Transformation de Hankel
# Transformation de Hankel

En mathématiques, la transformation de Hankel, ou transformation de Fourier-Bessel, exprime une fonction donnée f(r) comme l'intégrale pondérée de fonctions de Bessel du premier type $J_ν(kr).$ Les fonctions de Bessel dans la somme sont toutes du même ordre ν, mais diffèrent par un facteur k sur l'axe radial. Le coefficient nécessaire $F_ν$ de chaque fonction de Bessel dans la somme, vu comme une fonction du facteur d'échelle k, constitue la transformée.

Cette transformation peut être vue pour l'ordre $\nu =0$ comme la transformation de Fourier d'une fonction $f(r,\theta )=f(r)$ définie sur un espace de dimension 2, muni d'un système de coordonnées circulaires $(r,\theta )$ indépendante de l'angle $\theta$ et ne dépendant donc que de la coordonnée radiale $r$. Elle est donc tout particulièrement utilisée pour résoudre les équations linéaires de fonctions à deux dimensions à symétrie radiale.

## Définition

La transformation de Hankel d'ordre ν d'une fonction f(r) est donnée par :

    $F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\operatorname {d} \!r$

où $J_ν$ est la fonction de Bessel du premier type d'ordre ν, avec ν ≥ − $^1⁄_2.$ La transformation de Hankel inverse de $F_ν(k)$ est définie par :

    $f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k\operatorname {d} \!k.$

L'équivalence peut être obtenue par l'utilisation de l'orthogonalité des fonctions de Bessel.

### Domaine de définition

La transformation de Hankel d'une fonction f(r) est valide en tout point où f(r) est continu, supposant que la fonction est définie sur (0, ∞), qu'elle y est continue par morceaux et de variation bornée sur tout sous-intervalle de (0, ∞), et qu'elle vérifie

    $\int _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{\frac {1}{2}}\operatorname {d} \!r<\infty .$

Cependant, comme la transformation de Fourier, le domaine peut être étendu par un argument de densité pour inclure des fonctions pour lesquelles l'intégrale précédente n'est pas définie, par exemple $f(r)=(1+r)^{-3/2}$.

## Orthogonalité

Les fonctions de Bessel forment une base orthogonale pour le produit scalaire suivant :

    $\int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)r\operatorname {d} \!r={\frac {\delta (k-k')}{k}},\qquad k,k'>0.$

## Application des théorèmes de Parseval et Plancherel

Soient f(r) et g(r) deux fonctions de transformées de Hankel respectives $F_ν(k)$ et $G_ν(k).$ Si celles-ci sont bien définies, alors le théorème de Plancherel donne

    $\int _{0}^{\infty }f(r)g(r)r\operatorname {d} \!r=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)k\operatorname {d} \!k.$

En particulier, le théorème de Parseval donne :

    $\int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}r\operatorname {d} \!r=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}k\operatorname {d} \!k,$

Ces deux résultats se déduisent simplement de la propriété d'orthogonalité.

## Relation avec les autres transformations intégrales

### Avec la transformation de Fourier

La transformation de Hankel d'ordre 0 est essentiellement la transformation de Fourier sur un espace de dimension 2 d'une fonction ayant une symétrie circulaire.

En effet, considérons une fonction  f (r) du vecteur radial r sur un espace de dimension 2. Sa transformée de Fourier est alors :

    $F(\mathbf {k} )=\iint f(\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\operatorname {d} \!\mathbf {r} .$

Sans perte de généralité, on munit l'espace d'un système de coordonnées polaires (r, θ) tel que le vecteur k soit sur l'axe θ = 0. La transformée de Fourier se réécrit alors:

    $F(\mathbf {k} )=\int _{r=0}^{\infty }\int _{\theta =0}^{2\pi }f(r,\theta )e^{ikr\cos(\theta )}\,r\operatorname {d} \!\theta \operatorname {d} \!r$

où θ désigne l'angle entre les vecteurs k et r. Si la fonction  f  présente une symétrie circulaire, elle est indépendante de la variable θ et peut se réécrire  f (r). L'intégration sur θ se simplifie et il reste :

    $F(\mathbf {k} )=F(k)=2\pi \int _{0}^{\infty }f(r)J_{0}(kr)r\operatorname {d} \!r$

ce qui correspond à 2π fois la transformée de Hankel d'ordre 0 de  f (r). Quant à la transformation inverse,

    $f(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint F(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\operatorname {d} \!\mathbf {k} ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }F(k)J_{0}(kr)k\operatorname {d} \!k$

donc  f (r) est la transformée de Hankel inverse d'ordre 0 de $^1⁄_{2π}F(k).$

On peut généraliser au cas où  f  est développée en série multipolaire,

    $f(r,\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }f_{m}(r)e^{im\theta },$

