L’Encyclopédie/1re édition/PROGRESSION
# L’Encyclopédie/1re édition/PROGRESSION

PROGRESSION, (Mathémat.) c’est une suite de termes en proportion continue, c’est-à-dire dont chacun est moyen entre celui qui le précede & celui qui le fuit. Voyez Proportion. Selon le genre de rapport qui regne entre ses termes, la progression prend le nom d’arithmétique ou de géométrique.

Progression arithmétique. On la désigne par ce caractere (➗) qu’on met en tête de la suite dont les termes sont distingués entr’eux par de simples points. ➗ 1.3.5.7. &c. est une progression arithmétique ; où l’on voit que 3 est moyen proportionnel entre 1 & 5, 5 entre 3 & 7, &c. & que 2 est la différence constante de deux termes consécutifs quelconques.

Nommant p le premier terme & m la différence, toute progression arithmétique peut être représentée par celle-ci ➗ p . p + m . p + 2 m . p + 3 m . p + 4 m. &c.

Chaque terme n’étant que celui qui le précede augmenté de la différence, le second est le premier + la différence prise une fois ; le troisieme, le premier + la différence prise deux fois ; & ainsi de suite : ensorte que chaque terme n’est que le premier + la différence prise autant de fois-1, que le rang qu’il occupe dans la suite exprime d’unités ; ou, ce qui est la même chose, multipliée par la différence des quantiemes du premier terme & du terme cherché. Ce qui donne le moyen de trouver directement tel terme d qu’on voudra, pourvu qu’on sache le quantieme il est, & qu’on connoisse d’ailleurs p & m. Si n est le quantieme, on aura le terme même ou d=p+m⋅n−1¯¯. D’où l’on tire, suivant le besoin,

    p=d−m⋅n−1¯¯.
    m=d−p/n−1

Dans cette derniere égalité, le second membre est la différence des deux termes comparés, divisée par la différence de leurs quantiemes : & comme p & d sont indéterminés (puisqu’il est libre de faire commencer & de terminer la progression à quels termes on voudra), il résulte qu’on obtiendra toûjours m ou la différence de la progression, en divisant la différence de deux termes quelconques par celle de leurs quantiemes.

Il suit que qui connoît les deux premiers termes d’une progression, en connoît la différence, & dès-là toute la progression. Il n’est pas même nécessaire que les deux termes connus soient les deux premiers ; ils peuvent être quelconques, pourvu qu’on sache leurs quantiemes. Car d’abord on aura la différence de la progression par la formule de m, en y substituant à (n−1) la différence donnée des quantiemes des deux termes ; ensuite on aura le premier terme par celle de p, en y substituant à d celui qu’on voudra des deux termes donnés, & à n son quantieme ; par exemple, si 4 & 16 sont les sécond & sixieme termes d’une progression, la différence de celle-ci est 16−4/6−2=12/4=3. & p=4−3⋅2−1¯¯=4−3⋅1¯=4−3=1.

Si l’on compare les deux extrèmes d’une progression, soit avec deux autres termes quelconques également éloignés de l’un & de l’autre ; soit avec celui du milieu, quand le nombre en est impair : il est clair que les quatre termes comparés dans le premier cas & les trois dans le second, sont en proportion. D’où il suit (Voyez Proportion) que la somme des extrèmes est égale à celle de tous autres deux termes pris à distance égale de l’un & de l’autre, & de plus au double du terme du milieu, quand le nombre des termes est impair.

La somme des extrèmes multipliée par le nombre des termes, seroit donc double de la somme entiere de la progression. Pour avoir celle-ci avec précision, il faut donc multiplier, ou la somme des extrèmes par la moitié du nombre des termes, quand ce nombre est pair ; ou, s’il est impair, le nombre entier des termes par la moitié de la somme des extrèmes (qui dans ce cas est toûjours paire, étant la somme de deux termes de même nom)... on prescrit communément en ce dernier cas de multiplier la somme entiere des extrèmes par le nombre aussi entier des termes, puis de prendre la moitié du produit. Mais n’est-ce pas rendre gratuitement plus composée une opération qui de sa nature est simple ?

Si l’on suppose p = 0, l’expression de la progression en devient plus simple ; il n’y entre plus qu’une seule lettre, & elle se réduit à celle-ci : 0. m. 2 m. 3 m. &c. ou m × 0. m × 1. m × 2. m × 3. &c. Cette supposition n’a d’ailleurs rien qui choque ; l’essence de la progression subsiste toute entiere, indépendamment de p. En effet une progression n’est telle qu’à raison de la différence qui regne entre ses termes : mais cette différence n’est point produite par p (grandeur constante & commune à tous les termes) ; elle ne l’est pas même par m, & pour la même raison ; elle ne l’est donc que par les coëfficiens variables de m. Et comme ces coëfficiens sont les nombres naturels 0. 1. 2. 3. &c. il suit qu’à proprement parler il n’y a de progression arithmétique que celle des nombres naturels ; c’est la progression exemplaire dont toutes les autres ne sont que des copies, ou des multiples déterminés par m. Ce qui n’empêche pas qu’il ne puisse s’y joindre une grandeur accessoire p, commune à tous les termes.

Quel que soit p ; si m ou la différence est positive, la progression est croissante ; & décroissante, si elle est négative : mais de l’une pour la faire devenir l’autre, si cela paroît plus commode, il n’y a qu’à la renverser.

Si p & m ont des signes semblables, le même signe regne dans tout le cours de la progression ; s’ils en ont de contraires, la progression en admet aussi de différens. C’est d’abord celui de p, qu’elle conserve plus ou moins long-tems, selon le rapport de p à m : puis elle prend celui de m, pour ne le plus perdre. Les termes affectés du même signe s’y trouvent donc tous de suite du même côté ; à la différence de la progression géométrique, où les signes, quand elle en admet de différens, sont entremêlés & alternatifs.

Si p est l’origine d’une progression décroissante vers la droite, il peut l’être également d’une progression décroissante vers la gauche, dont la différence sera encore m. Toute progression a donc essentiellement deux branches, l’une croissante, l’autre décroissante, qui s’étendent en sens contraire, & toutes deux se perdent dans l’infini ; ou, si l’on veut, ce n’en est qu’une seule, croissante ou décroissante dans tout son cours, selon le côté duquel on voudra la prendre, mais qui n’a ni commencement ni fin. Ce que nous en pouvons connoître n’est qu’un point pris vers le milieu : c’est la figure du tems comparé à l’éternité.

