Immersione compatta
# Immersione compatta

In matematica, la nozione di immersione compatta esprime l'idea che un insieme sia "ben contenuto" all'interno di un altro. Il concetto di immersione compatta è presente in topologia ed in analisi funzionale.

## Definizione (spazi topologici)

Sia $(X,T)$ uno spazio topologico, e siano $V$ e $W$ sottoinsiemi di $X$. Si dice che $V$ è immerso in modo compatto in $W$, e si scrive $V\subset \subset W$, se:

* $V\subseteq \mathrm {Cl} (V)\subseteq \mathrm {Int} (W)$, dove $\mathrm {Cl} (V)$ denota la chiusura di $V$, $\mathrm {Int} (W)$ denota la parte interna di $W$ e:
* $\mathrm {Cl} (V)$ è compatto.

## Definizione (spazi normati)

Siano $X$ e $Y$ due spazi normati con norme $\|\cdot \|_{X}$ e $\|\cdot \|_{Y}$ rispettivamente, e si supponga che $X\subseteq Y$. Si dice che $X$ è immerso in modo compatto in $Y$, e si scrive $X\subset \subset Y$, se:

* $X$ è immerso continuamente in $Y$; cioè esiste una costante $C$ tale che $\|x\|_{Y}\leq C\|x\|_{X}$ per ogni $x\in X$;
* qualsiasi insieme limitato in $X$ è precompatto in $Y$, cioè qualsiasi successione in tale insieme limitato possiede una sottosuccessione che è di Cauchy nella norma $\|\cdot \|_{Y}$.

Se $Y$ è uno spazio di Banach, una definizione equivalente è che l'operatore di immersione (l'identità) $i:X\to Y$ è un operatore compatto.

Questa definizione dell'immersione compatta viene utilizzata nell'ambito dell'analisi funzionale quando si studiano spazi di Banach di funzioni. Parecchi teoremi di immersione di Sobolev sono teoremi di immersione compatta.

