Segnale analitico
# Segnale analitico

Un segnale analitico, in matematica e nella teoria dei segnali, è un segnale (in generale una funzione del tempo), ad esempio un segnale elettrico, che non possiede componenti a frequenza negativa. La rappresentazione analitica di una funzione (non correlata con la nozione di funzione analitica) consiste in una funzione complessa di frequenza positiva; ciò facilita spesso il trattamento e le manipolazioni matematiche sul segnale stesso. L'idea di base è che le componenti a frequenze negative dello spettro del segnale, cioè della trasformata di Fourier del segnale, possono essere trascurate a causa della proprietà di simmetria complessa coniugata (simmetria Hermitiana) dello spettro stesso: per un segnale reale la parte reale e il modulo della trasformata sono simmetrici rispetto all'origine (funzione pari), mentre la parte immaginaria e la fase sono antisimmetriche (dispari).

In questo modo trascurando metà dello spettro non vi è perdita di informazione. Tuttavia il segnale ricostruito antitrasformando il segnale analitico non è più un segnale reale, ma è un segnale complesso di variabile complessa, sebbene la conversione alla rispettiva funzione reale consista in pratica nell'eliminazione della sola parte immaginaria. Tale rappresentazione analitica rende certe caratteristiche del segnale più accessibili e facilita la derivazione delle tecniche di modulazione/demodulazione, specialmente a singola banda laterale (single-sideband).

La rappresentazione analitica è una generalizzazione della notazione dei fasori propria dell'elettrotecnica (notazione di Steinmetz): mentre quest'ultima è ristretta a segnali con ampiezza, fase e frequenza tempo-invarianti, la notazione analitica consente di avere parametri tempo-varianti ovvero non costanti.

## Definizione

Si consideri un segnale o funzione $x(t)$ a valori reali avente trasformata di Fourier $X(f)$, e sia $u(f)$ è la funzione gradino di Heaviside. Allora la funzione:

    $X_{\mathrm {a} }(f)\equiv X(f)\cdot 2\mathrm {u} (f)={\begin{cases}\ \ 2X(f)&{\mbox{per }}f>0\\\ \ X(f)&{\mbox{per }}f=0\\\ \ 0&{\mbox{per }}f<0\end{cases}}$

contiene solo le componenti in frequenza non negative di $X(f)$. Raddoppiare in ampiezza lo spettro ha l'obiettivo di preservare il contenuto energetico del segnale originario stesso precedentemente esteso anche sul lato negativo (simmetrico) delle frequenze. L'operazione sopra esposta inoltre è reversibile, a causa della proprietà di hermitianità di $X(f)$:

    $X(f)={\begin{cases}\ \ {1 \over 2}X_{\mathrm {a} }(f)\qquad f>0\\\ \ {1 \over 2}X_{\mathrm {a} }^{*}(|f|)\qquad f<0\end{cases}}$

Il segnale analitico nel dominio del tempo $x_{\mathrm {a} }(t)$ si ottiene antitrasformando il segnale $X_{\mathrm {a} }(f)$, per evidenziare ciò che si ottiene da tale antitrasformazione si riscriva la definizione di $X_{\mathrm {a} }(f)$nel seguente modo:

$X_{\mathrm {a} }(f)=X(f)[1+sign(f)]$

dove $sign(f)={\begin{cases}\ \ \ \ \ {1}\qquad f>0\\\\\ \ \ \ \ {0}\qquad f=0\\\\\ \ {-1}\qquad f<0\\\end{cases}}$

$\longrightarrow X_{\mathrm {a} }(f)=X(f)+X(f)sign(f)$

    ${\begin{aligned}\longrightarrow {{\mathcal {F}}^{-1}\{X_{\mathrm {a} }(f)\}}={{\mathcal {F}}^{-1}\{X_{\mathrm }(f)\}}+{{\mathcal {F}}^{-1}\{X_{\mathrm }(f)sign(f)\}}\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}\longrightarrow {{\mathcal {F}}^{-1}\{X_{\mathrm {a} }(f)\}}={{\mathcal {F}}^{-1}\{X_{\mathrm }(f)\}}+{{\mathcal {F}}^{-1}\{X_{\mathrm }(f)\}}*{{\mathcal {F}}^{-1}\{sign(f)\}}\end{aligned}}$
    Per effettuare ora l'antitrasformata del termine ${{\mathcal {F}}^{-1}\{sign(f)\}}$ si procede calcolando la trasformata di Fourier del segnale $sign(t)$e si applica poi la proprietà di dualità:

${{\mathcal {F}}\{sign(t)\}}=\textstyle \int _{-\infty }^{+\infty }\displaystyle sign(t)e^{{-2\pi }{ift}}dt=\textstyle \int _{-\infty }^{0}\displaystyle sign(t)e^{{-2\pi }{ift}}dt+\textstyle \int _{0}^{+\infty }\displaystyle sign(t)e^{{-2\pi }{ift}}dt$

    $\textstyle \int _{0}^{+\infty }\displaystyle sign(t)e^{{-2\pi }{ift}}dt={\frac {1}{-2{\pi }if}}[\lim _{t\to \infty }(e^{{-2\pi }{ift}})-1]={\frac {1}{2{\pi }if}}$
    $\textstyle -\int _{-\infty }^{0}\displaystyle sign(t)e^{{-2\pi }{ift}}dt=\textstyle \int _{0}^{+\infty }\displaystyle sign(t)e^{{-2\pi }{ift}}dt={\frac {1}{2{\pi }if}}$
    $\longrightarrow {{\mathcal {F}}\{sign(t)\}}={\frac {1}{2{\pi }if}}+{\frac {1}{2{\pi }if}}={\frac {1}{{\pi }if}}$
    Quindi ricordando la proprietà di dualità della trasformata di Fourier si ha:
    ${{\mathcal {F}}^{-1}\{sign(f)\}}={\frac {1}{{\pi }i(-t)}}={\frac {i}{{\pi }t}}$
    quindi la quantità:
    ${\begin{aligned}{{\mathcal {F}}^{-1}\{X_{\mathrm {a} }(f)\}}={{\mathcal {F}}^{-1}\{X_{\mathrm }(f)\}}+{{\mathcal {F}}^{-1}\{X_{\mathrm }(f)\}}*{{\mathcal {F}}^{-1}\{sign(f)\}}\end{aligned}}$
    vale
    $x_{\mathrm {a} }(t)=x(t)+x(t)*{\frac {i}{{\pi }t}}$
    $\longrightarrow x_{\mathrm {a} }(t)=x(t)+i[x(t)*{\frac {1}{{\pi }t}}]$
    la quantità tra parentesi quadre al secondo membro rappresenta la trasformata di Hilbert del segnale $x(t)$pertanto l'espressione di $x_{\mathrm {a} }(t)$ si può esprimere anche come:
    $x_{\mathrm {a} }(t)=x_{\mathrm }(t)+i{{\mathcal {H}}\{x(t)\}}$

dove ${{\mathcal {H}}\{x(t)\}}$ è la trasformata di Hilbert di $x(t)$ e $i$ è l'unità immaginaria.

## Esempi

* Dato $x(t)=\cos(\omega _{0}t)$, per un parametro reale generico $\omega _{0}>0$, la trasformata è:

    ${{\mathcal {H}}\{x(t)\}}=\cos(\omega _{0}t-{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}})=\sin(\omega _{0}t)$
    e l'antitrasformata della trasformata privata di parte negativa è la rappresentazione analitica:
    $x_{\mathrm {a} }(t)=\cos(\omega _{0}t)+i\cdot \sin(\omega _{0}t)=e^{i\omega _{0}t}$
    Si tratta di un segnale a valori complessi con fase crescente (frequenza positiva). Quanto detto segue anche dalla formula di Eulero che:
    $\cos(\omega _{0}t)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(e^{i\omega _{0}t}+e^{-i\omega _{0}t})$
    Quando si tratta con semplici sinusoidi o somma di sinusoidi si può dedurre $x_{\mathrm {a} }(t)$ direttamente, senza determinare prima ${{\mathcal {H}}\{x(t)\}}$.
* Dato:

    $x(t)=\cos(\omega t+\theta )={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(e^{i(\omega t+\theta )}+e^{-i(\omega t+\theta )})$
    Si ha la rappresentazione analitica:
    $x_{\mathrm {a} }(t)={\begin{cases}\ \ e^{i|\omega |t}\cdot e^{i\theta }\qquad \omega >0\\\ \ e^{i|\omega |t}\cdot e^{-i\theta }\qquad \omega <0\end{cases}}$
* Sia $x(t)=e^{-i\omega _{0}t}$, per un parametro reale generico $\omega _{0}>0$. Si ha:

    ${{\mathcal {H}}\{x(t)\}}=i\cdot e^{-i\omega _{0}t}\qquad x_{\mathrm {a} }(t)=e^{-i\omega _{0}t}+i^{2}\cdot e^{-i\omega _{0}t}=0$

## Parte negativa dello spettro

I segnali analitici sono spesso traslati in frequenza (conversione in discesa) verso la frequenza nulla (asse delle frequenze), cosa che crea componenti in frequenza negative non simmetriche. Una ragione di ciò è quella di consentire ai filtri passa-basso con coefficienti reali di essere usati per limitare l'ampiezza di banda del segnale. Un'altra ragione è ridurre le alte frequenze che a loro volta riducono la frequenza minima per il campionamento anti-aliasing. Una traslazione in frequenza non mina la trattabilità matematica della rappresentazione tramite segnale complesso. Così, in questo senso, il segnale convertito è ancora analitico. Ad ogni modo ripristinare la rappresentazione a valori reali del segnale non diventa più una semplice questione di estrazione del valore reale. La conversione verso l'alto è indubbiamente richiesta e se il segnale è stato campionato, l'interpolazione potrebbe anche essere necessaria per evitare l'aliasing.

Il complesso coniugato di un segnale analitico contiene solo componenti a frequenza negativa. In questo caso non c'è perdita di informazione e reversibilità scartando la parte immaginaria. Indubbiamente la componente reale del complesso coniugato è la stessa della componente reale del segnale analitico. Ma in questo caso la sua estrazione ripristina invece le componenti soppresse a frequenza positiva.

Un altro modo per ottenere uno spettro di frequenze negative è traslare in frequenza il segnale analitico sufficientemente nella direzione negativa. L'estrazione della componente reale ripristina ancora le frequenze positive. Ma in questo caso il loro ordine è rovesciato: le frequenze basse sono ora le frequenze alte. Questo può essere usato per demodulare un tipo di segnale a singola banda laterale chiamato segnale inferiore o a banda laterale invertita.

## Applicazioni

Il segnale analitico può essere espresso in termini di coordinate polari complesse $x_{\mathrm {a} }(t)=A(t)e^{j\phi (t)}$, dove:

    $A(t)=|x_{\mathrm {a} }(t)|={\sqrt {x^{2}(t)+{\hat {x}}^{2}(t)}}\qquad \phi (t)=\arg \left\{x_{\mathrm {a} }(t)\right\}$

sono rispettivamente l'ampiezza e fase (istantanea) del segnale $x(t)$. La derivata rispetto al tempo della fase è la pulsazione:

    $\omega (t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \phi '(t)={\frac {d}{dt}}\phi (t)$

Tali grandezze sono usate per misurare e rilevare caratteristiche locali del segnale; un'altra applicazione della rappresentazione analitica di un segnale coinvolge la demodulazione di un segnale modulato, in quanto le coordinate polari separano convenientemente gli effetti della modulazione di ampiezza e fase (o frequenza).

Il segnale analitico può essere rappresentato come:

    $x_{\mathrm {a} }(t)$ $=\left[A(t)e^{j\phi (t)}e^{-j\omega _{0}t}\right]\ e^{j\omega _{0}t}$ $=\gamma (t)\cdot e^{j\omega _{0}t}$

dove:

    $\gamma (t)=A(t)\cdot e^{j(\phi (t)-\omega _{0}t)}$

è l'inviluppo complesso, detto anche equivalente passa-basso, poiché si tratta del segnale analitico traslato nell'origine, ovvero in banda base. L'inviluppo complesso non è unico; al contrario è determinato da un arbitrario assegnamento di $\omega _{0}$, e questo concetto è spesso usato quando si tratta con segnali passabanda. Se $x(t)$ è il segnale modulato, $\omega _{0}$ è usualmente assegnato per essere una frequenza portante; in altri casi è selezionato per essere nel mezzo della banda di frequenze, oppure è scelto per minimizzare:

    $\int _{0}^{+\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}|X_{\mathrm {a} }(\omega )|^{2}\,d\omega$

Alternativamente, $\omega _{0}$ può essere assegnato per minimizzare l'errore quadratico medio approssimando linearmente la fase istantanea $\phi (t)$:

    $\int _{-\infty }^{+\infty }(\omega (t)-\omega _{0})^{2}|x_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt$

o ancora alternativamente (per qualche $\theta$):

    $\int _{-\infty }^{+\infty }\left(\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )\right)^{2}\,dt$