Venons présentement à ce qui est de détail. En toute progression, on peut distinguer cinq principaux élémens.

| Le premier terme, | p | } |
| - | - | - |
| Le dernier, | d | } |
| La différence, | m | } |
| Le nombre des termes, | n | } |
| La somme de la progression, | s | } |

Or de ces 5 élémens, 3 pris comme on voudra étant connus, on connoît les deux autres : & comme cinq choses peuvent être combinées dix fois trois à trois, il en résulte autant de cas, pour chacun desquels on trouvera par ordre dans la table suivante la valeur des deux inconnues. La démonstration s’en peut déduire aisément du petit nombre de principes qui viennent d’être établis.

| | Connues. | Connues. | | Inconnues. |
| - | - | - | - | - |
| 1°. | { | p | | n=d−p/m+1 |
| 1°. | { | d | . . . . . | |
| 1°. | { | m | | s=d+p¯× n/2 |
| 2°. | { | p | | m=d−p/n−1 |
| 2°. | { | d | . . . . . | |
| 2°. | { | n | | s=d+p¯× n/2 |
| 3°. | { | p | | n=2s/(d+p) |
| 3°. | { | d | . . . . . | |
| 3°. | { | s | | m=d−p/n−1 |
| 4°. | { | p | | d=p+m×n−1¯¯ |
| 4°. | { | m | . . . . . | |
| 4°. | { | n | | s=d+p¯× n/2 |
| 5°. | { | p | | n=1/2−p/m+√(2s/m+pp/mm−p/m+1/4) |
| 5°. | { | m | . . . . . | |
| 5°. | { | s | | d=p+m×n−1¯¯ |
| 6°. | { | p | | d=2s/n−p |
| 6°. | { | n | . . . . . | |
| 6°. | { | s | | m=d−p/n−1 |
| 7°. | { | d | | p=d−m×n−1¯¯ |
| 7°. | { | m | . . . . . | |
| 7°. | { | n | | s=d+p¯× n/2 |
| 8°. | { | d | | n=1/2−d/m+√(2s/m+dd/mm−d/m+1/4) |
| 8°. | { | m | . . . . . | |
| 8°. | { | s | | p=2s/n−d |
| 9°. | { | d | | p=2s/n−d |
| 9°. | { | n | . . . . . | |
| 9°. | { | s | | m=d−p/n−1 |
| 10°. | { | m | | p=s/n−m× n−1/2 ¯ |
| 10°. | { | n | . . . . . | |
| 10°. | { | s | | d=2s/n−p |

On ne peut faire de question résoluble par la progression arithmétique, qui ne soit résolue d’avance par quelqu’une de ces formules.

On peut comparer deux progressions, les ajoûter, les soustraire ; & c’est quelquefois un moyen facile de résoudre certaines questions plus compliquées. Au reste il suffit d’exécuter ces opérations sur les premiers termes & sur les différences des progressions proposées ; la nouvelle progression qui en résulte représente la somme ou la différence des deux premieres.

La somme offre peu de choses à considérer ; nous nous bornerons donc à la différence, & nous la supposerons représentée par cette progression P.P + M.P + 2M. &c. que pour cette raison nous nommerons la différentielle.

Telle est sa propriété, que chacun de ses termes exprime le rapport arithmétique des deux termes correspondans dans les deux progressions dont elle est la différentielle, & sa somme prise à quel terme on voudra celui de leurs sommes prises à ce même terme.

Quand on ôte une quantité d’une autre, il est naturel que ce soit la plus petite qu’on ôte de la plus grande ; mais c’est, quand il s’agit de progressions, sur quoi il est aisé de se méprendre : à moins que quelque circonstance particuliere n’oblige d’en user autrement, c’est moins ce qu’elles sont qu’il faut considérer dans cette comparaison, que ce qu’elles peuvent devenir. La plus grande n’est donc pas celle précisément qui présente d’abord les plus grands termes, mais celle en général dont la différence est la plus grande. En effet, quelque avance que puisse avoir l’autre à raison de son premier terme (pourvu qu’il reste fini) ; celle-ci l’atteindra plûtôt ou plus tard, la surpassera ensuite, & toujours de plus en plus.

M sera donc toujours positif ; mais P peut être négatif, & c’est lorsque la plus grande différence se trouve dans l’une des deux progressions primitives jointe au plus petit premier terme.

Toutes les fois que P est négatif, 0 est un terme de la progression, exprimé ou sous-entendu. Il est exprimé si P est multiple de M, comme en cette progression (−4. −2. 0. 2. 4. &c.) Si P n’est pas multiple de M, comme en cette autre (−4. −1. 2. 5. &c.) ; 0 n’est pas un terme prononcé de la progression, mais il est toujours sous-entendu entre les deux termes consécutifs qui ont des signes contraires ; & pour le faire paroître, il n’y auroit qu’à introduire entre chaques deux termes de la progression le nombre convenable de moyens proportionnels, ou, ce qui revient au même, réduire la différence.

Dans l’un & dans l’autre cas, le nombre des termes qui précedent 0 est exprimé par P/M ; avec cette différence que dans le premier P/M est un entier, & que dans le second il est affecté d’une fraction.

Pour avoir le rang du terme de la progression différentielle où sa somme est 0 (& par une suite où les sommes des deux progressions comparées sont égales), il est clair qu’il n’y a qu’à prendre à la droite de 0 autant de termes positifs qu’il en a de négatifs à sa gauche, c’est-à-dire doubler P/M, & ajoûter 1. Cette unité qu’on ajoute représente le terme 0 lui-même, quand il est exprimé. S’il est sous-entendu, il est à observer que le reste que laisse la division de P par M à la gauche de 0, & son complément à l’unité vers la droite, sont chacun en particulier pris pour un terme dans la progression. On compte donc deux termes pour une seule unité du quotient. Pour que celui-ci puisse représenter le nombre des termes, il faut donc l’augmenter de l’unité. On a donc dans tous les cas (n=2P/M+1).

Ce seroit ici le lieu de donner des exemples : mais tous les livres élémentaires de mathématiques en sont pleins. Nous nous bornerons donc à un petit nombre, choisis entre ceux où l’application des formules de la table paroît souffrir quelque difficulté.

