Ecuación de segundo grado
# Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es aquella que tiene la expresión general:

* Ecuación de segundo grado
* $ax^{2}+bx+c=0\;,\quad a\neq 0$

donde $x$ es la variable, y $a$, $b$ y $c$ constantes; $a$ es el coeficiente cuadrático (distinto de cero), $b$ el coeficiente lineal y $c$ es el término independiente. Este polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola. Esta representación gráfica es útil, porque las abscisas de las intersecciones o punto de tangencia de esta gráfica, en el caso de existir, con el eje $Ox$ son las raíces reales de la ecuación. Si la parábola no corta el eje $Ox$ las raíces son números complejos. El primer coso (raíces reales) corresponde a un discriminante positivo, y el segundo (raíces complejas) a uno negativo.

## Historia

Las ecuaciones de segundo grado y su solución de las ecuaciones se conocen desde la antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla. Fue encontrado independientemente en otros lugares del mundo. En Grecia, el matemático Diofanto de Alejandría aportó un procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones (aunque su método solo proporcionaba una de las soluciones, incluso en el caso de que las dos soluciones sean positivas). La primera solución completa la desarrolló el matemático Al-Juarismi (o Al-Khwarizmi según otras grafías), en el siglo IX en su trabajo Compendio de cálculo por reintegración y comparación, cerrando con ello un problema que se había perseguido durante siglos. Basándose en el trabajo de Al-Juarismi, el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, discute la solución de estas ecuaciones. Hay que esperar a Évariste Galois para conseguir resolver en general las ecuaciones polinómicas, o saber cuándo son irresolubles por radicales, que viene a ser una generalización de los métodos de resolución de las ecuaciones de segundo grado.

La primera gran dificultad pudo surgir en la solución de ecuaciones cuadráticas se dio con la ecuación $x^{2}-2=0$ en la época de los pitagóricos, al calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 ya que no se podía expresar la raíz cuadrada de dos como razón de dos números enteros.

En el Renacimiento al resolver $x^{2}+1=0$ que requiere hallar un número real cuyo cuadrado sea -1, se superó con la construcción de números imaginarios y la invención de la unidad imaginaria i, definida mediante la igualdad $i^{2}=-1$.

## Soluciones de la ecuación de segundo grado

Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Fórmula general para la obtención de raíces:

   $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Se usa ± para indicar las dos soluciones:

    $x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ y $\ x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
* Deducción de la solución
* La deducción de la fórmula cuadrática proviene de la fórmula de completar el cuadrado:
* La ecuación canónica de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente principal, de forma que
* $ax^{2}+bx+c=0\ \Leftrightarrow \ x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$
* Para simplificar la demostración, se asume que $m={\frac {b}{a}}$ y $n={\frac {c}{a}}$:
* Desde la ecuación
* $x^{2}+mx+n=0\,$
* Pasando el término $n$ a la derecha:
* $x^{2}+mx=-n\,$
* Sumando ${\frac {m^{2}}{4}}$ a ambos lados de la ecuación para completar cuadrados:
* $x^{2}+mx+{\frac {m^{2}}{4}}={\frac {m^{2}}{4}}-n$
* Simplificamos el primer miembro a un binomio cuadrado
* $\left(x+{\frac {m}{2}}\right)^{2}={\frac {m^{2}}{4}}-n$
* Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros
* $x+{\frac {m}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {m^{2}}{4}}-n}}$
* Aislando $x\,$ y simplificando la fracción de la raíz
* $x=-{\frac {m}{2}}\pm {\sqrt {\frac {m^{2}-4n}{4}}}$
* Simplificando a común denominador
* $x={\frac {-m\pm {\sqrt {m^{2}-4n}}}{2}}$
* si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado
* $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
* La demostración sin cambio de variables se puede ver aquí:
* Partimos de nuestra ecuación simplificada:
* $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$
* Pasamos al otro término ${\frac {c}{a}}$:
* $x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}$
* Sumamos ${\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$ para obtener un binomio desarrollado:
* $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}$
* El trinomio a la izquierda es un cuadrado perfecto; simplificando a común denominador el segundo miembro:
* $\,\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$
* Extrayendo las 2 posibles raíces cuadradas, obtenemos:
* $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$
* Moviendo ${\frac {b}{2a}}$ y aplicando la raíz al denominador:
* $x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$
* Simplificando a común denominador:
* $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

