Teselado cuadrado
# Teselado cuadrado

En geometría, un teselado cuadrado, mosaico cuadrado o cuadrícula cuadrada es un teselado regular bidimensional. Tiene símbolo de Schläfli {4,4}, lo que significa que tiene 4 cuadrados alrededor de cada vértice.

Conway lo llamó cuadrilla.

El ángulo interior del cuadrado es de 90 grados, por lo que cuatro cuadrados en un punto hacen 360 grados completos. Es uno de tres mosaicos regulares del plano. Los otros dos son el teselado triangular y el teselado hexagonal.

## Coloraciones uniformes

Hay 9 coloreados uniformes distintos de un teselado cuadrado. Nombrando los colores por índices en los 4 cuadrados alrededor de un vértice, se obtienen las combinaciones siguientes: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Los casos marcados con (i) tienen simetría de reflexión simple, y los marcados con (ii) poseen simetría de reflexión deslizada. Se pueden ver tres en el mismo dominio de simetría como colores reducidos: $1112_i$ de 1213, $1123_i$ de 1234 y $1112_{ii}$ reducido de $1123_{ii}.$

9 coloreados uniformes :

| 1111 | 1212 | 1213 | $1112_i$ | 1122 |
| - | - | - | - | - |
| p4m (*442) | p4m (*442) | p4m (*442) | p4m (*442) | pmm (*2222) |
| 1234 | $1123_i$ | $1123_{ii}$ | $1112_{ii}$ |
| pmm (*2222) | pmm (*2222) | cmm (2*22) | cmm (2*22) |

## Poliedros y mosaicos relacionados

Este mosaico está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros y mosaicos regulares, que se extiende hasta plano hiperbólico: {4,p}, p=3,4,5...

*n42 mutación de simetría de teselados regulares: {4,n} :

| Esférico | Euclídeo | Hiperbólico compacto | Hiperbólico compacto | Hiperbólico compacto | Hiperbólico compacto | Paracompacto |
| - | - | - | - | - | - | - |
| {4,3} | {4,4} | {4,5} | {4,6} | {4,7} | {4,8}... | {4,∞} |

Este mosaico también está relacionado topológicamente como parte de la secuencia de poliedros regulares y mosaicos con cuatro caras por vértice, comenzando con octaedro, con Símbolo de Schläfli {n,4} y el diagrama de Coxeter , con n progresando hasta el infinito.

*n42 mutación de simetría de teselados regulares: {n,4} :

| Esférico | Esférico | Euclídeo | Teselados hiperbólicos | Teselados hiperbólicos | Teselados hiperbólicos | Teselados hiperbólicos | Teselados hiperbólicos |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| $2^4$ | $3^4$ | $4^4$ | $5^4$ | $6^4$ | $7^4$ | $8^4$ | $...∞^4$ |

*n42 mutaciones de simetría de teselados duales cuasiregulares: $V(4.n)^2$ :

| Simetría *4n2 [n,4] | Esférico | Euclídeo | Hiperbólico compacto | Hiperbólico compacto | Hiperbólico compacto | Hiperbólico compacto | Paracompacto | No compacto |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| Simetría *4n2 [n,4] | *342 [3,4] | *442 [4,4] | *542 [5,4] | *642 [6,4] | *742 [7,4] | *842 [8,4]... | *∞42 [∞,4] | [iπ/λ,4] |
| Tiling Conf. | V4.3.4.3 | V4.4.4.4 | V4.5.4.5 | V4.6.4.6 | V4.7.4.7 | V4.8.4.8 | V4.∞.4.∞ | V4.∞.4.∞ |

*n42 mutación de simetría de teselados expandidos: n.4.4.4 :

| Simetría [n,4], (*n42) | Esférico | Euclídeo | Hiperbólico compacto | Hiperbólico compacto | Hiperbólico compacto | Hiperbólico compacto | Paracompacto |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| Simetría [n,4], (*n42) | *342 [3,4] | *442 [4,4] | *542 [5,4] | *642 [6,4] | *742 [7,4] | *842 [8,4] | *∞42 [∞,4] |
| Figuras expandidas | | | | | | | |
| Configuración | 3.4.4.4 | 4.4.4.4 | 5.4.4.4 | 6.4.4.4 | 7.4.4.4 | 8.4.4.4 | ∞.4.4.4 |
| Configuración de figuras rómbica | V3.4.4.4 | V4.4.4.4 | V5.4.4.4 | V6.4.4.4 | V7.4.4.4 | V8.4.4.4 | V∞.4.4.4 |

## Construcciones de Wythoff a partir de teselados cuadrados

Al igual que los poliedros uniformes, hay ocho teselados uniformes que se pueden basar en el teselado cuadrado regular.

