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Rêveries sur la planification numérique de Teotihuacan[1]1.- Des Occidentaux à la recherche du nombre d’orUne contrainte naturelle (écologique) semble faire que le nid des oiseaux, la tanière ou le territoire des renards présente des dimensions accordées à leur taille, à la longueur de leurs membres ou aux quantités de ressources et de prédateurs dans leur environnement. Il en va sans doute de même chez l’homme, à ceci près qu’il se contente rarement (pour ne pas dire jamais) des accords imposés par dame nature et par la fonction utilitaire des choses taillées à sa mesure. Car cet ‘animal politique’ – social et parlant en langues naturelles – est pétri par le double besoin de dévoiler[2] ces accords et de leur donner sens dans la diversité de l’hic et nunc des cités qu’il (se) construit. L’urbanisme et l’architecture montrent bien, me semble-t-il, combien les hommes découvrent et savent jouer avec les accords et les contraintes imposés ; d’un autre côté, les archéologues et les ethnolinguistes de terrain montrent, dans leurs efforts de la traduire jusqu’à nous, l’exubérante richesse de la palette des sens et des valeurs symboliques enfouis dans les cités humaines. Est-il possible, alors que les bâtisseurs et les usagers sont morts depuis longtemps et que leurs langues se sont éteintes ou transformées, de lever, ne serait-ce qu’un peu, le secret des paroles perdues qui leur donnèrent les sens et les valeurs quand ils étaient encore en usage dans leur coin d’espace/temps ? La réponse théorique est simple. C’est NON. Car le dévoilement du sens se fait dans le face à face et à condition qu’il existe un écart, à la fois suffisant et pas trop grand, entre les VOULOIR DIRE des propos d’un JE et les FAIRE DIRE d’un TU aux mêmes propos échangés a priori dans la même langue. La réponse pratique est plus complexe.Appelons réponse pratique, tout processus réfutable susceptible de faire parler les données disponibles. Une réponse pratique délimite des champs de significations et les distribuent en classes d’impossibles, possibles, probables, certains, conformes aux données d’expériences (notamment de pensée)… Elle peut être reconstituée chaque fois par ex. que les anciens bâtisseurs ont laissé des écrits consignant explicitement ou implicitement tout ou partie des significations qu’eux-mêmes donnèrent à leurs œuvres, et qu’une équipe d’épigraphistes doublés de traducteurs peut plus ou moins laborieusement faire revivre. Examinons un problème encore plus simple : établir, de manière réfutable, que la disposition[3] ou les dimensions d’une œuvre[4] étaient planifiées et significatives, puis reconstruire[5] à partir de là les champs de significations possibles. Notre postulat est que l’homme des cités ne reste pas sous le régime des contraintes imposées par la nature et qu’il donne toujours plus ou moins volontairement des positions et des proportions particulières à chacune de ses œuvres : pièce, habitation, lieu de culte, lieu de production, tombeau, palais, rue, quartier, cité, etc. Bref, des proportions qu’il voulait faire parler pour dire et redire indéfiniment des milliers de sens qui fluctuent au gré des situations et des rencontres dans l’espace/temps individuel et social tant profane que sacré.Un début de réponse vient d’une observation. Une façon très archaïque de faire parler accords et proportions constatés consiste à les rapporter au corps et à ses parties[6] ; si bien que ce n’est certainement pas par hasard que, depuis quelques millénaires et pratiquement partout, les mesures de longueur et les rapports qui les métamorphosent en système renvoient à une foison de données anthropométriques le plus souvent liées entre elles par des rapports numériques simples[7] exprimés par de très petits entiers naturels[8]. L’homme est la mesure de toutes choses disait déjà Protagoras (485-411 av. J.-C.) en omettant toutefois de préciser que le vivre ensemble dans la cité est incompatible avec le relativisme apparemment absolu que l’on devine impliqué par ce propos, l’idée que chacun voit et juge le monde à sa manière, sans se préoccuper du regard ou des besoins des autres.On trouve, par ex. dans l’antiquité européenne[9], des systèmes (ou des traces de systèmes) où 1 paume fait exactement 4 doigts et/ou 3 pouces ; ce qui conduit à diviser par 12 et à regrouper en paquets de 12. Il suffit de jouer avec son corps pour découvrir de tels rapports simples, même si l’on est incapable de les dire ou de compter plus loin que 5. De tels constats conduisent rapidement les hommes à utiliser des ensembles d’unités reliées entre elles par des règles simples de subdivisions et d’arrangements, et, simultanément, à développer la numération et le calcul. On trouve aussi, toujours dans l’exemple de l’espace européen, des numérations parlées dont les mots numériques renvoient, selon les linguistes, à des pratiques d’énumération et de comptage sur les doigts des mains ; le fait d’avoir 2 mains de 5 doigts conduit alors à faire plutôt des nœuds de 10.Les rapports numériques simples sont bien adaptés aux approches pratiques de la mesure, et ils offrent un support souple et rapidement familier pour la production symbolique. Sans aller jusqu’à dire que tout est dans le nombre, on peut poser que : partout où se développèrent des Cités, métrologie et numération se donnèrent la main et œuvrèrent ensemble aux fondements d’une civilisation en train de naître. Une fois la cité établie, les nombres et les mesures continuent de tenir leur place et à s’engager sur un nombre croissant de fronts : politique, symbolique, religieux, économique… Chez les Mayas, ils furent essentiellement au service du repérage des dates et à celui de la mesure des durées, c’est pourquoi ils semblent tellement bien adaptés à la compréhension et au contrôle du temps profane et religieux de la vie dans la cité, à celle du temps astronomique et sacré de la geste du Soleil (voire de la Lune et des planètes), et à celle du temps astrologique et fondateur des récits mythologiques.On sait par ailleurs que les anciens Grecs cherchaient la beauté dans l’harmonie des proportions, notamment celles des parties du corps qui leur ont fourni un grand nombre d’unités de mesures de longueur[10] et des rapports qu’elles entretiennent entre elles. L’insistance à chercher des proportions harmonieuses semble inhérent à la civilisation grecque et s’observe dans de nombreux domaines : en mathématiques, en architecture, dans la sculpture… et perdure jusque dans nos classes (qui n’a jamais entendu parler du théorème de Thales). Un autre mathématicien, Pythagore (580-495 av. J.