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Dans un récent billet publié dans Le Monde, à la une du cahier « Science &#38; Techno » du samedi 9 juin 2012, j'ai abordé les différentes manières possibles de mesurer les inégalités, à partir d'un exemple tiré de l'évolution des statistiques d'obtention du baccalauréat depuis un demi-siècle. J'ai ensuite développé cette discussion dans un billet sur mon blog, et je voudrais reprendre ici ce qui concerne plus particulièrement les discussions autour du recours aux "odds ratio" pour mesurer les évolutions des inégalités.S'agissant de l'obtention du baccalauréat, les inégalités entre enfants de cadres et enfants d'ouvriers ont-elles augmenté en 50 ans, ou bien ont-elles au contraire diminué ? La question est facile à formuler, la réponse l’est beaucoup moins. Comment, en effet, mesure-t-on les inégalités ? Il y a un demi-siècle, 45% des enfants de cadres l’obtenaient, contre seulement 5% des enfants d’ouvriers ; aujourd’hui, 90% des enfants de cadres sont bacheliers, contre 45% des enfants d’ouvriers :Les inégalités ont-elles augmenté ou diminué ? Si on mesure les différences entre ces proportions, elles semblent avoir augmenté (l’écart passe de 45-5=+40 points à 90-45=+45 points). Mais si on mesure les inégalités par un « rapport », elles semblent au contraire avoir diminué : en 1960, la proportion des enfants de cadres qui devenaient bacheliers était 9 fois plus grande (45 divisé par 5) que celle des enfants d’ouvriers, elle est désormais seulement 2 fois plus grande (9 divisé par 45)…Non seulement ces deux façons de mesurer les inégalités se contredisent, mais en plus elles ne sont pas forcément adaptées à la comparaison de pourcentages, parce que ceux-ci… ne peuvent pas dépasser 100% : pour maintenir un taux d’obtention du bac 9 fois plus élevé que celui des enfants d’ouvriers, les enfants de cadres devraient désormais… être 405% à l’obtenir !Il faut donc recourir à des indices qui tiennent compte du fait que sur le chemin qui mène ne serait-ce qu’aux fameux « 80% d’une classe d’âge au baccalauréat » (c’était l’objectif à l’horizon 2000, qui avait été fixé en 1985 par Jean-Pierre Chevènement, le ministre de l’éducation de l’époque), les dernières longueurs sont plus difficiles à parcourir que les premières. Pour en tenir compte, il y a au moins deux indicateurs concurrents envisageables. Le premier consiste à diviser la progression effectuée par le maximum de la progression possible : entre 1960 et aujourd’hui, les enfants de cadres ont parcouru (90-45)/(100-45) = 82% du chemin qui les séparaient de la réussite totale au baccalauréat, et les enfants d’ouvriers seulement (45-5)/(100-5) = 42%% de ce chemin. Tenons-nous enfin notre réponse ? Les inégalités scolaires ont-elles augmenté ?Le problème, c’est que le second indicateur possible, celui qui en réalité s’est imposé parmi les sociologues, dit plutôt le contraire. Il consiste à calculer et comparer plutôt des odds ratio, ou « rapports des chances relatives », autrement dit les rapports entre le taux de réussite et le taux d’échec. De quoi s'agit-il ? Il faut prendre le temps de décortiquer la méthode de calcul. Imaginez que 50% des enfants de cadres obtiennent le bac (comme c'était le cas dans les années 1960). Dans ce cas, 50% d’entre eux ne l’obtiennent pas : on dira qu'il y a autant d’enfants de cadres qui obtiennent le bac que d’enfants de cadres qui ne l’obtiennent pas. Maintenant, si 90% des enfants de cadres obtiennent le bac (comme c'est donc le cas désormais), alors 10% des enfants de cadres ne l’obtiennent pas, et dans ce cas, il y a 90 divisé par 10 = 9 fois plus d’enfants de cadres qui obtiennent le bac que d’enfants de cadres qui n’obtiennent pas le bac. Ce chiffre, c’est « l’odds », ou « chance relative », ici d’obtenir le bac plutôt que de ne pas l’obtenir, qui s’obtient donc très simplement en divisant la probabilité d’être ou de faire, ou de réussir quelque chose, par la probabilité contraire de ne pas l’être, ne pas le faire ou y échouer.Pour les enfants de cadres, la chance relative d’obtenir le bac est de 9 (contre 1). Et pour les enfants d’ouvriers ? Désormais, 45% des enfants d’ouvriers obtiennent le bac, et donc 55% d’entre