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Nous allons dans ce papier comparer l’algèbre de la logique exposée par Schröder dans les leçons sur l’algèbre de la logique (Vorlesungen über die Algebra der Logik) et celle explicitée par Whitehead dans son traité sur l’algèbre universelle (A Treatise on Universal Algebra) ainsi que dans son ouvrage majeur Principia mathematica coécrit avec Russell.Pour ce faire, nous allons tout d’abord nous intéresser au problème d’élimination qui constitue un des points d’orgue du traité de Schröder. Par la suite, nous mettrons en parallèle les approches de Schröder et Whitehead sur les différents niveaux de l’algèbre de la logique. Plus précisément, nous exposerons dans le cadre de la logique des classes une étude comparée des bases du système Schröderien et celles du système d’axiomes de l’algèbre universelle puis nous mettrons en exergue l’importance de l’article défini dont Peano, Whitehead et Russell critiquèrent l’absence dans la théorie Schröderienne. De plus, nous étudierons en détail, au sein de la logique des propositions, les points de vue opposés de Schröder et Whitehead sur la notion même de propositions. Nous nous intéresserons aussi à la mise en exergue par Schröder dans le cadre de la logique des relations de la notion de dualité qui est à la base de la théorie des treillis et dont l’intérêt n’apparut point dans un premier temps à Russell mais qui fut traitée plus tardivement dans les Principia mathematica. Finalement, nous analyserons les diverses critiques faites sur l’opérateur de subsomption introduit par Schröder.Le problème d’éliminationNous tenons tout premièrement à expliciter la nomenclature utilisée par Schröder car il emploie un vocabulaire emprunté à la géométrie notamment le mot région comme une sorte de synonyme de classe et variété à la place d’univers du discours. Ce point est très important car il met en évidence l’intuition de Schröder sur le lien entre la géométrie (et même la topologie si l’on se permettait un vocable quelque peu anachronique) et la logique qui sera exploré bien plus tard par la théorie des catégories. Nous reviendrons par ailleurs sur cette remarque en considérant la notion schröderienne de variété consistante. Par la suite, nous utiliserons le mot « classe » au lieu de région même s’il n’a pas exactement le même sens pour Whitehead et Schröder. Explicitons maintenant ce que nous entendons par « problème d’élimination ».Schröder commence son ouvrage par une emphase sur le problème d’élimination. En effet, il arrive que des « classes » apparaissent dans des hypothèses mais ne se retrouvent point dans les conclusions donc Schröder eut l’idée d’utiliser une méthode permettant de simplifier les hypothèses pour en déduire plus facilement les conséquences. Plus formellement, si nous arrivons à la conclusion Ψ(y) à partir de l’hypo­thèse (x,y) sur les classes x et y alors il doit exister une hypothèse 0(y) telle que x(x,y)0(y). Ainsi la recherche de l’hypothèse simplifiée 0(y) devait permettre d’accéder à la méthode la plus rapide pour obtenir les conséquences se déduisant de n’importe quelle prémisse.Ceci fut un thème majeur de ses leçons dont l’importance à ses yeux était capitale1.Pourtant il fut incapable de généraliser sa méthode à cause de son refus de faire appel aux éléments d’une « classe » bien qu’il se référait dans certains cas d’élimination au cardinal d’une « classe » et ainsi utilisait de façon implicite la notion d’élément. Les critiques sur ce point se firent entendre dans le traité d’algèbre universelle car Whitehead considérait les éléments comme un concept de base et non comme une simple notion contrairement à Schröder. En effet, la définition d’un élément chez Schröder était purement extensionnelle car elle se déduisait de la notion de « classe » en considérant qu’une « classe » non vide dont au moins l’une des deux intersections par une « classe » d’un couple quelconque de « classes » distinctes de la variété considérée était équivalente à la classe vide définissait un élément. Pour en exposer la complexité, nous donnons ci-dessous la définition formelle d’élément au sens de Schröder :2Il est évident que cette expression rendait très difficile l’utilisation de la notion d’élément et même obligeait Schröder à utiliser une définition propositionnelle d’éléments l’amenant probablement à considérer le calcul des propositions au même niveau que celui des classes. Précisons tout de même que si le point de vue de Schröder sur la restriction du calcul des propositions à celui des classes est clair, la raison invoquée subséquem­ment l’ayant conduit à cette prise de position n’est qu’une supposition. Une remarque importante doit être faite sur les travaux de Whitehead concernant le problème d’élimination car il réussit à étendre la méthode de Schröder grâce à une méthode d’induction appliquée à certaines techniques d’algèbre linéaire empruntées à Sylvester et à