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Math�matiquesD�finition sous licence CC-BY-SA 3.0
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Math�matiques structure des r�volutions scientifiques math�matiques �l�mentaires histoire des math�matiques g�om�trie non commutative Tweeter
Euclide, d�tail de L'�cole d'Ath�nes par Rapha�l. Les math�matiques d�signent la science du vrai et du faux en g�n�ral. C'est-�-dire qu'elle ne s'attache pas � dire ce qui est vrai ou faux dans l'absolu mais relativement � des �nonc�s, des suppositions. Les math�matiques sont un domaine de connaissance construit par des raisonnements hypoth�tico-d�ductifs, ou par l'absurde, relativement � des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les changements. Mais les math�matiques d�signent aussi le domaine de recherche (La recherche scientifique d�signe en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de d�velopper les connaissances scientifiques. Par extension m�tonymique, la recherche...) visant � d�velopper ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne. Les math�matiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au r�el. Elles sont de nature purement intellectuelle, bas�es sur des axiomes non soumis � l'exp�rience ou sur des postulats provisoirement admis. Un �nonc� math�matique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations....), pouvant porter les noms de th�or�me (Un th�or�me est une proposition qui peut �tre math�matiquement d�montr�e, c'est-�-dire une assertion qui peut �tre �tablie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit � partir d'axiomes. Un th�or�me est � distinguer d'une...), proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire (Un th�or�me est une proposition qui peut �tre math�matiquement d�montr�e, c'est-�-dire une assertion qui peut �tre �tablie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit � partir d'axiomes. Un...), est consid�r� comme valide lorsque le discours formel qui �tablit sa v�rit� suit une certaine structure rationnelle appel�e d�monstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en...), ou raisonnement d�ductif. Bien que les r�sultats math�matiques soient des v�rit�s purement formelles ils trouvent cependant des applications remarquables dans les autres sciences et dans les domaines de la technique. C'est ainsi que Eug�ne Wigner parle de "la d�raisonnable efficacit� des math�matiques dans les sciences de la nature". Portail Math�matiques �tymologie Dans les langues europ�ennes, le terme math�matique (Grec: μαθηματικ?) vient du grec μ?θημα math�ma qui signifie "�science, connaissance, apprentissage�", et de μαθηματικ?ς mathematikos�: "�qui aime apprendre�". La science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce que l'on tient...) est couramment d�sign�e par les chercheurs et les enseignants sous le pluriel (les math�matiques, mathematics, etc.)�; cet usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) remonte au pluriel neutre latin mathematica (Cic�ron), issu du pluriel grec τα μαθηματικ? (ta math?matik�), utilis� par Aristote (Aristote (en grec ancien Ἀριστοτέλης / Aristotélês) est un philosophe grec né à Stagire (actuelle Stavros) en...), voulant pr�cis�ment dire, toutes les choses math�matiques.[1] Toutefois, le singulier peut �tre employ� (la math�matique) mais son sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine....) est connot�. Dans le langage courant, le terme math�matiques est fr�quemment apocop� en maths�; cette abr�viation s'emploie toujours au pluriel en fran�ais. Dans l'�cole pythagoricienne, les sciences quantitatives ou math�matiques �taient l'arithm�tique (L'arithm�tique est une branche des math�matiques qui comprend la partie de la th�orie des nombres qui utilise des m�thodes de la g�om�trie alg�brique et de la th�orie des groupes. On l'appelle...), la g�om�trie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...), l'astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés physiques et chimiques. Elle ne doit pas être confondue avec la...) et la musique. Elles furent regroup�es par Bo�ce sous le nom de quadrivium � l'aube du Moyen-�ge. Historique Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de...). David Hilbert. Il est fort probable que l'homme (Un homme est un individu de sexe masculin adulte de l'espèce appelée Homme moderne (Homo sapiens) ou plus simplement « Homme ». Par distinction, l'homme prépubère est appelé un garçon,...) a d�velopp� des comp�tences math�matiques avant l'apparition de l'�criture. Le premier objet (De mani�re g�n�rale, le mot objet (du latin objectum, 1361) d�signe une entit� d�finie dans un espace � trois dimensions, qui a une fonction pr�cise, et qui peut �tre d�sign� par une �tiquette verbale. Il est d�fini par les...) reconnu attestant de comp�tences calculatoires est l'os d'Ishango datant de 20�000�ans avant notre �re.