Funzione di Čebyšëv
# Funzione di Čebyšëv

In matematica, la Funzione di Čebyšëv può essere una di due funzioni strettamente legate. La prima funzione di Čebyšëv $\vartheta (x)$ o $\theta (x)$ è data da

    $\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p$

con la somma estesa a tutti i numeri primi $p$ che sono minori uguali a $x$.

La seconda funzione di Čebyšëv $\psi (x)$ è definita similmente, con la somma estesa a tutte le potenze dei numeri primi minori di $x$

    $\psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,$

dove $\Lambda$ è la funzione di von Mangoldt. Le funzioni di Čebyšëv , specialmente la seconda $\psi (x)$, sono spesso usate nelle dimostrazioni legate ai numeri primi, poiché è più semplice lavorare con esse che con la funzione enumerativa dei primi, $\pi (x)$ (Vedi la formula esatta, sotto.). Entrambe le funzioni di Čebyšëv sono asintotiche a $x$, una relazione valida anche nella teorema dei numeri primi.

Entrambe le funzioni sono nominate in onore di Pafnutij L'vovič Čebyšëv.

## Relazioni

La seconda funzione di Chebyshev può essere vista come una relazione alla prima scrivendola come

    $\psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p$

dove $k$ è l'intero univoco tale che $p^{k}\leq x$ e $x<p^{k+1}$. I valori di $k$ sono dati a OEIS:. Una relazione più diretta è data da

    $\psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right).$

Notare che quest'ultima somma ha un numero finito ti termini non nulli, come

    $\vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right)=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x\ ={\frac {\log x}{\log 2}}.$

La seconda funzione di Čebyšëv è il logaritmo del minimo comune multiplo degli interi da 1 a $n$.

    $\operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.$

I valori di $lcm(1,2,...,n)$ per gli interi variabili $n$ sono dati a OEIS:.

## Asintoti e limiti

Sono noti i seguenti limiti per la funzione di Čebyšëv: (in queste formule $p_{k}$ è il $k$esimo numero primo $p_{1}=2$ , $p_{2}=3$, etc.)

    ${\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2,050735}{\ln k}}\right)&&{\text{per }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2}{\ln k}}\right)&&{\text{per }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0,006788{\frac {x}{\ln x}}&&{\text{per }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0,006409{\frac {x}{\ln x}}&&{\text{per }}x\geq e^{22},\\[8px]0,9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1,00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{per }}x\geq 121.\end{aligned}}$

Inoltre, sotto l'ipotesi di Riemann,

    ${\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)\\|\psi (x)-x|&=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)\end{aligned}}$

per ogni $\varepsilon >0$

I limiti superiori esistono per entrambe $\vartheta (x)$ e $\psi (x)$ tali che,

    ${\begin{aligned}\vartheta (x)&<1,000028x\\\psi (x)&<1,03883x\end{aligned}}$

per ogni $x>0$.

Una spiegazione della costante 1,03883 è data a OEIS:.

## La formula esatta

Nel 1895, Hans Carl Friedrich von Mangoldt provò una formula esplicita per $\psi (x)$ come una somma degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann:

    $\psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).$

(Il valore numerico di ${\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}$ è $log(2\pi )$.) Qui $p$ assume i valori degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann, e $\psi _{0}$ è la stessa $\psi$, eccetto che i suoi salti di discontinuità (le potenze dei primi) assumono il valore a metà tra i varoi di sinistra e di destra:

    $\psi _{0}(x)={\tfrac {1}{2}}\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{altrimenti.}}\end{cases}}$

Dalla serie di Taylor per il logaritmo, l'ultimo termine nella formula esplicita può essere inteso come una sommatoria di ${\frac {x^{\omega }}{\omega }}$ degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann, $\omega$ = −2, −4, −6, ..., cioè

    $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).$

corrisponde al polo semplice della funzione zeta in 1. Essendo un polo anziché uno zero, rappresenta il segno opposto del termine Similmente, il primo termine, $x={\frac {x^{1}}{1}}$, corrisponde al polo semplice della funzione zeta in 1. Essendo un polo anziché uno zero, rappresenta il segno opposto del termine

