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Dans cet article, et celui qui le précède, avec Philippe Cibois, nous entreprenons de démontrer qu'il n'est pas très compliqué de réaliser des analyses factorielles des correspondances avec le logiciel gratuit Trideux dont il est l'auteur. Dans ce second article, nous expliquons comment élaborer et commencer à interpréter une analyse factorielle des correspondances avec Trideux, toujours à partir des données de l'enquête "Histoire de vie 2003" de l'INSEE.Les principes de l'analyse factorielleSélectionner les variables et calculer les facteursAfficher la représentation graphiqueRecommencer !Examiner les valeurs propres et les contributions des variables activesAméliorer la représentation graphiqueAnalyser les variables supplémentairesEt finalement, retourner faire des tableaux croisés !Utiliser les variables de pondérationLiens utilesRéférences bibliographiquesVous voulez commencer ici votre découverte de l'analyse factorielle avec Trideux, sans vous occuper pour l'instant de la façon dont on procède pour importer dans ce logiciel un corpus de données, telle que nous l'avons détaillée dans l'article précédent ? Pas de problème ! Il vous suffit de télécharger et d'enregistrer dans votre ordinateur le fichier d'archive ci-dessous, puis de le décompresser dans le répertoire où vous installé Trideux (en général C:\Program Files\Trideux), ou bien dans le répertoire où vous rangez vos données pour Trideux s'il est différent de celui où vous avez installé le logiciel :amis0.zipUne fois que vous avez correctement installé les données dans Trideux, vous pouvez vous lancer dans la réalisation d'une analyse factorielle, ce qui se fait toujours en plusieurs étapes successives, parfois patiemment répétées jusqu'à obtenir un résultat satisfaisant pour l'interprétation, et que nous allons détailler maintenant...Les principes de l'analyse factorielleComment analyser les liaisons statistiques entre un grand nombre de variables, et rendre compte de la façon la plus intuitive possible des systèmes complexes que ces liaisons peuvent former, et des hiérarchies qui les organisent ? Les outils qui permettent cela sont ceux de ce qu'on appelle de façon générale « l'analyse multivariée ». On peut les regrouper en réalité en deux grandes familles distinctes : d'une part les modèles de régression, auxquels nous consacrerons un prochain article ; d'autre part, l'analyse factorielle, à laquelle cette séance est consacrée.Quelles sont les variables et les modalités de variables qui sont fortement associées entre elles ? Autrement dit, quelles sont les caractéristiques que les individus présentent souvent « ensemble » ? Au contraire, quelle sont celles qui s'opposent, autrement dit que les individus ne présentent que rarement simultanément ? Quelles sont les principes structurant ces associations et ces oppositions ? Quels sont les groupes que l'on peut distinguer en fonction de ces associations ? Par exemple : quelles sont les pratiques culturelles fortement associées entre elles par les enfants ? Quelle est la logique générale qui organise les pratiques culturelles ? Quels sont les grands groupes sociaux qui se distinguent par leurs comportements culturels ? Ce sont les analyses factorielles qui permettent de répondre à ces questions.L'analyse factorielle correspond à un ensemble de techniques et d'outils, dont l'élaboration puise son origine dans les travaux de Spearman (Martin, 1997) et trouve sa concrétisation en particulier en France grâce à ceux du mathématicien Jean-Paul Benzécri (1973), qui permettent d'élaborer des représentations graphiques synthétiques de la configuration générale des associations et des oppositions (des liaisons positives ou négatives, autrement dit des attractions et des répulsions) entre un nombre plus ou moins élevé de variables.Grâce aux logiciels disponibles, ces techniques d'analyse des données sont beaucoup utilisées en sociologie depuis deux décennies, surtout en France. Et elles sont devenues faciles à mettre en œuvre, y compris avec un logiciel gratuit comme Trideux, c'est ce que nous allons vous montrer...Attention !Nous ne vous présenterons pas dans cet article les principes mathématiques  de l'analyse factorielle, pour en savoir