[2] [3] [4] Le d�veloppement des math�matiques en tant que connaissance transmise dans les premi�res civilisations est li� � leurs applications concr�tes�: le commerce, la gestion des r�coltes, la mesure des surfaces, la pr�diction des �v�nements astronomiques, et parfois l'ex�cution de rituels religieux. Les premiers d�veloppements math�matiques concernaient l'extraction des racines carr�es, des racines cubiques, la r�solution d'�quations polynomiales, la trigonom�trie (La trigonom�trie (du grec ancien τρ?γωνος / tr�gonos, � triangulaire �, et μ?τρον /...), le calcul fractionnaire, l'arithm�tique des entiers naturels,... Ils s'effectu�rent dans les civilisations akkadiennes, babyloniennes, �gyptiennes, chinoises ou encore de la vall�e (Une vallée est une dépression géographique généralement de forme allongée et façonnée dans le relief par un...) de l'Indus. Dans la civilisation grecque, les math�matiques, influenc�es par les travaux ant�rieurs et les sp�culations philosophiques, ont fait preuve d'abstraction ( En philosophie, l'abstraction d�signe � la fois une op�ration qui consiste a isoler par la pens�e une ou plusieurs qualit�s d'un objet concret pour en...). Deux branches se sont distingu�es, l'arithm�tique et la g�om�trie. Ont �t� formalis�es les notions de d�monstration et de d�finition (Une d�finition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'o� la division entre les d�finitions r�elles et les d�finitions nominales.) axiomatique des objets d'�tude. Les �l�ments d'Euclide[5] relatent d'une partie des connaissances g�om�triques en Gr�ce au IIIe si�cle (Un si�cle est maintenant une p�riode de cent ann�es. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, g�n�ration. Il a ensuite indiqu� la dur�e d'une g�n�ration...) avant notre �re. La civilisation islamique a permis la conservation de l'h�ritage grec et l'interf�condation avec les d�couvertes chinoises et indiennes, notamment en mati�re (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière occupe de l'espace et...) de repr�sentation des nombres[r�f.�n�cessaire]. Les travaux math�matiques se sont consid�rablement d�velopp�s tant en trigonom�trie (introduction des fonctions trigonom�triques) qu'en arithm�tique. Naquirent et se d�velopp�rent l'analyse combinatoire (En math�matiques, la combinatoire, appel�e aussi analyse combinatoire, �tudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les d�nombrements.), l'analyse num�rique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...), et l'alg�bre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) polynomiale. Durant la Renaissance europ�enne, une partie des textes arabes furent �tudi�s et traduits en latin. La recherche math�matique se concentre en Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un continent à part entière, mais aussi comme l’extrémité...). Le calcul alg�brique (C'est vers le XVIe si�cle que l'on voit avec le calcul alg�brique, appara�tre les math�matiques � modernes �. Auparavant il n'�tait pratiqu� que le calcul num�rique ou l’alg�bre chaloup�e (�crite en langue commune)....) se d�veloppe suite aux travaux de Fran�ois Vi�te et Ren� Descartes. Parall�lement, Newton et Leibniz red�couvrent le calcul infinit�simal (Le calcul infinit�simal (ou calcul diff�rentiel et int�gral) est une branche des math�matiques, d�velopp�e � partir de l'alg�bre et de la g�om�trie, qui implique deux id�es majeures compl�mentaires:), introduisant la notion de fluctante (vocable abandonn� depuis). Au cours du XVIIIe�si�cle et du XIXe�si�cle, les math�matiques connurent de forts d�veloppements avec l'introduction de nouvelles structures, abstraites, notamment les groupes suite aux travaux d'�variste Galois sur les �quations polynomiales, ou les anneaux suite aux travaux de Richard Dedekind. Le XIXe�si�cle voit avec Hilbert et Cantor le d�veloppement d'une th�orie (Le mot th�orie vient du mot grec theorein, qui signifie � contempler, observer, examiner �. Dans le langage courant, une th�orie est une id�e ou une connaissance sp�culative, souvent bas�e sur l’observation ou...) axiomatique sur tous les objets �tudi�s, soit la recherche des fondements math�matiques[r�f.�n�cessaire]. Ce d�veloppement de l'axiomatique conduira le XXe�si�cle � chercher � d�finir toutes les math�matiques � l'aide d'un langage�: la logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et...). Le XXe�si�cle a connu un fort d�veloppement en math�matiques avec une sp�cialisation des domaines, et la naissance ou le d�veloppement de nombreuses nouvelles branches (th�orie de la mesure, th�orie spectrale, topologie alg�brique (La topologie alg�brique, anciennement appel�e topologie combinatoire, est une branche des math�matiques appliquant les outils de l'alg�bre dans l'�tude des espaces...) et g�om�trie alg�brique, par exemple). L'informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de l'information par des machines...) a eu un impact sur la recherche. D'une part, elle a facilit� la communication (La communication concerne aussi bien l'homme (communication intra-psychique, interpersonnelle, groupale...) que l'animal (communication