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IntroductionLa question ontologique qui se pose au philosophe n’est pas, selon Quine, de savoir ce qu’il y a — cette question est celle du scientifique — mais de savoir « ce qui est dit [par la science] qu’il y a ». Pour Quine, en effet, l’engagement ontologique du philosophe est un simple prolonge­ment de celui du scientifique. La philosophie ne doit pas, selon lui, occuper une position de surplomb par rapport aux sciences ; elle ne doit pas se situer en rupture de celles-ci, mais bien en continuité avec elles. La différence entre les questions ontologiques du scientifique et celles du philosophe, n’est pas pour Quine, comme elle l’est pour Carnap, une différence de nature (pour Carnap les questions scientifiques sont des questions internes et les questions philosophiques des questions externes)1 ; elle n’est qu’une différence de degré. « Ce qui différencie le souci ontologique du philosophe, écrit Quine, c’est seulement l’envergure des catégories ». Ainsi, c’est au biologiste de décider au sujet des opossums et des licornes, au mathématicien de dire s’il y a des nombres premiers pairs ou des nombres cubiques qui sont les sommes de paires de nombres cubiques. Le philosophe, quant à lui, aura pour tâche « d’exposer et de résoudre les paradoxes, de raboter les aspérités, de faire disparaître les vestiges des périodes transitoires de croissance, de nettoyer les bidonvilles ontologiques »2. Les questions ontologiques du philosophe sont seulement plus générales que celles du scientifique, elles sont aussi théoriques et comprennent une part de choix et de convention.Comme les questions scientifiques, les questions philosophiques néces­sitent l’adoption d’un cadre ou d’un schème conceptuel. Ce schème conceptuel n’est pas fixé une fois pour toute, « nous pouvons le modifier morceau par morceau, planche par planche, écrit Quine, quoiqu’en même temps rien d’autre que le schème conceptuel en évolution ne puisse nous porter »3. Et il cite Neurath qui comparait la tâche du philosophe à celle d’un marin qui doit réparer son bateau en pleine mer. Ce qui motive le choix et les modifications du schème conceptuel sont l’efficacité dans la communication et la prédiction, et, secondairement, l’élégance et l’écono­mie conceptuelle.C’est donc de façon oblique, par l’intermédiaire du cadre conceptuel d’une science que, pour Quine, se pose la question ontologique. Nous montrerons que le cadre conceptuel choisi par lui est le cadre formaliste mis en place par Hilbert au tout début du xxe siècle. Nous comparerons alors l’engagement ontologique du philosophe à celui du mathématicien. Il apparaîtra que la thèse de l’indifférence de l’ontologie est adoptée par l’un comme par l’autre. Il conviendra alors que préciser comment cette thèse s’articule aux deux autres thèses de Quine : de l’inscrutabilité de la référence et de l’indétermination de la traduction. Enfin nous verrons que Quine et Hilbert parviennent tous deux, de façon assez similaire, à concilier ces thèses à un certain réalisme, et à éviter ainsi de tomber dans le relativisme et le scepticisme.1. Le cadre formaliste de la thèse de l’indifférence de l’ontologieLe cadre conceptuel choisi par Quine est celui des théories formalisées. Quine écrit en effet dans le paragraphe 12 de Pursuit of truth :Les propositions vraies, observables et théoriques, sont l’alpha et l’oméga de l’entreprise scientifique. Elles sont relatées par la structure, et les objets figurent comme simples nœuds de cette structure4.Ce cadre formaliste, ou structuraliste, introduit par Hilbert, s’accorde parfaitement à la thèse de l’indifférence de l’ontologie. Ainsi, à Frege qui lui reprochait que ses concepts, par exemple « point », « entre », ne soient pas univoquement définis, Hilbert répondait dans sa lettre du 29 décembre 1899 :Il est bien évident que chaque théorie n’est qu’un échafaudage ou un schéma de concepts avec leurs relations réciproques nécessaires, et que les éléments de base peuvent être conçus de n’importe quelle manière. Si je vois dans mes points un système quelconque de choses, par exemple le système de l’amour, de la loi, ou du ramoneur…, et qu’alors je conçois tous mes axiomes comme des relations entre ces choses, alors mes théorèmes, par