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Math�matiquesD�finition sous licence CC-BY-SA 3.0
Th�orie des jeux
Th�orie des jeux intelligence artificielle recherche op�rationnelle programme informatique esp�rance math�matique Tweeter
Le dilemme du prisonnier est une c�l�bre illustration en th�orie des jeux d'un jeu � somme non nulle. La th�orie des jeux constitue une approche math�matique de probl�mes de strat�gie tels qu’on en trouve en recherche op�rationnelle (La recherche op�rationnelle (aussi appel�e aide � la d�cision) peut �tre d�finie comme l'ensemble des m�thodes et techniques rationnelles d'analyse et de synth�se des ph�nom�nes...) et en �conomie. Elle �tudie les situations o� les choix de deux protagonistes - ou davantage - ont des cons�quences pour l’un comme pour l’autre. Le jeu peut �tre � somme nulle (ce qui est gagn� par l’un est perdu par l’autre, et r�ciproquement) ou, plus souvent, � somme non-nulle. Un exemple de jeu � somme nulle est celui de la mourre, ou celui du pierre-feuille-ciseaux. Historique Trois grandes �tapes La th�orie des jeux initiale, de John von Neumann (John von Neumann, math�maticien et physicien am�ricain d'origine hongroise, a apport� d'importantes contributions tant en m�canique quantique, qu'en analyse fonctionnelle, en th�orie des ensembles, en informatique, en sciences �conomiques ainsi que...) et Oskar Morgenstern (Oskar Morgenstern (G�rlitz 1902 - Princeton 1977), math�maticien et �conomiste am�ricain d'origine allemande, est professeur � l'universit� de Vienne de 1929 � 1938. Il �migre alors aux �tats-Unis, enseigne �...), utilisait des cas de choix qui restaient les m�mes au cours du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), et qui �taient � somme nulle. Les jeux � somme non-nulle furent �tudi�s ensuite, et utilis�s dans la th�orie (Le mot th�orie vient du mot grec theorein, qui signifie � contempler, observer, examiner �. Dans le langage courant, une th�orie est une id�e ou une connaissance...) de la n�gociation (La n�gociation est la recherche d'un accord, centr�e sur des int�r�ts mat�riels ou des enjeux quantifiables entre deux ou plusieurs interlocuteurs (on ne n�gocie...). On d�couvrit que leur �tude permettait d’aborder de fa�on quantitative des questions jusque l� rest�es d’ordre philosophique, comme la morale. On s’int�ressa ensuite aux jeux o� le choix se posait en termes diff�rents � chaque �tape, que l’on nomma un temps th�orie des jeux combinatoires. Celle-ci est plut�t aujourd’hui, pour des raisons de commodit� et de communaut� de concepts, consid�r�e comme une branche soit de la th�orie des graphes (Le terme de graphe d�signe en math�matiques une op�ration d'application. Il poss�de deux acceptions :), soit de ce qu’on nomme l’intelligence artificielle (L'intelligence artificielle ou informatique cognitive est la « recherche de moyens susceptibles de doter les systèmes informatiques de capacités intellectuelles...). D�tails Bien qu’ayant fait l’objet (De mani�re g�n�rale, le mot objet (du latin objectum, 1361) d�signe une entit� d�finie dans un espace � trois dimensions, qui a une fonction pr�cise, et qui peut �tre d�sign�...) de r�sultats assez anciens, � partir des travaux de Blaise Pascal (Blaise Pascal (19 juin 1623, Clermont (Auvergne) - 19 ao�t 1662, Paris) est un math�maticien et physicien, philosophe, moraliste et th�ologien fran�ais.) sur la question des parties qui a donn� une premi�re intuition des probabilit�s et de l’esp�rance math�matique (L'esp�rance math�matique est une valeur num�rique permettant de mesurer le degr� d'�quit� d'un jeu de hasard. Elle est �gale � la somme des gains (et des pertes) pond�r�s par la probabilit� du gain (ou de la...), et de son �tonnant pari. La th�orie des jeux n’est devenue une branche importante des math�matiques qu’� partir des ann�es 1940, et plus sp�cialement apr�s la publication en 1944 de la Th�orie des jeux et du comportement �conomique (Theory of Games and Economic Behavior) par John von Neumann et Oskar Morgenstern. Cet ouvrage fondateur d�taillait la m�thode vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) plus haut de r�solution des jeux � somme nulle. La th�orie rencontra lors de sa pr�sentation une vive opposition de la part des �tats-majors�: si ceux-ci acceptaient volontiers l’usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de tirages au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon de