Funzione non espansiva
# Funzione non espansiva

In matematica, una funzione non espansiva è una funzione continua tra spazi metrici che, come dice il termine, non allontana i punti.

Più precisamente, se $X$ e $Y$ sono spazi metrici e $f:X\to Y$ allora essa si dice non espansiva se

    $d_{Y}(f(x),f(y))\leq d_{X}(x,y)$ per ogni $x,y$ in $X$.

Una funzione non espansiva è lipschitziana con costante di Lipschitz 1. Se in particolare vale l'uguaglianza e la funzione è inoltre una biiezione con inversa non espansiva allora $f$ è un'isometria.

## Teorema

Se $X$ è uno spazio normato, $S$ un suo sottoinsieme compatto e convesso e $T:S\to S$ è non espansiva, allora $T$ ammette punto fisso, cioè esiste un $x$ in $S$ tale che $T(x)=x$.

### Dimostrazione

Per ogni $n$ numero naturale e per un fissato $x_{0}$ in $S$ definiamo $f_{n}(x)=(1-k_{n})x_{0}+k_{n}T(x)$, dove $(k_{n})_{n\in N}\subset (0,1)$ è una successione di numeri reali convergente a 1. È

    $\|f_{n}(x)-f_{n}(y)\|=\|k_{n}(T(x)-T(y)\|=k_{n}\|T(x)-T(y)\|<\|T(x)-T(y)\|\leq \|x-y\|$,

dunque per ogni $n$ naturale $f_{n}$ è una contrazione; allora, per il teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli ammette un unico punto fisso $x_{n}$.

Sia $(x_{n})_{n}$ la successione dei punti fissi. Essa è contenuta in $S$, dunque essendo $S$ compatto per successioni esiste una sottosuccessione $(x_{p})_{p}\subset (x_{n})_{n}$ convergente in $S$ ad un punto $y$. Allora è

    $\|y-T(y)\|\leq \|y-x_{p}\|+\|x_{p}-T(x_{p})\|+\|T(x_{p})-T(y)\|$.

Il primo e l'ultimo addendo sono infinitesimi per l'ipotesi su $x_{p}$ e per la continuità di $T$. Il secondo addendo è

    $\|x_{p}-T(x_{p})\|=\|f_{p}(x_{p})-T(x_{p})\|=\|(1-k_{p})x_{0}+k_{p}T(x_{p})-T(x_{p})\|$,

dunque quando $p\to \infty$ il primo addendo dentro la norma va a 0 e il secondo e il terzo vanno a $T(y)$, cioè $\|x_{p}-T(x_{p})\|\to 0$.

Quindi, passando al limite, per il teorema del confronto è

    $0\leq \|y-T(y)\|\leq 0$, cioè $\|y-T(y)\|=0$, cioè $y=T(y)$.
