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Un tout petit complément sur l'utilité inverse, et l'exercice 2 de la PC de jeudi après midi.Tout  d'abord un petit rappel sur le théorème de l'enveloppe. Supposons que l'on cherche à maximiser une fonction (dite objectif)  qui dépend de paramètres , i.e. on chercheLa fonction  est alors la fonction optimale pour les paramètres  donnés. Soit   la valeur optimale en , fonction du paramètre  , de telle sorte queLe théorème de l'enveloppe nous permet de voir comment  varie lorsque le paramètre change, et plus particulièrement, on aAutrement dit, la dérivée de  suivant  ri est donnée par la dérivée partielle de suivant ri, lorsqu'on l'évalue en .Notons qu'il existe aussi une version un peu plus générale qui autorise un programme d'optimisation avec contrainte.Supposons que l'on s'intéresse àdont le Lagrangien s'écritoù de manière classique  est l'ensemble de multiplicateurs de Lagrange oùLe théorème de l'enveloppe permet d'écrireL'autre point important de la PC était le principe de dualité dans les programme d'optimisation, que j'avais abordé ici.Bref, tout ça permet d'introduire la notion d'utilité inverse et de demande Hicksienne. Pour reprendre calmement cette partie (en s'inspirant d'une page de wikiversité sur le sujet), le programme classique visait à chercher où la contrainte budgétaire s'écrit classiquementLa solution est alors notée  (on parle de demande Marshalienne). Je passe rapidement sur le programme d'optimisation de l'agent, mais nous avions vu que le taux marginal de substitution était égal au rapport des prix. En effet, le Lagrangien s'écrit ce qui donne de conditions du premier ordre de la forme .L'idée maintenant est d'injecter les fonction de demande dans la fonction d'utilité, ce qui permet d'obtenir la fonction d'utilité inverse Une manière alternative d'étudier ce problème est de regarder le programme dual (on a supposé la fonction d'utilité convexe), i.e on cherche à trouver le panier de bien le moins cher possible nous procurant une utilité au moins égale à une utilité minimale, i.e. on cherche à résoudre La solution de ce programme d'optimisation  est appelée demande hicksienne. On peut alors considérer la fonction de dépense minimale,Le lemme de Shepard permet d'écrire: Ce résultat se montre finalement assez simplement: en effet, par constructiondont un calcul de dérivée rapide permet d'écrite Rappelons que la condition de premier ordre s'écritComme en , nous sommes à un optimum, on en déduit et doncet comme  c'est que  la somme rouge est nulle. D'où le lemme dit de Shepard.Les théorèmes de dualité permettent d'obtenir un certain nombre de résultats, parmi lesquelsEnfin, en appliquant le théorème de Slutsky, on écritce qui s'écrit encoreBref, on retrouve ici ce qu'on avait fait en PC.Mais si ça n'est toujours pas plus clair, il y a des notes de cours de Michael Manove, à Boston University, sur "indirect utility" et "duality", dont les slides sont ici. Il y a également des compléments mathématiques, dont le théorème de l'enveloppe (Prop. 21.2) ou le théorème de Kuhn-Tucker (Prop.21.13), ici.On pourra aussi trouver en ligne l'article de Lawrence Blume sur la dualité pour le dictionnaire Palgrave d'économie, ici. Larry a aussi écrit l'article sur la programmation convexe, diponible là.Sinon je mets ici les exercices des deux prochaines PC.