causes, au moins d'une reconnaissance de cause à effet d'un événement.) dans les jeux de Kriegspiel des �coles militaires, l’id�e de remettre au sort, au nom des strat�gies mixtes le fait d’escorter r�ellement ou non tel ou tel convoi ( Un convoi est un ensemble de v�hicules terrestres ou maritimes, g�n�ralement non attel�s, circulant ensemble vers une destination commune ; un convoi fun�bre est le cort�ge form� par...) n’enthousiasmait gu�re ceux qui, issus du terrain et sachant ce qu’�taient des pertes humaines, jugeaient le proc�d� pour le moins cavalier. Vers 1950, John Nash (John Nash (1752 � Londres - 13 mai 1835 � Cowes) est un architecte britannique.) a �t� le premier � pr�senter une d�finition (Une d�finition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'o� la division entre les d�finitions r�elles et les d�finitions nominales.) d’une strat�gie (La strat�gie - du grec stratos qui signifie � arm�e � et age�n qui signifie � conduire � - est :) optimale pour un jeu � plusieurs joueurs, dite �quilibre de Nash (John Nash a d�fini une situation d'interaction comme stable si aucun agent n'a int�r�t � changer sa strat�gie. La formalisation de ce constat simple a �t� essentielle pour la th�orie des jeux.). Ce r�sultat tardif g�nial a �t� raffin� par Reinhard Selten�; cela leur a valu le "prix Nobel d'�conomie" en 1994 pour leurs travaux sur la th�orie des jeux, avec John Harsanyi (John Charles Harsanyi (29 Mai 1920 - 9 Ao�t 2000) est un �conomiste hongrois, naturalis� am�ricain. Il a contribu� au d�veloppement de la th�orie des jeux en math�matiques en approfondissant l'analyse des jeux �...) qui avait travaill� sur les jeux en information incompl�te. L’association entre jeu et nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) par Conway a �t� �tablie dans les ann�es 1970. Grandes lignes La th�orie des jeux �tudie les comportements - pr�vus, r�els, ou tels que justifi�s a posteriori - d’individus face � des situations d’antagonisme, et cherche � mettre en �vidence des strat�gies optimales. Des situations apparemment tr�s diff�rentes peuvent parfois �tre repr�sent�es avec des structures d’incitation comparables, et constituant autant d’exemple d’un m�me jeu. La th�orie des jeux non coop�ratifs s’applique � des situations o� des joueurs jouent sciemment alors qu’ils ont des buts au moins partiellement antagonistes (elle ne s’applique donc pas aux situations de pleine coop�ration, mais � la comp�tition ou � sa variante plus fr�quente que l’on nomme la coop�tition). Elle ne concerne pas les situations de jeu contre une nature d�pourvue de buts, ne dressant pas de plans, situations o� il y aurait donc en fait qu’un seul joueur. Types de jeux La th�orie des jeux classifie les jeux en cat�gories en fonction de leurs approches de r�solution. Les cat�gories les plus ordinaires sont�: Jeux coop�ratifs et comp�titions Les jeux coop�ratifs sont les jeux dans lesquels on cherche la meilleure situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un...) pour les joueurs sur des crit�res tels que la justice. On consid�re qu'ensuite les joueurs vont jouer ce qui aura �t� choisi, il s'agit d'une approche normative. Par exemple, � un croisement, chacun des deux automobilistes a la possibilit� de passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) ou non. Le code de la route (Le mot � route � d�rive du latin (via) rupta, litt�ralement � voie bris�e �, c'est-�-dire creus�e dans la roche, pour ouvrir le chemin.) impose sa strat�gie � chacun des joueurs par une signalisation. Ces jeux font l'objet d'une faible litt�rature �tant donn� leur relative simplicit�. Th�orie de la n�gociation La th�orie moderne de la n�gociation est articul�e sur le fait qu’une n�gociation constitue un jeu � somme non-nulle. L’art de la n�gociation consiste donc moins � faire c�der l’interlocuteur sur la ligne principale d’opposition (un prix, par exemple) qu’� trouver des arrangements ext�rieurs � cette ligne qui apporteront beaucoup � l’un sans co�ter trop cher � l’autre (strat�gies dites Gagnant-gagnant ou win-win). Depuis longtemps, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) cela �tait utilis� dans les n�gociations�: "�Je ne peux accepter ce co�t FOB, mais puis le consid�rer en CIF.