-C.), a largement influencé la mentalité grecque malgré l’ésotérisme de son école de pensée basée sur les nombres entiers[11] et leurs rapports. La tentation grecque, que l’on observe chez certains zélotes, est le désir de prétendre contempler le beau en découvrant toujours et partout les mêmes rapports, voire toujours la même et unique proportion[12]. Depuis l’Antiquité, ce désir fanatique prend souvent la forme du nombre d’or[13], réputé définir la divine proportion voire peut-être le chiffre du corps harmonieux[14].Connaître le/les sens procure un pouvoir certain, car il permet de guider et d’interpréter les processus de production. Dans la construction, la connaissance et la maîtrise des (bons) rapports permettent de garantir le (bon) déroulement des (belles) constructions depuis l’élaboration des plans d’architecture jusqu’à leur mise en œuvre sur les chantiers (par divers corps de métier). C’est pourquoi il tend à être confiné dans un cercle étroit d’initiés qui s’en font un secret (le secret est par essence oligarchique). Bien qu’il faille laisser entendre qu’on le possède, ce n’est pas un secret de Polichinelle [15]. Bien sûr, de temps à autre, tel ou tel initié trahissait son serment de silence et violait le secret donnant ainsi au public un accès aux techniques en lui révélant quelque clef, par exemple la valeur ou une représentation du nombre d’or des mathématiciens[16]. Quoi qu’il en soit, au hasard des initiations et des trahisons, le nombre d’or re-brille de tous ses feux ou retombe, tour à tour, dans l’oubli.Célèbre sous le nom de Le Corbusier, l’architecte et urbaniste Charles-Édouard Jeanneret (1887-1965) fut au 20ème siècle le champion de la quête de ce graal particulier : ses choix architecturaux partent toujours de l’homme « cet animal qui doit pouvoir s’ébrouer tout à son aise dans l’espace de sa maison ». Par jeu ou par conviction, Le Corbusier usera et abusera du nombre d’or. Il est donc omni-présent dans les œuvres de Le Corbusier. On n’en trouve pas les occurrences en se livrant à des mesures, mais en lisant les textes écrits ou en écoutant les conférences tenues par l’illustre architecte. C’est comme cela que l’on sait que Le Corbusier considéra une numération de position de base φ. La numération obtenue présente quelques particularités : par ex., les écritures 100 et 10 + 1 désignent le même nombre (on peut d’ailleurs définir le nombre d’or comme la racine positive de l’équation φ2 = φ + 1). Le Corbusier matérialisa ses expériences de pensée mathématiques en une sorte de gabarit attaché à la silhouette d’un homme debout, le bras levé. Appelé Modulor (Module + Nombre d’or), cet instrument relie visuellement diverses dimensions – par ex. celles du corps d’un homme d’un mètre quatre-vingt-trois et celles d’une habitation de deux mètres vingt-six de plafond – que Le Corbusier réunit par le truchement du nombre d’or : le rapport par ex. entre la taille et la hauteur du nombril (1829/1130 = 1,619) ou encore le rapport entre les distances du plan de travail au sol et au plafond (1397/863 = 1,619). Quel que soit l’étalon convenu et quelle que soit la précision des mesures, selon que l’on est, ou non, mathématicien, le rapport 1,619 calculé est, ou n’est pas, le nombre d’or. L’intention de l’architecte apparaît plus clairement lorsque l’on observe, en ordonnant les mesures du Modulor, qu’elles furent organisées en deux suites (an) et (2an) de Fibonacci (un+1 = un + un-1) dont voici un extrait :Ouvrons une parenthèse épistémologique. Le nombre d’or n’a pas été découvert dans les bâtiments signés Le Corbusier en envoyant des étudiants anthropologues sur le terrain, leur faire mesurer tout ce qu’ils peuvent, former mécaniquement tous les couples de mesures possibles, en faire les quotients, jusqu’à trouver au moins un couple de mesures (mi, mj) tel que mi / mj soit proche de φ (par ex. proche de 8/5 =1,6). Suffisamment proche pour que l’on puisse s'écrier « eurêka ! le nombre d’or vient d’être découvert ». Faut-il préciser que cette méthode de découverte est ‘infalsifiable’ (et donc non scientifique au sens de Popper) car elle conduit immanquablement à la découverte désirée, une approximation du nombre d’or[17]. A l’auberge espagnole on mange ce que l’on apporte. La méthode est absurde : φ = (1 + √5) / 2, est un réel irrationnel contrairement aux approximations décimales et aux fractions obtenues qui, elles, sont des nombres rationnels. La présence du nombre d’or dans les œuvres de Le Corbusier est pourtant réfutable (et donc scientifiquement acceptable) et même démontrée. Démontrée, parce que Le Corbusier a joint au Modulor une figure géométrique qui donne à voir au lecteur une construction géométrique classique de deux segments dont le rapport des longueurs est le nombre d’or. Voici le schéma de la construction.On trace un carré de côté b, on joint le milieu de son côté bleu à l’un des deux sommets opposés. On trace un arc de cercle ayant pour centre le milieu du côté bleu et pour rayon le segment que l’on vient de tracer en pointillés. Cet arc coupe le prolongement du côté bleu, et le point d’intersection définit un grand segment bleu de longueur a. Le théorème de Pythagore et un calcul simple démontrent que le quotient a/b est égal à (1 + √5) / 2 c’est-à-dire au nombre d’or φ. Le rectangle est dit rectangle d’or. La présence du nombre d’or est réfutable par l’expérience dès lors qu’il est établi que les proportions de certaines constructions furent effectivement définies au Modulor[18].Les mesures convenues par Le Corbusier prennent donc triplement sens et nous disent au moins trois choses en ceci qu’elles mettent en scène le nombre d’or ou les termes d’une suite de Fibonacci et qu’elles mettent ces éléments en correspondance, d’une part, avec les parties du corps humain et, d’autre part, avec les parties de l’habitation. Pour toutes les œuvres planifiées au Modulor, on peut dire en toute rigueur que l’homme en est, dans toutes ses parties et proportions, la mesure ; et ceci n’est pas une glose épilinguistique, mais une famille de paraphrases métalinguistiques.En termes d’urbanisme, le Modulor est un outil de normalisation et de rationalisation de la production et de la recherche esthétiques. Un outil qui permet d’éviter de nombreux calculs fastidieux. Du coup, les unités successives de la numération de base φ possède tous les atouts du système métrique décimal imposé par les révolutionnaires de 1789 : il est abstrait, il s’applique à tout et les calculs sont d’une grande simplicité. Mais il s’en distingue parce que ses unités se correspondent dans des proportions qui ont et font sens, comme c’était le cas des anciens systèmes de mesures (pouce, paume, empan, pied, etc.), dont il évite l’inconvénient majeur (lourdeur des calculs et quasi impossibilité de rendre commensurables les mesures faites ici ou maintenant et les mesures faites là ou jadis). Fin de la remarque épistémologique.2.- De la difficulté de se mettre dans la peau et l’esprit des bâtisseurs de cathédrales ou de cités disparuesLa rencontre de l’autre est toujours mystérieuse et difficile. La difficulté devient énorme lorsque l’autre est un bâtisseur français du moyen âge qui n’a rien laissé en dehors d’une construction, église ou cathédrale par ex., qui elle-même a subi les outrages du temps et souvent des modifications plus ou moins importantes, et dont le chantier a pu s’étaler sur plusieurs siècles au cours desquels les connaissances et les techniques ont évidemment évolué[19]. Comment aborder aujourd’hui l’étude d’un bâtiment alors qu’il est si difficile de se plonger en esprit dans les conditions de vie et de savoir d’un homme de l’époque médiévale. Peut-on se défaire des connaissances et des techniques accumulées depuis cette époque et qui nous sont devenues familières comme une seconde nature ? Est-il possible de raisonner en oubliant notre système métrique décimal et nos algorithmes de division afin de nous permettre de nous approprier au moins une partie des notations, des systèmes et des instruments de mesures ou de calculs de cette époque révolue ? La difficulté est encore décuplée lorsque l’œuvre du passé que l’on cherche à comprendre est le fait de bâtisseurs d’un autre univers culturel, un bâtisseur maya de pyramide ou de jeu de balle, un maître d’œuvres d'un palais cambodgien…Danièle Dehouve présente en une page environ un résumé des recherches