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La théorie des réseaux, ou des graphs, est née en 1735, suite aux travaux de Léonard Euler, qui essayait de trouver une promenade - à partir d'un point donné - qui fasse revenir à ce point en passant une fois et une seule par chacun des sept ponts de la ville de Königsberg. On peut rapprocher ces réseaux des réseaux de métro, constitués de stations (les nœuds), liés entre deux par des rails, ou pas, ou plus généralement un réseau routier, pouvant donner lieu à des études de congestion, par exemple. Mais les réseaux sont aujourd’hui surtout sociaux, reliant les personnes, par des liens d’amitiés, professionnels, familiaux, ou monétaires. L’analyse des réseaux permet de créer des communautés relativement homogène, acceptant de partager un risque, recréant une mutualisation.Réseau et créditEn généalogie, on aura des réseaux hiérarchiques, un enfant étant lié à ses parents, eux-mêmes reliés à leurs parents. En sociologie, les réseaux sociaux permettent d’analyser les liens entre des individus (ou des organisations) au sein d’un ensemble. On pourra étudier les amitiés dans une cour d’école (un lien pouvant être une invitation à un anniversaire) ou des échanges de messages électroniques dans une entreprise (la base des courriels d’Enron a ainsi été abondamment utilisée, avec plus de 180 000 messages échangés entre 36 000 employés[i]). La Figure 1 montre ainsi deux réseaux de 20 individus (A, B, …, T).Figure 1 : réseaux aléatoires, 20 nœuds (Watts-Strogatz et Barbasi),Dans une vision de type Facebook ou Linkedin, on dira que E et F sont liés, au sens « amis », s’il existe un segment reliant les points E et F. Un réseau peut être dirigé, par exemple si on étudie les échanges de messages (E a écrit à F), ou des prêts d’argent (E a prêté de l’argent à F). Si historiquement seule l’adjacence était étudiée (existence ou non de liens), on peut aujourd’hui rajouter des poids, par exemple le montant d’un prêt financier. Babutsidze (2012) étudie ainsi les positions de banques françaises et allemandes dans les prêts interbancaires au sein de la zone Europe (les nœuds sont alors les banques). L’étude des réseaux au sein de communautés de villages dans les pays en développement a permis de mieux comprendre les mécanismes de finance informelle. Banerjee et al. (2013) étudient ainsi la diffusion de l’information dans un réseau, et plus particulièrement les prêts de microfinance.Si les réseaux sont utiles pour mieux organiser le microcrédit, CNN notait en 2015 que Facebook permettait à des organismes de crédit d'utiliser le réseau social d'un emprunteur pour déterminer s'il représente un bon risque de crédit, ou pas. En particulier, si le score de crédit des amis était trop faible, une personne pouvait se voir refuser un crédit. Cette situation est dangereuse à cause de propriétés particulières des réseaux, et plus particulièrement le paradoxe des amis.Du tout petit monde au paradoxe des amisEn 1929, Frigyes Karinthy a émis l’hypothèse que toute personne sur terre pouvait être relliée à n’importe quelle autre par une succession de relations individuelles comprenant au plus 6 maillons. « Nous devrions sélectionner n'importe quelle personne du 1,5 milliard d'habitants de la planète, n'importe qui, n'importe où. Il paraît que, n'utilisant pas plus de cinq individus, l'un d'entre eux étant une connaissance personnelle, il pourrait contacter les individus choisis en n'utilisant rien d'autre que le réseau des connaissances personnelles ». Cette théorie des six poignées de main a vu son origine  dans une nouvelle littéraire. Il faudra attendre les travaux deMichael Gurevich dans les années 60, puis Stanley Milgram dix ans après, pour voir apparaître les premières tentatives de quantification de ces relations, sous le nom de « Small World Problem ». Si Leskovec &#38; Horvitz (2008) ont confirmé cet ordre de grandeur, via l’analyse de plusieurs milliards de messages échangés à l’aide de la plateforme Windows Live Messenger, plus