Modello (logica matematica)
# Modello (logica matematica)

Un modello, nella logica matematica, è un sistema costituito da formule logiche che descrivono i fenomeni in un determinato ambiente di riferimento. Sebbene la seguente definizione faccia riferimento alla teoria dei modelli, gli esempi e le definizioni successive fanno riferimento a teoria e logica del primo ordine.

## Definizione

Per una data teoria ${\mathcal {T}}$ in teoria dei modelli, una struttura ${\mathcal {M}}=(M,\sigma ,I)$ è definita come modello se

* il linguaggio usato da ${\mathcal {M}}$ è lo stesso usato nella teoria ${\mathcal {T}}$,
* ogni proposizione in ${\mathcal {T}}$ è soddisfatta da ${\mathcal {M}}$;

dove,

* ${\mathcal {M}}$ è un dominio (di discorso o di interpretazione),
* $\sigma$ è una firma (signature),
* $I$ è una funzione di interpretazione.

### Dominio

Il dominio ${\mathcal {D}}$ di una struttura ${\mathcal {F}}$ è definito come un insieme arbitrario; è anche detto dominio di discorso, in quanto contiene gli elementi dell'ambiente sul quale si vuole effettuare una descrizione od un ragionamento.

Un esempio di dominio di discorso, può essere un insieme delle persone delle quali siamo interessati a descrivere, e.g. ${\mathcal {D}}=(Tom,Bill,John,Kate,Peter,Sue,Tim)$.

Si noti che, se il dominio è usato in una struttura per la logica del primo ordine, allora non può essere vuoto.

### Signature

La signature $\sigma =(S,ar)$ di una struttura ${\mathcal {F}}$ è un definita formalmente come una coppia i cui elementi sono

* $S$, l'insieme di simboli di costanti, funzioni o relazioni, ciascuno con un'arietà,
* una funzione $ar:S\rightarrow \mathbb {N} _{0}$, detta di arietà, che associa ad ogni simbolo in $S$ il numero di argomenti che il simbolo accetta.

Per definizione simboli costanti $c$ sono tali che $ar(c)=0$.

Un esempio di signature $\sigma$ può essere una coppia $(S,ar)$, dove

* $S=\{fatherOf,friends,a,b,c,d,f,g\}$, con
   * $fatherOf$ simbolo funzionale,
   * $friends$ simbolo relazionale,
   * e $a,b,c,d,f,g$ simboli costanti;
* $ar$, funzione di arietà tale che:
   * $ar(fatherOf)=1$,
   * $ar(friends)=2$,
   * $ar(x)=0,\forall x\in \{a,b,c,d,e,f,g\}$.

### Funzione di interpretazione

Una funzione di interpretazione $I$ di una struttura ${\mathcal {F}}$ è una funzione che assegna funzioni e relazioni ai simboli definiti nella signature ed è tale che:

* $I(c_{i})\in {\mathcal {D}}$, con $c_{i}$ simbolo costante nel dominio di interpretazione,
* $I(f_{i}):S\rightarrow ({\mathcal {D}}^{n}\rightarrow {\mathcal {D}})$, con $f_{i}$ simbolo funzionale con arietà $n$ e nel dominio di interpretazione,
* $I(R_{i})\subseteq {\mathcal {D}}^{n}$, con $R_{i}$ simbolo relazionale con arietà $n$ e nel dominio di interpretazione.

Facendo riferimento agli esempi di dominio e signature visti sopra, una possibile funzione di interpretazione può essere $I:S\rightarrow D$ tale che:

* $fatherOf=\{h(b)=a,h(d)=c,h(f)=e\}$,
* $friends=\{(f,b),(d,g)\}$;
* $a=Tom,b=Bill,c=John,d=Kate,e=Peter,f=Sue,g=Tim$.

## Soddifacibilità per logiche del primo ordine

Un modello per una formula ben formata di un linguaggio del primo ordine è un modello per il linguaggio in cui l'interpretazione della formula risulti vera. Una formula è detta

* valida se è vera per tutti i modelli,
* soddisfacibile se esiste almeno un modello rispetto al quale è vera,
* insoddisfacibile se non esiste nessun modello in cui è vera.

Per esempio, una formula valida può essere $\forall x.(p(x)\rightarrow p(x))$, una soddisfacibile può essere $\exists x.(g(x)\rightarrow p(x))$, una insoddisfacibile può essere $\forall x.(p(x)\not \rightarrow p(x))$.

### Modelli di teorie assiomatiche

Un modello per una teoria del primo ordine è un modello per il suo linguaggio per cui siano vere tutte le formule che sono assiomi della teoria, e di conseguenza saranno verificate nel modello tutte le formule corrispondenti ai teoremi della teoria.