plus sur ce sujet, vous pouvez consulter l'ancienne édition du  « Que Sais-Je ? » sur L'analyse factorielle (Cibois, 1983).Et vous pouvez aussi en trouver à l'adresse suivante un extrait révisé qui constitue justement une bonne introduction aux principes mathématiques de l'analyse factorielle :http://pagesperso-orange.fr/cibois/PrincipeAnalyseFactorielle.pdfNous ne vous présentons pas non plus dans cet article les principes détaillés de l'analyse et de l'interprétation des résultats des analyses factorielles : nous y reviendrons dans un prochain article... mais en entendant, vous pouvez tout-à-fait vous plonger dans la lecture de quelques articles « classiques » de sociologie qui mettent l'analyse factorielle des correspondances au centre de leur analyse, comme par exemple, parmi beaucoup d'autres, « La dénonciation » de Luc Boltanski (1984), ou bien plus récemment « La stratification sociale des goûts musicaux » de Philippe Coulangeon (2003)...Sélectionner les variables et calculer les facteursLa première étape de l'analyse factorielle consiste à sélectionner les variables prises en compte par l'analyse, à savoir d'une part les variables « actives », c'est-à-dire celles qui contribuent au calcul des facteurs et donc à la construction des plans factoriels et de leur représentation graphique, et d'autre part les variables « supplémentaires », c'est-à-dire celles qui, sans contribuer au calcul, sont simplement « projetées » sur les plans factoriels structurés par les variables actives.Attention !Il existe une extension de Trideux, appelée Tri2 UVSQ, qui est destinée à en rendre l'usage un peu plus convivial. Nous expliquons comment l'installer dans l'article précédent (voir « Télécharger et installer l'extension Tri2 UVSQ »). Mais à l'usage, il nous est finalement apparu que si l'extension rendait effectivement l'utilisation de Trideux plus agréable qu'avec sa version de base, elle présentait tout de même un certain nombre de défauts majeurs. En particulier, s'agissant des analyses factorielles, l'extension ne reprend pas les nombreuses options de mise en forme des représentations graphiques proposées par la version de base, qui sont pourtant extrêmement précieuses. Par conséquent, dans ce qui suit, nous avons décidé de nous cantonner à la version de base..Dans notre exemple, dans un premier temps nous allons sélectionner en variables actives toutes les variables caractérisant les relations (FQ1 à FQ4 et AM1 à AM7), de façon à construire une représentation de « l'espace social » de la sociabilité ; et nous projetterons le niveau de qualification et le sexe (QLF et SEX) en variables supplémentaires, de façon à pouvoir situer les individus et les groupes sociaux auxquels ils appartiennent dans cet espace social.1. Sélectionnez « 1) Création modalités » dans le menu « Analyse factorielle ». La fenêtre suivante apparaît : 2. Sélectionnez les variables actives et les variables supplémentaires.3. Cochez l'option « Ne pas prendre en compte les codes zéro » pour retirer les non-réponses de l'analyse.4. Cliquez sur « Lancer la création des modalités ».5. Sélectionnez « 4) Calcul des facteurs » dans le menu « Analyse factorielle ». Dans notre cas, parce que nous avons sélectionné en variables actives des variables qualitatives (c'est-à-dire des variables discrètes, qui ne peuvent prendre qu'un nombre fini, et non nécessairement ordonné, de valeurs possibles), il faut laisser cochée l'option « Analyse factorielle des correspondances ». Mais sachez que Trideux offre aussi la possibilité de réaliser des analyses en composantes principales (ACP), c'est-à-dire des analyses factorielles portant sur des variables quantitatives.6. Cliquez sur le bouton « Enregistrer et lancer l'analyse ».Afficher la représentation graphiqueIl y a ensuite plusieurs façons complémentaires d'explorer les résultats d'une analyse factorielle, en combinant l'attention prêtée aux résultats chiffrés (valeurs propres, contributions aux facteurs...) et la lecture des représentations graphiques des plans factoriels. Nous vous proposons ici, pour faciliter l'analyse, de concentrer l'attention sur la représentation graphique des deux premiers facteurs de l'analyse.Pour obtenir ce graphique, sélectionnez « 5) Graphique Factoriel » dans le menu « Analyse factorielle ». Et voici le résultat (après avoir coché l'option « Noms longs ») : On constate le phénomène bien connu de la « queue de comète » (Cibois, 2007, p. 38), qui apparaît avec les modalités actives correspondant à des effectifs faibles (ici, « Amis -- » en particulier). La conséquence, c'est que toutes les autres modalités se retrouvent entassées au centre du plan factoriel sans aucune structuration, ce qui rend l'analyse très difficilement lisible.Recommencer !La stratégie d'analyse consiste alors à mettre en supplémentaire les modalités de la variable dont fait partie la modalité de « queue de comète », puis à relancer le calcul des facteurs et à observer le résultat. Voici comment faire :1. Sélectionnez « 2) Modification modalités » dans le menu « Analyse factorielle ». La fenêtre suivante apparaît :2. Dans la colonne de gauche de cette fenêtre (intitulée « 1) Modification des supplémentaires »), cliquez sur les modalités que vous voulez transformer en modalités supplémentaires : à chaque clic, un S apparaît pour indiquer qu'il s'agit maintenant d'une modalité supplémentaire.Attention !Il y a un petit bug ici, facile à corriger : même si vous aviez indiqué que les modalités du niveau de qualification et du genre étaient supplémentaires lors de la création des modalités, il faudra cliquer à nouveau dessus à cette étape, sinon elle sont par défaut repassées en modalités actives.3. Cliquez sur « Enregistrer et quitter ».4. Recalculez les facteurs en sélectionnant « 4) Calcul des facteurs » dans le menu « Analyse factorielle », puis en cliquant sur le bouton « Enregistrer et lancer l'analyse ».5. Affichez le nouveau graphique, en sélectionnant « 5) Graphique Factoriel » dans le menu « Analyse factorielle ».Qu'observe-t-on ? La « queue de comète » est toujours là, cette fois avec les modalités AM71 (« Aucun ») et FQ15 (« Famille -- »). Dans de nombreux cas, comme ici, il va donc falloir en réalité répéter l'opération plusieurs fois pour éliminer les nouvelles « queues de comète » qui apparaissent alors successivement. Dans notre cas, ce processus itératif d'élimination de variables actives conduit finalement à une solution apparemment radicale, qui consiste en réalité à ne conserver en variables actives que les types d'amis (AM1 à AM6, en excluant AM7 : « Aucun »), et à finalement mettre en variables supplémentaires toutes les variables mesurant la fréquence des rencontres. D'autres techniques moins « radicales », plus sélectives, peuvent cependant être mises en œuvre, qui consisteront à éliminer ou regrouper des modalités, plutôt que des variables entières (Schiltz, 1983).C'est donc un espace social des « types d'amitié » que nous représentons finalement avec le plan des deux premiers facteurs :Examiner les valeurs propres et les contributions des variables activesA ce stade, il convient de ne pas se contenter seulement d'une lecture de la représentation graphique : il faut la compléter et la préciser en examinant aussi les résultats chiffrés de l'analyse factorielle, tels qu'ils s'affichent dans la fenêtre principale de Trideux après l'étape de « calcul des facteurs » :On y voit tout d'abord que le premier facteur résume 30,5% de l'inertie totale, et le deuxième facteur 25,4%. Autrement dit, on peut considérer que le premier plan factoriel, que nous avons examiné ci-dessus, permet déjà de représenter graphiquement plus de la moitié (55,9%) de l'information totale sur les correspondances statistiques entre les différents type d'amitiés, ce qui est considérable.Pour comprendre ensuite plus finement comment se structure cet espace social des types d'amitié, il convient d'examiner les contributions des différentes modalités actives aux différents facteurs de l'analyse des correspondances, telles qu'elle sont données par Trideux :Il y apparaît clairement ce que la représentation graphique laissait déjà supposer, à savoir que :Le premier facteur, représenté donc sur l'axe des abscisses (axe horizontal), oppose les relations avec les amis de voisinage à droite (dont la contribution au facteur est prépondérante), et les relations avec les amis d'études à gauche.Le deuxième facteur, représenté sur l'axe des ordonnées (axe vertical), montre un second principe d'opposition, presque