L’Encyclopédie/1re édition/ARITHMÉTIQUE
# L’Encyclopédie/1re édition/ARITHMÉTIQUE

ARITHMÉTIQUE, s. f. (Ordre encycl. Entend. Raison, Philos. ou Science, Science de la nat. ou des êtres, de leurs qualités abstraites, de la quantité, ou Mathémat. Math. pures, Arithmétique.) Ce mot vient du Grec ἀριθμός, nombre. C’est l’art de nombrer, ou cette partie des Mathématiques qui considere les propriétés des nombres. On y apprend à calculer exactement, facilement, promptement. Voyez Nombre, Mathématiques, Calcul

Quelques auteurs définissent l’Arithmétique la science de la quantité discrete. Voyez Discret & Quantité.

Les quatre grandes regles ou opérations, appellées l’addition, la soustraction, la multiplication, & la division, composent proprement toute l’Arithmétique. Voyez Addition. &c.

Il est vrai que pour faciliter & expédier rapidement des calculs de commerce, des calculs astronomiques, &c. on a inventé d’autres regles fort utiles, telles que les regles de proportion, d’alliage, de fausse position, de compagnie, d’extraction de racines, de progression, de change, de troc, d’excompte, de réduction ou de rabais, &c. mais en faisant usage de ces regles, on s’apperçoit que ce sont seulement différentes applications des quatres regles principales. Voyez Regle. Voyez aussi Proportion, Alliage, &c.

Nous n’avons rien de bien certain sur l’origine & l’invention de l’Arithmétique : mais ce n’est pas trop risquer que de l’attribuer à la premiere société qui a eu lieu parmi les hommes, quoique l’histoire n’en fixe ni l’auteur ni le tems. On conçoit clairement qu’il a fallu s’appliquer à l’art de compter, dès que l’on a été nécessité à faire des partages, & à les combiner de mille différentes manieres. Ainsi comme les Tyriens passent pour être les premiers commerçans de tous les peuples anciens, plusieurs Auteurs croyent qu’on doit l’Arithmétique à cette nation. Voyez Commerce.

Josephe assûre que par le moyen d’Abraham l’Arithmétique passa d’Asie en Egypte, où elle fut extrèmement cultivée & perfectionnée ; d’autant plus que la Philosophie & la Théologie des Egyptiens rouloient entierement sur les nombres. C’est de-là que nous viennent toutes ces merveilles qu’ils nous rapportent de l’unité, du nombre trois ; des nombres quatre, sept, dix. Voy. Unité, &c.

En effet, Kircher fait voir, dans son Œdip. Ægypt. tom. II. p. 2. que les Egyptiens expliquoient tout par des nombres. Pythagore lui-même assûre que la nature des nombres est répandue dans tout l’univers, & que la connoissance des nombres conduit à celle de la divinité, & n’en est presque pas différente.

La science des nombres passa de l’Egypte dans la Grece, d’où après avoir reçû de nouveaux degrès de perfection par les Astronomes de ce pays, elle fut connue des Romains, & de-là est enfin venue jusqu’à nous.

Cependant l’ancienne Arithmétique n’étoit pas, à beaucoup près, aussi parfaite que la moderne : Il paroît qu’alors elle ne servoit guere qu’à considérer les différentes divisions des nombres : on peut s’en convaincre en lisant les traités de Nicomaque, écrits ou composés dans le troisieme siecle depuis la fondation de Rome, & celui de Boëce, qui existent encore aujourd’hui. En 1556, Xylander publia en Latin un abregé de l’ancienne Arithmétique, écrite en Grec par Psellus. Jordanus composa ou publia, dans le douzieme siecle, un ouvrage beaucoup plus ample de la même espece, que Faber Stapulensis donna en 1480, avec un commentaire.

L’Arithmétique, telle qu’elle est aujourd’hui, se divise en différentes especes, comme théorique, pratique, instrumentale, logarithmique, numérale, spécieuse, decimale, tétractique, duodécimale, sexagésimale, &c.

L’Arithmétique théorique est la science des propriétés & des rapports des nombres abstraits, avec les raisons & les démonstrations des différentes regles. Voyez Nombre.

On trouve une Arithmétique théorique dans les septieme, huitieme & neuvieme livres d’Euclide. Le moine Barlaam a aussi donné une théorie des opérations ordinaires, tant en entiers qu’en fractions, dans un livre de sa composition intitulé Logistica, & publié en Latin par Jean Chambers, Anglois, l’an 1600. On peut y ajoûter l’ouvrage Italien de Lucas de Burgo, mis au jour en 1523 : cet auteur y a donné les différentes divisions de nombres de Nicomaque & leurs propriétés, conformément à la doctrine d’Euclide, avec le calcul des entiers & des fractions, des extractions de racines, &c.

L’Arithmétique pratique est l’art de nombrer ou de calculer, c’est-à-dire, l’art de trouver des nombres par le moyen de certains nombres donnés, dont la relation aux premiers est connue ; comme si l’on demandoit, par exemple, de déterminer le nombre égal aux deux nombres donnés, 6, 8.

Le premier corps complet d’Arithmétique pratique nous a été donné en 1556, par Tartaglia, Vénitien : il consiste en deux livres ; le premier contient l’application de l’Arithmétique aux usages de la vie civile ; & le second, les fondemens ou les principes de l’Algebre. Avant Tartaglia, Stifelius avoit donné quelque chose sur cette matiere en 1544 : on y trouve différentes méthodes & remarques sur les irrationels, &c.

Nous supprimons une infinité d’autres auteurs de pure pratique, qui sont venus depuis, tels que Gemma Frisius, Metius, Clavius, Ramus, &c.

Maurolicus, dans ses Opuscula mathematica de l’année 1575, a joint la théorie à la pratique de l’Arithmétique ; il l’a même perfectionnée à plusieurs égards : Heneschius a fait la même chose dans son Arithmetica perfecta de l’année 1609, où il a réduit toutes les démonstrations en forme de syllogisme ; ainsi que Taquet, dans sa theoria & praxis Arithmetices de l’année 1704. (E)

Les ouvrages sur l’Arithmétique sont si communs parmi nous, qu’il seroit inutile d’en faire le dénombrement. Les regles principales de cette science sont exposées fort clairement dans le premier volume du cours de Mathématique de M. Camus, dans les institutions de Géométrie de M. de la Chapelle, dans l’Arithmétique de l’officier par M. le Blond. (O)

L’Arithmétique instrumentale est celle où les regles communes s’exécutent par le moyen d’instrumens imaginés pour calculer avec facilité & promptitude : comme les bâtons de Neper (Voyez Neper.) ; l’instrument de M. Sam. Moreland, qui en a publié lui-même la description en 1666 ; celui de M. Leibnitz, décrit dans les Miscellan. Berolin. la machine arithmétique de M. Pascal, dont on donnera la description plus bas, &c.

L’Arithmétique logarithmique, qui s’exécute par les tables des logarithmes. Voyez Logarithme. Ce qu’il y a de meilleur là-dessus est l’Arithmetica logarithmica de Hen. Brigg, publiée en 1624.

On ne doit pas oublier les tables arithmétiques universelles de Prostapharese, publiées en 1610 par Herwart, moyennant lesquelles la multiplication se fait aisément & exactement par l’addition, & la division par la soustraction.

Les Chinois ne se servent guere de regles dans leurs calculs ; au lieu de cela, ils font usage d’un instrument qui consiste en une petite lame longue d’un pié & demi, traversée de dix ou douze fils de fer, où sont enfilées de petites boules rondes : en les tirant ensemble, & les plaçant ensuite l’une après l’autre, suivant certaines conditions & conventions, ils calculent à peu près comme nous faisons avec des jettons, mais avec tant de facilité & de promptitude, qu’ils peuvent suivre une personne qui lit un livre de compte, avec quelque rapidité qu’elle aille ; & à la fin l’opération se trouve faite : ils ont aussi leurs méthodes de la prouver. Voyez le P. le Comte. Les Indiens calculent à peu près de même avec des cordes chargées de nœuds.

L’Arithmetique numérale est celle qui enseigne le calcul des nombres ou des quantités abstraites désignées par des chiffres : on en fait les opérations avec des chiffres ordinaires ou arabes. Voy. Caractere & Arabe.

L’Arithmétique specieuse est celle qui enseigne le calcul des quantites désignées par les lettres de l’alphabet. Voyez Spécieuse. Cette Arithmetique est ce que l’on appelle ordinairement l’Algebre, ou Arithmétique littérale. Voyez Algebre.

Wallis a joint le calcul numérique à l’algébrique, & démontré par ce moyen les regles des fractions, des proportions, des extractions de racines, &c.

Wels en a donné un abregé sous le titre de Elementa arithmeticæ, en 1698.

L’Arithmétique décimale s’exécute par une suite de dix caracteres, de maniere que la progression va de dix en dix. Telle est notre Arithmétique, où nous faisons usage des dix caracteres Arabes, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 : après quoi nous recommençons 10, 11, 12, &c.

Cette méthode de calculer n’est pas fort ancienne, elle étoit totalement inconnue aux Grecs & aux Romains : Gerbert, qui devint pape dans la suite, sous le nom de Silvestre II. l’introduisit en Europe, après l’avoir reçûe des Maures d’Espagne. Il est fort vraissemblable que cette progression a pris son origine des dix doigts des mains, dont on faisoit usage dans les calculs avant que l’on eût réduit l’Arithmétique en art.

Les Missionaires de l’orient nous assûrent qu’aujourd’hui même les Indiens sont très-experts à calculer par leurs doigts, sans se servir de plume ni d’encre. Voyez les Lett. édif. & curieuses. Ajoûtez à cela que les naturels du Pérou, qui font tous leurs calculs par le different arrangement des grains de maïz, l’emportent beaucoup, tant par la justesse que par la célérité de leurs comptes, sur quelque Européen que ce soit avec toutes ses regles.

L’Arithmétique binaire est celle où l’on n’employe uniquement que deux figures, l’unité ou 1 & le 0. Voyez Binaire.

M. Dangicourt nous a donné, dans les Miscell. Berol. t. I. un long mémoire sur cette Arithmétique binaire : il y fait voir qu’il est plus aisé de découvrir par ce moyen les lois des progressions, qu’en se servant de toute autre méthode où l’on feroit usage d’un plus grand nombre de caracteres.

L’Arithmétique tétractique est celle où l’on n’emploie que les figures 1, 2, 3, & o. Erhard Weigel nous a donné un traité de cette Arithmétique : mais la binaire & la tétractique ne sont guere que de curiosité, relativement à la pratique, puisque l’on peut exprimer les nombres d’une maniere beaucoup plus abregée par l’Arithmétique décimale.

L’Arithmétique vulgaire roule sur les entiers & les fractions. Voyez Entier & Fraction.

L’Arithmétique sexagésimale est celle qui procede par soixantaines, ou bien c’est la doctrine des fractions sexagesimales. Voyez Sexagésimal. Sam. Reyher a inventé une espece de baguettes sexagénales, à l’imitation des bâtons de Neper, par le moyen desquelles on fait avec facilité toutes les opérations de l’Arithmétique sexagésimale.

