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        Vivre avec les mathématiques (éd. Seuil, coll. Science ouverte, 2009) est un récit, déroulé de bout en bout à la première personne, dans lequel J. M. Salanskis réfléchit du point de vue du philosophe qu’il est devenu, ce qui a fait de lui, comme il le dit, un « mathématicien défroqué » (p. 114), le rapport, ou plutôt les multiples rapports aux mathématiques qu’il a entretenu et continue d’entretenir. De cette rétrospection, qui revêt souvent l’aspect d’une confidence, il se propose de dégager des enseignements qui, tout en prenant appui sur sa propre expérience, débordent les limites immédiatement imparties à celle-ci, de manière à esquisser une réponse à une question plus générale, posée sur un plan qu’on peut appeler idéal, au sens toutefois d’une idéalité adossée à des postures et des attitudes concrètes qui en définissent de manière ouverte la perspective. En reconstituant les conditions dans lesquelles il a lui-même pratiqué les mathématiques, - « comment j’ai mené ma vie de mathématicien », au passé simple de la narration -, il tente donc d’approcher ce que c’est que « vivre avec les mathématiques », en cet autre sens que projette la forme verbale de l’infinitif, qui comporte une dimension transpersonnelle, et vise un niveau d’expérience qui n’est plus strictement individuel mais collectif, susceptible à la limite d’être partagé par tous : comme l’explique la conclusion du livre, la « culture », à l’ordre général de laquelle J. M. Salanskis se propose de réintégrer les mathématiques, consiste d’abord dans le fait de partager en commun des expériences avec d’autres, au lieu de les mener isolément ; si on adopte ce point de vue, « il n’y a pas de mathématiques privées » (p. 100). Le tout premier intérêt du livre, qui en fait l’originalité, tient à ce que, en usant d’une langue parfaitement simple et claire, directe et exempte de tout amphigourisme ou pédanterie, ce qui est la condition pour  communiquer, c’est-à-dire proprement mettre en commun, une expérience par définition singulière, il effectue une navigation risquée entre les deux régions du personnel et de l’impersonnel, du subjectif et de l’objectif, du singulier et de l’universel, du concret et de l’abstrait, qu’il met en communication constante, sans jamais sacrifier l’une au bénéfice de l’autre. Une réflexion philosophique orientée par la méthode phénoménologique, dont se réclame J. M. Salanskis, procède précisément de ce basculement permanent, qui débouche sur une dynamique de rationalisation dont les procédures évitent le risque d’être figées, massifiées, compactées, risque auquel n’échappe pas au contraire une démarche théorique qui prétendrait s’installer d’emblée et une fois pour toutes sur le terrain de l’universel. Il ne s’agit donc pas pour lui, du moins prioritairement, de réfléchir sur les mathématiques, conformément à l’esprit d’une épistémologie philosophique se fixant pour objectif de déterminer généralement leur essence, mais tout d’abord de comprendre ce que c’est, dans les faits, que « vivre avec les mathématiques », ce qui correspond à une interrogation d’une tout autre nature, dans la résolution de laquelle intervient nécessairement le recours à l’expérience, et plus précisément à une expérience singulière qui est celle de quelqu’un, seule en mesure de faire entrer en communication avec le « vécu » auquel cette interrogation fait référence. La thématique développée dans Vivre avec les mathématiques, où, selon ses propres termes, J. M. Salanskis « raconte les manières dont les mathématiques se conjuguent avec l’existence » (p. 107), se résume donc ainsi :« Les mathématiques sont une composante de la vie, elles investissent l’existence humaine, non pas comme des abstractions qui la contredisent et la mutilent, mais comme une affaire concrète autour de laquelle et à la faveur de laquelle la vie se fait vivante. Dans les mathématiques, la vie trouve à se relancer et à se diversifier, elles sont un élément susceptible de lui procurer ses surprises et ses affects. » (p.137)        Il n’est pas courant d’associer la pratique des mathématiques avec le fait de vivre. Les mathématiques ne sont pas considérées généralement comme une forme de la vie, entendons celle que l’on mène ordinairement, parce qu’elles bénéficient d’une image exceptionnelle, qui les relègue ailleurs que dans la réalité de tous les jours, en les dotant du même coup d’une sorte de dimension sacrée, avec l’ambivalence attachée à celle-ci, qui combine fascination et répulsion. En témoigne exemplairement la figure traditionnelle du « matheux », qu’on se figure doté de capacités exceptionnelles, en tout cas possédé par une obsession qui fait de lui un être à part, tout à la fois monstre et objet de dérision :  le savant Cosinus, escorté de son chien Sphéroïde, arpente hagard le monde sans le voir vraiment ; pour lui, vivre avec les mathématiques, donc dans leur exclusive compagnie, c’est pratiquer à leur égard une familiarité absolue, qui, en imprégnant tous les moments de son existence, fait de celle-ci une quasi-existence, fantomatique, marginale, et à la limite extravagante, du fait d’être indifférente à tout ce qui n’est pas réductible à des symboles inscrits à la surface noire d’un tableau, une fois effacé tout ce qui fait la réalité bariolée de la vie normale dont les intermittences ne sont pas susceptibles d’être mises en équations. Pascal, qui a lui-même  fait cette expérience tourmentante, et a failli se prendre à ce mirage, a dénoncé en termes particulièrement véhéments les dérives aliénantes auxquelles se trouve exposée une conscience mathématique exacerbée, obnubilée, affolée, à la fois perturbante et perturbée, qui ne voit rien au-delà du monde d’idéalités dans lequel elle s’enferme comme dans une prison, en nourrissant la prétention d’entraîner les autres avec elle dans le piège qu’elle a artificiellement fabriqué :« Il faut qu’on n’en puisse dire, ni : « il est mathématicien », ni « prédicateur », ni « éloquent », mais il est « honnête homme »… » (Pensées, éd. Brunschvicg, n° 35) – « L’homme est plein de besoins : il n’aime que ceux qui peuvent les remplir tous. « C’est un bon mathématicien », dira-t-on. – Mais je n’ai que faire de mathématiques ; il me prendrait pour une proposition. – « C’est un bon guerrier. » - Il me prendrait pour une place assiégée. Il faut donc un honnête homme qui puisse s’accommoder à tous mes besoins généralement. (id., n° 36) »        Non seulement il y a une figure-type du mathématicien, qui constitue un stéréotype singulier, comme une espèce rare à protéger parce qu’elle est exposée à disparaître : mais il y a dans la pratique mathématicienne une compulsion irrépressible à projeter ce stéréotype au-delà des limites à l’intérieur desquelles elle s’exerce normalement, en ne voyant toutes choses que sous l’angle qui lui est propre, ce qui conduit à en forcer la nature d’une manière qui peut être à bon droit perçue comme une agression. L’honnête homme de Pascal, l’homme de culture, au sens que J. M. Salanskis donne à cette notion dans la conclusion de son livre, c’est celui qui cherche à en finir avec ce malaise, ce qui le conduit, non du tout à en finir avec les mathématiques, en les supprimant ou en les expulsant de son horizon, mais à s’efforcer de les réintégrer au « monde de la vie » dont Husserl a forgé le concept, en leur restituant une familiarité, ce type de familiarité qu’évoque la formule « vivre avec » prise dans son sens fort, qu’elles perdent fatalement lorsqu’elles sont conçues sur le mode d’une radicale étrangeté.        