Matrice di Hankel
# Matrice di Hankel

Nell'algebra lineare, una matrice di Hankel è una matrice quadrata con diagonali (a pendenza positiva) costanti, ad esempio;

    ${\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}$

In termini matematici:

    $a_{i,j}=a_{i-1,j+1}$

La matrice di Hankel è strettamente connessa alla matrice di Toeplitz: infatti si può ottenere invertendo l'ordine delle sue righe o invertendo l'ordine delle sue colonne.

Un operatore di Hankel su uno spazio di Hilbert è un operatore rappresentato in una base ortonormale da una matrice di Hankel di dimensione infinita $(a_{i,j})_{i,j\geq 0}$, dove $a_{i,j}$ dipende solo da $i+j$. La matrice di Hankel prende il nome dal matematico tedesco Hermann Hankel (1839-1873).

## Trasformata di Hankel

La trasformata di Hankel è il nome che spesso viene dato alla trasformazione di una sequenza, dove la sequenza trasformata corrisponde al determinante della matrice di Hankel, cioè la sequenza $\{h_{n}\}$ è la trasformata di Hankel della sequenza $\{b_{n}\}$ dove

    $h_{n}=\det(b_{i+j})_{0\leq i,j\leq n}$

Ora, $a_{i,j}=b_{i+j}$ è la matrice di Hankel della sequenza $\{b_{n}\}$. La trasformata di Hankel è invariante rispetto alla trasformata binomiale di una sequenza. Cioè, se si scrive

    $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}$

come trasformata binomiale della sequenza $\{b_{n}\}$, allora risulta

    $\det(b_{i+j})_{0\leq i,j\leq n}=\det(c_{i+j})_{0\leq i,j\leq n}$

## Matrici di Hankel per sistemi di identificazione

Le matrici di Hankel vengono formate quando, nota una sequenza di dati in uscita, si richiede la realizzazione di un sottostante spazio-condizione o di un modello di Markov nascosto. La scomposizione a singolo valore della Matrice di Hankel fornisce un mezzo per il calcolo delle matrici $A$, $B$ e $C$, che definiscono la realizzazione dello stato.