�" "Si je vous en prends deux, m’accordez-vous 5% de remise�?" "Je vous en offre tant, mais il faut vous d�cider tout de suite." voire entre particuliers�: "Je veux bien te le laisser � ce prix-l�, mais tu offres le caf�"�! "�Coop�tition�" La coop�tition est la collaboration des services de recherche (La recherche scientifique d�signe en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de d�velopper les connaissances scientifiques. Par extension m�tonymique, la recherche scientifique d�signe �galement le cadre social,...) et d�veloppement des firmes qui se livrent par ailleurs une guerre f�roce en mati�re (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état...) commerciale. Jeux de strat�gie � somme nulle et non nulle Les jeux � somme nulle sont tous les jeux o� la somme "alg�brique" des gains des joueurs est constante. Ce que gagne l’un est n�cessairement perdu par un autre, l'enjeu est la r�partition du total ( Total est la qualit� de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le r�sultat d'une addition, c'est-�-dire une somme. Exemple : "Le total des dettes". ...) fix�, qu'on peut supposer r�parti � l'avance, ce qui ram�ne au cas o� les gains sont vraiment nuls (d'o� la d�nomination). Les �checs ou le poker sont des jeux � somme nulle car les gains de l’un sont tr�s exactement les pertes de l’autre. Les situations d’affaires, la vie (La vie est le nom donné :) politique ou le dilemme du prisonnier sont des jeux � somme non-nulle car certaines issues sont globalement plus profitables pour tous, ou plus dommageables pour tous. On a commenc� historiquement par �tudier les jeux � somme nulle, plus simples. Au-del� de la mati�re-�nergie avec la loi de la conservation de la somme alg�brique nulle, le jeu � somme non-nulle est concevable, dans lequel le gain de l'un peut profiter � l'autre. Tel est le cas avec l'information, la communication (La communication concerne aussi bien l'homme (communication intra-psychique, interpersonnelle, groupale...) que l'animal (communication intra- ou inter- esp�ces) ou la machine...) et l'apprentissage (L’apprentissage est l'acquisition de savoir-faire, c'est-à-dire le processus d’acquisition de pratiques, de connaissances, compétences, d'attitudes ou de valeurs culturelles, par...) o� l'information est une des trois composantes fondamentales avec la mati�re et l'�nergie (Dans le sens commun l'�nergie d�signe tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumi�re, de produire un mouvement.). L'exemple illustratif le plus simple est l'information g�n�tique (La génétique (du grec genno γεννώ = donner naissance) est la science qui étudie l'hérédité et les gènes.) de l'ADN transcrite sur l'ARN pour �tre "lue", "traduite" et organiser la mati�re et l'�nergie biologiques. En sciences sociales, on cite parfois l'id�ologie d'harmonie industrielle du Japon moderne (coalition tripartite capital-travail-gouvernement) comme exemple de jeu � somme non nulle. Dans le commerce international, l'exemple de ce jeu � somme non nulle est la concurrence coop�rative des Tigres asiatiques et Dragons asiatiques o� le gain de l'un profite aux autre, dans la foul�e du miracle japonais des ann�es 1950-1960 qui a ouvert les portes � la Cor�e, � Hong Kong (Devise nationale : Sapientia et Virtus), � Singapour, � Taiwan et au Vi�t Nam, dans une co�volution technico-commerciale.[r�f.�n�cessaire] En �cologie, la co�volution est un autre exemple, dans la nature, de la somme non nulle o� le changement de l'un facilite et fait la promotion du changement de l'autre. On pourrait croire qu'il suffirait pour ramener un jeu � somme non-nulle � un jeu � somme nulle d'y ajouter un joueur simplet, le "�tableau�", sorte de non-player character qui compenserait les pertes nettes des joueurs. Ce n’est pas le cas�: un joueur est cens� d�fendre rationnellement ses int�r�ts dans la mesure de ses possibilit�s; cet ajout formel, introduisant une dissym�trie entre les "�vrais�" joueurs et le "�tableau�", complique l'analyse et celle-ci y perd plus qu’elle n’y gagne. Jeu synchrone ou asynchrone Dans un jeu synchrone, les joueurs d�cident de leur coup simultan�ment, sans savoir ce que les autres jouent. Dans un jeu asynchrone (ou alternatif, � deux joueurs), ils jouent les uns apr�s les autres, en disposant � chaque fois de l’information sur le coup de l’adversaire. Jeux r�p�t�s La r�p�tition d’un jeu, avec connaissance des r�sultats interm�diaires, change souvent fondamentalement son d�roulement (les meilleurs coups et la conclusion). Par exemple, il peut �tre utile de prendre ponctuellement le risque de perdre "�pour voir�", tester