Forma indeterminada
# Forma indeterminada

En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:

* $0\div 0$
* ${\infty }\div {\infty }$
* $0\times \infty$
* $\infty -\infty$
* $0^{0}$
* $1^{\infty }$
* $\infty ^{0}$
* ${\sqrt[{0}]{1}}$
* ${\sqrt[{\infty }]{0}}$
* ${\sqrt[{\infty }]{\infty }}$

Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

## Interpretación

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite

   $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$

Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

## Cociente indeterminado

### La forma 0/0

Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones $x/x^3,$ x/x, y $x^2/x$ se van a $\scriptstyle \infty$, 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que, informalmente, 0/0 puede ser 0, $\scriptstyle \infty$ o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada. Ejemplos:

    $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}={\cfrac {0}{0}}$
    $\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}={\cfrac {0}{0}}$

### La forma ထ/ထ

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ထ/ထ. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

Ejemplos:

    $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x}}={\frac {+\infty }{+\infty }}$
    $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}={\frac {+\infty }{+\infty }}$

## Producto indeterminado

La forma indeterminada 0 • ထ

    $\lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0\cdot (-\infty )$
    $\lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\cos x\cdot \tan x=0\cdot \infty$

## Diferencia indeterminada

En los casos en que el límite de una diferencia es $\infty$, no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo $\infty -\infty$. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

## Potencia indeterminada

* La forma $0^0$

    $\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln x^{x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\ln x}=e^{\lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)}.$
* La forma $ထ^0$
* La forma $1^ထ$

Ejemplo: el siguiente límite

    $\lim _{x\to 0^{+}}x^{\left({\frac {3}{4+\ln x}}\right)}$, es de la forma $0^{0}$; considerando
    $y=x^{\left({\frac {3}{4+\ln x}}\right)}$

y tomando logaritmos en ambos miembros resulta

    $\ln y={\frac {3}{4+\ln x}}\ln x$ aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene
    $\ln y=3\cdot {\frac {1/x}{1/x}}=3$ de manera que el límite sería
    $\lim _{x\to 0^{+}}y=e^{3}$

## Tabla de formas indeterminadas

La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.

| Forma indeterminada | Condiciones | Transformación a 0/0 | Transformación a ထ/ထ |
| - | - | - | - |
| ${\frac {0}{0}}$ | $\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$ | — | $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$ |
| $\infty \over \infty$ | $\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$ | $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$ | — |
| $\qquad 0\cdot \infty$ | $\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$ | $\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!$ | $\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!$ |
| $\qquad 1^{\infty }$ | $\lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$ | $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$ | $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$ |
| $\qquad 0^{0}$ | $\lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!$ | $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$ | $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$ |
| $\infty ^{0}$ | $\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$ | $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$ | $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$ |
| $\qquad +\infty -\infty$ | $\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$ | $\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!$ | $\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!$ |