Cramer faisant intervenir les « discriminants » auxquels il fait correspondre les « résultants » dont il cite l’introduction par Schröder3.Malgré les prolongements apportés par Whitehead, le problème d’élimi­nation ne fut pas complètement résolu car il restait à éliminer le quantificateur de la formulation Schröderienne de ce problème, il fallut donc attendre l’année 1919 durant laquelle Skolem finit par établir l’équi­valence entre les formules du premier ordre et les formules sans quanti­ficateurs.Par ailleurs, les systèmes de Schröder et de Whitehead ne sont pas directement comparables car celui de Schröder concerne essentiellement les « classes » et celui de Whitehead concerne non seulement le calcul des classes mais aussi celui des propositions séparément. De même, leur but était radicalement différent, Schröder essayait de développer symbolique­ment une algèbre de la logique contrairement à Whitehead et Russell qui cherchaient à refondre les mathématiques à part entière en partant de simples postulats logiques. Précisons que la position plus modérée exposée dans les Principia mathematica, stipulant que ces postulats de base sont à quelques extensions près une question de choix arbitraires4, doit probablement venir de Whitehead ou de Russell influencé par Whitehead. Ce point de vue par ailleurs devait être celui de Schröder car il réduisit aussi le calcul des relations à celui des classes pour des commodités structurelles sans se préoccuper des questions métaphysiques sous-jacentes. À présent, nous allons expliquer la différence entre les systèmes de la logique des classes Schröderiens et Whiteheadiens.Logique des classesTout d’abord, nous tenons à faire un récapitulatif sommaire sous forme de tableaux des bases formelles de ces différents systèmes de l’algèbre de la logique des classes. Nomenclature de SchröderNomenclature de WhiteheadIndubitablement, le système de Schröder admet un caractère totalement hétérogène dont certains éléments méritent une explication en détail. Premièrement, l’édification de son système utilise une relation primitive entre les régions appelée subsomption représentant à la fois la subordi­nation et l’égalité contrairement au système Whiteheadien qui se base sur la notion de classe et sur des lois algébriques. Il faut tout de même préciser que si l’opérateur de subsomption n’est pas explicitement cité dans le système axiomatique de Whitehead ci-dessus, il n’est point absent de son traité car il correspond à la relation d’ordre entre régions incidentes. Ceci en fait un opérateur complètement différent de celui de Schröder car il ne s’exprime que pour permettre une classification entre régions et ne permet donc pas l’utilisation polyvalente qu’en fait Schröder. Un deuxième point important à dénoter est l’usage de principe par Schröder notamment celui de syllogisme pouvant être compris comme une propriété de l’opérateur de subsomption et ainsi il dépend de la présupposition de l’existence de cet opérateur. En revanche, dans le système de Whitehead, la loi d’associativité de la multiplication induit la propriété démontrable qu’est le syllogisme et par conséquent le syllogisme acquiert un caractère indépendant déductible d’axiomes.Par ailleurs, Schröder réussit grâce au choix de l’opérateur de subsom­ption comme postulat à définir l’égalité alors que celle-ci est une opération de base dans le système de Whitehead. Ceci est un bel exemple du génie schröderien mais hélas il se fit au détriment de l’indépendance des éléments de son système ; il y eut justement une critique a posteriori de la part de Huntingon à ce sujet dans son papier sur les ensembles de postulats indépendants pour l’algèbre de la logique5. Réciproquement d’ailleurs, Whitehead définit la subsomption à l’aide de l’égalité et la multiplication dans la pro­position suivanteSi y € x alors y = xy et réciproquement6Malgré tout, le système schröderien est consistant à l’instar de celui de Whitehead mais son hétérogénéité et sa dépendance nous obligent à préférer parler de système à son égard plutôt que de lui accorder le statut d’axiomatique auquel le système de Whitehead peut prétendre. Une raison supplémentaire pour s’accorder sur cette terminologie vient de la démons­tration systématique des propositions à partir des axiomes dans le traité d’algèbre universelle.Une dernière particularité fondamentale du système de Schröder est le statut singulier de la variété et de la classe vide car celui-ci est triple. Effectivement, nous pouvons considérer l’existence de la variété comme présupposée ou prendre sa formalisation pour une propriété même une définition stricto sensu. Si nous choisissons de prendre en compte la variété en termes de postulat, cela nous permet de définir par dualité la classe vide pour l’ensemble des régions de la variété. À l’inverse, supposer que la variété puisse être définie par la propriété exposée dans le tableau ci-dessus sans exiger son postulat ontologique