Funzione enumerativa dei primi
# Funzione enumerativa dei primi

La funzione enumerativa dei primi o funzione pi greco sui positivi associa ad ogni numero positivo $n$ il numero dei numeri primi non superiori ad $n$, valore che si denota usualmente con $\pi (n)$.

Come successione di interi essa viene presentata nella OEIS in corrispondenza della sigla A000720.

## Primi valori

I primi valori assunti dalla funzione in corrispondenza degli interi $n=1,2,\ldots ,100$ sono i seguenti:

| $\pi (n)$ | +1 | +2 | +3 | +4 | +5 | +6 | +7 | +8 | +9 | +10 | +11 | +12 | +13 | +14 | +15 | +16 | +17 | +18 | +19 | +20 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 0+ | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 6 | 6 | 6 | 6 | 7 | 7 | 8 | 8 |
| 20+ | 8 | 8 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 10 | 10 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 12 | 12 | 12 | 12 |
| 40+ | 13 | 13 | 14 | 14 | 14 | 14 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 17 | 17 |
| 60+ | 18 | 18 | 18 | 18 | 18 | 18 | 19 | 19 | 19 | 19 | 20 | 20 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 22 | 22 |
| 80+ | 22 | 22 | 23 | 23 | 23 | 23 | 23 | 23 | 24 | 24 | 24 | 24 | 24 | 24 | 24 | 24 | 25 | 25 | 25 | 25 |

## Stime asintotiche

Lo studio dell'asintotica di $\pi (x)$ costituisce uno degli argomenti principali della teoria dei numeri analitica. Nel 1896, Hadamard e de la Vallée Poussin dimostrarono che

    $\pi (x)\sim {\rm {Li}}(x),$

dove ${\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln {t}}}\,dt$ è il logaritmo integrale, confermando quanto ipotizzato da Legendre e Gauss. L'ipotesi di Riemann predice che valga una versione più precisa di tale risultato:

    $\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln(x)\right).$