les autres joueurs, et mettre en place des strat�gies de communication par les coups jou�s (� d�faut d’autre moyen de communication). Il se d�veloppe �galement des ph�nom�nes de r�putation qui vont influencer les choix strat�giques des autres joueurs. Dans le dilemme du prisonnier, le fait de savoir qu’on va jouer plusieurs fois avec un dur qui n’avoue jamais mais se venge cruellement, ou avec un l�che qui avoue toujours, change radicalement la strat�gie optimale. Enfin, curieusement, le fait que le nombre total de parties soit connu � l’avance ou non peut avoir des effet importants sur le r�sultat, l’ignorance du nombre de coups rapprochant du jeu avec un nombre infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) de coup, alors que sa connaissance rapproche au contraire du jeu � un seul coup (et ce, aussi grand que soit le nombre de coups�!) Information compl�te, information parfaite On dit qu'un jeu est � information compl�te si chaque joueur conna�t lors de la prise de d�cision�: ses possibilit�s d'action les possibilit�s d'action des autres joueurs les gains r�sultants de ces actions les motivations des autres joueurs Par ailleurs on parle de jeu � information parfaite dans le cas de jeu � m�canisme s�quentiel, o� chaque joueur a connaissance en d�tail de toutes les actions effectu�es avant son choix. Les �checs sont � information compl�te et parfaite. Du fait de l'incertitude sur les gains (cartes de l'adversaire cach�es), le poker est � information incompl�te. La phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employ� dans plusieurs domaines et principalement en physique :) d'ench�res v�rifie les propri�t�s d'information parfaite, mais en assimilant le tirage des cartes � l'action d'un joueur fictif (souvent appel� Nature), la th�orie des jeux exclut en g�n�ral le poker des jeux � information parfaite. Les situations r�elles sont rarement en information compl�te, et ce cas ne sert souvent qu’aux approximations confiantes. Les jeux en information incomplete sont des situations strat�giques o� l'une des conditions n'est pas v�rifi�e. Ce peut �tre par l'intervention du hasard au cours du jeu (cas fr�quent dans les jeux de soci�t�), ou parce qu'une des motivations d'un acteur (Un acteur est un artiste qui incarne un personnage dans un film, dans une pi�ce de th��tre, � la t�l�vision, � la radio, ou m�me dans des spectacles de rue. En plus de l'interpr�tation proprement dite, un acteur (ou � interpr�te �) peut...) est cach�e (domaine important pour l'application de la th�orie des jeux � l'�conomie). Les jeux en information � la fois imparfaite et incompl�te sont de loin les plus complexes. Dans ces jeux certains joueurs peuvent disposer d'informations propres sur la mani�re dont le hasard va intervenir dans l'issue du jeu (une meilleure connaissance des probabilit�s d'occurrence de tel ou tel �v�nement qui va affecter le cours du jeu, par exemple). Les jeux de guerre (war games) rel�vent typiquement de cette cat�gorie, l'al�a sur la r�ussite d'un engagement entre corps de troupes d�pendant d'informations non partag�es par les adversaires sur les rapports de force (Le mot force peut d�signer un pouvoir m�canique sur les choses, et aussi, m�taphoriquement, un pouvoir de la volont� ou encore une vertu morale � cardinale � �quivalent au courage (cf. les...) entre ces troupes. Pour �tre complet, il convient aussi de distinguer les jeux � m�moire parfaite et � m�moire imparfaite. Les jeux � m�moire "parfaite" sont des situations o� chaque joueur peut se rappeler � tout moment de la suite de coups qui ont �t� jou�s pr�c�demment, au besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes cat�gories :...) en notant au fur (Fur est une petite île danoise dans le Limfjord. Fur compte environ 900 hab. . L'île couvre une superficie de 22 km². Elle est située dans la Municipalité de Skive.) et � mesure les coups jou�s. Les jeux � m�moire "imparfaite" supposent une sorte d'amn�sie (L'amnésie est la perte partielle ou totale de la mémoire.) de la part des joueurs. Les jeux de guerre sont des exemples de jeux � m�moire imparfaite si les commandements de zones op�rationnelles ne parviennent pas � communiquer entre eux ou avec l'�tat-Major et donc n'ont pas trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie...) des mouvements d�j� effectu�s par les troupes amies lorsqu'elles doivent d�cider de leurs propres mouvements. Un jeu typique est le 21 