intra- ou inter- esp�ces) ou la machine (t�l�communications, nouvelles...) et le partage des connaissances, d'autre part, elle a fourni (Les Foúrnoi Korséon (Grec: Φούρνοι Κορσέων) appelés plus communément Fourni, sont un archipel de...) un formidable outil (Un outil est un objet finalis� utilis� par un �tre vivant dans le but d'augmenter son efficacit� naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions entreprises,...) pour la confrontation aux exemples. Ce mouvement a naturellement conduit � la mod�lisation et � la num�risation (La numérisation est le procédé permettant la construction d'une représentation discrète d'un objet du monde réel.). Math�matiques et philosophie Gauss. Par leur rapport particulier au r�el, les math�matiques se distinguent des autres domaines de recherche. Ce rapport au r�el conduit des philosophes des sciences � s'interroger sur l'appellation sciences. En philosophie des sciences, le faillibilisme est employ� par Charles Sanders Peirce pour opposer les sciences au fondamentalisme�; ce concept est repris dans le rationnalisme critique de Karl Popper (Karl Raimund Popper (28 juillet 1902 � Vienne, Autriche - 17 septembre 1994) est l'un des plus importants philosophes des sciences du XXe si�cle.) sous le terme de r�futabilit�. Popper reconna�t les math�matiques comme sciences suite aux travaux d'Alfred Tarski sur la s�mantique [6]. La question de savoir si les math�matiques sont ou non une science est une question relevant de la philosophie des math�matiques. Les math�matiques sont parfois surnomm�es reine des sciences. Cependant, l'expression remonte � Carl Friedrich Gauss�: Regina Scientiarum [7] et le mot scientiarium signifie en r�alit� "des connaissances". Pratique math�matiques Activit� (Le terme d'activit� peut d�signer une profession.) de recherche Il est faux de croire que la recherche math�matique se limite � la d�monstration m�canique (Dans le langage courant, la m�canique est le domaine des machines, moteurs, v�hicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons,...) de th�or�mes. L'une des m�thodes les plus fructueuses de recherche math�matique est la mise en rapprochement de domaines a priori �loign�s en mettant en lumi�re (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm...) des ph�nom�nes analogues (par exemple, la g�om�trie euclidienne (La g�om�trie euclidienne commence avec les �l�ments d'Euclide, qui est � la fois une somme des connaissances g�om�triques de l'�poque et une tentative de formalisation math�matique de...) et les �quations diff�rentielles lin�aires). Voir des ph�nom�nes analogues se produire peut conduire � vouloir adapter des r�sultats d'un domaine des math�matiques � un autre, � reformuler des �l�ments de d�monstration en termes �quivalents, � tenter une axiomatisation d'un objet (dans notre exemple, ce serait la notion d'espace vectoriel) qui regrouperait les deux domaines, ... Dans ce dernier cas, ce nouvel objet deviendrait alors un objet d'�tude par lui-m�me. Dans certains cas, l'identification d'objets a priori diff�rents devient n�cessaire�: le langage des cat�gories permet de faire ce genre de choses. Une autre m�thode de recherche est la confrontation aux exemples et aux cas particuliers. Cette confrontation peut permettre de r�futer des propri�t�s qu'on pensait ou esp�rait �tre vraie (conjectures). Au contraire, elle peut permettre de v�rifier des propri�t�s ou d'amener � les formaliser. Par exemple, en g�om�trie riemannienne, l'�tude des surfaces (donc des objets en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie � la taille ; les dimensions d'une pi�ce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son �paisseur, ou bien son diam�tre si c'est une pi�ce de r�volution.) 2) et de leurs g�od�siques a finalement conduit Anosov � formaliser ce qui aujourd'hui est connu sous le nom de diff�omorphisme Anosov, une transformation poss�dant d'int�ressantes propri�t�s dynamiques. Langage math�matique Les math�matiques utilisent un langage qui leur est propre. Certains termes du langage courant, comme groupe, anneau, corps ou vari�t�, peuvent �tre emprunt�s et red�finis pour d�signer des objets math�matiques. Mais souvent des termes sont form�s et introduits selon les besoins�: isomorphisme, topologie (La topologie est une branche des math�matiques concernant l'�tude des d�formations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).), it�ration, ... La pluralit� de ces termes rend difficile la compr�hension des math�matiques par les non-math�maticiens. Le langage math�matique s'appuie aussi sur l'usage de formules. Ces formules comportent des symboles, les uns en rapport avec le calcul propositionnel comme le connecteur binaire d'implication ou le connecteur unaire de n�gation , d'autres en rapport avec le calcul des pr�dicats (Le calcul des pr�dicats du premier ordre, ou calcul des relations, ou logique du premier ordre, ou tout simplement calcul des pr�dicats est une formalisation du langage des math�matiques propos�e