de Sugiyama (2005) sur la ville de Teotihuacan dont l’objectif est d’étayer la thèse que c’est un exemple de « cités monumentales spatialement arrangées selon des codes cosmologiques » (p. 113) comme « la quadripartition du Cuzco faisait de la capitale un microcosme de l’empire et une métaphore de l’univers » (id.) et de montrer qu’il est possible, en passant par la mise en évidence d’une planification numérique délibérée, « de retrouver le plan d’organisation de Teotihuacán et d’en déduire la signification de sa géographie sacrée » (ibid.).Selon DD, Sugiyama commence par se demander quelle fut l'unité de mesure employée par les bâtisseurs de Teotihuacan. Pour répondre, il mesure la largeur de la balustrade de la pyramide du Serpent à plumes et trouve 1,66 m. Il induit de ce résultat que l’unité utilisée au cours de la construction de la pyramide était 0,83 m. Il vérifie en mesurant les distances entre les points principaux de la cité et en constatant dans une sorte d’ eurêka qu’il obtient des multiples « ronds » de 0,83 m : à savoir : 830 m = 1000 x 0,83 m, 1 660 m =2000 x 0,83 m et 3 320 m = 4000 x 0,83 m. D’où la définition par Sugiyama d’une nouvelle unité de longueur notée TMU (pour Teotihuacan Measurement Unit) correspondant à 0,83 m et dont DD précise « comme on l’a vu, cette unité de mesure était hautement significative chez les Aztèques qui lui donnaient le nom de ‘cœur’ » (ibid.).  Quelques lignes plus loin, on apprend que la base de la pyramide du Soleil est un carré de 260 TMU, que plusieurs bâtiments mesurent 520 TMU, et que la Ciudadela mesure 584 TMU. Un « eurêka » final ne tarde pas : « A partir de ces constatations, Sugiyama conclut que l’espace sacré urbain a été planifié en recourant à des nombres calendaires »[20] (ibid.). La preuve de la planification est donc la découverte de rapports distingués par le fait qu’ils s’expriment en nombres ronds[21] et/ou ‘calendaires’. Le texte passe ensuite à des considérations liées à la théologie. Par ex. le nombre 584 trouvé à la Ciudadela fait dire qu’elle « porte la marque numérique du cycle vénusien et figure donc le début du monde et du temps, en accord avec les mythologies selon lesquelles le serpent à plumes Quetzalcoatl symbolisant Vénus s’est rendu dans l’ inframonde pour lutter contre les dieux de l’Obscurité et en est revenu en tant que héros civilisateur » (ibid.). Quelques remarques épistémologiques s’imposent. L’auteur part du postulat que les bâtisseurs de Teotihuacan étaient contraints, pour quelque raison non dite que ce soit, d’employer des nombres simples afin que les diverses distances soient exprimées/exprimables comme des multiples ronds d’une certaine unité qu’il prétend retrouver. Admettons ; et appelons module cet hypothétique étalon. Loin d’essayer de se mettre dans la peau du bâtisseur mésoaméricain, Saburo Sugiyama, SS, choisit une balustrade, la mesure, donne le résultat en système métrique, le divise par deux et décrète que c’est le module cherché, la TMU, finalement définie en référence à notre système métrique : 0,83 m. Cette façon d’opérer est fondamentalement ambiguë puisque, dans le seul ouvrage de DD, le même module est respectivement défini égal à : 0,8334 m (Dehouve, qui partage par 5 la largeur de 4,17 m d’une pierre monumentale), 0,8359 m (Clark) et 0,90 m (Alonso). Imaginons qu’un chercheur décide de diviser par 6 la longueur de la balustrade de SS, il aurait trouvé un autre module, l’unité TMU2, définie par la valeur 0,2767 m qu’un esprit facétieux pourrait identifier au ‘pied’ en usage chez les Espagnols (Clark a identifié son module de 0,8359 m à la vara espagnole[22]). Sauf celle d’ Alonso en nombre rond, toutes les identifications de module sont proposées avec une précision allant jusqu’au dix-millième (en l’occurrence jusqu’au dixième de millimètre pour un module de près d’un mètre). Les auteurs cités ne prennent pas conscience du fait que l'écriture décimale peut introduire des biais : mettre beaucoup de chiffres après la virgule donne à croire que l'on distingue et définit clairement un objet numérique unique ; mais c'est faux car les mesures ne donnent jamais LA valeur, mais un INTERVALLE de confiance dans lequel elle doit se trouver, et dont la dimension ne peut pas être convenue arbitrairement. C'est pourtant ce qu'ils font en augmentant à leur guise le nombre des chiffres après la virgule ou le nombre de chiffres significatifs[23]. L'écriture décimale est une représentation qui permet de couper de plus en plus finement les cheveux en quatre ; ce qui n’a vraisemblablement aucun sens pour un Mésoaméricain de l’époque de la construction de Teotihuacan. Elle conduit, par contre, un Français de 2011 à ouvrir les yeux sur le fait que les valeurs numériques des distances en TMU séparant les points principaux de la cité de Teotihuacan n’ont pas la pertinence que SS et DD leur accordent. Dressons pour le voir le tableau de leurs expressions dans tous les autres modules connus, à savoir M1 = 83,34 cm, M2 = 83,59 cm et M3 = 90,00 cm respectivement définis par les autres chercheurs cités par DD et, pour faire bonne mesure, le module M4 = 27,67 cm (pseudo pied espagnol) : mètre TMUM1M2M3M4215,80260 259 258 240 780431,60520 518 516 480 1560484,72584 582 580 539 1752830,001000 996 993 922 30001660,002000 1992 1986 1844 59993320,004000 3984 3972 3689 11999Ce tableau des distances entre les « points principaux de la cité » exprimées en mètre, TMU et modules Mi disponibles montre que seules les expressions en TMU fournissent des nombres parlants de deux types : a) des nombres parlants pour un Mésoaméricain que DD qualifient de « nombres calendaires » comme 260, son double 520, et 584, et b) des nombres parlants pour SS et DD et qualifiés de « nombres ronds » comme 1000, 2000 et 3000. On doit ici observer que ces nombres sont parlants pour qui utilise la numération décimale de position laquelle n’était ni connue ni utilisée, pas même par les Mésoaméricains qui maîtrisaient le principe de position car ces derniers utilisaient la base vingt[24]. Les nombres obtenus avec les autres modules ne sont pas parlants, même si on sait que les subtiles manipulations des numérologues pourraient leur faire dire n’importe quoi, mais pas ce que l’on attend d’eux ici : 240, 250 et 259 par ex. ne sont pas, le nombre de l’almanach divinatoire, de même 539, 580, et 582 ne sont le nombre de Vénus. Cette fin de non recevoir devrait être encore plus radicale dans le cas des études qui ne sont pas conduites en nombres entiers[25] et qui poussent les définitions et les calculs loin au-delà de la virgule ou qui utilisent des nombres à beaucoup (trop !) de chiffres significatifs : mètre TMUM1M2M3 M4215,80260,000000 258,939285258,164852239,777778779,906035431,60520,000000 517,87857516,329705479,5555561559,81207484,72584,000000 581,617471579,877976538,5777781751,78894830,001000,000000 995,920326992,941739922,2222222999,63861660,002000,000000 1991,840651985,883481844,444445999,27723320,004000,000000 3983,681313971,766963688,8888911998,5544En d’autres termes, la méthode de SS telle que rapportée et résumée par DD ne permet pas de découvrir le module numérique utilisé par les anciens Mexicains. Nous pensons que cette méthode produit des étalons ad hoc conçus dans le cadre des nombres décimaux (inventés et diffusés par le flamand Stevin à partir de 1586) et concrètement fabriqués avec trois outils : le système métrique (pour mesurer) ; la numération décimale (pour noter les résultats de mesure ou de calcul) et les algorithmes de