nous pose deux problèmes. Le premier est de répondre à la question légitime « si la propriété définissant une variété doit être vraie pour toutes les régions, dans quel ensemble doivent être prises ces régions ? » La réponse au premier problème est hélas évidente « cet ensemble est la variété elle-même », nous arrivons donc au second problème posé par cette définition autoréférentielle. Il est difficile de savoir où la réflexion de Schröder s’est arrêtée car son approche globalement extensionnelle aurait dû l’obliger à assimiler variété et classe universelle mais le statut original de la variété sous-tend de sa part une analyse bien plus profonde qu’il n’y parait. En outre, nous pouvons remarquer que Whitehead, grâce à sa démarche prenant en compte l’intensionnalité, arrive d’une manière bien différente à éviter ce problème. Effectivement, Whitehead dans son traité reprend la définition Riemanno-Grassmanniene de variété c’est-а-dire un ensemble de régions dont chacun des éléments respectent une certaine propriétéPdonnée ainsi la classe universelle i peut être définie comme une région particulière respectant la propriété « ai = a » pour tout a tel quePsoit vraie pour a. Par conséquent, la distinction implicite faite par Schröder entre la classe universelle et la variété devient explicite chez Whitehead et par conséquent montre l’inutilité de l’ingénieux triple statut inventé par Schröder.À titre indicatif, nous tenons à exposer l’axiomatique des Principia mathematica de façon à voir l’évolution par rapport à celle du Traité d’algèbre universelle. Nomenclature de Whitehead et de RussellNous pouvons constater que si l’on excepte la définition formelle de classe, celle de stabilité et le caractère assertif des postulats, le système des Principia mathematica semble n’être qu’une reformulation avec des notations ensemblistes de celui du Traité d’algèbre universelle. Toutefois, il ne faut point négliger ces apports car ils enrichissent la notion même de classe tout en renforçant l’idée d’indépendance des axiomes. De même, la considération de la différence entre la classe vide et celle universelle comme un axiome assure l’indépendance de ce système. Notons que Schröder avait déjа eu cette idée mais il trouvait absurde de nier cette différence et par conséquent ne lui donna pas le statut d’axiome.Maintenant, nous allons nous intéresser à une critique faite par Russell du système Schröderien concernant l’absence de la notion d’article défini en son sein.L’article définiPour bien comprendre cette critique, il nous remonter au vendredi 3 août 1900 lors du premier congrès international de philosophie durant lequel Peano exposa (aux alentours de 10 h d’après Couturat) le besoin d’utiliser l’article défini « the ». Schröder s’opposa à lui car dans son système, les classes pouvaient être définies uniquement à partir des noms et des adjectifs. Russell mis en exergue le grand avantage calculatoire apporté par l’article défini de Peano et pointa le besoin d’en explorer les implications philosophiques. La plus importante de ces implications est la restriction des prédicats à seulement ceux pouvant être exprimés par des noms collectifs ou des adjectifs collectifs. A contrario, l’ajout de l’article défini permet de définir la classe à laquelle se réfère le terme par la seule instance de ce mot. Ainsi l’article défini a mené Russell et Whitehead à prendre en compte la distinction entre la classe considérée comme unique et celle considérée comme multiple donc à différencier le point de vue intensionnel des classes et des fonctions propositionnelles de celui exten­sionnel des collections d’objets. Ce point pourrait paraître un détail s’il n’induisait pas le fait que le problème posé par le statut singulier de la classe vide et la variété chez Schröder soit résoluble par l’introduction de l’article défini. En effet, l’article défini permet non seulement de présup­poser l’existence de la variété et de la classe vide mais aussi de distinguer les postulats des définitions ou des propriétés qui les définissent en différenciant leurs multiples instances.Ainsi le point de vue extensionnel et l’absence d’article défini empêchèrent Schröder de définir la classe vide en tant qu’objet à part entière ce qui conduit Russell à en faire une critique indirecte dans Les Principes des mathématiques. Cette critique reprend certes l’argument fregéen7 mais lui ajoute l’incompréhension de l’utilisation de l’article défini entraî­nant l’indistinction entre les différentes « classes nulles » (Russell rejettera dans ce même ouvrage l’idée Peanesque de classes nulles lui préférant celle de classes-concepts nulles8. Il y a tout de même un bémol à mettre aux critiques russeliennes car il reconnaît à Schröder d’avoir apporter la meilleure contribution à l’algèbre de la logique en termes de méthodes non-peanesques9. De plus, le caractère indirect de ces critiques les atténue quelque peu ; il est possible que