L’Arithmétique des infinis est la méthode de trouver la somme d’une suite de nombres dont les termes sont infinis, ou d’en déterminer les rapports. Voyez Infini, Suite ou Serie, &c.

M. Wallis est le premier qui ait traité à fond de cette méthode, ainsi qu’il paroît par ses Opera mathematica, où il en fait voir l’usage en Géométrie, pour déterminer l’aire des surfaces & la solidité des corps, ainsi que leurs rapports : mais la méthode des fluxions, qui est l’Arithmétique universelle des infinis, exécute tout cela d’une maniere beaucoup plus prompte & plus commode, indépendamment d’une infinité d’autres choses auxquelles la premiere ne sauroit atteindre. Voyez Fluxions, Calcul, &c.

Sur l’Arithmétique des incommensurables ou irrationels, V. Incommensurable, Irrationel, &c.

Jean de Sacrobosco ou Halifax composa en 1232, selon Wossius, un traité d’Arithmétique : mais ce traité a toûjours resté manuscrit ; & selon M. l’abbé de Gua, Paciolo qui a donné le premier livre d’Algebre, est aussi le premier auteur d’Arithmétique qui ait été imprimé. Voyez Algebre. (E)

Jusqu’ici nous nous sommes contentés d’exposer en abregé ce que l’on trouve à peu-près dans la plûpart des ouvrages mathématiques sur la science des nombres, & nous n’avons guere fait que traduire l’article Arithmétique tel qu’il se trouve dans l’Encyclopédie Angloise ; tâchons presentement d’entrer davantage dans les principes de cette Science, & d’en donner une idée plus précise.

Nous remarquerons d’abord que tout nombre, suivant la définition de M. Newton, n’est proprement qu’un rapport. Pour entendre ceci, il faut remarquer que toute grandeur qu’on compare à une autre, est ou plus petite, ou plus grande, ou égale ; qu’ainsi toute grandeur a un certain rapport avec une autre à laquelle on la compare, c’est-à-dire qu’elle y est contenue ou la contient d’une certaine maniere ; ce rapport ou cette maniere de contenir ou d’être contenu, est ce qu’on appelle nombre. Ainsi le nombre 3 exprime le rapport d’une grandeur à une autre plus petite, que l’on prend pour l’unité, & que la plus grande contient trois fois. Au contraire la fraction 1/3 exprime le rapport d’une certaine grandeur à une plus grande que l’on prend pour l’unité, & qui est contenue trois fors dans cette plus grande. Tout cela sera exposé plus en détail aux articles Nombre, Fraction, &c.

Les nombres étant des rapports apperçûs par l’esprit, & distingués par des signes particuliers, l’Arithmétique, qui est la science des nombres, est donc l’art de combiner entr’eux ces rapports, en se servant pour faire cette combinaison des signes mêmes qui les distinguent. De-là les quatre principales regles de l’Arithmétique ; car les différentes combinaisons qu’on peut faire des rapports, se réduisent ou à examiner l’excès des uns sur les autres, ou la maniere dont ils se contiennent : l’addition & la soustraction ont le premier objet, puisqu’il ne s’agit que d’y ajoûter ou d’y soustraire des rapports ; le second objet est celui de la multiplication & de la division, puisqu’on y détermine de quelle maniere un rapport en contient un autre. Tout cela sera expliqué plus en détail aux articles Multiplication & Division.

Il y a, comme l’on sait, deux sortes de rapports, l’arithmétique & le géométrique. V. Rapport. Les nombres ne sont proprement que des rapports géométriques : mais il semble que dans les deux premieres regles de l’Arithmétique on considere arithmétiquement ces rapports, & que dans les deux autres on les considere géométriquement. Dans l’addition de deux nombres (car toute addition se réduit proprement à celle de deux nombres), l’un des deux nombres représente l’excès de la somme sur l’autre nombre. Dans la multiplication l’un des deux nombres est le rapport géométrique du produit à l’autre nombre. Voyez Somme, Produit.

A l’égard du détail des opérations particulieres de l’Arithmétique, il dépend de la forme & de l’institution des signes par lesquels on désigne les nombres. Notre Arithmétique, qui n’a que dix chiffres, seroit fort différente si elle en avoit plus ou moins ; & les Romains qui avoient des chiffres différens de ceux dont nous nous servons, devoient aussi avoir des regles d’Arithmétique toutes différentes des nôtres. Mais toute Arithmétique se réduira toûjours aux quatre regles dont nous parlons, parce que de quelque maniere qu’on désigne ou qu’on écrive les rapports, on ne peut jamais les combiner que de quatre façons, & même, à proprement parler, de deux manieres seulement, dont chacune peut être envisagée sous deux faces différentes.

On pourroit dire encore que toutes les regles de l’Arithmétique se réduisent, ou à former un tout par la réunion de différentes parties, comme dans l’addition & la multiplication, ou à résoudre un tout en différentes parties, ce qui s’exécute par la soustraction & la division. En effet, la multiplication n’est qu’une addition repétée, & la division n’est aussi qu’une soustraction repétée. D’où il s’ensuit encore que les regles primitives de l’Arithmétique peuvent, à la rigueur, se réduire à l’addition & à la soustraction : la multiplication & la division ne sont proprement que des manieres abregées de faire l’addition d’un même nombre plusieurs fois à lui-même, ou de soustraire plusieurs fois un même nombre d’un autre. Aussi M. Newton appelle-t-il les regles de l’Arithméque, compositio & resolutio arithmetica, c’est-à-dire, composition & résolution des nombres.

Arithmétique universelle ; c’est ainsi que M. Newton appelle l’Algebre, ou calcul des grandeurs en général ; & ce n’est pas sans raison que cette dénomination lui a été donnée par ce grand homme, dont le génie également lumineux & profond paroît avoir remonté dans toutes les sciences à leurs vrais principes metaphysiques. En effet, dans l’Arithmétique ordinaire, on peut remarquer deux especes de principes ; les premiers sont des regles générales, indépendantes des signes particuliers par lesquelles on exprime les nombres ; les autres sont des regles dépendantes de ces mêmes signes, & ce sont celles qu’on appelle plus particulierement regles de l’Arithmétique. Mais les premiers principes ne sont autre chose que des propriétés générales des rapports, qui ont lieu de quelque maniere que ces rapports soient désignés : telles sont par exemple ces regles ; si on ôte un nombre d’un autre, cet autre nombre joint avec le reste, doit rendre le premier nombre ; si on divise une grandeur par une autre, le quotient multiplié par le diviseur doit rendre le dividende ; si on multiplie la somme de plusieurs nombres par la somme de plusieurs autres, le produit est égal à la somme des produits de chaque partie par toutes les autres, &c.

De-là il s’ensuit d’abord qu’en désignant les nombres par des expressions générales, c’est-à-dire, qui ne désignent pas plus un nombre qu’un autre, on pourra former certaines regles relatives aux opérations qu’on peut faire sur les nombres ainsi désignés. Ces regles se réduisent à représenter de la maniere la plus simple qu’il est possible, le résultat d’une ou de plusieurs opérations qu’on peut faire sur les nombres exprimés d’une maniere générale ; & ce résultat ainsi exprimé, ne sera proprement qu’une opération arithmétique indiquée, opération qui variera selon qu’on donnera différentes valeurs arithmétiques aux quantités, qui dans le résultat dont il s’agit, représentent des nombres.

Pour mieux faire entendre cette notion que nous donnons de l’Algebre, parcourons-en les quatre regles ordinaires, & commençons par l’addition. Elle consiste, comme nous l’avons vû dans l’article Addition, à ajoûter ensemble avec leurs signes, sans aucune autre opération, les quantités dissemblables, & à ajoûter les coefficiens des quantités semblables : par exemple, si j’ai à ajoûter ensemble les deux grandeurs dissemblables a, b, j’écrirai simplement a + b ; ce résultat n’est autre chose qu’une maniere d’indiquer que si on désigne a par quelque nombre, & b par un autre, il faudra ajoûter ensemble ces deux nombres ; ainsi a + b n’est que l’indication d’une addition arithmétique, dont le résultat sera différent selon les valeurs numériques qu’on assignera à a & à b. Je suppose présentement qu’on me propose d’ajoûter 5 a avec 3 a, je pourrois écrire 5a + 3a, & l’opération arithmétique seroit indiquée comme ci-dessus : mais en examinant 5 a & 3 a, je vois que cette opération peut être indiquée d’une maniere plus simple : car quelque nombre que a représente, il est évident que ce nombre pris 5 fois, plus ce même nombre pris 3 fois, est égal au même nombre pris 8 fois : ainsi, je vois qu’au lieu de 5 a + 3 a, je puis écrire 8 a, qui est l’expression abregée, & qui m’indique une opération arithmétique plus simple que ne me l’indique l’expression 5 a + 3a.

C’est là-dessus qu’est fondée la regle générale de l’addition algébrique, d’ajoûter les grandeurs semblables en ajoûtant leurs coëfficiens numériques, & écrivant ensuite la partie littérale une fois.

On voit donc que l’addition algébrique se réduit à exprimer de la maniere la plus simple la somme ou le résultat de plusieurs nombres exprimés généralement, & à ne laisser, pour ainsi dire, à l’Arithméticien que le moins de travail à faire qu’il est possible. Il en est de même de la soustraction algébrique ; si je veux retrancher b de a, j’écris simplement a-b, parce que je ne peux pas représenter cela d’une maniere plus simple : mais si j’ai à retrancher 3 a de 5a, je n’écrirai point 5a-3a, parce que cela me donneroit plusieurs opérations arithmétiques à faire, en cas que je voulusse donner à a une valeur numérique ; j’écrirai simplement 2 a, expression plus simple & plus commode pour le calcul arithmétique. Voyez Soustraction.

J’en dis autant de la multiplication & de la division : si je veux multiplier a + b par c + d, je puis écrire indifféremment (a + b) X (c + d), ou ac + bc + ad + bd, & souvent même je préfererai la premiere expression à la seconde, parce qu’elle semble demander moins d’opérations arithmétiques ; car il ne faut que deux additions & une multiplication pour la premiere, & pour la seconde il faut trois additions & quatre multiplications : mais si j’ai à multiplier 5a par 3a, j’écrirai 15 aa au lieu de 5a X 3a, parce que dans le premier cas, j’aurois trois opérations arithmétiques à faire, & que dans le second je n’en ai que deux, une pour trouver aa, & l’autre pour multiplier aa par 15. De même si j’ai a + b à multiplier par a-b, j’écrirai aa-bb, parce que ce résultat sera souvent plus commode que l’autre pour les calculs arithmétiques, & que d’ailleurs j’en tire un théorème, savoir que le produit de la somme de deux nombres par la différence de ces deux nombres, est égal à la différence des quarrés de ces deux nombres. C’est ainsi qu’on a trouvé que le produit de a + b par a + b, c’est-à-dire le quarré de a + b, étoit aa + 2ab + bb, & qu’il contenoit par conséquent le quarré des deux parties, plus deux fois le produit de l’une par l’autre ; ce qui sert à extraire la racine quarrée des nombres. Voyez Quarré & .