Exemple I. Entre deux nombres donnés p & d, trouver un nombre quelconque r de moyens proportionnels arithmétiques.

Considérant p & d comme les extrêmes d’une progression, dont le nombre des termes sera conséquemment (r + 2), c’est-à-dire le nombre même des moyens à trouver + les deux extrêmes donnés. La question se rapporte au second article de la table, où l’on trouve m=d−p/n−1. Mais n=r+2 ; donc n−1=r+1 ; donc m=d−p/(r+1). Or la différence trouvée, le reste suit.

Si c’est entre 1 & 13 qu’on demande trois moyens proportionnels… =d−p/(r+1)=13−1/(3+1)=12/4=3 : & la progression est 1. 4. 7. 10. 13.

Exemple II. Deux voyageurs partent au même instant de deux termes opposés distans entr’eux de 135 lieues, & viennent à la rencontre l’un de l’autre, la marche du premier étant réglée par jour sur les termes correspondans de cette progression arithmétique (1. 5. 9. &c.), & celle du second sur les termes de cette autre (4. 7. 10. &c.) : on demande quel jour ils se rencontreront, & ce que chacun aura fait de chemin.

Les deux progressions concourant au même but, qui est de rapprocher les deux voyageurs, on voit que c’est par addition qu’il faut ici procéder. La somme des deux progressions est cette nouvelle (5. 12. 19. &c.) ; où l’on connoît p = 5, m = 7, s = 135 : ce qui ramene la chose au cinquieme article de la table. Le calcul donne, après les réductions n = 6… pour satisfaire à la seconde partie de la question, il n’y a plus qu’à faire (par l’article 4) les sommes particulieres des deux premieres progressions, où l’on connoît p, m, n :

| on trouvera | d’une part, | 66 | } 135 |
| - | - | - | - |
| on trouvera | de l’autre, | 69 | } 135 |

Exemple III. Les autres circonstances restant les mêmes, si l’on supposoit que les voyageurs partent du même terme pour aller vers le même côté ; il est clair que le second prendra d’abord de l’avance, mais que le premier l’atteindra plûtôt ou plus tard : on demande le jour précis que cela arrivera.

La marche de l’un des voyageurs tend à procurer leur réunion, tandis que celle de l’autre tend à la retarder ; leur effet étant contraire, c’est donc la soustraction qu’il faut employer. Otant la seconde progression de la premiere, la différentielle est (−3. −2. −1. &c.) D’ailleurs quand le premier voyageur atteindra le second, ils auront fait l’un & l’autre le même chemin, les sommes de leurs progressions respectives seront donc égales, & par une suite celle de la différentielle sera 0 ; c’est-à-dire qu’on connoît dans celle-ci P = −3, M = 1, s = 0) ; ce qui ramene encore la question au cinquieme article de la table. Ou bien on se servira de la formule particuliere (n=2P/M+1). De l’une & de l’autre maniere, on trouvera également n = 7 ; c’est-à-dire que le premier voyageur atteindra le second à la fin du septieme jour, l’un & l’autre ayant fait 91 lieues.

Au lieu de comparer deux progressions, on peut comparer une progression avec une suite de termes non croissans & tous égaux entre eux (a. a. a. &c.) : mais en considérant celle-ci (malgré la contradiction que renferme cette idée) comme une progression dont la différence seroit 0, cette circonstance ne changera rien à la méthode qu’on vient d’employer pour résoudre la derniere question, ainsi qu’on va le voir.

Exemple IV. Des esclaves se sauvent dans une barque qui n’est équipée que de rames, & font chaque jour 12 lieues, en ayant 50 à faire pour se rendre au port ami le plus prochain. Un vaisseau les poursuit, dont la route contrariée d’abord par divers obstacles, puis secondée d’un vent qui devient de plus en plus favorable, est reglée par jour sur les termes correspondans d’une progression arithmétique dont le premier terme est 6 & la différence 5… Les esclaves seront-ils repris ? quel jour le seront-ils ? & à quelle distance du port ?

Appliquant, si l’on veut, la formule particuliere (n=2P/M+1) ; comme on a ici P=12−6=6, & M=5−0=5 : on trouve n=12/5+1=3+2/5 … Les esclaves seront donc repris ; ils le seront aux 2/5 du quatrieme jour, à 9 1/5 lieues du port qu’ils cherchent, n’ayant fait encore que 40 4/5 lieues. Car leur route est 12×3+2/5 ¯=12× 17/5=204/5=40+4/5 ; & c’est aussi la somme de la progression. Voyez le mémoire inséré à la fin de cet article.

Progression géométrique. On la désigne par ce caractere (∺) qu’on met en tête de la suite, dont les termes sont distingués entre eux par de simples points… ∺ 1. 2. 4. 8. &c. est une progression géométrique ; où l’on peut observer que 2 est moyen géométrique entre 1 & 4, 4 entre 2 & 8, &c. & que de deux termes consécutifs le second n’est que le premier multiplié par l’exposant (2) de la progression. L’analogie est si marquée & si soutenue entre les deux progressions, que ce qui a été dit de l’arithmétique, pourroit en quelque sorte suffire pour faire connoître la géométrique ; en observant qu’où celle-là procede par addition & par multiplication, celle-ci procede respectivement par multiplication & par exaltation. Au-moins pour ne pas laisser perdre de vûe cette étroite affinité qui peut jetter un grand jour sur l’une & sur l’autre, on affectera de suivre ici le même ordre & d’employer même, autant qu’il se pourra, les mêmes expressions qu’on a fait plus haut pour l’Arithmétique.

Nommant p le premier terme, & m l’exposant ; toute progression géométrique peut être représentée par celle-ci… ∺ p. p m. p m². pm³. &c.

