Teorema di Rellich-Kondrakov
# Teorema di Rellich-Kondrakov

In matematica, il teorema di Rellich-Kondrachov è un risultato relativo all'immersione compatta in spazi di Sobolev. Il nome del teorema è dovuto a Franz Rellich e Vladimir Iosifovich Kondrashov: Rellich mostrò il teorema in spazi $L^{2}$, mentre Kondrashov fornì il caso di $L^{p}$.

## Enunciato

Sia $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ un dominio lipschitziano aperto e limitato, e sia $p\in \mathbb {R}$. Sia

    $p^{*}:={\frac {np}{n-p}},$

allora

* se $1\leq p<n$, lo spazio di Sobolev $W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} )$ è immerso con continuità nello spazio $L^p$ $L^{p^{*}}(\Omega ,\mathbb {R} )$, ed è immerso con compattezza nello spazio $L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} )$, per ogni $1\leq q<p^{*}$: $W^{1,p}(\Omega )\hookrightarrow L^{p^{*}}(\Omega )\qquad W^{1,p}(\Omega )\subset \subset L^{q}(\Omega )\quad 1\leq q<p^{*};$
* se p=n, lo spazio di Sobolev $W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} )$ è immerso con compattezza nello spazio $L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} )$, per ogni $1\leq q<\infty$: $W^{1,p}(\Omega )\subset \subset L^{q}(\Omega )\quad 1\leq q<\infty ;$
* se p>n, lo spazio di Sobolev $W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} )$ è immerso con compattezza nello spazio $C({\bar {\Omega }},\mathbb {R} )$: $W^{1,p}(\Omega )\subset \subset C({\bar {\Omega }})\quad 1\leq q<\infty ;$

## Conseguenze

Dal momento che un'immersione è compatta se e solo se l'operatore di inclusione è compatto, il teorema di Rellich-Kondrakov implica che ogni successione uniformemente limitata in $W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} )$ possiede una sottosuccessione convergente in $L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} )$. Enunciato in tal modo, questo risultato è conosciuto come teorema "di selezione" di Rellich-Kondrakov.

Il teorema di Rellich-Kondrakov può essere utilizzato per dimostrare la disuguaglianza di Poincaré, che afferma che per $u\in W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} )$ (dove $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ soddisfa le medesime assunzioni poste in precedenza):

    $\|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}$

per qualche costante $C$ dipendente soltanto da p e dalla geometria del dominio $\Omega$, dove:

    $u_{\Omega }:={\frac {1}{\mathrm {meas} (\Omega )}}\int _{\Omega }u(x)\,\mathrm {d} x$

denota il valor medio di $u$ su $\Omega$.

