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Loi de composition interne
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Loi de composition interne : encyclopédie mathématiques
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En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre générale, une loi de composition interne est une application qui, à deux éléments d'un ensemble E, associe un élément de E. Autrement dit, c'est une opération binaire[1] qui laisse E stable.
L'addition et la multiplication dans l'ensemble des entiers naturels sont des exemples classiques de lois de composition internes.
Les lois de composition internes et externes servent à définir les structures algébriques, qui occupent une place privilégiée en algèbre générale.
3 Définition formelle
4 Éléments particuliers
4.1 Composé de deux éléments et composé réciproque
4.2 Carrés et dérivés
4.3 Neutres et dérivés
4.4 Absorbants et dérivés
4.5 Centre d'une structure
4.6 Réguliers et dérivés
4.7 Paires d'éléments
5.1 Existence d’éléments remarquables
5.2 Régularité et propriétés liées
5.3 Associativité et propriétés analogues
5.4 Autres propriétés
6 Inversibilité
7 Nombre de lois de composition internes sur un ensemble à n éléments
10 Références
Nous avons tous depuis le primaire une assez bonne idée de la notion d'opérations telles que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division. Une opération (interne) dans un ensemble est une relation interne dans cet ensemble, qui, à deux éléments quelconques de cet ensemble, appelés opérandes, en associe éventuellement un troisième, unique, nommé résultat, toujours dans ce même ensemble.
Pour que l’opération considérée soit effectivement une loi de composition interne, il faut qu’elle ait un sens quels que soient les deux éléments de l’ensemble choisis (on dit formellement que l'opération doit être définie partout). Ainsi :
la division n’est pas une loi d