Poliedro
# Poliedro

Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego antiguo πολύεδρον (polyedron), de la raíz πολύς (polys), «muchas» y de ἕδρα (hedra), «base», «asiento», «cara».

Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro es el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que se puede definir un poliedro como un politopo tridimensional.

## Definición

La definición más común de poliedro es la de una región acotada del espacio, delimitada solamente por polígonos planos.

Sin embargo, la definición puede cambiar dependiendo de si se interpreta un poliedro como un volumen, como los polígonos que lo delimitan, o como únicamente los segmentos que conforman el esqueleto del poliedro.

Esta y otras variaciones en la definición permiten la inclusión de otros términos, tales como las estelaciones, teselaciones, caras oblicuas, geometría no euclidiana, etc.

## Denominación de los poliedros

El nombre dado a un poliedro depende de las propiedades del poliedro que sean relevantes en el contexto en que se esté mencionando.

Normalmente el nombre incluye:

* alguna cualidad acerca de las caras del poliedro, como su número (tetraedro (4), pentaedro (5), etc.); su forma (deltaedro (triangular), romboedro (rómbica), etc.); u otra cualidad
* propiedades que posea el poliedro (si es regular, toroidal, rómbico, etc.)
* transformaciones que han sido hechas en el poliedro (truncado, romo, estrellado, etc.)

## Criterios de clasificación de los poliedros

Los poliedros pueden clasificarse según varios criterios:

* Los poliedros convexos contienen en su interior todos los segmentos que unen dos puntos también contenidos en el poliedro. En el caso de que dicho segmento se salga del cuerpo se dice que son poliedros cóncavos, como es el caso de los poliedros toroidales y los sólidos de Kepler-Poinsot.
* Los poliedros de caras regulares tienen solo polígonos regulares como caras.
* Los poliedros isoedrales o transitivos de caras poseen bajo las simetrías del poliedro una equivalencia entre cualquier par de caras.
* Los poliedros isotoxales o transitivos de aristas poseen bajo las simetrías del poliedro una equivalencia entre cualquier par de aristas.
* Los poliedros isogonales o transitivos de vértices poseen bajo las simetrías del poliedro una equivalencia entre cualquier par de vértices.

Estos en conjunto definen algunas de las principales familias de poliedros: (Las propiedades en amarillo solo se encuentran en algunos (pero no todos) los poliedros de la familia.)

| Convexos | De caras regulares | Isoedrales | Isotoxales | Isogonales | Familia |
| - | - | - | - | - | - |
| Si | Si | No | No | No | Sólidos de Johnson |
| No nec. | Si | No | Si | Si | Poliedros cuasirregulares |
| No nec. | Si | No nec. | No nec. | Si | Poliedros uniformes |
| No nec. | No nec. | Si | No nec. | Si | Poliedros nobles |
| No nec. | Si | Si | Si | Si | Poliedros regulares |
| No | Si | Si | Si | Si | Sólidos de Kepler-Poinsot |
| Si | Si | Si | Si | Si | Sólidos platónicos |

## Clasificación según el número de caras

El nombre que se le asigna a un poliedro según su número de caras se compone de un prefijo numeral más el sufijo ‑edro. La siguiente lista muestra varios ejemplos:

| Nombre | Número de caras |
| - | - |
| Henaedro o monoedro | 1 |
| Diedro | 2 |
| Triedro | 3 |
| Tetraedro | 4 |
| Pentaedro | 5 |
| Hexaedro | 6 |
| Heptaedro | 7 |
| Octaedro u octoedro | 8 |
| Eneaedro o nonaedro | 9 |
| Decaedro | 10 |
| Endecaedro o undecaedro | 11 |
| Dodecaedro | 12 |
| Tridecaedro | 13 |
| Tetradecaedro | 14 |
| Pentadecaedro | 15 |
| Hexadecaedro | 16 |
| Heptadecaedro | 17 |
| Octadecaedro u octodecaedro | 18 |
| Eneadecaedro o nonadecaedro | 19 |
| Icosaedro o isodecaedro | 20 |
| Triacontaedro o tricontaedro | 30 |
| Tetracontaedro | 40 |
| Pentacontaedro o pentecontaedro | 50 |
| Hectaedro o hecatontaedro | 100 |
| Chiliaedro | 1.000 |
| Miriaedro | 10.000 |
| Decamiriaedro | 100.000 |
| Hectamiriaedro o megaedro | 1.000.000 |
| Gigaedro | 1.000.000.000 |
| Quettaedro | $10^{30}$ |
| Googoledro | $10^{100}$ |
| Apeiroedro | infinitos |
| n-edro | n |

* ↑ n puede ser cualquier constante o variable escrita por su nombre o en dígitos.

### Reglas de denominación

El prefijo numeral que forma parte de estos nombres se puede dividir según el dígito en el número de caras que es descrito por cada parte del prefijo.