et si $θ_k$ est l'angle entre la direction de k et l'axe θ = 0, alors

    ${\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&=\int _{0}^{\infty }r\operatorname {d} \!r\,\int _{0}^{2\pi }\operatorname {d} \!\theta \,f(r,\theta )e^{ikr\cos(\theta -\theta _{k})}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{m}\int _{0}^{\infty }r\operatorname {d} \!r\,\int _{0}^{2\pi }\operatorname {d} \!\theta \,f_{m}(r)e^{im\theta }e^{ikr\cos(\theta -\theta _{k})}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }r\operatorname {d} \!r\,f_{m}(r)\int _{0}^{2\pi }\operatorname {d} \!\varphi \,e^{im\varphi }e^{ikr\cos \varphi }&&\varphi =\theta -\theta _{k}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }r\operatorname {d} \!r\,f_{m}(r)2\pi i^{m}J_{m}(kr)\\&={\sqrt {2\pi }}\sum _{m}i^{m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }f_{m}(r)J_{m}(kr)r\operatorname {d} \!r.\\&={\sqrt {2\pi }}\sum _{m}i^{m}e^{im\theta _{k}}\sum _{t}f_{mt}\int _{0}^{R}r^{m}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t}J_{m}(kr)r\operatorname {d} \!r&&(*)\\&={\sqrt {2\pi }}\sum _{m}i^{m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{mt}\int _{0}^{1}x^{m}(1-x^{2})^{t}J_{m}(kxR)x\operatorname {d} \!x&&x={\tfrac {r}{R}}\\&={\sqrt {2\pi }}\sum _{m}i^{m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{mt}{\frac {t!2^{t}}{(kR)^{1+t}}}J_{m+t+1}(kR).\end{aligned}}$

Le terme (∗) vient du fait que si  $f_m$  est assez lisse près de l'origine et nulle en dehors d'une boule de rayon R, elle peut être développée en série de Tchebychev,

    $f_{m}(r)=r^{m}\sum _{t\geq 0}f_{mt}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t},\qquad 0\leq r\leq R.$

L'aspect important du point de vue numérique est que les coefficients du développement  $f_{mt}$  peuvent être obtenus par des techniques similaires à une transformation de Fourier discrète.

### Avec les transformations de Fourier et Abel

La transformée de Hankel est un membre du cycle Abel-Fourier-Hankel d'opérateurs intégraux. En deux dimensions, si on note A l'opérateur de la transformation d'Abel, F comme l'opérateur de la transformation de Fourier et H l'opérateur de la transformation de Hankel d'ordre 0, alors le théorème de la tranche centrale (en) appliquées aux fonctions ayant une symétrie circulaire donne :

    $FA=H.$

Ainsi, la transformation de Hankel d'ordre 0 d'une fonction revient à une transformation d'Abel d'une fonction 1D puis à une transformation de Fourier.

## Quelques transformées de Hankel

On se réfère à l'ouvrage de Papoulis.

| $f(r)\,$ | $F_{0}(k)\,$ |
| - | - |
| $1\,$ | ${\tfrac {\delta (k)}{k}}$ |
| ${\tfrac {1}{r}}$ | ${\tfrac {1}{k}}$ |
| $r\,$ | $-{\tfrac {1}{k^{3}}}$ |
| $r^{3}\,$ | ${\tfrac {9}{k^{5}}}$ |
| $r^{m}\,$ | ${\frac {2^{m+1}\Gamma \left({\tfrac {m}{2}}+1\right)}{k^{m+2}\Gamma \left(-{\tfrac {m}{2}}\right)}},\qquad -2<\Re (m)<-{\tfrac {1}{2}}$ |
| ${\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\,$ | ${\frac {e^{-k|z|}}{k}}={\sqrt {\frac {2|z|}{\pi k}}}K_{-{\tfrac {1}{2}}}(k|z|)\,$ |
| ${\frac {1}{r^{2}+z^{2}}}$ | $K_{0}(kz)\qquad z\in \mathbf {C}$ |
| ${\tfrac {e^{iar}}{r}}$ | ${\frac {i}{\sqrt {a^{2}-k^{2}}}}\qquad a>0,k<a.$ |
| $e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}r^{2}}$ | ${\frac {1}{a^{2}}}e^{-{\tfrac {k^{2}}{2a^{2}}}}$ |
| $-r^{2}f(r)\,$ | ${\frac {\operatorname {d} ^{2}\!F_{0}}{\operatorname {d} \!k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\operatorname {d} \!F_{0}}{\operatorname {d} \!k}}$ |
| $f(r)\,$ | $F_{\nu }(k)\,$ |
| $r^{s}\,$ | ${\frac {2^{s+1}}{k^{s+2}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}$ |
| $r^{\nu -2s}\Gamma \left(s,r^{2}h\right)\,$ | ${\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4h}}\right)\,$ |
| $e^{-r^{2}}r^{\nu }U\left(a,b,r^{2}\right)\,$ | ${\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{2\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{\nu }e^{-{\frac {k^{2}}{4}}}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4}}\right)$ |
| $-r^{2}f(r)\,$ | ${\frac {\operatorname {d} ^{2}\!F_{\nu }}{\operatorname {d} \!k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\operatorname {d} \!F_{\nu }}{\operatorname {d} \!k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}F_{\nu }$ |

$K_n(z)$ est la fonction de Bessel modifiée du second type. L'expression

    ${\frac {\operatorname {d} ^{2}\!F_{0}}{\operatorname {d} \!k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\operatorname {d} \!F_{0}}{\operatorname {d} \!k}}$

correspond à l'opérateur de Laplace en coordonnées polaires (k, θ) appliquée à une fonction ayant une symétrie sphérique $F_0(k).$

Les transformées de Hankel des polynômes de Zernike sont des fonctions de Bessel (Noll 1976):

    $R_{n}^{m}(r)=(-1)^{\frac {n-m}{2}}\int _{0}^{\infty }J_{n+1}(k)J_{m}(kr)\operatorname {d} \!k$

pour tous n − m ≥ 0.