par les...), comme le quantificateur universel ou le quantificateur existentiel . La plupart des notations utilis�es aujourd'hui ont �t� introduites apr�s le dix-septi�me si�cle seulement. Soulignons pour terminer qu'il existe un langage math�matique qui d�crit les math�matiques. En ce sens, on dit qu'il s'agit d'un m�talangage. Ce langage est la logique. Fondements Cens�ment, les math�matiques utilisent la logique comme outil pour d�montrer des v�rit�s organis�es en th�ories. Une premi�re analyse laisse esp�rer qu'une utilisation puissante de cet outil tellement s�r, une r�duction toujours plus pouss�e (En aérodynamique, la poussée est la force exercée par le déplacement de l'air brassé par un moteur, dans le sens inverse de l'avancement.) des bases, les axiomes, sur lesquelles s'�chafaude l'�difice math�matique, finissent par mener � un corpus de faits incontestables. Plusieurs obstacles se dressent pourtant. Aristote�: le fondateur (Le Fondateur (titre original : Founding Father) est une nouvelle de science-fiction d'Isaac Asimov, parue en février 1965, et publiée en...) de la logique formelle (peinture par Rapha�l). D'une part, en tant qu'activit� humaine, les math�matiques s'�loignent du mod�le d'une construction suivant scrupuleusement les lois de la logique et ind�pendante du r�el. Citons un fait et un ph�nom�ne pour illustrer ceci. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) d'abord, aucune d�monstration math�matique ne suit r�ellement, formellement, les lois de la logique, pour la simple raison que la traduction d'�nonc�s math�matiques complexes en langage purement formalis� est impossible en temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) raisonnable. Comme pour n'importe quelle sciences l'acceptation de la v�racit� d'une d�monstration, et donc d'un th�or�me, repose donc in fine sur un consensus de sp�cialistes au sujet de la validit� de l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être...) de d�monstration formelle propos�e (La structure des r�volutions scientifiques (La Structure des r�volutions scientifiques (The Structure of Scientific Revolutions) est un essai r�dig� par le philosophe des sciences Thomas Kuhn. Paru en 1962,...) de Thomas Kuhn). Ainsi la confiance que la communaut� math�matique place dans un de ses membres qui propose un r�sultat nouveau intervient de fa�on primordiale dans la r�ception qu'aura ce r�sultat, et ce d'autant plus s'il est inattendu, ou modifie la fa�on de voir les choses. On peut prendre pour exemple historique les controverses sur les g�om�tries non euclidiennes au XIX�me si�cle, durant lequel les travaux de Lobatchevsky ont �t� largement ignor�s�; ou bien, dans un autre ordre d'id�e, la difficult� de la r�ception des travaux du jeune r�publicain Galois au d�but du m�me si�cle, notamment par Cauchy [8]. La sociologie des math�matiques �tudie de tels ph�nom�nes (voir sociologie des sciences). Louis Cauchy. D'autre part, la solidit� m�me des bases est sujette � caution. En effet G�del a d�montr� au d�but du XXe si�cle son c�l�bre th�or�me d'incompl�tude (On parle de compl�tude en math�matiques dans des sens tr�s diff�rents. On dit d'un objet math�matiques qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui �tre ajout�, en un sens qu'il faut pr�ciser dans chaque contexte. Dans le cas...), qui implique grossi�rement parlant qu'on ne pourra jamais r�duire les bases des math�matiques en un syst�me qui soit s�r, d'une part, et d'autre part, que quelle que soit les bases choisies, certaines propri�t�s resteront inaccessibles � la d�monstration. Domaines des math�matiques � l'heure (L’heure est une unité de mesure du temps. Le mot désigne aussi la grandeur elle-même, l'instant (l'« heure qu'il est »), y compris...) actuelle, l'�tendue du champ (Un champ correspond � une notion d'espace d�fini:) des math�matiques vivantes, la diversit� des th�mes abord�s, et le foisonnement des connexions entre ces diff�rents th�mes rendent difficile de donner un classement universel et coh�rent des domaines particuliers de recherche. Le site arXiv[9] (site de publications d'articles de recherche en math�matiques, physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la...) et biologie) choisit de recenser 30 domaines diff�rents, l'histoire des math�matiques (L’histoire des math�matiques s'�tend sur plusieurs mill�naires et dans de nombreuses r�gions du globe allant de la Chine � l'Am�rique centrale. Dans la mesure...) mise � part. Un premier d�coupage des math�matiques en deux, trois ou quatre domaines diff�rents est couramment utilis�: alg�bre et analyse, ou bien alg�bre, analyse et g�om�trie, ou bien alg�bre, analyse, g�om�trie et probabilit�s. Certains math�maticiens se sont distingu�s en proposant des d�coupages personnels�: Grothendieck, Yves Lafont, ... Ainsi, Grothendieck propose de s�parer les math�matiques en g�om�trie, arithm�tique et analyse�; il affirme ainsi que l'alg�bre n'est pas un th�me des math�matiques mais un formalisme, qui peut autant