eux ne l’obtiennent pas. Donc leur chance relative d’avoir le bac est de 45 divisé par (100-45), soit 45 divisé par 55, ce qui donne 0,81. Ca veut dire que les enfants d’ouvriers avaient 0,81 fois plus de chances d’obtenir le bac que de ne pas l’obtenir. Ou qu’ils avaient 1 / 0,81 = 1,22 fois plus de chances de ne pas obtenir le bac que de l’obtenir (on peut dire aussi 22% de chances en plus de ne pas obtenir le bac que de l'obtenir).Eh bien « l’odds ratio », c’est le « rapport » (ratio) entre les chances relatives (odds) des uns et celles des autres, donc ici le rapport entre les chances relatives des enfants de cadres d’avoir le bac et celles des enfants d’ouvriers : ici, ça donne 9 divisé par 0,81 = 11. Autrement dit, les enfants de cadres ont 11 fois plus de chances que les enfants d’ouvriers d’obtenir le bac plutôt que de ne pas l’obtenir. Et il y 50 ans ? Même calcul, cette fois simplifié : 45 / (100 - 45) divisé par 5 / (100 - 5) = 15,5. Donc, il y a 50 ans, les enfants de cadres avaient 15,5 fois plus de chances que les enfants d'ouvriers d'obtenir le baccalauréat que de ne pas l'obtenir.Conclusion: les inégalités d'obtention du baccalauréat, telles que mesurées par les odds ratio, ont diminué en 50 ans.« Conclusions roses » et « conclusions noires »Si les phrases qu’il faut faire pour énoncer ces odds ratio sont parfois un peu alambiquées, avec ces « plutôt que le contraire » qui les parsèment, il faut bien reconnaître qu’ils sont très séduisants, parce qu’ils sont faciles à calculer (pas besoin de logiciel compliqué, une minuscule calculatrice suffit), et qu’ils semblent résoudre de façon très satisfaisante pour l’esprit le problème de la non-linéarité des progressions en pourcentage. Pourtant, pour certains, si les odds ratio se sont imposés depuis les années 1990, en particulier parmi les sociologues de l’éducation, qui en font une grande consommation, ce ne serait pas parce qu’ils mesureraient plus correctement les variations des inégalités, mais parce qu’ils les mesureraient… de façon plus optimiste !C’est tout le sens de la « controverse » sur la mesure des inégalités, qui traverse la sociologie française depuis le milieu des années 1980. Je n’en donnerai qu’un aperçu rapide, mais voici déjà la bibliographie, dans l’ordre chronologique de parution, des principaux articles qui jalonnent cette passionnante discussion méthodologique :Combessie Jean-Claude, 1984, « L’évolution comparée des inégalités : problèmes statistiques », Revue française de sociologie, 25(2), 1984, p. 233-254. En ligne : http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rfsoc_0035-2969_1984_num_25_2_3793Florens Jean-Pierre, 1984, « Inégalité et dépendance statistique », Revue française de sociologie, 25(2), p. 255-263. En ligne : http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rfsoc_0035-2969_1984_num_25_2_3794Grémy Jean-Paul, 1984, « Sur les différences entre pourcentages et leur interprétation », Revue française de sociologie, 25(3), p. 396-420. En ligne : http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rfsoc_0035-2969_1984_num_25_3_3824Prévot Jean, 1985, « À propos d’indices et de comparaisons de proportions », Revue française de sociologie, 26(4), p. 601-628. En ligne : http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rfsoc_0035-2969_1985_num_26_4_3987Combessie Jean-Claude, 2004, « Trente ans de comparaison des inégalités des chances : quand la méthode retenue conditionne la conclusion », Courrier des statistiques, 112, , p. 37-54. En ligne : http://www.insee.fr/fr/ffc/docs_ffc/cs112e.pdfVallet Louis-André, 2007, « Sur l’origine, les bonnes raisons de l’usage, et la fécondité de l’odds ratio », Courrier des statistiques, 121-122, p. 59-65. En ligne : http://www.insee.fr/fr/ffc/docs_ffc/cs121k.pdfCombessie Jean-Claude, 2007, « Réponse à Louis-André Vallet », Courrier des statistiques, 121-122, p. 66. En ligne : http://www.insee.fr/fr/ffc/docs_ffc/cs121l.pdfCombessie Jean-Claude, 2011, « Analyse critique d'une histoire des traitements statistiques des inégalités de destin. Le cas de l'évolution des chances d'accès à l'enseignement supérieur, Actes de la recherche en sciences sociales, n° 188, p. 4-31.Comme on peut le voir à