l'arithmétique élémentaire notamment celui de la division des nombres à virgule. Pour comprendre le bénéfice et le confort apportés par ces outils, il suffirait d'effectuer les divisions sur des nombres écrits en numération et chiffres romains. Ce cadre et ces outils sont aujourd’hui connus et diffusés dans le monde entier, mais tout prouve que les anciens Mexicains ne les connaissaient pas. Que des chercheurs comme Sugiyama ne parviennent pas à se passer de l’outil décimal pour reconstituer le cheminement de la pensée des bâtisseurs de Teotihuacan semble indiquer que ces outils font écran et empêchent l’immersion dans l’univers cognitif mésoaméricain et la compréhension profonde de la culture métrologique des anciens Mexicains. Calendaires ou rondes, les valeurs soi-disant parlantes exhibées sont – dit en toute humilité, en mon for intérieur et à corps défendant – des projections du chercheur moderne qui trouve après coup dans la cité de Teotihuacan des valeurs qu’il a lui-même construites (en jouant sur le nombre de chiffres après la virgule) et que son désir avait déjà et confusément placées là. Cela relève de ce que j'appelle péché mignon des ethno-X ou syndrome de Waldeck qui voyait des éléphants dans les glyphes mayas de Palenque.3.- Quelques règles pour conduire la recherche des raisonsDe riches enseignements épistémologiques et méthodologiques peuvent être tirés des travaux que nous venons de survoler et qui tous prétendent établir le vouloir dire d’un bâtisseur du passé en faisant parler le texte de ses œuvres jusqu’à la manifestation de sa volonté de planification (numérique). Dans tous les cas survolés, il s’agissait d’inventer (au sens des chercheurs de trésor) des rapports remarquables ou parlants entre les dimensions d’un meuble, d’un édifice ou d’une cité. Sans le dire ou en le disant, les chercheurs sont contraints d'admettre certains postulats (qui varient en fonction des civilisations ou des époques étudiées, parce que celles-ci sont diverses et changeantes).Dans le cas de la Grèce antique, pépinière d'excellents géomètres et de spécialistes de la représentation des nombres par des figures de points, des segments et des rapports[26], le chercheur interroge davantage les figures que les nombres, et admet comme preuve d’une planification numérique l’invention d’une figure qui de près ou de loin s’apparente à une expression géométrique de φ, par ex. , le nombre d’or supposé avoir été la clef grecque de l’harmonie ou la proportion divine qui fait entrer et planer dans la béatitude. Nous avons montré sur l’exemple du Corbusier qu’il est possible, parfois, de démontrer la présence de cette proportion devenue mythique. Ailleurs, notamment chez ceux qui n’ont manifestement pas développé une mathématique aussi sophistiquée que celle de l’Antiquité grecque, les chercheurs acceptent comme preuve d’une planification numérique le fait de trouver des couples de quotients de mesure qui s’expriment en nombres entiers, et même plus précisément en petits nombres entiers. Sans expliquer pourquoi, certains chercheurs sont plus exigeants et demandent en plus qu’il s’agisse par exemple de nombres pairs, ou de nombres premiers. On remarque ici que le fait de disposer de nombreux étalons (même sans liens entre eux) permet toujours, notamment à qui ne sait pas compter plus loin que vingt par exemple, de ne manipuler que des résultats de mesures qui s’expriment par des petits entiers. On peut facilement arriver à ce résultat par essais et erreurs. Par exemple, si je veux mesurer la longueur de l’ordinateur sur lequel je travaille en ce moment, je peux expérimenter la mesure en doigts, en pouces, ou en empans : je trouve respectivement :« 20 doigts », « 15 pouces », et « 1 empan 2 paumes et 1 doigt » ; si je suis de plus familier du fait qu’une paume correspond à 4 doigts et à 3 pouces, je peux encore ajouter la valeur « 5 paumes », ou si je vérifie que la longueur de mon index correspond à ma paume de quatre doigts, je peux encore traduire par « 5 index ». Tout cela n'est rigoureusement vrai que pour des adultes analphabètes en mathématique et métrologie, et qui ne disposent a priori que des tout premiers nombres entiers et d'une poignée de fractions comme un demi, un tiers ou deux tiers, et qui ne sont pas trop regardants sur la précision de mesures nécessairement réalisées sous le contrôle de l’œil qui estime les équivalences établies par ex. entre la longueur de l'index et celle des quatre doigts de la paume. Dans cette expérience de mesure, je me rends compte que l’empan n’est pas un étalon de longueur adapté à la taille de mon ordinateur[27]. On peut retenir un postulat un peu explicité : dans les cités où la population ne sait pas compter au-delà de la vingtaine (c’est le cas des campagnes françaises sous la monarchie), il est avantageux de disposer de nombreux étalons de taille différente (non nécessairement liés) car ceci permet de ne manipuler que des mesures exprimées par des petits entiers. On voit aussi qu’un système bien organisé de multiples et sous-multiples de l’étalon favorise le travail de l’autorité supposée devoir contrôler de longues listes de mesures d’objets de taille différentes et devant être comparés avec une certaine précision et une plus grande rigueur. L’histoire et l’expérience montrent qu’il est souhaitable d’adopter une même progression à la fois pour les nœuds de la numération (si possible de position) et pour les systèmes de multiples et sous-multiples. Deux raisons (dix et douze) se disputent depuis toujours les faveurs des hommes du calcul et de la mesure qui finissent presque partout par utiliser la progression de dix en dix (éventuellement décomposée en progression par 2 et 5) et la progression de douze en douze (éventuellement décomposée en progressions par 2, 3, 4, et 6)[28]. Un des plus anciens systèmes de mesure de longueur est égyptien, son unité est la coudée royale[29] divisée en 7 paumes (il existait aussi une coudée de 6 paumes) de chacune 4 doigts ; on connaît deux multiples 1 khèt = 100 coudées et 1 itérou = 20 000 coudées (et donc 200 khèt). Dans un des anciens systèmes français, dit système du roi de France, l’étalon est le pied (environ 32,6 cm). Il a trois sous-multiples, tous au douzième : 1 pouce = 1/12 de pied, 1 ligne = 1/12 de pouce, et 1 point = 1/12 de ligne (et donc 1/1 728 pied). Le pied a quatre multiples : 1 toise = 6 pieds, 1 perche = 18 pieds (et donc 3 toises), 1 arpent = 220 pieds, et 1 lieue = 10 000 pieds. En conclusion, les hommes apprécient les rapports exprimés par des petits nombres (2, 3, 4, 5, 6, 7), ou par des nombres parfois grands mais correspondants à des multiples d’un nombre simple (nombre d'appui, base, étalon, unité) équivalents de nombre ‘ronds’ en numération décimale (10, 100, 10 000, 20 000).Je connais peu de travaux qui reprennent un problème que l’Histoire des mathématiques rencontre parfois, celui de l’homogénéité ou de l'anisotropie de l’espace. DD le signale sans remarquer qu’elle admet sans le savoir une proposition fausse, l’idée que pour tous les peuples (en tout cas pour les anciens Mexicains) l’espace serait homogène, plus exactement isotrope, dans toutes ses directions : « il faut chercher à comprendre comment ils ont procédé. En premier lieu, il leur a fallu recourir à la même unité de mesure dans les sens de la longueur et dans le sens de la largeur. Il semble en effet, impossible de diviser la pierre à tailler selon des ‘cœurs’ dans un sens et des ‘pieds’ dans l’autre » (p.112). Il existe de nombreux