Proyección vectorial
# Proyección vectorial

La proyección vectorial (también conocida como componente vectorial o resolución vectorial) de un vector a sobre (o respecto a) un vector b distinto de cero, a veces denotado por $\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}$, es el operador de proyección de a sobre un recta paralelo a b. Es un vector paralelo a b, formulado como $\mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}}$ donde $a_{1}$ es un escalar, llamado proyección escalar de a sobre b, y b̂ es el vector unitario en la dirección de b.

A su vez, la proyección escalar se define como

    $a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}}$

donde el operador ⋅ denota un producto escalar, ‖a‖ es la longitud de a y θ es el ángulo entre a y b.

La proyección escalar es igual en valor absoluto a la longitud de la proyección vectorial, con un signo menos si la dirección de la proyección es opuesta a la dirección de b, es decir, si los dos vectores se encuentran en semiespacios diferentes, o si las direcciones de entrada se encuentran en diferentes hemisferios.

La proyección vectorial se puede reescribir en términos únicamente de los vectores de entrada como:

    $\mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.$

El componente vectorial o vector resuelto de a perpendicularidad a b, a veces también llamado rechazo de vector de a de b (denotado $\operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}$), es la proyección ortogonal de a sobre plane (o, en general, hiperplano) ortogonal a b. Como tanto la proyección $a_1$ como el rechazo $a_2$ de un vector a son vectores y su suma es igual a a, implica que el rechazo viene dado por: $\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}.$

## Notación

Normalmente, una proyección vectorial se indica en negrita (por ejemplo, $a_1)$ y la proyección escalar correspondiente con fuente normal (por ejemplo, $a_1).$ En algunos casos, especialmente en escritura a mano, la proyección vectorial también se indica usando un signo diacrítico encima o debajo de la letra (por ejemplo, ${\vec {a}}_{1}$ o $a_1).$ La proyección vectorial de a sobre b y el rechazo correspondiente a veces se denotan por $a_{∥b}$ y $a_{⊥b},$ respectivamente.

## Definiciones basadas en el ángulo θ

### Proyección escalar

La proyección escalar de a sobre b es un escalar igual a

    $a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,$

donde θ es el ángulo entre a y b.

Se puede utilizar una proyección escalar como escalado (geometría) para calcular la proyección vectorial correspondiente.

### Proyección vectorial

La proyección vectorial de a sobre b es un vector cuya magnitud es la proyección escalar de a sobre b con la misma dirección que b. Es decir, se define como

    $\mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}}$

donde $a_{1}$ es la proyección escalar correspondiente, como se definió anteriormente, y $\mathbf {\hat {b}}$ es el vector unitario con la misma dirección que b:

    $\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}$

### Rechazo vectorial

Por definición, el vector de rechazo de a sobre b es:

    $\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}$

Por eso,

    $\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\left(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta \right)\mathbf {\hat {b}}$

## Definiciones en términos de a y b

Cuando no se conoce θ, el coseno de θ se puede calcular en términos de a y b, mediante la siguiente propiedad del producto escalar a ⋅ b

    ${\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}=\cos \theta$

### Proyección escalar

Según la propiedad del producto escalar mencionada anteriormente, la definición de proyección escalar queda como:

    $a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.$

En dos dimensiones, esto se convierte en

    $a_{1}={\frac {\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{x}+\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.$

### Proyección vectorial

De manera similar, la definición de la proyección vectorial de a sobre b se convierte en:

    $\mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}},$

que es equivalente a cualquiera

    $\mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ,$

o

    $\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.$

### Rechazo escalar

En dos dimensiones, el rechazo escalar es equivalente a la proyección de a sobre $\mathbf {b} ^{\perp }={\begin{pmatrix}-\mathbf {b} _{y}&\mathbf {b} _{x}\end{pmatrix}}$, que es $\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathbf {b} _{x}&\mathbf {b} _{y}\end{pmatrix}}$ girado 90° hacia la izquierda. Por eso,

    $a_{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|\sin \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{x}-\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.$

Este producto escalar se denomina "producto escalar del delincuente".

### Rechazo vectorial

Por definición,

    $\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}$

Por eso,

    $\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.$

## Propiedades

### Proyección escalar

La proyección escalar a sobre b es un escalar que tiene signo negativo si 90 degrees < θ ≤ 180 degrees. Coincide con el length ‖c‖ de la proyección del vector si el ángulo es menor que 90°. Más exactamente:

* $a_1=$ $‖a_1‖$ si 0° ≤ θ ≤ 90°,
* $a_1=$ $−‖a_1‖$ si 90° < θ ≤ 180°.

### Proyección vectorial

La proyección vectorial de a sobre b es un vector $a_1$ que es nulo o paralelo a b. Más exactamente:

* $a_1=$ 0 si θ= 90°,
* $a_1$ y b tienen la misma dirección si 0° ≤ θ < 90°,
* $a_1$ y b tienen direcciones opuestas si 90° < θ ≤ 180°.

### Rechazo vectorial

El vector de rechazo de a en b es un vector $a_2$ que es nulo u ortogonal a b. Más exactamente:

* $a_2=$ 0 si θ= 0° o θ= 180°,
* $a_2$ es ortogonal a b si 0 < θ < 180°,

## Representación matricial

La proyección ortogonal se puede representar mediante una matriz de proyección. Para proyectar un vector sobre el vector unitario a= $(a_x,$ $a_y,$ $a_z),$ sería necesario multiplicarlo por esta matriz de proyección:

    $P_{\mathbf {a} }=\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}^{2}&a_{x}a_{y}&a_{x}a_{z}\\a_{x}a_{y}&a_{y}^{2}&a_{y}a_{z}\\a_{x}a_{z}&a_{y}a_{z}&a_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}$

## Aplicación

La proyección vectorial es una operación importante en Gram–Schmidt orthonormalization de espacio vectorial bases. También se utiliza en separating axis theorem para detectar si dos formas convexas se cruzan.

## Generalizaciones

Dado que las nociones de vector longitud y ángulo entre vectores se pueden generalizar a cualquier espacio prehilbertiano de n dimensiones, esto también es válido para las nociones de proyección ortogonal de un vector, proyección de un vector sobre otro y rechazo de un vector. de otro.

En algunos casos, el producto interno coincide con el producto escalar. Cuando no coinciden se utiliza el producto interior en su lugar.anuncio del producto escalar en las definiciones formales de proyección y rechazo. Para un espacio prehilbertiano tridimensional, las nociones de proyección de un vector sobre otro y rechazo de un vector desde otro pueden generalizarse a las nociones de proyección de un vector sobre un plane y rechazo de un vector desde un plano. La proyección de un vector en un plano es su operador de proyección en ese plano. El rechazo de un vector de un plano es su proyección ortogonal sobre una recta ortogonal a ese plano. Ambos son vectores. El primero es paralelo al plano, el segundo es ortogonal.

Para un vector y un plano dados, la suma de proyección y rechazo es igual al vector original. De manera similar, para espacios de productos internos con más de tres dimensiones, las nociones de proyección sobre un vector y rechazo de un vector pueden generalizarse a las nociones de proyección sobre un hiperplano y rechazo de un hiperplano. En álgebra geométrica, se pueden generalizar aún más a las nociones de projection and rejection de un multivector general hacia/desde cualquier hoja k invertible.