ces égards soient dus à la dépression de Schröder l’ayant conduit au suicide mais cette considération parait difficile à admettre pour qui a connaissance de la personnalité de Russell.Par ailleurs bien plus tard, l’article défini permit entre autres à Whitehead et Russell dans les Principia mathematica de consolider ce point de vue en lui adjoignant des questions d’ordre ontologique et épistémo­logique tels ceux du statut des classes et de ses éléments, des implications de la quantification, du rôle des classes dans l’abstraction ainsi que dans les définitions contextualisées. Nous allons à présent étudier les apports de Schröder et Whitehead aux calculs des propositions.Logique des propositionsTout d’abord, il faut remarquer que le calcul des propositions est abordé de façon radicalement différente chez Schröder et Whitehead.D’un coté, Shröder ne considérait pas directement les propositions mais transposait le calcul des classes à celui des propositions et voyait le calcul des propositions comme un principe spécifique attaché aux calculs des classes symbolisé par des expressions du type (A = 1) = A. Par conséquent, Schröder pensait que la vérité d’une proposition était une assertion de l’interprétation de l’esprit humain plutôt qu’une propriété abstraite.Etonnamment, l’erreur de ne pas de distinguer une proposition d’une assertion le conduit à prendre en compte les problèmes de temporalité en considérant « 1 » comme la classe de toutes les possibilités et A = 1 comme le fait que la vérité de la proposition A soit vraie à travers le temps et l’espace. Sa vision extrêmement formelle aurait dû lui permettre d’arriver bien au-delа du simple traitement de la logique booléenne à deux valeurs mais il n’appréhenda pas les conséquences de sa fabuleuse intuition préférant continuer son étude des quantificateurs. De l’autre, l’approche de Whitehead et Russell fait cette distinction en différenciant les objets auxquels se réfèrent les symboles en les plaçant dans une métathéorie explicite. En effet dans cette métathéorie, les confusions formelles de Schröder, notamment celle du « 0 » représentant à la fois le caractère faux d’une assertion et l’équivalence de cette assertion à une contradiction, disparaissent en interprétant « = 0 » soit comme un symbole collectif soit comme la concaténation du signe « = » et « 0 » Ce point est très important car il conduit Schröder à considérer le caractère faux défini par une négation de la vérité au même titre que la négation d’une proposition et par suite à redéfinir la négation du principe du tiers exclu ainsi qu’à choisir d’insérer une valeur de vérité dans la proposition elle-même.D’où une nouvelle critique de Whitehead qui porta sur la valeur de fausseté d’une proposition et sur l’obligation de reconnaître cette notion en tant qu’idée primitive permettant de ne pas confondre une proposition et sa valeur. Les prolongements épistémologiques de cette remarque amenèrent Russell à réfléchir sur la nature de la vérité. En premier lieu, il repensa les propositions en termes d’objets linguistiques abstraits dont les valeurs de vérité et de fausseté peuvent être affirmées. Dans un second temps, Russell revint à nier le statut d’objets abstraits aux propositions fausses au sein de sa théorie de la vérité notamment dans son papier sur la nature de la vérité et de la fausseté datant de 1910 et par conséquent contem­porain des Principia mathematica. Pourtant dans les Principia mathematica, bien que la vérité soit présentée comme une catégorie autonome, les propo­sitions sont quantifiées et donc assignées à un statut abstrait ainsi nous pouvons supposer que le point de vue exposé est celui de Whitehead préférablement à celui de Russell mais la vivacité d’esprit de Russell ne nous permet en aucun cas d’en être sûr. En effet, une proposition fausse correspond entre autre à la représentation d’un événement faux ce qui permet à Whitehead et Russell de repositionner les propositions dans le cadre des objets abstraits.Notons tout de même que la correspondance entre le système de Schröder et celui des Principia mathematica est ténue même s’il n’existe pas d’équivalent symbolique aux propositions vraies ou fausses noté « 0 » et « 1 » chez Schröder (très rarement distinguées par la notation « 0 » et un peu plus souvent noté « 1 » pour être précis). Ainsi les propositions vraies ou fausses jouent un rôle similaire dans les Principia mathematica mais leur interprétation est foncièrement différente.Un autre point de divergence entre ces systèmes repose sur la prise en compte par Schröder des fonctions propositionnelles comme des cas particuliers de propositions symbolisées à l’aide de quantificateurs. Or dans les Principia mathematica, les fonctions propositionnelles sont certes définies par des quantificateurs mais ne sont en aucun cas des proposi­tions car elles dépendent d’une variable et ainsi ne sont ni vraies ni fausses tant que cette variable reste