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Un billet rapide pour préciser le fond de ma pensée lorsque j'explique aux étudiants (qui travaillent sur leur devoir) que sur les bases de données avec beaucoup d'observations, il est très dur d'accepter l'hypothèse de normalité.Pour ça, simulons des jeux de données: on a une seule variable explicative, un bruit gaussien, homoscédastique. Mais on va mal spécifier le modèle. En particulier, le vrai modèle ne sera pas linéaire. Voilà ce qu'on simule, et que l'on va chercher à ajuster.n=50X1=runif(n)epsilon=rnorm(n)Y=-2+8*X1-4*(X1&#60;.2)+epsilonbase=data.frame(Y,X1)reg=lm(Y~X1,data=base)Autrement dit, les résidus (du modèle linéaire) ne devraient pas être gaussiens, car on n'ajuste pas le bon modèle. Maintenant, mon point est le suivant: avec peu de données, la plupart des tests de normalité ne vont pas rejeter l'hypothèse de normalité. Alors qu'avec beaucoup de données, l'hypothèse de normalité sera presque toujours rejetée.Prenons par exemple le test Lillie, évoqué dans un vieux billet, qui est une adaptation du test de Kolmogorov-Smirnov quand on compare la distribution empirique avec la loi normale dont les paramètres ont été obtenues par maximum de vraisemblance. Sur le graphique ci-dessous, à gauche, on a en abscisse la taille de l'échantillon (qui va de 10 à 1000), et en ordonnée la p-value du test Lillie. Ou plus précisément, la courbe bleue est la région où s'est trouvée la p-value dans 90% des cas (la courbe supérieure étant le quantile à 95% de la p-value sur 10,000 échantillons simulés). La courbe rouge est la valeur moyenne de la p-value. A droite, on a - toujours en fonction de la taille de l'échantillon - la proportion des échantillons simulés pour lesquels la p-value était supérieure à 5%.Autrement dit, plus la taille de l'échantillon est grande, plus on a de chance de rejeter (fort justement d'ailleurs) l'hypothèse de normalité. Et ce, uniquement sur un effet taille. Ou pour être plus rigoureux, sur les petits échantillons, on accepte beaucoup trop souvent (à tort cette fois) l'hypothèse de normalité.On peut aussi regarder le test de Shapiro-Wilkou d'Anderson-Darling,ou encore de Cramér-von MisesLe code R pour faire ces tests est relativement simple,X1=runif(n)Y=-2+8*X1-4*(X1&#60;.2)+rnorm(n)base=data.frame(Y,X1)reg=lm(Y~X1,data=base)AD[n,i]=ad.test(residuals(reg))$p.valueSW[n,i]=shapiro.test(residuals(reg))$p.valueCV[n,i]=cvm.test(residuals(reg))$p.valueLL[n,i]=lillie.test(residuals(reg))$p.valuePour ceux qui veulent aller plus loin, se cache derrière la notion de puissance du test...