Funzione gudermanniana
# Funzione gudermanniana

La funzione gudermanniana collega le funzioni trigonometriche alle funzioni iperboliche senza ricorrere ai numeri complessi.

Viene definita come

    ${\rm {gd}}(x)=2\arctan e^{x}-{\pi \over 2}.$

Dalla definizione discendono le seguenti identità:

    $\sinh(x)\,=\,\tan({\mbox{gd}}(x))$
    $\cosh(x)\,=\,\sec({\mbox{gd}}(x))$
    ${\mbox{csch}}(x)\,=\,\cot({\mbox{gd}}(x))$
    $\tanh(x)\,=\,\sin({\mbox{gd}}(x))$
    ${\mbox{sech}}(x)\,=\,\cos({\mbox{gd}}(x))$
    $\coth(x)\,=\,\csc({\mbox{gd}}(x))$

La sua funzione inversa è

    ${\rm {gd}}^{-1}(x)\,=\,\ln(\tan x+\sec x),$

Questa è il nucleo della proiezione di Mercatore.

Si dimostrano inoltre le seguenti identità:

    ${d \over dx}\,{\mbox{gd}}(x)={\mbox{sech}}(x)$
    ${d \over dx}\,{\mbox{gd}}^{-1}(x)=\sec(x)$