Il y a en effet une manière d’idéaliser les mathématiques qui fait fond de manière inquiétante sur cette étrangeté. C’est ce que signale de façon particulièrement frappante l’incantation lancée par Isidore Ducasse/Lautréamont dans la dixième séquence du second de ses Chants de Maldoror :« O mathématiques sévères, je ne vous ai pas oubliées, depuis que vos savantes leçons, plus douces que le miel, filtrèrent dans mon cœur, comme une onde rafraîchissante. J’aspirais instinctivement, dès le berceau, à boire à votre source, plus ancienne que le soleil, et je continue encore de fouler le parvis sacré de votre temple solennel, moi le plus fidèle de vos initiés. Il y avait du vague dans mon esprit, un je ne sais quoi épais comme de la fumée ; mais je sus franchir religieusement les degrés qui mènent à votre autel, et vous avez chassé ce voile obscur, comme le vent chasse le damier. Vous avez mis, à la place, une froideur excessive, une prudence consommée et une logique implacable. A l’aide de votre lait fortifiant, mon intelligence s’est rapidement développée, et a pris des proportions immenses, au milieu de cette clarté ravissante dont vous faites présent, avec prodigalité, à ceux qui vous aiment d’un sincère amour. Arithmétique ! Algèbre ! Géométrie ! Trinité grandiose ! Triangle lumineux ! Celui qui ne vous a pas connues est un insensé ! »        On s’étonne à première vue de trouver dans ce frénétique Poème du mal que sont les Chants de Maldoror, immédiatement à la suite de l’éloge du poux, l’insecte immonde qui travaille à l’anéantissement de l’humanité, un pareil hymne à l’intelligence rationnelle, à ses « savantes leçons, plus douces que le miel », au « lait fortifiant », à « cette clarté ravissante » qu’elle dispense généreusement, hymne énoncé dans un climat  d’exaltation et d’euphorie d’où se dégage en première apparence une impression rassurante. Mais, à y regarder de plus près, naît un soupçon : si les mathématiques plaisent tant au terrible Maldoror, c’est bien parce qu’elle sont « sévères » ; ainsi, la « froideur excessive » de leur « logique implacable » empoisonne leur « miel », qui tourne en poison mortifère. C’est dans ce sens que Bachelard lit ce passage :« Peut-être devons-nous indiquer aussi une note à peine sensible dans la page, mais qu’il faut toujours réveiller quand on évoque une culture mathématique. C’est précisément la violence, une violence froide et rationnelle. Il n’y a pas d’éducation mathématique sans une certaine méchanceté de la Raison. Est-il ironie plus fixe, plus rapide, plus glaçante que l’ironie du professeur de mathématiques ? Tapi au coin de la classe, comme l’araignée dans son encoignure, il attend. Qui n’a connu l’affreux silence, les heures mortes, l’exquise lenteur de supplices où le meilleur élève perd soudain, avec la confiance, le dynamisme de la pensée enchaînée ? Une perte de vitesse brise l’élan. N’y a-t-il pas un lointain souvenir de sévices spirituels dans cette imprécation ducassienne ?... » (Lautréamont, éd. Corti, 1956, p. 92)        Si les mathématiques fascinent Maldoror, à qui elles ont l’heur de plaire, et même dont elles soulèvent l’enthousiasme, c’est de la façon dont peut le faire un instrument de torture, dont les blessures sont meurtrières. Or, la sensibilité personnelle de J. M. Salanskis le porte tout à l’opposé de cette attitude : sans nier que la pratique des mathématiques puisse s’accompagner d’une souffrance, modulable d’ailleurs à différents niveaux, il estime que la violence dont cette souffrance est la manifestation n’implique pas que l’attirance qu’on peut éprouver à l’égard des mathématiques, attirance dont son expérience personnelle offre un témoignage, signifie l’irruption fatale de l’instinct de mort, Thanatos : « vivre avec les mathématiques », c’est au contraire, selon lui, trouver le moyen de les accommoder aux élans d’Eros, à « ses surprises et à ses affects », en cessant de cultiver de façon malsaine leur dangerosité, qui les éloigne de nous en les installant dans un monde à part, ou sur ce que Maldoror appelle le « parvis sacré » de leur « temple solennel ». A l’inverse, ce que se propose de faire le livre de J. M. Salanskis, c’est de faire descendre les mathématiques du ciel sur la terre, de les rendre plus proches, plus accessibles et ordinairement fréquentables, voire même aimables, en les arrachant à l’ambiance d’exceptionnalité où elles sont devenues l’affaire de quelques adeptes privilégiés, sous le regard effaré du tout venant qui considère, à tort, qu’il n’est pas concerné par leurs étranges opérations, au secret desquelles il n’a pas été initié.        Alors, comment s’y prendre pour réconcilier les mathématiques avec la vie ? La toute première chose à faire est, semble-t-il, d’en dédramatiser les pratiques, en dégonflant les fallacieux prestiges dont elles s’entourent pour mieux retenir dans leurs filets ceux qui s’y sont laissés prendre. C’est déjà de ce côté que se dirigeait Pascal, lorsqu’il écrivait à Fermat :« … Car pour vous parler franchement de la géométrie, je la trouve le plus haut exercice de l’esprit ; mais en même temps je la connais pour si inutile, que je fais peu de différence entre un homme qui n’est que géomètre et un habile artisan. Aussi je l’appelle le plus beau métier du monde ; mais enfin ce n’est qu’un métier ; et j’ai dit souvent qu’elle est bonne pour faire l’essai, mais non pas l’emploi de notre force : de sorte que je ne ferais pas deux pas pour la géométrie, et je m’assure fort que vous êtes fort de mon humeur. Mais il y a maintenant ceci de plus en moi, que je suis dans des études si éloignées de cet esprit-là, qu’à peine me souviens-je qu’il y en ait… » (Pascal, lettre à Fermat du 10 août 1660)        Cette confidence est à double sens. D’une part, elle témoigne, de la part de son auteur, de la volonté de se déprendre d’un attachement excessif à l’esprit géométrique, dans la pratique duquel il avait excellé dès ses plus jeunes années, où il avait débrouillé magistralement, dans son Traité des coniques, les obscurités dont restaient entachées les théories géniales mais fumeuses de Desargues. En même temps, tout en ramenant l’exercice de l’esprit géométrique au rang d’un simple « métier », entendons par là une occupation profane nécessitant une préparation appropriée, Pascal ne va cependant pas jusqu’à admettre qu’il s’agisse d’un métier comme les autres : car la « géométrie » reste à ses yeux « le plus haut exercice de l’esprit », « le plus beau métier du monde » ; en conséquence, lorsqu’il la déclare « inutile », c’est-à-dire incapable de répondre aux