Relación euclidiana
# Relación euclidiana

En matemáticas, las relaciones euclidianas son una clase de relación binarias que formalizan "Axioma 1" en Elementos de Euclides': "Magnitudes que son iguales a la misma son iguales entre sí".

## Definición

Una relación binaria R sobre un conjunto X es euclídea (a veces llamada euclídea derecha) si satisface lo siguiente: para cada a, b, c en X, si a está relacionada con b y c, entonces b está relacionada con c. Para escribir esto en lógica de predicados:

    $\forall a,b,c\in X\,(a\,R\,b\land a\,R\,c\to b\,R\,c).$

A su vez, una relación R en X es euclídea de izquierda si para cada a, b, c en X, si b está relacionada con a y c está relacionada con a, entonces b está relacionada con c:

    $\forall a,b,c\in X\,(b\,R\,a\land c\,R\,a\to b\,R\,c).$

## Propiedades

* Debido a la conmutatividad de ∧ en el antecedente de la definición, aRb ∧ aRc implica incluso bRc ∧ cRb cuando R es euclídea derecha. Del mismo modo, bRa ∧ cRa implica bRc ∧ cRb cuando R es euclídea izquierda.
* La propiedad de ser euclidiano es diferente de transitividad. Por ejemplo, ≤ es transitiva, pero no euclídea derecha, mientras que xRy definida por 0 ≤ x ≤ y + 1 ≤ 2 no es transitiva, sino euclídea derecha en número naturals.
* Para relación simétricas, la transitividad, la euclidiana derecha y la euclidiana izquierda coinciden. Sin embargo, también una relación no simétrica puede ser a la vez transitiva y euclidiana derecha, por ejemplo, xRy definida por y=0.
* Una relación que es a la vez euclídea derecha y reflexiva es también simétrica y, por tanto, una relación de equivalencia. Análogamente, cada relación euclídea izquierda y reflexiva es una equivalencia.
* La rango de una relación euclídea derecha es siempre un subconjunto de su dominio. La restricción de una relación euclídea derecha a su rango es siempre reflexiva, y por lo tanto una equivalencia. Análogamente, el dominio de una relación euclídea izquierda es un subconjunto de su rango, y la restricción de una relación euclídea izquierda a su dominio es una equivalencia. Por tanto, una relación euclídea derecha sobre X que sea también total derecha (respectivamente una relación euclídea izquierda sobre X que sea también total izquierda) es una equivalencia, ya que su rango (respectivamente su dominio) es X.
* Una relación R es a la vez euclídea izquierda y derecha, si, y sólo si, el conjunto dominio y el conjunto rango de R coinciden, y R es una relación de equivalencia sobre ese conjunto.
* Una relación euclidiana derecha es siempre cuasitransitiva, como es una relación euclídea izquierda..
* Una relación euclídea derecha connected siempre es transitiva; y por tanto es una relación euclídea izquierda conexa.
* Si X tiene al menos 3 elementos, una relación euclídea derecha conexa R sobre X no puede ser antisimétrica, y tampoco puede una relación euclidiana izquierda conectada en X. En el conjunto de 2 elementos X = { 0, 1 }, e. g. la relación xRy definida por y=1 es conexa, euclídea derecha y antisimétrica, y xRy definida por x=1 es conexa, euclídea izquierda y antisimétrica.
* Una relación R sobre un conjunto X es euclídea derecha si, y sólo si, la restricción RPlantilla:Prime := $R|_{ran(R)}$ es una equivalencia y para cada x en X\ran(R), todos los elementos con los que x está relacionada bajo R son equivalentes bajo RPlantilla:Prime. Análogamente, R en X es euclídea izquierda si, y sólo si, RPlantilla:Prime := $R|_{dom(R)}$ es una equivalencia y para cada x en X\dom(R), todos los elementos que están relacionados con x bajo R son equivalentes bajo RPlantilla:Prime.
* Una relación euclidiana izquierda es izquierda-única si, y sólo si, es antisimétrica. Análogamente, una relación euclídea derecha es única derecha si, y sólo si, es antisimétrica.
* Una relación euclídea izquierda y única izquierda es transitiva vacua, y también lo es una relación euclídea derecha y única derecha.
* Una relación euclídea izquierda es cuasi-reflexiva izquierda. Para las relaciones únicas por la izquierda, la inversa también es válida. A su vez, cada relación euclidiana derecha es cuasi-reflexiva derecha, y cada relación única derecha y cuasi-reflexiva derecha es euclidiana derecha.
