{"word_count": 373, "character_count": 2865}
Comme je l'avais énoncé rapidement à la fin du chapitre sur les intervalles de confiance, il existe une forme de dualité entre tests et intervalles de confiance. Par exemple, si on considère un test sur la moyenne, de la forme contre  dans un modèle Gaussien, , la région d'acceptation (de niveau ) sera de la formec'est à dire siAussi, pour qu'une valeur  soit acceptée avec un niveau  (erreur de première espèce associée à un test bilatéral), une condition nécessaire et suffisante est que  appartienne à l'intervalle de confiance (symétrique) centré sur la moyenne empirique.Il y a ainsi dualité entre deux conceptsprendre une valeur acceptée pour un test bilatéral de niveau prendre une valeur appartenant à l'intervalle de confiance symétrique de niveau 1-Considérons par exemple le test asymptotique du rapport de vraisemblance (évoqué ici), dont la région d'acceptation sera de la formeÉtant donné un échantillon , l'intervalle de confiance pour  estNumériquement, reprenons l'exemple du jeu de pile ou face abordé ici.&#62; n=20; alpha=.05&#62; X=sample(0:1,size=n,replace=TRUE)&#62; neglogL=function(p){-sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))}&#62; pml=optim(fn=neglogL,par=0.5,method="BFGS")$parWarning messages:1: In dbinom(x, size, prob, log) : NaNs produced2: In dbinom(x, size, prob, log) : NaNs produced&#62; p=seq(0,1,by=.01)&#62; logL=function(p){sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))}&#62;&#62; TLR=function(p0){2*(logL(pml)-logL(p0))&#60;qchisq(1-alpha,df=1)}&#62; (IC=sapply(p,TLR))[1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE[13] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE[25] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE  TRUE  TRUE[37]  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE[49]  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE[61]  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE[73]  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE[85] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE[97] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE&#62; c(p[min(which(IC==TRUE))],p[max(which(IC==TRUE))])[1] 0.34 0.75Graphiquement, on visualise l'intervalle de confiance (à 95%) entre les deux traits verticaux.De manière duale, à partir d'un intervalle de confiance  pour , on peut construire un test. Si  appartient à , on accepte H_0,  sinon on rejette cette hypothèse. Par construction,Par exemple l'intervalle de confiance usuel - à 95% - pour une proportion est de la forme suivanteSi  appartient à cet intervalle, on accepte  (contre l'hypothèse bilatérale ).&#62; a=mean(X)-1.96/sqrt(n)*sqrt(mean(X)*(1-mean(X)))&#62; b=mean(X)+1.96/sqrt(n)*sqrt(mean(X)*(1-mean(X)))&#62; c(a,b)[1] 0.3319638 0.7680362La région entre les deux traits verticaux est la région d'acceptation.