exemple celui de Pythagore, vaudra aussi pour ces choses. En d’autres termes ; chaque théorie peut toujours être appliquée à une infinité de systèmes d’éléments de base. Il suffit d’appliquer une transformation inversible et univoque, et de stipuler que les axiomes doivent être les mêmes pour les choses transformées5.La notion de modèle est implicitement contenue dans le propos de Hilbert. En termes actuels, on dirait que, par une fonction inversible et univoque, c’est-à-dire bijective, ou bi-univoque, qui fait correspondre les éléments de base d’un modèle d’un système axiomatique (catégorique) aux éléments de base d’un autre modèle de ce système, on interprète le premier modèle dans le second. Quine utilise de telles fonctions pour justifier sa thèse de l’indifférence de l’ontologie et les appelle « fonctions délé­guantes » (ou « fonctions de représentation », selon les traductions) (proxy functions). Une fonction déléguante est ainsi une fonction, généralement bi-univoque, par laquelle les objets d’un univers sont délégués pour représenter les objets d’un autre univers. Plus précisément, on associe, par une fonction déléguante f, à tout objet x du premier univers, son image par f, l’objet f(x) du second univers ; et on réinterprète ensuite toutes les propositions de la théorie sans les modifier. Il y a ainsi, changement non seulement de l’ontologie, mais aussi de l’idéologie, au sens que lui donne Quine, c’est-à-dire des idées contenues dans la théorie. Quine fournit un exemple simple de ce double changement : celui d’une théorie économique6. On peut envisager de déléguer l’ontologie de personnes à une ontologie de revenus qui sera moins nombreuse — la fonction délé­guante assignant à chaque personne son revenu. Cette fonction n’est pas bi-univoque puisque deux personnes différentes peuvent avoir le même revenu ; il s’agit donc d’une réduction. Une telle réduction sera acceptable si dans la théorie initiale les prédicats ne distinguent pas les personnes ayant des revenus identiques. Les nouvelles identités vraies sont alors les mêmes que les anciennes.Quine donne un autre exemple de fonction déléguante, plus important et directement issu des travaux de Hilbert, la numérotation de Gödel. Cette numérotation est utilisée par Gödel dans la démonstration de son théorème de 1931, dit d’incomplétude. Gödel avait auparavant démontré, en 1929, la complétude du calcul des prédicats ; ce résultat peut s’énoncer en disant que toute assertion vraie formulable dans le calcul des prédicats peut être démontrée à partir des axiomes. En 1931, il démontre un théorème qui marquera un tournant dans l’histoire des mathématiques et de la logique. Ce théorème comprend notamment deux résultats ; il établit d’une part l’incomplétude de l’arithmétique formalisée dans la logique des Principia mathematica de Russell et d’autre part l’impossibilité de démontrer la non contradiction du système de l’arithmétique à l’intérieur du système lui-même. Dans la démonstration de ce théorème Gödel met en place une méthode, dite d’arithmétisation ou de numérotation de Gödel, qui lui permet de traduire une partie de la métamathématique dans le langage formel de l’arithmétique. Le cœur de la démonstration consiste en l’expression d’une proposition indécidable (c’est-à-dire non démontrable et non réfutable dans le système). La traduction arithmétique de cette proposition indécidable, construite sur le modèle du paradoxe du menteur, permet de lever le paradoxe. Ce paradoxe, en effet, repose sur la confusion de deux niveaux de langage, le langage objet (ou niveau de l’énonciation) et le métalangage (ou niveau de l’énoncé). En traduisant l’énoncé métamathématique : « G n’est pas démontrable », dans le système arithmé­tique, c’est-à-dire en ramenant le métalangage dans le langage-objet, Gödel palliait cet inconvénient. Pour effectuer cette traduction, il associait à toute assertion métamathématique formalisée dans le calcul des prédicats, un nombre et un seul. Le procédé consiste à coder les constantes logiques et certains signes comme, par exemple, les parenthèses, à l’aide des premiers nombres entiers, puis à coder les variables de type 1 (d’individus) x, y, z, etc. à l’aide de la suite des nombres premiers commençant à 17, à coder les variables de type 