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Il y a un an, l'anthropologue et quelques-un(e)s de ses relations en sciences humaines ouvraient un carnet de recherche qui avait comme sujet la réflexivité dans leurs travaux. Il fut nommé "Espaces réflexifs" puis bientôt supplanté par "la Villa réflexive". Un espace réflexif ? Hmm, ça me rappelle mes cours d'analyse fonctionnelle. Un rapide tour sur wikipédia suffit à rafraichir la mémoire mais je l'avoue, ça date et je ne saurais vraiment expliquer au néophyte l'intérêt d'un tel espace. Déjà, on sentait poindre le bout de son nez d'un petit jeu amusant, celui de donner un sens mathématique aux textes des sciences humaines et sociales. Le jeu inverse avait déjà été exploré. Il est vrai que les mathématiques empruntent le vocabulaire de la vie courante que l'on peut détourner à loisir. Cet article de Valerio Vassalo en est un exemple très amusant.Chaque fois que ma moitié finit d'écrire ses articles, que ce soit pour la Villa réflexive, ses autres carnets de recherche ou sa thèse, elle les relit à voix haute. J'écoutais d'une oreille mais un passage retint mon attention :"Mais un espace, c’est quoi ? J’aime beaucoup ces premiers mots donnés par le cnrtl : “Milieu idéal indéfini…” Un milieu, un environnement, un endroit dont on ne peut vraiment définir la forme et les contours mais dont on connait le lieu virtuel. C’est un espace numérique que l’on peut trouver sur le web à l’adresse suivante : http://reflexivites.hypotheses.org !1  C’est un milieu donc au milieu de nulle part ou peut-être de partout (enfin presque) : comment savoir ? Mais c’est un milieu idéal, rêvé, imaginé par une communauté. Et c’est ainsi que d’indéfini, cet espace se définit avec le temps et ses résidents. Cet espace ? Non, ces espaces ! Car, c’est ainsi qu’ils ont été définis à la base : pluriels ! Et pour cause ! Car à chaque mois et avec l’arrivée d’un nouveau résident, c’était un autre espace qui s’ouvrait à nous, un autre monde, un autre univers, un autre milieu, juste à côté du milieu précédent ou peut-être encore plus loin. Mais il était autre. Et c’est la singularité de chacun qui engendra cette pluralité des espaces. Des espaces idéaux… plus vraiment indéfinis car habités. Et en posant ses valises, le résident en dressait le nouveau décor."Messal, Stéphanie (26 décembre 2012) “Conte féérique pour Villa réflexive”. Espaces réflexifs [carnet de recherche]. Consulté le 13 Janvier 2013 - http://reflexivites.hypotheses.org/3577Espace, idéal, défini, indéfini, milieu, base, singularité... Mais ça parle de maths !!! ((En plus, elle fait référence à "Presque Partout".)) On ne pouvait pas laisser passer cette opportunité : c'était pile dans notre thématique. Me voilà donc au travail pour donner un sens mathématique à cet extrait.ExtraireLa première notion qui apparait est celle d'"espace". Un espace en mathématiques, c'est assez général et puis ce ne sont pas les types d'espace qui manquent. Pour l'instant, ça ne restreint pas trop le champs de recherche. En plus, nous sommes en présence d'un espace indéfini et flou. Vais-je devoir replonger dans mes cours de topologie ? La deuxième notion est celle d'"idéal". A ma connaissance, on parle des idéaux uniquement en algèbre. Me voilà déjà plus en terrain connu. Dans la suite du texte, les espaces sont d'un coup définis par une troisièmes notion : des "bases". Bases, idéal... mais ça sent la géométrie algébrique à plein nez ! Et puis, la dernière notion, celle de "singularités", qui apparait dans cet extrait me le confirme. Tout cela va m'amener à considérer la Villa réflexive comme une variété algébrique. Je décide de lui donner pour nom : "villariété" ! Cette villariété possède donc des singularités selon le texte : on dit donc que c'est une variété algébrique singulière. Le seul hic, c'est que les singularités ne sont pas trop mon fort, alors me voilà en quête d'aide. Je demande à mon ami et collègue V. quelques conseils.1er échange en date du 4 Janvier 2013date : Fri, Jan 4, 2013 at 12:44PMfrom: Florian Caullery &#60;...