Marche de Jarvis
# Marche de Jarvis

En géométrie algorithmique, la marche de Jarvis est un algorithme pour calculer l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points. L'idée de l'algorithme est d' « envelopper » l'ensemble de points dans un « papier cadeau » : on accroche ce papier à l'un des points, on le tend, puis on tourne autour du nuage de point.

## Principe

Soit $p_{0}$ le point initial, par exemple le point d'abscisse minima, où on accroche le papier.

Le premier point rencontré par le papier sera $p_{1}$, puis $p_{2}$... jusqu'à retrouver $p_{0}$.

Plus formellement, il s'agit pour chaque nouveau sommet $p_{i}$ de l'enveloppe convexe trouvé, de chercher le suivant en calculant le point d'angle polaire minimal par rapport à $p_{i}$.

En pratique, on divise le parcours en deux : à partir du point d'abscisse minimale, puis à partir du point d'abscisse maximale.

## L'algorithme

La ligne (1) s'effectue de la manière suivante :

Le cas pointAGauche=p est une situation assez rare, qui peut intervenir lorsqu'on étudie le second point candidat de E, et qu'aucun meilleur pointAGauche n'a encore été trouvé dans la boucle. Le corps de la boucle répéter - jusqu'à est exécuté autant de fois qu'il y a de points dans l'enveloppe convexe. La ligne (1) est en $O(n)$. D'où une complexité en $O(nh)$, où $h$ représente le nombre de sommets de l'enveloppe convexe.

## Complexité

La boucle interne vérifie tous les point dans l'ensemble E, et la boucle externe se répète pour chaque point de l'enveloppe. Donc le nombre total de tour de boucle est en $O(nh)$. Le temps d'exécution dépend de la taille de la sortie, on dit alors qu'il s'agit d'un algorithme sensible à la sortie.

Cependant, comme le temps d'exécution dépend linéairement du nombre d'arêtes de l'enveloppe, la marche de Jarvis peut être plus rapide que des algorithmes en $O(n\log n)$ (comme Parcours de Graham) lorsque le nombre h d'arêtes de l'enveloppe est plus petit que $\log(n)$. L'algorithme de Chan, un autre algorithme d'enveloppe convexe, combine la dépendance logarithmique de l'algorithme de Graham avec la sensibilité à la sortie de la marche de Jarvis, lui permettant d'atteindre une complexité en temps en $O(n\log h)$.

## Lien externe

(fr) , Cours de l'université de Montpellier 2

