Funzione differenziabile
# Funzione differenziabile

In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria differenziale, una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata a meno di un resto infinitesimo da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo di quel punto.

Affinché ciò si verifichi è necessario (ma non sufficiente) che tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistano, cioè se è differenziabile, allora è derivabile nel punto poiché esistono e sono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali. Il concetto di differenziabilità permette di generalizzare il concetto di funzione derivabile a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e la differenziabilità di una funzione permette di individuare per ogni punto del suo grafico un iperpiano tangente.

Una funzione può essere differenziabile $k$ volte, e si parla in questo caso di funzione di classe $C^{k}$. Una funzione differenziabile infinite volte è inoltre detta liscia. Nell'analisi funzionale le distinzioni fra le varie classi $C^{k}$ sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine "funzione differenziabile" per definire una funzione liscia.

## Definizione

Una funzione:

    $\mathbf {F} \colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$

definita su un insieme aperto dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ è detta differenziabile in un punto $\mathbf {x} _{0}$ del dominio se esiste una applicazione lineare:

    $\mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$

tale che valga l'approssimazione:

    $\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0})=\mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} +\mathbf {r} (\mathbf {h} ),$

dove $\mathbf {r} (\mathbf {h} )$ si annulla, con ordine di infinitesimo maggiore di 1, all'annullarsi dell'incremento $\mathbf {h}$. Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:

    $\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0})-\mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}}=\mathbf {0} .$

Se la funzione $\mathbf {F}$ è differenziabile in $\mathbf {x} _{0}$, l'applicazione $\mathbf {L}$ è rappresentata dalla matrice jacobiana $J_{F}$.

Il vettore:

    $\mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} =\mathrm {d} \mathbf {F} (\mathbf {x} _{0})=J_{F}\mathbf {h}$

si chiama differenziale (esatto) di $\mathbf {F}$ in $\mathbf {x} _{0}$ ed $\mathbf {L} (\mathbf {x_{0}} )$ viene detto derivata o anche derivata totale della funzione $\mathbf {F}$.

La funzione $\mathbf {F}$ è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio. In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre funzioni continue. Se inoltre l'applicazione che associa $\mathbf {x}$ a $\mathbf {L} (\mathbf {x} )$ è continua, la funzione si dice differenziabile con continuità.

Nel caso di una funzione $f$ di una variabile definita su un intervallo aperto dell'asse reale, essa è detta differenziabile in ${x}_{0}$ se esiste un'applicazione lineare ${L}({x}_{0}):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ tale che:

    $\lim _{{h}\to {0}}{\frac {{f}({x}_{0}+{h})-{f}({x}_{0})-{L}({x}_{0}){h}}{h}}={0}$

ed in tal caso si ha:

    $L(x)=f'(x).$

## Matrice jacobiana

Se una funzione è differenziabile in un punto allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono, ma non vale il viceversa. Tuttavia, se tutte le derivate parziali esistono e sono continue in un intorno del punto allora la funzione è differenziabile nel punto, ovvero è di classe $C^{1}$.

Dette $\{\mathbf {e} _{j}\}_{1\leq j\leq n}$ e $\{\mathbf {u} _{i}\}_{1\leq i\leq m}$ le basi canoniche di $\mathbb {R} ^{n}$ e $\mathbb {R} ^{m}$ rispettivamente, si ha:

    $\mathbf {L} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {e} _{j}=\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial F_{i}(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}}}\cdot \mathbf {u} _{i}.$

L'applicazione lineare $\mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})$ è quindi rappresentata nelle basi canoniche da una matrice $m\times n$, detta matrice jacobiana $J_{F}$ di $F$ in $\mathbf {x} _{0}$.

Il $j$-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato dalla precedente relazione, e si ha:

    $\mathbf {L} (\mathbf {x} )\mathbf {h} =\sum _{i=1}^{m}\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial F_{i}(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}}}h_{j}\right]\mathbf {u} _{i}=J_{F}\mathbf {h} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}\mathbf {h} .$

A seconda delle dimensioni $m$ e $n$, il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

* Se $m=1$, la matrice jacobiana si riduce ad un vettore $n$-dimensionale, chiamato gradiente di $F$ in $\mathbf {x} _{0}$. In tal caso si ha:

    $L(\mathbf {x} )=\nabla F(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}}}\mathbf {e} _{i}\qquad \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {{F}(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-{F}(\mathbf {x} _{0})-\nabla F(\mathbf {x} _{0})\cdot \mathbf {h} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}}={0}.$
    Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.
* Se $n=1$, la funzione $F$ parametrizza una curva in $\mathbb {R} ^{m}$, il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.
* Se $m=n=1$, la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla derivata.