Dans la division, au lieu d’écrire 20ab/5b, j’écrirai simplement 4a ; au lieu d’écrire aa−xx/(a+x), j’écrirai a-x. Mais si j’ai à diviser bc par hd, j’écrirai bc/hd, ne pouvant trouver une expression plus simple.

On voit donc par là que M. Newton a eu raison d’appeller l’Algebre Arithmétique universelle ; puisque les regles de cette Science ne consistent qu’à extraire pour ainsi dire ce qu’il y auroit de général & de commun dans toutes les Arithmétiques particulieres qui se feroient avec plus ou moins ou autant de chiffres que la nôtre, & à présenter sous la forme la plus simple & la plus abregée, ces opérations arithmétiques indiquées.

Mais, dira-t-on, à quoi bon tout cet échaffaudage ? Dans toutes les questions que l’on peut se proposer sur les nombres, chaque nombre est désigné & énoncé. Quelle utilité y a-t-il de donner à ce nombre une valeur littérale, dont il semble qu’on peut se passer ? Voici l’avantage de cette dénomination.

Toutes les questions qu’on peut proposer sur les nombres, ne sont pas aussi simples que celles d’ajoûter un nombre donné à un autre, ou de l’en soustraire, de les multiplier ou de les diviser l’un par l’autre. Il est des questions beaucoup plus compliquées, & pour la solution desquelles on est obligé de faire des combinaisons, dans lesquelles le nombre ou les nombres que l’on cherche doivent entrer. Il faut donc avoir un art de faire ces combinaisons sans connoître les nombres que l’on cherche ; & pour cela il faut exprimer ces nombres par des caracteres différens des caracteres numériques, parce qu’il y auroit un très grand inconvénient à exprimer un nombre inconnu par un caractere numérique qui ne pourroit lui convenir que par un très-grand hasard. Pour rendre cela plus sensible par un exemple, je suppose qu’on cherche deux nombres dont la somme soit 100, & la différence 60 : je vois d’abord qu’en désignant les deux nombres inconnus par des caracteres numériques à volonté, par exemple l’un par 25, & l’autre par 50, je leur donnerois une expression très-fausse, puisque 25 & 60 ne satisfont point aux conditions de la question. Il en seroit de même d’une infinité d’autres dénominations numériques. Pour éviter cet inconvénient, j’appelle le plus grand de mes nombres x, & le plus petit y ; & j’ai par cette dénomination algébrique, les deux conditions ainsi exprimées : x plus y est égal à 100, & x moins y est égal à 60 ; ou en caracteres algébriques :

       x + y = 100.
       x-y = 60. Voyez Caractere.

Puisque x + y est égal à 100, &x - y égal à 60, je vois que 100, joint avec 60, doit être égal à x + y, joint à x-y. Or pour ajoûter x + y à x-y, il faut suivant les regles de l’addition algébrique, écrire 2 x ; je vois donc que 2 x est égal à 160, c’est-à-dire que 160 est le double du plus grand nombre cherché ; donc ce nombre est la moitié de 160, c’est-à-dire 80 : d’où il est facile de trouver l’autre qui est y : car puisque x + y est égal à 100, & que x est égal à 80, donc 80 plus y est égal à 100 ; donc y est égal à 100 dont on a retranché 80, c’est-à-dire 20 ; donc les deux nombres cherchés sont 80 & 20 : en effet leur somme est 100, & leur différence est 60.

Au reste je ne prétends pas faire voir par cet article la nécessité de l’Algebre ; car elle ne seroit encore guere nécessaire, si on ne proposoit pas des questions plus compliquées que celles-là : j’ai voulu seulement faire voir par cet exemple très-simple, & à la portée de tout le monde, comment par le secours de l’Algebre on parvient à trouver les nombres inconnus.

L’expression algébrique d’une question, n’est autre chose, comme l’a fort bien remarqué M. Newton, que la traduction de cette même question, en caracteres algébriques ; traduction qui a cela de commode & d’essentiel, qu’elle se réduit à ce qu’il y a d’absolument nécessaire dans la question, & que les conditions superflues en sont bannies. Nous allons en donner d’après M. Newton l’exemple suivant.

| Question énoncée par le langage ordinaire. | La même question traduite algébriquement. |
| - | - |
| On demande trois nombres avec ces conditions. | x, y, z. |
| Qu’ils soient en proportion géométrique continue. | y :: y : z, ou xz = yy. Voyez Proportion. |
| Que leur somme soit 20. | x + y + z = 20. |
| Et que la somme de leurs quarrés soit 140. | xx + yy + zz = 140. |

Ainsi la question se réduit à trouver les trois inconnues x, y, z, par les trois équations xz = yy, x + y + z = 20, xx + yy + zz = 140. Il ne reste plus qu’à tirer de ces trois équations la valeur de chacune des inconnues.

On voit donc qu’il y a dans l’Arithmétique universelle deux parties à distinguer.

La premiere est celle qui apprend à faire les combinaisons & le calcul des quantités représentées par des signes plus universels que les nombres ; de maniere que les quantités inconnues, c’est-à-dire dont on ignore la valeur numérique, puissent être combinées avec la même facilité que les quantités connues, c’est-à-dire auxquelles on peut assigner des valeurs numériques. Ces opérations ne supposent que les propriétés générales de la quantité, c’est-à-dire qu’on y envisage la quantité simplement comme quantité, & non comme représentée & fixée par telle ou telle expression particuliere.

La seconde partie de l’Arithmétique universelle consiste à savoir faire usage de la méthode générale de calculer les quantités, pour découvrir les quantités qu’on cherche par le moyen des quantités qu’on connoît. Pour cela il faut 1°. représenter de la maniere la plus simple & la plus commode, la loi du rapport qu’il doit y avoir entre les quantités connues & les inconnues. Cette loi de rapport est ce qu’on nomme équation ; ainsi le premier pas à faire, lorsqu’on a un problème à résoudre, est de réduire d’abord le problème à l’équation la plus simple.

Ensuite il faut tirer de cette équation la valeur ou les différentes valeurs que doit avoir l’inconnue qu’on cherche : c’est ce qu’on appelle résoudre l’équation. Voyez l’article Equation, où vous trouverez là-dessus un plus long détail, auquel nous renvoyons, ayant dû nous borner dans cet article à donner une idée générale de l’Arithmétique universelle, pour en détailler les regles dans les articles particuliers. Voyez aussi Probleme, Racine, &c.

La premiere partie de l’Arithmétique universelle s’appelle proprement Algebre ou science du calcul des grandeurs en général ; la seconde s’appelle proprement Analyse : mais ces deux noms s’employent assez souvent l’un pour l’autre. V. Algebre & Analyse.

Nous ignorons si les anciens ont connu cette Science : il y a pourtant bien de l’apparence qu’ils avoient quelque moyen semblable pour résoudre au moins les questions numériques ; par exemple, les questions qui ont été appellées questions de Diophante. Voyez Diophante ; voyez aussi Application de l’Analyse à la Géométrie.

Selon M. l’abbé de Gua, dans son excellente histoire de l’Algebre, dont on trouve la plus grande partie à l’artic. Algebre de ce Dictionnaire, Théon paroît avoir cru que Platon est l’inventeur de l’Analyse, & Pappus nous apprend que Dïophante & d’autres auteurs anciens s’y étoient principalement appliqués, comme Euclide, Apollonius, Aristée, Eratosthene, & Pappus lui-même. Mais nous ignorons en quoi consistoit précisément leur Analyse, & en quoi elle pouvoit différer de la nôtre ou lui ressembler. M. de Malezieu, dans ses Elémens de Géométrie, prétend qu’il est moralement impossible qu’Archimede soit arrivé à la plûpart de ses belles découvertes géométriques, sans le secours de quelque chose d’équivalent à notre Analyse : mais tout cela n’est qu’une conjecture ; & il seroit bien singulier qu’il n’en restât pas au moins quelque vestige dans quelqu’un des ouvrages des anciens Géometres. M. de l’Hopital, ou plûtôt M. de Fontenelle, qui est l’auteur de la préface des infiniment petits, observe qu’il y a apparence que M. Pascal est arrivé à force de tête & sans Analyse, aux belles découvertes qui composent son traité de la roulette, imprimé sous le nom d’Etonville. Pourquoi n’en seroit-il pas de même d’Archimede & des anciens ?

Nous n’avons encore parlé que de l’usage de l’Algebre pour la résolution des questions numériques : mais ce que nous venons de dire de l’Analyse des anciens, nous conduit naturellement à parler de l’usage de l’Algebre dans la Géométrie : cet usage consiste principalement à résoudre les problèmes géométriques par l’Algebre, comme on résout les problèmes numériques, c’est-à-dire, à donner des noms algébriques aux lignes connues & inconnues ; & après avoir enoncé la question algébriquement, à calculer de la même maniere que si on résolvoit un problème numérique. Ce qu’on appelle en Algebre équation d’une courbe, n’est qu’un problème géométrique indéterminé, dont tous les points de la courbe donnent la solution : & ainsi du reste. Dans l’application de l’Algebre à la Géométrie, les lignes connues ou données sont représentées par des lettres de l’alphabet, comme les nombres connus ou donnés dans les questions numériques : mais il faut observer que les lettres qui représentent des lignes dans la solution d’un problème géométrique, ne pourroient pas toûjours être exprimées par des nombres. Je suppose, par exemple, que dans la solution d’un problème de Géométrie, on ait deux lignes connues, dont l’une que j’appellerai a soit le côté d’un quarré, & l’autre que je nommerai b soit la diagonale de ce même quarré ; je dis que si on assigne une valeur numérique à a, il sera impossible d’assigner une valeur numérique à b, parce que la diagonale d’un quarré & son côté sont incommensurables. V. Incommensurable, Diagonale, Hypotenuse, &c. Ainsi les calculs algébriques appliqués à la Géométrie ont un avantage, en ce que les caracteres qui expriment les lignes données peuvent marquer des quantités commensurables ou incommensurables ; au lieu que dans les problèmes numériques, les caracteres qui représentent les nombres donnés ne peuvent représenter que des nombres commensurables, Il est vrai que le nombre inconnu qu’on cherche, peut être représenté par une expression algébrique qui désigne un incommensurable : mais alors c’est une marque que ce nombre inconnu & cherché n’existe point, que la question ne peut être résolue qu’à peu près, & non exactement ; au lieu que dans l’application de l’Algebre à la Géométrie, on peut toûjours assigner par une construction géométrique, la grandeur exacte de la ligne inconnue, quand même l’expression qui désigne cette ligne seroit incommensurable. On peut même souvent assigner la valeur de cette ligne, quoiqu’on ne puisse pas en donner l’expression algébrique, soit commensurable, soit incommensurable : c’est ce qui arrive dans le cas irréductible du troisieme dégré. Voyez Irréductible.

