Número de Pell
# Número de Pell

En matemáticas, los números de Pell, denominados así en honor del matemático inglés John Pell (1611-1685), son una sucesión infinita de números enteros, conocida desde tiempos antiguos, que comprende los denominadores de la fracción continua de la raíz cuadrada de dos. Esta secuencia de aproximaciones comienza con:

    1/1, 3/2, 7/5, 17/12 y 41/29

Los denominadores de la secuencia forman la sucesión de números de Pell, que comienza con:

    1, 2, 5, 12 y 29

Los numeradores de la misma secuencia de aproximaciones son las mitades de los números compañeros de Pell o números de Pell-Lucas; de forma que estos números (multiplicados por 2) forman una segunda secuencia infinita que comienza con:

    2, 6, 14, 34 y 82

Tanto los números de Pell como los números compañeros de Pell se pueden calcular mediante una relación de recurrencia similar a la de la sucesión de Fibonacci, y ambas secuencias de números crecen exponencialmente, proporcionalmente a las potencias del número plateado 1 + ${\sqrt {2}}\,$. Además de ser usado para aproximar la raíz cuadrada de dos, los números de Pell pueden usarse para encontrar números cuadrados triangulares, para construir aproximaciones de números enteros al triángulo rectángulo isósceles y para resolver ciertos problemas de enumeración combinatoria.

Al igual que con la ecuación de Pell, el nombre de los números de Pell se deriva de la atribución errónea realizada por Leonhard Euler de la ecuación y de los números derivados de la misma al matemático británico John Pell (1611-1685). Los números de Pell-Lucas deben su nombre al matemático francés Édouard Lucas (1842-1891), que estudió las secuencias definidas por recurrencias de este tipo; los números de Pell y sus números asociados son sucesiones de Lucas.

## Números de Pell

Los números de Pell están definidos por la relación de recurrencia:

    $P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{si }}n=0;\\1&{\mbox{si }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otros casos.}}\end{cases}}$

En palabras, la secuencia de números de Pell comienza con 0 y 1, y luego cada número de Pell se obtiene de los dos anteriores: es la suma de dos veces el número de Pell anterior y del número de Pell previo a este. Los primeros términos de la secuencia son:

    0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, ... (sucesión A000129 en OEIS)

También pueden expresarse mediante una fórmula explícita:

    $P_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2{\sqrt {2}}}}$

Para valores grandes de n, el término (1 + ${\sqrt {2}}\,$$)^n$ domina esta expresión, por lo que los números de Pell son aproximadamente proporcionales a las potencias del número plateado 1 + ${\sqrt {2}}\,$, análogo a la tasa de crecimiento de los números de Fibonacci como potencias del número áureo.

Una tercera definición es posible, a partir de la fórmula matricial:

    ${\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}$

Muchas identidades pueden derivarse o probarse a partir de estas definiciones; por ejemplo, una identidad análoga a la identidad de Cassini para los números de Fibonacci:

    $P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n}$

Es una consecuencia inmediata de la fórmula matricial (que se encuentra considerando los determinantes de las matrices en los lados izquierdo y derecho de la fórmula de la matriz).

## Aproximación a la raíz cuadrada de dos

Los números de Pell surgen históricamente y más concretamente a partir de la aproximación racional a la √2. Si dos enteros grandes x e y forman una solución a la Ecuación de Pell:

    $x^{2}-2y^{2}=\pm 1$

entonces su fracción "x/y" proporciona una aproximación cercana a ${\sqrt {2}}$. La secuencia de aproximaciones de esta forma es:

    ${\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots$

donde el denominador de cada fracción es un número de Pell y el numerador es la suma de un número de Pell y su predecesor en la secuencia. Es decir, las soluciones tienen la forma:

    ${\frac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}$

La aproximación:

    ${\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}$

de este tipo era conocida por los matemáticos indios en el siglo tercero o cuarto a. C. Los matemáticos griegos del siglo V a. C. también conocían esta secuencia de aproximaciones: Platón se refiere a los numeradores como diámetros racionales. En el siglo II d. C., Teón de Esmirna usó el término números de lado y de diámetro para describir los denominadores y numeradores de esta secuencia.