2 (variables propositionnelles) par les carrés des nombres premiers à partir de 172, etc. Le nombre de Gödel d’une formule est alors le produit des nombres premiers pris dans leur ordre successif et affectés chacun du code du signe de la formule qui lui correspond. Par exemple, si l’on considère la formule pq, chacun de ses éléments est respectivement associé à 172, 7, 192, et donc le nombre de Gödel de cette formule est 2172 x 37 x 5192.L’unicité de la décomposition de tout nombre entier en facteurs premiers assure l’univocité du codage. La numérotation de Gödel permet donc de substituer un nombre à une expression métama­thématique et d’interpréter une assertion (une propriété) métamathéma­tique par une relation arithmétique.Pour mieux justifier encore sa thèse de l’indifférence de l’ontologie, Quine se réfère ensuite au théorème de Löwenheim-Skolem. Ce théorème affirme que si une théorie est vraie et a un modèle non dénombrable, alors elle admet aussi un modèle dénombrable. Autrement dit, comme le remarque Quine dans Ontological Relativity7, la totalité de l’univers non dénombrable de la théorie, à l’exception d’une partie dénombrable,est du bois mort, en ce qu’on la peut exclure du parcours de valeurs des variables sans rendre fausse aucune phrase de la théorie.Dans sa version constructive, donnée par Hilbert et Bernays, ce théorème nous ditcomment trouver et produire réellement, pour tout schéma consistant, une interprétation vraie dans l’univers des entiers positifs, et de surcroît dans une notation purement arithmétique8.Ainsi l’ontologie de toute théorie consistante est réductible à une ontologie composée de nombres naturels. Toutefois cette ontologie n’est pas toujours spécifiable car le théorème ne transforme pas, de façon effective, chacun des objets de l’univers en un nombre. Il est par exemple impossible de trouver une fonction déléguante (bijective) qui appliquerait l’ontologie non dénombrable de l’univers considéré sur l’ontologie dénombrable des entiers naturels.2. Indifférence de l’ontologie, inscrutabilité de la référence et indétermination de la traductionLes deux autres thèses de Quine, l’inscrutabilité de la référence et l’indétermination de la traduction, peuvent apparaître comme des corollaires de la thèse de l’indifférence de l’ontologie. D’une part, Quine adopte pour l’engagement ontologique la notation logique de la quantifi­cation : « être, écrit-il, c’est être la valeur d’une variable ». Et il précise :Lorsqu’on l’applique à un discours qui est dans un langage explicitement quantificationnel, la notion d’engagement ontolo­gique appartient à la théorie de la référence. En effet, dire qu’une certaine quantification existentielle présuppose des objets d’une certaine espèce, c’est dire simplement que la formule ouverte qui suit le quantificateur est vraie de certains objets de cette espèce et d’aucun objet qui ne soit pas de cette espèce9.L’ontologie est ainsi explicitement liée à la référence. D’autre part, la thèse de l’indifférence de l’ontologie a été mise en évidence à partir de la notion de fonction déléguante, c’est-à-dire à partir de la possibilité d’interpréter les objets d’une théorie par les objets d’une autre théorie. Et c’est une telle interprétation d’une théorie dans une autre, qui fait sens, et non de vouloir dire ce que sont, de façon absolue, les objets d’une théorie (inscrutabilité de la référence) ou ce que signifient, de façon absolue, ses propositions (indétermination de la traduction). Le changement d’onto­logie va de pair avec le changement d’idéologie. Chercher la signification ultime des propositions d’une théorie n’a pas plus de sens que de questionner la référence ultime de tous ses termes.Ces deux corollaires, de l’inscrutabilité de la référence et de l’indéter­mination de la traduction, ont aussi leur répondant chez Hilbert. Toujours dans sa correspondance avec Frege et en réponse à ce dernier qui lui objectait que la référence des mots « point », « droite », « entre » ne soit pas indiquée, mais supposée connue, Hilbert écrivait :Le cœur du malentendu est ici. Je ne désire rien supposer connu ; je vois dans mon explication du paragraphe 1 [c’est-à-dire dans les axiomes] la définition des concepts de point, de droite et de plan, si l’on prend comme caractéristiques