aussi important que le premier, entre types d'amitié: entre les relations avec les amis d'enfance ou du lieu d'origine en haut, et les relations avec les amis rencontrés dans le milieu professionnel en bas.Améliorer la représentation graphiqueLe détour par l'examen des résultats chiffrés permet ensuite de retourner à la représentation graphique pour lui apporter quelques améliorations visuelles qui, sans en altérer significativement la véracité, peuvent permettre des gains de lisibilité et d'intelligibilité appréciables.1. Vous pouvez commencer par augmenter à 10 ou 12 la taille des caractères, et les mettre éventuellement en gras.2. Maintenant que l'on sait comment est globalement structuré l'espace social des relations d'amitié, on peut rapprocher les positions des modalités actives en direction du centre du graphique. Certes, cela fausse un peu la représentation graphique des liaisons entre variables, mais cela permet ensuite de « zoomer » sur la distribution des modalités supplémentaires, ce qui va en faciliter l'exploration visuelle. Pour déplacer une modalité, il faut la sélectionner dans le menu de la colonne de droite, et se servir des flèches, ou bien cliquer dessus et la déplacer avec la souris.3. On peut aussi se permettre de déplacer légèrement les modalités dont les noms sont trop superposés pour qu'on puisse les lire facilement.4. Si vous le souhaitez, vous pouvez masquer ou au contraire afficher la trace des déplacements des modalités, en cochant ou en décochant l'option « point exact ». Il n'est pas indispensable de les afficher, dans la mesure où ce sont les positions réciproques des modalités qui sont intéressantes, beaucoup plus que leur place exacte.On obtient alors le graphique suivant :Analyser les variables supplémentairesSans grande surprise, les ingénieurs et les cadres sont du côté inférieur gauche, dans le « quadrant sud-ouest » du plan factoriel, du côté des amis d'études et des amis professionnels. A l'opposé, les ouvriers sont du côté des amis de voisinage.L'examen des variables ordonnées mesurant la fréquence des rencontres réserve plus de surprises. Examinons la version suivante du graphique, sur laquelle nous avons relié entre elles les modalités de chaque variable par des traits colorés :Les rencontres avec les collègues semblent suivre une logique tout à fait attendue, et déjà bien documentée (Héran, 1988), dans la mesure où leur fréquence semble augmenter avec le niveau de qualification, et aussi à mesure qu'on se rapproche du pôle, justement, des amitiés professionnelles. En revanche, s'agissant des rencontres avec la famille et la belle-famille, les variation de leur fréquence, très étroitement corrélées entre elles d'ailleurs, suivre un chemin plus erratique en apparence : on s'éloigne du pôle populaire des amitiés de voisinage quand on passe à un niveau moyen de rencontres avec la famille (ni tous les jours ou presque, ni exceptionnellement ou jamais), pour s'en rapprocher à nouveau quand ces rencontres deviennent quotidiennes.Pour mieux cerner, préciser et comprendre ces premiers constats très synthétiques, on peut ensuite examiner, et même projeter sur le plan factoriel les « pourcentages de l'écart maximum » ou PEM (Cibois, 1993), qui mesure, par le rapport entre l'écart à l'indépendance réellement constaté et l'écart maximum possible pour chaque case du tableau croisé, la force des attractions entre modalités.1. Pour calculer les PEM, il faut d'abord revenir à l'étape 3 de l'analyse factorielle, que nous avions sautée, en sélectionnant « 3) Profils de modalités » dans le menu « Analyse factorielle », puis en cliquant sur « Lancer le programme ».2. Ensuite, retournez à la représentation graphique en sélectionnant « 5) Graphique factoriel » dans le menu « Analyse factorielle », puis cochez à nouveau l'option « Noms longs ».3. Cliquez avec le bouton droit de la souris sur les deux points « Ingénieur cadre » et « Ouvrier qualifié » (cliquez sur le coin supérieur gauche de la modalité dans le graphique), pour qu'ils apparaissent en vert.4. Enfin, cochez l'option « PEM complet » en haut de la colonne de droite de la fenêtre.L'interprétation devient très fiable car le plan factoriel ne sert plus qu'à visualiser des écarts à l'indépendance, sous la forme