Estas aproximaciones pueden derivarse de la expansión en forma de fracción continua de ${\sqrt {2}}$:

    ${\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.$

Truncar esta expansión a cualquier número de términos produce una de las aproximaciones basadas en el número de Pell en esta secuencia; por ejemplo:

    ${\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.$

Como Knuth (1994) describe, el hecho de que los números de Pell aproximan ${\sqrt {2}}\,$ les permite ser usados para aproximaciones racionales precisas a un octógono regular con coordenadas de vértices:

    $(\pm P_{i},\pm P_{i+1})$ y $(\pm P_{i+1},\pm P_{i})$

Todos los vértices están igualmente distantes del origen, y forman ángulos casi uniformes alrededor del mismo. Alternativamente, los puntos

    $(\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)$, $(0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))$ y $(\pm P_{i},\pm P_{i})$

forman octógonos aproximados en los que los vértices están casi igualmente alejados del origen y forman ángulos uniformes.

## Primos y cuadrados

Un primo de Pell es un número de Pell que además es primo. Los primeros primos de Pell son:

    2, 5, 29, 5741, ... (sucesión A086383 en OEIS).

Los índices de estos primos dentro de la secuencia de todos los números de Pell son:

    2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, ... (sucesión A096650 en OEIS)

Estos índices son todos ellos primos. Al igual que con los números de Fibonacci, un número de Pell $P_n$ solo puede ser primo si n es primo, porque si d es un divisor de n, entonces $P_d$ es un divisor de $P_n.$

Los únicos números de Pell que son cuadrados, cubos o cualquier potencia superior de un número entero son 0, 1 y 169 = $13^2.$

Sin embargo, a pesar de tener tan pocos cuadrados u otras potencias, los números de Pell tienen una conexión cercana con los número cuadrados triangulares. Específicamente, estos números surgen de la siguiente identidad de los números de Pell:

    ${\bigl\left(P_{k-1}+P_{k}\right)\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}\cdot \left(\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}$

El lado izquierdo de esta identidad describe un cuadrado perfecto, mientras que el lado derecho describe un número triangular, por lo que el resultado es un número cuadrado triangular.

Santana y Díaz-Barrero (2006) probaron otra identidad relacionando los números de Pell con los cuadrados, demostrando que la suma de los números de Pell hasta $P_{4n+1}$ es siempre un cuadrado:

    $\sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{2}=\left(P_{2n}+P_{2n+1}\right)^{2}$

Por ejemplo, la suma de los números de Pell hasta $P_5,$ 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49, es el cuadrado de $P_2$ + $P_3$ = 2 + 5 = 7. Los números $P_{2n}$ + $P_{2n+1}$ que forman las raíces cuadradas de estas sumas,

    1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, ... (sucesión A002315 en OEIS)

se conocen como los números de Newman-Shanks-Williams.

## Triángulos pitagóricos

Si un triángulo rectángulo tiene longitudes de lado enteras a, b, c (satisfaciendo necesariamente el Teorema de Pitágoras $a^2$ + $b^2$ = $c^2),$ entonces (a, b y c) se conocen como una terna pitagórica. Como Martin (1875) describe, los números de Pell pueden usarse para formar tripletes pitagóricos en los que a y b están separados por una unidad, lo que corresponde a triángulos rectángulos que son casi isósceles. Cada una de estas ternas tiene la forma:

    $\left(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}\right)$

La secuencia de triples pitagóricos formada de esta manera es:

    (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ...

## Números de Pell-Lucas

Los números compañeros de Pell o números de Pell-Lucas están definidos por la relación de recurrencia:

    $Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{si }}n=0;\\2&{\mbox{si }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{en otros casos.}}\end{cases}}$

En otras palabras: los dos primeros números de la secuencia son ambos 2, y cada número sucesivo se forma añadiendo dos veces el número anterior de Pell-Lucas al número de Pell-Lucas previo a este, o equivalentemente, añadiendo el siguiente número de Pell al número de Pell anterior: por lo tanto, 82 es el compañero de 29, y 82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12. Los primeros términos de la secuencia son (sucesión A002203 en OEIS):

    2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, ...

Al igual que la relación entre la Sucesión de Fibonacci y los números de Lucas, se cumple que:

    $Q_{n}={\frac {P_{2n}}{P_{n}}}$

para todos los números naturales n.

El número compañero de Pell se puede expresar por la fórmula explícita:

    $Q_{n}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}$

Estos números son todos pares; cada uno de estos números es el doble del numerador en una de las aproximaciones racionales a $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ discutidas anteriormente.

Al igual que la secuencia de Lucas, si un número de Pell-Lucas $1/2_n$ es primo, es necesario que n sea primo o una potencia de 2. Los primos de Pell-Lucas son:

    3, 7, 17, 41, 239, 577, ... (sucesión A086395 en OEIS).

Para estos números, sus n son

    2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421, ... (sucesión A099088 en OEIS).