tous les axiomes des groupes I–V. Si quelqu’un cherche d’autres définitions de « point », peut-être à l’aide de circonlocutions du type « sans extension », etc., il me faudra évidemment m’opposer à cette entreprise de la manière la plus nette ; on cherche là quelque chose qu’on ne pourra jamais trouver parce qu’à cet endroit il n’y a rien, et tout se perd, devient confus et vague, dégénère en un jeu de cache-cache10.Comment mieux dire à la fois l’inscrutabilité de la référence et l’indéter­mination de la traduction ? Il n’y a pas un univers des objets mathéma­tiques transcendant tous les modèles, et donc pas de signification absolue des relations entre ces objets. Il y a seulement des correspondances possibles entre les objets de modèles distincts, et des interprétations, c’est-à-dire des traductions, possibles des propositions d’un modèle dans un autre. Ces interprétations permettent le double changement de l’ontologie et de l’idéologie, et il n’y a rien au-delà de telles interprétations.3. Indifférence de l’ontologie et réalismeLe double changement de l’ontologie et de l’idéologie conduit à dire que les objets ne sont déterminés qu’à un isomorphisme près. Une telle détermination est caractéristique de l’axiomatique formelle, n’est-elle pas cependant en opposition avec la position réaliste de Quine ? On peut donner un début de réponse à cette objection en notant que les possibilités de permutation des ontologies concernent non la réalité mais les différentes théories, c’est-à-dire, encore une fois, non pas ce qui est, mais ce qui est dit qui est ; et Quine lui-même répond à cette objection en distinguant entre ontologie et épistémologie de l’ontologie. Il écrit ainsi dans « Ontology and Ideology Revisited » :La question de savoir ce qui existe est une question substantielle à propos de notre système du monde, tandis que le point à propos des fonctions déléguantes est un point à propos de nos « évidences », c’est-à-dire un point à propos de l’épistémologie de l’ontologie plutôt qu’à propos de l’ontologie proprement dite11.Autrement dit, l’indifférence de l’ontologie concerne l’épistémologie de l’ontologie et non l’ontologie proprement dite. Et c’est relativement à l’ontologie proprement dite que la position de Quine peut être considérée comme réaliste, nous allons voir plus loin en quel sens. De plus, concernant l’épistémologie de l’ontologie, indifférence n’est pas indétermi­nation, l’indifférence est relative à une certaine classe d’objets. Les objets d’un sytème formel sont généralement considérés comme déterminés si la théorie est catégorique, c’est-à-dire si tous ses modèles sont isomorphes ; les objets substituables sont donc uniquement les objets des modèles isomorphes, autrement dit ce qui est désigné comme objet est en réalité une classe d’objets. Ce n’est que s’il existe des modèles non isomorphes que l’univers des objets est considéré comme équivoque et indéterminé. Un exemple en est les univers des hiérarchies cumulative et constructive de la théorie des ensembles. Le premier univers fut introduit par Zermelo en 1930 et il est considéré comme le domaine standard de la théorie des ensembles. Il est construit à la manière de la théorie des types de Russell. On part d’un ensemble, l’ensemble vide, de type 0 : T(0)=. Les ensembles composés d’éléments d’un type i forment le type i+1, qui est donc l’ensemble des parties de T(i) : T(i+1)=(T(i). Ainsi, T(1)={}, T(2)={, {}}, etc. Cette hiérarchie se poursuit dans le transfini : le type , premier nombre transfini, est la réunion de tous les ensembles de type fini ; les ensembles de type  forment le type +1, et ainsi de suite. La hiérarchie constructive fut établie par Gödel en 1938. Elle se distingue de l’univers de Zermelo par la restriction suivante : seuls les ensembles qui peuvent être définis par une propriété s’exprimant dans la logique des prédicats et dont les variables et les constantes sont prises dans le type constitué à l’étape précédente, sont acceptés. Gödel voyait dans l’existence même de ces deux modèles non isomorphes et cependant plausibles, et donc dans l’indétermination des objets de la théorie des ensembles, la raison de l’indécidabilité de certaines propositions, comme l’hypothèse du continu. Cette hypothèse exprime une relation