Un des plus grands avantages qu’on a tirés de l’application de l’Algebre à la Géométrie, est le calcul différentiel ; on en trouvera l’idée au mot Différentiel, avec une notion exacte de la nature de ce calcul. Le calcul différentiel a produit l’intégral. Voyez Calcul & Intégral.

Il n’y a point de Géometre tant soit peu habile, qui ne connoisse aujourd’hui plus ou moins l’usage infini de ces deux calculs dans la Géométrie transcendante.

M. Newton nous a donné sur l’Algebre un excellent Ouvrage, qu’il a intitulé Arithmetica universalis. Il y traite des regles de cette science, & de son application à la Géométrie. Il y donne plusieurs méthodes nouvelles, qui ont été commentées pour la plûpart par M. s’Gravesande dans un petit ouvrage très-utile aux commençans, intitulé Elementa algebræ, & par M. Clairaut dans ses élémens d’Algebre, Voyez à l’article Algebre les noms de plusieurs autres auteurs, qui ont traité de cette science : nous croyons que l’ouvrage de M. s’Gravesande, celui. du P. Lamy, la science du calcul du P. Reyneau, l’analyse démontrée du même auteur, & l’Algebre de Saunderson publiée en Anglois, sont en ce genre les ouvrages dont les jeunes gens peuvent le plus profiter ; quoique dans plusieurs de ces traités, & peut-être dans tous, il reste bien des choses à desirer. Sur la maniere d’appliquer l’Algebre à la Géométrie, c’est-à-dire de réduire en équation les questions géométriques : nous ne connoissons rien de meilleur ni de plus lumineux que les regles données par M. Newton, p. 82. & suiv. de son arithm. univ. édition de Leyde 1732. jusqu’à la pag. 96. elles sont trop précieuses pour être abregées, & trop longues pour être inserées ici dans leur entier ; ainsi nous y renvoyons nos lecteurs. Nous dirons seulement qu’elles peuvent se réduire à ces deux regles.

Premiere regle. Un problème géométrique étant proposé (& on pourroit en dire autant d’un problème numérique) comparez ensemble les quantités connues & inconnues que renferme ce problème ; & sans distinguer les connues d’avec les inconnues, examinez comment toutes ces quantités dépendent les unes des autres ; & quelles sont celles qui étant connues feroient connoître les autres, en procédant par une méthode synthétique.

Seconde regle. Parmi ces quantités qui seroient connoître les autres, & que je nomme pour cette raison synthétiques, cherchez celles qui feroient connoître les autres le plus facilement, & qui pourroient être trouvées le plus difficilement, si on ne les supposoit point connues ; & regardez ces quantités comme celles que vous devez traiter de connues.

C’est là-dessus qu’est fondée la regle des Géometres, qui disent que pour résoudre un problème géométrique algébriquement, il faut le supposer résolu ; en effet pour résoudre ce problème, il faut se représenter toutes les lignes, tant connues qu’inconnues, comme des quantités qu’on a devant les yeux, & qui dépendent toutes les unes des autres ; ensorte que les connues & les inconnues puissent réciproquement & à leur tour être traitées, si l’on veut, d’inconnues & de connues. Mais en voilà assez sur cette matiere dans un Ouvrage où l’on ne doit en exposer que les principes généraux. Voyez Application. (O)

* Arithmétique politique, c’est celle dont les opérations ont pour but des recherches utiles à l’art de gouverner les peuples, telles que celles du nombre des hommes qui habitent un pays ; de la quantité de nourriture qu’ils doivent consommer ; du travail qu’ils peuvent faire ; du tems qu’ils ont à vivre, de la fertilité des terres, de la fréquence des naufrages, &c. On conçoit aisément que ces découvertes & beaucoup d’autres de la même nature, étant acquises par des calculs fondés sur quelques expériences bien constatées, un ministre habile en tireroit une foule de conséquences pour la perfection de l’agriculture, pour le commerce, tant intérieur qu’extérieur, pour les colonies, pour le cours & l’emploi de l’argent, &c. Mais souvent les ministres (je n’ai garde de parler sans exception) croyent n’avoir pas besoin de passer par des combinaisons & des suites d’opérations arithmétiques : plusieurs s’imaginent être doüés d’un grand génie naturel, qui les dispense d’une marche si lente & si pénible, sans compter que la nature des affaires ne permet ni ne demande presque jamais la précision géométrique. Cependant si la nature des affaires la demandoit & la permettoit, je ne doute point qu’on ne parvînt à se convaincre que le monde politique, aussi-bien que le monde physique, peut se regler à beaucoup d’égards par poids, nombre & mesure.

Le chevalier Petty, Anglois, est le premier qui ait publié des essais sous ce titre. Le premier est sur la multiplication du genre humain ; sur l’accroissement de la ville de Londres, ses degrés, ses périodes, ses causes & ses suites. Le second, sur les maisons, les habitans, les morts & les naissances de la ville de Dublin. Le troisieme est une comparaison de la ville de Londres & de la ville de Paris ; le chevalier Petty s’efforce de prouver que la capitale de l’Angleterre l’emporte sur celle de la France par tous ces côtés : M. Auzout a attaqué cet essai par plusieurs objections, auxquelles M. le chevalier Petty a fait des réponses. Le quatrieme tend à faire voir qu’il meurt à l’Hôtel-Dieu de Paris environ trois mille malades par an, par mauvaise administration. Le cinquieme est divisé en cinq parties : la premiere est en réponse à M. Auzout ; la seconde contient la comparaison de Londres & de Paris sur plusieurs points ; la troisieme évalue le nombre des paroissiens des 134 paroisses de Londres à 696 mille. La quatrieme est une recherche sur les habitans de Londres, de Paris, d’Amsterdam, de Venise, de Rome, de Dublin, de Bristol, & de Rouen. La cinquieme a le même objet, mais relativement à la Hollande & au reste des Provinces-unies. Le sixieme embrasse l’étendue & le prix des terres, les peuples, les maisons, l’industrie, l’œconomie, les manufactures, le commerce, la pêche, les artisans, les marins ou gens de mer, les troupes de terre, les revenus publics, les intérêts, les taxes, le lucre, les banques, les compagnies, le prix des hommes, l’accroissement de la marine & des troupes ; les habitations, les lieux, les constructions de vaisseaux, les forces de mer, &c. relativement à tout pays en général, mais particulierement à l’Angleterre, la Hollande, la Zéelande & la France. Cet essai est adressé au roi ; c’est presque dire que les résultats en sont favorables à la nation Angloise. C’est le plus important de tous les essais du chevalier Petty ; cependant il est très-court, si on le compare à la multitude & à la complication des objets. Le chevalier Petty prétend avoir démontré dans environ une centaine de petites pages in-douze, gros caractere : 1°. Qu’une petite contrée avec un petit nombre d’habitans peut équivaloir par sa situation, son commerce & sa police, à un grand pays & à un peuple nombreux, soit qu’on les compare par la force, ou par la richesse ; & qu’il n’y a rien qui tende plus efficacement à établir cette égalité que la marine & le commerce maritime. 2°. Que toutes sortes d’impôts & de taxes publiques tendent plûtôt à augmenter qu’à affoiblir la société & le bien public. 3°. Qu’il y a des empêchemens naturels & durables à jamais, à ce que la France devienne plus puissante sur mer que l’Angleterre ou la Hollande : nos François ne porteront pas un jugement favorable des calculs du chevalier Petty sur cette proposition, & je crois qu’ils auront raison. 4°. Que par son fonds & son produit naturels, le peuple & le territoire de l’Angleterre sont à peu près égaux en richesse & en force au peuple & au territoire de France. 5°. Que les obstacles qui s’opposent à la grandeur de l’Angleterre ne sont que contingens & amovibles. 6°. Que depuis quarante ans, la puissance & la richesse de l’Angleterre se sont fort accrues. 7°. Que la dixieme partie de toute la dépense des sujets du Roy suffiroit pour entretenir cent mille hommes d’infanterie, trente mille hommes de cavalerie, quarante mille hommes de mer ; & pour acquitter toutes les autres charges de l’état, ordinaires & extraordinaires, dans la seule supposition que cette dixieme partie seroit bien imposée, bien perçûe, & bien employée. 8°. Qu’il y a plus de sujets sans emploi, qu’il n’en faudroit pour procurer à la nation deux millions par an, s’ils étoient convenablement occupés ; & que ces occupations sont toutes prêtes, & n’attendent que des ouvriers. 9°. Que la nation a assez d’argent pour faire aller son commerce. 10°. Enfin que la nation a tout autant de ressources qu’il lui en faut pour embrasser tout le commerce de l’univers, de quelque nature qu’il soit.