@gmail.com&#62;to: V. D. &#60;...@gmail.com&#62;Salut V. et bonne année !J'aurais besoin de tes lumières pour une question de géométrie. Stéphanie a écrit ce texte http://reflexivites.hypotheses.org/3577 et le troisième paragraphe utilise beaucoup de termes mathématiques. Elle m'a demandé de traduire ce que cela pourrait dire en mathématiques. Le problème, c'est que je n'y connais rien sur les singularités... Est-ce que toi tu pourrais tirer quelque chose de ce texte ?Merci de ton aide !Floriandate: Fri, Jan 4, 2013 at 6:46 PMfrom: V. D. &#60;...@gmail.com&#62;to: Florian Caullery &#60;...@gmail.com&#62;Ça me semble faisable de rentrer du contenu mathématiques dans ce paragraphe. Quand tu considères une variété sur un corps algébriquement clos, tu as une infinité de points et à chacun de ses points, tu associes son espace tangent qui est défini en quelque sorte par les dérivées au point des équations de ta variété (regarde le chapitre "local study" du cours de géométrie algébrique sur la page de James Milne ou...wikipédia). Tu as donc une infinité de ces espaces tangents. Maintenant, un point est dit régulier ou non-singulier, lorsque la dimension (en tant qu'espace vectoriel) de cet espace tangent est égal à la dimension (géométrique) de ta variété, et singulier sinon. Au final, tu as donc une "notion de groupe" qui est la dimension de ta variété, et un point est singulier s'il ne respecte pas cette "notion de groupe" dans le sens où sa "notion locale" diffère de la notion globale (i.e. de groupe). Une variété (c'est-à-dire au final un espace géométrique algébrique) est donc "idéale" (c'est-à-dire non-singulière, mais globalement cette fois) si tous ses points sont réguliers. Par contre, elle est "définie" par des équations. Mais un schéma qui généralise la notion de variété est en général un objet défini de manière totalement abstraite c'est-à-dire non spécifié par des équations, et en ce sens peut être vu comme "indéfini" (cf Hartshorne ou...wikipédia =D). La notion de point singulier s'étend aux schémas, donc au final tu as trouvé ton espace indéfini idéal. =)V.-2ème échange en date du 5 Janvier 2013date: Sat, Jan 5, 2013 at 10:06 AMfrom: Stéphanie Messal &#60;...@wanadoo.fr&#62;to: V. D. &#60;...@gmail.com&#62;cc: Florian Caullery &#60;...@gmail.com&#62;Hello !Bon alors, V., je ne voudrais pas te péter le moral mais... je n'ai rien compris ! Et Florian ne sait pas ce qu'est un schéma. Donc il dit qu'il est dans la merde.Dire qu'à la base, je voulais faire un truc simple : juste à partir du paragraphe pour faire une construction mathématiques. Que ça donne une équation ou une figure géométrique ou que ça fasse référence à un théorème, etc. Enfin quelque chose dans le genre... Donc au final, on est toujours au point zéro.Est-ce que tu crois qu'il te serait possible d'éclairer notre lanterne de façon plus... simple ? Ou sinon, mercredi je serai au labo avec Florian pour aller au CIRM : il y a la conférence d'ouverture pour les maths 2013. On pourra toujours en rediscuter à ce moment-là si tu préfèresMerci d'avance.Bises :^)Stéphaniedate: Sat, Jan 5, 2013 at 13:20 PMfrom: V.D. &#60;...@gmail.com&#62;to: Stéphanie Messal &#60;...@wanadoo.fr&#62;Tape "tangent space" sur google images, tu auras plein de dessins. Le premier représente la sphère de Riemann et son espace tangent à un point quelconque (attention, la sphère est "creuse"). C'est un objet de dimension 2 vu sur les réels, donc de dimension 1 si vu comme objet complexe : c'est P^1(C), la courbe rationnelle. Son espace tangent est un plan réel comme tu peux le voir sur le dessin, donc encore une fois un objet de dimension 1 comme C-espace vectoriel. Les dimensions coïncident donc le point est non-singulier. Évidemment ça marche pour tous les points de la sphère, donc elle est elle-même non-singulière. Mes explications d'hier ne traitent que la version plus générale de ce genre de phénomènes.Tu n'as pas besoin de savoir ce qu'est un schéma, la définition est compliquée. C'est juste que ça généralise la notion de