Coordenadas cilíndricas
# Coordenadas cilíndricas

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto $P$ en coordenadas cilíndricas se representa por $(\rho ,\varphi ,z)$ donde:

* $\rho$: Coordenada radial, definida como la distancia del punto $P$ al eje $z$, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano $XY$
* $\varphi$: Coordenada azimutal, definida como el ángulo que forma con el eje $X$ la proyección del radiovector sobre el plano $XY$.
* $z$: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano $XY$.

Los rangos de variación de las tres coordenadas son

    $0\leq \rho <\infty \qquad 0\leq \varphi <2\pi \qquad -\infty <z<\infty$

La coordenada azimutal $\varphi$ se hace variar en ocasiones desde $-\pi$ a $\pi$. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de $\rho$ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, $\rho$ vuelve a aumentar, pero $\varphi$ aumenta o disminuye en $\pi$ radianes.

## Relación con otros sistemas de coordenadas

### Relación con las coordenadas cartesianas

Teniendo en cuenta la definición del ángulo $\varphi$, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:

    $x=\rho \cos \varphi ,\qquad y=\rho \operatorname {sen} \varphi ,\qquad z=z$

## Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas

* Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje $Z$.
* Líneas coordenadas $\varphi$: Circunferencias horizontales.
* Líneas coordenadas $z$: Rectas verticales.

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

* Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.
* Superficies $\varphi$=cte.: Semiplanos verticales.
* Superficies $z$=cte.: Planos horizontales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

## Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

    ${\hat {\rho }}=\cos \varphi \,{\hat {x}}+{\rm {sen}}\,\varphi \,{\hat {y}}$
    ${\hat {\varphi }}=-{\rm {sen}}\varphi \,{\hat {x}}+\cos \,\varphi \,{\hat {y}}$
    ${\hat {z}}={\hat {z}}$

e inversamente

    ${\hat {x}}=\cos \varphi \,{\hat {\rho }}-{\rm {sen}}\,\varphi \,{\hat {\varphi }}$
    ${\hat {y}}={\rm {sen}}\varphi \,{\hat {\rho }}+\cos \,\varphi \,{\hat {\varphi }}$
    ${\hat {z}}={\hat {z}}$

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

    $h_{\rho }=1\qquad h_{\varphi }=\rho \qquad h_{z}=1$

Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

    ${\vec {r}}=\rho \,{\hat {\rho }}+z\,{\hat {z}}$

Nótese que no aparece un término $\varphi \,{\hat {\varphi }}$. La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.

Efectivamente:

    ${\begin{array}{rcl}{\vec {r}}&=&x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}+z{\hat {k}}\\\ &=&\rho \cos \varphi \ {\hat {\imath }}+\rho \operatorname {sen} \varphi \ {\hat {\jmath }}+z{\hat {k}}\\\ &=&\rho (\cos \varphi \ {\hat {\imath }}+\operatorname {sen} \varphi \ {\hat {\jmath }})+z{\hat {k}}\\\ &=&\rho {\hat {\rho }}+z{\hat {z}}\end{array}}$

## Diferenciales de línea, superficie y volumen

### Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por

    $d{\vec {r}}=h_{\rho }\,d\rho \,{\hat {\rho }}+h_{\varphi }\,d\varphi \,{\hat {\varphi }}+h_{z}\,dz\,{\hat {z}}=d\rho \,{\hat {\rho }}+\rho \,d\varphi \,{\hat {\varphi }}+dz\,{\hat {z}}$

### Diferenciales de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada.

Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, $q_{3}={\rm {cte.}}$ el resultado es

    $d{\vec {S}}_{q_{3}={\rm {cte}}}=h_{1}\,h_{2}\,dq_{1}\,dq_{2}\,{\hat {q}}_{3}$

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son

* ρ=cte: $d{\vec {S}}_{\rho ={\rm {cte}}}=\rho \,d\varphi \,dz\,{\hat {\rho }}$
* φ=cte: $d{\vec {S}}_{\varphi ={\rm {cte}}}=d\rho \,dz\,{\hat {\varphi }}$
* z=cte: $d{\vec {S}}_{z={\rm {cte}}}=\rho \,d\rho \,d\varphi \,{\hat {z}}$

### Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

    $dV=h_{1}\,h_{2}\,h_{3}\,dq_{1}\,dq_{2}\,dq_{3}$

que para coordenadas cilíndricas da

    $dV=\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz$

## Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Estas son:

* Gradiente

    $\nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}{\hat {\rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}$
* Divergencia

    $\nabla \cdot {\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial (\rho F_{\rho })}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$
* Rotacional

    $\nabla \times {\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}\left|{\begin{matrix}{\hat {\rho }}&\rho \,{\hat {\varphi }}&{\hat {z}}\\&&\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\&&\\F_{\rho }&\,\rho F_{\varphi }&F_{z}\end{matrix}}\right|={\hat {\rho }}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial z}}\right)+{\hat {\varphi }}\left({\frac {\partial F_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial \rho }}\right)+{\hat {z}}\left[{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial (\rho F_{\varphi })}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \varphi }}\right]$
* Laplaciano

    $\nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}$