Voilà comme on voit des prétensions bien excessives : mais quelles qu’elles soient, le lecteur sera bien d’examiner dans l’ouvrage du chevalier Petty, les raisonnemens & les expériences sur lesquels il s’appuie : dans cet examen, il ne faudra pas oublier qu’il arrive des révolutions, soit en bien, soit en mal, qui changent en un moment la face des états, & qui modifient & même anéantissent les suppositions ; & que les calculs & leurs résultats ne sont pas moins variables que les évenemens. L’ouvrage du chevalier Petty fut composé avant 1699. Selon cet auteur, quoique la Hollande & la Zéelande ne contiennent pas plus de 1000000 d’arpens de terre, & que la France en contienne au moins 8000000, cependant ce premier pays a presque un tiers de la richesse & de la force de ce dernier. Les rentes des terres en Hollande sont à proportion de celles de France, comme de 7 ou 8 à 1. (Observez qu’il est question ici de l’état de l’Europe en 1699 ; & c’est à cette année que se rapportent tous les calculs du chevalier Petty, bons ou mauvais). Les habitans d’Amsterdam sont 2/3 de ceux de Paris ou de Londres ; & la différence entre ces deux dernieres villes n’est, selon le même auteur, que d’environ une vingtieme partie. Le port de tous les vaisseaux appartenans à l’Europe, se monte à environ deux millions de tonneaux, dont les Anglois ont 500000, les Hollandois 900000 ; les François 100000, les Hambourgois, Danois, Suédois, & les habitans de Dantzic 250000 ; l’Espagne, le Portugal, l’Italie, &c. à peu près autant. La valeur des marchandises qui sortent annuellement de la France, pour l’usage de différens pays, se monte en tout à environ 5000000 livres sterlin ; c’est-à-dire, quatre fois autant qu’il en entroit dans l’Angleterre seule. Les marchandises qu’on fait sortir de la Hollande pour l’Angleterre valent 300000 livres sterlin ; & ce qui sort de-là pour être répandu par tout le reste du monde, vaut 18000000 livres sterlin. L’argent que le Roi de France leve annuellement en tems de paix fait environ 6 1/2 millions sterlin. Les sommes levées en Hollande & Zéelande font autour de 2100000 livres sterlin ; & celles provenantes de toutes les Provinces-unies font ensemble environ 3000000 livres sterlin. Les habitans d’Angleterre sont à peu près au nombre de 6000000 ; & leurs dépenses à raison de 7 livres sterlin par an, pour chacun d’eux, font 42000000 livres sterlin ou 80000 livres sterlin par semaine. La rente des terres en Angleterre est d’environ 8 millions sterlin ; & les intérêts & profits des biens propres à peu près autant. La rente des maisons en Angleterre 4000000 livres sterlin. Le profit du travail de tous les habitans se monte à 26000000 livres sterlin par an. Les habitans d’Irlande sont au nombre de 1200000. Le blé consommé annuellement en Angleterre, comptant le froment à 5 schelins le boisseau, & l’orge à 2 1/2 schelins, se monte à dix millions sterlin. La marine d’Angleterre avoit besoin en 1699, c’est-à-dire du tems du chevalier Petty, ou à la fin du dernier siecle, de 36000 hommes pour les vaisseaux de guerre : & 48000 pour les vaisseaux marchands & autres : & il ne falloit pour toute la marine de la France que 15000 hommes. Il y a en France environ treize millions & demi d’ames ; & en Angleterre, Ecosse & Irlande, environ neuf millions & demi. Dans les trois royaumes d’Angleterre, d’Ecosse & d’Irlande, il y a environ 20000 ecclésiastiques ; & en France, il y en a plus de 270000. Le royaume d’Angleterre à plus de 40000 matelots, & la France n’en a pas plus de 10000. Il y avoit pour lors en Angleterre, en Ecosse, en Irlande, & dans les pays qui en dépendent, des vaisseaux dont le port se montoit environ à 60000 tonneaux, ce qui vaut à peu près quatre millions & demi de livres sterlin. La ligne marine autour de l’Angleterre, de l’Ecosse, de l’Irlande, & des iles adjacentes, est d’environ 3800 milles. Il y a dans le monde entier environ 300 millions d’ames, dont il n’y a qu’environ 80 millions, avec lesquelles les Anglois & les Hollandois soient en commerce. La valeur de tous les effets de commerce ne passe pas 45 millions sterlin. Les manufactures d’Angleterre qu’on fait sortir du royaume, se montent annuellement à environ 5 millions sterlin. Le plomb, le fer-blanc & le charbon, à 500000 livres sterlin par an. La valeur des marchandises de France qui entrent en Angleterre, ne passe pas 1200000 livres sterlin par an. Enfin il y a en Angleterre environ six millions sterlin d’especes monnoyées. Tous ces calculs, comme nous l’avons dit, sont relatifs à l’année 1699 ; & ont dû sans doute bien changer depuis.

M. Davenant autre auteur d’arithmétique politique, prouve qu’il ne faut pas compter absolument sur plusieurs des calculs du chᵉʳ Petty : il en donne d’autres qu’il a faits lui-même, & qui se trouvent fondés sur les observations de M. King. En voici quelques-uns.

L’Angleterre contient, dit-il, 39 millions d’arpens de terre. Les habitans, selon son calcul, sont à peu près au nombre de 5545000 ames, & ce nombre augmente tous les ans d’environ 9000, déduction faite de ceux qui peuvent périr par les pestes, les maladies, les guerres, la marine, &c. & de ceux qui vont dans les colonies. Il compte 530000 habitans dans la ville de Londres ; dans les autres villes & bourgs d’Angleterre 870000, & dans les villages & hameaux 4100000. Il estime la rente annuelle des terres à 10 millions sterlin ; celle des maisons & des bâtimens à deux millions par an ; le produit de toutes sortes de grains, dans une année passablement abondante, à 9075000 liv. st. la rente annuelle des terres en blé, à 2 millions, & leur produit net au-dessus de 9 millions sterlin ; la rente des pâturages, des prairies, des bois, des forêts, des dunes, &c. à 7 millions sterlin ; le produit annuel des bestiaux en beurre, fromage & lait, peut monter, selon lui, à environ 2 1/2 millions sterlin. Il estime la valeur de la laine tondue annuellement à environ 2 millions sterlin : celle des chevaux qu’on éleve tous les ans à environ 250000 liv. sterlin ; la consommation annuelle de viande pour nourriture, à environ 3350000 liv. sterlin : celle du suif & des cuirs environ 600000 livres sterlin : celle du foin pour la nourriture annuelle des chevaux, environ 1300000 livres sterlin, & pour celle des autres bestiaux, un million sterlin : le bois de bâtiment coupé annuellement, 500000 liv sterl. Le bois à brûler, &c. environ 500000 liv. sterl. Si toutes les terres d’Angleterre étoient également distribuées parmi tous les habitans, chacun auroit pour sa part environ 7 1/4 arpens. La valeur du froment, du seigle, & de l’orge nécessaire pour la subsistance de l’Angleterre, se monte au moins à 6 millions sterl. par an. La valeur des manufactures de laine travaillées en Angleterre, est d’environ 8 millions par an ; & toutes les marchandises de laine qui sortent annuellement de l’Angleterre, passent la valeur de 2 millions sterl. Le revenu annuel de l’Angleterre, sur quoi tous les habitans se nourrissent & s’entretiennent, & payent tous les impôts & taxes, se monte, selon lui, à environ 43 millions : celui de la France à 81 millions, & celui de la Hollande à 18250000 livres sterlin.

Le major Grant, dans ses observations sur les listes mortuaires, compte qu’il y a en Angleterre 39000 milles quarrés de terre : qu’il y a en Angleterre & dans la principauté de Galles, 4600000 ames : que les habitans de la ville de Londres sont à peu près au nombre de 640000 ; c’est-à-dire, la quatorzieme partie de tous les habitans de l’Angleterre : qu’il y a en Angleterre & dans le pays de Galles, environ 10000 paroisses : qu’il y a 25 millions d’arpens de terre en Angleterre & dans le pays de Galles, c’est-à-dire, environ 4 arpens pour chaque habitant : que de 100 enfans qui naissent, il n’y en a que 64 qui atteignent l’âge de 6 ans ; que dans 100, il n’en reste que 40 en vie au bout de 16 ans ; que dans 100, il n’y en a que 25 qui passent l’âge de 26 ans ; que 16 qui vivent 36 ans accomplis, & 10 seulement dans 100 vivent jusqu’à la fin de leur 46ᵉ année ; & dans le même nombre, qu’il n’y en a que 6 qui aillent à 56 ans accomplis ; que 3 dans 100 qui atteignent la fin de 66 ans ; & que dans 100, il n’y en a qu’un qui soit en vie au bout de 76 ans : & que les habitans de la ville de Londres sont changés deux fois dans le cours d’environ 64 ans. Voyez Vie, &c. MM. de Moivre, Bernoulli, de Montmort, & de Parcieux, se sont exercés sur des sujets relatifs à l’Arithmétique politique : on peut consulter la doctrine des hasards, de M. de Moivre ; l’art de conjecturer, de M. Bernoulli ; l’analyse des jeux de hasard, de M. de Montmort ; l’ouvrage sur les rentes viageres & les tontines, &c. de M. de Parcieux : & quelques mémoires de M. Halley, répandus dans les Transactions philosophiques, avec les articles de notre Dictionnaire, Hasard, Jeu, Probabilité, Combinaison, Absent, Vie, Mort, Naissance, Annuité, Rente, Tontine, &c.

Arithmétique, pris adjectivement, se dit de tout ce qui a rapport aux nombres, ou à la science des nombres, ou qui s’exécute par le moyen des nombres. On dit opération arithmétique, de toute opération sur les nombres.

| Moyen arithmétique. | } | Voy. | { | Moyen. |
| - | - | - | - | - |
| Progression arithmétique | } | Voy. | { | Progression. |
| Proportion arithmétique. | } | Voy. | { | Proportion. |
| Rapport arithmétique. | } | Voy. | { | Rapport. |

Triangle arithmétique. Voyez Triangle.

Echelles Arithmétiques, est le nom que donne M. de Buffon (Mém. Acad. 2741.) aux différentes progressions de nombres, suivant lesquelles l’Arithmétique auroit pû être formée. Pour entendre ceci, il faut observer que notre Arithmétique ordinaire s’exécute par le moyen de dix chiffres, & qu’elle a par conséquent pour base la progression arithmétique décuple ou dénaire, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Voyez Progression, &c. Il est vraissemblable, comme nous l’avons remarqué plus haut, que cette progression doit son origine au nombre des doigts des deux mains, par lesquels on a dû naturellement commencer à compter : mais il est visible aussi que cette progression en elle-même est arbitraire, & qu’au lieu de prendre dix caracteres pour exprimer tous les nombres possibles, on auroit pû en prendre moins ou plus de dix. Supposons, par exemple, qu’on en eût pris cinq seulement, 0, 1, 2, 3, 4, en ce cas tout nombre passé cinq, auroit eu plus d’un chiffre, & cinq auroit été exprimé par 10 ; car 1 dans la seconde place, qui dans la progression ordinaire, vaut dix fois plus qu’à la premiere place, ne vaudroit dans la progression quintuple, que cinq fois plus. De même 11 auroit représenté 6 ; 25 auroit été représenté par 100, & tout nombre au-dessus de 25, auroit eu trois chiffres ou davantage. Au contraire si on prenoit vingt chiffres ou caracteres pour représenter les nombres, tout nombre au-dessous de 20, n’auroit qu’un chiffre ; tout nombre au-dessous de 400, n’en auroit que deux, &c.

La progression la plus courte dont on puisse se servir pour exprimer les nombres, est celle qui est composée de deux chiffres seulement 0, 1, & c’est ce que M. Leibnitz a nommé Arithmétique binaire. Voyez Binaire. Cette Arithmétique auroit l’inconvénient d’employer un trop grand nombre de chiffres pour exprimer des nombres assez petits, & il est évident que cet inconvénient aura d’autant plus lieu, que la progression qui servira de base à l’Arithmétique, aura moins de chiffres. D’un autre côté si on employoit un trop grand nombre de chiffres pour l’Arithmétique, par exemple, vingt ou trente chiffres au lieu de dix, les opérations sur les nombres deviendroient trop difficiles ; je n’en veux pour exemple que l’addition. Il y a donc un milieu à garder ici ; & la progression décuple, outre son origine qui est assez naturelle, paroît tenir ce milieu : cependant il ne faut pas croire que l’inconvénient fût fort grand, si on avoit pris neuf ou douze chiffres au lieu de dix. Voyez Chiffre & Nombre.

M. de Buffon, dans le Mémoire que nous avons cité, donne une méthode fort simple & fort abregée pour trouver tout d’un coup la maniere d’écrire un nombre donné dans une échelle arithmétique quelconque, c’est-à-dire en supposant qu’on se serve d’un nombre quelconque de chiffres pour exprimer les nombres. Voyez Binaire. (O)

* Arithmétique (machine), c’est un assemblage ou système de roues & d’autres pieces, à l’aide desquelles des chiffres ou imprimés ou gravés se meuvent, & exécutent dans leur mouvement les principales regles de l’Arithmétique.