entre le continu et les nombres ordinaux12, et ce n’est que parce que l’on ne connaît pas le domaine auquel s’applique cette relation, que l’on ne peut pas déterminer sa valeur de vérité. Dans la perspective réaliste adoptée par Gödel, au moins à partir de 1940, en effet, les objets mathématiques possèdent des propriétés indépendantes des démonstrations ou des réfutations que l’on peut en donner. L’indécidabilité d’un énoncé mathématique exprime donc seulement l’inachèvement de la théorie, qui doit, dans son état achevé, n’admettre qu’un seul univers. Gödel écrit ainsi en 1947 :Seul quelqu’un qui (comme un intuitioniste) dénie que les concepts et les axiomes de la théorie des ensembles classique ont un sens (ou un sens bien-déterminé) peut être satisfait par une telle solution [la détermination du problème du continu par l’établisssement de son indécidabilité], et non quelqu’un qui croit qu’ils décrivent une réalité bien-déterminée. Car dans cette réalité, la conjecture de Cantor [c’est-à-dire l’hypothèse du continu] doit être soit vraie, soit fausse, et son indécidabilité à partir des axiomes acceptés aujourd’hui peut seulement signifier que ces axiomes ne contiennent pas une description complète de cette réalité13.Dans son commentaire du théorème d’incomplétude de Gödel, Quine semble adopter le point de vue de ce dernier ; il accepte au moins, sans émettre le moindre doute, la distinction établie par ce théorème entre vérité et démontrabilité.Ce que Gödel a prouvé dans ce remarquable article de 1931, c’est qu’aucun système déductif, défini axiomatiquement de façon arbitraire, n’est capable de contenir dans la liste de ses théorèmes toutes les vérités de la théorie élémentaire des nombres entiers, à moins qu’un tel système ne se discrédite lui-même en engendrant lui aussi des énoncés faux […]. Tout système déductif est par conséquent incomplet, au sens où lui échappe une vérité significative, ou alors fait faillite, parce qu’il prouve un énoncé faux14.Ainsi donc, pour Quine comme pour Gödel, il y a des vérités mathéma­tiques qui échappent à toute démonstration.Mais que sont ces vérités mathématiques ? Pour Gödel ces vérités expriment une réalité, celle d’objets mathématiques que nous ne pouvons que percevoir, de façon analogue à la perception des objets sensibles :Mais, malgré leur distance à l’expérience sensible, nous avons aussi quelque chose comme une perception des objets de la théorie des ensembles que l’on reconnaît à ce que les axiomes s’imposent à nous comme étant vrais. Je ne vois aucune raison à ce que nous ayons moins confiance en cette sorte de perception, c’est-à-dire en l’intuition mathématique, que dans la perception sensible, qui nous induit à construire des théories physiques et à s’attendre à ce que les futures perceptions sensibles s’accordent à celles-là ; et de plus, à croire qu’une question qui n’est pas décidable maintenant a un sens et pourra être décidée dans le futur15.Ces objets mathématiques ne se réduisent pas à la perception, ou à l’intuition, que l’on en a. Le platonisme de Gödel, c’est-à-dire la croyance en l’existence de réalités objectives séparées de la perception qu’on a d’elles, apparaît clairement dans ce qui suit :Il semble plutôt que, comme dans le cas de l’expérience physique, nous formions aussi nos idées de ces objets sur la base de quelque chose d’autre qui est immédiatement donné. Seulement cet autre chose ici n’est pas, ou pas d’abord, les sensations […]. Nous ne pouvons pas créer des éléments qualitativement nouveaux, mais seulement reproduire et combiner ceux qui sont donnés. Évidemment, le donné sous-jacent aux mathématiques est étroite­ment lié aux éléments abstraits contenus dans nos idées empiriques. Il ne s’ensuit cependant aucunement que les données (data) de ce second ordre […] sont quelque chose de purement subjectif, ainsi que l’affirmait Kant. Elles représenteraient plutôt aussi un aspect de la réalité objective, mais, en tant qu’opposée aux sensations, leur présence en nous peut être due à une autre sorte de relation entre nous et la réalité16.Il y a donc, selon Gödel, des réalités objectives sous-jacentes aux mathématiques, comme il y a des réalités physiques sous-jacentes aux théories physiques. Ces réalités mathématiques, décrites comme « étroite­ment