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En cours, nous avons poursuivi sur la loi multinomiale, et le test du chi-deux. Je voulais mettre un petit billet pour récapituler les différents points, et montrer une application numérique (nous reviendrons en détails mercredi sur des applications des outils vus jusqu'à présent).Inférence avec la loi multinomialeOn suppose qu'une variable  peut prendre  modalités, notées , avec . On poseraen notant que  appartient au simplexe de  au sens oùOn a vu que l'estimateur du maximum de vraisemblance s'obtenait en faisant un peu d'optimisation sous contrainte, et que(en reprenant les notations du cours). On avait montré queet on a vu(ce qui peut se retrouver en introduisant la variable binomiale ). Mais plus généralement, on finira les calculs permettant d'établir que, pour (ce qui permet d'obtenir la matrice de variance covariance de ).En utilisant le théorème central limite on peut montrer queSous une forme multivariée, on écriraoù  avec  et pour , .On notera que la somme de la ième colonne de  est .Aussi,  n'est pas inversible (c'est le fait que notre paramètre appartient au simplexe).Pour s'en sortir, la première idée est d'utiliser un peu d'algèbre linéaire. Une matrice  est une matrice de projection si elle est idempotente, i.e. . Ses valeurs propres sont alors 0 ou 1, et si  est le nombre de fois où 1 est valeur propre, et si , alors .Posons . AlorsOr compte tenu de la forme de ,qui est une matrice de projection dont la trace est  (qui est aussi le nombre de fois où 1 est valeur propre). DoncLe test du chi-deux sera basé sur le fait qu'asymmptotiquementUne autre idée consiste à construire  variables aléatoires qui seront indépendantes. Mais on peut plutôt regarder les applications de ce test, en particulier comme test d'indépendance.Pour information, Frank Yates a proposé un correction "pour continuité", ici. La statistique considérée est alorsRetour sur le théorème de CochraneSoit  de dimension . Posons , pour , où on notera  le rang de , en supposant que les  sont positives semidefinies, alors on a équivalence entre  pour ,les  sont des variables indépendantes.Les  s'interprètent comme des longueurs (euclidienne) de projections d'un vecteur Gaussien sur des sous-espaces orthogonaux (de dimension respective ). Si ces vecteurs sont indépendants, et suivent des lois du chi-deux à  degrés de libertés, avec , alors les sous-espaces sont orthogonaux, et supplémentaires. On peut y voir une espèce d'extension du théorème de Pythagore, en remplaçant la notion de vecteurs orthogonaux par des variables indépendantes suivant des lois du chi-deux, et la somme des carrés des longueurs devient la somme des degrés de liberté.Application comme test d'indépendanceConsidérons deux variables  pouvant prendre toutes les deux deux modalités (disons deux lois binomiales). On est alors face a une loi multinomiale à 4 modalités avec probabilité  avec probabilité  avec probabilité  avec probabilité Un test d'indépendance revient à tester si la loi multinomiale peut s'écrirepour des vecteurs  et . tels que  et . On a alors  contraintes sur les paramètres. Ces deux contraintes additionnelles font que la statistique de test s'écritqui va suivre asymptotiquement une loi  i.e.  d'après le théorème de Cochrane.Peine de mort pour les condamnées pour meurtre en Floride 1976-1987en fonction de la "race" du meurtrier et de la victime,meurtrier de "race blanche" et victime de "race blanche": 53 condamnés à mort, 414 non condamnés à mortmeurtrier de "race blanche" et victime de "race noire": 0 condamné à mort, 16 non condamnés à mortmeurtrier de "race noire"et victime de "race blanche": 11 condamnés à mort, 37 non condamnés à mortmeurtrier de "race noire"et victime de "race noire": 4 condamnés à mort, 139 non condamnés à mortOn peut alors faire des tests d'indépendance, entre la "race" du meurtrier et le verdict par exemple.MEURTRIER=matrix(c(53+0,11+4,414+16,139+37),2,2)VICTIME  =matrix(c(53+11,0+4,414+37,139+16),2,2)n=sum(MEURTRIER)(PROBMEUTR=MEURTRIER/n)           [,1]      [,2][1,] 0.07863501 0.6379822[2,] 0.02225519 0.2611276SL=rowSums(PROBMEUTR)SC=colSums(PROBMEUTR)(MEUTRINDEP=outer(SL, SC, "*"))           [,1]      [,2][1,] 0.07229966 0.6443176[2,] 0.02859055 0.2547922(Q=n*sum((PROBMEUTR - MEUTRINDEP)^2/MEUTRINDEP))[1] 1.468519(Qcorrec=n*sum((abs(PROBMEUTR - MEUTRINDEP)-.5/n)^2/MEUTRINDEP))[1] 1.144741pchisq(Qcorrec, (2-1)*(2-1), lower.tail = FALSE)[1] 0.2846528qchisq(.95, (2-1)*(2-1))[1] 3.841459chisq.test(MEURTRIER)Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correctiondata:  MEURTRIER X-squared = 1.1447, df = 1, p-value = 0.2847On rejette donc l'hypothèse d'indépendance.