Teorema di esistenza di Peano
# Teorema di esistenza di Peano

In matematica, in particolare nell'ambito delle equazioni differenziali ordinarie, il teorema di esistenza di Peano (detto anche teorema di Peano, o teorema di Cauchy-Peano, secondo una denominazione che fa riferimento a Giuseppe Peano e Augustin-Louis Cauchy) è un importante enunciato che garantisce l'esistenza di soluzioni per un dato problema ai valori iniziali.

## Il teorema

Sia $D$ un sottoinsieme aperto di $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$, sia $f\colon D\to \mathbb {R}$ una funzione continua e si consideri un'equazione differenziale ordinaria esplicita del prim'ordine definita su $D$:

    $y'(x)=f\left(x,y(x)\right)$

Allora ogni problema ai valori iniziali per $f$:

    $y\left(x_{0}\right)=y_{0}$

con $(x_{0},y_{0})\in D$, possiede una soluzione locale $z\colon I\to \mathbb {R}$, dove $I$ è un intorno di $x_{0}$ in $\mathbb {R}$, tale che:

    $z'(x)=f\left(x,z(x)\right)$

per tutti gli $x\in I$.

La soluzione può non essere unica, in quanto lo stesso valore iniziale $(x_{0},y_{0})$ può dare origine a diverse soluzioni $z$.

## Altri risultati

Un risultato correlato con il teorema di Peano è il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy, che assume che $f$ sia una funzione lipschitziana rispetto al secondo argomento e giunge a concludere per l'esistenza e l'unicità di una soluzione (mentre l'enunciato di Peano mostra soltanto l'esistenza). Ad esempio, si consideri l'equazione:

    $y'=\left\vert y\right\vert ^{\frac {1}{2}}$

nel dominio $\left[0,1\right]$. Per il teorema di Peano questa equazione ha soluzioni, ma non si può applicare il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy in quanto il membro di destra non è lipschitziano in un intorno dell'origine: la soluzione non è unica.

Una generalizzazione significativa si ottiene con il teorema di esistenza di Carathéodory, che richiede condizioni più deboli per $f$. Tali condizioni sono però soltanto sufficienti.