indéterminée10.De plus, Whitehead critiqua le fait que la définition de produit de classes contenait déjа un produit donc ne pouvait être utilisée pour bien définir la quantification universelle servant à définir les propositions nulles et universelles. Plus précisément, Schröder définissait la proposition nulle et celle universelle par les formalisations suivantes :11or Whitehead préféra ne pas utiliser les quantificateurs pour définir ces deux classes de propositions bien qu’il ait réussi à formaliser celles-ci en termes algébriques de sa logique des propositions12. En analysant de façon approfondie, Whitehead est allé même au-delà de l’algébrisation des quantificateurs usuels car il transpose les quatres formes de la déduction logique des propositions résumées dans le tableau ci-dessous dans lequel le produit (resp. l’addition) désigne la conjonction (resp. la disjonction) de propositions et non plus le produit (resp. l’addition) de classes. Formes de la déduction logique des propositionsComme dans le cas de l’algèbre des classes, l’addition et la multi­plication sont des opérations primitives de l’algèbre Whiteheadienne et rendent ainsi licite la définition des quantificateurs dans son système entraînant une reformulation facile et justifiée des propositions nulles et universelles mais cette solution ne semble pas le satisfaire car il en propose une seconde en considérant que toutes les propositions équivalentes à celle universelle sont évidentes de par elles-mêmes et que toutes les propositions équivalentes à celle nulle soit se contredisent d’elles-mêmes sur un univers réduit aux « Lois de la Pensée », soit contredisent les hypothèses fondamentales posées sur un univers étendu autrement dit les propositions nulles doivent être réfutées pour tout processus de raisonnement13. Par conséquent, ces définitions devaient selon Whitehead être revues et approfondies du point de vue ontologique et il aboutira avec Russell à la définition souhaitée notamment en utilisant l’article défini ainsi qu’en postulant leur non-équivalence pour leur donner un statut d’axiomes14. Désormais, nous allons nous intéresser à la logique des relations.Logique des relationsSchröder continua les travaux de Pierce sur les relations et établit sa théorie des relations binaires entre classes (éléments). En effet, les éléments chez Schröder sont définis comme une région non vide ne pouvant appartenir en même temps à deux régions différentes quelconques de la variété donc ils sont vues comme des « classes » particu­lières dont le caractère indivisible est indiqué par l’appellation « point ». Or le point de vue opposé est explicité dans les Principia mathematica, les éléments ne sont pas des classes indivisibles car il ne faut point confondre un élément et la classe constituée uniquement de celui-ci bien que les classes soient effectivement constituées d’éléments15. Cette remarque est fondamentale car elle est un des fondements de la théorie des types.Un autre point important de la théorie des relations binaires de Schröder est la représentation des relations par des paires ordonnées d’éléments sans hélas prendre le soin de définir explicitement la notion d’ordre. Cette représentation montre l’équivalence entre une relation et l’ensemble des paires ordonnées d’élément la respectant ; pourtant Schröder préféra y voir une décomposition plutôt qu’une constitution favorisant une fois de plus l’extensionnalité. A contrario, Whitehead et Russell comprirent le caractère bivalent de cette représentation et mirent en avant l’intensionnalité sans négliger l’extensionnalité. L’avantage de cette position est de simplifier tout en généralisant l’interprétation des relations. Par exemple, il est bien plus facile de parler de « carré de » que de faire la liste exhaustive des paires respectant cette relation. De plus, elle permet d’éviter de définir la notion d’ordre car la relation induit le caractère asymétrique s’il existe entre les éléments du couple lui étant attachés et donc en mettant de côté les problèmes de représentabilité des éléments respectant cette relation16.Une idée bien plus intéressante de Schröder fut l’introduction de la somme relative de deux relations qui le conduit aux prémisses de la théorie des treillis (un treillis est un ensemble partiellement ordonné muni de deux lois internes dont tous les sous-ensembles finis admettent une unique borne supérieure et une unique borne inférieure). De façon plus détaillée, la somme relative de deux relations R et S est définie comme la classe des y pour laquelle(xRyySz) est respectée ainsi la somme relative représente la forme duale du produit relatif de S par R c’est à dire la classe des y pour laquelle (zSyyRx)est respectée (R par S dans les cas où les relations sont symétriques) ce qui représente un exemple important de la propriété de dualité des treillis ainsi qu’une intuition du théorème fondamental de la théorie des treillis. Pour rappel, la