lié aux éléments abstraits contenus dans nos idées empiriques », semblent être pour Gödel des entités fixes, immuables.Si, selon Quine, il y a bien aussi une réalité, celle-ci ne se situe pas dans un au-delà ou un en-deçà de la science ; elle est bien plutôt une donnée de la science. Et s’il y a des théories rivales pour exprimer cette réalité, l’attitude que préconise Quine est « la tolérance assortie d’un esprit expéri­mental »17. Adoptant une position qu’il appelle « œcuménique », il propose de considérer des théories conceptuellement différentes mais empirique­ment équivalentes comme des descriptions complémentaires du même monde.La vision que Quine a de ce monde est inspirée des théories physiques contemporaines : mécanique quantique, théorie de la relativité générale, thermodynamique, qui conduisent à remplacer la notion d’entité ou de substance par celle de processus. Selon Quine, « un homme est un objet à quatre dimensions »18 et, tout comme les autres objets physiques conçus comme quadridimentionnels, c’est un événement (event) ou « dans le sens concret du terme un processus »19.De ce point de vue, l’ontologie de Quine est plus proche des théories mathématiques qui s’opposent au platonisme que de celle de Gödel. On pense d’abord à l’intuitionisme brouwerien, mais aussi, nous allons le voir au formalisme hilbertien.Brouwer caractérise l’activité mathématique comme une activité de construction — une construction étant d’une part, et d’abord, une expérience interne, par extension un processus linguistique soutenu par l’activité du sujet créateur ou mathématicien idéalisé, d’autre part l’achèvement du processus (entéléchie), c’est-à-dire un objet, par exemple un nombre. La notion d’ensemble, par exemple, se dédouble en déploiements et species : les déploiements sont des règles d’engendrement, les species caractérisent plutôt les propriétés d’objets. Il résulte de cette conception l’acception d’objets mathématiques inachevés, en état de devenir (infini potentiel).Dans sa préface à l’ouvrage de Nicholas Rescher : Process Metaphysics, Paul Gochet rapproche également le formalisme hilbertien de cette conception d’objets-processus, d’objets en devenir. Il voit dans la distinction faite par Hilbert entre objets réels et objets idéaux, et dans l’interprétation que nous en donnons dans notre ouvrage Hilbert et la notion d’existence en mathématiques, un accord entre le point de vue hilbertien et ce qu’il nomme le « processualisme » (processualism)20. Un objet défini axiomatiquement jouit d’une existence idéale ; et Hilbert reconnaît à ces objets idéaux le statut d’idée au sens kantien. C’est dire que ces objets ne sont pas des objets complets, définis une fois pour toute, mais qu’ils sont en évolution, au gré du développement du système axiomatique ; à proprement parler ce sont des processus.ConclusionOn peut distinguer dans l’argumentation de Quine trois paliers d’indifférence. En affirmant qu’être c’est être la valeur d’une variable, on atteint le premier palier. L’indifférence est limitée au domaine des valeurs possibles de la variable. Le deuxième palier est atteint avec les fonctions déléguantes. L’ontologie d’une théorie peut ainsi être ramenée à l’ontologie minimale des nombres entiers. Enfin avec l’espèce de réduction ontologique que produit le théorème de Löwenheim-Skolem, cette ontologie minimale des nombres entiers peut être attribuée à toute théorie qui possède un univers non dénombrable, sans qu’il soit possible d’exhiber une fonction déléguante apte à réduire l’ontologie initiale à l’ontologie des entiers. La thèse quinienne de l’indifférence de l’ontologie, ainsi que les deux thèses qui lui sont associées, celles de l’inscrutabilité de la référence et de l’indétermination de la traduction, est en adéquation aux conceptions formalistes de Hilbert qui lui fournissent le schème conceptuel dans lequel elle s’inscrit.Par ailleurs, ces trois thèses ne conduisent pas au relativisme et au scepticisme, comme on pourrait le croire. Elles doivent être comprises comme concernant l’épistémologie de l’ontologie, et non l’ontologie proprement dite. Elles sont compatibles, aussi bien chez Quine que chez Hilbert, à un certain réalisme, qui s’oppose cependant au platonisme mathématique et s’accorde au processualisme.