## Cálculos y conexiones

La siguiente tabla da las primeras potencias del número plateado δ = $δ_S$ = 1 + ${\sqrt {2}}\,$ y su conjugado δ = 1 - ${\sqrt {2}}\,$.

| n | (1 + ${\sqrt {2}}\,$$)^n$ | (1 − ${\sqrt {2}}\,$$)^n$ |
| - | - | - |
| 0 | 1 + 0${\sqrt {2}}\,$ = 1 | 1 − 0${\sqrt {2}}\,$ = 1 |
| 1 | 1 + 1${\sqrt {2}}\,$ = 2.41421… | 1 − 1${\sqrt {2}}\,$ = −0.41421… |
| 2 | 3 + 2${\sqrt {2}}\,$ = 5.82842… | 3 − 2${\sqrt {2}}\,$ = 0.17157… |
| 3 | 7 + 5${\sqrt {2}}\,$ = 14.07106… | 7 − 5${\sqrt {2}}\,$ = −0.07106… |
| 4 | 17 + 12${\sqrt {2}}\,$ = 33.97056… | 17 − 12${\sqrt {2}}\,$ = 0.02943… |
| 5 | 41 + 29${\sqrt {2}}\,$ = 82.01219… | 41 − 29${\sqrt {2}}\,$ = −0.01219… |
| 6 | 99 + 70${\sqrt {2}}\,$ = 197.9949… | 99 − 70${\sqrt {2}}\,$ = 0.0050… |
| 7 | 239 + 169${\sqrt {2}}\,$ = 478.00209… | 239 − 169${\sqrt {2}}\,$ = −0.00209… |
| 8 | 577 + 408${\sqrt {2}}\,$ = 1153.99913… | 577 − 408${\sqrt {2}}\,$ = 0.00086… |
| 9 | 1393 + 985${\sqrt {2}}\,$ = 2786.00035… | 1393 − 985${\sqrt {2}}\,$ = −0.00035… |
| 10 | 3363 + 2378${\sqrt {2}}\,$ = 6725.99985… | 3363 − 2378${\sqrt {2}}\,$ = 0.00014… |
| 11 | 8119 + 5741${\sqrt {2}}\,$ = 16238.00006… | 8119 − 5741${\sqrt {2}}\,$ = −0.00006… |
| 12 | 19601 + 13860${\sqrt {2}}\,$ = 39201.99997… | 19601 − 13860${\sqrt {2}}\,$ = 0.00002… |

Los coeficientes de estas expresiones son respectivamente los números compañeros de Pell $H_n$ divididos por dos; y los números de Pell $P_n.$ Cada pareja de coeficientes es una solución (no negativa) de la igualdad $H^2$ − $2P^2$ = ±1.

Un número cuadrado triangular es un entero que:

    $N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}$

que es tanto el número triangular t-ésimo como el número cuadrado s-ésimo. Un triplete pitagórico casi isósceles es una solución entera de $a^2$ + $b^2$ = $c^2,$ donde a + 1 = b.

La siguiente tabla muestra que dividir el número impar $H_n$ en mitades casi iguales da un número triangular cuadrado cuando n es par y un triplete pitagórico casi isósceles cuando n es impar. Todas las soluciones surgen de esta forma.

| n | $H_n$ | $P_n$ | t | t + 1 | s | a | b | c |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | | | |
| 1 | 1 | 1 | | | | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 2 | 1 | 2 | 1 | | | |
| 3 | 7 | 5 | | | | 3 | 4 | 5 |
| 4 | 17 | 12 | 8 | 9 | 6 | | | |
| 5 | 41 | 29 | | | | 20 | 21 | 29 |
| 6 | 99 | 70 | 49 | 50 | 35 | | | |
| 7 | 239 | 169 | | | | 119 | 120 | 169 |
| 8 | 577 | 408 | 288 | 289 | 204 | | | |
| 9 | 1393 | 985 | | | | 696 | 697 | 985 |
| 10 | 3363 | 2378 | 1681 | 1682 | 1189 | | | |
| 11 | 8119 | 5741 | | | | 4059 | 4060 | 5741 |
| 12 | 19601 | 13860 | 9800 | 9801 | 6930 | | | |

### Definiciones

Los números mitad de los compañeros de Pell $H_n$ y los números de Pell $P_n$ pueden deducirse de varias maneras equivalentes fácilmente:

**Elevando a potencias**


    $\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}$
    $\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}$

De esto se sigue que existen "formas explícitas":