variété.Ce que j'ai expliqué hier et aujourd'hui c'est de l'ultra classique en géométrie, ça fera de la bonne révision à floflo. =)Fais le bûcher jusqu'à ce qu'il soit capable de t'expliquer clairement. =DA mercredi alors ! =)V.Nous n'avions pas la même lecture car lui, essayait de garder cette notion d'indéfini alors que je l'avais oubliée dès lors que l'espace était devenu défini. En plus, j'avoue ma totale ignorance sur les schémas. ((Lorsque j'avais posé la question de leur utilité pour ma thèse à mon directeur, il me donna cette réponse : "Les schémas... Il y a des gens qui en font ici (en parlant de notre laboratoire) mais ça ne donne pas grand chose." Bon... je verrai ça quand j'aurai du temps.)) Je décide donc de rester avec ma villariété et ses singularités qui, pour reprendre l'idée de l'extrait, sont les auteurs de Villa.RésoudreComme vous avez pu vous en rendre compte dans les échanges de mails, Wikipédia est une assez bonne base de données mathématiques. Je  la consulte alors pour savoir ce que l'on peut faire de ces singularités. Très vite, deux choix s'imposent à moi :Soit on les éclate.Soit on les résoud (dans le cas plus général).Pas question d'aller "éclater" un quelconque auteur ! Quant à les résoudre... Cela fonctionne bien pour des singularités mathématiques mais pour des hommes... Quoiqu'il en soit, les deux méthodes répondent à ce même but : transformer une variété singulière en une autre non-singulière ou lisse comme on dit, en la plongeant dans un espace différent. Pourquoi résoudre ces singularités me direz-vous ? Parce qu'en mathématiques, une singularité est un point où une variété est mal définie : il y a quelque chose qui gêne, qui coince... On dit qu'elle se comporte mal. Par exemple, cette courbe en deux dimensions (à gauche sur le schéma ci-dessous) donne l'impression de passer deux fois par le point 0 (l'origine du repère). On dit qu'elle possède un point double. Ce point, différent des autres, est une singularité. Il est gênant car si l'on voulait représenter cette courbe avec un fil et rester toujours à la même hauteur, nous serions obligés de couper ce fil. Pour éliminer cette singularité, nous allons passer dans la troisième dimension (à droite sur le schéma). Nous voyons ainsi que la courbe ne passe plus deux fois par le même point : elle se déploie dans l'espace. Plus besoin de couper le fil ! Il suffisait de se déplacer dans une nouvelle direction pour changer son point de vue et ainsi de pouvoir percevoir cette courbe de façon lisse, c'est-à-dire, sans plus aucune singularité disgracieuse. Grâce à cette transformation, la courbe est parfaitement définie en tous points.Afin de mieux comprendre cette singularité, nous nous sommes déplacés d'un espace à un autre. Pour reprendre l'idée de Marie-Anne Paveau et de façon imagée, nous avons fait un "pas de côté". C'est ici que le parallèle avec les Espaces réflexifs prend tout son sens. A chaque nouvel invité, c'est un autre espace qui s'étend dans la Villa réflexive et rejoint ceux déjà présents. Et bien sûr, chaque auteur y pénètre avec ses singularités propres : doutes, remises en question, réflexions sur son travail de recherche, etc. Cette Villa contient désormais une pluralité d'espaces. ((Dont le nombre ira croissant dans le futur, nous le lui souhaitons.)) Tous ces espaces ainsi réunis sont autant de points de vue différents afin de mieux pouvoir appréhender toutes ces singularités, les exposant sous un angle nouveau mais aussi à d'autres regards.Si je devais définir la villariété : "C'est l'ensemble des éléments (environnement et auteurs) qui constituent la Villa réfléxive". Chaque auteur serait une singularité de cette variété et engendrerait une transformation de la Villa durant son séjour. A chaque nouvelle arrivée, la Villa se rapprocherait d'une variété lisse, c'est-à-dire qu'elle tendrait vers une vision plus fine et plus nette de la réflexivité, comme on ferait une mise au point via un objectif pour en obtenir la meilleure résolution qui soit.crédit photographique : Stéphanie Messal-