Numeri euleriani
# Numeri euleriani

In combinatoria, il numero euleriano A(n, m) è il numero di permutazioni dei numeri fra 1 e n nelle quali esattamente m elementi sono maggiori di quelli precedenti. Tali numeri sono anche i coefficienti dei polinomi di Eulero:

    $A_{n}(t)=\sum _{m=0}^{n}A(n,m)\ t^{m}.$

I polinomi di Eulero sono definiti dalla funzione generatrice esponenziale:

    $\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}(t)\,{\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {t-1}{t-\mathrm {e} ^{(t-1)\,x}}}.$

Essi possono essere calcolati attraverso la seguente formula ricorsiva:

    $A_{0}(t)=1,\,$
    $A_{n}(t)=t\,(1-t)\,A_{n-1}'(t)+A_{n-1}(t)\,(1+(n-1)\,t),\quad n\geq 1.$

Un modo equivalente per dare questa definizione è quello di definire i polinomi di Eulero induttivamente:

    $A_{0}(t)=1,\,$
    $A_{n}(t)=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}\,A_{k}(t)\,(t-1)^{n-1-k},\quad n\geq 1.$

Le notazioni per questi numeri sono A(n, m), E(n, m) e $\scriptstyle \left\langle {n \atop m}\right\rangle$.

Essi non vanno confusi con i numeri di Eulero.

## Storia

Nel 1755 Eulero si occupò, nel libro Institutiones calculi differentialis, dei polinomi $α_1(x)$ = 1, $α_2(x)$ = x + 1, $α_3(x)$ = $x^2$ + 4x + 1, ecc. Tali polinomi sono una variante di quelli che oggi sono chiamati polinomi di Eulero $A_n(x).$

## Proprietà

Per ogni valore n > 0, l'indice m in A(n, m) può assumere valori compresi tra 0 e n − 1. Per n dato, esiste una sola permutazione con nessun valore maggiore di quello che lo precede; è la permutazione (n, n − 1, n − 2, ..., 1). Inoltre ne esiste una sola con n − 1 valori maggiori del precedente; è la permutazione (1, 2, 3, ..., n). Perciò, A(n, 0) e A(n, n − 1) valgono 1 per ogni valore di n.

L'inversione di una permutazione con m numeri maggiori dei rispettivi numeri precedenti genera un'altra permutazione in cui tali valori sono in quantità n − m − 1. Dunque A(n, m) = A(n, n − m − 1).

I valori di A(n, m) possono essere calcolati a mano per valori piccoli di n e m. Ad esempio, per n ≤ 3, si ha:

    n m Permutazioni A(n, m) 1 0 (1) A(1,0) = 1 2 0 (2, 1) A(2,0) = 1 1 (1, 2) A(2,1) = 1 3 0 (3, 2, 1) A(3,0) = 1 1 (1, 3, 2) (2, 1, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 2) A(3,1) = 4 2 (1, 2, 3) A(3,2) = 1

Per valori più grandi di n, A(n, m) si può calcolare usando la ricorsione

    $A(n,m)=(n-m)A(n-1,m-1)+(m+1)A(n-1,m).$

Da cui, ad esempio:

    $A(4,1)=(4-1)A(3,0)+(1+1)A(3,1)=3\times 1+2\times 4=11.$

I valori di A(n, m) (sequenza A008292 dell'OEIS) per 0 ≤ n ≤ 9 sono:

    n \ m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 2 1 1 3 1 4 1 4 1 11 11 1 5 1 26 66 26 1 6 1 57 302 302 57 1 7 1 120 1191 2416 1191 120 1 8 1 247 4293 15619 15619 4293 247 1 9 1 502 14608 88234 156190 88234 14608 502 1

Questa disposizione triangolare si chiama triangolo di Eulero e condivide alcune caratteristiche con il triangolo di Tartaglia. La somma dei numeri sulla riga n-esima è $n!$.

## Formula chiusa

Una forma chiusa per A(n, m) è la seguente:

    $A(n,m)=\sum _{k=0}^{m+1}(-1)^{k}{\binom {n+1}{k}}(m+1-k)^{n}.$

## Proprietà della somma

È evidente dalla definizione di combinatoria che la somma dei numeri di Eulero per un dato valore di n è il numero totale di permutazioni dei numeri tra 1 e n, ovvero

    $\sum _{m=0}^{n-1}A(n,m)=n!{\text{ per }}n\geq 1.$

La serie alternata dei numeri di Eulero per n dato è strettamente collegata ai numeri di Bernoulli $B_{n+1}$

    $\sum _{m=0}^{n-1}(-1)^{m}A(n,m)={\frac {2^{n+1}(2^{n+1}-1)B_{n+1}}{n+1}}{\text{ per }}n\geq 1.$

Altre sommatorie interessanti per i numeri di Eulero sono:

    $\sum _{m=0}^{n-1}(-1)^{m}{\frac {A(n,m)}{\binom {n-1}{m}}}=0{\text{ per }}n\geq 2,$
    $\sum _{m=0}^{n-1}(-1)^{m}{\frac {A(n,m)}{\binom {n}{m}}}=(n+1)B_{n}{\text{ per }}n\geq 2,$

dove $B_n$ è l'n-esimo numero di Bernoulli.

