Número metálico
# Número metálico

En matemáticas los números metálicos son un conjunto de números que reciben nombres especiales relacionados con diferentes metales. Se obtienen a partir de la ecuación de segundo grado:

   (1)$x^{2}-nx-1=0$

donde n es un número natural.

Los números metálicos más conocidos son el número de oro (${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$), el número de plata ($1+{\sqrt {2}}$) y el número de bronce (${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$) que verifican la siguiente fracción continua:

   (2)$n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]$

con n igual a 1, 2 y 3 respectivamente.

Tabla 1

Valor aproximado de los Números metálicos

| Nombre | n | Valor |
| - | - | - |
| Oro | 1 | 1,618033989... |
| Plata | 2 | 2,414213562... |
| Bronce | 3 | 3,302775638... |
| Cobre | 4 | 4,236067978... |
| Níquel | 5 | 5,192582404... |

## Historia

Los más conocidos, se han utilizado desde los albores de la aritmética; los más populares, por ejemplo el número áureo, han sido estudiados de manera exhaustiva. Corresponde el mérito de la sistematización, estudio y divulgación de estos números a la matemática argentina Vera de Spinadel (1929-2017).

## Denominación y generación

Los números metálicos pueden ser generados por tres diferentes métodos:

### Ecuación cuadrática

La solución general de la ecuación de segundo grado se expresa por:

$x={\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$

que para el rango inferior de n proporciona los valores que se muestran en la Tabla 1.

### Fracción continua

La ecuación general puede ser reordenada en la forma:

$x=n+{\frac {1}{x}}$

Sustituyendo la expresión de la variable en el denominador:

$x=n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{x}}}}$

operación que puede continuarse hasta el infinito, resultando la expresión general de la fracción continua.

### Límite de serie

Se denomina sucesión de Fibonacci secundaria a la serie infinita construida según el siguiente criterio:

$G(n+2)=G(n+1)+G(n)$

El límite en el infinito de la razón entre dos términos consecutivos:

${\frac {G(n)}{G(n-1)}}$

es, precisamente, el número áureo.

Generalizando el anterior resultado se ha denominado "sucesión de Fibonacci secundaria generalizada" a la formada según la recurrencia:

$G(n+2)=nG(n+1)+G(n)$

cuyos límites entre dos términos consecutivos tienden a los correspondientes "números metálicos" con idéntico valor de n.

