Teoremi di punto fisso
# Teoremi di punto fisso

In matematica, con teoremi di punto fisso ci si riferisce ai risultati che, in diversi contesti tra cui l'analisi matematica, la geometria o la topologia, mostrano l'esistenza di almeno un punto fisso per una qualche funzione definita in vari spazi.

## Tipologie di risultati

In particolare, nell'ambito dell'analisi si possono distinguere alcune categorie:

* Teoremi di contrazioni (in particolare il teorema delle contrazioni, o teorema del punto fisso di Banach)
* Teoremi di compattezza (risultati di Brouwer, di Schauder, di Schaefer, di Kakutani, e altri)
* Teoremi di mappe non espansive (studiate in particolare da Browder, Göhde e Kirk)
* Teoremi di applicazioni condensanti (che utilizzano misure di non compattezza) (Darbo e Sadovskii)
* Teoremi d'ordine, che si basano su proprietà di monotonia (Bourbaki, Kneser, Amann e ad esempio il teorema di Knaster-Tarski)
* Teoremi con indice di punto fisso
* Teoremi misti (ad esempio il teorema di Krasnoselskii)

## Analisi

I seguenti teoremi vengono utilizzati in analisi matematica, in particolare nei campi delle equazione differenziale ordinarie e delle equazioni differenziali alle derivate parziali.

* Il teorema del punto fisso di Banach (o delle contrazioni) asserisce che una contrazione su uno spazio metrico completo ha uno e un solo punto fisso.
* Il teorema delle funzioni contrattive asserisce che una funzione contrattiva definita in un compatto ha uno e un solo punto fisso.
* Il teorema delle funzioni non espansive asserisce che una funzione non espansiva definita in un compatto e convesso ha almeno un punto fisso.
* Il teorema di Caristi (o di Caristi-Kirk) è un'altra generalizzazione del teorema di Banach.
* Il teorema di Browder-Göhde-Kirk è un altro teorema sulle mappe non espansive.
* Il teorema del punto fisso di Brouwer asserisce che una funzione continua definita da un sottoinsieme compatto e convesso dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ in sé ha sempre un punto fisso.
* Il teorema del punto fisso di Schauder stabilisce (in una delle sue versioni) che se $C$ è un sottoinsieme chiuso, convesso e non vuoto di uno spazio di Banach $B$ e $f\colon C\to C$ è una funzione continua con immagine compatta, allora $f$ ha almeno un punto fisso.
* Il teorema di Kellogg aggiunge una condizione di unicità alle condizioni dei teoremi di Brouwer e Schauder.
* Il teorema di Schaefer che riformula il teorema di Schauder in modo da non richiedere esplicitamente di dichiarare l'insieme $C$, chiuso e convesso, del punto precedente.
* Il teorema di Rothe considera una funzione che manda la frontiera di un insieme aperto nell'aperto stesso.
* Il teorema di Altman utilizza una stima della norma.
* Il teorema di Tichonov si applica ad ogni spazio vettoriale topologico $V$ localmente convesso. Detto teorema stabilisce che per ogni insieme compatto, convesso, non vuoto $X$ di $V$, e per ogni funzione continua $f\colon X\to X$ esiste (almeno) un punto fisso per $f$.
* Il teorema di Kakutani considera corrispondenze con valori di insieme.
* Il teorema di Krasnoselskii considera una funzione $F$ che sia somma di una contrazione e di una funzione compatta. È una combinazione del teorema di punto fisso di Schauder e del teorema di contrazione.
* Teorema di Darbo-Sadovskii
* Teorema di Atiyah-Bott
* Teorema di Lefschetz
* Teorema di Earle-Hamilton
* Teorema di punto fisso di Day: si considera un gruppo G localmente compatto e amenabile e una media invariante.

## Teoria degli ordini

* Teorema di Knaster-Tarski
* Teorema di Bourbaki-Witt

## Geometria algebrica

* Teorema di Borel

## Topologia simplettica

* Teorema di Poincaré-Birkhoff

## Teoria delle categorie

* Teorema di Lawvere
