Prodotto di Cauchy
# Prodotto di Cauchy

In analisi matematica, il prodotto di Cauchy (o secondo Cauchy) di due successioni di termine generale $a_{n}$ e $b_{n}$ è la successione avente come termine generale.

    $c_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.$

Questa operazione è la convoluzione discreta delle due successioni.

Il nome è stato attribuito in onore del suo inventore Augustin-Louis Cauchy.

## Serie

Un'importante applicazione di questa definizione si ha nel contesto delle serie: date due serie

    $\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=0}^{+\infty }b_{n},$

a termini reali o complessi, il loro prodotto di Cauchy è la serie

    $\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n},\qquad \ {\textrm {con}}\quad c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.$

Se entrambe le serie convergono, e almeno una è assolutamente convergente, allora la serie prodotto converge al prodotto delle somme delle due serie di partenza, ossia

    $\sum _{n=0}^{+\infty }{c_{n}}=\sum _{n=0}^{+\infty }{a_{n}}\cdot \sum _{n=0}^{+\infty }{b_{n}}$

Se inoltre entrambe le serie convergono assolutamente, allora converge assolutamente anche la serie prodotto.

### Osservazione

Il prodotto di due serie convergenti, ma non assolutamente convergenti, può non essere convergente. Ad esempio, il prodotto della serie convergente

    $\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}$

con sé stessa risulta divergente, in quanto il termine generale del prodotto di Cauchy è

    ${\frac {1}{\sqrt {k+1}}}{\frac {1}{\sqrt {n+1-k}}}\geq {\frac {1}{n+1}},$

che è la serie armonica. La maggiorazione, per il criterio del confronto, implica la divergenza della serie prodotto.

## Sommatorie

Se il prodotto avviene tra due sommatorie che non si estendono fino all'infinito, ma fino ad un valore finito $n,$ a termini reali o complessi, il loro prodotto di Cauchy è la sommatoria definita come

    $\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot \sum _{k=0}^{n}b_{k}=\sum _{k=0}^{2n}\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}-\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}b_{i}+b_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}a_{i}\right)$

purché $a_{k}$ e $b_{k}$ siano definiti per $k$ compreso tra 0 e $2n.$

Nel caso in cui $n\to +\infty$, si ritrova il prodotto di Cauchy per le serie.