ou blackjack�: la convention selon laquelle la suite de paquets de cartes n’est pas battue entre deux jeux peut donner un l�ger avantage au joueur d�s lors que celui-ci prend en compte cette information partielle. Jeux d�termin�s Les jeux de Nim forment un cas particulier de jeu � somme nulle, sans intervention du hasard et dans la plupart des cas � nombre de situations finies. Dans leur cas particulier, la th�orie des graphes fournit un outil (Un outil est un objet finalis� utilis� par un �tre vivant dans le but d'augmenter son efficacit� naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions entreprises, par une plus...) plus utile que la th�orie des jeux � proprement parler. La notion de noyau du jeu (ensemble des nœuds depuis lesquels la victoire est assur�e si l’on y parvient en cours de jeu et qu’on joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et...) de fa�on optimale ensuite) y est caract�ris�e. Repr�sentations des jeux Forme extensive Dans tous les jeux, les d�cisions peuvent �tre repr�sent�s par un arbre (Un arbre est une plante terrestre capable de se développer par elle-même en hauteur, en général au delà de sept mètres. Les arbres acquièrent une structure rigide...), dont chaque nœud est associ� au joueur qui d�cide. Chaque option constitue une branche. Les gains de tous sont associ�s aux terminaisons, lorsqu’il est possible de les repr�senter (fins de partie). Un joueur n’a toutefois pas besoin de savoir comment il est parvenu � un nœud�: seul compte l' �tat pr�sent du jeu, et les positions recherch�es dans le futur. Lorsque certains mouvements ne sont autoris�s qu’apr�s un �v�nement donn�, cet �v�nement n’est qu’un des �l�ments � mat�rialiser dans l’�tat pr�sent du jeu plut�t que dans une historique. Une forme extensive est un arbre de d�cision d�crivant les actions possibles des joueurs � chaque �tape du jeu, la s�quence de tours de jeu des joueurs ainsi que l'information dont ils disposent � chaque �tape pour prendre leur d�cision. Cette information est repr�sent�e sous forme d'ensembles d'information. Les ensembles d'information forment une partition des nœuds de l'arbre, chaque ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) correspondant � l'ensemble des nœuds non distinguables par le joueur � une �tape du jeu. Si ces ensembles sont des singletons, c’est-�-dire qu'ils ne contiennent qu'un seul nœud de l'arbre du jeu, le jeu est en information parfaite�: chaque joueur peut savoir � tout moment o� il se situe dans l'arbre du jeu. Dans le cas contraire, le jeu est � information imparfaite. L'information incompl�te est repr�sent�e sous la forme d'un joueur non strat�gique�: la "Nature", joueur qui prend al�atoirement certaines d�cisions � telle ou telle �tape du jeu, orientant la suite du jeu vers un certain sous-arbre de l'arbre du jeu. Forme normale ( Forme normale (bases de donn�es relationnelles) Forme normale (lambda-calcul) En calcul des propositions: formes normales conjonctives et formes normales disjonctives En th�orie des...) D�finition Article principal�: Jeu sous forme normale Un jeu sous forme normale est la donn�e (Dans les technologies de l'information (TI), une donn�e est une description �l�mentaire, souvent cod�e, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un �v�nement,...) de l'ensemble des joueurs, de l'ensemble des strat�gies pour chaque joueur et des paiements associ�s � toute combinaison (Une combinaison peut �tre :) possible de strat�gies. Repr�sentation tabulaire Si le jeu ne comporte que deux joueurs et un nombre raisonnablement restreint de strat�gies possibles, on peut repr�senter le jeu sous la forme d'un tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employ� :) nomm� matrice des paiements. Il s'agit d'un tableau � double-entr�e qui �num�re sur chaque c�t� les strat�gies possibles des joueurs respectifs. Dans la case � la crois�e (Crois�e peut d�signer :) de deux strat�gies, on note le couple de gains des deux joueurs. C’est ce qu’on nomme (par convention) la matrice des paiements. Si le jeu est � somme nulle et � deux joueurs, alors on peut ne noter que les gains du premier joueur�: ceux du second sont directement oppos�s. Le tableau de gains se ram�ne alors � une matrice. On peut, avec un nombre r�duit de strat�gies, tenter de repr�senter avec une matrice un jeu � trois ou quatre joueurs, mais cela pose souvent plus de probl�mes d’interpr�tation et de lecture que �a n’apporte de r�ponses. R�solution d’un jeu � somme nulle 1\2 (A) (B) (C) (a) 30 -10 20 (b) 10 20 -20 Les deux joueurs d�cident simultan�ment de leur strat�gie. Raisonnements intuitifs Le joueur (1) a le choix entre (a) et (b). Il peut se dire�: "�La strat�gie (b) peut me faire perdre 20, et au plus gagner 20. En revanche, avec la strat�gie (a) je peux gagner jusqu’� 30, et au pire perdre 10.