## Differenziabilità in analisi complessa

Sia $U$ un sottoinsieme aperto del piano complesso $\mathbb {C}$. Una funzione $f\colon U\to \mathbb {C}$ è differenziabile in senso complesso ($\mathbb {C}$-differenziabile) in un punto $z_{0}$ di $U$ se esiste il limite:

    $f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.$

Il limite va inteso in relazione alla topologia del piano. In altre parole, per ogni successione di numeri complessi che convergono a $z_{0}$ il rapporto incrementale deve tendere allo stesso numero, indicato con $f'(z_{0})$. Se $f$ è differenziabile in senso complesso in ogni punto $z_{0}$ di $U$, essa è una funzione olomorfa su $U$. Si dice inoltre che $f$ è olomorfa nel punto $z_{0}$ se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che $f$ è olomorfa in un insieme non aperto $A$ se è olomorfa in un aperto contenente $A$.

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa $f(z)\equiv f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)$ è olomorfa allora $u$ e $v$ possiedono derivata parziale prima rispetto a $x$ e $y$ e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann:

    ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$

In modo equivalente, la derivata di Wirtinger $\partial f/\partial {\overline {z}}$ di $f$ rispetto al complesso coniugato ${\overline {z}}$ di $z$ è nulla.

## Proprietà delle funzioni differenziabili

* Una funzione differenziabile in un punto $\mathbf {x} _{0}$ è continua in $\mathbf {x} _{0}$. Infatti:

       $\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})=\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-A\mathbf {h} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}}+{A\mathbf {h} }=\mathbf {0}$
    per la definizione data di funzione differenziabile e per la continuità delle funzioni lineari.
* Se $F\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ è una funzione differenziabile in $\mathbf {x} _{0}$, allora essa ammette tutte le derivate parziali in $\mathbf {x} _{0}$. Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in un punto garantisca anche la differenziabilità nel punto. Ad esempio, la funzione reale di due variabili reali:

       $F(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0&(x,y)=(0,0)\\{\frac {xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}}&(x,y)\neq (0,0)\end{matrix}}\right.$
    ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che in $(0,0)$ la funzione non sia continua impedisce la sua differenziabilità in $(0,0)$. Tuttavia, se $F$ è di classe $C^{1}$ in un intorno di $\mathbf {x} _{0}$, cioè se esistono tutte le derivate parziali di $F$ e queste sono funzioni continue, allora $F$ è differenziabile in $\mathbf {x} _{0}$. Vale quindi, se $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ è aperto, che $F\in C^{1}(\Omega )$ implica la differenziabilità in $\Omega$ che implica a sua volta che $F\in C^{0}(\Omega )$.

## Approssimazioni

Da un punto di vista informale, una funzione differenziabile è una funzione tale da apparire sempre più simile ad una trasformazione affine quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. La trasformazione affine che approssima $F$ in un intorno di $\mathbf {x} _{0}$ è la funzione:

    $\mathbf {x} \mapsto F(\mathbf {x} _{0})+\mathrm {D} F(\mathbf {x} _{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}).$

Per verificarlo, si consideri un intorno di $\mathbf {x} _{0}$ di raggio $\delta$.

Se si effettua uno zoom sul grafico di $F$ in modo che l'intorno ci appaia di raggio $1$, la distanza che si vede tra la funzione $F$ e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h}$ è uguale a:

    ${\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-\mathrm {D} F(\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\delta }},$

dove la divisione per $\delta$ corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che si sta operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che si vede nell'intorno riscalato è:

    $\sup _{\left\|\mathbf {h} \right\|\leq \delta }{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-\mathrm {D} F(\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\delta }},$

ora si può dimostrare che dalla definizione di differenziabilità di $F$ si deduce che:

    $\lim _{\delta \to 0}\sup _{\left\|\mathbf {h} \right\|\leq \delta }{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-DF(\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\delta }}=0,$

il che significa che quello che si osserva ingrandendo progressivamente il grafico di $F$ e della sua approssimazione affine intorno a $\mathbf {x} _{0}$ è che questi tendono a coincidere. Viceversa, la relazione implica direttamente la differenziabilità di $F$.

