Convoluzione
# Convoluzione

In matematica, in particolare nell'analisi funzionale, la convoluzione è un'operazione tra due funzioni di una variabile che consiste nell'integrare il prodotto tra la prima e la seconda traslata di un certo valore. Ha una forte somiglianza con la correlazione incrociata.

La convoluzione viene utilizzata in vari campi della fisica, della statistica, dell'elettronica, dell'analisi d'immagini e della grafica computerizzata. Quando si studiano sistemi dinamici lineari stazionari, l'uscita è data dalla convoluzione tra il segnale in ingresso e la risposta all'impulso del sistema, la cui trasformata di Laplace (o la trasformata di Fourier) è la funzione di trasferimento del sistema.

## Definizione

Si considerino due funzioni $f(t)$ e $g(t)$ definite da $\mathbb {R}$ in sé, con $f$ e $g$ integrabili secondo Lebesgue su $\mathbb {R}$. Si definisce convoluzione di $f$ e $g$ la funzione definita nel seguente modo:

    $(f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\ \mathrm {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\ \mathrm {d} \tau$

dove $\int _{-\infty }^{\infty }$ denota l'integrale definito sull'insieme dei numeri reali. Le limitazioni poste alle funzioni $f$ e $g$ assicurano che l'integrale sia un numero reale. È cioè l'integrale del prodotto delle due funzioni dopo che una delle funzioni di partenza è stata rovesciata e traslata, e si può considerare una forma di trasformata integrale. L'ultimo passaggio si può dimostrare considerando $(t-\tau )=\tau '$: operando la sostituzione nella prima formula si ottiene la seconda ritornando a chiamare $\tau '$ con il nome di $\tau$.

Spesso alla variabile $t$ si fa corrispondere il tempo, ed in tale contesto la convoluzione può essere descritta come la media pesata della funzione $f(\tau )$ all'istante $t$, dove la funzione peso è $g(-\tau )$ traslata di un intervallo $t$, ed al cambiare di $t$ la funzione peso enfatizza parti diverse di $f$.

Più in generale si possono considerare $f(t)$ e $g(t)$ definite su $\mathbb {R} ^{d}$ a valori in $\mathbb {C}$, la cui convoluzione è data da:

    $(f*g)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,\mathrm {d} y=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\ \mathrm {d} y$

Se $X$ e $Y$ sono due variabili casuali indipendenti con densità di probabilità $f$ e $g$ rispettivamente, allora la densità di probabilità della somma $X+Y$ è data dalla convoluzione di $f$ con $g$.

### Convoluzione circolare

Data una funzione periodica $x_{T}$ con periodo $T$, la sua convoluzione con un'altra funzione $h$ è ancora una funzione periodica e può essere espressa come:

    $(x_{T}*h)(t)\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\ \mathrm {d} \tau =\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h_{T}(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\ \mathrm {d} \tau$

dove $t_{o}$ è un parametro arbitrario e $h_{T}$ è la sommazione periodica di $h$, data da:

    $h_{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t+kT)$

Si tratta di una convoluzione periodica di $x_{T}$ e $h_{T}$, e se $x_{T}$ è espressa come sommazione periodica di un'altra funzione $x$ tale operazione è detta convoluzione circolare o convoluzione ciclica di $h$ e $x$.

## Convoluzione discreta

Si considerino due funzioni $f[n]$ e $g[n]$ definite sull'insieme $\mathbb {Z}$ degli interi. La convoluzione discreta di $f$ con $g$ è data da:

    $(f*g)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]\,g[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]\,g[m]$

Quando si moltiplicano due polinomi con coefficienti dati dalle successioni $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ e $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ la successione dei coefficienti del loro prodotto è data dal prodotto di Cauchy $\textstyle (c_{n})_{n\geq 0}$, il cui n-esimo elemento è dato da:

    $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}$

che è la convoluzione discreta delle due successioni. Essa equivale al prodotto di $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ e $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ considerati come elementi dell'anello sul gruppo dei numeri naturali $R[\mathbb {N} ]$.