## Proprietà

Un teorema dovuto a Erhard Schmidt afferma che, per alcune costanti positive esplicite $k$, ci sono infiniti numeri naturali $x$ tali che

    $\psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}$

e infiniti numeri naturali $x$ tali che

    $\psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.$

In notazione $o$-piccolo, si potrebbe scrivere quanto sopra come

    $\psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\right).$

Hardy e Littlewood dimostrarono, che

    $\psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\log \log \log x\right).$

## Relazioni al primoriale

La prima funzione di Čebyšëv è il logaritmo di primoriale di $x$, indicato come $x\#$:

    $\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).$

Questo prova che il primorile $x\#$ è asintoticamente uguale a $e^{(1+o(1))x}$, dove "$o$" è la notazione $o$-piccolo (vedi notazione $o$-piccolo) e insieme al teorema dei numeri primi determina il comportamento asintotico di $p_{n}\#$.

## Relazione alla funzione enumerativa dei numeri primi

La funzione di Čebyšëv può essere messa in relazione alla funzione enumerativa dei numeri primi come segue. Definiamo

    $\Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.$

Quindi

    $\Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.$

La transizione da $\Pi$ alla funzione enumerativa dei numeri primi, $\pi$, è data dall'equazione

    $\Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\right)+\cdots$

Sicuramente $\pi (x)\leq x$, quindi, per motivi di approssimazione, quest'ultima relazione può essere riformulata come

    $\pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\right).$

## L'ipotesi di Riemann

L'ipotesi di Riemann afferma che tutti gli zeri non banali della funzione zeta hanno come parte reale 1/2. In questo caso, $|z^{p}|={\sqrt {x}}$, e può essere dimostrato che

    $\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\left({\sqrt {x}}\log ^{2}x\right).$

Quanto sopra, implica che

    $\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left({\sqrt {x}}\log x\right).$

Una buona prova che l'ipotesi potrebbe essere vera viene dal fatto proposto da Alain Connes e altri, che se differenziamo la formula di von Mangoldt rispetto a $x$ otteniamo $x=e^{u}$ . Manipolandola, otteniamo la formula di traccia per l'esponenziale dell'operatore hamiltoniano che soddisfa

    $\left.\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+i{\hat {H}}\right)\right|n\geq \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+iE_{n}\right)=0,$

e

    $\sum _{n}e^{iuE_{n}}=Z(u)=e^{\frac {u}{2}}-e^{-{\frac {u}{2}}}{\frac {d\psi _{0}}{du}}-{\frac {e^{\frac {u}{2}}}{e^{3u}-e^{u}}}=\operatorname {Tr} \left(e^{iu{\hat {H}}}\right),$

dove la somma trigonometrica può essere considerata la traccia dell'operatore (meccanica statistica) $e^{iu{\hat {H}}}$, che è vero solo se $p={\frac {1}{2}}+iE(n)$.

Usando l'approccio semiclassico il potenziale di $H=T+V$ soddisfa:

    ${\frac {Z(u)u^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}\sim \int _{-\infty }^{\infty }e^{i\left(uV(x)+{\frac {\pi }{4}}\right)}\,dx$

con $Z(u)\to 0$ come $u\to \infty$.

soluzione a questa equazione integrale non lineare può essere ottenuta (tra gli altri) come

    $V^{-1}(x)\approx {\sqrt {4\pi }}\cdot {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}N(x)$

per ottenere l'inverso del potenziale:

    $\pi N(E)=\operatorname {Arg} \xi \left({\tfrac {1}{2}}+iE\right).$

## Funzione liscia

La funzione liscia è definita come

    $\psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.$

Può essere dimostrato che

    $\psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.$

## Varianti della formula

La funzione Čebyšëv valutata in $x=e^{t}$ minimizza la funzionalità

    $J[f]=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(s)\zeta '(s+c)}{\zeta (s+c)(s+c)}}\,ds-\int _{0}^{\infty }\!\!\!\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(s)f(t)\,ds\,dt,$

quindi

    $f(t)=\psi \left(e^{t}\right)e^{-ct}\quad {\text{per }}c>0.$
