Omotetia nel piano complesso
# Omotetia nel piano complesso

Si presenta la generica omotetia nel piano complesso di centro $C_{0}(x_{0},y_{0})$ e rapporto $a$, con $a$ numero reale diverso da zero e $C_{0}$ punto del piano complesso (si veda numeri complessi e punti del piano cartesiano).

## Definizione

Sia $C_{0}=P(z_{0})$ il punto corrispondente al numero complesso $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$, e sia $a$ un numero reale diverso da $0$ e da $1$. L'omotetia $\omega _{C_{0},a}$ di centro $C_{0}$ e rapporto $a$, è la trasformazione che associa ad ogni punto $P=P(z)$, corrispondente del numero complesso $z$, il punto $P'=P'(z')$, corrispondente del numero complesso $z'$, tale che:

    ${\vec {C_{0}P'}}=a{\vec {C_{0}P}}.$

Dal momento che

    ${\vec {C_{0}P}}=z-z_{0},\quad {\vec {C_{0}P'}}=z'-z_{0},$

si ha che

    $z'-z_{0}=a\left(z-z_{0}\right).$

Quindi, introducendo $b:=(1-a)z_{0}$, la scrittura complessa dell'omotetia è:

    ${\begin{aligned}\omega _{C_{0},a}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=az+b=a\rho e^{i\theta }+b.\end{aligned}}$

In modo particolare l'omotetia $\omega _{O,a}$ di centro l'origine degli assi $O$ e rapporto $a$, è la trasformazione

    ${\begin{aligned}\omega _{O,a}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=az=a\rho e^{i\theta }=a\rho \left(\cos \theta +i\sin \theta \right),\end{aligned}}$

ove si è posto

    $z=\rho \left(\cos \theta +i\sin \theta \right).$

Osserviamo inoltre come opera la trasformazione in base al segno del numero $a$:

Quindi:

moltiplicare il numero complesso $z$ per un numero reale $a$ non nullo e diverso da $1$ equivale ad applicare al punto $P(z)$ l'omotetia di rapporto $a$.

## Esempio

Si determina la scrittura complessa dell'omotetia di centro $C_{0}(-2,4)$ e rapporto $3$.

Il numero complesso corrispondente a questo punto è $z_{0}=-2+4i$.

Quindi, ricordando che l'omotetia si ottiene con $z'-z_{0}=a(z-z_{0})$, si ha che

    $z'-(-2+4i)=3(z-(-2+4i))$ cioè $z'=3z+4-8i$.