exigences les plus profondes de la vie, en particulier de remédier aux angoisses existentielles dont il était personnellement possédé, et lorsqu’il affirme qu’il « ne ferait pas deux pas pour la géométrie » et que « à peine se souvient-il qu’il y en ait », ces propos sont à entendre sur le mode de la dénégation : jusqu’à la fin de sa vie, dans les moments où il avait en principe rejeté tout attachement mondain pour ne plus penser qu’à son salut, il n’a cessé de s’intéresser à des problèmes de mathématique, comme celui de la cycloïde, et de cultiver les talents exceptionnels dont il disposait  en vue de les résoudre. Il ne s’agit donc pas pour lui de renoncer définitivement aux mathématiques, ni de nier l’importance qu’elles présentent dans leur domaine, ou, comme le dit Pascal dans son langage, dans leur « ordre » propre : mais il cherche à signifier que cet ordre n’est après tout qu’un ordre à côté d’autres ; et l’honnête homme, tel qu’il le conçoit, se doit de les pratiquer tous, éventuellement en les mettant en concurrence, mais en s’abstenant de considérer que l’un quelconque d’entre eux puisse valoir pour tous, au titre d’une occupation exclusive appelant une adhésion absolue, indissoluble, sans partage, et comme telle, finalement, aberrante, manifestation consternante de la folie humaine.        Lorsque J. M. Salanskis, mathématicien de formation et de profession, s’est « converti » à la philosophie, non seulement en changeant de discipline mais en s’exposant à ce qu’il appelle « l’infléchissement existentiel de la philosophie » (p. 114), il a suivi une évolution dont l’esprit pourrait être interprété dans des termes comparables : sans le dénouer complètement, il a, à un certain moment, décidé de relâcher le lien qui l’attachait à un  type de démarche dont, cependant, la « splendeur », ce mot revient à de nombreuses reprises dans son livre, n’en continue pas moins à l’étonner, au sens le plus fort du mot. Et, pour y arriver, il a progressivement élargi sa perspective, ce qui l’a conduit, voire même forcé, à voir la chose mathématique autrement, en portant sur elle un regard distancié, rendu de ce fait plus lucide, et surtout enrichi par l’apport d’expériences de pensée et de vie menées sur de tout autres terrains, ce qui, paradoxalement, l’a à la fois éloigné et rapproché des mathématiques, au fil d’un parcours dont Vivre avec les mathématiques retrace les étapes principales. En vue de résumer la leçon principale qui se dégage de ce parcours, on pourrait dire qu’il lui a fallu cesser de vivre dans les mathématiques pour faire parvenir leur fréquentation au mode de l’avec : celui-ci implique justement une prise de distance, du type de celle signifiée dans la lettre de Pascal à Fermat, où celui-ci se sert de la référence à l’idée de « métier » en vue d’instaurer un nouveau rapport, qu’on peut dire instrumental, à l’activité mathématicienne, ce qui conduit à lui ôter le statut d’une fin en soi, autotélique, comme telle exclusive et sans partage, indigne de l’honnête homme, manifestation d’une profonde inculture dirait J. M. Salanskis dans son propre langage.        L’idée directrice de Vivre avec les mathématiques est la suivante :« Les mathématiques sont un contenu et une modalité possible de l’existence humaine, elles se mélangent de plusieurs manières à nos vies pour en devenir, à chaque fois d’une façon différente, un pôle d’importance. » (p. 137)        Si les mathématiques, loin de tuer la vie comme le donnent à imaginer les figures emblématiques et complémentaires de Cosinus et de Maldoror, nourrissent ses élans et entretiennent leur spontanéité, c’est donc parce qu’elles ont « plusieurs manières » de se mélanger à l’existence, dans laquelle elles interviennent « à chaque fois d’une façon différente ». En cela réside l’enseignement principal qui se dégage de la relation que fait J. M. Salanskis de son parcours personnel : celui-ci lui a appris que, pour en finir avec l’idée que les mathématiques sont une chose à part, réservée, qui ne peut prospérer que dans certaines marges protégées du monde où elles restent inaccessibles à la plupart, il faut en tout premier lieu être sensible au fait qu’elles donnent occasion, non à une unique expérience une fois pour toutes typée et calibrée, comme telle cantonnée dans son système dont elle est empêchée de s’écarter, mais à une multiplicité d’expériences, qui se déroulent sur divers plans, où elles se donnent à appréhender sous des angles à chaque fois différents, qu’il serait abusif de ramener sous une même catégorie. Vivre avec les mathématiques, c’est donc en tout premier lieu laisser se dérouler les différentes étapes d’un itinéraire au cours duquel, si elles se suivent temporellement, ces étapes ne s’enchaînent cependant pas de manière univoque, comme si elles se déduisaient automatiquement les unes des autres en restant de bout en bout maintenues dans un cadre qui les homogénéise au point de les confondre. Là se situe précisément l’apport de l’expérience : il conduit à casser la représentation d’un rapport exclusif à la chose mathématique, qui accrédite à tort l’idée que celle-ci est quelque chose d’unique, dont les contours seraient définitivement tout tracés, de telle manière que l’alternative entre être « dans » les mathématiques et être « dehors » ne puisse être levée ou relâchée. De fait, on n’est jamais complètement au dedans des mathématiques ni non plus au dehors, pour autant qu’il y a plusieurs manières de les habiter, de « vivre avec elles », et non une seule, qui annulerait toute autre possibilité de cheminer en leur compagnie. Dans cet esprit, J. M. Salanskis entreprend de restituer, en respectant leur articulation complexe, les différentes expériences qu’il a pu faire de l’activité mathématicienne, en essayant de comprendre et de faire comprendre en quoi leur diversité, loin d’en altérer la pure essence, enrichit cette activité dont la fécondité se trouve confirmée par le fait qu’elle n’est pas contrainte à se maintenir sur une voie unique et exclusive : du même coup, cette activité se présente comme libre, du moins relativement, ce qui contribue à la rendre davantage abordable, au lieu qu’elle reste enfermée entre les murs d’une forteresse imprenable.        