récemment, Baghat et al. (2016) ont estimé que deux personnes quelconques sur Facebook étaient connectées par une moyenne de trois personnes et demi. Sur le réseau aléatoire de gauche, une personne a, en moyenne, 2 amis, alors qu’un ami pris au hasard a en moyenne 2.25 amis. Sur le réseau de droite, l’écart est encore plus important, car si là aussi une personne a, en moyenne, 2 amis, un ami pris au hasard aura en moyenne plus de 4 amis.Figure 2 : réseaux aléatoires, 500 nœuds (Watts-Strogatz et Barbasi)Ce paradoxe, observé en 1991 par le sociologue Scott Feld se démontre très facilement. Heuristiquement, on peut voir un lien avec la propriété probabiliste[latex display="true"]\frac{\mathbb{E}[X^2]}{\mathbb{E}[X]}=\mathbb{E}[X]+\frac{\text{Var}[X]}{\mathbb{E}[X]}&#62;\mathbb{E}[X][/latex]où le terme de gauche est le nombre d’amis de mes amis, divisé par mon nombre d’amis. La différence est d’autant plus grande que la dispersion du nombre d’amis est importante. Si le réseau de gauche est très dense, celui de droite en revanche possède une propriété de loi puissance : la distribution du nombre d’amis suit une loi en fonction puissance (ou loi de Zipf, ou de Pareto). La Figure 3 montre la distribution du nombre d’amis sur un réseau, dans double échelle logarithmique : la linéarité indique une distribution en fonction puissance. On retrouve ce genre de distribution dans un très grand nombre de réseaux, en particulier Facebook, comme l’a montré Wohlgemuth &#38; Matache (2014).Figure 3 : distribution du nombre d’amis sur des réseaux aléatoires simulés (Watts-Strogatz et Barbasi en rouge)L’interprétation classique est que certaines personnes sont centrales dans le réseau, avec un très grand nombre de connexions. Cette propriété est très connue en marketing (on parlera alors d’effet de pair, « peer effect ») mais elle a des impacts aussi en gestion des risques, ou en santé publique. Chrisakis &#38; Fowler (2010) ont ainsi montré que les épidémies de grippe peuvent être détectées près de deux semaines en avance, en surveillant l'infection dans un réseau social. En particulier, l'analyse de la santé des personnes centrales dans un réseau est « an ideal way to predict outbreaks, but detailed information doesn't exist for most groups, and to produce it would be time-consuming and costly ». Pour revenir à l’exemple du score de crédit, si ce dernier se trouve être corrélé aux nombres d’amis, le paradoxe des amis rend dangereuse l’utilisation du score des amis comme indicateur du risque d’un individu !L’importance de l’homophilieUn autre trait important des réseaux est la notion d’homophilie, introduite en 2001 en sociologie par deux articles importants, correspondant à la tendance à être connecté à ses semblables. McPherson et al (2001) partait du principe que la similitude engendre la connexion, et par conséquent, les réseaux personnels des gens sont homogènes sur de nombreuses caractéristiques sociodémographiques, comportementales et intrapersonnelles. Moody (2001) étudiait ainsi les amitiés dans les cours de récréations à l’école primaire, aux États-Unis, et plus particulièrement les amitiés interraciales. Easley &#38; Kleinberg (2010) présente ainsi de nombres conséquences de l’homophilie, allant de la constitution des tables lors de repas d’affaire, à l’attribution de crédit aux États-Unis. La mesure de l’homophilie revient à se demander, compte tenu de groupes préexistants (en fonction du genre, de l’âge, de la catégorie socioprofessionnelle, etc) comment se répartissent les liaisons, entre les groupes, ou à intérieur des groupes.Figure 4 : faible homophilie (en haut) et forte homophilie (en bas).Dans un contexte d’assurance, un actuaire cherche à créer des classes tarifaires, des groupes homogènes en termes de risques, suivant des variables explicatives (les variables dites tarifaires). Les personnes qui habitent au même endroit, qui conduisent les mêmes types de véhicules, et qui ont les mêmes caractéristiques, auront de fortes chances d’être dans la même classe. Mais si