travers cette bibliographie, c’est une affaire qui tenait particulièrement à cœur à Jean-Claude Combessie. Il m’est difficile de résumer son argument en quelques lignes, mais la lecture de son dernier article, paru en 2011 dans les Actes de la recherche en sciences sociales, la revue créée en 1975 par Pierre Bourdieu, peut en offrir une très bonne synthèse. Malheureusement, l’article n’étant disponible en ligne qu’en accès restreint sur Cairn, vous pouvez aussi lire son article de 2004, et celui publié par Louis-André Vallet en 2007, dans le Courrier des statistiques, tous les deux d’accès facile et surtout gratuit. Voici de quoi il retourne : Jean-Claude Combessie passe en revue les différentes façons de mesurer les inégalités que nous avons évoquées précédemment (différence, rapport, taux de variation par rapport au maximum de variation, odds ratio), et les soumet à l’épreuve de la mesure des évolutions de différentes formes d’inégalités scolaires depuis trois décennies, pour démontrer que le recours à l’odds ratio aboutit plus souvent que les autres mesures, et en particulier plus souvent que le taux de variation par rapport au maximum de variation, à des « conclusions roses », autrement dit à des mesures suggérant une diminution des inégalités.L’odds ratio, une « révolution conservatrice » ?Toute la question est ensuite de savoir s’il y a un indicateur qui est meilleur que les autres. Pour Louis-André Vallet c’est le cas : il s’agit de l’odds ratio, qu’il y a de « bonnes raisons statistiques » de considérer comme l’indicateur le plus « naturel » pour rendre compte des évolutions plafonnées, comme c’est le cas pour les pourcentages. Pour Jean-Claude Combessie, il n’y au contraire rien de naturel là-dedans, et il faut plutôt s’interroger sur les raisons qu’ont les sociologues de privilégier cet indicateur, qu’il soupçonne de ne pas être toujours « statistiques ». En effet, dans le second volet de sa démonstration, Jean-Claude Combessie reprend les données analysées dans la littérature des trente dernières années sur les inégalités scolaires (les principaux articles sont signalés dans la bibliographie à la fin de ce billet), calcule les différents indicateurs pour voir s’ils aboutissent à des conclusions « noires » ou « roses », et compare avec ceux effectivement utilisés par les auteurs des articles : il apparaît alors que plus souvent qu’attendu, ceux-ci tendent à utiliser les indicateurs qui permettent de conclure à une diminution des inégalités scolaires. Dans certains cas, les mêmes auteurs peuvent changer d’indicateur d’un article à l’autre, pour choisir justement tel ou tel en fonction des conclusions « optimistes » auquel il permet de parvenir.Pour Jean-Claude Combessie, aucun indicateur n’étant ni « statistiquement » ni « sociologiquement » meilleur qu’un autre, il faut donc s’interroger sur les significations sociales et politiques des choix effectués par les sociologues de l’éducation, interrogation qui le conduit à décrire le succès de l’odds ratio comme un symptôme d’une « révolution conservatrice » dans la mesure des inégalités, qui tend à  décrire des améliorations là où l’orthodoxie statistique précédente tendait à décrire des aggravations.Pour un éclectisme statistiqueQuelle conclusion pratique faut-il en tirer ? Pour y voir plus clair pratiquement, on peut reprendre l’exemple de l’évolution des inégalités d’obtention du baccalauréat, cette fois en examinant une série plus complète de données. Celle-ci n’est pas très facile à trouver, mais on peut se servir du graphique ci-dessous, publié dans la dernière édition de L’état de l’école, une publication du Ministère de l’éducation nationale, pour tenter de la reconstituer :Dans le tableau ci-dessous, j’ai dans les colonnes de gauche essayé de reconstituer approximativement les taux d’obtention du baccalauréat dans les générations successives d’enfants de cadres et d’enfants d’ouvriers, puis dans les colonnes de droite j’ai mesuré les variations de ces taux avec les quatre indicateurs évoqués depuis le début de ce billet :Qu’y voit-on ? Que dans l’ensemble, il n’arrive presque jamais aux rapports et aux odds ratio de rendre des « conclusions noires », alors que c’est très clairement le