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Il y a quelque temps, Olivier Gergaud était venu à Rennes présenter son papier Stardom and Perceived Talent.Nous en avions profité pour discuter un peu d'un ancien papier qu'il avait fait sur les Pokemon (ici). Il faut avouer que je suis un peu jaloux car il essaye de répondre à une question que je me posais: le prix des cartes Pokemon a-t-il un lien avec les "pouvoirs" de la carte ou sa rareté.Mais aujourd'hui je voulais répondre à une question simple que je me pose depuis que mon fils me dit (sans grand succès) "Papa, achète moi des cartes Pokemon" (ou "Naruto", ou je ne sais quoi encore). Mon argument, en tant que père rationnel, est que ces cartes couchent très chers. Aujourd'hui, je vais le prouver. Supposons qu'il existe 200 cartes distinctes, et que ces cartes sont vendus 5 euros le paquet de 10. Pour simplifier, supposons que ces cartes soient vendues individuellement dans des cachés hermétiques à 50 centimes pièce. On va supposer que les cartes soient équi-réparties. Supposons que je puisse acheter une vignette spécifique (par exemple en ligne), dont je connais le personnage, pour 1 euro (soit le double du prix si le personnage est inconnu à l'achat). Quelle stratégie doit-je adopter ? et combien ça va me coûter ?Je note  le nombre de carte total (ici 200 car je suppose qu'il existe 200 personnages). Je note  le coût d'une carte cachée (50 centimes ici) et  le coût d'une carte non-cachée (1 euro). Supposons que j'ai à en ma possession les cartes  (et que je n'ai pas les suivantes). Si je veux récupérer une nouvelle carte (que je noterais ), en achetant au hasard i.e. dans des sachets hermétiques, le nombre de cartes à acheter est , qui suit une loi géométrique, de paramètre , oùPar exemple, si j'ai cartes, et qu'il m'en manque simplement une, alors la probabilité de la tirer estPour revenir au tirage d'une nouvelle carte que je n'avais pas (alors que j'en ), le coût moyen de ma stratégie estJ'ai donc intérêt à acheter cette carte directement dès lors quece qui devient intéressant dès lors que Dans mon exemple numérique,  étant le double de , je commence à acheter directement dès lors que j'ai en ma possession 100 cartes distinctes. Le coût moyen est alorsAussi, dans le cas que j'évoquais, on obtient 171€,&#62; .5*sum(200/(200-(1:101)-1))+1*(200-101+1)[1] 171.0933Je peux comparer à deux stratégies que l'on connaît. La première est de tout acheter à un collectionneur (i.e. à découvert, ce qui limite l'intérêt du "jeu", j'en conviens). Dans ce cas, le coût total serasoit 200€. L'autre stratégie est d'acheter continuellement des paquets clos chez mon buraliste. Dans ce cas, le coût moyen seraitLe calcul exact donne ici 587,80€, comme  le montre le calcul ci-dessous,&#62; 0.5*200*sum(1/1:200)[1] 587.8031mais on peut aussi utiliser une approximation de la forme(ce qui donnerait 529€ environ). Pour ceux qui ont besoin de voir pour croire, j'ai représenté ci-dessous le prix en fonction du moment où je décide de passer des cartes fermées aux cartes visibles.Ça y est, j'ai enfin un argument rationnel à faire valoir à mon fils.... même si je ne suis pas certain de réussir à le convaincre aussi facilement...