propriété énonce que « si (E,,,≤) est un treillis, alors son treillis dual est (E,,,≥) » et le théorème stipule quesi un théorème T est vrai pour tous les treillis alors le théorème dual de T, obtenu en remplaçant toutes les occurrences de  par  (et réciproquement) et toutes les occurrences de ≤ par ≥ (et réciproquement) est un théorème vrai pour tous les treillis.De plus, la mise en exergue de la dualité par Schröder se fait dans de nombreuses définitions, hypothèses et théorèmes par une présentation originale scindant verticalement la page en deux. Etonnamment ni Whitehead ni Russell dans un premier temps ne poursuivirent les travaux de Schröder sur cette théorie bien que Whitehead ait mis en exergue la propriété fondamentale d’absorption des espaces réticulés (i.e. treillis définis sur un corps commutatif) dans son traité d’algèbre universelle.De plus, cette prééminence de la dualité ne se retrouve ni dans le Traité d’algèbre universelle ni dans les Principia mathematica. La position de Russell exposée dans Les Principes des mathématiques peut expliquer ce désintérêt pour la dualité comme le laisse suggérer son opinion sur l’utilisation de la somme relative17. Toutefois, les théorèmes duaux en connection avec les formes normales exposés dans les Principia mathematica laissent supposer un regain d’intérêt pour la question de la dualité de la part de Whitehead et de Russell mais cela reste très éloigné du caractère systématique de son utilisation par Schröder.Une dernière remarque peut être faite sur le calcul des relations de Schröder, elle concerne l’introduction des relations distinguées qui sont une extension du produit des relations. Elles correspondent à une version simple des fonctions descriptives plurielles introduites par Whitehead et Russell. Les différences majeures entre ces deux entités reposent sur la prise en considération de la question ontologique de l’existence d’un élément respectant ce produit relatif, sur l’interprétation de ce produit en termes fonctionnels mais aussi sur la compréhension de son caractère asymétrique. En conséquence, ils apportèrent une version bien plus évoluée de la notion de relations distinguées tant du point de vue philosophique que mathématique. Plus formellement, Schröder définit le produit relationnel paret les relations distinguées partandis que Whitehead et Russell définirent les fonctions descriptives plurielles par le formalisme suivantdans lequel nous voyons clairement la supposition de l’existence des relations mises en jeu dans le produit ; ceci induit de façon explicite le caractère symétrique ou asymétrique de ces relations et ainsi prend en considération l’aspect asymétrique du produit relationnel exempt de la définition Schröderienne. Intéressons-nous maintenant à la critique la plus importante des travaux de Schröder, celle concernant la subsomption entraînant la confusion entre l’inclusion, l’appartenance et même l’inférence.Confusion entre l’inclusion, l’appartenance et l’inférenceNous remarquons premièrement que la subsomption fut utilisée de façon semblable pour noter l’inclusion des classes et l’inférence des propositions ce qui en soi pose problème car cette position extensionnelle nous oblige ainsi à restreindre l’étude des propositions à celle des classes respectant ces propositions et ainsi à se confiner aux raisonnements de cardinalité et de supplémentarité sur les classes au lieu de s’intéresser aux méthodes portant sur l’inférence de la vérité. De plus, nous pouvons remarquer que la définition schröderienne d’éléments correspond à une classe unitaire d’éléments du système des Principia mathematica donc ne permet pas de distinguer l’appartenance de l’inclusion. Les critiques sur ces points sont très nombreuses et nous allons donc essayer d’en faire un récapitulatif sommaire.La première vient de Whitehead dans son traité d’algèbre universelle critiquant le symbole de subsomption comme l’amalgame entre l’inférence et l’inclusion. Whitehead y sous-entend que les problèmes de représen­tabilité des classes respectant une proposition empêchent parfois de se placer dans le calcul des classes et donc doivent être résolus en réflé­chissant sur les propositions elles-mêmes voire à un niveau supérieur sur l’inférence entre ces propositions sans se préoccuper de leurs sens18 mais aussi, en cas de représentations possibles, qu’il fallait les résoudre grâce aux outils permettant la comparaison entre éléments.De même, Couturat critiqua la complexité de la subsomption alors qu’il considérait l’inclusion comme une relation simple19. Il faut noter que la justesse de cette analyse se fonde sur les différentes interprétations (conceptuelle, propositionnelle ou abstraite) possibles de l’algèbre de la logique mises en évidence par Couturat et par conséquent explicite comment la position prônant l’indépendance de la formalisation algé­brique par rapport à l’interprétation logique réduit cette formalisation à un