contre-exemples à cette soi-disant impossibilité. Les ethnolinguistes décrivent souvent des situations où les gens utilisent des étalons différents selon que les mesures se font dans un sens ou dans un autre et des situations où le même étalon donne des mesures différentes dans un sens ou dans l’autre ; l’exemple le plus typique est celui de la mesure de la longueur des trajets, sur l’eau ou en montagne, évaluée par la durée, en jours par ex., du déplacement. Homogénéiser l’espace est une abstraction qui n’a rien de naturel. L’histoire des mathématiques semble indiquer que la construction de l'espace abstrait (par ex. isotrope du point de vue de la mesure des distances) émerge dans le cadre du développement des moyens de définir et calculer la longueur d'une diagonale en fonction de celles des côtés de la figure considérée, ou de définir et calculer les surfaces en fonction de leur périmètre et les volumes en fonction de leur enveloppe. Prenons l’exemple simple du calcul de la surface d’un champ rectangulaire dont la longueur et largeur sont mesurées avec des étalons différents. Cette situation est finalement très répandue. DD signale elle-même dans son tableau 15, une brasse horizontale de 1,6668 m et une brasse verticale de 2,50 m manifestement de longueur différente ; et les pilotes vivent cette situation au quotidien dans leur cockpit où les instruments indiquent l’altitude verticale en pieds de 0,30 m, et la vitesse par rapport à l’air, donnée par la distance parcourue en une heure et affichée dans deux unités : en nœuds de 1852 m et en kilomètres de 1000 m. Supposons un rectangle 5 x 4, ayant une longueur de 5 barre horizontale et une largeur de 4 barre verticale. Appliquée brutalement sans correctif, la formule traditionnelle du rectangle, S = L x l, produirait un artefact. Certains peuples ont contourné cette difficulté en ramenant systématiquement l’une des dimensions du rectangle à l’unité, ou en homogénéisant l’espace. On peut donc conjecturer que les peuples qui ne faisaient ni calculs de surfaces ni calculs de volumes[30] n’avaient pas de raison particulière d’homogénéiser leur espace. On parviendrait à la même conclusion pour les peuples qui n’ont pas cherché à évaluer la mesure d’un segment placé en biais dans un espace semi-homogène rapporté à deux dimensions indépendantes (par ex. orthogonales) graduées en unités différentes[31].Nous venons d’écarter les méthodes rapportées par DD après avoir constaté que le module dont elles finissent par accoucher présente des malformations qui le rendent invivable. Nous avons montré que ce défaut rédhibitoire résulte du fait que le module mort-né a été conçu en logique métrique décimale[32]. Ce qui conduit à la question de savoir pourquoi les chercheurs ne parviennent pas à dépouiller les modules nahuas et leur éventuel système du déguisement métrique et décimal dont ils les affublent dans leurs publications ? L’enquête menée par DD débute par l’identification de deux faits : « la reconstruction du système nahua de mesures longitudinales présente des difficultés intrinsèques » (p. 98) ; et « depuis le travail pionnier de Brinton (1885), les tentatives de clarifications du système nahua sont restées rares » (id.). Sans plus s’intéresser à la difficulté de reconstituer le système nahua de mesures longitudinales, continue sa revue des recherches du module et du système in-trouvés. Les plus prometteuses sont engagées, écrit-elle, sur deux fronts : a) la chasse systématique aux informations métrologiques contenues dans les documents rédigés au début de la Colonisation, comme c’est le cas des travaux de Harvey et Williams (1981) ou de M. Alonso (1984), et b) la production d’informations métrologiques obtenues, comme celles de Sugiyama (2005) ou de Clark (2008), par des campagnes de mesures qui confrontent « les unités de mesures nahuas aux dimensions des édifices et des monuments découverts dans les cités précolombiennes » (ibid.).Quand la nature se fait têtue et continue comme ici de nous refuser la contemplation du système nahua malgré les efforts des chercheurs qui se sont donné comme but « de reconstruire le système d’équivalence généralisé  entre les différentes mesures (tableau 15) » (p. 100), c’est le moment de formuler une conjecture raisonnable. Le tableau 15 est un inventaire de tous les étalons de mesures de longueur répertoriés dans l’univers des anciens Mexicains, sans aucune indication du domaine d’emploi de chacune, et simplement ordonnés en fonction de leur taille. La taille n’est définie en logique nahua mais par la mesure décimale de chaque étalon (les mesures du tableau 15 vont de 0,017 à 2,50 et sont exprimées dans le système métrique que les révolutionnaires de 1789 n’ont pas encore inventé). DD s’en explique « comme on le voit, j’ai suivi mes prédécesseurs dans leur recherche d’une conversion des unités dans le système métrique. Il ne s’agit là que d’une convention, mais elle est utile pour nous permettre d’appréhender les mesures et, surtout, trouver les équivalences entre les unités nahuas et espagnoles. Or, il n’existe qu’une seule unité nahua qui puisse être comparée avec exactitude à une unité espagnole. C’est le ‘cœur’ (yollotli) qui correspond à la distance séparant le milieu du thorax du bout des doigts. Le ‘cœur’ correspond à une vara espagnole comme l’établissent plusieurs documents du XVI° siècle, et la vara mesurait 0,8359 m » (p.100). La nature est de plus en plus têtue : chaque fois qu’un chercheur part à la recherche du système nahua, il tombe, comme ici avec la vara, sur des éléments du système espagnol[33] d’avant le système métrique. Si l’on ajoute à cela que les documents précolombiens susceptibles de prouver des préoccupations numériques contiennent surtout des listes de dénombrements de quantités discrètes ou discrétisées et pas de mesures proprement dites, il ne reste plus qu’à se demander si le système nahua des mesures de longueur a existé, et si les documents post-colombiennes ne seraient pas le maque de l’appropriation par les Mexicains du système apporté en Mésoamérique par les Espagnols. D’où :Notre conjecture : les anciens Mexicains étaient familiers, chacun dans son domaine d’influence, des quelques étalons de mesure dont ils avaient besoin et qu’ils adaptaient chaque fois que nécessaire. Le territoire des anciens Mexicains devait donc être couvert d’une multitude d’étalons dont beaucoup furent empruntés à la morphologie humaine. Ces étalons n’avaient pas de valeurs fixes, changeaient vraisemblablement selon les lieux, les temps, les choses à mesurer, le statut social des mesureurs… Autrement dit, jusqu’à l’arrivée des Espagnols, il n’y aurait pas de système nahua d’unités de mesure des longueurs. L’histoire montre clairement que cette situation change rapidement, dès la Conquête, et que les changements s’accélèrent avec la Colonisation qui fait naître, dans tous les domaines, les fruits hybrides du contact des peuples et des civilisations. C’est pourquoi des chercheurs comme Harvey et Williams découvrent des écritures numériques inconnues avant la Conquête et que l’on trouve en usage dans les registres de propriétés utilisés comme éléments à charge ou à décharge dans les litiges intra et intercommunautaires.La conjecture (pas de système nahua avant la Conquête, seulement des hybrides après) ne repose peut-être que sur un défaut des méthodes rapportées (saisir le module nahua à travers le filtre décimal). Il reste donc à définir un plan d’expériences susceptibles de faire apparaître, s’ils