### Convoluzione discreta circolare

Data una funzione $g_{N}$ periodica con periodo $N$, per funzioni $f$ tali che $f*g_{N}$ esiste, la convoluzione discreta è periodica:

    $(f*g_{N})[n]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f}[m+kN]\right)g_{N}[n-m]$

e la somma su k è una sommazione periodica di $f$. Se $g_{N}$ è la sommazione periodica di un'altra funzione $g$, la convoluzione $f*g_{N}$ è la convoluzione circolare di $f$ con $g$. Se inoltre $f$ e $g$ presentano valori diversi da zero esclusivamente nell'intervallo $[0,N-1]$ allora $f*g_{N}$ assume la forma:

    ${\begin{aligned}(f*g_{N})[n]&=\sum _{m\,=\,0}^{N-1}f[m]\ g_{N}[n-m]\\&=\sum _{m\,=\,0}^{n}f[m]\ g[n-m]+\sum _{m\,=\,n+1}^{N-1}f[m]\ g[N+n-m]\\&=\sum _{m\,=\,0}^{N-1}f[m]\ g[(n-m)_{\bmod {N}}]\equiv (f*_{N}g)[n]\end{aligned}}$

## Dominio di definizione

La convoluzione di due funzioni $f$ e $g$ definite su $\mathbb {R} ^{d}$ a valori in $\mathbb {C}$:

    $(f*g)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\ \mathrm {d} y$

è ben definita solo se $f$ e $g$ decrescono all'infinito abbastanza rapidamente da garantire l'esistenza dell'integrale.

Se $f$ e $g$ sono funzioni a supporto compatto, ovvero sono funzioni (in questo caso continue) che hanno per supporto un sottoinsieme compatto dell'insieme di definizione, allora la loro convoluzione esiste ed è continua a supporto compatto. Più in generale, se una delle due è a supporto compatto mentre l'altra è localmente integrabile, la loro convoluzione esiste ed è continua.

Se $f$ e $g$ sono Lebesgue-integrabili (in $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$) allora per il teorema di Tonelli la loro convoluzione è integrabile. Se $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ e $g\in L^{p}(\mathbb {R} ^{d})$, con $1\leq p\leq \infty$, allora $(f*g)\in L^{p}(\mathbb {R} ^{d})$ e si ha:

    $\|{f}*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}$

In particolare, se $p=1$ tale relazione mostra che $L^{1}$ con l'operazione di convoluzione è un'algebra di Banach. Più in generale, la disuguaglianza di Young implica che la convoluzione è una funzione bilineare continua tra spazi $L^{p}$. Nello specifico, se $1\leq p,q,r\leq \infty$ soddisfano la relazione:

    ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1$

allora:

    $\|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}\qquad f\in L^{p}\quad g\in L^{q}$

sicché la convoluzione è una mappa bilineare continua da $L^{p}\times L^{q}$ a $L^{r}$.

### Distribuzioni

Sotto opportune condizioni è possibile definire la convoluzione di una funzione con una distribuzione e la convoluzione tra due distribuzioni. Se $f$ è una funzione a supporto compatto e $g$ è una distribuzione, la loro convoluzione è una funzione liscia definita dall'analoga formulazione distribuzionale:

    $\int _{\mathbb {R} ^{d}}{f}(y)g(x-y)\ \mathrm {d} y$

Più in generale, si può estendere la definizione convoluzione unicamente in modo che la proprietà associativa:

    $f*(g*\varphi )=(f*g)*\varphi \,$

rimanga valida anche qualora $f$ sia una distribuzione e $g$ una distribuzione a supporto compatto.

### Misure

La convoluzione di due misure di Borel $\mu$ e $\nu$ a variazione limitata è la misura $\lambda$ definita come:

    $\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)d\lambda (x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x+y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \nu (y)$

Tale definizione coincide con la precedente se $\mu$ e $\nu$ sono trattate come distribuzioni, e con la definizione di convoluzione di funzioni in $L^{1}$ quando $\mu$ e $\nu$ sono assolutamente continue rispetto alla misura di Lebesgue.

Inoltre, la convoluzione di due misure soddisfa la seguente versione della disuguaglianza di Young:

    $\|\mu *\nu \|\leq \|\mu \|\|\nu \|$

dove la norma è la variazione totale della misura.

## Proprietà

La convoluzione soddisfa le seguenti proprietà:

* Commutatività

    $f*g=g*f$
    $(f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\mathrm {d} \tau$

si applica la sostituzione:

    $\tau =t-y\to t-\tau =y$

da cui:

    ${\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} y}}=-1\to \mathrm {d} \tau =-\mathrm {d} y$

Ricordando che gli estremi di integrazione sono espressi in funzione di $\tau$, esprimendoli in funzione di $y$ l'estremo inferiore diventa:

    $\tau =t-y\to -\infty =t-y\to \underbrace {-\infty -t} _{=-\infty }=-y\to y=\infty$

mentre l'stremo superiore:

    $\tau =t-y\to \infty =t-y\to \underbrace {\infty -t} _{=\infty }=-y\to y=-\infty$

Dato che nel caso di integrali definiti o impropri è possibile invertire gli estremi di integrazione:

    $(f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\mathrm {d} \tau =-\int _{\infty }^{-\infty }f(t-y)g(y)\mathrm {d} y=\int _{-\infty }^{\infty }g(y)f(t-y)\mathrm {d} y=(g*f)(t)$
* Associatività

    $f*(g*h)=(f*g)*h$
* Distributività

    $f*(g+h)=(f*g)+(f*h)$
* Associatività per moltiplicazione per scalare

    $a(f*g)=(af)*g=f*(ag)$
    per ogni numero reale (o complesso) $a$.
* Regola di differenziazione

    ${\mathcal {D}}(f*g)={\mathcal {D}}f*g=f*{\mathcal {D}}g$
    dove con ${\mathcal {D}}f$ si è denotata la derivata di $f$ o, nel caso discreto, l'operatore differenziale:
    ${\mathcal {D}}f(n)=f(n+1)-f(n)$

### Teorema di convoluzione

Il teorema di convoluzione afferma che:

    ${\mathcal {F}}\{f*g\}=k\cdot {\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}$

dove ${\mathcal {F}}(f)$ indica la trasformata di Fourier di $f$ e $k$ è una costante che dipende dalla scelta della costante di normalizzazione della trasformata. Altre versioni di questo teorema funzionano per la trasformata di Laplace e la trasformata di Mellin. La trasformata della convoluzione di due funzioni equivale al prodotto delle trasformate delle due funzioni stesse.

## Convoluzione su gruppi

Se $G$ è un gruppo scelto in modo appropriato e la cui misura corrisponde al valore m (per esempio, un gruppo di Hausdorff localmente compatto con la misura di Haar) e se $f$ e $g$ sono valori reali o complessi dell'm-integrale di $G$, allora la loro convoluzione può essere definita dalla relazione:

    $(f*g)(x)=\int _{G}f(y)g(xy^{-1})\,\mathrm {d} m(y)$

## Applicazioni

La convoluzione e le relative operazioni sono usate in diverse applicazioni dell'ingegneria e della matematica.

* In statistica, una media mobile pesata è una convoluzione. Anche la distribuzione di probabilità della somma di due variabili casuali indipendenti corrisponde alla convoluzione di ognuna delle loro distribuzioni.
* In ottica, molte specie di "blur" sono descritte tramite la convoluzione. Un'ombra (ad esempio l'ombra su un tavolo che si vede quando gli si interpone un oggetto innanzi la fonte luminosa) è la convoluzione della forma della fonte di luce che sta proiettando l'ombra dell'oggetto illuminato e l'oggetto stesso. Una foto fuori fuoco è la convoluzione dell'immagine a fuoco con la forma del diaframma. Il termine fotografico per tale effetto è bokeh.
* Analogamente, nell'elaborazione digitale delle immagini, i filtri convoluzionali assumono un importante compito negli algoritmi di calcolo dei margini e dei processi correlati.
* Nell'elaborazione digitale dei segnali, il filtraggio di frequenza può essere semplificato convolvendo due funzioni (dati con un filtro) nel dominio del tempo, il che equivale a moltiplicare i dati con un filtro nel dominio di frequenza.
* In acustica lineare, un'eco è la convoluzione del suono originale con una funzione geometrica che descrive i vari oggetti che stanno riflettendo il segnale sonoro.
* In elaborazione digitale dei segnali, nella riverberazione artificiale la convoluzione è utilizzata per codificare la risposta ad impulso di una stanza reale ad un segnale audio digitale.
* In ingegneria elettrica e in altre discipline, l'output (risposta) di un sistema dinamico lineare (stazionario) è la convoluzione di un input (eccitazione d'ingresso) con la risposta impulsiva del sistema (ovvero la risposta quando l'eccitazione d'ingresso è la funzione Delta di Dirac). Nel dominio discreto il concetto di convoluzione viene esteso a una sommatoria, estesa al prodotto di segnale e risposta impulsiva $y(n)=x(n)*h(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k)\cdot h(n-k)$, con la sequenza h(n) che prende il nome di "kernel di convoluzione" o "maschera di convoluzione".
* Nella spettroscopia a fluorescenza determinata a tempo, il segnale di eccitazione può essere trattato come una catena di impulsi delta, e la fluorescenza misurata è data dalla somma dei decadimenti esponenziali di ogni impulso delta.