Les manières, au pluriel, dont les mathématiques se sont conjuguées à l’existence personnelle de J. M. Salanskis, qui donnent matière aux successifs chapitres de son livre, sont au nombre de quatre. A l’école élémentaire et au lycée, il a « appris », à l’aide de manuels, sinon les mathématiques, du moins des mathématiques, dans le cadre de programmes institutionnellement codifiés. Puis, devenu étudiant, à l’université, il a, ce qui est tout autre chose, « étudié » les mathématiques, en s’efforçant d’en pénétrer les ultimes secrets, ce pour quoi il lui a fallu se servir des savants traités élaborés dans l’élan de la révolution bourbakiste, qui a complètement changé la donne en ce domaine. Ensuite, il les a « enseignées », en tant que professeur confronté aux difficultés que ses élèves ont à assimiler des manières de raisonner inusuelles, pour eux incompréhensibles au premier abord, un phénomène qu’un pédagogue un peu attentif ne peut se permettre de négliger, même s’il choque ses convictions scientifiques déjà acquises et bien ancrées sur des bases qu’il considère comme rationnelles. Enfin, il a entrepris de les « penser » d’un point de vue philosophique, ce qui a coïncidé pour lui avec un changement d’orientation professionnelle qui l’a amené à enseigner, sinon les mathématiques, du moins quelque chose à leur sujet, à de nouveaux publics non directement concernés par elles, et n’étant pas engagés au titre d’acteurs dans les progrès de leurs recherches : c’est selon la perspective propre à cette dernière étape que la réflexion poursuivie dans Vivre avec les mathématiques est conduite, dans la forme d’une rétrospection supposant une relative prise de distance avec la pratique mathématicienne, prise de distance qui permet d’en élargir la portée, et conduit, c’est le titre du chapitre conclusif du livre, à « vivre avec la culture », une culture au sens large qui inclut, à côté d’autres, la référence aux mathématiques.        Ces séquences, dont chacune amène à aborder la chose mathématique sous un angle différent, jalonnent un parcours singulier, celui qu’a suivi en personne J. M. Salanskis, à travers les aléas d’une existence qui est la sienne propre, à nulle autre pareille : si tout le monde, ou presque, est normalement amené au cours de ses premières années de formation à apprendre quelque chose des mathématiques, en tant que matière d’enseignement obligatoire au contenu précisément élaboré et formaté, il ne s’ensuit pas que cet apprentissage doive nécessairement conduire quiconque en ayant bénéficié à une phase d’études poursuivies dans un cadre universitaire, qui exploitent dans un tout nouveau sens les bases acquises précédemment ; il s’ensuit encore moins que ces études aient pour naturel débouché, une fois passée l’agrégation de mathématiques, le professorat dans cette discipline, avec les difficultés particulières attachées à cette charge à la fois exaltante et ingrate ; et il est tout à fait exceptionnel, bien que J. M. Salanskis ne soit pas le seul à avoir ainsi sauté le pas, que cette orientation professionnelle ait été infléchie à un moment donné, où s’est effectué le passage à une autre discipline, la philosophie, qui, sans rompre définitivement le rapport à une activité mathématicienne, amène à gérer et à interpréter cette activité sous des formes inédites. Les diverses manières dont J. M. Salanskis a vécu avec les mathématiques n’ont donc rien d’ordinaire, du moins dans leur enchaînement, et elles ne peuvent être rassemblées dans le cadre d’un modèle unique, prétendant avoir valeur uniformément pour tous : au contraire, elles tirent l’essentiel de leur signification de leur spécificité, aussi bien considérées une à une que dans leur suite, qui traduit ou trahit les accidents d’un itinéraire singulier. Les quatre chapitres de Vivre avec les mathématiques ne relatent donc pas une expérience-type, qui résumerait toutes les manières possibles de pratiquer les mathématiques : si J. M. Salanskis, au terme de ses études universitaires, avait choisi le métier d’ingénieur ou d’informaticien, il aurait entretenu avec la chose mathématique un rapport différent, qui, pour simplifier, pourrait être rangé sous la catégorie d’application, ce qui l’aurait amené à réfléchir la nature de cette chose sous un autre point de vue encore, et en conséquence à en configurer une image différente. « Apprendre », « étudier », « enseigner », « penser », ne constituent donc pas les éléments d’une liste exhaustive, qui épuiserait toute la série des expériences dont la chose mathématique est susceptible ; et, si la façon dont ces expériences se sont enchaînées dans l’histoire personnelle de J. M. Salanskis est instructive, c’est précisément dans la mesure où elle ne constitue pas un paradigme fermé, définissant un système d’obligations, comme un moule auquel il faudrait se conformer pour tout connaître des possibilités qu’offre la pratique des mathématiques : ces possibilités sont innombrables, ce qui, une fois compris, stimule la faculté d’inventer, d’innover, en brisant le carcan dans lequel reste généralement piégée la chose mathématique, par la faute le plus souvent de la corporation de ceux qui ont fait de cette chose leur chose, leur unique chose, ce qui a eu inévitablement pour conséquence de la rendre étrangère à la culture commune à laquelle J. M. Salanskis entreprend de la réintégrer, en montrant que les mathématiques intéressent en réalité tout le monde, même si c’est à des degrés divers qu’il est indispensable de ne pas ranger uniformément dans la même rubrique.        Apprendre des mathématiques, c’est-à-dire acquérir certaines bases élémentaires de cette discipline, c’est une nécessité à laquelle il est difficile de se soustraire dans un contexte où tout le monde est, en principe, scolarisé. C’est même à ce niveau que le rapport à la chose mathématique revêt le caractère d’une obligation incontournable, dont le tout premier effet est d’introduire entre les personnes qui y sont soumises une division, source d’inégalités, pour autant que cette initiation s’évalue en termes de réussite et d’échec. Sous cette forme, les mathématiques se présentent comme un instrument de sélection, qui assure le triage entre les meilleurs, ceux qui y arrivent, les moins bons, ceux qui peinent à y arriver, et les nuls, ceux qui  n’y arrivent pas du tout. La formation effectuée dans ces conditions n’a donc pas principalement pour fin un progrès dans la connaissance de la chose mathématique : celle-ci est exploitée comme un moyen au service d’un processus de répartition, voire même de ségrégation, dont les enjeux se situent sur un autre terrain que celui de la connaissance proprement dite. Au cours de cette phase d’apprentissage, les mathématiques ne sont pas étudiées pour elles-mêmes, mais elles servent de critère d’évaluation : c’est la raison pour laquelle beaucoup d’élèves ressentent cette « matière » pas tout à fait comme les autres comme une punition ou comme une sanction, génératrice d’une particulière angoisse. C’est dans ces conditions que se forge précocement la représentation des mathématiques comme un monde à part, auquel tous n’ont pas accès, s’ils ne disposent pas du « don » dont la possession se trouve réservée à quelques privilégiés : or un don, s’il peut à la rigueur être perfectionné sur le plan de son exploitation, ne s’acquiert pas ; on l’a ou on ne l’a pas, sans espoir de rémission. Alors, de la même manière que le jugement dernier effectue la séparation entre les élus et les réprouvés, s’opère en milieu scolaire la sélection entre ceux auxquels la chose mathématique paraît prédestinée et ceux qui sont définitivement perdus pour elle, dans la mesure où il est entendu, et tout d’abord à leurs propres yeux, qu’ils n’y comprendront jamais rien, parce qu’elle n’est pas faite pour eux ou qu’ils ne sont pas faits pour elle.        