�" Ce type de r�flexion correspond aux strat�gies "�Maxi-Max�" (maximiser le gain possible sans consid�ration pour les pertes possibles) et "�Maxi-Min�" (maximiser le pire r�sultat possible), qui en l’occurrence donne le m�me choix�: l’option a. De m�me, le joueur (2), touchant l’oppos� ( En math�matique, l'oppos� d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est � ajout� � n donne z�ro. En botanique, les organes d'une plante sont dits oppos�s...) des valeurs du tableau, qui r�fl�chirait de m�me verrait que Maxi-Min �limine (A) � cause de la perte maximum de 30, mais ne permet pas de trancher entre (B) et (C), o� la perte maximum est de 20. Et que Maxi-Max classe les trois options par ordre croissant�: A (meilleur r�sultat possible�: -10) B (+10), C (+20). Cela le pousserait � choisir (C). Le r�sultat serait alors a-C�: le joueur (2) perd 20 au profit de (1). Mais le joueur (2) peut aussi essayer d’anticiper le choix de (1). Il voit ainsi que si (1) joue le maximin, lui-m�me a int�r�t � choisir (B), ce qui lui permet de gagner 10. Et si � son tour le joueur 1 anticipe cette d�viation et pr�f�re faire (b) pour alors toucher (Le toucher, aussi appelé tact ou taction, est l'un des cinq sens de l'homme ou de l'animal, essentiel pour la survie et le développement des êtres...) 20�? Alors (2) devrait � nouveau choisir (C)�: nous voil� revenu au point (Graphie) de d�part�! La notion de strat�gie et d’�quilibre mixte Aucune r�ponse ne s’impose. Comment s’en sortir�? Une premi�re r�ponse possible est de jouer au hasard, avec une probabilit� (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des...) �gale pour tous les coups possibles, sans se pr�occuper des gains. Cela n’appara�t pas optimum, il y a certainement mieux � faire. Une seconde ( Seconde est le f�minin de l'adjectif second, qui vient imm�diatement apr�s le premier ou qui s'ajoute � quelque chose de nature identique. La seconde est une unit� de mesure du temps. La seconde d'arc est une...) strat�gie est de tenter d’attribuer a priori une probabilit� aux actions de l’adversaire, et d’opter pour la meilleure r�ponse (En théorie des jeux, la meilleure réponse est la stratégie ou l'ensemble de stratégies qui produisent le résultat immédiat le plus...) adapt�e. Ainsi, si (2) attribue une probabilit� 50/50 aux options de (1), il doit jouer aussi � 50/50 (B) et (C). Mais l’adversaire n’est pas un d� qui se comporte au hasard�: lui aussi va anticiper. Si c’est (1) qui r�fl�chit, il voit bien qu’il est absurde de supposer que (2) va jouer (A) dans un tiers des cas. L� encore il y a certainement mieux � faire. Introduction de probabilit�s John von Neumann est parvenu � sortir de cet imbroglio � l’aide des probabilit�s. Au lieu de d�cider fermement d’une action, chaque joueur va agir de fa�on probabiliste, chaque coup �tant choisi par hasard avec un processus al�atoire (par exemple un jeu de d�s, ou une table de valeurs al�atoires). Il est clair que l’adversaire ne peut pas deviner notre comportement si nous ne le connaissons pas d’avance nous-m�mes�! Reste � d�terminer quelle r�partition de probabilit� va donner le meilleur r�sultat�: c’est id�alement celle qui maximisera le gain esp�r� ind�pendamment de la strat�gie de l’adversaire. Cela revient � se ramener � un probl�me de programmation lin�aire (En math�matiques, les probl�mes de programmation lin�aire (PL) sont des probl�mes d'optimisation o� la fonction objectif et les contraintes sont toutes...), o� les inconnues sont les probabilit�s Pi � donner � chaque option Oi, avec une unique solution pour chaque joueur dans tous les jeux � deux joueurs et � somme nulle. Dans le cas ci-dessus, le joueur 1 h�sitera entre (a) et (b) en choisissant (a) dans 4 cas sur 7 soit 57�% des cas. Le joueur (2) n’optera jamais pour (A), mais oscillera entre (B) et (C) en choisissant (B) dans 4 cas sur 7, soit 57�% des cas. Le joueur 1 pourra esp�rer un gain moyen � chaque partie de 20/7, soit 2,85. Ces calculs r�sultent de la r�solution du syst�me lin�aire en introduisant le Lagrangien (Le lagrangien d'un syst�me dynamique, dont le nom vient de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques qui d�crit de mani�re concise les �quations du mouvement du syst�me. Ces derni�res...). Point-selle Il est remarquable que ce choix strat�gique reste le meilleur m�me si l’adversaire en a connaissance. On est ainsi amen� � introduire le concept int�ressant, dans les strat�gies mixtes, de point-selle�: il s’agit du choix de probabilit� optimal pour les deux joueurs�: celui qui s’en �carte se p�nalise du m�me coup (m�me si cette strat�gie lui est d�favorable, car les autres le seront encore plus). Le th�me avait �t� entrevu par Auguste Detoeuf�: Si vous n’avez qu’un risque sur mille d’�tre convaincu de mensonge, ne mentez pas plus d’une fois sur mille, car cette fois-l� annulera � elle seule toutes les autres o� vous avez dit la v�rit�. Detoeuf, industriel responsable, �vite sciemment de pr�ciser qu’il y aura parfois m�me avantage � mentir effectivement une fois sur mille plut�t que dire toujours la v�rit�. Les strat�gies mixtes sont empiriquement bien connues des diplomates et des joueurs de poker, qui savent les b�n�fices potentiels obtenus en cachant leurs plans, m�me quand il y en a un qui semble �vident. Cette id�e frappera Philip K. Dick qui lui consacrera son roman Loterie solaire. Applications La th�orie des jeux s'applique � certaines situations du domaine de l'�conomie, celles o� existent un nombre r�duit de comp�titeurs (oligopoles). Elle cherche les strat�gies rationnelles dans des situations o� les gains d’un acteur d�pendent non seulement de son comportement et des conditions de march�, mais aussi de celui des autres intervenants, lesquels peuvent poursuivre des objectifs diff�rents ou contradictoires. On lui trouve aussi des applications en sciences politiques ou en strat�gie militaire. Les r�sultats peuvent �tre appliqu�s � des divertissements (comme le jeu t�l�vis� "�Friend or Foe�" sur une cha�ne (Le mot cha�ne peut avoir plusieurs significations :) c�bl�e sp�cialis�e aux �tats-Unis, Game Show Network) ou � des consid�rations plus poignantes�: la crise des missiles de Cuba�; les politiques de constitution de convois de bateaux en temps de guerre�; la fa�on de g�rer un coup de surprise politique (Nasser � Suez, de Gaulle au Qu�bec, Ieltsine lors du putsch, annonces �lectorales...) ou marketing�; la lutte contre le terrorisme. Le Professeur Thomas Schelling (Thomas Crombie Schelling (14 avril 1921 - ) est un �conomiste am�ricain, ainsi qu'un professeur de politique �trang�re, de s�curit� nationale, de strat�gie nucl�aire et de...), "prix Nobel d'�conomie" 2005, s'est sp�cialis� dans l'explication des diverses strat�gies utilis�es (� utiliser) dans les conflits internationaux, tels la guerre froide et la guerre nucl�aire (Le terme d'�nergie nucl�aire recouvre deux sens selon le contexte :) (dissuasion..) Albert W. Tucker a par exemple diffus� de nombreuses interpr�tations du dilemme du prisonnier dans la vie courante. Des biologistes ont utilis� la th�orie des jeux pour comprendre et pr�voir les r�sultats de l’�volution, en particulier la notion d’�quilibre �volutivement stable introduit par John Maynard Smith dans son essais La th�orie des jeux et l’�volution de la lutte (Game Theory and the Evolution of Fighting). Voir aussi son livre Evolution and the Theory of Games. Il est � remarquer qu’en th�orie de l’�volution, l’adversaire principal d’un individu (Le Wiktionnaire est un projet de dictionnaire libre et gratuit similaire � Wikip�dia (tous deux sont soutenus par la fondation Wikimedia).) n’est pas vraiment l’ensemble de ses pr�dateurs, mais l'ensemble des autres individus de son esp�ce (Dans les sciences du vivant, l’espèce (du latin species, « type » ou « apparence ») est le taxon de base de la systématique. L'espèce est un concept flou dont il existe...) et des autres esp�ces apparent�es. Comme le fait remarquer Richard Dawkins, un brontosaure n'a pas besoin, pour survivre, de courir plus vite que le tyrannosaure qui le poursuit (ce qui lui serait impossible), mais simplement plus vite que le plus lent de ses cong�n�res. Des ph�nom�nes semblables se produisent en �conomie. Tout cela rejoint des consid�rations psychologiques�: la conflictualit� est plus li�e � la ressemblance qu'� la diff�rence. Les probabilit�s fournissent � la th�orie des jeux un outil conceptuel. Les statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation...) peuvent