Teorema de los tres círculos de Hadamard
# Teorema de los tres círculos de Hadamard

En análisis complejo, una rama de las matemáticas, el teorema de los tres círculos de Hadamard es un resultado sobre el comportamiento de las funciones holomorfas.

Sea $f(z)$ una función holomorfa en un dominio anular

    $r_{1}\leq \left|z\right|\leq r_{3}.$

Sea $M(r)$ el máximo de $|f(z)|$ en el círculo $|z|=r.$ Entonces, $\log M(r)$ es una función convexa del logaritmo $\log(r).$ Además, si $f(z)$ no tiene la forma $cz^{\lambda }$ para algunas constantes $\lambda$ y $c$, entonces $\log M(r)$ es estrictamente convexo por ser una función de $\log(r).$

La conclusión del teorema se puede reformular como

    $\log \left({\frac {r_{3}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{2})\leq \log \left({\frac {r_{3}}{r_{2}}}\right)\log M(r_{1})+\log \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{3})$

para tres círculos concéntricos cualesquiera de radios $r_{1}<r_{2}<r_{3}.$

## Historia

John Edensor Littlewood dio una declaración y una demostración del teorema en 1912, pero no lo atribuye a nadie en particular, y lo declara como un teorema conocido. Harald Bohr y Edmund Landau atribuyen el teorema a Jacques Hadamard (1896); pero el propio Hadamard no publicó ninguna demostración.

## Demostración

El teorema de los tres círculos se deriva del hecho de que para cualquier a real, la función Re log(zaf(z)) es armónica entre dos círculos y, por lo tanto, toma su valor máximo en uno de los círculos. El teorema se sigue eligiendo la constante a de modo que esta función armónica tenga el mismo valor máximo en ambos círculos.

El teorema también se puede deducir directamente del teorema de las tres rectas de Hadamard.