Chaque terme n’étant que celui qui le précede multiplié par l’exposant de la progression ou par m ; le second est le premier × par la premiere puissance de m ; le troisieme, le premier × par la seconde puissance de m, & ainsi de suite : ensorte que chaque terme n’est que le premier × par la puissance de m, dont l’exposant est moindre d’une unité que le rang qu’il occupe dans la suite, ou, ce qui est la même chose, égal à la différence de son quantieme à celui du premier terme. Ce qui donne le moyen de trouver directement tel terme d qu’on voudra, pourvu qu’on sache quel quantieme il est, & qu’on connoisse d’ailleurs p & m. Si n est le quantieme, on aura le terme même, ou d=pmⁿ⁻¹.

| D’où l’on tire, suivant le besoin | p=mⁿ⁻¹/d. |
| - | - |
| D’où l’on tire, suivant le besoin | m=ⁿ⁻¹√(d/p). |

Dans cette derniere égalité, le second membre est le quotient du plus grand des deux termes comparés divisé par le plus petit, duquel on a extrait la racine désignée par la différence de leurs quantiemes ; & comme p & d sont indéterminés, il résulte qu’on obtiendra toujours m ou l’exposant de la progression, en divisant le plus grand de deux termes quelconques par le plus petit, & tirant du quotient la racine désignée par la différence de leurs quantiemes.

Il suit que qui connoît les deux premiers termes d’une progression, en connoît l’exposant, & dès-là toute la progression. Il n’est pas même nécessaire que les deux termes connus soient les deux premiers ; ils peuvent être quelconques, pourvu qu’on sache leurs quantiemes. Car d’abord on aura l’exposant de la progression par la formule de m, en substituant à (n−1) la différence donnée des quantiemes des deux termes ; ensuite on aura le premier terme par celle de p, en y substituant à d celui qu’on voudra des deux termes donnés, & à n son quantieme. Si 63 & 567 sont les troisieme & cinquieme termes d’une progression, l’exposant de celle-ci est

²√(567/63)=⁵⁻³√9=3 ; & 63/3²=63/9=7.

Si l’on compare les deux termes extrêmes, soit avec deux autres quelconques également éloignés de l’un & de l’autre, soit avec celui du milieu quand le nombre total en est impair ; il est clair que les quatre termes comparés dans le premier cas, & les trois dans le second, sont en proportion. D’où il suit (Voyez Proportion) que le produit des extrêmes est égal à celui de tous autres deux termes pris à distance égale de l’un & de l’autre, & de plus au quarré du terme du milieu, quand le nombre des termes est impair.

Il est démontré (Voyez Proportion) qu’en toute proportion & par une suite, en toute progression géométrique, la somme des antécédens est à celle des conséquens comme celui qu’on voudra des antécédens est à son conséquent ; comme le premier terme, par exemple, est au second : mais dans une progression tous les termes sont antécédens hormis le dernier (pmⁿ⁻¹), tous sont conséquens hormis le premier (p) : nommant donc s la somme de tous les termes de la progression, la somme des antécédens peut être représentée par (s−pmⁿ⁻¹), & celle des conséquens par (s−p) ; on a donc s−pmⁿ⁻¹⋅s−p :: p⋅pm :: 1⋅m. Donc sm−pmⁿ=s−p ; ou bien sm−s=pmⁿ−p ; ou bien encore s=pmⁿ−p/m−1. Et c’est en effet l’expression générale de la somme de toute progression géométrique : ce qu’on pourroit encore prouver de cette maniere.

Si l’on suppose p = 1, la formule (pmⁿ−p/m−1) se réduit à mⁿ−1/m−1=mⁿ−m⁰/m−1. Mais il a été démontré (art. Exposant sur la fin) 1°. que mⁿ−m⁰/m−1 donne toûjours un quotient exact ; 2°. que ce quotient est formé de termes qui ont tous le signe +, & qui sont par ordre les puissances successives & décroissantes de m, depuis & y compris mⁿ⁻¹ jusqu’à m° inclusivement, c’est-à-dire dans un ordre renversé (ce qui ne fait rien à la somme) la progression qui a n pour nombre de ses termes, 1 pour premier terme, & m pour exposant. Sa somme est donc exactement représentée par mⁿ⁻¹/m−1, & par conséquent celle de toute autre progression qui auroit pour premier terme un nombre quelconque p, le sera pareillement par pmⁿ−p/m−1.

La supposition qu’on vient de faire de p = 1 rend plus simple l’expression de la progression ; elle devient (1. m. m². m³. &c.) ou (m⁰. m¹. m². m³. &c.) en sorte qu’il n’y entre plus qu’une seule lettre, qui est l’exposant de la progression, à laquelle p, pris pour un nombre different de m, n’est point essentiel… La suite des nombres naturels (0. 1. 2. 3. &c.) se retrouve donc encore ici : mais au lieu qu’ils étoient les coëfficiens de m dans la progression arithmétique, ils sont ici les exposans de ses puissances.

Si m = 1, il n’y a point de progression, mais une suite de termes tous égaux ; car 1 élevé à quelque puissance que ce soit, restant toujours 1, & 1 ne changeant point les grandeurs qu’il multiplie, les termes de la progression prétendue ne seroient tous que le premier répeté.

Si m > 1, la progression est croissante.

Si m < 1, la progression est décroissante ; mais pour la rendre croissante, il n’y a qu’à la renverser.

Quant aux signes qui affectent les termes d’une progression géometrique, voici à quoi tout se réduit.

Quand m est positif, tous les termes ont le même signe, qui est celui de p.

Quand m est négatif, les signes sont alternatifs ; de sorte que le signe de p détermine celui des termes impairs.

On voit que pour avoir la somme d’une progression de cette derniere espece, il la faut concevoir résolue en deux autres, formées, l’une des termes positifs, l’autre des négatifs, & qui aient pour exposant commun non plus simplement m, mais son quarré m². On fera séparément la somme de chacune de ces progressions, & leur différence sera la somme de la progression entiere. Elle aura le signe du dernier terme, si la progression est croissante ; & celui du premier, si elle est décroissante.

Si (m°) est l’origine d’une progression croissante vers la droite, il peut l’être également d’une décroissante vers la gauche, où ses exposans seront négatifs, m⁻¹. m⁻². &c. Toute progression géométrique comme arithmétique, peut donc se concevoir divisée en deux branches, l’une croissante, l’autre décroissante depuis p, qui s’étendent en sens contraire, & toutes deux se perdent dans l’infini. Ou, si l’on veut, ce n’en sera qu’une seule, croissante, ou décroissante dans tout son cours, selon le côté duquel on voudra la prendre, mais qui n’a ni commencement ni fin.