Cette situation est, si on y réfléchit, tout à fait anormale, du moins au point de vue de l’intérêt propre que peut présenter la chose mathématique considérée en elle-même, selon les références dont elle se sert pour étudier ses objets : si celle-ci est vraiment une affaire rationnelle, comme elle le prétend, on ne voit pas pourquoi tous ne pourraient en profiter à des degrés divers, du moins si on admet, selon une conception de la rationalité de type cartésien, que « le bon sens est de toutes choses la mieux partagée ». Il est donc incompréhensible que la connaissance mathématique en vienne, en milieu scolaire, à jouer le rôle d’un couperet, qui tranche dans les existences en mesurant sans appel des capacités, et du même coup décide des destinées personnelles en les lançant sur des voies dont elles sont censées ne plus pouvoir ensuite s’écarter. La solution de cette énigme réside peut-être dans le fait que, à ce premier niveau par lequel tous doivent passer, les mathématiques ne sont pas vraiment abordées sous l’angle de la connaissance, au sens propre de la maîtrise rationnelle de contenus intellectuels. Dans cette lancée, J. M. Salanskis est amené à se demander si, à l’école primaire et au lycée, c’est bien aux mathématiques, appréhendées comme il le dit sous leur « vrai visage » (p. 25), qu’on a affaire. Car, en réalité, ce qu’on étudie, ce ne sont pas les mathématiques elles-mêmes, mais un artéfact, ciblé sur un type de pratique particulier dont le scénario est fourni par la résolution de problèmes. L’élève est confronté à des énoncés de problèmes, qu’il arrive ou qu’il n’arrive pas à résoudre, ce qui signale en principe de sa part des dispositions personnelles mesurables en termes de réussite ou d’échec, relativement à des enjeux qui débordent le domaine propre des mathématiques considérées, selon la définition qu’en donne J. M. Salanskis, comme l’exploration ouverte d’un domaine spécifique de possibles, qui présente des réserves illimitées d’approfondissement : conformément à cette définition, la mathématique devrait être « pôle et partenaire de nos existences », donc donner lieu à « une expérience excitante et mobilisante plutôt que décourageante » (p. 39), ce qui, justement n’est pas le cas lorsqu’elle est ramenée à une résolution de problèmes. Qu’est-ce en effet que résoudre un problème ? C’est chercher à surmonter une difficulté dont la résolution est idéalement donnée en même temps les termes de son énonciation : la solution, il faut la « trouver », au sens non de l’invention mais de la découverte, comme quelque chose qui est déjà là, qui court en quelque sorte devant vous, et qu’il faut se donner les moyens d’attraper, au prix d’un effort qui ne modifie en rien sa nature, celle-ci étant fixée pour toujours. La pratique scolaire des mathématiques, en tant qu’elle s’identifie à la résolution de problèmes, ramène donc celle-ci à la saisie de résultats qui préexistent à l’activité par laquelle on les recherche : les mathématiques auxquelles on a affaire alors sont des mathématiques déjà toutes faites, dont les contours sont dessinés dans les leçons des manuels, qu’il n’y a plus qu’à se préparer à appliquer correctement. Il est sans doute inévitable qu’un apprentissage passe par une telle phase préparatoire, où l’esprit s’exerce sur des contenus préalablement élaborés, et sur lesquels il n’a pas réellement prise : il serait déraisonnable d’attendre d’un enfant ou d’un adolescent qu’il puisse, comme est parvenu à le faire dans sa jeunesse quelqu’un comme Pascal, non seulement résoudre des problèmes dont l’énoncé lui est proposé avec la solution inscrite à sa suite à l’encre sympathique, dont il ne reste plus qu’à révéler en toutes lettres la formulation, de la manière dont on déchiffre un message codé, mais lui-même poser et se poser des problèmes, entendons des problèmes nouveaux, dont nul avant lui n’aurait eu l’idée, et dont la solution serait alors à inventer, et non seulement à découvrir. Mais ce serait une grave erreur de croire que ces mathématiques-là, qui sont justement celles qui sont exploitées comme un instrument implacable de sélection, soient les vraies mathématiques, celles qui sont en mesure de déclencher un authentique désir de connaissance, avec les perspectives de satisfaction, et même les joies intenses qui y sont attachées, et qui sont promises, au prix des efforts nécessaires à leur obtention, à ceux qui ont accès aux mathématiques sous leur vrai visage, dont la première initiation aux mathématiques n’offre qu’un simulacre.        Tout le monde est confronté, ne serait-ce qu’un tout petit peu, à la nécessité d’apprendre des mathématiques, du moins sous la forme arrangée, voire même trafiquée, qui vient d’être évoquée. Mais cet apprentissage ne conduit pas automatiquement à entretenir le tout nouveau type de rapport aux mathématiques qui consiste dans le fait de les « étudier », comme on peut le faire à l’université, où l’on entre, sans doute poussé par le besoin d’acquérir une qualification professionnelle, mais aussi par le désir de s’élever à quelque degré aux joies pures de la connaissance, telles que peut les procurer la pratique de la mathématique envisagée pour elle-même et non comme un instrument d’inculcation sélective. J. M. Salanskis restitue dans des termes exaltés l’ivresse que lui a procuré personnellement cette nouvelle initiation, qui a pris la suite de la précédente sans en être à proprement parler la continuation ou la prolongation, car elle mettait en œuvre un changement réel d’orientation, donc débouchait sur une expérience différente de la chose mathématique. A l’université, J. M. Salanskis est entré dans un monde enchanté où le savoir, au lieu de se présenter comme quelque chose de préfabriqué, à quoi il n’y a qu’à se plier, a été l’occasion d’une prise de responsabilité, et du même coup d’une prise de risque, ouvrant un champ à l’exercice d’une liberté.        Cette mutation a résulté de la rencontre avec une forme d’enseignement directement associée à la recherche, ce qui ouvre la perspective d’appréhender les contenus intellectuels transmis sous de tout autres formes que celles sur lesquelles repose la pédagogie de l’école et du lycée :« (A l’université) on suppose que les sujets seront enseignés par des spécialistes de la question, c’est-à-dire par des personnes poursuivant un travail de recherche sur le thème enseigné. Quelque part, cette clause ouvre la possibilité d’une dissolution de la transmission pédagogique. Connaître un sujet sous l’angle de la recherche, en effet, c’est le connaître du point de vue de ce qui est à interroger dans le domaine en cause, de ce qui est ouvert et donne matière à controverse dans le savoir. Impossible de « chercher » sans entretenir un rapport essentiel avec l’instabilité foncière de la connaissance, avec la vacillation du dogme. Mais si l’enseignant enseigne cela, s’il enseigne que nous ne savons pas, ne faut-il pas dire rigoureusement qu’il n’enseigne plus, introduisant à des perplexités plutôt que transmettant des connaissances ? » (p. 50)        Cette analyse, qui ne s’applique pas qu’aux seules mathématiques, mais vaut en principe pour toutes les autres disciplines enseignées à