Teorema di Wigner-Eckart
# Teorema di Wigner-Eckart

Il teorema di Wigner-Eckart è un importante teorema della meccanica quantistica che permette di semplificare il calcolo degli elementi di matrice di un tensore sferico. Sia $T_{q}^{k}$ la componente q-esima di un tensore sferico di rango k, ($A,J^{2},J_{z}$) un insieme completo di osservabili che commutano e $|\alpha jm\rangle$ una base di autostati simultanei delle stesse. Allora:

    $\langle \alpha 'j'm'|T_{q}^{k}|\alpha jm\rangle =\langle jk;mq|jk;j'm'\rangle {\frac {\langle \alpha 'j'||T^{k}||\alpha j\rangle }{\sqrt {2j+1}}}$

Il primo termine al secondo membro è un coefficiente di Clebsch-Gordan corrispondente alla composizione di due momenti angolari j e k con terza componente m e q rispettivamente. Il secondo termine è detto elemento di matrice ridotto e non dipende da m, m' e q. Nel caso in cui abbiamo k=0, cioè il tensore sferico è uno scalare, allora

    $\langle \alpha 'j'm'|T_{0}^{0}|\alpha jm\rangle =\langle j0m0|j'm'\rangle \langle \alpha 'j'||T^{0}||\alpha j\rangle$

di conseguenza otteniamo le regole di selezione j=j' e m=m' (per avere un elemento di matrice non nullo). Nel caso in cui k=1, cioè il tensore sferico è un operatore vettoriale, si ottiene

    $\langle \alpha 'j'm'|T_{q}^{1}|\alpha jm\rangle =\langle j1mq|j'm'\rangle \langle \alpha 'j'||T^{1}||\alpha j\rangle$

da cui seguono le regole di selezione $m'=m+q$ e $j'$ ∈ j ⊗ 1.

Dal teorema di Wigner-Eckart, nel caso $j=j'$ e $k=1$, segue facilmente un ulteriore importante teorema, il teorema di proiezione:

    $\langle \alpha 'jm'|T_{q}^{1}|\alpha jm\rangle =\langle jm'|J_{q}|jm\rangle \langle \alpha 'jm|\alpha jm\rangle$