intervenir en g�om�trie (par exemple, l'alg�bre commutative), en arithm�tique (par exemple, la th�orie des anneaux (En math�matiques, la th�orie des anneaux s'occupe d'anneaux.) de Dedekind) ou en analyse (par exemple, l'alg�bre bilin�aire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilin�aire si et seulement si elle est lin�aire en chacune de...) pour la th�orie de Fourier). Mais de tels d�coupages ne sont pas �vidents et les fronti�res s�parantes sont toujours mal d�finies. En effet, de nombreux r�sultats font appel � des comp�tences math�matiques vari�es. Le th�or�me de Wiles �tabli en 1994, fortement popularis� par la presse de vulgarisation, en est un exemple. Bien que formul� de mani�re dite arithm�tique, la preuve n�cessite des comp�tences d'analyse et de g�om�trie. Quelques domaines de base L'alg�bre est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) des m�thodes math�matiques visant � �tudier et d�velopper les structures dites alg�briques et � comprendre les relations qu'elles entretiennent entre elles. L'alg�bre, au sens actuel, trouve historiquement ses origines dans la compr�hension des �quations polynomiales et dans les d�veloppements des m�thodes de r�solution�: les recherches dans ces domaines ont suscit� l'�mergence des notions qui fondent la th�orie des groupes, de la th�orie de Galois ou encore de la g�om�trie alg�brique. En un sens tr�s restrictif, l'analyse est la partie des math�matiques s'int�ressant aux questions de r�gularit� des applications d'une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En...) r�elle ou complexe�: on parle alors plus volontiers d'analyse r�elle ou d'analyse complexe. En un sens �largi, elle englobe toutes les m�thodes math�matiques qui s'y apparentent, et un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de m�thodes pour comprendre et analyser les espaces de fonctions. La g�om�trie tente de comprendre en premier lieu les objets dans l'espace ambiant, puis par extension s'int�resse aux propri�t�s d'objets plus abstraits, � plusieurs dimensions, introduits selon plusieurs approches, relevant autant de l'analyse que de l'alg�bre. Les probabilit�s tentent en un sens large de formaliser tout ce qui rel�ve de l'al�atoire. Bien qu'anciennes, elles ont connu un renouveau avec la th�orie de la mesure. La compr�hension des lois al�atoires rendant compte au mieux des donn�es (Dans les technologies de l'information (TI), une donn�e est une description �l�mentaire, souvent cod�e, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un �v�nement, etc.) d�j� r�alis�es forme les statistiques. Exemples de domaines transverses Charles Gustave Jacob Jacobi, connu pour ses d�veloppements en th�orie analytique des nombres, entre analyse complexe et arithm�tique De nombreux domaines de recherche se situent transversalement par rapport au d�coupage donn� ci-dessus�: La th�orie des nombres (qui g�n�ralise l'arithm�tique �l�mentaire) utilise tout autant de m�thodes analytiques, que de m�thodes alg�briques, avanc�es, pour r�soudre des probl�mes qui peuvent souvent �tre �nonc�s de fa�on �l�mentaire. La topologie alg�brique tend � associer � des objets g�om�triques de natures diverses des invariants de nature alg�brique. Elle se situe donc � la fronti�re (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut fortement varier...) de la g�om�trie et de l'alg�bre. Toutefois, pour des objets g�om�triques pr�sentant une certaine structure analytique, ces invariants alg�briques peuvent parfois se definir ou se comprendre en faisant uniquement appel � des outils essentiellement d'analyse. La majeure partie de la recherche actuelle en topologie alg�brique tend � oublier la structure topologique et � reduire les questions � des probl�mes essentiellement d'alg�bre. En un certain sens, les syst�mes dynamiques se situent entre la g�om�trie, l'analyse et les probabilit�s. Ils tendent � comprendre de mani�re qualitative ce qui s'assimile � une loi d'�volution. Les objets �tudi�s rel�vent de l'analyse (�quations differentielles par exemples), des probabilit�s (it�ration d'une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arriv�e Y il existe un et un seul x...) mesurable), ou de la g�om�trie (espaces homog�nes). Le traitement qui y est consacr� fait l'objet d'interpr�tations essentiellement de nature g�om�triques, tout en utilisant des outils avanc�s d'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a...), de th�orie des processus, de g�om�trie diff�rentielle (En math�matiques, la g�om�trie diff�rentielle est l'application des outils du calcul diff�rentiel � l'�tude de la g�om�trie. Les objets d'�tude de base sont les vari�t�s diff�rentielles, ensembles ayant...), etc. Des r�sultats d'arithm�tique peuvent aussi �tre obtenus par des consid�rations relevant des syst�mes dynamiques. La g�om�trie diff�rentielle se situe � la fronti�re de la g�ometrie et de l'analyse, et ce � plusieurs �gards. La d�finition de ces objets d'�tude fait appel aux th�or�mes de calcul diff�rentiel (Un