La premiere machine arithmétique qui ait paru, est de Blaise Pascal, né à Clermont en Auvergne le 19 Juin 1623 ; il l’inventa à l’âge de dix-neuf ans. On en a fait quelques autres depuis qui, au jugement même de MM. de l’Académie des Sciences, paroissent avoir sur celle de Pascal des avantages dans la pratique : mais celle de Pascal est la plus ancienne ; elle a pû servir de modele à toutes les autres : c’est pourquoi nous l’avons préférée.

Cette machine n’est pas extrèmement compliquée ; mais entre ses pieces il y en a une surtout qu’on nomme le sautoir, qui se trouve chargée d’un si grand nombre de fonctions, que le reste de la machine en devient très difficile à expliquer. Pour se convaincre de cette difficulté, le lecteur n’a qu’à jetter les yeux sur les figures du recueil des machines approuvées par l’Académie, & sur le discours qui a rapport à ces figures & à la machine de Pascal : je suis sûr qu’il lui paroîtra, comme à nous, presqu’aussi difficile d’entendre la machine de Pascal, avec ce qui en est dit dans l’ouvrage que nous venons de citer, que d’imaginer une autre machine arithmétique. Nous allons faire ensorte qu’on ne puisse pas porter le même jugement de notre article, sans toutefois nous engager à exposer le méchanisme de la machine de Pascal d’une maniere si claire, qu’on n’ait besoin d’aucune contension d’esprit pour le saisir. Au reste, cet endroit de notre Dictionnaire ressemblera à beaucoup d’autres, qui ne sont destinés qu’à ceux qui ont quelque habitude de s’appliquer.

Les parties de la machine arithmétique se ressemblant presque toutes par leur figure, leur disposition & leur jeu, nous avons crû qu’il étoit inutile de représenter la machine entiere : la portion qu’on en voit Planche 2 d’Arithmétique, suffira pour en donner une juste idée. NOPR, fig. 1. est une plaque de cuivre qui forme la surface supérieure de la machine. On voit à la partie inférieure de cette plaque, une rangée NO de cercles Q, Q, Q, &c. tous mobiles, autour de leurs centres Q. Le premier à la droite a douze dents ; le second en allant de droite à gauche, en a vingt ; & tous les autres en ont dix. Les pieces qu’on apperçoit en S, S, S, &c. & qui s’avancent sur les disques des cercles mobiles R, R, R, &c sont des étochios ou arrêts qu’on appelle potences. Ces étochios sont fixes & immobiles ; ils ne posent point sur les cercles qui se peuvent mouvoir librement sous leurs pointes ; ils ne servent qu’à arrêter un stylet, qu’on appelle directeur, qu’on tient à la main, & dont on place la pointe entre les dents des cercles mobiles Q, Q, Q, &c. pour les faire tourner dans la direction 6, 5, 4, 3, &c. quand on se sert de la machine.

Il est évident par le nombre des dents des cercles mobiles Q, Q, Q, &c. que le premier à droite marque les deniers ; le second en allant de droite à gauche, les sous ; le troisieme, les unités de livres ; le quatrieme, les dixaines ; le cinquieme, les centaines ; le sixieme, les mille ; le septieme, les dixaines de mille ; le huitieme, les centaines de mille : & quoiqu’il n’y en ait que huit, on auroit pû, en aggrandissant la machine, pousser plus loin le nombre de ces cercles.

La ligne YZ est une rangée de trous, à-travers lesquels on apperçoit des chiffres. Les chiffres apperçûs ici sont 46309 l. 15 s. 10 d. mais on verra par la suite qu’on en peut faire paroître d’autres à discrétion par les mêmes ouvertures.

La bande PR est mobile de bas en haut ; on peut en la prenant par ses extrémités RP, la faire descendre sur la rangée des ouvertures 46309 l. 15 s. 10 d. qu’elle couvriroit : mais alors on appercevroit une autre rangée parallele de chiffres à-travers des trous placés directement au-dessus des premiers.

La même bande PR porte des petites roues gravées de plusieurs chiffres, toutes avec une aiguille au centre, à laquelle la petite roue sert de cadran : chacune de ces roues porte autant de chiffres que les cercles mobiles Q, Q, Q, &c. auxquels elles correspondent perpendiculairement. Ainsi V1 porte douze chiffres, ou plûtôt a douze divisions ; V2 en a vingt ; V3 en a dix ; V4 dix, & ainsi de suite.

ABCD, fig. 2. est une tranche verticale de la machine, faite selon une des lignes ponctuées mx, mx, mx, &c. de la fig. 1. n’importe laquelle ; car chacune de ces tranches, comprise entre deux paralleles mx, mx, contient toutes les parties de la figure 2, outre quelques autres dont nous ferons mention dans la suite. 1 Q 2 représente un des cercles mobiles Q de la fig. 1. ce cercle entraîne par son axe Q 3, la roue à chevilles 4, 5. Les chevilles de la roue 4, 5, font mouvoir la roue 6, 7, la roue 8, 9, & la roue 10, 11, qui sont toutes fixées sur un même axe. Les chevilles de la roue 10, 11, engrainent dans la roue 12, 13, & la font mouvoir, & avec elle le barillet 14, 15.

Sur le barillet 14, 15, même fig. 2. soient tracées l’une au-dessus de l’autre, deux rangées de chiffres de la maniere qu’on va dire. Si l’on suppose que ce barillet soit celui de la tranche des deniers, soient tracées les deux rangées :

| 0, | 11, | 10, | 9, | 8, | 7, | 6, | 5, | 4, | 3, | 2, | 1. |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 11, | 0, | 1, | 2, | 3, | 4, | 5, | 6, | 7, | 8, | 9, | 10. |

Si le barillet 14, 15 est celui de la tranche des sous, soient tracées les deux rangées :

| 0, | 19, | 18, | 17, | 16, | 15, | 14, | 13, | 12, | 11, | 10, |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 19, | 0, | 1, | 2, | 3, | 4, | 5, | 6, | 7, | 8, | 9, |
| 9, | 8, | 7, | 6, | 5, | 4, | 3, | 2, | 1. | | |
| 10, | 11, | 12, | 13, | 14, | 15, | 16, | 17, | 18. | | |

Si le barillet 14, 15 est celui de la tranche des unités de livres, soient tracées les deux rangées :

| 0, | 9, | 8, | 7, | 6, | 5, | 4, | 3, | 2, | 1. |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 9, | 0, | 1, | 2, | 3, | 4, | 5, | 6, | 7, | 8. |

Il est évident 1°. que c’est de la rangée inférieure des chiffres tracés sur les barillets, que quelques-uns paroissent à-travers les ouvertures de la ligne XZ, & que ceux qui paroîtroient à-travers les ouvertures couvertes de la bande mobile PR, sont de la rangée supérieure. 2°. Qu’en tournant, fig. 1. le cercle mobile Q, on arrêtera sous une des ouvertures de la ligne XZ, tel chiffre que l’on voudra ; & que le chiffre retranché de 11 sur le barillet des deniers, donnera celui qui lui correspond dans la rangée supérieure des deniers ; retranché de 19 sur le barillet des sous, il donnera celui qui lui correspond dans la rangée supérieure des sous ; retranché de 9 sur le barillet des unités de livres, il donnera celui qui lui correspond dans la rangée supérieure des unités de livres, & ainsi de suite. 3°. Que pareillement celui de la bande supérieure du barillet des deniers, retranché de 11, donnera celui qui lui correspond dans la rangée inférieure, &c.

La piece abcdefghikl qu’on entrevoit, même fig. 2. est celle qu’on appelle le sautoir. Il est important d’en bien considérer la figure, la position & le jeu ; car sans une connoissance très-exacte de ces trois choses, il ne faut pas espérer d’avoir une idée précise de la machine : aussi avons nous repété cette piece en trois figures différentes. a b c d e f g h i k l, fig. 2. est le sautoir, comme nous venons d’en avertir : 1 2 3 4 5 6 7 xyTzv, l’est aussi, fig. 3. & 1 2 3 4 5 6 7 8 9, l’est encore, fig. 4.

Le sautoir, fig. 2. a deux anneaux ou portions de douilles, dans lesquelles passe la portion fk & gl de l’axe de la roue à chevilles 8, 9 ; il est mobile sur cette partie d’axe. Le sautoir, fig. 3. a une concavité ou partie échancrée 3, 4, 5 ; un coude 7, 8, 9, pratiqué pour laisser passer les chevilles de la roue 8, 9 ; deux anneaux dont on voit un en 9, l’autre est couvert par une portion de la roue 6, 7, à la partie inférieure de l’échancrure 3, 4, 5 ; en 2, une espece de coulisse, dans laquelle le cliquet 1 est suspendu par le tenon 2, & pressé par un ressort entre les chevilles de la roue 8, 9. Pour qu’on apperçût ce ressort & son effet, on a rompu, fig. 3. un des côtés de la coulisse en x, y ; 12 est le cliquet ; 2 le tenon qui le tient suspendu ; & Zv le ressort qui appuie sur son talon, & pousse son extrémité entre les chevilles de la roue 8, 9.

Ce qui précede bien entendu, nous pouvons passer au jeu de la machine. Soit fig. 2. le cercle mobile 1 Q 2, mû dans la direction 1 Q 2, la roue à chevilles 4, 5, sera mûe, & la roue à cheville 6, 7 ; & fig. 3. la roue VIII, IX ; car c’est la même que la roue 8, 9 de la fig. 2. Cette roue VIII, IX, sera mûe dans la direction VIII, VIII, IX, IX. La premiere de ses deux chevilles r, s, entrera dans l’échancrure du sautoir ; le sautoir continuera d’être élevé, à l’aide de la seconde cheville RS. Dans ce mouvement l’extrémité 1 du cliquet sera entraînée ; & se trouvant à la hauteur de l’entre-deux de deux chevilles immédiatement supérieur à celui où elle étoit, elle y sera poussée par le ressort. Mais la machine est construite de maniere que ce premier échappement n’est pas plûtôt fait, qu’il s’en fait un autre, celui de la seconde cheville RS de dessous la partie 3, 4, du sautoir : ce second échappement laisse le sautoir abandonné à lui-même ; le poids de sa partie 4 5 6 7 8 9, fait agir l’extrémité 1 du cliquet contre la cheville de la roue 8, 9, sur laquelle elle vient de s’appuyer par le premier échappement ; fait tourner la roue 8, 9, dans le sens 8, 8, 9, 9, & par conséquent aussi dans le même sens la roue 10, 11, 11, & la roue 12, 13, en sens contraire, ou dans la direction 13, 13, 12, & dans le même sens que la roue 12, 13, le barillet 14, 15. Mais telle est encore la construction de la machine que, quand par le second échappement, celui de la cheville RS de dessous la partie 3, 4, du sautoir, ce sautoir se trouve abandonné à lui-même, il ne peut descendre & entraîner la roue 8, 9, que d’une certaine quantité déterminée. Quand il est descendu de cette quantité, la partie T fig. 2. de la coulisse rencontre l’étochio r qui l’arrête.

