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Afin d'illustrer un peu le cours, je mets en ligne ici. Il s'agit de coûts de sinistres ayant dépassé 1,000$ (qui ont été ordonnés de manière croissante). Pour importer la base en R, le code est simplement,&#62; X=read.table("http://freakonometrics.blog.free.fr/public/data/sinistres.txt")$x&#62; X [1] 1.003 1.016 1.023 1.027 1.037 1.039 1.0[13] 1.061 1.072 1.078 1.082 1.087 1.094 1.0[25] 1.110 1.112 1.117 1.132 1.138 1.141 1.1[37] 1.180 1.186 1.187 1.190 1.193 1.203 1.2[49] 1.321 1.326 1.338 1.342 1.343 1.344 1.3[61] 1.428 1.432 1.442 1.457 1.463 1.466 1.4[73] 1.551 1.553 1.566 1.584 1.632 1.695 1.6[85] 1.881 1.893 1.897 1.958 2.000 2.175 2.2[97] 3.045 3.103 4.495 5.614Pour information, l'histogramme ressemble à çaOn va supposer que l'on peut ajuster une loi de Pareto, dont la fonction de survie est donnée paret de densitéL'espérance estet la varianceEstimateur de la méthode des momentsNumériquement, on obtient&#62; mean(X)/(mean(X)-1)[1] 2.946827Estimateur du maximum de vraisemblanceOn peut écrire la vraisemblance, et on recherche - numériquement - la maximum (ou le minimum de l'opposé de la log-vraisemblance car la fonction recherche ici les minimum),&#62; f=function(x,a){+ a/x^(a+1)+ }&#62; LogV = function(a,echantillon){+ -sum(log(f(echantillon,a)))+ }&#62; optim(fn=LogV,par=2,echantillon=X,method="BFGS")$par[1] 2.845093Mais on aurait pu faire mieux... car ici le maximum de vraisemblance peut s'écrire analytiquement&#62; length(X)/(sum(log(X)))[1] 2.845093(tout va bien, on trouve pareil).Estimateur par régression linéaireOn peut noter quece qui veut dire qu'on peut tracer le nuage de points du log des couts, et s'ils sont alignés suivant une droite (passant par l'origine), la pente nous donnera un estimateur de notre paramètre. Le plus simple est de prendre la pente de la droite qui passe par l'origine, et par le centre de gravité du nuage,&#62; Z=X&#62; Y=log((length(Z):1)/length(Z))&#62; X=log(Z)&#62; plot(X,Y)&#62; -mean(Y)/mean(X)[1] 2.753414Estimation à l'aide de la médianeEnfin, notons que la médiane estUn estimateur naturel est alorsNumériquement, c'est alors tout simple,&#62; log(2)/log(quantile(X,.5))     50% 2.413719Moralité, on a quatre estimateurs, qui nous donne quatre valeurs numériques différentes2.94682.84512.75342.4137Pour ceux qui veulent trouver d'autres estimateurs (car on peut en construire des centaines), une référence intéressante est la suivante,Quandt, R. E. (1966). Old and new methods of estimation and the Pareto distribution, Metrika, 10, 55-82 (ici)Le but de la statistique mathématique est de mieux connaître les propriétés (fondamentales) de ces estimateurs afin de choisir le "meilleur". Et c'est un problème important, par exemple si on souhaite mettre en place un contrat de réassurance (et transférer les très grands sinistres). Par exemple si on veut transférer les sinistres dépassant 100,000$, la probabilité de dépasser ce seuil est 10 fois plus grande avec le dernier estimateur par rapport au premier...&#62; 1/100^2.4137[1] 1.48799e-05 &#62; 1/100^2.9468[1] 1.277615e-06Moralité, les résultats théoriques que l'on aborde en ce moment vont nous aider à résoudre des questions très pratiques.... à suivre.