Legge della varianza totale
# Legge della varianza totale

La legge della varianza totale è un teorema della teoria della probabilità, che afferma che se $x$ e $y$ sono variabili casuali definite sul medesimo spazio di probabilità, e la varianza di $x$ è finita, allora:

       $\ \sigma ^{2}(x)=\mathbb {E} [\sigma ^{2}(x|y)]+\sigma ^{2}(\mathbb {E} [x|y])$

dove $\mathbb {E} [x|y]$ è il valore atteso condizionato di x, e $\sigma ^{2}(x|y)$ la varianza condizionata, ovvero:

       $\ \sigma ^{2}(x|y)=\mathbb {E} [(x-\mathbb {E} [x|y])^{2}|y]$

Dal punto di vista della statistica più che della teoria della probabilità, il primo termine è detto componente non spiegata della varianza totale, e il secondo è la componente spiegata; tale suggestiva terminologia si ricollega all'analisi del modello lineare, e in particolare al coefficiente di determinazione, o R².

## Dimostrazione

La legge della varianza totale può essere immediatamente dimostrata sfruttando la legge delle aspettative iterate, come segue.

       $\ \sigma ^{2}(x)=\mathbb {E} [x^{2}]-(\mathbb {E} [x])^{2}=$
       $\ =\mathbb {E} [\mathbb {E} [x^{2}|y]]-(\mathbb {E} [\mathbb {E} [x|y]])^{2}=$
       $\ =\mathbb {E} [\sigma ^{2}(x|y)]+\mathbb {E} [(\mathbb {E} [x|y])^{2}]-(\mathbb {E} [\mathbb {E} [x|y]])^{2}=$
       $\ =\mathbb {E} [\sigma ^{2}(x|y)]+\sigma ^{2}(\mathbb {E} [x|y])$

## Relazione con il modello lineare

La legge della varianza totale presenta un'importante relazione con il modello di regressione lineare. Nel caso univariato, il modello lineare può essere enunciato come:

       $\ \mathbb {E} [x|y]=\alpha +\beta y$

Si ha in tal caso che il rapporto di covarianza:

       $\ \beta ={\frac {\sigma (y,x)}{\sigma ^{2}(y)}}$

Ma allora, la componente spiegata della varianza totale altro non è che:

       $\ \sigma ^{2}(\mathbb {E} [x|y])=\beta ^{2}\sigma ^{2}(y)={\frac {\sigma ^{2}(y,x)}{\sigma ^{2}(y)}}$

così che il rapporto tra l'espressione sopra e $\ \sigma ^{2}(x)$ è il quadrato del coefficiente di correlazione tra $\ x$ e $\ y$:

    $\rho ^{2}(y,x)={\frac {\sigma ^{2}(\mathbb {E} [x|y])}{\sigma ^{2}(x)}}={\frac {\sigma ^{2}(y,x)}{\sigma ^{2}(y)\sigma ^{2}(x)}}$

Tale grandezza corrisponde in effetti al coefficiente di determinazione R². È possibile ottenere un'analoga relazione nel caso multivariato.

## Estensioni ai momenti di ordine superiore

Esistono relazioni analoghe alla legge della varianza totale e alla legge delle aspettative iterate per i momenti centrali di ordine superiore. Ad esempio, con riferimento al momento centrale di ordine 3, si ha:

       $\ \mu _{3}(x)=\mathbb {E} [\mu _{3}(x|y)]+\mu _{3}(\mathbb {E} [x|y])+3\sigma (\mathbb {E} [x|y],\sigma ^{2}(x|y))$
