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mathématiquesLes mystères du nombre emathématiques - 01/12/2007 par Benoît Rittaud dans mensuel n°414 à la page 26 (463 mots) | Gratuit
Dans le panthéon des nombres, aux côtés du nombre p, de Ï2 ou du nombre d'or, il y a e, la base des logarithmes népériens. Toutes ses approximations se valent-elles ?
Elle vaut environ 2,718, mais compte en réalité une infinité de nombres après la virgule. La base des logarithmes népériens, appelée e , peut se définir de plusieurs façons. Mais si ses définitions sont équivalentes, sont-elles toutes aussi performantes quand on veut approcher e par des fractions ? C'est la question que s'est posée Jonathan Sondow, de l'université de Princeton [1] . La définition la plus courante est la somme infinie des « inverses des factorielles », c'est-à-dire des nombres de la forme 1/ n ! où n ! « factorielle n » est le produit de tous les entiers de 1 à n , avec la convention 0 ! = 1. On a ainsi e = 1/1 + 1/1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 +... Si cette définition de e est la plus naturelle et la plus simple, il en existe une autre, fondée sur le « développement en fraction continue ». Un nombre x étant donné, le développement en fraction continue de x est de la forme a + 1/ b + 1/ c + 1/ d +..., où a , b , c , d ... sont des entiers positifs, appelés les « quotients partiels » de x . Il s'agit là d'une représentation alternative à l'écriture décimale à laquelle nous sommes plus habitués. Elle présente l'avantage de cerner mieux la nature mathématique des nombres. En particulier, contrairement aux décimales de e qui ne montrent aucune régularité apparente, les quotients partiels de e sont donnés par une règle très simple : 2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, etc. La série des inverses des factorielles et le développement en fraction continue donnent des approximations par des fractions : il suffit pour cela de considérer quelques-uns des premiers termes de la série, ou la fraction obtenue à partir des premiers quotients partiels. Étant donné que les deux définitions de e expriment des propriétés profondes de base des logarithmes népériens, on pourrait s'attendre à trouver des liens entre les approximations par des fractions qui s'en déduisent. C'est pourtant le contraire qui se produit : selon Jonathan Sondow, ces approximations ne coïncident que dans quelques rares cas. Sa démonstration repose sur une estimation du « degré d'irrationalité de e », c'est-à-dire une estimation de la qualité avec laquelle on peut approcher e par des fractions, estimation qu'il avait réalisée l'an passé [2] . Ce résultat conforte la conjecture, confirmée par tous les tests informatiques, selon laquelle il n'y aurait en réalité que deux fractions à savoir 2/1 et 8/3 qui apparaissent simultanément dans la liste des approximations donnée par la série et dans celle donnée par le développement en fraction continue.
Par Benoît RittaudVous devez vous identifier ou créer un compte pour réagir à cet article
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