Cada una de estas puede a su vez dividirse en dos partes: la primera (prefijo de dígito) indica el dígito al que se refiere (1, 2, 3, ..., hasta 9), y la segunda (prefijo de posición) indica la posición que lleva el dígito en el número de caras al que se refiere (decenas, centenas, etc.)

Además, se tiene que:

* Los 0s, la posición de los 1s y la del dígito en las unidades no se mencionan en el nombre
* Si el dígito en las decenas es un 1 o el número de caras termina en 12, las unidades se mencionan antes que las decenas
* El prefijo isodeca- puede reemplazarse por icosa-

La siguiente tabla muestra los distintos prefijos de dígito y de posición. Dependiendo de la posición del dígito correspondiente, los prefijos que se usan varían.

| Prefijo de dígito | Prefijo de dígito | Prefijo de dígito | Prefijo de dígito | Prefijo de dígito | Prefijo de posición | Prefijo de posición |
| - | - | - | - | - | - | - |
| Dígito | Posición del dígito correspondiente | Posición del dígito correspondiente | Posición del dígito correspondiente | Posición del dígito correspondiente | Posición | Prefijo |
| Dígito | Cualquiera | Unidades | Decenas | Centenas | Posición | Prefijo |
| 1 | | en-, hena-, mono- o un- | | | 10 | conta- o deca- |
| 2 | di- | do- | iso- | dia- | 100 | cosi-, hecatonta- o hecta- |
| 3 | tri- | | tria- | tria- | 1.000 | chilia- |
| 4 | tetra- | | | | 10.000 | miria- |
| 5 | penta- | | pente- | | 100.000 | decamiria- |
| 6 | hexa- | | hexe- | | 1.000.000 | hectamiria- o mega- |
| 7 | hepta- | | | | 10.000.000 | decamega- |
| 8 | octa- | octo- | | | 100.000.000 | hectamega- |
| 9 | enea- o nona- | | | | ... | ... |

* ↑ mono- solo se usa si el dígito en las decenas corresponde a 0, y en- o un- solo se usan si el dígito en las decenas es 1
* ↑ deca- se usa solo si el dígito en las decenas es 1 o 2, y conta- solo en caso contrario
* ↑ di- se usa solo si el dígito en las decenas es distinto 1 y el nombre no contiene el prefijo deca-
* ↑ do- se usa solo si el dígito en las decenas es 1
* ↑ dia- se usa en las centenas solo si el nombre contiene el prefijo cosi-
* ↑ hecatonta- se usa solo si el dígito correspondiente es 1, y cosi- solo en el caso contrario
* ↑ tria- se usa en las centenas solo si el nombre contiene el prefijo cosi-
* ↑ A partir del megaedro se utiliza el prefijo del SI correspondiente, y se añade antes el prefijo deca- o hecta- para especificar potencias de 10 intermedias.

## Familias de poliedros

### Poliedros regulares

Un poliedro regular es isoedral, isotoxal, isogonal, y todas sus caras son regulares. En total existen cinco poliedros regulares convexos, que corresponden a los sólidos platónicos; más 4 no convexos, que corresponden a los sólidos de Kepler-Poinsot y son estelaciones de sólidos platónicos; sumando 9 en total.

**Sólidos platónicos**

Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Solo existen cinco sólidos platónicos.

| Nombre | Símbolo de Schläfli | Configuración de vértices |
| - | - | - |
| Tetraedro | {3,3} | 3.3.3 |
| Cubo o hexaedro regular | {4,3} | 4.4.4 |
| Octaedro | {3,4} | 3.3.3.3 |
| Dodecaedro | {5,3} | 5.5.5 |
| Icosaedro | {3,5} | 3.3.3.3.3 |

**Sólidos de Kepler-Poinsot**

Los sólidos de Kepler-Poinsot o sólidos de Kepler son poliedros regulares y que, a diferencia de los sólidos platónicos, no son convexos. Solo hay cuatro de ellos y se obtienen como estelaciones del dodecaedro o del icosaedro.

| Nombre | Símbolo de Schläfli | Configuración de vértices |
| - | - | - |
| Gran dodecaedro | ${5,^5⁄_2}$ | $(5^5)/2$ |
| Pequeño dodecaedro estrellado | ${^5⁄_2,5}$ | $(^5⁄_2)^5$ |
| Gran icosaedro | ${3,^5⁄_2}$ | $(3^5)/2$ |
| Gran dodecaedro estrellado | ${^5⁄_2,3}$ | $(^5⁄_2)^3$ |

### Poliedros irregulares

Los poliedros irregulares son aquellos que tienen desigualdades entre sus caras, aristas y/o vértices.

