Processo di Poisson composto
# Processo di Poisson composto

In calcolo delle probabilità, un processo di Poisson composto è un processo stocastico a tempo continuo su $\mathbb {N}$ che compie dei salti la cui legge è associata a quella di un processo di Poisson, ma la cui lunghezza è determinata da una certa distribuzione scelta in precedenza.

## Definizione

Un processo di Poisson composto $\{Y(t):t\geq 0\}$ è un processo stocastico definito da

    $Y(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}D_{i}$

Dove $\{N(t):t\geq 0\}$ è un processo di Poisson di parametro λ e $\{D_{i}:i\geq 1\}$ sono variabili aleatorie indipendenti su $\mathbb {N}$, tutte con la stessa distribuzione D indipendente da $N(t)$

Un esempio può chiarire il concetto: consideriamo il numero dei tifosi che arrivano allo stadio a bordo di autobus dedicati.

$Y(t)$ misura il numero dei tifosi pervenuti nel tempo $t$, il processo di Poisson $N(t)$ conta il numero degli autobus giunti nel tempo $t$ mentre la variabile $D_{i}$ è il numero dei tifosi che ogni autobus trasporta.

La quantità di tifosi trasportati da ogni autobus e il numero di autobus che arrivano sono variabili indipendenti, ciascuna con la propria distribuzione (che per il numero di autobus è la distribuzione di Poisson).

## Proprietà

* Il valore atteso del processo è dato da

    $\mathbb {E} (Y(t))=\lambda t\mathbb {E} (D)$
* La varianza del processo è data da

    $\operatorname {Var} (Y(t))=\lambda t\mathbb {E} (D^{2})$
* La funzione generatrice dei momenti è data da

    $\mathbb {E} (e^{sY})=e^{\lambda t\left(M_{D}(s)-1\right)}$

dove $M_{D}(s)$ è la funzione generatrice dei momenti di D