simple calcul des classes20.Nous pouvons aussi citer la critique fort importante de Padoa21 qui repose sur l’opposition entre la validité de la transitivité de l’inclusion et la possible invalidité de la transitivité de l’appartenance ; ainsi la subsomp­tion symbolisant les deux ne peut tenir compte de cette contradiction. Effectivement, si A est inclus dans B et B dans C alors A est inclus dans C ; en revanche ce n’est pas toujours vrai pour l’appartenance dont un contre-exemple assez simple peut être mis en exergueAlfred North Whitehead appartient à l’ensemble des écrivains des Principia mathematica et l’ensemble des écrivains des Principia mathematica appartient à l’ensemble des ensembles à deux éléments mais Alfred North Whitehead n’appartient point à l’ensemble des ensembles à deux éléments(sauf si l’on considère un homonyme ayant lui aussi écrit un ouvrage intitulé Principia mathematica en collaboration avec une autre personne).De plus, Russell et Whitehead finirent par remarquer que cette confusion était à la base de l’impossibilité de définir correctement une classe par Schröder en reprenant la critique de Frege22 et par ailleurs ils donnèrent une définition propre de classe en se servant du symbole d’appartenance, de la définition propositionnelle de classe (Cls) et de l’équivalence entre les propositions définies par une inclusion et celle définies par un signe d’appartenance23.Malgré toutes ses critiques sur ses confusions nous nous devons d’expliquer une allusion fort intéressante de Schröder sur le besoin de distinguer différents signes de subsomption. Mais avant de pouvoir donner cette remarque, il nous faut expliquer les bases d’une préthéorie des types se retrouvant dans ses travaux.La préthéorie schröderienne des typesComme l’a fait remarquer Grattan-Guinness24, cette préthéorie se base sur deux postulats sur les régions non vides d’une variété. Le premier stipulant la possibilité que ces régions soient disjointes et le second affirmant leur mutuelle compatibilité ainsi la variété est appelé consistante si l’on peut la recouvrir par des régions disjointes.Des remarques importantes doivent être faites sur cette préthéorie des types. Premièrement, Schröder considérait la classe des classes comme appartenant à une variété différente de celle où les classe étaient définies25 contrairement à la théorie des types exposée dans les Principia mathematica dont l’avantage était justement de pouvoir faire usage de types mélangés. Deuxièmement, au sein de cette préthéorie, aucune proposition ne pouvait être dépendante de son existence ou des autres propositions de l’univers. Ce fut d’ailleurs une critique russellienne du traitement des propositions par Schröder car la résolution des paradoxes antinomiques nécessite l’introduction de propositions élémentaires c’est-à-dire n’étant pas définis à l’aide de quantificateurs26. Pourtant cette critique est quelque peu injuste car Schröder ne pouvait connaître ce fait au moment de l’écriture de son ouvrage mais aussi parce qu’une proposition du type « cette proposition est fausse » incorpore sa propre valeur de vérité et ainsi ne peut appartenir aux propositions ordinaires donc n’appartient pas à la variété considérée. De plus, Schröder déduit de cette préthéorie des types le besoin de distinguer différents signes de subsomption bien qu’il reste assez évasif sur certains problèmes associés aux solutions du couple d’équations logiques duales. Plus précisément, les équations logiques dualesx+b = a et xb = aadmettent comme solutionsx€(a : b) = ab+uab et x€(a :: b) = ab+uab27dans lesquelles u représente une région arbitraire de la variété et a désigne la « classe » complémentaire de la classe a. Or Schröder remarque que les solutions appartiennent à la variété dérivée et sont des éléments d’une classe de régions au lieu d’être une partie de la région précitée donc le signe de subsomption prend une signification différente. Face à cette situation, il eut l’idée de définir un signe de subsomption pour la variété originale et celle dérivée28 mais hélas il ne perçut pas la portée de sa découverte car ce constat aurait dû l’amener à concevoir la possibilité de pouvoir combiner les différents types de variétés et ainsi aboutir à une vraie théorie des types. Même si Schröder considérait ces opérations comme de premier plan, il eut cependant du mal à leurs donner sens et ne chercha pas à approfondir cette question sans doute faute de temps. À juste titre, Whitehead fit remarquer dans son traité quela tâche de donner une parfaite cohérence aux idées et aux notations de Boole [dont Schröder fait usage tout en explicitant certaines opérations notamment celle de division], avec de très faibles changements, avait été réussie par Venn29.En effet, Venn interpréta a : b comme la restriction de b à a mais aussi comme une classe comprenant une proportion arbitraire de la classe a et de la classe b.Par conséquent, Schröder pensait déjа aux