diff�rentiel est un syst�me m�canique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de fa�on adaptative aux besoins d'un ensemble m�canique.), mais l'�tude elle-m�me est grande consommatrice d'analyse. Des liens entre g�om�trie diff�rentielle et probabilit�s existent aussi. La g�om�trie alg�brique est l'exemple d'un domaine en un sens strict � la rencontre de l'alg�bre et de la g�om�trie. Elle trouve ses origines dans les travaux sur la r�solution des �quations cubiques. Le premier objet d'�tude de la g�om�trie alg�brique est la vari�t� alg�brique, lieu d'annulation d'�quations polynomiales�: il a une signification � la fois alg�brique et g�om�trique. Ce domaine connut un fort d�veloppement au XIXe si�cle, avec notamment le th�or�me de B�zout�: essentiellement, deux courbes d�crites par des �quations polynomiales de degr�s respectifs n et m s'intersectent en au plus n.m points distincts. Les d�veloppements r�cents initi�s par Grothendieck connaissent de nombreuses applications en th�orie des nombres, ce qui constitue la g�om�trie arithm�tique (La g�om�trie arithm�tique est une branche de la th�orie des nombres, qui utilise des outils de g�om�trie alg�brique pour s'attaquer � des probl�mes arithm�tiques.). La th�orie des op�rateurs rel�ve plut�t de l'analyse, ou encore de l'analyse fonctionnelle (par exemple, pour les probl�mes de r�gularit� des solutions d'�quations aux d�riv�es partielles elliptiques, notamment le fameux probl�me de Poisson). Mais cette th�orie conna�t de nombreux applications en g�om�trie diff�rentielle o� le langage des op�rateurs s'av�re particuli�rement adapt�. Le d�veloppement de la th�orie des op�rateurs a fait appel � des m�thodes de nature probabiliste, notamment pour ce qui s'appelle le calcul fonctionnel. Cette th�orie trouve des extensions en g�om�trie non commutative (La g�om�trie non commutative, d�velopp�e par Alain Connes, est un type de g�om�trie alg�brique distincte de la g�om�trie alg�brique telle qu'on l'entend habituellement (celle d�velopp�e par Alexandre...). Les objets d'�tudes se trouvent �tre des g�n�ralisations d'alg�bres d'op�rateurs. Math�matiques appliqu�es et math�matiques pures Navstar-2 - La conqu�te a�rospatiale�: grande consommatrice de math�matiques appliqu�es. Simulation num�rique d'un crash d'une voiture. - L'analyse num�rique�: domaine applicatif des math�matiques. La distinction entre math�matiques pures et math�matiques appliqu�es est parfois effectu�e�: Les math�matiques pures ont pour objectif le d�veloppement des connaissances math�matiques pour elles-m�mes sans aucun int�r�t pour les applications, sans aucune motivation (La motivation est, dans un organisme vivant, la composante ou le processus qui r�gle son engagement dans une action ou exp�rience. Elle en d�termine le d�clenchement dans une certaine direction avec l'intensit�...) d'autres sciences. La recherche math�matique tend � une meilleure compr�hension d'une s�rie d'exemples particuliers abstraits sur lesquels s'appuie et se d�veloppe la r�flexion math�matique. Au contraire, les math�matiques appliqu�es sont la mise en œuvre des connaissances math�matiques pour les besoins de formalisme d'autres sciences (physique, informatique, biologie (La biologie, appelée couramment la « bio », est la science du vivant. Prise au sens large de science du vivant, elle recouvre une partie des sciences naturelles et de l'histoire naturelle des êtres vivants (ou ayant...), astrophysique (L’astrophysique (du grec astro = astre et physiqui = physique) est une branche interdisciplinaire de l'astronomie qui concerne principalement la physique et l'étude des propriétés...), ...), et pour des applications industrielles (ing�nierie par exemple). Elles tendent � d�velopper ces outils math�matiques pour r�pondre � ces demandes, pour r�soudre des probl�mes pos�s en termes concrets. En France, cette distinction structure souvent les �quipes de recherche sans forc�ment hypoth�quer les possibilit�s d'interactions entre elles. Toutefois, la pertinence de cette distinction est remise en cause par un certain nombre de math�maticiens. Selon une boutade de Ian Stewart, math�maticien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce...) pur, "�La diff�rence entre math�maticiens purs et appliqu�s, c'est que les seconds pensent qu'il n'y a pas de diff�rence, alors que les premiers savent tr�s bien qu'il y en a une�".[r�f.