Maintenant si l’on suppose 1°. que la roue VIII, IX a douze chevilles, la roue X, XI autant, & la roue XII, XIII autant encore : 2°. que la roue 8, 9 a vingt chevilles, la roue 10, 11 vingt, & la roue 12, 13 autant : 3°. que l’extrémité T du sautoir, figure 3. rencontre l’étochio r précisément quand la roue 8, 9, fig. 4. a tourné d’une vingtieme partie, il s’ensuivra évidemment que le barillet XIV, XV fera un tour sur lui-même, tandis que le barillet 14, 15 ne tournera sur lui-même que de sa vingtieme partie.

Si l’on suppose 2°. que la roue VIII, IX a vingt chevilles, la roue X, XI autant, & la roue XII, XIII autant : 2°. que la roue 8, 9 ait dix chevilles, la roue 10, 11 autant, & la roue 12, 13 autant : 3°. que l’extrémité T du sautoir ne soit arrêtée, figure 3. par l’étochio r, que quand la roue 8, 9, fig. 4. a tourné d’une dixieme partie, il s’ensuivra évidemment que le barillet XIV, XV fera un tour entier sur lui-même, tandis que le barillet 14, 15 ne tournera sur lui-même que de sa dixieme partie.

Si l’on suppose 3°. que la roue VIII, IX ait dix chevilles, la roue X, XI autant, & la roue XII, XIII autant : 2°. que la roue 8, 9 ait pareillement dix chevilles, la roue 10, 11 autant, & la roue 12, 13 autant aussi : 3°. que l’extrémité T du sautoir ; fig. 3. ne soit arrêtée par l’étochio r, que quand la roue 8, 9, fig. 4. aura tourné d’un dixieme, il s’ensuivra évidemment que le barillet XIV, XV fera un tour entier sur lui-même, tandis que le barillet 14, 15 ne tournera sur lui-même que d’un dixieme.

On peut donc en général établir tel rapport qu’on voudra entre un tour entier du barillet XIV, XV, & la partie dont le barillet 14, 15 tournera dans le même tems.

Donc, si l’on écrit sur le barillet XIV, XV les deux rangées de nombre suivantes, l’une au-dessus de l’autre, comme on les voit,

| 0, | 11, | 10, | 9, | 8, | 7, | 6, | 5, | 4, | 3, | 2, | 1. |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 11, | 0, | 1, | 2, | 3, | 4, | 5, | 6, | 7, | 8, | 9, | 10. |

& sur le barillet 14, 15, les deux rangées suivantes, comme on les voit,

| 0, | 19, | 18, | 17, | 16, | 15, | 14, | 13, | 12, | 11, | 10. |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 19, | 0, | 1, | 2, | 3, | 4, | 5, | 6, | 7, | 8, | 9, |
| 9, | 8, | 7, | 6, | 5, | 4, | 3, | 2, | 1. |
| 10, | 11, | 12, | 13, | 14, | 15, | 16, | 17, | 18. |

& que les zéros des deux rangées inférieures des barillets correspondent exactement aux intervalles A, B, il est clair qu’au bout d’une révolution du barillet XIV, XV, le zéro correspondra encore à l’intervalle B : mais que ce sera le chiffre I du barillet 14, 15, qui correspondra dans le même tems à l’intervalle A.

Donc, si l’on écrit sur le barillet XIV, XV les deux rangées suivantes, comme on les voit,

| 0, | 19, | 18, | 17, | 16, | 15, | 14, | 13, | 12, | 11, | 10, |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 19, | 0, | 1, | 2, | 3, | 4, | 5, | 6, | 7, | 8, | 9, |
| 9, | 8, | 7, | 6, | 5, | 4, | 3, | 2, | 1. |
| 10, | 11, | 12, | 13, | 14, | 15, | 16, | 17, | 18. |

& sur le barillet 14, 15, les deux rangées suivantes, comme on les voit,

| 0, | 9, | 8, | 7, | 6, | 5, | 4, | 3, | 2, | 1. |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 9, | 0, | 1, | 2, | 3, | 4, | 5, | 6, | 7, | 8. |

& que les zéros des deux rangées inférieures des barillets correspondent en même tems aux intervalles A, B, il est clair que dans ce cas, de même que dans le premier, lorsque le zéro du barillet XIV, XV correspondra, après avoir fait un tour, à l’intervalle B, le barillet 14, 15 présentera à l’ouverture ou espace A, le chiffre 1.

Il en sera toûjours ainsi, quelles que soient les rangées de chiffres que l’on trace sur le barillet XIV, XV, & sur le barillet 14, 15 : dans le premier cas le barillet XIV, XV tournera sur lui-même, & présentera ses douze caracteres à l’intervalle B, quand le barillet 14, 15, n’ayant tourné que d’un vingtieme, présentera à l’intervalle A, le chiffre 1. Dans le second cas, le barillet XIV, XV tournera sur lui-même, & présentera ses vingt caracteres à l’ouverture ou intervalle B, pendant que le barillet 14, 15, n’ayant tourné que d’un dixieme, présentera à l’ouverture ou intervalle A, le chiffre 1. Dans le troisieme cas, le barillet XIV, XV tournera sur lui-même, & aura présenté ses dix caracteres à l’ouverture B, quand le barillet 14, 15, n’ayant tourné que d’un dixieme, présentera à l’ouverture ou intervalle A, le chiffe 1.

Mais au lieu de faire toutes ces suppositions sur deux barillets, je peux les faire sur un grand nombre de barillets, tous assemblés les uns avec les autres, comme on voit ceux de la fig, 4. Rien n’empêche de supposer à côté du barillet 14, 15 un autre barillet placé par rapport à lui, comme il est placé par rapport au barillet XIV, XV, avec les mêmes roues, un sautoir, & tout le reste de l’assemblage. Rien n’empêche que je ne puisse supposer douze chevilles à la roue VIII, IX & les deux rangées

| 0, | 11, | 10, | 9, | &c. |
| - | - | - | - | - |
| 11, | 0, | 1, | 2, | &c. |

tracées sur le barillet XIV, XV, vingt chevilles à la roue 8, 9, & les deux rangées

| 0, | 19, | 18, | 17, | 16, | 15, | &c. |
| - | - | - | - | - | - | - |
| 19, | 0, | 1, | 2, | 3, | 4, | &c. |

tracées sur le barillet 14, 15 ; dix chevilles à la premiere, pareille à la roue 8, 9, & les deux rangées

| 0, | 9, | 8, | 7, | 6, | &c. |
| - | - | - | - | - | - |
| 9, | 0, | 1, | 2, | 3, | &c. |

sur le troisieme barillet ; dix chevilles à la seconde pareille de 8, 9, & les deux rangées

| 0, | 9, | 8, | 7, | 6, | &c. |
| - | - | - | - | - | - |
| 9, | 0, | 1, | 2, | 3, | &c. |

sur le quatrieme barillet ; dix chevilles à la troisieme pareille de 8, 9, & les deux rangées

* 0, 9, 8, 7, 6, &c.
* 9, 0, 1, 2, 3, &c.

sur le cinquieme barillet, & ainsi de suite.

Rien n’empêche non plus de supposer que tandis que le premier barillet présentera ses douze chiffres à son ouverture, le second ne présentera plus que le chiffre 1 à la sienne ; que tandis que le second barillet présentera ses vingt chiffres à son ouverture ou intervalle, le troisieme ne présentera que le chiffre 1 ; que tandis que le troisieme barillet présentera ses dix caracteres à son ouverture, le quatrieme n’y présentera que le chiffre 1 ; que tandis que le quatrieme barillet présentera ses dix caracteres à son ouverture, le cinquieme barillet ne présentera à la sienne que le chiffre 1, & ainsi de suite.

D’où il s’ensuivra 1°. qu’il n’y aura aucun nombre qu’on ne puisse écrire avec ces barillets ; car après les deux échappemens, chaque équipage de barillet demeure isolé, est indépendant de celui qui le précede du côté de la droite, peut tourner sur lui-même tant qu’on voudra dans la direction VIII, VIII, IX, IX, & par conséquent offrir à son ouverture celui des chiffres de sa rangée inférieure qu’on jugera à propos : mais les intervalles A, B, sont aux cylindres nuds XIV, XV, 14, 15, ce que leur sont les ouvertures de la ligne Y, X, fig. 1. quand ils sont couverts de la plaque NORP.

2°. Que le premier barillet marquera des deniers, le second des sous, le troisieme des unités de livres, le quatrieme des dixaines, le cinquieme des centaines, &c.

3°. Qu’il faut un tour du premier barillet, pour un vingtieme du second ; un tour du second, pour un dixieme du troisieme ; un tour du troisieme, pour un dixieme du quatrieme ; & que par conséquent les barillets suivent entre leurs mouvemens la proportion qui regne entre les chiffres de l’arithmétique quand ils expriment des nombres ; que la proportion des chiffres est toûjours gardée dans les mouvemens des barillets, quelle que soit la quantité de tours qu’on fasse faire au premier, ou au second, ou au troisieme, & que par conséquent de même qu’on fait les opérations de l’Arithmétique avec des chiffres, on peut la faire avec les barillets & les rangées de chiffres qu’ils ont.

4°. Que pour cet effet, il faut commencer par mettre tous les barillets de maniere que les zéros de leur rangée inférieure correspondent en même tems aux ouvertures de la bande YZ, & de la plaque NORP ; car si tandis que le premier barillet, par exemple, présente O à son ouverture, le second présente 4 à la sienne, il est à présumer que le premier barillet a fait déjà quatre tours, ce qui n’est pas vrai.

5°. Qu’il est assez indifférent de faire tourner les barillets dans la direction VIII, VIII, IX ; que ce mouvement ne dérange rien à l’effet de la machine ; mais qu’il ne faut pas qu’ils ayent la liberté de rétrograder ; & c’est aussi la fonction du cliquet supérieur C de la leur ôter.

Il permet, comme on voit, aux roues de tourner dans le sens VIII, VIII, IX : mais il les empêche de tourner dans le sens contraire.

6°. Que les roues ne pouvant tourner que dans la direction VIII, VIII, IX, c’est de la ligne ou rangée de chiffres inférieure des barillets qu’il faut se servir pour écrire un nombre ; par conséquent pour faire l’addition ; par conséquent encore pour faire la multiplication ; & que comme les chiffres des rangées sont dans un ordre renversé, la soustraction se doit faire sur la rangée supérieure, & par consequent aussi la division.

Mais tous ces corollaires s’éclairciront davantage par l’usage de la machine, & la maniere de faire les opérations.

Mais avant que de passer aux opérations, nous ferons observer encore une fois que chaque roue 6, 7, fig. 4. a sa correspondante 4, 5, fig. 2. & chaque roue 4, 5, son cercle mobile Q ; que chaque roue 8, 9, a son cliquet supérieur, & son cliquet inférieur ; que ces deux cliquets ont une de leurs fonctions commune ; c’est d’empêcher les roues VIII, IX, 8, 9, &c. de rétrograder ; enfin, que le talon 1, pratiqué au cliquet inférieur, lui est essentiel.