l’alimenter en donn�es, et les techniques d’optimisation lui fournir des r�sultats de calcul. Gains et aversion au risque Dans l’exemple en strat�gie mixte (Une strat�gie mixte en th�orie des jeux est une strat�gie o� le joueur choisit au hasard le coup qu'il joue parmi les coups possibles. Cela revient � attribuer une certaine...) d�fini plus haut, les participants au jeu ont �t� consid�r�s comme neutres au risque. Cela signifie qu’ils consid�rent qu’avoir une chance sur deux d’obtenir 20 et une chance sur deux de ne rien avoir est �quivalent � obtenir 10. Cependant, la plupart des personnes sont averses au risque, et pr�f�rent les issues les plus s�res -- et n’accepteraient un risque suppl�mentaire que contre une esp�rance de gain plus important. Un exemple de cette aversion au risque peut �tre remarqu� au cours de jeux t�l�vis�s. Si, par exemple, on propose aux candidats soit une chance sur trois d’avoir 50�000�€ soit 10�000�€ � coup s�r, beaucoup pr�f�reront la garantie de changer leur ordinaire. Le revenu suppl�mentaire esp�r� qui est exig� pour compenser l’aversion au risque est appel�, en finance, la prime de risque. La souscription de polices d’assurance (l� o� ce n’est pas obligatoire) se justifie �galement par aversion au risque. Il est donc rationnel de construire une mesure de l’utilit� subjective qui soit une fonction du gain et du risque, qui satisfasse toujours le crit�re de neutralit� au risque, et qui corresponde donc � un tableau de gains en strat�gie mixte. Plus g�n�ralement, l’utilit� tient compte du fait que les grosses variations sont plus significatives que les petites (on ach�te volontiers un billet de loterie ou de Loto, dont le prix tr�s faible correspond � une perte n�gligeable, tandis que le gain serait significatif), et que la signification d’une variation d�cro�t (il y a plus de diff�rence d’utilit� entre un gain de 1 000 et un gain de 1 001 000, qu’entre un gain de 1 001 000 et un gain de 2 001 000, m�me si la diff�rence est de 1 million (Un million (1 000 000) est l'entier naturel qui suit neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf (999 999) et qui précède un million un (1 000 001). Il vaut un millier de milliers.) � chaque fois�; une chance sur cent de gagner un million est g�n�ralement pr�f�r�e � une chance sur mille de gagner 10 millions, malgr� l’esp�rance �gale). Inversement, il peut exister un d�sir d’acheter du risque ou de la peur�: qu’il s’agisse d’un billet de loterie ou d’un film d’�pouvante, l’excitation correspondant � une valeur en elle-m�me. Bref, le fait d’acheter un billet de loterie ou de Loto, ou de jouer dans un casino, est motiv� par deux composantes�: la s�cr�tion d’adr�naline (comme lorsqu’on va voir un film d’action ou qu’on pratique un sport � risque) la diff�rence qualitative entre�: une perte probable qui passera inaper�ue, un gain certes peu probable, mais qui procurera s’il se produit un changement qualititatif. Ce point a �t� d�fendu devant l’Acad�mie des sciences (Une acad�mie des sciences est une soci�t� savante dont le r�le est de promouvoir la recherche scientifique en r�unissant certains des chercheurs les plus �minents, en tenant des s�ances au cours desquelles des travaux sont pr�sent�s...) par �mile Borel (en r�action contre une tendance de son �poque � ne consid�rer que l’esp�rance math�matique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et...) comme fonction d’utilit�) et est en g�n�ral admis depuis lors compte-tenu de sa meilleure explication des comportements li�s au jeu et � la souscription de polices d’assurance. Jeux de chiffres John Conway a mis en place une notation pour certains jeux et d�fini des op�rations sur ces jeux, dans l’espoir d’�tudier le jeu de go. � partir d’associations surprenantes d’id�es, il a isol� une sous-classe avec des propri�t�s num�riques, et a abouti � d�finir la classe tr�s g�n�rale des nombres surr�els. Cela dit, en d�pit de ces progr�s annonc�s, aucun programme informatique (Un programme informatique est une liste d'ordres indiquant � un ordinateur ce qu'il doit faire. Il se pr�sente sous la forme d'une ou plusieurs s�quences d'instructions, comportant souvent des donn�es de base, devant �tre ex�cut�es...) n’arrive � jouer actuellement (2006) au go avec des performances de joueur international.	Source: Wikip�dia publi�e sous licence CC-BY-SA 3.0.
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