Funzione tau sui positivi
# Funzione tau sui positivi

In matematica, la funzione tau sui positivi (o funzione dei divisori) è una funzione, solitamente indicata con $\tau$ o $\operatorname {d}$, che associa a ogni numero intero positivo $n$ il numero $\tau (n)$ dei suoi divisori, inclusi uno e il numero stesso.

La funzione vale $1$ per $n=1$, vale $2$ per tutti i numeri primi e ha valore maggiore di $2$ per tutti gli altri interi positivi. Inoltre la funzione $\tau$ è una funzione moltiplicativa.

Se $n=p_{1}^{q_{1}}p_{2}^{q_{2}}\cdots p_{k}^{q_{k}}$ (dove questa è la fattorizzazione di $n$ in numeri primi), allora vale la formula

    $\tau (n)=(q_{1}+1)(q_{2}+1)\cdots (q_{k}+1).$

Da questa scrittura appare evidente che la funzione è dispari se e solo se $\displaystyle n$ è un quadrato perfetto.

Segue una tabella dei valori di $\tau$ per i primi 20 numeri interi positivi:

| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| $\tau (n)$ | 1 | 2 | 2 | 3 | 2 | 4 | 2 | 4 | 3 | 4 |
| $n$ | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| $\tau (n)$ | 2 | 6 | 2 | 4 | 4 | 5 | 2 | 6 | 2 | 6 |

## Proprietà

La funzione divisore appare nei coefficienti della serie di Dirichlet del quadrato della funzione zeta di Riemann:

    $\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {\tau \left(n\right)}{n^{s}}}=\zeta \left(s\right)^{2}$

Inoltre, costituisce un caso particolare della funzione sigma, in quanto si ha $\tau \left(n\right)=\sigma _{0}\left(n\right)$. In particolare, soddisfa la seguente identità di Lambert:

    $\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{n=1}^{+\infty }\tau \left(n\right)x^{n}$

## Codice

In C