Usages de la machine arithmétique pour l’addition. Commencez par couvrir de la bande PR, la rangée supérieure d’ouvertures, en sorte que cette bande soit dans l’état où vous la voyez fig. 1. mettez ensuite toutes les roues de la bande inférieure ou rangée à zero ; & soient les sommes à ajoûter

| 69 | 7 | 8 |
| - | - | - |
| 584 | 15 | 6 |
| 342 | 12 | 9 |

Prenez le conducteur ; portez sa pointe dans la huitieme denture du cercle Q le plus à la droite ; faites tourner ce cercle jusqu’à ce que l’arrêt ou la potence S vous empêche d’avancer.

Passez à la roue des sous, ou au cercle Q qui suit immédiatement celui sur lequel vous avez opéré, en allant de la droite à la gauche ; portez la pointe du conducteur dans la septieme denture, à compter depuis la potence ; faites tourner ce cercle jusqu’à ce que la potence S vous arrête ; passez aux livres, aux dixaines, & faites la même opération sur leurs cercles Q.

En vous y prenant ainsi, votre premiere somme sera évidemment écrite : opérez sur la seconde, précisément comme vous avez fait sur la premiere, sans vous embarrasser des chiffres qui se présentent aux ouvertures ; puis sur la troisieme. Après votre troisieme opération, remarquez les chiffres qui paroîtront aux ouvertures de la ligne YZ, ils marqueront la somme totale de vos trois sommes partielles.

Démonstration. Il est évident que si vous faites tourner le cercle Q des deniers de huit parties, vous aurez 8 à l’ouverture correspondante à ce cercle : il est encore évident que si vous faites tourner le même cercle de six autres parties, comme il est divisé en douze, c’est la même chose que si vous l’aviez fait tourner de douze parties, plus 2 : mais en le faisant tourner de douze, vous auriez remis à zéro le barillet des deniers correspondant à ce cercle des deniers, puisqu’il eût fait un tour exact sur lui-même : mais il n’a pû faire un tour sur lui-même, que le second barillet, ou celui des sous, n’ait tourné d’un vingtieme ; & par conséquent mis le chiffre 1 à l’ouverture des sous. Mais le chiffre des deniers n’a pû rester à o ; car ce n’est pas seulement de douze parties que vous l’avez fait tourner, mais de douze parties plus deux. Vous avez donc fait en sus comme si le barillet des deniers étant à zéro, & celui des sous à 1, vous eussiez fait tourner le cercle Q des deniers de deux dentures : mais en faisant tourner le cercle Q des deniers de deux dentures, on met le barillet des deniers à 2, où ce barillet présente 2 à son ouverture. Donc le barillet des deniers offrira 2 à son ouverture, & celui des sous 1 : mais 8 deniers & 6 deniers font 14 deniers, ou un sou, plus 2 deniers ; ce qu’il falloit en effet ajoûter, & ce que la machine a donné. La démonstration sera la même pour tout le reste de l’opération.

Exemple de soustraction. Commencez par baisser la bande PR sur la ligne XY d’ouvertures inférieures ; écrivez la plus grande somme sur les ouvertures de la ligne supérieure, comme nous l’avons prescrit pour l’addition, par le moyen du conducteur ; faites l’addition de la somme à soustraire, ou de la plus petite avec la plus grande, comme nous l’avons prescrit à l’exemple de l’addition : cette addition faite, la soustraction le sera aussi. Les chiffres qui paroîtront aux ouvertures, marqueront la différence des deux sommes, ou l’excès de la grande sur la petite ; ce que l’on cherchoit.

| Soit | 9121 | 9 | 2 |
| - | - | - | - |
| dont il faut soustraire | 8989 | 19 | 11 |

Si vous exécutez ce que nous vous avons prescrit, vous trouverez aux ouvertures 131 9 3.

Démonstration. Quand j’écris le nombre 9121 liv. 9 s. 2 d. pour faire paroître 2 à l’ouverture des deniers, je suis obligé de faire passer avec le directeur, onze dentures du cercle Q des deniers ; car il y a à la rangée supérieure du barillet des deniers onze termes depuis o jusqu’à 2 : si à ce 2 j’ajoûte encore 11, je tomberai sur 3 ; car il faut encore que je fasse faire onze dentures aux cercles Q : or comptant 11 depuis 2, on tombe sur 3. La démonstration est la même pour le reste. Mais remarquez que le barillet des deniers n’a pu tourner de 22, sans que-le barillet des sous n’ait tourné d’un vingtieme, ou de douze deniers. Mais comme à la rangée d’enhaut les chiffres vont en rétrogradant dans le sens que les barillets tournent ; à chaque tour du barillet des deniers, les chiffres du barillet des sous diminuent d’une unité ; c’est-à-dire, que l’emprunt que l’on fait pour un barillet est acquitté sur l’autre, ou que la soustraction s’exécute comme à l’ordinaire.

Exemple de multiplication. Revenez aux ouvertures inférieures ; faites remonter la bande PR sur les ouvertures supérieures ; mettez toutes les roues à zéro, par le moyen du conducteur, comme nous avons dit plus haut. Ou le multiplicateur n’a qu’un caractere, ou il en a plusieurs ; s’il n’a qu’un caractere, on écrit, comme pour l’addition, autant de fois le multiplicande, qu’il y a d’unités dans ce chiffre du multiplicateur : ainsi la somme 1245 étant à multiplier par 3, j’écris ou pose trois fois cette somme à l’aide de mes roues & des cercles Q ; après la derniere fois, il paroît aux ouvertures 3735, qui est en effet le produit de 1245 par 3.

Si le multiplicateur a plusieurs caracteres, il faut multiplier tous les chiffres du multiplicande par chacun de ceux du multiplicateur, les écrire de la même maniere que pour l’addition : mais il faut observer au second multiplicateur de prendre pour premiere roue celle des dixaines.

La multiplication n’étant qu’une espece d’addition, & cette regle se faisant évidemment ici par voie d’addition, l’opération n’a pas besoin de démonstration.

Exemple de division. Pour faire la division il faut se servir des ouvertures supérieures ; faites donc descendre la bande PR sur les inférieures ; mettez à zéro toutes les roues fixées sur cette bande, & qu’on appelle roues de quotient ; faites paroître aux ouvertures votre nombre à diviser, & opérez comme nous allons dire.

Soit la somme 65 à diviser par cinq ; vous dites, en 6, cinq y est, & vous ferez tourner votre roue comme si vous vouliez additionner 5 & 6 ; cela fait, les chiffres des roues supérieures allant toûjours en rétrogradant, il est évident qu’il ne paroîtra plus que 1 à l’ouverture où il paroissoit 6 ; car dans 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 ; 1 est le cinquieme terme après 6.

Mais le diviseur 5 n’est plus dans 1, marquez donc 1 sur la roue des quotiens, qui répond à l’ouverture des dixaines ; passez ensuite à l’ouverture des unités, ôtez-en 5 autant de fois qu’il sera possible, en ajoûtant 5 au caractere qui paroît à-travers cette ouverture, jusqu’à ce qu’il vienne à cette ouverture ou zéro, ou un nombre plus petit que cinq, & qu’il n’y ait que des zéros aux ouvertures qui précédent : à chaque addition faites passer l’aiguille de la roue des quotiens qui est au-dessous de l’ouverture des unités, du chiffre 1 sur le chiffre 2, sur le chiffre 3, en un mot sur un chiffre qui ait autant d’unités que vous ferez de soustractions : ici après avoir ôté trois fois 5 du chiffre qui paroissoit à l’ouverture des unités, il est venu zéro ; donc 5 est 13 fois en 65.

Il faut observer qu’en ôtant ici une fois 5 du chiffre qui paroît aux unités, il vient tout de suite 0 à cette ouverture ; mais que pour cela l’opération n’est pas achevée, parce qu’il reste une unité à l’ouverture des dixaines, qui fait avec le zéro qui suit 10, qu’il faut épuiser ; or il est évident que 5 ôté deux fois de 10, il ne restera plus rien ; c’est-à-dire que pour exhaustion totale, ou que pour avoir zéro à toutes les ouvertures, il faut encore soustraire 5 deux fois.

Il ne faut pas oublier que la soustraction se fait exactement comme l’addition, & que la seule différence qu’il y ait, c’est que l’une se fait sur les nombres d’en-bas, & l’autre sur les nombres d’en-haut.

Mais si le diviseur a plusieurs caracteres, voici comment on operera : soit 9989 à diviser par 124, on ôtera 1 de 9, chiffre qui paroît à l’ouverture des mille ; 2 du chiffre qui paroît à l’ouverture des centaines ; 4 du chiffre qui paroîtra à l’ouverture des dixaines, & l’on mettra l’aiguille des cercles de quotient, qui répond à l’ouverture des dixaines, sur le chiffre 1. Si le diviseur 124 peut s’ôter encore une fois de ce qui paroîtra, après la premiere soustraction, aux ouvertures des mille, des centaines, & des dixaines, on l’ôtera & on tournera l’aiguille du même cercle de quotient sur 2, & on continuera jusqu’à l’exhaustion la plus complete qu’il sera possible ; pour cet effet il faudra réitérer ici la soustraction huit fois sur les trois mêmes ouvertures ; l’aiguille du cercle du quotient qui répond aux dixaines, sera donc sur 8, & il ne se trouvera plus aux ouvertures que 69, qui ne peut plus se diviser par 124 ; on mettra donc l’aiguille du cercle de quotient, qui répond à l’ouverture des unités, sur 0, ce qui marquera que 124 ôté 80 fois de 9989, il reste ensuite 69.

Maniere de réduire les livres en sous, & les sous en deniers. Réduire les livres en sous, c’est multiplier par 20 les livres données ; & réduire les sous en deniers, c’est multiplier par douze. V. Multiplication.

Convertir les sous en livres & les deniers en sous, c’est diviser dans le premier cas par 20, & dans le second par douze. Voyez Division.

Convertir les deniers en livres, c’est diviser par 240. Voyez Division.

Il parut en 1725 une autre machine arithmétique, d’une composition plus simple que celle de M. Pascal, & que celles qu’on avoit déjà faites à l’imitation ; elle est de M. de l’Épine ; & l’Académie a jugé qu’elle contenoit plusieurs choses nouvelles & ingénieusement pensées. On la trouvera dans le recueil des machines : on y en verra encore une autre de M. de Boitissendeau, dont l’Académie fait aussi l’éloge. Le principe de ces machines une fois connu, il y a peu de mérite à les varier : mais il falloit trouver ce principe ; il falloit s’appercevoir que si l’on fait tourner verticalement de droite à gauche un barillet chargé de deux suites de nombres placées l’une au-dessus de l’autre, en cette sorte,

| 0, | 9, | 8, | 7, | 6 ; | &c. |
| - | - | - | - | - | - |
| 9, | 0, | 1, | 2, | 3 ; | &c. |

l’addition se faisoit sur la rangée supérieure, & la soustraction sur l’inférieure, précisément de la même maniere.