besoins de distinguer différentes versions du signe de subsomption mais dans des variétés différentes ce qui est tout de même assez loin de la vision actuelle faisant état aussi de la différence entre inférence et inclusion. Hélas, il ne put aller jusqu’au bout de son idée. Toutefois son incompréhension des travaux de Peano sur l’inférence et l’inclusion l’a empêché de développer une théorie simple des types. En effet, Schröder trouvait superflu l’utilisation d’un signe autre que celui de subsomption même entre les propositions mais cela est une lecture erronée des travaux de Peano car  signifiait l’appar­tenance tandis que  dénotait l’inclusion et l’inférence contrairement à ce qu’avait interprété Schröder comme étant une distinction entre l’inclusion des classes () et l’inférence des propositions ()30. Même si cet amal­game entre l’appartenance, l’inférence et l’inclusion est d’importance capitale, à Schröder d’avoir compris de par lui même certaines ambiguïtés de sa notation. Il nous reste à formuler une dernière comparaison entre le système de Schröder et celui de Whitehead concernant la cardinalité.CardinalitéSuite à la définition extensionnelle d’éléments, Schröder pensa à définir le nombre de membres d’une classe mais sa définition utilise implicitement la quantification sur la variété et la variété dérivée. Or dans sa préthéorie des types seulement une variété peut être utilisée à la fois. Par exemple, dire que la classe α est de cardinal 3 se formalise chez Schröder paroù Jx désigne la propriété « x est un élément » or α appartient à la variété originale tandis que x, y et z appartiennent à la variété dérivée ce qui viole l’hypothèse de Schröder sur la séparation de ces deux entités. Par ailleurs, la définition de cardinalité dans les principia mathematica fait appel à la classe des classes ayant un certain nombre d’éléments qui utilisent des types mélangés ce qui est effectivement possible dans la théorie simple des types. De plus, Whitehead et Russell font la distinction entre cardinal et ordinal permettant de différencier les couples sans ordre de ceux ordonnés31. Ainsi le cardinal 2 représentant la classe des couples sans ordre et l’ordinal 2 correspondant à la classe des couples ordonnés sont définis mathématiquement par32mais précisent qu’il ne peut être considéré comme un nombre ordinal puisque l’usage des nombres ordinaux doit se faire uniquement dans le cadre des séries bien ordonnées or « i’x↑i’x » n’est en aucun cas une relation ordonnée. De plus, les propriétés de 1s ne coincident pas avec celle du nombre cardinal 1 notamment la propriété d’additivité n’est pas respectée (1s + 1s ≠ 2)r dès lors une construction inductive de l’arith­métique des nombres ordinaux semblait impossible. Bien heureusement, ils eurent l’ingénieuse idée d’ajouter une définition purement formelle du nombre relationnel i en posant « i + i = 2 » tout en remarquant que pris isolément ce nombre relationnel n’avait aucun sens33. Finalement, ils arrivèrent à construire une arithmétique complète des nombres ordinaux en redéfinissant les notions d’addition et de multiplication relationnelles puis poursuivirent même leur étude dans les cas transfinis.Pour résumer, la préthéorie des types de Schröder ne suffit pas à définir de façon adéquate la cardinalité et rend de par ce fait illicite les démonstrations d’inclusion par cardinalité. Ainsi ni les méthodes par cardinalité ni les raisonnements sur les éléments ne sont possibles dans ce système donc il est formellement impossible de résoudre les problèmes d’inclusion minimale stricte. En outre, la notion d’ordre si présente dans les travaux de Schröder ne se retrouve point dans sa définition de cardinalité ce qui rend son système difficilement compréhensible contrai­rement à celui des Principia mathematica. Toutefois, ces erreurs sont tout à fait justifiables si l’on prend en compte l’antériorité (près de dix ans) de ses travaux par rapport à ceux Whitehead et Russell sur l’ordinalité.Conclusion Même si cette présentation peut sembler être un procès à charge contre Schröder, il ne faut point oublier qu’il reste le génial inventeur de la théorie des treillis ainsi qu’un précurseur de la théorie des types tout en ayant fait un travail monumental de synthèse dans son traité. Son ouvrage a d’ailleurs permis à bon nombre de mathématiciens de s’informer sur les avancées de la logique et les a conduit à combler les lacunes de cette discipline. De plus certaines critiques utilisent des arguments pour le moins malhonnêtes car découverts bien postérieurement aux écrits de Schröder voire après sa mort. En outre, il ne faut point commettre l’erreur d’astreindre les différences entre l’approche schröderienne et l’approche whiteheadienne dans des fondements spécifiquement mathématiques car elles reposent tout autant sur deux conceptions philosophiques distinctes et complémentaires de la logique, celle extensionnelle et celle intension­nelle.