l’homophilie existe dans une population, un groupe tarifaire pourrait peut-être s’observer sur réseau d’amis. Pourquoi ne pas alors envisager de créer des groupes au sein d’un réseau ?Utiliser les réseaux en assuranceDans cet esprit, en 2010, Friendsurance a été lancé en Allemagne et compte en 2018 plus de 100000 assurés[i]. En France, une courte expérience d’assurance collaborative avait été lancée en 2015, avec Inspeer, proposant de mutualiser avec ses proches les franchises d’assurance dommage (en assurance auto ou habitation) entre amis. Ces types d’assurances collaboratives, parfois appelés assurance pair à pair – ou « peer-to-peer insurance » –  reposent sur la constitution de petits groupes par un courtier. Une partie des primes d'assurance versées est versée à un fonds collectif, l'autre partie à une compagnie d'assurance tierce. Les dommages mineurs subis par le preneur d'assurance sont d'abord pris en charge par ce fonds de groupe. Pour les sinistres dépassant la franchise, il est fait appel à l'assureur habituel. Un groupe peut être constitué par les assurés, formant un réseau social un peu comme Facebook. Dans ce modèle, la seule exigence est que tous les membres du groupe doivent avoir le même type d'assurance (par exemple une assurance responsabilité civile avec une assurance des frais juridiques).Comme le notait Schiller (2013), ce type de mécanisme a beaucoup de vertus, la première étant de diminuer les coûts, et le risque de fraude. On n’a en effet pas tendance à tricher sur le coût d’un sinistre lorsque le risque est porté par des membres de la famille, ou des amis. L’anonymat de la mutualité qui existe dans la loi des grands nombres disparait. Mais n’est-on pas en train de réinventer la version 2.0. des associations tontinières, avec le retour en force de la mutualisation des risques au sein de communautés soudées ?RéférencesJoshua Angrist. The perils of peer effects. Labor Economics, 30, 98-108, 2014Zakaria Babutsidze. Positions of French and German Banks in European interbank lending network. OFCE, Mars 2012.Abhijit Banerjee, Arun Chandrasekhar, Esther Duflo &#38; Matthew Jackson. Diffusion of Microfinance. Science, 341,Smriti Bhagat, Moira Burke, Carlos Diuk, Ismail Onur Filiz &#38; Sergey Edunov. Three and a half degrees of separation. Facebook Research, 2016.Ananya Bhattacharya. Facebook patent: Your friends could help you get a loan - or not. 4 août 2015, CNN,Nicholas Christakis &#38; James Fowler Social Network Sensors for Early Detection of Contagious Outbreaks. PLoS ONE. 5 (9): e12948. arXiv:1004.4792 2015David Easley &#38; Jon Kleinberg. Networks, Crowds, and Markets. Cambridge University Press. 2010.Scott Feld. Why your friends have more friends than you do, American Journal of Sociology, 96 (6): 1464–1477, 1991.Matthew Jackson. Social and Economic Networks. Princeton University Press, 2010.Jure Leskovec &#38; Eric Horvitz. Planetary-Scale Views on a Large Instant-Messaging Network. Microsoft Research, 2008.Miller McPherson, Lynn Smith-Lovin &#38; James Cook. Birds of a Feather: Homophily in Social Networks. Annual Review of Sociology. 27: 415–444, 2001.James Moody. Race, School Integration, and Friendship Segregation in America. American Journal of Sociology, 107 (3): 679-716, 2001.Wesley Perkins, Michael Haines &#38; Richard Rice. Misperceiving the college drinking norm and related problems: a nationwide study of exposure to prevention information, perceived norms and student alcohol misuse. Journal of Studies on Alcohol 66 (4) : 470-478, 2005.Ben Schiller. A Social Network For Insurance That Cuts Costs And Reduces Fraud. Fast Company, October 2013,Brad Walker. How Peer-to-Peer Companies Are Transforming the Insurance Sector. The Street, Avril 2016,Jason Wohlgemuth &#38; Mihaela Matache. Small-World Properties of Facebook GroupNetworks. Complex Systems, 23 (2014).[i] Les données complètes sont en ligne sur https://snap.stanford.edu/data/email-Enron.html[ii] https://www.friendsurance.com/ et https://www.inspeer.me/ respectivement