Norma matriciale
# Norma matriciale

In matematica, una norma matriciale è la naturale estensione alle matrici del concetto di norma definito per i vettori.

## Definizione

Una norma sullo spazio vettoriale $K^{m\times n}$ delle matrici a elementi nel campo $K$ è una funzione $\|\cdot \|:K^{m\times n}\to \mathbb {R} ^{+}$ tale che per ogni coppia di matrici $A$ e $B$ e per ogni scalare $\lambda \in K$ si verifica:

* $\|A\|=0$ se e solo se $A=0$ (matrice nulla)
* $\|\lambda A\|=|\lambda |\|A\|$
* $\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|$

Si riconoscono quindi esattamente le stesse proprietà delle norme vettoriali; ciò riflette il fatto che lo spazio delle matrici è isomorfo allo spazio di vettori $K^{mn}$ (per esempio tramite l'applicazione che manda una matrice nel vettore che contiene una dopo l'altra le sue righe) e quindi una norma matriciale deve avere perlomeno le stesse proprietà di una norma vettoriale.

In più, se $m=n$, cioè le matrici sono quadrate, generalmente si chiede che venga soddisfatta anche la proprietà di sub-moltiplicatività:

* $\|AB\|\leq \|A\|\|B\|$

Se è vera la sub-moltiplicatività si ricava subito che per la matrice identità vale $\|I\|=\|I\cdot I\|\leq \|I\|\|I\|\Rightarrow \|I\|\geq 1$.

Lo spazio $K^{n\times n}$ munito di una norma sub-moltiplicativa è un esempio di algebra di Banach.

## Norma indotta

Se è data una norma su $K^{n}$ ($K$ saranno i numeri reali o i numeri complessi), che per distinguere si indicherà con $|\cdot |$, allora è definita una norma su $K^{m\times n}$, detta norma indotta, in questo modo:

    $\|A\|=\sup _{|x|=1}|Ax|=\sup _{x\neq 0}{\frac {|Ax|}{|x|}}$

Essa coincide con la norma della trasformazione lineare $A:x\mapsto Ax$ associata alla matrice, vista come operatore lineare continuo tra spazi di Banach, che si dà in analisi funzionale.

Nel caso quadrato, questa norma risulta sub-moltiplicativa se viene usato lo stesso tipo di norma sia nel dominio sia nel codominio. Per esempio, se per i vettori utilizziamo una delle norme p otteniamo delle norme, che si chiameranno sempre norme p, così definite:

    $\|A\|_{p}=\sup _{|x|_{p}=1}|Ax|_{p}$

Nel caso $p=1$, la norma si dice anche norma operatoriale.

### Proprietà

Per una norma indotta è sempre vero che $\|I\|=1$ e che $|Ax|\leq \|A\||x|$. Per una norma qualsiasi, se ciò accade allora si dice che la norma è compatibile rispetto alla norma $|\cdot |$.

Per alcuni valori particolari di $p$ si dimostra che valgono alcune identità che facilitano il calcolo:

    $\|A\|_{1}=\max _{j=1,\ldots ,n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|$
    $\|A\|_{\infty }=\max _{i=1,\ldots ,m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|$

Ne segue immediatamente che $\|A\|_{1}=\|A^{t}\|_{\infty }$; dunque se $A$ è simmetrica $\|A\|_{1}=\|A\|_{\infty }$. In più, se $m=n$ vale:

    $\|A\|_{2}={\sqrt {\rho (A^{*}A)}}$

dove $A^{*}$ è la trasposta coniugata di $A$ (la trasposta nel caso reale) e $\rho (A^{*}A)$ è il raggio spettrale di $A^{*}A$, cioè il massimo tra i suoi autovalori in valore assoluto. Il caso $p=2$ è detto anche norma spettrale. Se $A$ è simmetrica allora l'uguaglianza si riduce a:

    $\|A\|_{2}=\rho (A)$

Vale anche sempre che:

    $\|A\|_{2}\leq {\sqrt {\|A\|_{1}\|A\|_{\infty }}}$

Qualsiasi norma indotta soddisfa la disuguaglianza:

    $\|A\|\geq \rho (A)$

e inoltre vale che:

    $\lim _{r\to \infty }\|A^{r}\|^{1/r}=\rho (A)$

## Norma compatibile

Una norma matriciale $\|\cdot \|_{ab}$ su $K^{m\times n}$ è detta compatibile con una norma vettoriale $\|\cdot \|_{a}$ su $K^{n}$ e una norma vettoriale $\|\cdot \|_{b}$ su $K^{m}$ se:

    $\|Ax\|_{b}\leq \|A\|_{ab}\|x\|_{a}$

per ogni $A\in K^{m\times n}$ e per ogni $x\in K^{n}$. Tutte le norme indotte sono compatibili per definizione.

## Altre norme

Diffuse sono anche le norme che valutano la matrice "componente per componente", cioè equiparandola al vettore avente come componenti le entrate della matrice. Per esempio, i corrispettivi delle norme p vettoriali per le matrici, che si chiameranno sempre norme p (ma che sono distinte dalle norme p indotte), sono:

    $\|A\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}$

In quanto sostanzialmente sono norme vettoriali, queste norme p sono sub-moltiplicative.

Come prima, il caso $p=2$ assume una certa importanza: esso viene detto anche norma di Frobenius ed è definibile anche come:

    $\|A\|_{2}=\|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {{\mbox{tr}}(A*A^{T})}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{2}}}$

dove ${\mbox{tr}}(A*A^{T})$ è la traccia di $A*A^{T}$ e $\sigma _{i}$ sono i valori singolari di $A$.

Una proprietà singolare della norma di Frobenius è che se con $A_{i}$ indichiamo le colonne di $A$, allora vale la seguente uguaglianza:

    $\|A\|_{F}^{2}=\|A_{1}\|_{2}^{2}+\|A_{2}\|_{2}^{2}+\ldots +\|A_{n}\|_{2}^{2}$

## Norme equivalenti

Per ogni coppia di norme matriciali $\|\cdot \|_{p}$ e $\|\cdot \|_{q}$ valgono le disuguaglianze:

    $c_{1}\|A\|_{p}\leq \|A\|_{q}\leq c_{2}\|A\|_{p}\qquad c_{1},c_{2}>0$

cioè le due norme sono equivalenti. Esse quindi inducono la stessa topologia su $K^{m\times n}$.

Di seguito sono riportati alcuni esempi di tali costanti $c_{1},c_{2}$ per una matrice reale:

* $\|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{2}$
* $\|A\|_{max}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{max}$
* ${\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A\|_{\infty }$
* ${\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{1}$

dove $\|A\|_{\infty }$ rappresenta la norma infinito indotta e $\|A\|_{max}$ la sua norma uniforme, cioè il massimo dei moduli dei suoi elementi.