d'une représentation graphique des PEM par des traits d'épaisseur proportionnelle à leur importance.Pour examiner précisément les valeurs chiffrées des PEM, il faut sélectionner « Profil d'une modalité » dans le menu « Compléments », puis sélectionner la modalité dont on veut le profil, et enfin cliquer sur « Enregistrer et lancer le programme ». Voici les PEM obtenus pour la modalité « Ingénieur cadre », par ordre décroissant :Les cadres privilégient en premier lieu les amis ayant les mêmes valeurs (PEM=35%), les amis professionnels (PEM=22%), puis les amis d'études (PEM=17%). Les amis d'enfance ne sont pas absents, mais avec un lien très faible, proche de l'indépendance (PEM=4%) mais cependant significatif. Pour ce qui est des fréquences des rencontres, c'est, toujours pour les cadres, d'abord les amis et la famille, mais pas trop quand même, au rythme mensuel, tandis que la belle-famille est plutôt rencontrée sur un rythme annuel.Le profil de la modalité « Ouvrier qualifié », obtenu par la même procédure, est le suivant :Famille et belle-famille sont les rencontres favorites quoique avec des liaisons moins fortes que chez les cadres : la sociabilité est davantage familiale qu'amicale, au moins dans les déclarations.Et finalement, retourner faire des tableaux croisés !Il reste que sur le graphique comme avec les PEM, on constate des liaisons positives, chez les ouvriers qualifiés, à la fois avec les modalités correspondant au relations très fréquentes (++), hebdomadaires, avec la famille et la belle famille, et avec celles correspondant à l'absence de relation (--). Comment est-ce possible ? Pour le comprendre, il faut regarder le tableau croisé entre d'une part la fréquence des relations avec la famille (FQ1), ou la belle-famille (FQ2), et d'autre part le niveau de qualification (QLF). Pour réaliser ces tableaux croisés, reportez-vous, dans l'article précédent, à la partie intitulée « Réaliser des tris croisées avec Trideux »...Voici le tableau croisant le niveau de qualification et la fréquence des rencontres avec la famille :On peut aussi représenter les écarts à l'indépendance en construisant le même tableau croisé avec l'option « Tri individuel avec graphique » cochée. Le graphique ci-dessous a été obtenu de cette façon, après avoir inversé les lignes et les colonnes : Ce graphique utilise la représentation en surface des écarts à l'indépendance (Cibois, 2003). On y voit la différence entre les cadres, qui ont plutôt une fréquence intermédiaire, mensuelle ou annuelle, de rencontres avec la famille, opposées aux professions ouvrières qui ont plutôt des fréquences « extrêmes », soit des contacts fréquents, soit une absence ou une rareté de contacts. Quant à l'interprétation de ce phénomène, elle dépasse le cadre de cet article ! Nous vous laissons formuler vos propres hypothèses, et nous les faire découvrir dans vos commentaires...Utiliser les variables de pondérationQue se passe-t-il si on fait intervenir la pondération ? Pour Jusqu'à présent, nous avons ignoré les deux variables de pondération qui figuraient dans les données d'origine, et auxquelles, lors de la procédure d'importation (voir plus haut), Trideux avait réservé un sort curieux en répartissant les 40 chiffres qui les composaient dans autant de variables à un chiffre.On va recomposer une variable de pondération à partir de ces données. Trideux accepte des variables qui peuvent comporter jusqu'à trois chiffres, donc prendre une valeur au maximum entre 0 et 999. Pour constituer la variable de pondération à trois chiffres dont nous avons besoin, nous allons donc utiliser les trois premiers chiffres (ceux des dizaines de milliers, des milliers et des centaines) de la première variable de pondération, comme si nous l'avions divisée par 100 et arrondi le résultat à l'unité inférieure.Pour construire cette variable :1. A l'aide de la commande « Affichage partiel → Données (*.dat) » du menu « Affichage », repérez la position des trois premiers chiffres de la première variable de pondération. On rappelle que l'on a donné 10 caractères pour le numéro d'individu (ici il n'en utilise que 8), puis que la première pondération, que l'on va utiliser, était sur les 15 colonnes suivantes. On voit que les premiers chiffres, des dizaines de