l’université, met en avant l’obligation d’aborder le savoir et ses prétendues certitudes sous l’angle du questionnement, ce qui suscite une disponibilité d’esprit complètement absente des autres niveaux d’enseignement où les contenus de connaissance, une fois pour toutes programmés, sont à prendre ou à laisser comme tels, sans qu’il soit envisageable de s’interroger sur leur validité. C’est du moins ainsi que les choses devraient se passer : dans la réalité, comme le constate J. M. Salanskis, il est de plus en plus difficile, à l’université, de perpétuer cet espace de liberté, qui transforme de fond en comble la pratique enseignante ; et l’université tend à se transformer une machine à fabriquer de la compétence sous des formes calibrées, tout en produisant de l’échec, ce à quoi elle arrive en rejetant les rebuts de l’opération de la même manière que cela pouvait se faire dans le primaire et le secondaire. Il n’en reste pas moins que, dans certaines marges qu’elle parvient encore à préserver, l’université constitue idéalement le lieu où l’étudiant a la possibilité d’effectuer la rencontre avec « la mathématique telle qu’en elle-même » (p. 58), en profitant de la stimulation que procure « cette mathématique optimale » (p. 60) dont la figure exemplaire a été fournie à J. M. Salanskis par les « édifices somptueux » qu’a élaborés l’école bourbakiste.        Etudier, en ce sens, c’est cultiver, à un certain degré, sur fond de curiosité, une créativité dont la source se trouve dans la discipline elle-même, pour autant que celle-ci est perçue en cours de développement, proprement en recherche d’elle-même, donc projetée vers l’avant sans garantie quant à l’issue de ce mouvement qui se nourrit des difficultés qu’il suscite, sous forme d’interrogations provoquées par le développement de la recherche, davantage qu’il ne les rencontre, comme des obstacles dressés devant lui qui l’attendraient de toute éternité. De là une expérience de la chose mathématique qui possède une tonalité inédite :« La mathématique apprise est moins immédiatement un jouet à tourner dans tous les sens pour en faire sortir le plaisir de petites illuminations. Elle est plutôt comme une histoire enchevêtrée dont il faut apprendre à démêler les fils, ou comme une signification opaque et stratifiée dont il faut surmonter l’apparente étrangeté. Le simple fait que le niveau soit plus élevé, que les choses soient plus difficiles, change ici la donne. » (p. 62)        Le changement consiste dans le fait que sont alors proposés à l’étude des problèmes, non plus fermés, mais ouverts, qui, sur la base d’une information préalable, appellent, de la part de celui qui s’y confronte, une disposition d’esprit active, adéquate à la nature d’un savoir qui s’effectue lui-même en acte, et dont les modalités d’assimilation sont du même coup transformées. Par là l’étudiant, c’est-à-dire, si on prend ce terme à la lettre, celui qui est en train d’étudier, donc se trouve engagé en acte dans un programme d’étude, se trouve personnellement impliqué dans le processus de la recherche qui l’entraîne dans sa dynamique, dont il se met alors à partager les incertitudes :« Il semble que l’on doive accepter un nouveau rapport aux mathématiques en même temps qu’il est question de devenir émetteur de mathématiques : un rapport qui n’est plus tout entier tissé de perfection et de séquences pleines intériorisées, mais qui consiste en une imprégnation multiforme, faisant se côtoyer des sentiments d’ensemble, des visions, des îlots pratico-symboliques, etc. » (p. 72)        On commence dans ces conditions à prendre la mesure de l’envergure immense de la chose mathématique, qui cesse de présenter le caractère d’une matière à apprendre, dont les contenus aux contours bien définis n’ont plus qu’à être assimilés ou ingurgités : mais elle s’offre à un examen labyrinthique dont les détours, parfois désespérants, stimulent toujours davantage le désir de connaissance, un désir dont les élans sont destinés à n’être jamais assouvis, ce qui paradoxalement suscite un sentiment d’exaltation, un attachement à ce monde étrange dont l’exploration aventureuse attire l’admiration qu’on consacre aux choses aussi difficiles que rares. Le chapitre que J. M. Salanskis consacre à la nouvelle expérience qu’il a pu faire des mathématiques en les étudiant à l’université s’achève sur l’évocation de cet affect singulier :« C’est une nouvelle façon de vivre avec les mathématiques qui se dessine ici, et d’être gratifié par elles : au lieu qu’elles donnent immédiatement, à chaque fois, le regard triomphant sur les structures, elles nous inhibent de leur complexité flottante, et font de nous les occasions  et les lieux de surcroîts d’évidence et d’opération qu’elles appellent et qui résident potentiellement en elles de façon mystérieuse. » (p. 76)        Se dégage de cette analyse une figure inquiète d’étudiant-chercheur, qui regroupe finalement tous ceux qui travaillent à l’université, quel que soit le poste qu’ils y occupent : ceux-ci se définissent par le fait qu’ils ont renoncé aux confortables certitudes attachées à la représentation de savoirs définitivement acquis et au type de pédantisme qui constitue l’accompagnement de cette représentation.         J. M. Salanskis aurait pu, après avoir connu l’envoûtement provoqué par l’étude des mathématiques pures, vouloir perpétuer indéfiniment ce genre d’expérience, en devenant professionnellement un chercheur en mathématiques, ce qui constitue l’un des débouchés possibles de l’étude de cette discipline à l’université ; et il aurait pu aussi, comme l’a fait quelqu’un comme Jacques Roubaud, greffer sur cette activité une rumination inspirée par la poésie, et acquérir la position tout à fait originale d’un mathématicien écrivain ou écrivain mathématicien. Il a pris une orientation différente, en passant l’agrégation, ce qui l’a ramené au lycée en tant que professeur de mathématiques, chargé de la responsabilité d’enseigner cette discipline qu’il avait préalablement apprise et étudiée. A première vue, cette réintégration a revêtu l’allure d’une rétrogradation : devant une classe d’élèves du secondaire, il ne peut plus être question de présenter, ni même de se représenter, la mathématique sur le mode d’un savoir qui se nourrit de la conscience de son inachèvement, en vue de se relancer vers l’avant de lui-même, une fois déposée l’illusion que ce mouvement pourrait aboutir à un terme définitif. Il faut à nouveau s’adapter aux contraintes d’un processus d’apprentissage, et se résigner à n’enseigner qu’une matière officiellement codifiée, réduite ainsi à son plus petit commun dénominateur, ce qui est la condition pour que les éléments puissent en être transmis à des esprits non déjà préparés. Pour le nouvel enseignant qui débarque au lycée, ce changement, explique J. M. Salanskis, est vécu comme un « traumatisme », associé à l’épreuve d’une perte, à la manière d’une sorte de deuil. La nouvelle expérience de la chose mathématique provoquée par ce retour au lycée est donc, de prime abord, déceptive, donc négative.        