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Un petit complément pour revenir sur un calcul fait hier, en classe, au tableau."Une police d’assurance couvre des pertes X et Y qui sont des variables aléatoires continues fonction dont on donne la densité conjointes. Trouver l’espérance du remboursement s’il est de X + Y avec un déductible de 1."Au tableau, je m'étais lancé dans des calculs un peu compliqué (notant que les variables étaient indépendantes, on pouvait utiliser la convolution pour trouver la loi de la somme facilement... mais on reviendra sur ce calcul plus tard). La solution la plus simple était la suivante: la loi de  admet pour densité . Le remboursement  est la variable aléatoireOn peut alors faire le calcul dei.e.soitVoilà pour la version simple (et finalement assez générale). Pour la version plus compliquéeautrement dit, on a obtenu que les deux composantes étaient indépendantes, et que  est uniformément distribuée sur . Aussi, pour la loi de la sommeet par indépendance,i.e.soitAussiPremière chose, on note quei.e.J'avais alors suggéré d'utiliser (en utilisant la propriété que pour une variable positive, l'espérance est l'intégrale de la fonction de survie) queOr cette expression n'est valide que pour une variable strictement positive ! Or ici, il y a de forte chance (1/3) que le remboursement soit nul. Le plus simple est alors de faire des calculs classiques d’espérance. Notons quedonc un peu de calcul de dérivées permet d'écrire  pour . On peut alors calculer l'espérance du remboursementsoitYoupi, avec plein de calculs, on arrive au même résultat...Faisons un peu de simulations pour vérifier,&#62; n=1000000 &#62; set.seed(1) &#62; X=sqrt(runif(n)) &#62; Y=runif(n)On peut vérifier par exemple la densité de  sur ,&#62; u=seq(1,2,by=.01) &#62; hist(X+Y,probability=TRUE,col="light blue") &#62; lines(u,u*(2-u),lwd=2,col="red")Si on regarde maintenant la prime pure, on retrouve le résultat obtenu par deux calculs différents,&#62; R=(X+Y-1)*(X+Y&#62;1) &#62; mean(R) [1] 0.2497528