Modelización combinatoria
# Modelización combinatoria

Una modelización matemática se basa en la compresión de fenómenos reales, obteniendo resultados matemáticos. Dubois (1984) propone cuatro modelizaciones distintas que se encuentran relacionadas entre sí:

   * 1ª modelización: selección o muestreo simple de una muestra a partir de k objetos de un total de n objetos distinguibles.

   * 2ª modelización: distribución, almacenamiento o colocación de k objetos en n recipientes.

   * 3ª modelización: partición en subconjuntos n de un conjunto de objetos k

   * 4ª modelización: descomposición de un número natural k en n sumandos enteros no negativos.

## 1ª Modelización

Selección o muestreo simple, de $k$ objetos de un total de $n$ objetos distinguibles.

En esta modelización hay 4 posibles tipos de selección:

### Muestra ordenada

Si la muestra está ordenada, importa el orden de sus objetos, se hallan con los siguientes casos:

* Sin reemplazamiento:

    El número de selecciones que se producen viene dada por la Variación: $V(n,k)$.
* Con reemplazamiento:

    La cantidad de selecciones se calculan mediante Variaciones con repetición: $VR(n,k)$.

### Muestra no ordenada

Si la muestra no está ordenada, el orden de sus objetos no es importante, se distinguen estos casos:

* Sin reemplazamiento:

    Las posibles selecciones en este caso se obtienen con Combinaciones: $C_{n,k}$.
* Con reemplazamiento:

    El número total de selecciones viene dado por Combinaciones con repetición: $CR_{n,k}$.

Hay un caso particular de Variación: $V(n,n)$ que se conoce como Permutación: $P{n}$, este caso corresponde al número de muestras ordenadas sin reemplazamiento de n objetos de un conjunto de n objetos distinguibles.

## 2ª Modelización

Distribución, almacenamiento o colocación de k objetos en n recipientes.

Para dicha modelización hay que diferencia la situación en la que se encuentran los n recipientes para saber el tipo de aplicación a la que corresponde.

   * Aplicaciones cualesquiera: recipientes vacíos o con más de un objeto.

   * Aplicación inyectiva: todos los recipientes tienen uno o ningún objeto.

   * Aplicación sobreyectiva: no hay ningún recipiente vacío y puede tener más de un objeto.

   * Aplicación biyectiva: todos los recipientes poseen solo objeto.

### Distribución ordenada

Si la distribución se encuentra ordenada existen 8 tipos de distribuciones, en las que los objetos serán distinguibles. Podemos diferenciar entre recipientes distinguibles e indistinguibles.

   * En los recipientes distinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:

      * Aplicaciones cualesquiera:

          El número de distribuciones viene dado por el producto de Permutación por Combinación con repetición: P(k)CR(n,k).
      * Aplicación inyectiva:

          El número de distribuciones viene dado por la Variación: V(n,k) .
      * Aplicación sobreyectiva:

          Para averiguar el número de distribuciones se realiza el producto de Permutación por los números de Lah sin signo: P(n)L(k,n).
      * Aplicación biyectiva:

          El número de distribuciones se calcula por la Permutación: P(n).
   * En los recipientes indistinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones::

      * Aplicaciones cualesquiera:

          El número de distribuciones viene dado por $A(k,n)$ = $\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle L(k,i)$.
      * Aplicación inyectiva:

          El número de distribuciones es 1.
      * Aplicación sobreyectiva:

          Para averiguar el número de distribuciones se utiliza los números de Lah sin signo: L(k,n).
      * Aplicación biyectiva:

          El número de distribuciones es 1.

### Distribución no ordenada

Si la distribución se encuentra ordenada existen 16 tipos de distribuciones, en las que podemos diferenciar entre objetos distinguibles e indistinguibles.

   * En los objetos distinguibles, podemos observar los siguientes recipientes:

      * Recipientes distinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:

         * Aplicaciones cualesquiera:

             El número de distribuciones viene dado por la Variación con repetición: VR(n,k).
         * Aplicación inyectiva:

             El número de distribuciones viene dado por la Variación: V(n,k).
         * Aplicación sobreyectiva:

             El número de distribuciones viene dado por el producto de Permutación por el número de Stirling de 2.ª especie:P(n)S(k, n).
         * Aplicación biyectiva:

             El número de distribuciones se calcula por la Permutación: P(n).
      * Recipientes indistinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:

         * Aplicaciones cualesquiera:

             $\sum (k,n)$.
         * Aplicación inyectiva:

             El número de distribuciones es 1.
         * Aplicación sobreyectiva:

             El número de distribuciones se calcula por el número de Stirling de 2.ª especie: S(k, n).
         * Aplicación biyectiva:

             El número de distribuciones es 1.
   * En los objetos indistinguibles, podemos observar los siguientes recipientes:

      * Recipientes distinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:

         * Aplicaciones cualesquiera:

             El número de distribuciones viene dado por Combinación con repetición: CR(n,k).
         * Aplicación inyectiva:

             El número de distribuciones viene dado por Combinación : C(n,k).
         * Aplicación sobreyectiva:

             El número de distribuciones viene dado por Combinación con repetición: CR(n,k-n).
         * Aplicación biyectiva:

             El número de distribuciones es 1.
      * Recipientes indistinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:

         * Aplicaciones cualesquiera:

             Π(k,n).
         * Aplicación inyectiva:

             El número de distribuciones es 1.
         * Aplicación sobreyectiva:

             El número de distribuciones viene dado por p(k,n) que satisface la recurrencia.
         * Aplicación biyectiva:

             El número de distribuciones es 1.