ont existé, les modules et systèmes nahuas débarrassés de tout déguisement décimal. Prenons le cas plus familier d’une église ou d’une cathédrale, et voyons si l’on pourrait, avec cette exigence, découvrir un module utilisé par un maître d’œuvres du Haut Moyen Âge. Sugiyama est parti de la mesure d’une balustrade, DD des mesures d’une « pierre taillée monumentale représentant la divinité de la terre, Tlaltecutli » (p. 101). Le choix de l’objet à mesurer semble laissé à l’arbitraire du chercheur. Cela ne permet pas de répondre à notre demande car la mesure trouvée est celle d’une longueur qui n’a peut-être pas été planifiée le bâtisseur lui-même. Savoir qu’elle s’exprime par 2, par 5, par mille ou par toute autre valeur ne prouvera jamais qu’elle fut planifiée ; et si le nombre obtenu est à quelque point de vue remarquable, cela peut très bien n’être que l’effet du choix de telle ou telle ou telle écriture des rapports de longueurs. D’où une première exigence de méthode : pouvoir déterminer au moins une chose dont on puisse affirmer qu’elle fut vraisemblablement planifiée, et si possible numériquement planifiée.Dans le cas d’une église, nous savons au moins que leur orientation était planifiée[34] , ce qui suffit à montrer que l’espace était au moins semi-homogène, et qu’il présentait des directions privilégiées plus susceptibles que toutes les autres d’être effectivement graduées et donc d’avoir été planifiées. A priori, sauf particularité essentielle inhérente à la nature du terrain ou à celle du projet de construction, ces directions sont orthogonales, au nombre de trois, et graduées (souvent, mais pas nécessairement, avec le même module).Concrètement, on mesure systématiquement dans les directions ‘hauteur’, ‘largeur’, ‘longueur’ par exemple la largeur de la façade, la distance entre les centres des piliers, l’axe de la nef, la hauteur de la nef.Que faire maintenant des résultats de mesures ? Imaginons avoir trouvé une longueur de 1647 cm. On peut commencer à se faire une idée de l’étalon utilisé pour la planifier et la construire en divisant 1647 cm par la longueur de toutes les unités de longueur de l’époque encore connues. A savoir par exemple : le pouce, le pied, la toise… On obtient ainsi une estimation du nombre de fois qu’une unité particulière serait contenue dans la longueur 1647 cm. Par exemple, notre longueur contient moins de 51 pieds et plus de 50 pieds de 32,66 cm. Le problème, à supposer que le maitre travaillait en pied, c’est que le sien n’a aucune raison de mesurer 32,66 cm comme le pied de sa définition sur internet. Testant les autres unités, on obtient de la même manière par ex. que notre longueur contient moins de 9 toises et plus de 10 toises. Ces deux résultats semblent acceptables, contrairement à ceux d’une mesure en points qui donneraient une longueur de plus de 899 points, ou qu’une mesure en arpent qui donnerait 0 parce que notre longueur ne peut même pas en contenir un.On conserve tous les résultats sui semblent acceptables. Par exemple, le module pied. On vient de voir que notre longueur contient entre 50 et 51 toises et on se demande comment déterminer la valeur du pied utilisé par le maître d’œuvres.On fait ici l’hypothèse réaliste que le pied[35] est la plus petite erreur discernable ou acceptable par le maître d’œuvres qui a tracé ou mesuré la longueur dont nous sommes partie et qui est de l’ordre de 50 pieds. On calcule alors qu’elle serait la longueur du module pied s’il était contenu (50 + m) ou (50 – n) fois dans la longueur 1647 cm. Les entiers m, n sont incrémentés de 1 tant que la valeur du module pied ainsi calculée reste dans la fourchette définie par la plus petite et la plus grande valeur historiquement attestées du module pied.Voici un extrait des résultats obtenus que l’on peut lire en disant si la longueur 1647 cm est divisée par x, alors le module pied utilisé par le maître d’œuvres était de longueur y cm :xy xfacteurs de x4437,431818 442, 2, 114635,804348 462, 234834,312500 482, 2, 2, 2, 35032,940000 502, 5,55231,673077 522, 2,135430,500000 542, 275629,410714 562, 2, 2, 75828,396552 582, 29&#160;&#160;xy xfacteurs de x4437,431818 442, 2, 114635,804348 462, 234834,312500 482, 2, 2, 2, 35032,940000 502, 5,55231,673077 522, 2,135430,500000 542, 275629,410714 562, 2, 2, 75828,396552 582, 29&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;On a ainsi défini un ensemble de modulespossibles. Deux types de méthode peuvent alors conduire à en distinguer un et un seul. Soit en se donnant pour telle ou telle raison un crible qui permette de répondre à la question. Par exemple si l’on estime que le maître avait un faible pour les mesures qui s’expriment par un entier à beaucoup de diviseurs, on retiendra le couple x = 48 et y = 34,312500 car 48 est divisible par 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24. L’autre type consiste à calculer avec le module que l’on vient de distinguer (sinon, on les prend tous les uns après les autres) la longueur de toutes les parties de l’édifice que l’on sait ou suppose avoir été numériquement planifiée par le maître.Si on constate que toutes les mesures s’expriment exactement (ou très simplement) en nombre entier, cela signifie : a) que l’on a découvert le module cherché et b) que l’on a prouvé que le maître disposait d’un système de mesure de longueur et qu’il planifiait numériquement ses constructions. Accessoirement, on a découvert la valeur (éventuellement secrète) du module personnel du maître d’œuvres. On peut, mais alors seulement, lancer l’interprétation numérologique des mesures que le maître a donné à son œuvre et que le processus méthodique vient de dévoiler. Cela devrait commencer par la description la plus précise et objective possible de ce que l’on appelle parfois le tracé régulateur de l’édifice. Voici par exemple ce que pourrait être le tracé régulateur de la nef de Saint Philibert de Tournus, ancien monastère bénédictin. Avec un module de 185 cm, le tracé régulateur prend une forme numériquement très simple : chaque travée de la nef centrale fait 4 toises de large et 3 toises de long. Les bas-côtés sont des carrés de 3 toises de côté. Mesurée du socle à l’imposte, les colonnes rondes font 5 toises de hauteur. On peut alors suggérer que le triangle égyptien (de côtés 3 - 4 - 5) est sans doute le principe organisateur du schéma général de la nef.[1] La source de mes rêveries est la lecture du chapitre VI, Mesures du corps, mesures du monde, du livre L’imaginaire des nombres chez les anciens Mexicains que nous avons présenté dans le bulletin précédent. Les images sont consultables sur ; http://www.lenombredor.free.fr/modulor.htm et https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/11/Anatomical_and_ geometrical_proportions_-_Albrecht_D%C3%BCrer.png[2] Au sens percevoir, remarquer et prendre conscience de la présence ou de l’existence qqch, de quelque vérité (aléthéia).[3] Le tapis de prières s’oriente vers la Mecque, les structures en E de Uaxactun pointent Solstices et Équinoxes…[4] Quand une base de bâtiment nous apparaît rectangulaire de longueur L et de largeur l dans le rapport L/l = r selon nos mesures en système décimal et numération de position, comment peut-on : a) décider que ces informations sont pertinentes du point de vue de l’architecte, du maître d’œuvres, des ouvriers, des usagers contemporains du bâtiment… qui utilisaient des instruments et des systèmes de mesures ainsi que des numérations autres que les nôtres, b) montrer que ces informations étaient, ou non, significatives pour tel ou tel de ces groupes d’acteurs c) dévoiler une part de leurs significations.