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La semaine passée, en cours, j'avais rappelé que quand  décrivait le compte de  variable multinomiales prenant  modalités, la variablesuit asymptotiquement une loi . Et plus généralement, on peut montrer que . Le soucis est que la matrice de variance covariance n'est pas la matrice identité. Pire que ça, elle n'est pas diagonale. Encore pire, elle n'est pas inversible.On ne peut alors pas utiliser le joli résultat qui nous dit que si , alors  suit une loi du chi-deux à  degrés de liberté (dimension du vecteur ). Car il faut que  soit inversible. Or ici, je pense qu'on peut montrer que(à un facteur  près). Et comme on a une loi de probabilité, le terme de droite est nul. Bref,  et son inverse n'existe alors pas. Cela dit,  n'est valeur propre qu'une fois, d'où la dimension  qui apparaît sans cesse (à condition que les  soient non-nuls, ce qui était une hypothèse dans la définition de la loi multinomiale : toutes les modalités existent vraiment).L'idée est alors de posersuit asymptotiquement une loi . Et plus généralement, là encore, .Ce qui est amusant, c'est que dans le cas binomiale (j'avais dit qu'il était intéressant de voir la loi multinomiale comme une généralisation de la loi binomiale),puisqueEt en fait, un peut de calculs rapides permettent de noter quede telle sorte que  alors que . Bref, c'est clairement sur cette dernière quantité qu'il faut travailler !Et là on fait des calculs.L'astuce est d'utiliser la formule de Stirlingalors pour soitet doncde telle sorte queOn peut alors faire des développements limités, en faisant interveniret non pas la version avec  au dénominateur. On peut alors réécrire la somme en faisant intervenir  termes (et non pas ), exactement comme dans les calculs faits dans le premier cours, avec les calculs de variances. Bref, un peu de calcul supplémentaire permet de montrer queC'est doncet non pasqui sera utilisée comme statistique de test par la suite.Pour utiliser le test du chi-deux comme test d'ajustement de loi, je pourrais reprendre l'exemple des buts lors des coupes du monde de Footballsoccer1982=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer1982")S82=(soccer1982$V1+soccer1982$V2)soccer1998=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer1998")S98=(soccer1998$V1+soccer1998$V2)soccer2010=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer2010")S10=(soccer2010$V1+soccer2010$V3)