En toute progression géométrique on peut considérer cinq principaux élémens.

| Le premier terme, | p | } |
| - | - | - |
| Le dernier, | d | } |
| La différence, | m | } |
| Le nombre des termes, | n | } |
| La somme de la progression, | s | } |

Or de ces cinq elémens, trois pris comme on voudra étant connus, on connoît les deux autres ; ce qui forme dix cas, pour chacun desquels on trouvera par ordre dans la table suivante la valeur des deux inconnues. On y a exprimé n par les logarithmes, parce qu’il est toujours plus commode & quelquefois nécessaire d’y avoir recours.

| | Connues. | Connues. | | Inconnues. |
| - | - | - | - | - |
| 1°. | { | p | | n=log⁡d¯−log⁡p¯/log⁡m¯+1 |
| 1°. | { | d . . . . . | d . . . . . | d . . . . . |
| 1°. | { | m | | s=pmⁿ−p/m−1 |
| 2°. | { | p | | m=ⁿ⁻¹√(d/p) |
| 2°. | { | d . . . . . | d . . . . . | d . . . . . |
| 2°. | { | n | | s=pmⁿ−p/n1 |
| 3°. | { | p | | m = 1−p/1−d |
| 3°. | { | d . . . . . | d . . . . . | d . . . . . |
| 3°. | { | s | | n=1.d¯−1.p¯/1.m¯+r |
| 4°. | { | p | | d=pmⁿ⁻¹ |
| 4°. | { | m . . . . . | m . . . . . | m . . . . . |
| 4°. | { | n | | s=pmⁿ−p/n−1 |
| 5°. | { | p | | d=(p+s×m−1¯¯)/m |
| 5°. | { | m . . . . . | m . . . . . | m . . . . . |
| 5°. | { | s | | n = 1.d¯−1.p¯/1.m¯+1 |
| 6°. | { | p | | n=mⁿ−s/p m+s/p−1=0 Équation dont la résolution donne la valeur de m |
| 6°. | { | n . . . . . | n . . . . . | n . . . . . |
| 6°. | { | s | | d=pmⁿ⁻¹ |
| 7°. | { | d | | p=d/mⁿ⁻¹ |
| 7°. | { | m . . . . . | m . . . . . | m . . . . . |
| 7°. | { | n | | s = pmⁿ−p/m−1 |
| 8°. | { | d | | p=s−s−d¯×m¯ |
| 8°. | { | m . . . . . | m . . . . . | m . . . . . |
| 8°. | { | s | | n = 1.d¯−1.p¯/1.m¯+1 |
| 9°. | { | d | | mⁿ−1/1−d mⁿ⁻¹+d/1−d=0 |
| 9°. | { | n . . . . . | n . . . . . | n . . . . . |
| 9°. | { | s | | p=d/dⁿ⁻¹ |
| 10°. | { | m | | p=s× m−1¯/mⁿ⁻¹ ¯ |
| 10°. | { | n . . . . . | n . . . . . | n . . . . . |
| 10°. | { | s | | d=pmⁿ⁻¹ |

Toutes les questions qui appartiennent à la progression géométrique sont résolues d’avance par quelqu’une de ces formules ; nous allons en faire l’application à quelques exemples choisis propres à procurer les éclaircissemens nécessaires.

Exemple I. Entre deux nombres donnés p & d, trouver un nombre quelconque r de moyens proportionnels géométriques.

On connoît directement les premier & dernier termes de la progression supposée, & indirectement le nombre des termes (r + 2.). La question se rapporte donc au second article de la table, où l’on trouve m=ⁿ⁻¹√(d/p)=ʳ⁻¹√(d/p)

Que ce soit entre 2 & 54 qu’on demande deux moyens proportionnels ; m=³√(52/2)=³√(27)=3. Et la progression est 2. 6. 18. 54.

Exemple II. Un barril est rempli d’un nombre c de pots de vin ; chaque jour un valet fripon en tire un pot par la clé, qu’il remplace d’un pot d’eau qu’il verse par le bondon : on demande combien, au bout d’un nombre n de jours, il restera de vin dans le barril.

| A près le premier jour, la quantité de vin restante est | c−1 |
| - | - |
| Après le 2ᵈc−1−(c+1)/c=cc−2c/c= | c−1× c−1/c |
| Après le 3ᵉ (cc−2c+1)/c ¯− cc−2c−1/cc ¯= (cc−3cc+3c−1)/1c ¯= | c−1×( c−1/c ¯)² |

On voit, sans qu’il soit besoin de pousser plus loin l’induction, qu’il regne ici une progression géométrique, où l’on connoît p(c−1), m(c−1/c), & n : ce qui ramene la question au 4ᵉ article de la table. On y trouve le dernier terme (duquel seul il s’agit ici) ou d=pmⁿ⁻¹=c−1×( c−1/c ¯)².

Si l’on suppose c = 20, & n = 4 ; la quantité de vin restante dans le barril à la fin du quatrieme jour, sera 19⁴/20³=190321/800=16+2321/8000.

c restant le même, si l’on demandoit combien il faudroit répéter de fois ce manége, pour qu’il se trouvât dans le barril précisément autant d’eau que de vin, c’est-à-dire dix pots de l’une & dix pots de l’autre.

Alors on connoîtroit p (19), d (10), & m (19/20). La question se résoudroit donc par le premier article de la table, & l’on trouveroit n=1.d¯−1.p¯/1.m¯+1=100000000−12787536/−222764+1=−1787536/−222764+1=13+114368/211764 ; c’est-à-dire que du 14ᵉ pot il ne faudroit prendre (soit pour le vin qu’on tire, soit pour l’eau dont on le remplace) que la partie indiquée par la fraction.

Exemple III. Trouver la somme de la progression infinie (a/b ⋅ a/b² ⋅ a/b³ ⋅ &c.) on suppose a < b.

Les trois élémens connus sont ici p(a/b), m(1/b), & n(∞) ; ce qui ramene la question au quatrieme cas de la table. . . . m étant une fraction plus petite que l’unité, rend la progression décroissante : mais on sait que pour la rendre croissante il n’y a qu’à la renverser ; ou plûtôt il n’y a qu’à renverser la formule même qui donne la valeur de s, & l’appliquer sous cette forme. Elle deviendra s=p−mⁿ/1.m ; où il n’y a nul compte à tenir dans le numérateur du second terme (pmⁿ)=a/b × 1/b∞, quantité infiniment petite, puisque c’est une grandeur finie divisée par une autre infiniment grande. Substituant donc a/b au lieu de p, & 1−1/b ou b−1/b, au lieu de 1−m ; on aura s= a/b / b−1/b =a/b × b/b−s=a/b−1 ; c’est-à-dire qu’en général en toute progression ainsi conditionnée, la somme est le premier terme même, dont le dénominateur a été diminué de l’unité.

| Il suit que | 1/3^{⋅} 1/9^{⋅} 1/27^{⋅} . . .=1/2 |
| - | - |
| | 3/5^{⋅} 3/25^{⋅} 3/125^{⋅} . . .=3/4^{⋅} |

Desorte que pour avoir une progression infinie dont la somme soit un nombre quelconque entier ou rompu c, il n’y a qu’à en choisir le premier terme (a/b), tel que a/b−1=c (ce qu’on peut faire d’une infinité de manieres), & d’ailleurs prendre 1/b.