[5] Par et dans le dialogue (interculturel, interethnique, interdisciplinaire…) avec les textes, les descendants de même langue, les héritiers de la culture source… qui permet d’entrer dans la familiarité de l’autre.[6] Qui permettent, avant le nombre parlé et a fortiori bien avant le nombre écrit, de montrer, séparer, distinguer, grouper, bref d’énumérer, dénombrer, mettre en relation, comparer….[7] Les anciens systèmes de mesure ont toujours oscillé entre diversité et unité. Par exemple, sur le territoire de la France, on observe d’abord une certaine unité au début de l’ère chrétienne parce que Rome avait imposé son système de mesures fondé sur le pied comme étalon principal. On observe ensuite, après la chute de l’empire romain et jusqu’à l’imposition du système métrique décimal, une extrême diversité des systèmes : des mesures de même nature et de valeurs voisines (par ex. la quantité de terre labourée en un jour par un homme) avaient des appellations différentes selon les provinces, voire selon les villages. Et vice versa. Bien qu’ayant partout le même nom, de nombreuses mesures différaient d’un lieu (et d’un temps) à l’autre et même selon la corporation qui l’utilisait. Mais il ne faut jamais perdre de vue, comme Napoléon le soulignait dans ses mémoires, qu’un système unique qui s’applique universellement à toutes les situations où se trouvent les hommes de tous les temps et de toutes les nations est un système nécessairement abstrait dont les unités ne sont plus immédiatement parlantes et ne permettent plus le contrôle sémantique des quantités manipulées. Au contraire, la diversité observée sur le territoire entier cache le fait qu’il se formait en chacune de ses niches, de ses groupes humains, de ses collectivités territoriales ou corporatives un système de mesures très adapté aux besoins spécifiques de la niche, un système homogène qui parlait aux gens du lieu ou du métier et leur permettait d’exprimer leur vouloir dire, d’échanger ses secrets dans l’entre-soi.[8] Postulant qu’une bonne numération demande en pratique que tout nombre soit parfaitement distingué et bien défini par une unique expression, tandis qu’une bonne métrologie demande au contraire que toute mesure soit facilement transformable, alors on peut montrer que l’usage métrologique tend à favoriser les entiers pas trop grands et à plusieurs diviseurs, tandis que la numération favorise au contraire les entiers pas trop grands sans ou avec peu de diviseurs. Par suite : 10 (divisible par 2 et 5), 11 (premier), 12 (divisible par 2, 3, 4 et 6) et 13 (premier) présentent, malgré un même ordre de grandeur, des propriétés différentes faisant que le troisième, 12, répond mieux aux besoins de transformation des systèmes de mesure, et que les trois autres répondent mieux aux besoins d’unicité des systèmes de numération.[9] Ou, de façon plus lacunaire chez les anciens Mexicains à l’époque de la Conquête : 1 macpalli ‘paume’ fait 4 mapilli ‘doigts’, et 3 macpalli ‘paume’ font 1 iztetl ‘ongle’ ou ‘empan’ comme le montre par ex. Dehouve (2011:102-103).[10] Listées par ex. sur le site http://www.insecula.com/article/F0010295.html[11] Pour les élèves de l’école pythagoricienne où l'enseignement était oral et secret, le nombre (entier naturel) - toujours associé à un arrangement de points qui le figurait - était le concept central de la nature, et son principe explicatif dans le cadre d'une mystique ésotérique ; la découverte des premiers nombres irrationnels provoqua un traumatisme intellectuel dans l'école et, dit-on, le suicide de son inventeur.[12] Il n’est pas impossible que les peuples qui allèrent vers le monothéisme préfèrent tout voir sous un seul et même nombre, tandis que le polythéisme et l’animisme iraient plutôt vers la multiplicité de rapports, chaque entité ayant les siens propres.[13] Ce nombre réel fut construit par les mathématiciens grecs. On peut le présenter comme la solution positive de l’équation x2 –x – 1 = 0, soit φ = ½ (1 + √5) et le mettre sous forme décimale φ = 1,618 033 988 749… Pour Euclide, deux segments a et b sont en extrême et moyenne raison (on dit aussi en ‘proportion divine’, ‘section dorée’, ‘nombre d’or’) quand leurs longueurs vérifient l’égalité « (a+b)/a = a/b » c’est-à-dire quand le rapport de la somme des deux longueurs (a+b) sur la plus grande a est égal à celui de la plus grande a sur la plus petite b. En multipliant les deux termes de l’égalité par a/b on obtient la nouvelle égalité (a/b)2 – (a/b) – 1 = 0. La suite dite de Fibonacci définie par « u0 = 0, u1 = 1 et, pour tout n &#62; 0, un+2 = un+1 + un » est très liée au nombre d’or parce que la suite des quotients (un+1 / un ) converge (rapidement) vers la limite φ. D’où une autre façon de découvrir la  divine proportion : trouver une partition en deux nombres (ou deux mesures) égaux à deux termes successifs d’une suite de Fibonacci. Un monument très souvent cité comme preuve de la présence du nombre d’or est le Théâtre d’Épidaure, car il compte 34 rangées de gradins (placés en douze secteurs délimités par des escaliers) auxquelles furent ajoutées, environ un siècle plus tard, 21 rangées de gradins (placés cette fois en vingt-deux secteurs) soit un total final de 55 gradins. Ce sont les termes de rang 9, 10 et 11 de la suite de Fibonacci réalisant les rapports 55/34 = 1,6176 et 34/21 = 1,6190 que l’on peut considérer comme proches du nombre d’or. Les chercheurs de nombre d’or sont souvent moins exigeants sur la précision de l’approximation et se contentent de faire apparaître un seul couple de termes consécutifs de la suite de Fibonacci, par ex. les entiers 5 et 3 (pour le Temple d’Andros) donnant le rapport 1,6667, et même les termes 2 et 1 (pour le Temple de Salomon). Avec un tel laxisme, le nombre d’or apparaît absolument partout, en tout cas dès qu’un tout apparaît divisible en deux moitiés.[14] Introuvable parce que les proportions du corps humain, qui ne sont ni les mêmes pour tous, ni les mêmes à tous les âges, sont de plus en constante évolution. Et l’histoire montre que le maintien d’un canon uniforme est toujours une affaire de pouvoir suffisant fort pour l’imposer ; en ce sens on pourrait parler de ‘royale proportion’ chaque fois que les étalons de mesure furent définies et construits à l’aune des parties du corps du roi et autres roitelets. Reste que le nombre d’or est un objet mathématique et que, à ce titre, il peut évidemment être construit et montré (par ex. à la règle et au compas, ou à l’aide de la corde à treize nœuds des bâtisseurs de cathédrales) mais même dûment construit, sa présence n’est pas démontrable en mesurant les éléments de la construction ou de la figure géométrique. Pour la simple raison qu’aucun instrument ne donne une infinité de décimales.[15] Quand on observe la production de savoirs, on découvre vite que la plupart des connaissances sont aujourd’hui largement divulguées (écoles, media, centre de formation…) et que pourtant, la recherche, elle, se développe toujours dans le secret des laboratoires ; il est donc assez plaisant de constater que la recherche scientifique qui a pour but de dévoiler les secrets de la nature s’isole paradoxalement du monde et couvre d’un voile le saint des saints où elle opère son travail. Le secret apparaît ainsi comme une composante intime de la production des savoirs, parce que ceux-ci permettent, tant qu’ils restent confinés et peu ou pas partagés, à l’oligarchie des chercheurs de conserver le pouvoir que la connaissance leur procure, d’une part, sur leurs collègues qui ne sont pas (ou pas encore) dans le secret, et d’autre part, sur ceux qui sont dans le non-savoir (ignorants, enfants, métèques et autres) ; on devine ici pourquoi tant de chercheurs sont d’autant plus arrogants que le contenu de leur découverte est pauvre, et pourquoi tant de politiques et de dirigeants tentent de mettre le pouvoir de la science au service de leurs propres projets de pouvoir.