**Sólidos arquimedianos**

Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos y uniformes pero no transitivos de caras, y no incluyen a la familia infinita de los poliedros prismáticos. Fueron ampliamente estudiados por Arquímedes. Algunos se obtienen truncando los sólidos platónicos. Solo hay trece sólidos arquimedianos.

| Nombre | Configuración de vértices |
| - | - |
| Tetraedro truncado | 3.6.6 |
| Cuboctaedro | 3.4.3.4 |
| Cubo truncado | 3.8.8 |
| Octaedro truncado | 4.6.6 |
| Rombicuboctaedro | 3.4.4.4 |
| Cuboctaedro truncado | 4.6.8 |
| Cubo romo | 3.3.3.3.4 |
| Icosidodecaedro | 3.5.3.5 |
| Dodecaedro truncado | 3.10.10 |
| Icosaedro truncado | 5.6.6 |
| Rombicosidodecaedro | 3.4.5.4 |
| Icosidodecaedro truncado | 4.6.10 |
| Dodecaedro romo | 3.3.3.3.5 |

**Prismas y antiprismas**

El resto de poliedros convexos y uniformes consiste de prismas y antiprismas, los cuales en conjunto llevan el nombre de poliedros prismáticos. Las familias de los prismas y antiprismas son ambas infinitas.

Todos los prismas uniformes se construyen con dos caras paralelas llamadas bases, directrices o caras directrices, y una serie de cuadrados, tantos como lados tenga la cara directriz. Por ejemplo, el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se compone de dos triángulos y tres cuadrados.

Los antiprismas uniformes también contienen dos directrices, pero en este caso van unidas por triángulos, donde la base de cada triángulo va unida a una arista de una de las bases del antiprisma, y el vértice del mismo triángulo va unido a un vértice de la otra base.

**Sólidos de Johnson**

El resto de los poliedros convexos de caras regulares está conformado por los sólidos de Johnson. Este es un grupo extenso de poliedros convexos de caras regulares y no uniformes. Solo uno de estos, el Pseudorrombicuboctaedro, tiene la misma configuración en todos sus vértices (pero no es transitivo de vértices). Los sólidos de Johnson fueron clasificados y ampliamente estudiados por el matemático Norman Johnson. Solo hay 92 sólidos de Johnson.

**Poliedros estrellados uniformes**

Los poliedros estrellados uniformes son una familia de poliedros no convexos, isogonales y de caras regulares. Contiene dos familias infinitas, los prismas estrellados y los antiprismas estrellados, más otros 57 poliedros, 4 de los cuales son los sólidos de Kepler-Poinsot.

### Otras familias de poliedros

**Sólidos de Catalan**

Corresponden a los duales de los sólidos de Arquímedes (el dual es básicamente el reemplazo de las caras por vértices y viceversa, de manera que las uniones entre los vértices del dual coincidan con las uniones entre las caras del poliedro original). Por ejemplo, el dual del icosaedro (de 20 caras y 12 vértices) es el dodecaedro (de 12 caras y 20 vértices), y viceversa. Los sólidos de Catalan son isoedrales, pero no de caras regulares.

* Nombre
* Tetraedro triakis
* Dodecaedro rómbico
* Triaquisoctaedro
* Tetraquishexaedro
* Icositetraedro deltoidal
* Disdiaquisdodecaedro
* Icositetraedro pentagonal
* Triacontaedro rómbico
* Triaquisicosaedro
* Pentaquisdodecaedro
* Hexacontaedro deltoidal
* Disdiaquistriacontaedro
* Hexecontaedro pentagonal

**Deltaedros**

Se llama deltaedros a los cuerpos que solo están formados por triángulos equiláteros. Solo hay ocho deltaedros convexos. Tres de ellos pertenecen a los sólidos platónicos: el tetraedro, el octaedro y el icosaedro; y los otros cinco a los sólidos de Johnson: la bipirámide triangular, la bipirámide pentagonal, la bipirámide cuadrada giroelongada, el biesfenoide romo y el prisma triangular triaumentado.

* Nombre
* Tetraedro
* Octaedro
* Icosaedro
* Bipirámide triangular
* Bipirámide pentagonal
* Biesfenoide romo
* Prisma triangular triaumentado
* Bipirámide cuadrada giroelongada

**Trapezoedros**

Los trapezoedros son los duales de los antiprismas.

## Generalizaciones de poliedros

### Apeiroedros

Se puede incluir como poliedros a aquellos que tienen una cantidad infinita de caras, llamados apeiroedros, entre los que se encuentran:

* Los teselados o teselaciones, las cuales son poliedros que llenan completamente el plano en el que se encuentran. Todos los ángulos diedros en una teselación son planos.
* Los poliedros oblicuos infinitos, los cuales tienen caras oblicuas o figuras de vértice oblicuas

### Poliedros en el espacio no euclidiano

También se puede extender el concepto de poliedro hacia espacios no euclidianos:

* Un poliedro esférico es una teselación en la superficie de la esfera, donde las aristas corresponden a geodésicas.
* También es posible teselar un espacio hiperbólico.