Dibujando los teselados coloreados como rojo en las caras originales, amarillo en los vértices originales y azul en los bordes originales, las 8 formas son distintas. Sin embargo, al tratar las caras de manera idéntica, solo hay tres formas topológicamente distintas: el teselado cuadrado, el teselado cuadrado truncado y el teselado cuadrado achatado.

Teselados uniformes basados en la simetría de teselados cuadrados :

| Simetría: [4,4], (*442) | Simetría: [4,4], (*442) | Simetría: [4,4], (*442) | Simetría: [4,4], (*442) | Simetría: [4,4], (*442) | Simetría: [4,4], (*442) | Simetría: [4,4], (*442) | $[4,4]^+,$ (442) | $[4,4^+],$ (4*2) |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| {4,4} | t{4,4} | r{4,4} | t{4,4} | {4,4} | rr{4,4} | tr{4,4} | sr{4,4} | s{4,4} |
| Duales uniformes |||||||||
| V4.4.4.4 | V4.8.8 | V4.4.4.4 | V4.8.8 | V4.4.4.4 | V4.4.4.4 | V4.8.8 | V3.3.4.3.4 | V3.3.4.3.4 |

## Teselaciones topológicamente equivalentes

Se pueden hacer otros teselados con cuadriláteros que son topológicamente equivalentes al mosaico cuadrado (con 4 cuadrángulos alrededor de cada vértice).

Los mosaicos isoédricos tienen caras idénticas (face-transitivity) y vertex-transitivity, hay 18 variaciones, con 6 identificadas como triángulos que no se conectan de borde a borde, o como cuadrilátero con dos bordes colineales. La simetría dada asume que todas las caras son del mismo color.

Teselaciones de cuadriláteros isoédricos :

| Cuadrado p4m, (*442) | Cuadrilátero p4g, (4*2) | Rectángulo pmm, (*2222) | Paralelogramo p2, (2222) | Paralelogramo pmg, (22*) | Rombo cmm, (2*22) | Rombo pmg, (22*) |
| - | - | - | - | - | - | - |
| Trapecio cmm, (2*22) | Trapecio cmm, (2*22) | Cuadrilátero pgg, (22×) | Cometa pmg, (22*) | Cuadrilátero pgg, (22×) | Cuadrilátero p2, (2222) |

Cuadriláteros degenerados o triángulos sin borde a borde :

| Isósceles pmg, (22*) | Isósceles pgg, (22×) | Isósceles pgg, (22×) | Escaleno pgg, (22×) | Escaleno pgg, (22×) | Escaleno p2, (2222) |
| - | - | - | - | - | - |

## Empaquetamiento de círculos

El teselado cuadrado se puede usar como un empaquetamiento de círculos, colocando círculos de igual diámetro en el centro de cada cuadrado. De esta forma, cada círculo está en contacto con otros 4 círculos en el empaquetamiento (número de osculación). La densidad de empaquetamiento tiene una cobertura de π/4=78,54%. Hay 4 colores uniformes de los empaquetamientos circulares.

## Apeirógonos complejos regulares relacionados

Hay 3 apeirógonos complejos regulares que comparten los vértices del teselado cuadrado. Los apeirogonos complejos regulares tienen vértices y aristas, donde las aristas pueden contener 2 o más vértices. Los apeirógonos regulares p{q}r están restringidos por: 1/p + 2/q + 1/r = 1. Las aristas tienen p vértices, y las figuras de vértice son r-gonales.

| Autodual | Duales | Duales |
| - | - | - |
| 4{4}4 o | 2{8}4 o | 4{8}2 o |