cas en particulier du rapport entre l’écart et l’écart maximum possible. Que faut-il faire dans ces cas-là ? Une position relativement simple consiste à favoriser l’éclectisme statistique, et donc à présenter les résultats divergents rapportés par les différents indicateurs. On indiquera ainsi par exemple qu’entre les enfants de cadres et les enfants d’ouvriers nés entre 1979 et 1983, et qui ont donc atteint l’âge normal du baccalauréat entre 1997 et 2001, les inégalités d’obtention du bac avaient diminué si l’on considère l’odds ratio, mais augmenté si l’on considère le rapport entre l’écart observé et l’écart maximum possible, sans qu’il soit possible de décider qu’un de ces deux indicateurs est « meilleur » que l’autre. D’un côté, on peut dire par exemple que l’odds ratio permet de rendre compte de façon satisfaisante de la réduction de l’écart entre des valeurs dont les variations sont plafonnées, comme c’est le cas pour les pourcentages ; mais de l’autre côté, le taux de variation par rapport au maximum de variation possible rend bien compte des perceptions subjectives des inégalités restantes que peuvent avoir les individus : à mesure que leurs situations s’améliorent, par exemple en matière scolaire, les générations successives deviennent plus sensibles à des écarts plus petits, qui auraient auparavant été tenus pour négligeables.L’évolution des inégalités scolaires, une équation complexeJusqu’ici, j’ai essayé de faire attention à ne parler que des inégalités d’obtention du baccalauréat entre enfants de cadres et enfants d’ouvriers. En réalité, si l’on souhaite juger de l’évolution des « inégalités scolaires en général », alors l’équation devient encore un peu plus complexe, et ce n’est plus seulement une question de choix d’indicateurs. D’une part en effet, pour reprendre le titre d’un article publiée par Françoise Oeuvrard il y a plus de trente ans, il ne faut pas confondre « démocratisation » et « élimination différée » : l’éventuelle réduction des inégalités d’obtention du bac s’est accompagnée d’une diminution du pouvoir discriminant de celui-ci sur le marché du travail, au profit de niveaux supérieurs d’études où l’on n’assiste pas à la même réduction des inégalités. Comment mesurer les effets de ce déplacement sur l’évolution générale des inégalités ? Il y a quelques hypothèses intéressantes à ce sujet dans l’article de Claude Thélot et Louis-André Vallet sur « la réduction des inégalités sociales devant l’école depuis le début du siècle » (2000).Et d’autre part, il y a au moins un autre phénomène à prendre compte si on veut mesurer l’évolution générale des inégalités scolaires : il ne suffit pas de mesurer les inégalités entre enfants de cadres et d’ouvriers, ou plus généralement entre enfants de différents milieux sociaux, il faut aussi tenir compte du fait que la structure sociale elle-même se modifie, que la distribution des élèves entre les différents milieux sociaux change, et que par exemple il y a de plus en plus d’enfants de cadres et de moins en moins d’enfants d’ouvriers. Même à taux de réussite scolaire inchangés pour ces deux catégories, ces modification de sa structure suffisent à modifier le niveau global des inégalités dans l’ensemble de la population considérée. Il faut alors d’autres indicateurs, comme par exemple le coefficient de Gini, mais c’est une autre histoire… Ce sera pour un prochain billet !Références bibliographiquesBarbut Marc, 2007, La Mesure des inégalités. Ambiguïtés et paradoxes, Genève, DrozDuru-Bellat Marie, Kieffer Annick, 2000, « La démocratisation de l’enseignement en France. Polémiques autour d’une question d’actualité », Population, 55(1), p. 51-80. En ligne : http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/pop_0032-4663_2000_num_55_1_7097Euriat Michel, Thélot Claude, 1995, « Le recrutement social de l’élite scolaire en France. Évolution des inégalités de 1950 à 1990 », Revue française de sociologie, 36(3), p. 403-438. En ligne : http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rfsoc_0035-2969_1995_num_36_3_5065Florens Jean-Pierre, 1984, « Inégalité et dépendance statistique », Revue française de sociologie, 25(2), p. 255-263. 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