Élie Joseph Cartan
# Élie Joseph Cartan

Élie Joseph Cartan (Dolomieu, 9 aprile 1869 – Parigi, 6 maggio 1951) è stato un matematico francese, noto soprattutto per i suoi contributi fondamentali alla teoria dei gruppi di Lie e alle loro applicazioni geometriche.

Portò importanti contributi anche alla fisica matematica, alla geometria differenziale e alla teoria dei gruppi.

## Biografia

Entrò studente della École Normale Supérieure di Parigi nel 1888 e vi ottenne il dottorato nel 1894. Ebbe quindi docenze a Montpellier e a Lione, e una cattedra a Nancy nel 1903. Ottenne incarichi d'insegnamento a Parigi nel 1909, diventando professore nel 1912, e si ritirò nel 1942. Sposò Marie-Louise Bianconi ed ebbe quattro figli, il noto matematico Henri, Jean, Louis e Hélène.

A Élie Joseph Cartan la UAI ha intitolato il cratere lunare Cartan

## Opere

Come egli stesso scrisse in Notice sur les travaux scientifiques, il tema principale delle sue opere (che ammontano a 186 e vennero pubblicate nel periodo 1893–1947) fu la teoria dei gruppi di Lie. Iniziò lavorando sulle fondamenta delle algebre di Lie complesse semplici, ripulendo il lavoro precedentemente svolto da Friedrich Engel e Wilhelm Killing. Introdusse inoltre la nozione di gruppo algebrico, che non sarebbe stata sviluppata seriamente prima del 1950.

Cartan definì la nozione generale di forma differenziale anti-simmetrica, nello stile oggi in uso; il suo approccio ai gruppi di Lie attraverso le equazioni di Maurer-Cartan richiese l'uso di 2-forme per la loro formulazione. All'epoca venivano generalmente usati quelli che venivano chiamati sistemi pfaffiani. Cartan aggiunse la derivata esterna, come operazione geometrica e completamente indipendente dalle coordinate. Questo concetto porta naturalmente alla necessità di discutere le p-forme, di grado generale p.

Con questi principi base — gruppi di Lie e forme differenziali — finì con il produrre un enorme corpo di opere, e anche alcune tecniche generali come i sistemi di riferimento mobili, che vennero gradualmente incorporate nella corrente principale matematica.

Nella Notice ha classificato i suoi lavori in 15 aree. Usando la terminologia attuale si possono presentare come segue:

* Gruppi di Lie
* Rappresentazioni dei gruppi di Lie
* Numeri ipercomplessi, algebre di divisione
* Sistemi di PDE, teorema di Cartan-Kähler
* Teoria dell'equivalenza
* Sistemi integrabili, teoria del prolungamento e sistemi in involuzione
* Gruppi infinito dimensionali e pseudogruppi
* Geometria differenziale e sistemi di riferimento mobili
* Spazi generalizzati con gruppi di struttura e connessioni, connessione di Cartan, olonomia, tensore di Weyl
* Geometria e topologia dei gruppi di Lie
* Geometria riemanniana
* Spazi simmetrici
* Topologia dei gruppi compatti e loro spazi omogenei
* Invarianti integrali e meccanica classica
* Relatività generale, spinori
