Equazione trinomia
# Equazione trinomia

Le equazioni trinomie sono quelle riconducibili alla forma:

    $ax^{2n}+bx^{n}+c=0,$

dove $n$ è un intero positivo, $a$, $b$ e $c$ sono numeri reali (oppure complessi) e $a\neq 0$.

## Descrizione

Parametrizzando come segue:

    $x^{n}=y,$

si può riscrivere l'equazione in termini di $y$:

    $ay^{2}+by+c=0.$

Risolvendo quest'equazione quadratica (detta equazione risolvente o ausiliaria) e sostituendo nella relazione precedente è possibile trovare facilmente le soluzioni cercate.

1. Caso in cui $n$ è pari.

* Se la risolvente ammette due soluzioni positive distinte $y_{1}$ e $y_{2},$ allora l'equazione trinomia ammette le quattro soluzioni reali $\pm {\sqrt[{n}]{y_{1}}}$ e $\pm {\sqrt[{n}]{y_{2}}}$ (che si riducono a tre se una soluzione della risolvente è nulla).
* Se la risolvente ammette due soluzioni discordi, l'equazione trinomia ammette due soluzioni reali, corrispondenti alle due radici n-esime reali della soluzione positiva.
* Se la risolvente ammette una soluzione reale $y_{1},$ allora la trinomia ammette due soluzioni se $y_{1}>0,$ una se $y_{1}=0,$ nessuna se $y_{1}<0.$
* Se la risolvente non ammette soluzioni reali, lo stesso dicasi per l'equazione originaria.

2. Caso in cui $n$ è dispari.

* Se la risolvente ammette due soluzioni distinte $y_{1}$ e $y_{2},$ allora l'equazione trinomia ammette le due soluzioni reali ${\sqrt[{n}]{y_{1}}}$ e ${\sqrt[{n}]{y_{2}}}$.
* Se la risolvente ammette una soluzione reale $y_{1},$ allora la trinomia ammette la soluzione ${\sqrt[{n}]{y_{1}}}.$
* Se la risolvente non ammette soluzioni reali, lo stesso dicasi per l'equazione originaria.

Soluzioni complesse

Nel campo dei numeri complessi se $z_{1}$ e $z_{2}$ sono le due soluzioni della risolvente, allora le $2n$ soluzioni sono date da:

    ${\sqrt[{n}]{z_{1}}}e^{\frac {2\pi k}{n}},\qquad {\text{con }}k=0,1,\ldots ,n-1,$
    ${\sqrt[{n}]{z_{2}}}e^{\frac {2\pi k}{n}},\qquad {\text{con }}k=0,1,\ldots ,n-1.$
