Funzione iniettiva
# Funzione iniettiva

In matematica, una funzione iniettiva (detta anche funzione ingettiva oppure iniezione) è una funzione che associa, a elementi distinti del dominio, elementi distinti del codominio.

In altre parole: una funzione da un insieme $X$ a un insieme $Y$ è iniettiva se ogni elemento di $Y$ non può essere ottenuto in più modi diversi partendo dagli elementi di $X$.

## Definizione

Una funzione $f\colon X\to Y$ si dice iniettiva se due elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, ossia $a_{1}\neq a_{2}$ implica $f(a_{1})\neq f(a_{2})$; equivalentemente, se due elementi del dominio hanno la stessa immagine allora coincidono necessariamente, ossia $f(a_{1})=f(a_{2})$ implica $a_{1}=a_{2}$.

Simbolicamente:

    $\forall x,y\in X,\;\;f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$

oppure, nella forma contronominale:

    $\forall x,y\in X,\;\;x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y).$

## Proprietà

### Grafico

Se $f\colon X\to Y$ è una funzione iniettiva, allora ogni elemento dell'immagine ${\text{Im}}(f)=f(X)=\{f(a)\mid a\in X\}$ è immagine di esattamente un elemento del dominio, e la proiezione del grafico $\Gamma (f)=\{(a,b)\in X\times Y\mid f(a)=b\}$ sulla seconda coordinata è una funzione iniettiva.

In particolare, se $f$ è una funzione reale di una variabile reale iniettiva, qualunque retta parallela all'asse delle $x$ intersecherà il grafico della funzione in al massimo un punto. Se inoltre la funzione iniettiva è definita e continua su un intervallo, allora è strettamente monotòna (strettamente crescente o strettamente decrescente).

Viceversa, se $f$ è una funzione reale di variabile reale non iniettiva, allora esistono due elementi del dominio che hanno la stessa immagine, $f(a_{1})=f(a_{2})=b$. Dunque la retta $y=b$ interseca il grafico $\Gamma (f)$ in almeno due punti: $(a_{1},b)$ e $(a_{2},b)$.

### Omomorfismi

Un omomorfismo di gruppi è iniettivo (monomorfismo) se e solo se il suo nucleo è costituito dal solo elemento neutro.

In particolare, un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è iniettiva se e solo se il suo nucleo è composto solo dal vettore nullo. Equivalentemente in spazi di dimensione finita, un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione del dominio: non esistono quindi applicazioni lineari iniettive da uno spazio ad un altro di dimensione minore.

### Invertibilità

L'iniettività è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'invertibilità.

Una funzione iniettiva $f\colon X\to Y$ non è in generale invertibile, perché dovrebbe essere anche suriettiva. Restringendo però il codominio all'immagine si ottiene una diversa funzione ${\tilde {f}}\colon X\to f(X)$, invertibile.

Una funzione invertibile $f$ è iniettiva, ed anche la sua inversa $f^{-1}$, essendo invertibile, è iniettiva.

### Composizione

La composizione di due (o più) funzioni iniettive è iniettiva:

    $a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})\Rightarrow g(f(a_{1}))\neq g(f(a_{2}))$

Se la funzione composta $g\circ f$ è iniettiva, allora $f$ è iniettiva, ma non è detto che $g$ lo sia. Ad esempio, la funzione iniettiva $g\circ f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\to ({e^{x}})^{2}$ è composizione di una funzione iniettiva $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\to e^{x}$ e di una funzione non iniettiva $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\to x^{2}$.

Se esistono due funzioni distinte $g,h\colon C\to A$ tali che $f\circ g=f\circ h$, allora $f$ non è iniettiva: infatti esiste un $c\in C$ con $g(c)\neq h(c)$, ma $f(g(c))=f(h(c))$.

### Cardinalità

Una funzione il cui dominio abbia cardinalità superiore al codominio non può essere iniettiva. Dunque una funzione iniettiva tra due insiemi ha un codominio di cardinalità maggiore o uguale al dominio.

Questa proprietà è vera, oltre che per insiemi di cardinalità finita anche per insiemi di cardinalità infinita: per esempio, non esistono funzioni iniettive da un insieme con la cardinalità del continuo a un insieme numerabile.

### Numero di funzioni iniettive

Il numero di funzioni iniettive da un insieme finito $A$ con $n$ elementi ad un insieme finito $B$ con $m$ elementi è pari al numero di disposizioni semplici di $m$ elementi, presi $n$ a $n$:

    ${\frac {m!}{(m-n)!}}$.

### Altre proprietà

* Se $f:A\rightarrow B$ è iniettiva, e $X$ e $Y$ sono sottinsiemi di A, allora $f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)$.
* Ogni funzione $f\colon A\rightarrow B$ può essere scomposta come composizione $f=h\circ g$ di una funzione suriettiva $g\colon A\to f(A)$ e di una funzione iniettiva $h\colon f(A)\to B$, definendo $g(a)=f(a)$ e $h(b)=b$.

## Ulteriori caratterizzazioni dell'iniettività

Quelle che seguono sono formulazioni equivalenti alla definizione dell'iniettività di una funzione $f:A\rightarrow B$ e, pertanto, sono interpretabili come ulteriori caratterizzazioni della stessa proprietà.

* Esistenza di un'inversa sinistra: esiste una funzione $g:B\rightarrow A$ tale che $g\circ f=\mathrm {id} _{A}.$
* Cancellabilità a sinistra per composizione: per ogni insieme $T$ e per ogni funzione $g:T\rightarrow A,$ e $h:T\rightarrow A,$ tali che $f\circ g=f\circ h,$ si ha $g=h.$
* Identità della controimmagine dell'immagine di qualunque sottoinsieme del dominio: per ogni $S\subseteq A,$ si ha $f^{-1}(f(S))=S.$

## Esempi

* Su ogni insieme $X$ la funzione identità $id_{X}\colon X\to X\colon x\mapsto x$ è iniettiva (e suriettiva).
* L'inclusione $\imath \colon Y\hookrightarrow X$ di un sottoinsieme $Y\subset X$ in $X$, essendo restrizione dell'identità $id_{X}$, è iniettiva.
* Una funzione definita su un insieme con un solo elemento, $f\colon \{x\}\to Y$, è iniettiva.
* Una funzione definita sull'insieme vuoto, $f\colon \emptyset \to Y$, è iniettiva.
* Una funzione costante, $f_{y}\colon X\to Y\colon x\mapsto y$, definita su un dominio con almeno due elementi, non è iniettiva.
* Per $a,b\in \mathbb {R}$ e $a\neq 0$, la funzione $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto ax+b$ è iniettiva (e suriettiva).
* La funzione esponenziale $\exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ non è iniettiva.
* La funzione esponenziale $\exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ è iniettiva.
* La funzione logaritmo, $\log \colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R}$, è iniettiva.
* Una funzione reale derivabile, $f\in D^{1}(\mathbb {R} )$, la cui derivata sia sempre strettamente positiva, o sempre strettamente negativa, è iniettiva.
* Una funzione reale derivabile, $f\in D^{1}(\mathbb {R} )$, la cui derivata cambi segno, non è iniettiva.
* La funzione quadrato $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \colon x\mapsto x^{2}$ è iniettiva.
* La funzione quadrato $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto x^{2}$ non è iniettiva.
* La funzione cubo $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto x^{3}$ è iniettiva.
* La funzione cubo $f\colon \mathbb {F} _{7}\to \mathbb {F} _{7}\colon x\mapsto x^{3}$ non è iniettiva.
* Una funzione periodica (come seno e coseno) non è iniettiva.