Mais, en même temps, elle est l’occasion de porter un nouveau regard sur la discipline, qui conduit le professeur à faire la découverte « d’une dimension insoupçonnée de sa religion » (p. 81), donc à perfectionner sa conscience mathématicienne, qui trouve dans cette épreuve l’occasion d’un nouvel élan. En effet il découvre que tout ce qui est devenu évident pour lui, non au titre d’une science infuse dont il disposerait par grâce spéciale, mais parce qu’il en a intégré les schèmes de base au cours de sa propre formation, ne l’est pas pour les élèves, au point que, s’il essayait de leur communiquer directement le sentiment d’évidence qui a fini par l’habiter intimement, il irait droit à la catastrophe pédagogique. De cette révélation résulte une interrogation à laquelle il n’avait jamais été confronté auparavant : mais, s’ils ne comprennent pas, sur quoi au juste bute leur compréhension, d’une façon qui décourage à première vue tout effort rationnel d’explication ? Pourquoi ne comprennent-ils pas ? Qu’est-ce qu’ils ne comprennent pas ? Ces questions l’incitent à revenir aux sources de la connaissance mathématique et à en réfléchir sous un éclairage nouveau l’ordre fondationnel, ce qui, au lieu de l’appauvrir, enrichit l’expérience qu’il peut s’en faire :« A l’inverse de ce qu’il pouvait redouter en se trouvant jeté dans la situation de devoir enseigner des choses élémentaires, trop faciles, il a finalement l’impression que sa mission professionnelle le fait progresser dans la discipline : qu’elle lui rend pour ainsi dire le continent oublié d’un héroïsme intellectuel aux mille gestes obscurs, qui est le fond de la pensée mathématique. » (p. 85)        Très précisément, il se met à comprendre que le savoir mathématique, pour autant qu’il ne se réduit pas à des contenus rationnels abstraits inscrits dans des manuels, mais nécessite une adhésion intellectuelle résultant d’un effort de compréhension qui ne peut être spontané, tant sont considérables les obstacles qui freinent son élan, repose sur une foultitude de « gestes » mentaux, donc des postures et des attitudes qui ne sont ni naturelles ni innées. Apprendre, il s’en rend compte alors, ce n’est pas assimiler des éléments doctrinaux, mais c’est  acquérir peu à peu la pratique ordinaire de ces gestes, qui confèrent au raisonnement ses allures d’une manière qui ne peut être automatique, du moins au départ :« La tâche d’enseignement n’est pas d’accumuler chez les mathématiciens de nouvelles capacités, mais de gagner au point de vue mathématique les esprits un peu plus à la faveur de chaque affaire locale. » (p. 91)        La mathématique est donc, c’est du moins sous cette forme nouvelle qu’elle apparaît grâce à cette expérience, affaire de point de vue : elle suppose un tour d’esprit particulier ; un wittgensteinien parlerait peut-être à ce propos d’un jeu de langage. Le rôle de l’enseignant est de cultiver ce tour, de faire entrer les élèves dans ce jeu qui donne accès à un domaine consistant d’objets ne relevant pas de l’évidence naturelle. Il s’agit donc d’établir les conditions d’un partage, au terme duquel la classe fonctionne à la manière de ce que J. M. Salanskis appelle une « communauté mathématique » (p. 93) :« Dans l’enseignement des mathématiques, on ne cesse de croiser le moment où, pour que le message passe, il faut que l’élève image en lui la forme qui structure la situation, celle à laquelle comme mathématicien plus aguerri nous pensons, celle qui vibre en nous et par la puissance de laquelle nous souhaitons simplement le contaminer. Avec toutes les ressources de suggestion qui nous passent par la tête – gestes, mimes, petits récits, mots magiques -, nous tentons de forcer le passage vers l’activité imageante de l’élève. La difficulté étant que le succès consiste dans son activité vraie justement : il faut que ce soit lui qui anime dans sa pensée la forme requise, à cette unique condition il saura et retiendra. » (p. 95)        Ce qui est ici décrit, c’est proprement ce que Kant appelle le schématisme de la fonction imaginante, dont l’assistance est indispensable à l’entendement pour qu’il parvienne à faire jouer effectivement ses catégories, au lieu de les laisser à l’état de potentialités rationnelles inemployées, et à vrai dire inutilisables comme telles si elles ne disposent pas de cet appoint. En reconstituant les conditions d’une pratique pédagogique, telle qu’il a pu les réfléchir sur le tas, au sein de sa classe, J. M. Salanskis se trouve déjà pris dans l’ambiance, engagé dans le contexte d’une analyse philosophique. En s’évertuant à enseigner des mathématiques à des esprits naturellement récalcitrants, il a progressé dans sa connaissance des mathématiques en ce sens très particulier qu’il a dû, en situation, se demander quelle est au juste la nature de cette connaissance, quelle sorte de réquisits mentaux elle suppose, donc à quelle forme d’activité intellectuelle, à vrai dire des plus bizarres, et à première vue dérangeante, elle correspond. Et on peut supposer que c’est cette réflexion, dont les données n’étaient pas seulement théoriques, qui l’a à terme conduit vers la quatrième et dernière expérience des mathématiques dont il est question dans son livre, celle qui l’a conduit, après les avoir apprises, étudiées et enseignées, à les « penser », cette fois en philosophe professionnel qui, comme avait pu le faire un Husserl, a, à un certain moment, jeté son froc de mathématicien aux orties, en sautant le pas qui l’a fait passer de l’autre côté : c’est ce qui lui a permis d’échapper au destin basique de la science qui est justement, pour reprendre le mot de Heidegger, de « ne pas penser », sous le prétexte qu’elle doit, si elle veut avancer, se dispenser de réfléchir sur ses fondements, de la manière dont seul un philosophe peut en principe le faire. Est ainsi soulevée la question, à laquelle il n’est pas évident de répondre, de savoir si la question du fondement des mathématiques est une question qui échappe définitivement à l’initiative des mathématiciens, ce dont il est quand même permis de douter si on se réfère à des démarches aussi exemplaires que celles de Frege ou de Hilbert dont le moins qu’on puisse dire est qu’ils se sont efforcés de penser leur activité mathématicienne.         Si J. M. Salanskis s’est tourné vers la philosophie, ce n’était pas seulement pour réfléchir sur le fondement des mathématiques, question susceptible en fin de compte d’être traitée d’un point de vue technique, comme l’ont montré les travaux de l’école bourbakiste : mais c’était en vue d’élargir sa perspective, et de se confronter à des problèmes comme celui de la nature de l’esprit, des conditions de son insertion dans le monde, ce qui, de fil en aiguille, l’a conduit à s’interroger plus généralement encore sur la conduite de la vie, disons, en simplifiant, à passer d’une perspective strictement épistémologique, dans laquelle il avait été par force cantonné au départ de sa carrière de « philosophe », à une perspective métaphysique et éthique. A cette étape de son parcours il s’est donc éloigné des mathématiques, ce qui ne l’a cependant pas empêché d’y rester, comme il le dit, « accroché », même si ce lien a pris de nouvelles formes. Il a alors fait l’expérience d’une nouvelle façon de « vivre avec les mathématiques » qui, en s’ajoutant à celles qu’il avait déjà pratiquées, l’a conduit à en réfléchir la signification, ce qu’il fait précisément dans son livre, qui est un livre écrit par un philosophe au point de vue de la philosophie.        