Teoria degli insiemi di Tarski-Grothendieck
# Teoria degli insiemi di Tarski-Grothendieck

La teoria degli insiemi di Tarski-Grothendieck (TG) è una teoria assiomatica degli insiemi così chiamata in riferimento ai matematici Alfred Tarski e Alexander Grothendieck. Essa è caratterizzata dall'Assioma di Tarski ed è un'estensione non-conservativa della teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel.

## Assiomi

I primi assiomi di TG sono uguali alle loro controparti di ZF:

* I quantificatori logici spaziano solo su insiemi; Qualsiasi cosa è un insieme (la stessa ontologia di ZFC).
* Assioma di estensionalità: Due insiemi sono identici se e solo se hanno gli stessi elementi.
* Assioma dell'insieme vuoto: Esiste un insieme di cui nessun altro insieme è elemento.
* Assioma di regolarità: Nessun insieme è elemento di se stesso e catene circolari di appartenenza non sono possibili.
* Assioma di rimpiazzamento: L'immagine di una funzione è un insieme.

Come già detto l'assioma caratterizzante della teoria è il seguente: Assioma di Tarski (adattato da Tarski 1939): Per ogni insieme $x$ esiste un insieme ${\mathcal {U}}$ tale che

* $x\in {\mathcal {U}}$.
* Per ogni $y\in {\mathcal {U}}$ ogni sottoinsieme di $y$ è un elemento di ${\mathcal {U}}$.
* Per ogni $y\in {\mathcal {U}}$ l'insieme della parti di $y$ è un elemento di ${\mathcal {U}}$.
* Ogni sottoinsieme di ${\mathcal {U}}$ la cui cardinalità è inferiore di quella di ${\mathcal {U}}$ è un elemento di ${\mathcal {U}}$.

Quest'ultimo implica l'assioma della coppia, l'assioma dell'insieme potenza, l'assioma dell'unione, assioma dell'infinito e l'assioma della scelta; dunque rende TG molto più forte di ZFC.