### Naturaleza de las raíces según el discriminante

El discriminante es $\Delta =b^{2}-4ac$ y sirve para analizar la naturaleza de las raíces que pueden ser reales o complejas.

■ $\Delta >0$: dos raíces reales distintas. la parábola corta el eje de las abscisas en dos puntos diferentes.

       ${\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{y}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}.$

■ $\Delta =0$: una raíz real, pero de multiplicidad dos o doble. La parábola solo toca en un único punto al eje de las abscisas.

       $-{\frac {b}{2a}}.\,\!$

■ $\Delta <0$: dos raíces complejas conjugadas. La parábola no corta al eje de las abscisas.

       ${\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},\quad {\text{y}}\quad {\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},$
    donde i es la unidad imaginaria.

## Coeficiente principal uno en la ecuación completa

Cuando el término principal o cuadrático no tiene el coeficiente expreso, se sobreentiende que es 1, la ecuación se escribe: $x^{2}+px+q=0$, cuyas raíces son:

   $x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$

La ecuación cuadrática también se puede resolver con un cambio de variable. Consideremos la ecuación de segundo grado $x^{2}+bx+c=0$. Haciendo el cambio de variable $x=z+d$, se puede buscar $d$ para hacer que el coeficiente de $z$ en la cuadrática que resulte sea cero y que la ecuación se simplifique a una de la forma $z^{2}=K$. (En la práctica, si es fácil de ver, este método se simplifica apelando a las fórmulas de Vieta: el coeficiente de la $x$ es la suma de las raíces cambiada de signo y $c$ es su multiplicación).

Ejemplo: Resolver la ecuación $x^{2}-10x+16=0$

Solución: Como las raíces, digamos $x_{1},x_{2}$ suman 10, si a cada una le resto 5 podremos lograr transformar la ecuación original en una que no tenga término en $x$. Ello sugiere el cambio de variable $z=x-5$ que hace $x=z+5$. Este cambio de variable resulta en la ecuación simplificada $z^{2}=9$ de solución 3 y su opuesto. Dado que $x=z+5$ encontramos las soluciones $x_{1},x_{2}$ restando y sumando, respectivamente, 3 al 5: $x_{1}=2$, $x_{2}=8$.

## Ecuaciones incompletas

### Sin término independiente

Son de la forma:

   $ax^{2}+bx=0\quad \longrightarrow \quad x\,(ax+b)=0$

cuyas raíces son:

   $x=0\quad {\acute {o}}\quad ax+b=0$

esto es:

   $x_{1}=0\;;\quad x_{2}={\cfrac {-b}{a}}$

### Sin término lineal

Son de la forma $ax^{2}+c=0$, cuyas raíces son reales opuestos o imaginarios puros opuestos.

   Si ${\frac {-c}{a}}>0$ las raíces son reales: $x_{1}={\sqrt {\frac {-c}{a}}}$ o $x_{2}=-{\sqrt {\frac {-c}{a}}}$
   Si ${\frac {-c}{a}}<0$ las raíces son imaginarias puras: $x_{1}=i{\sqrt {\frac {c}{a}}}$ o $x_{2}=-i{\sqrt {\frac {c}{a}}}$

## Completa con coeficiente lineal par

En este caso aparece como coeficiente del término de primer grado un número par $2m$ y la ecuación es

   $ax^{2}+2mx+n=0$

, siendo las raíces

   $x_{1,2}={\frac {-m\pm {\sqrt {m^{2}-an}}}{a}}$

## Completa reducida con coeficiente lineal par

En este caso el coeficiente principal es 1; el coeficiente lineal es par y asume la forma