Comment cette « habitation philosophique des mathématiques » (p. 122) s’est-elle passée ? En premier lieu, elle a développé des intérêts négligés des mathématiciens complètement engagés dans leur discipline, ce qui a nourri chez eux un certain nombre de préjugés corporatistes sur lesquels le philosophe est en mesure de porter un regard critique. J. M. Salanskis signale d’abord, au titre de ces préjugés, la condescendance avec laquelle l’école mathématique française s’est habituée à considérer des démarches logiciennes dont le formalisme la rebute, ce qui correspond, selon lui, à une « orientation idéologique » (p. 113) au nom de laquelle, chez nous du moins,« la logique est suspectée de ne pas partager jusqu’au bout la passion de la mathématique pour l’objet, sa faculté de penser celui-ci dans une polymorphie et une profondeur illimitées. » (p. 114)        Or, au moment où il est entré officiellement en philosophie, J. M. Salanskis a dû, pour accréditer sa vocation auprès des philosophes de profession, et très concrètement pour se faire recruter à l’université dans des départements de philosophie, revêtir, au moins provisoirement, l’habit de logicien, donc acquérir une « compétence spécifique » (p. 116) dans un domaine hybride, où le mathématique se conjugue au métamathématique, d’une manière que les mathématiciens purs sont portés à considérer comme hérétique, ou dans le meilleur des cas comme marginale. Parallèlement, à l’autre bout de l’échelle des diverses formes du savoir mathématique, il a été amené aussi à revoir le concept de « mathématiques appliquées », qui recouvre en particulier l’exploitation des procédures mathématiques par les physiciens, et qui, pour des raisons inverses et complémentaires de celles qui leur font dédaigner l’approche logicienne de leurs démarches, est également dépréciée par les mathématiciens purs : il a alors compris que le raisonnement mathématique, au-delà des objets qu’il se donne en propre, a aussi la capacité de construire ou d’aider à construire une image globale du monde, ce qui est « une autre manière de faire jouer les mathématiques » (p. 128), déroutante pour un mathématicien, qui aura naturellement tendance à considérer que les mathématiques dont se servent les physiciens ne sont pas suffisamment « propres », et en conséquence ne sont pas vraiment des mathématiques. Ce que son passage à la philosophie a apporté à J. M. Salanskis, c’est donc une nouvelle attitude à l’égard des mathématiques, qui l’a incité à fréquenter des mathématiques un peu différentes de celles qui focalisent l’attention des mathématiciens de pure obédience, d’où a résulté, comme il l’écrit, « une manière d’habiter les mathématiques dans un souci non purement mathématique » (p. 129). Lorsque J. M. Salanskis a franchi les limites de sa discipline d’origine, il a ainsi été amené, non à quitter définitivement celle-ci, mais à porter sur elle un regard élargi et à certains égards plus lucide. Mais cela ne s’est pas fait sans douleur, car il a éprouvé alors la difficulté à être « l’habitant alternatif de la transe mathématique et du dégrisement philosophique » (p. 133). De là une situation inconfortable, consistant dans le fait d’occuper une sorte d’entre-deux : on n’est plus « dans » les mathématiques, et cependant on n’en est pas complètement sorti. Et là est peut-être le premier résultat de l’effort en vue de « penser les mathématiques », comme seul un philosophe se donne les moyens de le faire : c’est de découvrir que, dans le cas de la mathématique comme dans celui d’autres disciplines, la limite passant entre le dedans et le dehors est artificielle et que la séparation qu’elle instaure est tout sauf étanche. Au fond, ce dont J. M. Salanskis a fait l’expérience en devenant philosophe, c’est, en premier lieu, de la transdisciplinarité, c’est-à-dire du processus de transformation réciproque dans lequel les disciplines sont engagées dès lors qu’elles entrent en communication, ce qui amène à en identifier les contenus et les méthodes différemment, en les arrachant à l’étroitesse à laquelle les condamne leur soumission à des catégories prédéfinies, censées immuables.        Mais, lorsque J. M. Salanskis est passé à la philosophie, cela n’a pas eu seulement pour conséquence de décloisonner sa vision des mathématiques, et très concrètement de l’amener à s’intéresser à des démarches s’attaquant à d’autres strates d’objectivité et à d’autres régimes de vérité, comme ceux dont il a traité dans son ouvrage sur Le constructivisme non standard (Presses du Septentrion, 1999) : cela l’a surtout incité à repenser le statut des mathématiques en soulevant la question de leur insertion globale dans la culture, ce qui donne son objet au chapitre conclusif de son livre, où est explicitée l’idée qui donne son fil conducteur à l’ensemble de sa réflexion : cette idée, c’est celle de partage. Une expérience n’est vraiment une expérience qu’à partir du moment où elle se partage : vivre avec les mathématiques d’une manière qui se veut authentique, c’est en tout premier lieu assimiler qu’elles ne sont pas la propriété exclusive de savants spéciaux, arc-boutés sur les privilèges que leur confèrent leur hautes compétences, mais qu’elles sont une forme de l’existence humaine, qui côtoie toutes les autres, et donc interfère avec elles, d’une manière ou d’une autre. Ceci revient à énoncer ce qui se présente de prime abord comme un  truisme : pour être mathématicien, on n’en est pas moins homme. Mais, être homme, qu’est-ce que c’est ? Ce n’est certainement pas une donnée naturelle qui s’offrirait à être perpétuée en l’état. Mais c’est, selon le concept de la culture que J. M. Salanskis reprend aux ultimes travaux de Husserl, trouver les moyens d’habiter le monde d’une manière autant que possible diversifiée, non exclusive, et en conséquence, reprenons le mot, partagée. Ainsi, c’est la figure pascalienne de l’honnête homme que J. M. Salanskis retrouve au terme de son cheminement qui l’a conduit à vivre avec les mathématiques à travers les quatre expériences qui ont consisté à les apprendre, à les étudier, à les enseigner et à les penser :« Vivre avec les mathématiques, cela se conçoit en plusieurs sens, il y a plusieurs manières dont les thèmes mathématiques peuvent se placer dans une existence pour en définir tout un pan. On peut avoir à leur égard, ainsi, un amour et une responsabilité d’élève, d’enseignant, de chercheur ou de penseur, et ce n’est pas la même chose (bien d’autres possibilités pourraient être envisagées, cela va de soi) : mais, dans chaque cas, les mathématiques incarnent pour une part le sel de la vie, et c’est cela le plus important que je voulais faire entendre. » (p. 153)      