�n�cessaire] Les math�matiques appliqu�es en un sens mal d�fini comprennent entre autres l'analyse num�rique, les statistiques appliqu�es et la th�orie de l'optimisation math�matique. Certains domaines de recherche des math�matiques sont n�es � la fronti�re avec d'autres sciences (voir ci-dessous). Enseignement (L'enseignement (du latin "insignis", remarquable, marqué d'un signe, distingué) est une pratique d'éducation visant à...) des math�matiques L'enseignement des math�matiques peut aussi bien d�signer l'apprentissage (L’apprentissage est l'acquisition de savoir-faire, c'est-à-dire le processus d’acquisition de pratiques, de connaissances, compétences,...) des notions math�matiques fondamentales ou �l�mentaires que l'apprentissage et l'initiation � la recherche (enseignement sup�rieur des math�matiques). Suivant les �poques et les lieux, les choix des mati�res enseign�es et les m�thodes d'enseignement changent (math�matiques modernes, m�thode de Moore, math�matiques anti-racistes, �ducation classique, ...). Dans certains pays (Pays vient du latin pagus qui d�signait une subdivision territoriale et tribale d'�tendue restreinte (de l'ordre de quelques centaines de km�), subdivision de la civitas gallo-romaine. Comme la civitas qui...), le choix des programmes scolaires dans l'�ducation publique sont d�sign�s par des institutions officielles. Rapport des math�matiques avec les autres sciences Les math�matiques entretiennent des rapports particuliers avec toutes les sciences, au sens large du terme. L'analyse de donn�es (interpr�tation graphique, donn�es statistiques, ...) fait appel � des comp�tences math�matiques vari�es. Mais des outils avanc�s de math�matiques interviennent r�ellement dans les mod�lisations. Toutes les sciences dures, � l'exception des math�matiques, tendent � une compr�hension du monde (Le mot monde peut d�signer :) r�el. Cette compr�hension passe par la mise en place d'un mod�le, prenant en compte un certain nombre de param�tres consid�r�s comme causes d'un ph�nom�ne. Ce mod�le consiste en un objet math�matique, dont l'�tude permet une meilleure compr�hension du ph�nom�ne �tudi�, �ventuellement une pr�diction qualitative ou quantitative quant � son �volution future. La mod�lisation fait appel � des comp�tences relevant essentiellement de l'analyse et des probabilit�s, mais les m�thodes alg�briques ou g�om�triques s'av�rent utiles. Math�matiques et physique Les math�matiques sont n�es d'une volont� de compr�hension de l'espace ambiant�: la g�om�trie na�t de la mod�lisation de formes id�alis�es, et l'arithm�tique des besoins des gestions des quantit�s. Astronomie et g�om�trie se sont longtemps confondus, jusque dans les civilisations islamiques. Les math�matiques et la physique apr�s s'�tre diff�renci�es ont gard� d'�troits liens. Dans l'histoire contemporaine de ces deux sciences, les math�matiques et la physique se sont influenc�es mutuellement. La physique moderne use � outrance des math�matiques, en faisant une mod�lisation syst�matique (En sciences de la vie et en histoire naturelle, la systématique est la science qui a pour objet de dénombrer et de classer les taxons dans un certain ordre, basé sur des principes divers. Elle ne doit pas être...) pour comprendre les r�sultats de ses exp�riences�: Cette mod�lisation peut faire appel � des outils math�matiques d�j� d�velopp�s. Ainsi l'usage des m�triques en g�om�trie diff�rentielle est un outil essentiel sur lequel repose notamment la relativit� g�n�rale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux référentiels non-inertiels, est une théorie relativiste de la...), d�velopp�e (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales...) par le math�maticien Minkowski puis par le physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la science analysant les constituants fondamentaux de l'univers et les forces qui les...) Einstein. Cet usage est aussi utilis� dans les autres th�ories post-newtoniennes. Cette mod�lisation encourage les math�maticiens � s'int�resser d'avantage � telle ou telle structure math�matique pour les besoins de la physique. Cette mod�lisation au contraire n�cessite des outils math�matiques non encore d�velopp�s et ouvre des nouvelles perspectives math�matiques. Ainsi, Isaac Newton (Sir Isaac Newton �tait un philosophe, math�maticien, physicien et astronome anglais n� le 4 janvier 1643 du calendrier gr�gorien[1] au manoir de Woolsthorpe...) a-t-il d�velopp� le calcul diff�rentiel pour pouvoir �crire les lois (classiques) du mouvement�; s'interessant � la diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait r�f�rence � une notion de � distribution �, de � mise � disposition � (diffusion d'un produit, d'une information), voire de...) de la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et temp�rature ont souvent un sens �quivalent : Quelle chaleur !) dans les corps, Joseph Fourier d�couvre les s�ries qui portent son nom, porte ouverte sur la th�orie de Fourier�; ... Plus r�cemment, citons les probl�mes de quantification g�om�trique, d'int�grales de Feynman, de polyn�mes de Donaldson, ... R�cemment, un domaine de recherche sp�cifique, la physique math�matique, tend pr�cis�ment � d�velopper les m�thodes math�matiques mises � l'usage de la physique. Le lien �troit entre math�matiques et physique se refl�te dans l'enseignement sup�rieur des math�matiques. L'enseignement de la physique fait appel � des cours de math�matiques pour physiciens�; et il n'est pas rare que les cursus de math�matiques dans les universit�s incluent une initiation facultative � la physique. Math�matiques et informatique L'essor des techniques