[16] Une rumeur rapporte que c’est l’écrivain et critique d’art Théodore Cook qui proposa de noter φ le nombre d'or, en hommage au sculpteur grec Phidias qui décora le Parthénon à Athènes[17] On trouvera, par ex. sur internet, des dizaines de chercheurs de nombre d’or qui parcoururent le monde pour en mesurer les plus célèbres bâtiments comme la Pyramide de Kheops, le Parthénon d’Athènes, le Théâtre d'Épidaure, la Cathédrale de Strasbourg, etc. Comme on peut s’y attendre, tous finissent par exhiber des résultats de mesures qui, combinés d’une manière ou d’une autre, délivrent une valeur numérique plus ou moins proche de φ ou de sa racine carrée...[18] Voici comment Le Corbusier raconta l’histoire de son célèbre Cabanon : « Le trente décembre 1951, sur un coin de table, dans un petit casse-croûte de la Côte d’Azur, j’ai dessiné pour en faire cadeau à ma femme pour son anniversaire, les plans d’un Cabanon que je construisis l’année suivante sur un bout de rocher battu par les flots. Ces plans, (les miens) ont été faits en 3/4 d’heure, ils sont définitifs ; rien n’a été changé ; grâce au modulor, la sécurité de la démarche fut totale ».[19] De telles durées impliquent que de nombreux maîtres d’œuvre se sont succédés sur le chantier, chacun avec son équipe, ses instruments de mesures et de calculs, ses étalons et autres gabarits, sans oublier ses secrets.[20] 260 est le nombre de jours de la semaine divinatoire mésoaméricaine, 520 son double, et 584 la durée en jours de l’année vague vénusienne (révolution synodique).[21] Pour ses propres recherches (p. 97-111), DD admet comme preuve la mise en évidence de rapports s’exprimant par de petits entiers dotés de signification symbolique : « Or, les nombres 2, 3, 4, 6, 8, 12 étaient dotés d’une signification symbolique dans l’ancien Mexique (chap. IX) » (103). Le caractère ‘doté d’une signification symbolique’ n’est pas pertinent : à ma connaissance, il n’existe pas, chez les anciens Mésoaméricains, de nombre entier sans signification symbolique. Exercice : montrer que les absents dans la liste de DD (1, 5, 7, 9, 10, 11) ont tous une signification symbolique pour les anciens Mexicains.[22] La vara contient exactement trois pieds, d’où l'écriture décimale de la valeur en mètre du pied : 0,2786 = 1/3 (0, 8359).[23] Ce qui ouvre la porte à beaucoup d’abus et d’erreurs : soutenir, par ex., que le nombre 3,14 ou le nombre 3,1416 obtenu en mesurant la longueur d’un cercle et en la rapportant à celle de son diamètre est le fameux nombre réel noté π depuis le XVIe.[24] A supposer que Teotihuacan utilisait une numération écrite du même type Additif que la numération aztèque, le nombre 1000 se serait écrit en juxtaposant 2 signes de quatre-centaine et 10 signes de vingtaine, 2000 aurait juxtaposé 5 signes de quatre-centaine et 4000 en aurait juxtaposé 10 ; en numération vigésimale, seuls 2000 = 5.0.0. et 4000 = 10.0.0. auraient été ronds (mais pas 1000 =  2.10.0.)  ; mais cette numération n’a laissé aucune trace d’emploi pour noter des longueurs, et, dans la notation attestée des durées, ces nombres se seraient écrits avec trois chiffres dont un seul zéro à la fin (1000 s'écrit 2.14.0., 2000 s'écrit 5.10.0., et 4000 s'écrit 11.2.0.) parce que 1000 est multiple de vingt.[25] Comme le font la majorité des nahualistes actuels. C'est le cas de DD qui utilise le module qui répond au joli nom de yollòtli ‘cœur’ et qu'elle définit par la valeur 0,8334 m « valeur que j’ai prise comme référence du système d’équivalence (p. 106) » choisie et fixée après avoir découvert que les dimensions de la pierre monumentale de Tlaltecutli « une longueur de 4,17 m et une largeur de 3,62 m » (p. 111)  s’expriment toutes les deux par des petits nombres entiers de ce module «4,17 m =5 cœurs de 0,8334 m [...] 3,62 m = 4 cœurs » (id.).[26] C’est à la règle et au compas, comme on dit, que les Grecs ont construit tous leurs nombres, découvert les irrationnels comme √2 ou effectuer les ‘quadratures’ c’est-à-dire définir et trouver la mesure de l'aire de toutes sortes de figures en les montrant proportionnelles à une figure dont l'aire est connue ; une des plus anciennes définitions de π est celle d'Archimède (Dans tout cercle , la proportion de la circonférence au diamètre et la proportion de la superficie au carré du rayon sont égales à une même constante). Pour un Grec, la géométrie est avant tout la langue du nombre et de la mesure, la langue qui permet de faire être les rapports et de contempler leur harmonie.[27] Parce que la taille de mon ordinateur est trop proche d’un empan. Si je prends un étalon très petit relativement à mon ordinateur, une ligne par exemple égale au douzième d’un pouce, j’obtiendrais une mesure que je serais incapable d’exprimer (dans l’hypothèse où je compte bien jusqu’à vingt) : une longueur de 15 pouces devient en lignes une longueur de 180 (en recommençant un grand nombre de fois la mesure, on trouverait des valeurs oscillant dans une fourchette, par ex. au dixième : 180 – 18 et 180 + 18).[28] La coexistence de plusieurs systèmes favorise parfois quelque combinaison de ces raisons et conduit à l’émergence de nouvelles progressions (vigésimale en Mésoamérique, sexagésimale en Mésopotamie). Condorcet avait compris le bénéfice qu’apporterait l’alignement de l’échelle des systèmes métrologiques (réglés le plus souvent sur le pas de douze) sur la base de la numération décimale de position (dix). La Révolution opta pour réformer le système des mesures en le rendant décimal, et elle laissa ainsi passer l’opportunité de réformer la numération en passant à la base douze.[29] Environ 52,5 cm (d’après la longueur de la règle de Mâya, ministre des finances du roi Toutankhamon, conservée au Musée du Louvre).[30] Ce qui me semble être le cas de tous les Mésoaméricains avant la Conquête et la Colonisation.[31] Dans un espace semi-homogénéisé, l’usage égyptien d’instruments comme la corde 3, 4, 5 ou la corde à 13 nœuds montre qu’il est possible de construire : des angles droits, des angles particuliers, des proportions et même des nombres irrationnels comme racine de deux ou le nombre magique.[32] Dès le début de la Conquête, les Espagnols s’efforcèrent d’imposer la dite logique aux anciens Mexicains.[33] Un système espagnol traditionnel avait le pie ‘pied’ comme étalon principal. Il avait au moins trois 3 sous-multiples en progression de raison un douzième (pouce, ligne et point), et 3 multiples (vara, braza et estadal) vérifiant 1 vara = 3 pies, 1 braza = 6 pies, et 1 estadal = 12 pies.[34] En général l’axe principal du bâtiment à construire est déterminé en premier lieu par le maître d’œuvres ; pour une église, l’axe de la nef pointe vers l'Est (le Soleil se levant est un symbole du Christ ressuscitant) ; sans boussole à l’époque, cette direction devait être déterminée par rapport au Soleil ou aux étoiles.[35] Sinon, on recommence avec le sous-multiple suivant : le pouce douze fois plus petit que le pied, au besoin jusqu'à épuisement de la liste des sous-multiples.