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Avant de commencer les travaux pratiques de vendredi, quelques rappels sur les notions de convergence.Convergence en loiSoit  une suite de variables aléatoires, de telle sorte que  soit la fonction de répartition de . On dira que la suite  converge en loi vers la variable aléatoire  de loi  sien tout point de continuité de . On noteraLa convergence en loi est la forme la plus faible de convergence: en général, elle n'implique pas les autres formes de convergence que nous verrons, alors que ces autres formes de convergence impliquent la convergence en loi.De manière équivalente, on aura convergence en loi si et seulement si, pour toute fonction bornéeEn particulier, on aura convergence en loi si et seulement si on a convergence des fonctions génératrice en tout point.Convergence en probabilitéLa suite  converge en probabilité vers la variable aléatoire  sique l'on noteraParmi les résultats classiques, on a aussi que sietalors . C'est ce mode de convergence qui intervient dans la loi faible des grands nombres.si  est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées d'espérance  et de variance  et que l'on considére la moyenne empiriquealors   etDonc .Convergence presque sureLa suite  converge en probabilité vers la variable aléatoire  siou encoreque l'on noteraLa convergence presque sûre implique une convergence en probabilité.La convergence presque sûre est utilisée dans la loi forte des grands nombres.Convergences L1 et L2La suite  converge en norme L1 vers la variable aléatoire X siet on parlera de convergence en moyenne quadratique, ou L2, siConvergences et transformationsComme nous le (re)verrons vendredi matin, la transformation des variables aléatoires est un point fondamental en statistique. Soit  une fonction continue en tout point d'un ensemble  tel que , alorssi  alors si  alors si  alors Pour aller plus loin sur les notions de convergence, je renvois au livre de Adrianus Willem van der Vaart, Asymptotic Statistics, paru chez Cambridge University Press.TransformationsSinon sur les transformations, je devrais présenter (en cours) la formule classique de transformation d'une variable à densité par une fonction bijective et dérivable, . La formule est de la formeEn fait, si on se souvient que , ou , on peut aussi écrireL'intérêt de cette relation est qu'elle peut se généraliser en dimension quelconque. Si  (toujours avec une transformation bijective possédant un Jacobien  strictement positif), on aavec . Je peux renvoyer ici pour quelques compléments (et exemples). Mais nous reviendrons plus tard sur le cas multivarié...