Exemple IV. Pour donner une idée des accroissemens rapides que reçoit la somme d’une progression géométrique, au bout d’un nombre, même assez médiocre, de termes, en voici un exemple sur la progression double, dont la marche est une des plus lentes : il est tiré, quant à l’historique, de la Mathématique universelle du P. Castel.

L’inventeur du jeu des échecs (y est-il raconté plus au long) fut pressé par son roi qu’il avoit comblé de gloire, de lui demander une récompense à son choix & proportionnée à la beauté de sa découverte. Après s’en être défendu long-tems, il se fit apporter un échiquer, & le montrant au prince : ordonnez, seigneur, lui dit-il, qu’il me soit délivré un grain de blé pour la premiere case, deux pour la seconde, quatre pour la troisieme, & ainsi de suite en doublant toujours jusqu’à la soixante-quatrieme. La demande au premier coup-d’œil pourra paroître très-modeste, & le roi lui-même en jugea ainsi : mais après un plus mûr examen, il se trouva qu’elle excédoit de beaucoup ses facultés & celles des plus opulens monarques. Le calcul suivant en fournit la preuve.

1°. Suivant ce qui a été dit plus haut, la somme de toute progression est pmⁿ−p/m−1 : mais comme ici p=1 & m=2 ; pmⁿ n’est que mⁿ, & le dénominateur m−1=2−1=1 peut être négligé. On a donc s=mⁿ−1=2⁶⁴−1=18.446.744.073709.551.615.

2°. On s’est assûré qu’une petite marque d’un pouce cubique contient au plus 450 grains de froment. Il y a 1728 de ces mesures dans un pié cubique, qui fait le boisseau de plusieurs endroits & trois fois celui de Paris : le boisseau triple de celui de Paris contient donc 1728 × 450, ou 777600 grains.

3°. Supposons une enceinte quarrée d’une lieue de tour (à 14400 piés la lieue) convertie en grenier, & que le blé y soit entassé à la hauteur de 20 piés ; chaque côté de l’enceinte sera de 3600 piés, son aire de 3600 × 3600 = 12960000 piés quarrés, qui multipliés par la hauteur 20 donneront 259200000 piés cubiques ou boisseaux, pour la contenance d’un pareil grenier. Mais chaque boisseau contient lui-même 777600 grains : le nombre des grains nécessaires pour remplir le grenier supposé est donc 259200000 × 777600, ou 201553920000000.

Il n’y a plus qu’à diviser le premier nombre 184 &c. par ce dernier ; le quotient fera connoître combien de pareils greniers seroient nécessaires pour contenir les grains en question. Or ce quotient est 91522, avec une fraction qu’on néglige ici, mais qui évaluée seroit plus que suffisante pour faire la fortune de six mille honnêtes familles.

Qui voudroit apprécier en argent cette énorme quantité de blé, trouveroit, à ne mettre le boisseau (tel même que nous l’avons supposé) qu’à 2 liv. de notre monnoie, que le prix de chaque grenier seroit 518.400.000 liv. & comme il y en a 91522, ces deux nombres multipliés l’un par l’autre donneroient 47.445.004.800.000 liv. somme exorbitante & telle que les trésors reunis de tous les potentats du monde connu seroient éloignés d’y atteindre. Article de M. Rallier des Ourmes

Progression des animaux, (Physiq.) la progression est ce transport par lequel les animaux passent d’un lieu à un autre, au moyen du mouvement qu’ils donnent à des parties différentes de leurs corps destinées à cet usage. Il y a plusieurs especes de progressions dont les principales sont le marcher, le voler, & le nager.

1°. Le roulement dans les huitres ; 2°. le trainement dans les limaçons, les vers de terre, les sangsues, &c. 3°. le rampement dans les serpens ; 4°. l’attraction dans les polypes & dans les séches, sont des progressions différentes de celles du marcher des quadrupedes, ou plutôt ne sont pas proprement des progressions.

En effet, le mouvement par lequel les huitres détachées des rochers, & les autres animaux enfermés dans des coquilles, sont transportés d’un lieu à un autre, n’est qu’un roulement causé par les vagues de l’eau qui les pousse.

L’allure du trainement des limaçons, des vers de terre, &c. est un mouvement qui n’est guere plus composé que celui des huitres dans son principe, quoiqu’il ait un effet plus diversifié.

Le rampement des serpens n’est différent de celui des vers de terre, qu’en ce que leur corps ne rentre pas en lui-même, mais qu’il plie pour se raccourcir.

L’allure des polypes se fait par des bras, qui s’attachent par le moyen de certaines parties qui leur tiennent lieu d’ongles.

Les animaux terrestres ont une progression plus parfaite & plus commode, parce qu’elle les fait tourner plus aisément & plus promptement de tous les côtés. Les instrumens qui y servent, qui sont les piés, ont aussi une structure beaucoup plus composée ; les ongles entre autres y ont beaucoup de part, car ils servent pour affermir leurs piés & empêcher qu’ils ne glissent ; les élans qui les ont fort durs, courent aisément sur la glace sans glisser.

Leurs piés ne servent pas seulement pour marcher, mais aussi pour grimper, pour prendre la nourriture, pour travailler à leurs habitations ou à des ouvrages, comme les mouches à miel à bâtir leurs cellules.

