Diffeomorfismo di Anosov
# Diffeomorfismo di Anosov

In matematica, più particolarmente nel campo dei sistemi dinamici e della topologia, una mappa di Anosov su una varietà $M$ è un tipo di mappa, da $M$ in sé, avente delle evidenti direzioni locali di "espansione" e "contrazione". I sistemi di Anosov sono casi speciali di sistemi di tipo assioma A.

I diffeomorfismi di Anosov furono introdotti da Dmitri Anosov, che dimostrò che il loro comportamento era, in un particolare senso, "generico" (quando essi esistono).

## Definizioni

Si devono distinguere tre definizioni strettamente correlate:

* Se una mappa differenziabile $f$ su $M$ ha una struttura iperbolica sul fibrato tangente, allora è chiamata una mappa di Anosov. Esempi di questo tipo sono le mappe di Bernoulli e la mappa del gatto di Arnold.
* Se la mappa è un diffeomorfismo, allora prende il nome di diffeomorfismo di Anosov.
* Se un flusso su una varietà suddivide il fibrato tangente in tre sottofibrati invarianti, di cui uno esponenzialmente contraente, uno esponenzialmente dilatante e un terzo che sia un sottofibrato monodimensionale non dilatante (attraversato dalla direzione del flusso), allora il flusso è detto flusso di Anosov.

Un classico esempio di diffeomorfismo di Anosov è la mappa del gatto di Arnold.

## Proprietà

Anosov dimostrò che il diffeomorfismo di Anosov è strutturamente stabile e forma un insieme aperto di mappe (flusso) con la topologia $C^{1}$.

Non ogni varietà ammette un diffeomorfismo di Anosov; per esempio, non ci sono diffeomorismi di questo tipo sulla sfera. I più semplici esempi di varietà compatte che li ammettono sono i tori: essi ammettono i cosiddetti diffeomorfismi lineari di Anosov che sono isomorfismi che non hanno autovalori di modulo 1. È stato dimostrato che ogni altro diffeomorfismo di Anosov su un toro è topologicamente equivalente a questi ultimi.

Un problema aperto è capire se ogni diffeomorfismo di Anosov sia transitivo. Tutti i diffeomorfismi di Anosov noti, lo sono. Una condizione sufficiente per la transitività è la non ricorrenza: $\Omega (f)=M$.

È noto altresì che ogni diffeomorfismo di Anosov $C^{1}$ che conserva il volume è ergodico. Anosov lo ha dimostrato nell'ipotesi $C^{2}$. È vero anche per diffeomorfismi di Anosov $C^{1+\alpha }$ che conservano il volume.

Per diffeomorfismi di Anosov $C^{2}$ transitivi $f\colon M\to M$ esiste un'unica misura SRB (Sinai, Ruelle e Bowen) $\mu _{f}$ supportata su $M$ tale che il suo bacino $B(\mu _{f})$ sia di pieno volume dove

    $B(\mu _{f})=\{x\in M:{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\delta _{f^{k}x}\to \mu _{f}\}.$

## Flusso di Anosov su (fibrati tangenti di) superfici di Riemann

Come esempio, questa sezione sviluppa il caso del flusso di Anosov sul fibrato tangente di una superficie di Riemann a curvatura negativa. Questo flusso può essere pensato in termini di flusso sul fibrato tangente in un semispazio di Poincaré della geometria iperbolica. Le superfici di Riemann a curvatura negativa possono essere definite come modelli di Fuchs, cioè come quoziente del semipiano superiore (il sottoinsieme di $C$ tale che $\mathrm {Im} (z)>0$) e del gruppo di Fuchs.