    $H_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}$

y

    $P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}$

**Repeticiones pareadas**


    $H_{n}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}n=0;\\H_{n-1}+2P_{n-1}&{\mbox{en otros casos.}}\end{cases}}$
    $P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{si }}n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}&{\mbox{en otros casos.}}\end{cases}}$

**Formulaciones matriciales**


    ${\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

Por lo tanto:

    ${\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}$

### Aproximaciones

La diferencia entre $H_n$ y $P_n$${\sqrt {2}}\,$ es:

    $\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}\approx (-0.41421)^{n}$

que converge rápidamente a cero. Así que:

    $\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}\,$

está muy cerca de $2H_n.$

De esta última observación se deduce que las fracciones $«H_n/P_n»$ se acercan rápidamente a ${\sqrt {2}}\,$; y que $H_n/H_{n−1}$ y $P_n/P_{n−1}$ se acercan rápidamente a 1 + ${\sqrt {2}}\,$.

### $H^2$ - $2P^2$ = ± 1

Puesto que ${\sqrt {2}}\,$ es irracional, no se puede obtener que H/P, ${\sqrt {2}}\,$, es decir:

    ${\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}$

lo mejor que se puede lograr es:

    ${\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}\quad {\mbox{o}}\quad {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}$

Las soluciones (no negativas) de $H^2$ − $2P^2$ = 1 son exactamente los pares $(H_n,$ $P_n)$ con n incluido, y las soluciones a $H^2$ − $2P^2$ = −1 son exactamente los pares $(H_n,$ $P_n)$ con n impar. Para ver esto, téngase en cuenta primero que:

    $H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=\left(H_{n}+2P_{n}\right)^{2}-2\left(H_{n}+P_{n}\right)^{2}=-\left(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2}\right)$

de modo que estas diferencias, comenzando por H2 0 − 2P2 0 = 1, se alternan en 1 y -1. Entonces debe notarse que cada solución positiva viene de esta manera de una solución con números enteros más pequeños, ya que:

    $(2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-\left(H^{2}-2P^{2}\right)$

La solución más pequeña también tiene enteros positivos, con la única excepción de: H = P = 1, que viene de $H_0$ = 1 y $P_0$ = 0.

### Números cuadrados triangulares

La ecuación requerida:

    ${\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}\,$

es equivalente a:

    $4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1$

que se convierte en $H^2$ = $2P^2$ + 1 con las sustituciones H=2t+1 y P=2s. Por lo tanto, la n-ésima solución es:

    $t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}\quad {\mbox{y}}\quad s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}$

Obsérvese que t y t + 1 son relativamente primos, de manera que t(t + 1)/2 = $s^2$ ocurre exactamente cuando son enteros adyacentes, uno cuadrado $H^2$ y el otro dos veces un cuadrado $2P^2.$ Puesto que se pueden conocer todas las soluciones de esa ecuación, también se tiene que:

    $t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&{\mbox{si }}n{\mbox{ es par}};\\H_{n}^{2}&{\mbox{si }}n{\mbox{ es impar.}}\end{cases}}$

y que

    $s_{n}=H_{n}P_{n}$

Esta expresión alternativa se expresa en la siguiente tabla:

| n | $H_n$ | $P_n$ | t | t + 1 | s | a | b | c |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 0 | 1 | 0 | | | | | | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 2 | 8 | 9 | 6 | 20 | 21 | 29 |
| 3 | 7 | 5 | 49 | 50 | 35 | 119 | 120 | 169 |
| 4 | 17 | 12 | 288 | 289 | 204 | 696 | 697 | 985 |
| 5 | 41 | 29 | 1681 | 1682 | 1189 | 4059 | 4060 | 5741 |
| 6 | 99 | 70 | 9800 | 9801 | 6930 | 23660 | 23661 | 33461 |

### Ternas Pitagóricas

La igualdad $c^2$ = $a^2$ + (a + $1)^2$ = $2a^2$ + 2a + 1 ocurre exactamente cuando $2c^2$ = $4a^2$ + 4a + 2, que se convierte en $2P^2$ = $H^2$ + 1 con las sustituciones H = 2a + 1 y P = c. Por lo tanto la n-ésima solución es $a_n$ = $H_{2n+1}$ − 1/2 y $c_n$ = $P_{2n+1}.$

La tabla anterior muestra que, en un orden u otro, $a_n$ y $b_n$ = $a_n$ + 1 son $H_nH_{n+1}$ y $2P_nP_{n+1}$ mientras que $c_n$ = $H_{n+1}P_n$ + $P_{n+1}H_n.$