milliers, commencent en position 12 dans les données (cf. les lignes des unités et des dizaines au-dessus des données). La pondération dans Trideux se fait au maximum sur 3 positions, ce qui permet un rapport de pondération de 1 à 999. Ici, nous allons donc prendre les colonnes 12 à 14.2. Sélectionnez « Questions (*.pos) » dans le menu « Editeur », et remplacez les trois lignes :012  12 3013  13 9014  14 9parPDS  12L3où 12 signifie que la variable PDS doit être lue à partir de la position 12 et L3 qu'elle doit être lue sur 3 positions.3. Sélectionnez « Enregistrer » dans le menu « Fichier », puis refermez la fenêtre.4. Sélectionnez « 1) Prép. Recodages » dans le menu « Modifier ».5. Sélectionnez la variable « PDS » dans la colonne de gauche, puis cliquez sur le bouton « Valider la question en cours comme pondération ».6. Cliquez sur « Enregistrer et quitter ».7. Sélectionnez « 2) Recoder » dans le menu « Modifier », puis cliquez sur le bouton « Lancer outils ».Attention !Notez que le nouveau fichier a un nom générique où le dernier caractère est incrémenté. De « Amis0 » on est passé à « Amis1 », dans lequel la pondération s'effectue en dupliquant chaque individu le nombre de fois indiqué dans la variable de pondération. Ce nombre étant important, il est réduit aléatoirement pour rester raisonnable (mais en option on peut tout garder). Si on refait toutes les analyses, on verra que pratiquement rien n'est changé car la structure des relations n'a pas été modifiée.Vous pouvez maintenant refaire le tri croisé précédent, et comparer les distributions de pourcentage du tri croisé étudié avant et après pondération... vous n'observerez pas d'écarts importants entre les pourcentages. Ce résultat est fréquent : les pondérations changent peu la structure des écarts à l'indépendance.Philippe Cibois et Pierre MerckléLiens utilesLes donnéesL'enquête « Histoires de vie 2003 » de l'INSEELe fichier Amis0.zip à décompresser directement dans le répertoire de TrideuxTrideuxLe site personnel de Philippe CiboisPrésentation de TrideuxLe mode d'emploi du téléchargement de TrideuxLe fichier de Trideux à téléchargerL'analyse factorielleCIBOIS Philippe, « Principe de l'analyse factorielle » (2006) : dans ce document de travail, qui est en fait un début de révision de l'ancien "Que sais-je ?" de Philippe Cibois sur L'analyse factorielle(1983). C'est une présentation simple au début mais très détaillée ensuite des principes de l'analyse factorielle.http://pagesperso-orange.fr/cibois/PrincipeAnalyseFactorielle.pdfRéférences bibliographiquesBenzecri J.-P. (1973), L'analyse des données, Paris, Dunod, vol. 2 : CorrespondancesBoltanski Luc (1984), "La dénonciation", Actes de la recherche en sciences sociales, n° 51, mars (http://www.persee.fr/articleAsPDF/arss_0335-5322_1984_num_51_1_2212/article_arss_0335-5322_1984_num_51_1_2212.pdf?mode=light)Cibois Philippe (1983), L'analyse factorielle, Paris, Presses universitaires de France, coll. "Que Sais-Je ?" 128 p.Cibois Philippe (1993), "Le PEM, pourcentage de l'écart maximum : un indice de liaison entre  modalités d'un tableau de contingence", Bulletin de méthodologie sociologique, n° 40, septembre, pp. 12-23Cibois Philippe (2003), Les écarts à l'indépendance. Techniques simples pour analyser les données d'enquête, Sciences Humaines, coll. "Méthodes quantitatives pour les sciences sociales", 102 p., fichier au format PDF, 632Ko[http://www.scienceshumaines.com/textesInedits/Cibois.pdf]Cibois Philippe (2007), Les méthodes d'analyse d'enquête, Paris, Presses universitaires de France, 128 p.Coulangeon Philippe (2003), "La stratification sociale des goûts musicaux. Le modèle de la légitimité culturelle en question", Revue française de sociologie, mars 2003, pp. 3-33 (https://www.cairn.info/article.php?ID_REVUE=RFS&#38;ID_NUMPUBLIE=RFS_441&#38;ID_ARTICLE=RFS_441_0003)Héran François (1988), "La sociabilité, une pratique culturelle", Economie et statistique, n° 216, décembreMartin Olivier (1997), "Aux origines des idées factorielles. Des théories aux méthodes statistiques", Histoire &#38; Mesure, 12 (3/4)Schiltz Marie-Ange (1983), "L'élimination des modalités non pertinentes dans un dépouillement d'enquête par analyse factorielle", Bulletin de méthodologie sociologique, I, octobre, pp. 19-40