Enfin les animaux qui ont quatre piés s’en servent encore pour nager ; la plûpart ne les remuent point d’autre maniere pour nager que pour marcher, & ce mouvement des piés soutient tout l’animal, par la raison que le pli qu’ils leur font faire en le levant, est cause qu’ils ne rencontrent pas tant d’eau que quand ils les rabaissent, parce qu’alors ils sont plus étendus. Les animaux qui ont des peaux entre les ongles des piés, comme le castor & la loutre, frappent l’eau en abaissant les piés d’une maniere encore plus avantageuse pour soutenir leur corps sur l’eau, parce qu’ils les écartent & les élargissent, lorsqu’ils les abaissent, & qu’ils les resserrent & les étrécissent quand ils les relevent. Voyez Nager.

Aristote nous a laissé un livre περὶ ζῴων πορείας, ou sur le mouvement progressif des animaux. Petrus Alcyonius, Petrus de Alvernia, & Proculus y ont ajouté leurs commentaires. Franç. Bonanici a composé dix livres sur le même sujet ; ils ont été publiés à Florence en 1591, in-fol. D’autres ont encore traité cette matiere ; mais le livre qui mérite le plus d’être lû, c’est celui de Joh. Alph. Borelli, de motu animalium. Il a paru à Rome en 1680, in-4°. Lugd. Batav. 1710, & finalement à Naples en 1734, même format. Quant à la progression des insectes, nous en ferons un article séparé. (D. J.)

Progression des insectes, (Hist. nat. des Ins.) la progression ou le mouvement progressif des insectes, est le transport de ces especes d’animaux d’un lieu à l’autre, soit dans l’eau, sur terre, ou dans l’air pour leurs divers besoins.

Cette grande variété qu’on remarque dans le mouvement des différens animaux, a paru mériter l’attention de plusieurs savans, mais ils n’ont pas assez approfondi les mouvemens progressifs des insectes, & cependant ce sujet n’étoit pas indigne de leurs regards.

La progression des insectes est variée suivant l’élément qu’ils habitent. Autre est la maniere dont se meuvent ceux qui vivent dans l’eau ; autre est la maniere de ceux qui vivent sur la terre, & de ceux qui voltigent dans l’air. De plus chaque espece a un mouvement qui lui est propre, soit dans l’eau, soit sur terre, soit dans l’air.

De la progression des insectes aquatiques. Les insectes aquatiques ne sont point bornés à un seul genre de mouvement progressif. Grand nombre marchent, nagent, & volent ; d’autres marchent & nagent ; d’autres n’ont qu’un de ces deux moyens de s’avancer. De ceux qui nagent la plûpart nagent sur le ventre, & quelques-uns sur le dos. Pour nager plus vîte, il y en a qui ont la faculté de se remplir d’eau, & de la jetter avec force par la partie postérieure, ce qui les pousse en avant par un effet semblable à celui qui repousse l’éolipile, ou fait voler une fusée ; d’autres ont les jambes postérieures longues & faites en forme de rames, dont ils imitent les mouvemens.

De ceux qui marchent dans l’eau, il y en a qui marchent sur le ventre, d’autres sur le côté, & d’autres sur la tête & la queue. Les insectes de cette derniere sorte n’ont pas des jambes, ils ont un empatement à chaque extrémité du corps qui leur sert de pié, & par lequel ils savent s’attacher avec une force inconcevable aux corps où ils veulent se tenir. Quelques especes de ce genre ont la faculté de s’alonger & de se raccourcir à un point qui passe l’imagination, ce qui leur fait faire des pas d’une longueur demesurée.

Plusieurs insectes aquatiques, à proprement parler, ne marchent ni ne nagent ; mais par un ondoyement progressif de dessous leur corps, ils savent s’en procurer l’effet. Il y en a même qui sans qu’on puisse en aucune maniere s’appercevoir qu’ils fassent le moindre mouvement extérieur, glissent dans l’eau en tout sens & assez vîte ; plusieurs de ceux-ci sont des protées, qui changent pour ainsi dire de forme quand il leur plaît, & en revêtent quelquefois de si bisarres, qu’à moins que de les connoître on ne les prendroit jamais pour des animaux.

Voici d’autres diversités dans le mouvement des insectes aquatiques : on en voit qui nagent dans l’eau en ligne droite, remuant leur tête alternativement du côté droit & du côté gauche, tandis qu’ils remuent constamment la queue du côté opposé à celui de la tête, gardant toujours la figure de la lettre S. Il y en a qui nagent de côté & d’autre, avançant tantôt en ligne droite, & tantôt décrivant un cercle ou quelqu’autre courbe.

Le puceron aquatique a pour sa seule part trois différentes manieres de nager. Il y a quelques insectes qui s’élancent dans l’eau de haut en bas, indifféremment, avec une rapidité prodigieuse, comme fait le grand scarabée aquatique.

On en trouve qui se meuvent avec une lenteur extrème, comme les étoiles marines, tandis que d’autres nagent si rapidement qu’on ne sauroit les suivre à la vûe. Quelques-uns s’attachent pour se reposer aux corps solides qu’ils rencontrent ; d’autres se suspendent dans l’eau même, c’est ce qu’exécute la nymphe du moucheron avec les poils de sa queue ; d’autres marchent sur la superficie de l’eau, ou attachent les fourreaux dans lesquels ils logent à quelques pieces de bois, pour s’empêcher d’aller à fond ; enfin les insectes aquatiques ont non-seulement des façons de nager différentes, mais quelques-uns même réunissent toutes les différentes façons de nager.

De la progression des insectes qui vivent sur terre. On voit sur la terre des insectes qui n’ont ni piés ni aîles, & qui cependant se meuvent sans peine. Ils vont d’un lieu à un autre en serpentant par le secours des muscles de leurs anneaux, qui en se contractant rendent l’insecte plus court, & lui donnent le moyen de s’avancer, en dilatant les anneaux de la partie antérieure. On en voit qui avancent par une espece de ressort en se courbant, c’est ce que font les vers du fromage. Ils approchent leur tête de la queue, & ensuite ils s’étendent subitement comme un arc qui vient à se relâcher, ensorte qu’ils sautent beaucoup plus haut qu’ils ne sont longs. Ce qui facilite le mouvement élastique de tels insectes, est qu’ils ont à la partie antérieure, des crochets par lesquels ils s’accrochent à leur partie postérieure en faisant des efforts comme pour se redresser lorsqu’ils se sont pliés en double ; ces crochets lâchent tout-à-coup prise, & causent ces élancemens par lesquels l’insecte saute d’un lieu à un autre ; ce mouvement leur tient lieu des jambes & des muscles de la plûpart des insectes qui sautent.