## 3ª Modelización

Partición de un conjunto $S$ de $k$ elementos en $n$ subconjuntos.

En esta modelización se pueden diferenciar distintos tipos de particiones simples:

### Subconjunto no ordenado y elementos distinguibles

Si el subconjunto no está ordenado y sus elementos son distinguibles se aprecian 8 tipos de particiones:

* Particiones ordenadas:
   * Vacío y no unitarios:

       Para obtener el número de particiones se hace mediante Variaciones con repetición: $VR(n,k)$.
   * Vacío y unitarios:

       El total de particiones se obtiene con Variaciones: $V(n,k)$.
   * No vacíos:

       El cálculo de dichas particiones se consiguen mediante el producto de la Permutación por el Números de Stirling de segunda especie: $P(n)$$S(k,n)$.
   * Unitarios:

       La cantidad de particiones viene dada por la Permutación: $P{n}$.
* Particiones no ordenadas:

   * Vacío y no unitarios:

       $\sum (k,n)$.
   * Vacío y unitarios:

       El número de posibles particiones es 1.
   * No vacíos:

       El número de particiones viene dada por el Números de Stirling de segunda especie: $S(k,n)$.
   * Unitarios:

       El número de posibles particiones es 1.

### Subconjunto no ordenado y elementos indistinguibles

Si el subconjunto no está ordenado y sus elementos no se pueden distinguir, pueden apreciarse 8 tipos:

* Particiones ordenadas:
   * Vacío y no unitarios:

       Para calcular las posibles particiones hay que utilizar Combinaciones con repetición: $CR(n,k)$.
   * Vacío y unitarios:

       El número total de particiones viene dado por Combinaciones: $C_{n,k}$.
   * No vacíos:

       La cantidad de particiones se calcula mediante Combinaciones con repetición: $CR(n,k-n)$.
   * Unitarios:

       El número de posibles particiones es 1.
* Particiones no ordenadas:

   * Vacío y no unitarios:

       $\prod (k,n)$.
   * Vacío y unitarios:

       El número de posibles particiones es 1.
   * No vacíos:

       $p(k,n)$.
   * Unitarios:

       El número de posibles particiones es 1.

### Subconjunto ordenado y elementos distinguibles

Si el subconjunto se encuentra ordenado y cuyos elementos son distinguibles, hay 8 tipos de particiones:

* Particiones ordenadas:
   * Vacío y no unitarios:

       El número total de particiones se calcula con el producto de la Permutación por Combinaciones con repetición: $P(n)$$CR(n,k)$.
   * Vacío y unitarios:

       Las posibles particiones vienen dada por la Variación: $V(n,k)$.
   * No vacíos:

       Para el cálculo de las posibles particiones se realiza el producto de la Permutación por los números de Lah sin singno: $P(n)$$L(k,n)$.
   * Unitarios:

       El número de particiones viene dada por Permutación: $P{n}$.
* Particiones no ordenadas:

   * Vacío y no unitarios:

       El cálculo de particiones viene dado por $A(k,n)$ = $\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle L(k,i)$.
   * Vacío y unitarios:

       El número de posibles particiones es 1.
   * No vacíos:

       Las particiones se calcular mediante los números de Lah sin singno $L(k,n)$ = ${k! \over n!}{\binom {k-1}{n-1}}$.
   * Unitarios:

       El número de posibles particiones es 1.

## 4ª Modelización

Descomposición de un número natural k en n sumandos enteros no negativos. Un entero positivo k se puede descomponer en n sumandos enteros no negativos, se clasifican dependiendo de su descomposición y sus sumandos:

   * La descomposición se puede calificar en dos tipos:

      * Ordena

      * No ordenada

   * Los sumandos pueden clasificarse como:

      * No negativos

      * Cero y uno

      * Positivos

      * Uno

### Descomposición ordenada

Si la descomposición se encuentra ordenada existen 4 tipos de descomposiciones, dependerán del tipo de sumando que sea:

      * No negativos

          El número de descomposiciones vienen dados por la Combinación con repetición: CR(n,k)
      * Cero y uno

          El número de descomposiciones se calculan por la Combinación: C(n,k)
      * Positivos

          Las descomposiciones se calculan por la Combinación con repetición: CR(n,k-n)
      * Uno

          El número de distribuciones es 1

### Descomposición desordenada

Si la descomposición se encuentra desordenada existen 4 tipos de descomposiciones, dependerán del tipo de sumando que sea:

      * No negativos

          Π(k,n)
      * Cero y uno

          El número de distribuciones es 1
      * Positivos

          El número de distribuciones viene dado por p(k,n) que satisface la recurrencia
      * Uno

          El número de distribuciones es 1
