Funzione implicita
# Funzione implicita

In matematica, una funzione implicita è una funzione definita attraverso un'equazione implicita, ovvero da una relazione della forma $R(x_{1},\dots ,x_{n})=0$, dove $R$ è una funzione di diverse variabili (spesso si tratta di un polinomio). Ad esempio, l'equazione implicita della circonferenza unitaria è $x^{2}+y^{2}-1=0$.

Le funzioni implicite associano una variabile dell'equazione alle altre variabili, e in questo modo l'equazione definisce "implicitamente" la funzione implicita. Per esempio la funzione implicita per la circonferenza unitaria è caratterizzata con:

    $x^{2}+[f(x)]^{2}-1=0$

che definisce $f$ come una funzione di $x$ se e solo se $-1\leq x\leq 1$ e si considerano soltanto valori della funzione positivi (o soltanto negativi). Un altro classico esempio di funzione implicita è la funzione inversa, data dall'equazione $R(x,y)=x-f(y)=0$, che ha per soluzione:

    $y=f^{-1}(x)$

Il teorema delle funzioni implicite fornisce le condizioni per cui un'equazione definisce una funzione implicita.

## Esempi

Prendiamo come altro esempio la sfera definita in $R^{3}$. La sua equazione in forma parametrica sarà:

${\begin{cases}x=R\;sin\phi \;cos\theta \\y=R\;sin\phi \;sin\theta \\z=R\;cos\phi \end{cases}}$

Possiamo notare che la parametrizzazione, pur essendo di una sfera nello spazio di 3 variabili, sia dipendente soltanto da 2 parametri ($\theta$ e $\phi$).

Analogamente, la sua forma implicita sarà definita dalla seguente equazione:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}=0$

quindi, tramite un'equazione in 3 variabili.