Les insectes terrestres qui ont des piés ne marchent pas tous de la même maniere. Les uns vont en ligne droite, & les autres courbent leur dos ; de cette derniere classe sont les chenilles arpenteuses. Il y en a qui courent de côté ; & dans ce rang sont les pouls aîlés des chevaux. D’autres tournent en cercle, de maniere que leur corps en tournant demeure à-peu-près toujours également éloigné du centre ; comme aux chauves-souris. Quelques-uns ne se meuvent qu’en sautillant, & sont pourvus pour cela de jambes longues & de cuisses fortes ; de ce nombre sont les tepules & les puces.

On en voit qui marchent avec une extrème célérité. M. Delisle a observé un moucheron presque invisible par sa petitesse, qui parcouroit plus de trois pouces en une demi-seconde, & faisoit dans cette espace cinq cens quarante pas ; il en faisoit par conséquent plus de mille en un de nos battemens communs d’arteres. Quelle souplesse ne faut-il pas pour remuer les pattes plus de cinq cens fois en une demi-seconde ! car les pattes de cet insecte pouvoient avoir de grandeur la quinzieme partie d’une ligne. Il faisoit donc dans l’espace d’une ligne quinze pas ou mouvemens.

On voit au-contraire d’autres insectes terrestres dont la démarche est extrèmement lente ; telle est celle de la chenille du cerfeuil ; mais le mouvement progressif de certaines orties de mer est encore bien plus lent, à peine parcourent-elles l’espace d’un pouce ou deux dans une heure.

Plusieurs de ceux dont le corps est long, s’aident à marcher par le moyen de leur partie postérieure, qu’ils recourbent sous eux, & dont ils se servent pour se pousser en avant. On en connoit qui frappent de la tête ; d’autres qui ruent du derriere ; les uns s’étendent lorsqu’ils prennent leur repos comme font la plûpart des chenilles ; les autres se recoquillent alors, comme font les serpens quand ils veulent dormir.

De la progression des insectes qui volent dans l’air. Parmi les insectes qui sont obligés de chercher leur nourriture dans l’éloignement ; les uns ont deux aîles, d’autres quatre, & d’autres de petits balanciers qui leur servent comme de contre-poids. Ces petits balanciers, ou ces petites boules, sont placées sous la partie postérieure des aîles, & elles tiennent au corps par un filet fort mince, qui sert à l’animal pour les mouvoir selon qu’il en a besoin. Chez les uns elles sont toutes nues, & chez les autres elles sont couvertes. Leur usage est de tenir le corps en équilibre ; elles sont aux insectes ce que les contre-poids sont aux danseurs de corde, & les vessies remplies d’air aux nageurs. Si on leur coupe une de ces boules, on s’apperçoit qu’ils panchent plus d’un côté que de l’autre ; & si on les leur ôte toutes deux, ils n’ont plus ce vol léger & égal qu’ils avoient auparavant, ils ne savent plus se diriger, & ils font des culbutes.

La plûpart des insectes n’ayant point de queue & de plumes comme les oiseaux, ont un vol fort inégal, & ne peuvent pas tenir leur corps en équilibre dans un élément si subtil, & qui cede aussi aisément. Swammerdam a pourtant trouvé une espece de papillons qu’il faut excepter de cette regle générale ; il a une queue à l’aide de laquelle il dirige son vol comme il veut.

Enfin parmi les insectes qui volent, les uns s’élevent dans l’air à une certaine distance de la terre, tandis que d’autres voltigent sans cesse à quelques lignes seulement de sa surface.

Réflexion sur la progression des insectes en général. Les membres de chaque insecte sont proportionnés au mouvement qu’ils doivent exécuter ; ceux qui glissent & rampent sur la terre, ont une humeur gluante dont ils sont abondamment pourvus ; ceux qui grimpent sur des corps polis, ont des petits crochets à leurs pattes ; ceux qui marchent ont des anneaux, des jambes, des piés, adaptés à leur structure, à leur grosseur, à leurs besoins. Ceux qui fendent l’eau ont des queues, des poils, des nageoires, ou un corps aigu qui leur facilite ce mouvement : tel est le pou des poissons ; lorsqu’en nageant son côté plat se présente à l’opposite de l’endroit où il veut aller, il se trouve arrêté tout court, & il est obligé de se tourner pour reprendre son chemin. D’autres insectes aquatiques qui doivent changer de forme, ont des nageoires en guise de pannaches, qui tombent quand l’insecte se métamorphose ; c’est ce qui arrive aux cousins.

Il y a encore quelques insectes qui paroissent pourvus d’un si grand nombre double de membres nécessaires à leur mouvement progressif, qu’il semble qu’en en arrachant un, il leur en reste encore assez ; cependant si on en fait l’expérience, on s’apperçoit que leur mouvement est retardé, & qu’ils ont de la peine à exécuter ce qu’un moment auparavant ils faisoient avec beaucoup de facilité ; c’est ce que raconte Séba dans son Thes. rer. nat. fol. 25, tab. 24. d’un mille-pié de l’Amérique. Il y a d’autres insectes à qui la privation de ces mêmes membres ne porte aucun préjudice, tant le méchanisme du corps de ces petits animaux nous est caché : concluons.

Le mouvement progressif des insectes varié en mille façons différentes, ne peut qu’élever nos pensées vers le Créateur ; l’exécution de ce mouvement par ces petits animaux, est un trait si grand de sa puissance, que nous ne saurions le-comprendre. (D. J.)

Procression, s. f. (Rhétoriq.) c’est l’amplification d’une même idée qui marche dans une ou plusieurs phrases avec un accroissement de grandeur & de force ; tel est ce morceau de l’oraison funebre de M. de Turenne par M. Fléchier.

« N’attendez pas, messieurs, que je représente ce grand homme étendu sur ses propres trophées ! que je découvre ce corps pâle & sanglant, auprès duquel fume encore la foudre qui l’a frappé ! que je fasse crier son sang comme celui d’Abel, & que j’expose à vos yeux les images de la religion & de la patrie éplorée ». Voilà trois membres d’une phrase qui font une progression ascendante d’images. Cette distribution qui sied si bien dans le style élevé, présente à l’esprit une sorte de pyramide qui a sa pointe & sa base, & forme une figure qui réunit à-la-fois la variété, la grandeur & l’unité. Cours de Belles-Lettres. (D. J.)

