:

    $\varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,\varphi (t))\,dt$

dove $F$ è una funzione nota.

Un altro esempio è l'equazione di Urysohn:

    $\varphi (x)=\lambda \int _{\Omega }K(x,s,\varphi (s))\,ds\qquad x\in \Omega$

dove $\Omega$ è un sottoinsieme chiuso e limitato di uno spazio euclideo finito-dimensionale e il nucleo $K(x,s,t)$ è una funzione data definita per $x,s\in \Omega$ e $t\in \mathbb {R}$.

Un caso speciale dell'equazione di Urysohn è l'equazione di Hammerstein:

    $\varphi (x)=\lambda \int _{\Omega }K(x,s)f(s,\varphi (s))\,ds\qquad x\in \Omega$

dove $f(s,t)$ e $K(x,s)$ sono funzioni date.

## Soluzione numerica

Spesso le equazioni integrali non hanno una soluzione analitica, e devono essere risolte numericamente. Uno dei metodi utilizzati in tale approccio richiede di discretizzare le variabili e rimpiazzare gli integrali con sommatorie:

    $\sum _{j=1}^{n}w_{j}K\left(s_{i},t_{j}\right)u(t_{j})=f(s_{i})\qquad i=0,1,\cdots ,n$

Si ottiene in questo modo un sistema di n variabili ed altrettante equazioni. Risolvendolo si giunge al valore delle n variabili:

    $u(t_{0}),u(t_{1}),\cdots ,u(t_{n})$

## Equazione di Wiener-Hopf

Equazioni integrali della forma:

    $y(t)=\lambda x(t)+\int _{0}^{\infty }k(t-s)x(s)ds\qquad 0\leq t<\infty$

sono utilizzate nell'ambito del trasporto radiativo, della teoria della diffrazione e per la ricerca di soluzioni nel caso di problemi planari in cui la frontiera del dominio di integrazione è liscia a tratti.

## Serie di potenze come soluzione

In molti casi se il nucleo dell'equazione è della forma $K(xt)$ e la trasformata di Mellin di $K(t)$ esiste allora si può trovare la soluzione per l'equazione:

    $g(s)=s\int _{0}^{\infty }dtK(st)f(t)$

nella forma di serie di potenze:

    $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}x^{n}$

dove:

    $g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n}\qquad M(n+1)=\int _{0}^{\infty }dtK(t)t^{n}$

sono rispettivamente la trasformata zeta della funzione $g(s)$ e la trasformata di Mellin del nucleo integrale.

## Equazioni agli autovalori

Alcune equazioni integrali si possono ottenere come generalizzazione di equazioni agli autovalori:

    $\sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}$

di cui si fornisce una versione continua:

    $\int K(x,y)\varphi (y)\mathrm {d} y=\lambda \varphi (x)$

in cui il nucleo rimpiazza la matrice $M$ e l'autofunzione $\varphi (y)$ prende il posto degli autovettori $v_{j}$.

In molti casi il nucleo può essere una distribuzione.

