Homeomorfismo
# Homeomorfismo

En topología, un homeomorfismo (del griego ὅμοιος (homoios) = misma y μορφή (morphē) = forma) es una función de un espacio topológico a otro, que cumple con ser una función biyectiva continua y cuya inversa es continua. En este caso, los dos espacios topológicos se dicen homeomorfos. Las propiedades de estos espacios que se conservan bajo homeomorfismos se denominan propiedades topológicas.

En la categoría de espacios topológicos, los morfismos son las funciones continuas y los isomorfismos son los homeomorfismos. Consecuentemente, la composición de dos homeomorfismos es de nuevo un homeomorfismo, y el conjunto de todos los homeomorfismos h:X → X de un espacio en sí mismo forman un grupo llamado grupo de homeomorfismos de X, que suele notarse como Homeo(X).

De modo intuitivo, el concepto de homeomorfismo refleja cómo dos espacios topológicos son «los mismos» vistos de otra manera: permitiendo estirar, doblar o cortar y pegar. Sin embargo, los criterios intuitivos de «estirar», «doblar», «cortar y pegar» requieren de cierta práctica para aplicarlos correctamente. Deformar un segmento de línea hasta un punto no está permitido, por ejemplo. Contraer de manera continua un intervalo hasta un punto es otro proceso topológico de deformación llamado homotopía.

## Definición

La definición de homeomorfismo es la siguiente:

* Homeomorfismo
* Sean $X$ e $Y$ espacios topológicos, y $f$ una función de $X$ a $Y$; entonces, $f$ es un homeomorfismo si se cumple que:
* $f$ es una biyección
* $f$ es continua
* La inversa de $f$ es continua

Si $f:X\to Y$ es un homeomorfismo, $X$ se dice homeomorfo a $Y$. Si dos espacios son homeomorfos entonces tienen exactamente las mismas propiedades topológicas. Desde el punto de vista de la teoría de categorías, dos espacios que son homeomorfos son iguales topológicamente hablando.

## Ejemplos

* Dos espacios dotados de la topología discreta son homeomorfos si y solo si tienen la misma cardinalidad.
* Si X es un espacio compacto e Y es un espacio de Hausdorff, entonces $f:X\to Y$ es un homeomorfismo si y solo si es f es una biyección continua. Esto es, no es necesario verificar que la inversa de f sea continua. Esta propiedad es útil en muchas situaciones.
* Una esfera n-dimensional a la que se le ha quitado un punto, $\mathbb {S} ^{n}\setminus \{x\}$, es homeomorfa al espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{n}$. El homeomorfismo puede ser construido a partir de la proyección estereográfica.

## Difeomorfismo

Un difeomorfismo es un homeomorfismo diferenciable entre variedades diferenciables cuya inversa también es diferenciable; es decir, es un isomorfismo de variedades diferenciables. Los cambios de coordenadas constituyen un caso particular de difeomorfismo.

Un ejemplo para distinguir entre homeomorfismo y difeomorfismo:

    Una circunferencia y el perímetro de un cuadrado son homeomorfos, pero no difeomorfos.

También:

    Dos curvas cualesquiera, en el espacio, son homeomorfas, en el sentido que existe un homeomorfismo entre ellas.
    Dos volúmenes tipo «taza de café con asa» y un «toro» (o «dónut») son homeomorfos.
    Un cambio de coordenadas regular puede representarse como un difeomorfismo entre los respectivos dominios de las coordenadas.

En física los difeomorfismos son ampliamente usados:

    En mecánica hamiltoniana el flujo asociado a la evolución temporal de un sistema mecánico es un difeomorfismo. También cualquier transformación canónica es un difeomorfismo.
    En mecánica de medios continuos la deformación es un difeomorfismo desde una configuración inicial a la configuración final. El conjunto de todos estos difeomorfismos forma un grupo de Lie de dimensión infinita.
    En Relatividad general la evolución del espacio-tiempo viene dada por un grupo uniparamétrico de difeomorfismos. El grupo de norma de la relatividad general es el grupo de difeomorfismos que además son isometrías.