## Identità

I numeri di Eulero compaiono nella funzione generatrice delle sequenze di potenze n-esime

    $\sum _{k=0}^{\infty }k^{n}x^{k}={\frac {\sum _{m=0}^{n-1}A(n,m)x^{m+1}}{(1-x)^{n+1}}}{\text{ per }}n\geq 0.$

Questo implica che $0^0$ = 0 e A(0,0) = 1 (poiché esiste una permutazione di 0 elementi, e nessuno di essi può essere maggiore di un altro).

L'identità di Worpitzky permette di esprimere $x^n$ come combinazione lineare di numeri di Eulero con i coefficienti binomiali:

    $x^{n}=\sum _{m=0}^{n-1}A(n,m){\binom {x+m}{n}}.$

Da questa identità segue che

    $\sum _{k=1}^{N}k^{n}=\sum _{m=0}^{n-1}A(n,m){\binom {N+1+m}{n+1}}.$

Un'altra curiosa identità è

    ${\frac {e}{1-ex}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}(x)}{n!(1-x)^{n+1}}}.$

Dove il numeratore delle frazioni di destra è un polinomio di Eulero.

## Numeri euleriani di seconda specie

Le permutazioni del multiinsieme {1, 1, 2, 2, ···, n, n} con la proprietà che, per ogni k, tutti i numeri compresi tra le due occorrenze di k nella permutazione sono maggiori di k, possono essere contate attraverso il semifattoriale $(2n-1)!!$. I numeri euleriani di seconda specie, indicati con $\scriptstyle \left\langle \!\!\left\langle {n \atop m}\right\rangle \!\!\right\rangle$, servono a contare il numero di permutazioni con esattamente m elementi che sono più grandi dell'elemento che li precede. Ad esempio, se n = 3 ci sono 15 permutazioni di questo tipo:

    $332211,\;$
    $221133,\;221331,\;223311,\;233211,\;113322,\;133221,\;331122,\;331221,$
    $112233,\;122133,\;112332,\;123321,\;133122,\;122331.$

I numeri euleriani di seconda specie soddisfano la relazione di ricorrenza, che discende dalla definizione:

    $\left\langle \!\!\left\langle {n \atop m}\right\rangle \!\!\right\rangle =(2n-m-1)\left\langle \!\!\left\langle {n-1 \atop m-1}\right\rangle \!\!\right\rangle +(m+1)\left\langle \!\!\left\langle {n-1 \atop m}\right\rangle \!\!\right\rangle ,$

con la condizione iniziale che n = 0, espressa attraverso le parentesi di Iverson:

    $\left\langle \!\!\left\langle {0 \atop m}\right\rangle \!\!\right\rangle =[m=0].$

Analogamente, i polinomi euleriani di seconda specie, qui indicati con $P_n$ (non esiste una notazione standard) sono

    $P_{n}(x):=\sum _{m=0}^{n}\left\langle \!\!\left\langle {n \atop m}\right\rangle \!\!\right\rangle x^{m}$

e per essi vale la seguente relazione di ricorrenza:

    $P_{n+1}(x)=(2nx+1)P_{n}(x)-x(x-1)P_{n}^{\prime }(x)$

con condizione iniziale

    $P_{0}(x)=1.$

Quest'ultima ricorrenza può essere scritta in modo più compatto attraverso un fattore di integrazione:

    $(x-1)^{-2n-2}P_{n+1}(x)=\left(x(1-x)^{-2n-1}P_{n}(x)\right)^{\prime }$

tale che la funzione razionale

    $u_{n}(x):=(x-1)^{-2n}P_{n}(x)$

soddisfa la seguente relazione di ricorrenza:

    $u_{n+1}=\left({\frac {x}{1-x}}u_{n}\right)^{\prime },\quad u_{0}=1,$

da cui si ottengono i polinomi di Eulero nella forma $P_n(x)$ = $(1−x)^{2n}$ $u_n(x),$ e i numeri euleriani di seconda specie come coefficienti.

Questi sono i primi valori per i numeri euleriani di seconda specie (sequenza A008517 dell'OEIS):

    n \ m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 2 1 2 3 1 8 6 4 1 22 58 24 5 1 52 328 444 120 6 1 114 1452 4400 3708 720 7 1 240 5610 32120 58140 33984 5040 8 1 494 19950 195800 644020 785304 341136 40320 9 1 1004 67260 1062500 5765500 12440064 11026296 3733920 362880

In cui, di conseguenza, la somma della riga n-esima (che corrisponde anche al valore di $P_n(1)),$ è $(2n-1)!!$.

