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Lors du dernier cours de statistique, nous avons vu comme se construisent des tests, et comment on compare leur puissance. Considérons pour cela des observations [latex]\{x_1,\cdots,x_n\}[/latex] tirées suivant une loi uniforme [latex]\mathcal{U}([0,\theta])[/latex]. Et on se pose la question de savoir si l'hypothèse [latex]H_0:\theta\leq\theta_0[/latex] est rejetée, ou acceptée, avec [latex]\theta_0=1[/latex] par exemple. L'hypothèse alternative sera ici le complémentaire, autrement dit [latex]H_1:\theta&#62;\theta_0[/latex].Comme on l'a vu, la construction d'un test se fait en utilisant une statistique de test (ou plus simplement un estimateur du paramètre inconnu), avec [latex]\psi(\mathbf{x})=\mathbf{1}(\widehat{\theta}(\mathbf{x}))\leq c[/latex]. On prend la décision [latex]D_1[/latex] (consistant à rejeter [latex]H_0[/latex]) si [latex]\psi(\mathbf{x})=1[/latex], et la décision [latex]D_0[/latex] (consistant à 'accepter' [latex]H_0[/latex]) si [latex]\psi(\mathbf{x})=0[/latex].Le risque d'erreur de première espèce est basé sur [latex]\mathbb{E}[\psi(\mathbf{X})][/latex]. Si l'hypothèse [latex]H_0[/latex] est une hypothèse simple [latex]H_0:\theta=\theta_0[/latex], le risque d'erreur de première espèce est , soit [latex]\alpha=\mathbb{P}[\widehat{\theta}(\mathbf{X})&#62;c \vert X_1,\cdots,X_n\sim F_{\theta_0}][/latex] pour un seuil [latex]c[/latex]. On va déterminer le seuil [latex]c[/latex] de manière à ce que le risque de première espèce soit 5%.Pour cela, il nous fait un estimateur [latex]\widehat{\theta}[/latex] dont on connaîtrait la loi. Commençons par l'estimateur du maximum de vraisemblance. Rappelons que l'estimateur du maximum de vraisemblance est [latex]\widehat{\theta}=\max\{x_i\}[/latex]. Nous avons vu - dans la section sur les statistiques d'ordre - que [latex display="true"]\mathbb{P}[\max\{X_i\}]=\left(\frac{x}{\theta}\right)^n[/latex]pour [latex]x\leq\theta[/latex]. Aussi, pour un seuil [latex]c[/latex], [latex display="true"]\mathbb{P}[\widehat{\theta}&#62;c]=1-\left(\frac{c}{\theta}\right)^n[/latex]pour [latex]c\leq\theta[/latex]. Le risque de première espèce [latex display="true"]\alpha=\underset{\theta\leq\theta_0}{\max}\left\lbrace\mathbb{P}\big[\widehat{\theta}\geq c\vert X\sim F_{\theta}\big]\right\rbrace[/latex]soit [latex display="true"]\alpha=\underset{\theta\leq\theta_0}{\max}\left\lbrace1-\left(\frac{c}{\theta}\right)^n\right\rbrace[/latex]qui atteindra son maximum en [latex]\theta_0[/latex]. Aussi [latex display="true"]\alpha=1-\left(\frac{c}{\theta_0}\right)^n[/latex]soit [latex]c=\theta_0\cdot[1-\alpha]^{1/n}[/latex]. Les régions d'acceptation et de rejet sont les suivantes,Pour calculer l'erreur de seconde espèce, utilisons[latex display="true"]\beta=\mathbb{P}[D_0\vert H_1\text{vraie}][/latex] soit[latex display="true"]\beta=\left(\frac{c}{\theta}\right)^n=(1-\alpha)\left(\frac{\theta_0}{\theta}\right)^n[/latex]où [latex]\theta&#62;\theta_0[/latex] puisque nous sommes sous [latex]H_1[/latex]. La puissance du test, basé sur le maximum des observations (correspondant au maximum de vraisemblance), est alors [latex display="true"]1-\left(\frac{c}{\theta}\right)^n=(1-\alpha)\left(\frac{\theta_0}{\theta}\right)^n[/latex]On obtient graphiquementtheta=seq(1,3,by=.1)n=5puissance=1-(1-.05)*(1/theta)^nplot(theta,puissance,type="l",lwd=2,col="red")et on note que la puissance vaut [latex]\alpha[/latex] quand [latex]\theta\rightarrow\theta_0[/latex] et 1 lorsque [latex]\theta\rightarrow\infty[/latex].Et que se passe-t-il si on avait utilisé l'estimateur de la méthode des moments, et non plus l'estimateur du maximum de vraisemblance ? Rappelons que si [latex]U\sim\mathcal{U}([0,\theta])[/latex] alors [latex]\mathbb{E}[U]=\theta/2[/latex]. Aussi, l'estimateur de la méthode des moments est [latex]\widetilde{\theta}=2\overline{x}[/latex]. Le risque de première espèce est [latex display="true"]\alpha=\mathbb{P}(2\overline{X}&#62;c\vert X\sim F_{\theta_0})[/latex]Le soucis est que la loi de [latex]\overline{X}[/latex] n'est pas simple à obtenir, analytiquement. Mais on peut l'avoir par simulations.&#62; ns = 1e5&#62; n = 5&#62; X = matrix(runif(ns*n),ns,n)&#62; Xbar = apply(X,1,mean)&#62; hist(Xbar,probability=TRUE)&#62; lines(density(Xbar),lwd=2,col="red")La fonction de survie de [latex]\widehat{\theta}[/latex] s'approche avec la fonction de survie empirique, obtenue sur 100,000 simulations.&#62; x = seq(0,2,by=.001)&#62; y = Vectorize(function(t) mean(2*Xbar&#62;t))(x)&#62; plot(x,y,type="l")&#62; abline(h=.05,col="red",lty=2)On peut alors déterminer le niveau du seuil[latex]\alpha[/latex] valant 5% en utilisant le quantile empirique&#62; (c = quantile(2*Xbar,.95))95%1.427396Ce seuil permet de construire un test de risque de première espèce 5%. On peut alors calculer la puissance de ce test, numériquement,&#62; ns = 1e4&#62; Puissance = function(t){+ X = matrix(runif(ns*n,0,t),ns,n)+ Xbar = apply(X,1,mean)+ mean(2*Xbar &#62; c)}&#62; theta =s eq(1,3,by=.1)&#62; puissance = Vectorize(Puissance)(theta)&#62; lines(theta,puissance,type="l",lwd=2,col="blue")On a ainsi construit un test de même niveau que le précédant (risque de première espèce), mais de puissance plus faible, tout le temps.