Assiomi di Huzita-Hatori
# Assiomi di Huzita-Hatori

Gli assiomi di Huzita-Hatori sono gli assiomi su cui si basa la matematica degli origami. I primi sei assiomi sono stati formulati dal matematico italo-giapponese Humiaki Huzita nel 1992, e descrivono le operazioni che sono consentite quando si piega un pezzo di carta, come nell'arte dell'origami. Il settimo assioma è stato aggiunto dal matematico giapponese Koshiro Hatori.

## I sette assiomi

Gli assiomi si basano sulle ipotesi che ogni operazione sia eseguita su un piano, e che tutte le piegature siano in linea retta. Gli assiomi sono i seguenti:

* Dati due punti $p_1$ e $p_2,$ esiste un'unica piegatura che passi per entrambi.
* Dati due punti $p_1$ e $p_2,$ esiste un'unica piegatura che porti $p_1$ su $p_2.$
* Date due linee rette $l_1$ e $l_2,$ esiste sempre una piegatura che porti $l_1$ su $l_2.$
* Dati un punto p e una retta l, esiste un'unica piegatura perpendicolare a l che passi per il punto p.
* Dati due punti $p_1$ e $p_2$ e una retta l, se esiste una piegatura passante per $p_2$ che porti $p_1$ su l, allora tale piegatura può essere costruita.
* Dati due punti $p_1$ e $p_2$ e due rette $l_1$ e $l_2,$ se esiste una piegatura che porti $p_1$ su $l_1$ e $p_2$ su $l_2.$ allora tale piegatura può essere costruita.
* Dati un punto p e due rette $l_1$ e $l_2,$ esiste sempre una piegatura perpendicolare a $l_2$ che porti p su $l_1.$

Si può notare che l'assioma (5) può avere zero, una o due soluzioni, mentre l'assioma (6) può averne zero, una, due o tre. In questo modo, le costruzioni geometriche che ne risultano sono più forti delle costruzioni con riga e compasso, dove il numero massimo di soluzioni di un assioma è due. Per questo motivo le costruzioni con riga e compasso possono risolvere al massimo equazioni di secondo grado, mentre le costruzioni per mezzo di origami possono risolvere anche equazioni di terzo grado.

## Dettagli

### Assioma 1

Dati due punti $p_1$ e $p_2,$ esiste un'unica piegatura che passi per entrambi.

In forma parametrica, l'equazione della retta passante per i due punti è:

    $F(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1})$

### Assioma 2

Dati due punti $p_1$ e $p_2,$ esiste un'unica piegatura che porti $p_1$ su $p_2.$

Questo assioma è equivalente a trovare l'asse del segmento $p_1p_2.$ Ciò può essere fatto in quattro passi:

* Usare l'Assioma 1 per trovare la linea tra $p_1$ e $p_2,$ data da $P(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1})$
* Trovare il punto medio $(p_{mid})$ di P(s)
* Trovare il vettore $v^{perp}$ perpendicolare a P(s)
* L'equazione parametrica della piegatura è quindi:

    $F(s)=p_{\mathrm {mid} }+s\cdot \mathbf {v} ^{\mathrm {perp} }$

### Assioma 3

Date due linee rette $l_1$ e $l_2,$ esiste sempre una piegatura che porti $l_1$ su $l_2.$

Questo assioma equivale a trovare la bisettrice dell'angolo compreso tra $l_1$ e $l_2.$ Chiamiamo $p_1$ e $p_2$ due punti qualsiasi su $l_1,$ e $q_1$ e $q_2$ due punti qualsiasi su $l_2.$ Inoltre, chiamiamo u e v i versori che identificano le direzioni rispettivamente di $l_1$ e di $l_2.$ Si ha quindi:

    $\mathbf {u} =(p_{2}-p_{1})/\left|(p_{2}-p_{1})\right|$
    $\mathbf {v} =(q_{2}-q_{1})/\left|(q_{2}-q_{1})\right|$

Se le due linee non sono parallele, il loro punto di intersezione è:

    $p_{\mathrm {int} }=p_{1}+s_{\mathrm {int} }\cdot \mathbf {u}$

dove

    $s_{int}={\frac {-v^{\perp }\cdot (p_{1}-q_{1})}{-\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }}$

La bisettrice di una delle bisettrici è data da:

    $\mathbf {w} ={\frac {\left|\mathbf {u} \right|\mathbf {v} +\left|\mathbf {v} \right|\mathbf {u} }{\left|\mathbf {u} \right|+\left|\mathbf {v} \right|}}$

E l'equazione parametrica della piegatura è quindi:

    $F(s)=p_{\mathrm {int} }+s\cdot \mathbf {w}$

Esiste anche una seconda bisettrice, perpendicolare alla prima e passante per $p_{int}.$ Piegare lungo questa seconda bisettrice porterà comunque al risultato desiderato di portare $l_1$ su $l_2.$ Può non essere possibile eseguire l'una o l'altra tra queste piegature, a seconda della posizione del punto di intersezione

Se le due linee sono parallele, non hanno intersezioni. La piegatura dovrà essere la linea mediana tra $l_1$ e $l_2,$ parallela ad esse.

### Assioma 4

Dati un punto $p_1$ e una retta $l_1,$ esiste un'unica piegatura perpendicolare a l che passi per il punto p.

Questo è equivalente a trovare una perpendicolare a $l_1$ che passi per $p_1.$ Se troviamo un vettore v perpendicolare a $l_1,$ allora l'[equazione parametrica] della piegatura sarà:

    $F(s)=p_{1}+s\cdot \mathbf {v}$

### Assioma 5

Dati due punti $p_1$ e $p_2$ e una retta l, se esiste una piegatura passante per $p_2$ che porti $p_1$ su l, allora tale piegatura può essere costruita.

Esempio in cui non ci sono soluzioni: i punti $p_1$ e $p_2$ si trovano su una retta perpendicolare a l e la distanza di $p_2$ da l è maggiore della distanza di $p_1$ da l.

### Assioma 6

Dati due punti $p_1$ e $p_2$ e due rette $l_1$ e $l_2,$ se esiste una piegatura che porti $p_1$ su $l_1$ e $p_2$ su $l_2,$ allora tale piegatura può essere costruita.

Esempio in cui non ci sono soluzioni: le due rette $l_1$ e $l_2$ sono parallele, i punti $p_1$ e $p_2$ si trovano su una retta perpendicolare a $l_1$ e $l_2,$ dalla stessa parte del piano rispetto alle due rette e la distanza di $p_1$ da $l_1$ è uguale alla distanza di $p_2$ da $l_2.$

Questo assioma equivale a trovare una retta che sia contemporaneamente tangente a due parabole, e può essere considerata equivalente alla risoluzione di un'equazione di terzo grado. Le due parabole hanno fuochi rispettivamente in $p_1$ e $p_2,$ con direttrici definite da $l_1$ e $l_2.$

### Assioma 7

Dati un punto p e due rette $l_1$ e $l_2,$ esiste sempre una piegatura perpendicolare a $l_2$ che porti p su $l_1.$

Koshiro Hatori ha scoperto questo assioma, e Robert Lang ha dimostrato che completa la lista degli assiomi dell'origami.

