Trasformazione non singolare
# Trasformazione non singolare

In teoria della misura, una trasformazione non singolare è un particolare tipo di trasformazione misurabile tale che l'immagine inversa di insiemi trascurabili (cioè insiemi di misura nulla) attraverso di essa rimane trascurabile. Ogni trasformazione che preserva la misura è necessariamente una trasformazione non singolare, così come ogni trasformazione ergodica.

## Definizione

Una trasformazione misurabile $S\colon X\to X$ su uno spazio di misura $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ è detta non singolare se $\mu (S^{-1}(A))=0$ per ogni insieme $A\in {\mathcal {A}}$ tale che $\mu (A)=0$.

## Teorema di cambiamento di variabile per trasformazioni non singolari

Sia $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ uno spazio di misura, $S\colon X\to X$ una trasformazione non singolare, $f\colon X\to X$ una funzione misurabile tale che $f\circ S\in L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$. Allora per ogni $A\in {\mathcal {A}}$,

    $\int _{S^{-1}(A)}^f(S(x))\mu (dx)=\int _{A}^f(x)\mu S^{-1}(dx)=\int _{A}f(x)J^{-1}(x)\mu (dx),$

con

    $\mu S^{-1}(B)=\mu (S^{-1}(B))$

e $J^{-1}$ tale che

    $\mu (S^{-1}(B))=\int _{B}^J^{-1}(x)\mu (dx).$
