Dodecaedro truncado
# Dodecaedro truncado

Dodecaedro truncado :

| Grupo | Sólidos de Arquímedes |
| - | - |
| Número de caras | 32 |
| Polígonos que forman las caras | 20 triángulos equiláteros 12 Decágonos Equiláteros |
| Número de aristas | 90 |
| Número de vértices | 60 |
| Tipo de Vértice | Uniforme de Orden 3 |
| Caras relacionadas en los vértices | 2 Decágonos 1 Triángulo |
| Simetría | Icosaédrica $(I_h)$ |
| Poliedro dual | Triaquisicosaedro |
| Propiedades | Poliedro convexo, de vértices uniformes |
| Desarrollo del dodecaedro truncado ||

El dodecaedro truncado es un sólido de Arquímedes que se obtiene truncando cada vértice de un dodecaedro. Posee 12 caras regulares decagonales, 20 caras regulares triangulares, 60 vértices y 90 aristas.

## Relaciones geométricas

Este poliedro se puede formar a partir de un dodecaedro regular mediante truncado (cortando sus esquinas), de modo que las caras pentagonales se conviertan en decágonos y las esquinas se conviertan en triángulos equiláteros.

Se utiliza en el teselado celdas-transitivo que llena el espacio hiperbólico, el panal icosaédrico bitruncado.

## Área y volumen

El área A y el volumen V de un dodecaedro truncado de longitud de arista a son:

    ${\begin{aligned}A&=5\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}&&\approx 100.990\,76a^{2}\\V&={\tfrac {5}{12}}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)a^{3}&&\approx 85.039\,6646a^{3}\end{aligned}}$

## Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas para los vértices de un dodecaedro truncado con longitud de arista 2φ − 2, centrado en el origen, son todas las permutaciones pares de:

    (0, ±1/φ, ±(2 + φ))
    (±1/φ, ±φ, ±2φ)
    (±φ, ±2, ±(φ + 1))

donde φ = 1 + √5/2 es el número áureo.

## Proyecciones ortogonales

El dodecaedro truncado tiene cinco proyecciones ortogonales especiales, centradas en: un vértice, en dos tipos de aristas y dos tipos de caras. Los dos últimos corresponden a los planos de Coxeter $A_2$ y $H_2.$

Proyecciones ortogonales :

| Centradas en | Vértices | Arista 3-3 | Arista 10-10 | Cara triangular | Cara Decagonal |
| - | - | - | - | - | - |
| Sólido | | | | | |
| Alámbrico | | | | | |
| Simetría proyectiva | [2] | [2] | [2] | [6] | [10] |
| Dual | | | | | |

## Teselaciones esféricas y diagramas de Schlegel

El dodecaedro truncado también se puede representar como un poliedro esférico y proyectarse sobre el plano a través de una proyección estereográfica. Esta proyección es conforme, preservando los ángulos pero no las áreas ni las longitudes. Las líneas rectas sobre la esfera se proyectan como arcos circulares sobre el plano.

Los diagramas de Schlegel son similares, con una proyección perspectiva y aristas rectas.

| Proyección ortogonal | Proyecciones estereográficas | Proyecciones estereográficas |
| - | - | - |
| | Centrada en decágono | Centrada en triángulo |

## Disposición de vértices

Comparte su disposición de vértices con tres poliedros uniformes estrellados:

| Dodecaedro truncado | Gran icosicosidodecaedro | Gran dodecicosidodecaedro ditrigonal | Gran dodecicosaedro |
| - | - | - | - |

## Poliedros y teselados relacionados

Es parte de un proceso de truncamiento entre un dodecaedro y un icosaedro:

Familia de poliedros icosaédricos uniformes :

| Simetría:, (*532) | Simetría:, (*532) | Simetría:, (*532) | Simetría:, (*532) | Simetría:, (*532) | Simetría:, (*532) | Simetría:, (*532) | $[5,3]^+,$ (532) |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| {5,3} | t{5,3} | r{5,3} | t{3,5} | {3,5} | rr{5,3} | tr{5,3} | sr{5,3} |
| Duales de los poliedros uniformes ||||||||
| V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |

Este poliedro está topológicamente relacionado como parte de la secuencia de poliedros uniformes truncados con configuración de vértices (3.2n.2n) y simetría [n,3] del grupo de Coxeter.

*Mutación de simetría n32 de teselados esféricos truncados: t{n,3} :

| Simetría *n32 [n,3] | Esférica | Esférica | Esférica | Esférica | Euclídea | Hiperbólica compacta | Hiperbólica compacta | Paracompacta |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| Simetría *n32 [n,3] | *232 [2,3] | *332 [3,3] | *432 [4,3] | *532 [5,3] | *632 [6,3] | *732 [7,3] | *832 [8,3]... | *∞32 [∞,3] |
| Formas truncadas | | | | | | | | |
| Símbolo | t{2,3} | t{3,3} | t{4,3} | t{5,3} | t{6,3} | t{7,3} | t{8,3} | t{∞,3} |
| Triaquis figuras | | | | | | | | |
| Config. | V3.4.4 | V3.6.6 | V3.8.8 | V3.10.10 | V3.12.12 | V3.14.14 | V3.16.16 | V3.∞.∞ |

## Grafo del dodecaedro truncado

En el campo de la teoría de grafos, el grafo del dodecaedro truncado es el esquema de vértices y aristas del dodecaedro truncado, uno de los sólidos arquimedianos. Tiene 60 vértices y 90 líneas, y es un grafo arquimediano cúbico.

* Circular
