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À l'occasion des élections communales de 14 octobre 2018 il n'est pas inintéressant de se pencher sur l'immédiat après élection, à savoir la répartition des sièges. Les deux systèmes utilisés en Belgique, la règle d'Hondt et la règle Imperiali,  sont assez proches pour pouvoir être expliquées ensemble,  la première étant utilisée pour les élections fédérales, régionales et provinciales et la seconde pour les élections communales.On trouve une explication assez claire de ces deux règles sur le site electionslocales.wallonie.be. Nous nous en inspirons à partir de notre propre exemple. Les données sont évidemment complètement fictives.Supposons que trois partis se présentent à une élection pour laquelle huit sièges sont disponibles. Et supposons toujours que ces trois partis A, B et C récoltent respectivement 600, 400 et 200 voix.  Ces nombres pourraient être différents mais ce qui compte ce sont les proportions entre les résultats.Règle d'HondtDans cette règle, on commence le processus d'attribution des sièges sur bases des résultats électoraux de chaque liste. On divise ensuite successivement chacun des résultats électoraux par 1, par 2, par 3, par 4, etc. Ces nombres sont appelés les quotients électoraux. On range ces quotients dans l’ordre décroissant  jusqu’à concurrence du nombre total de sièges à attribuer.Classiquement on illustre ce processus avec un tableau comme celui ci-dessous, avec ici en gras les quotient électoraux qui attribuent les sièges : Parti AParti BParti CNombre de votes600400200% de votes50%33%17%:1600400200:2300200100:320013367:415010050:51208040:61006733:7865729:8755025Nombre de sièges431% de sièges50%38%13%Une visualisation graphique du processus peut aider à comprendre ce qui se passe. On commence donc par calculer les quotients électoraux de chaque parti ce qu'illustre le graphique suivant:On classe ensuite chacun de ces quotients dans l'ordre décroissant, tous partis confondus, mais sans perdre ce lien entre le quotient et le parti auquel il appartient :Au vu de ce dernier graphique on constate ce qui apparaissait déjà dans le premier tableau : la représentation en sièges qui sort du processus d'Hondt n'est pas nécessairement proportionnelle aux nombres de voix et aux rapports de force entre les partis. Ainsi dans notre exemple les partis A, B et C ont respectivement 50%, 33% et 17% des voix alors qu'en sièges ils ont respectivement 50%, 38% et 13% des sièges. Cette non proportionnalité vient du fait que les divisions successives par 1, 2, 3,... reviennent à multiplier par 1, 1/2, 1/3,... or comme on peut le constater ci-dessous la fonction 1/x a une décroissance rapide et non constante :Le type de décroissance de cette fonction a pour effet que l'on "perd" très rapidement beaucoup de valeur et ensuite de moins en moins. Ce qui a pour effet que les quotients électoraux des plus petits partis décroissent encore rapidement alors que ceux des grands partis en perdent déjà moins comme on peut le constater dans le graphique ci-dessous :Ce genre de règle défavorise donc les plus petits partis par rapport aux plus grands. Cet avis doit être un peu nuancé au vu du tableau suivant.  Dans celui-ci  on suppose que l'on peut continuer à attribuer des sièges au-delà de 8. La première colonne donne le numéro du siège, les deux suivantes contiennent le quotient électoral et le diviseur correspondant, viennent ensuite le parti qui a obtenu le siège. Les trois dernières colonnes présentent les pourcentages de sièges pour chacun des partis  pour le nombre de sièges attribués (à la 9éme ligne on considère que 9 sièges ont déjà été attribués par exemple) :Siège Quotient DivParti%A%B%C1 600,0  1A100%0%0%2 400,0  1B50%50%0%3300,0  2A67%33%0%4200,0  3A75%25%0%5200,0  2B60%40%0%6200,0   1C50%33%17%7150,0  4A57%29%14%8133,3  3B50%38%13%9120,0  5A56%33%11%10100,0  6A60%30%10%11100,0  4B55%36%9%12100,0   2C50%33%17%13  85,7  7A54%31%15%14  80,0  5B50%36%14%15  75,0  8A53%33%13%16  66,7  9A56%31%13%17  66,7  6B53%35%12%18  66,7   3C50%33%17%19  60,0  10A53%32%16%20  57,1  7B50%35%15%21  54,5  11A52%33%14%22  50,0  12A55%32%14%23  50,0  8B52%35%13%24  50,0   4C50%33%17%       On constate que dans tout ces cas de figures hypothétiques, la règles des 50%, 33% et 17% (proportions des voix) n'est respectée que dans un cas sur six (lignes en gras dans le tableau). La bonne nouvelle c'est qu'elle est respectée dans un cas sur six mais la mauvaise c'est que dans cinq cas sur six ce n'est pas vrai. Cette règle favorise donc plus souvent les grands partis. Voyons ce qu'il en est de la règle Imperiali.Règle ImperialiCette règle ressemble assez fortement à la précédente et est celle qui est utilisée pour les élections communales. Le seul changement par rapport à la précédente c'est que l'on commence les divisions non plus à 1 mais à 2. Ce qui revient à supprimer la ligne ":1" dans le tout premier tableau .  Sur base des mêmes résultats électoraux que précédemment (600, 400 et 200 voix) voici le graphique d'attribution des sièges :On constate directement que le parti C (en bleu) est encore plus désavantagé que précédemment! On peut alors se demander si c'est dû au nombre de sièges choisi, puisque dans la règle d'Hondt les choses étaient défavorables dans cinq cas sur six. Est-on dans un cas très défavorable ou est-ce plus général ? Un tableau similaire au précédent va nous éclairer :Siège Quotient DivParti%A%B%C1300,0  2A100%0%0%2200,0  3A100%0%0%3200,0  2B67%33%0%4150,0  4A75%25%0%5133,3  3B60%40%0%6120,0  5A67%33%0%7100,0  6A71%29%0%8100,0  4B63%38%0%9100,0  2C56%33%11%10  85,7  7A60%30%10%11   80,0  5B55%36%9%12   75,0  8A58%33%8%13   66,7  9A62%31%8%14   66,7  6B57%36%7%15   66,7  3C53%33%13%16    60,0  10A56%31%13%17   57,1  7B53%35%12%18   54,5  11A56%33%11%19   50,0  12A58%32%11%20   50,0  8B55%35%10%21   50,0  4C52%33%14%       Dans ce tableau on voit que dans tous les cas (et non plus cinq fois sur six) le parti C est clairement désavantagé. ConclusionLes règles d'Hondt et encore plus Imperiali avantagent les listes ayant des résultats électoraux plus importants. Cette non proportionnalité peut être vue comme permettant de favoriser l'émergence de majorités claires, mais on peut évidemment lui reprocher cette discrimination des petites listes. EDIT :  Si vous voulez approfondir le sujet et savoir comment fonctionne ensuite la dévolution des sièges pour les candidats : «Dévolution des sièges». 