   $x^{2}+2mx+n=0$

cuyas raíces son

   $x_{1,2}=-m\pm {\sqrt {m^{2}-n}}$

## Ecuación bicuadrada

Estas son un caso particular de la ecuación de cuarto grado. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencias. Su forma polinómica es:

    $ax^{4}+{bx^{2}}^+c=0$

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable ${x^{2}}^=u$

Con lo que queda: ${au^{2}}^+bu+c=0$ El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula:

$u_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\qquad u_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Al deshacer el cambio de variable aparecen las cuatro soluciones:

    $x_{1}=+{\sqrt {u_{1}}}$
    $x_{2}=-{\sqrt {u_{1}}}$
    $x_{3}=+{\sqrt {u_{2}}}$
    $x_{4}=-{\sqrt {u_{2}}}$

### Ecuación bicuadrada simétrica

Una ecuación bicuadrada simétrica asume la forma:

   $\alpha x^{4}+\beta x^{2}+\alpha =0$

### Ecuación bicuadrada antisimétrica

Cuando el primer coeficiente y el término independiente son opuestos

   $\alpha x^{4}+\beta x^{2}-\alpha =0$

### Relaciones de raíces y coeficientes

Partiendo de que tenemos una ecuación cuadrática con raíces $x_{1},x_{2}\,$, podemos construir el binomio a partir de estas con:

    $(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})=0\,$
    $x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}=0\,$
    $ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}=0\,$
    $ax^{2}+bx+c=0\,$

De lo que se deduce:

Suma de raíces

* $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\,$
* Demostración a partir de Cardano Vieta
* Partiendo de igualar los términos del mismo grado
* $-a(x_{1}+x_{2})x=bx\,$
* Se despeja la suma y se divide por x
* $(x_{1}+x_{2})=-{\frac {b}{a}}\,$

Producto de raíces

* $x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}\,$
* Demostración a partir de Cardano Vieta
* Partiendo de igualar los términos del mismo grado
* $ax_{1}x_{2}=c\,$
* Se despeja el producto de raíces:
* $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\,$

Observación:

* $(x_{1}+x_{2})^{2}-(x_{1}-x_{2})^{2}=4(x_{1}\cdot x_{2})\,$
* Desarrollando los binomios:
* $x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}-(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\,$
* Donde finalmente queda:
* $4x_{1}x_{2}\,$

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={b^{2}-2ac \over a^{2}}$

En el caso de la ecuación $x^{2}+px+q=0$ se tiene

    $q=x_{1}\cdot x_{2}$
    $\sigma _{1}=x_{1}+x_{2}=-p$
    $\sigma _{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=p^{2}-2q$
    $\sigma _{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=p\cdot (p^{2}-3q)$
    $\sigma _{4}=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\sigma _{2}^{2}-2q^{2}$

**Relación entre la fórmula general y la proporción áurea**

solo en la solución real, si en la fórmula general el valor de las variables es el siguiente o se presenta el siguiente caso en que:

$a=1,b=-1,c=b$

entonces la fórmula general dará como resultado el número áureo

${\frac {-(-1)+{\sqrt {(-1)^{2}-4(1)(-1)}}}{2(1)}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi$

## Ecuación trinomia de grado par

Es una ecuación de la forma:

$ax^{2m}+bx^{m}+c=0$

donde usualmente:

$a,b,c\in \mathbb {Q}$

$m\in \mathbb {Z}$, $m\geq 2$

$a\neq 0$

Para resolver se hace la sustitución: de lo siguiente

$x^{m}=t$

con lo que resulta la ecuación original como:

$at^{2}+bt+c=0$

Finalmente de:

$x^{m}=t$

se hallan los valores de $x$ mediante:

$x=t^{\frac {1}{m}}$

con seguridad, en el campo de los números complejos, hay $2m$ raíces.

