Teorema di non discriminazione quantistico
# Teorema di non discriminazione quantistico

Il teorema di non discriminazione quantistico afferma che, dati i postulati della meccanica quantistica, non è possibile distinguere con certezza tra due stati non ortogonali di un sistema quantistico di cui si disponga un'unica copia. È invece possibile determinare lo stato con un errore. È possibile inoltre ridurre l'errore ad una quantità piccola a piacere, con tecniche come la tomografia quantistica, aumentando opportunamente le copie a disposizione.

Il teorema è equivalente al teorema di no-cloning quantistico: clonando un numero sufficiente di volte lo stato sarebbe infatti idealmente possibile determinarlo con errore piccolo a piacere. È notevole il fatto che pure essendo i risultati dei due teoremi in accordo, essi derivino da postulati differenti. Il teorema di no-cloning infatti utilizza unicamente il postulato di evoluzione unitaria, mentre il teorema di non discriminazione si basa sul postulato di misura.

Il teorema è inoltre legato ad altri risultati di teoria dell'informazione quantistica. In particolare impedisce il trasferimento di informazione più veloce della luce nel caso del teletrasporto quantistico.

## Enunciato del teorema

Si consideri un sistema quantistico H e si supponga di voler determinare con sicurezza se H è in uno dei due stati non ortogonali

    $|\psi _{1}\rangle ,|\psi _{2}\rangle ,\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\beta \neq 0$.

Per ottenere ciò sarebbe necessario disporre di una POVM tale che

    $\langle \psi _{j}|E_{i}|\psi _{j}\rangle =\delta _{ij}$.

ovvero di una misura che restituisca l'indice dello stato del sistema con probabilità uno.

Il teorema di non discriminazione afferma che una POVM con queste proprietà non può esistere.

### Dimostrazione

La dimostrazione si limiterà per semplicità al caso del qubit. Il teorema è comunque vero in generale.

Si supponga per assurdo che la POVM esista. Allora dev'essere

    $\langle \psi _{1}|E_{2}|\psi _{1}\rangle =0$.

In particolare

    ${\sqrt {E_{2}}}|\psi _{1}\rangle =0$

dove con ${\sqrt {E_{2}}}$ si è indicata l'unica radice quadrata positiva dell'operatore positivo $E_{2}$.

Si scriva ora

    $|\psi _{2}\rangle =\alpha |\phi \rangle +\beta |\psi _{1}\rangle$

dove $|\phi \rangle$ e $|\psi _{1}\rangle$ formano una base ortonormale per il qubit e dev'essere

    $|\alpha |^{2}=1-|\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle |^{2}=1-|\beta |^{2}<1$.

Allora

    $\langle \psi _{2}|E_{2}|\psi _{2}\rangle =|\alpha |^{2}\langle \phi |E_{2}|\phi \rangle <1$

dato che

    $\langle \phi |E_{2}|\phi \rangle \leq 1$.

Ma per ipotesi

    $\langle \psi _{2}|E_{2}|\psi _{2}\rangle =1$.

Si è quindi giunti ad una contraddizione.