au XXe si�cle a ouvert la voie � une nouvelle science, l'informatique. Celle-ci est intimement li�e aux math�matiques, de diverses mani�res�: certains pans de la recherche en informatique th�orique peuvent �tre consid�r�s comme d'essence math�matique, d'autres branches de l'informatique faisant plut�t usage des math�matiques. Les nouvelles technologies de communication ont quant � elles ouvert la voie aux applications � des branches des math�matiques parfois tr�s anciennes (arithm�tique), notamment en ce qui concerne les probl�mes de s�curit� des transmissions�: cryptographie (La cryptographie est une des disciplines de la cryptologie s'attachant � prot�ger des messages (assurant confidentialit�, authenticit� et int�grit�)...), th�orie des codes. En retour, les sciences informatiques influencent l'�volution moderne des math�matiques. Les math�matiques discr�tes forment un domaine de recherche actuel des math�matiques visant � d�velopper les m�thodes utilis�es en science informatique, incluant la th�orie de la complexit� (La th�orie de la complexit� s'int�resse � l'�tude formelle de la difficult� des probl�mes en informatique. Elle se distingue de la th�orie de la...), la th�orie de l'information, la th�orie des graphes (Le terme de graphe d�signe en math�matiques une op�ration d'application. Il poss�de deux acceptions :), ... Parmi les probl�mes ouverts, citons notamment le probl�me P=NP[10] en th�orie de la complexit� (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par exemple par Anthony Wilden ou Edgar Morin), en physique, en biologie (par exemple par...). Les chercheurs croient g�n�ralement que la r�ponse est non[11]. Math�matiques et la biologie, la chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à l'instar de la physique et de la biologie avec lesquelles elle partage des...) et la g�ologie (La géologie, du grec ancien γη- (gê-, « terre ») et λογος (logos, « parole »,...) La biologie est grande consommatrice de math�matiques et notamment de probabilit�s. La dynamique (Le mot dynamique est souvent employ� d�signer ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut �tre employ� comme :) d'une population se mod�lise couramment par des cha�nes de Markov (th�orie des processus discrets) ou par des �quations diff�rentielles coupl�es. Il en va de m�me pour l'�volution des g�notypes�: la loi de Hardy-Weinberg, souvent �voqu�e en g�n�tique (La génétique (du grec genno γεννώ = donner naissance) est la science qui étudie l'hérédité et les gènes.), rel�ve de propri�t�s g�n�rales sur les processus � temps discret (existence de lois limites). Plus g�n�ralement, la phylog�ographie fait appel � des mod�lisations probabilistes. De plus, la m�decine (La médecine (du latin medicus, « qui guérit ») est la science et la pratique (l'art) étudiant l'organisation du corps humain (anatomie), son fonctionnement normal...) use de tests (statistiques) pour comprendre la validit� de tel ou tel traitement. Un domaine sp�cifique de recherche � la fronti�re de la biologie est n�e�: la biomath�matique (La biomath�matique sous entend l'association de deux sciences : la biologie et les math�matiques. De fa�on pr�cise les biomath�matiques sont constitu�es par l'ensemble des...). Dans les derni�res ann�es, la chimie organique (La chimie organique est une branche de la chimie concernant la description et l'�tude d'une grande classe de mol�cules � base de carbone : les compos�s organiques.) a fait appel � l'informatique pour pouvoir mod�liser les mol�cules en trois dimensions�: il s'av�re que la forme d'une macromol�cule (Une macromolécule est une très grande molécule. La notion de macromolécule a été introduite en 1922 par le chimiste allemand Hermann Staudinger. Un...) en biologie est variable et d�termine son action. Cette mod�lisation fait appel � de la g�om�trie euclidienne�; les atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, � que l'on ne peut diviser �) est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement...) forment une sorte de poly�dre (Traditionnellement, un poly�dre est une forme g�om�trique � 3 dimensions ayant des faces planes qui se rencontrent le long d'ar�tes droites. Le mot poly�dre provient du grec classique...) dont les distances et les angles sont fix�s par les lois d'interaction (Une interaction est un �change d'information, d'affects ou d'�nergie entre deux agents au sein d'un syst�me. C'est une action r�ciproque qui suppose l'entr�e en contact de sujets.). Les g�ologies structurales et climatologiques font appel � des mod�les m�lant des m�thodes probabilistes et analytiques, pour pouvoir pr�dire du risque de catastrophe (Une catastrophe est un �v�nement brutal, d'origine naturelle ou humaine, ayant g�n�ralement la mort et la destruction � grande �chelle pour cons�quence.) naturelle. La complexit� des mod�les est telle qu'une branche de recherche est n�e � la fronti�re des math�matiques et de la g�ophysique, � savoir la g�ophysique math�matique. De m�me, la m�t�orologie, l'oc�anographie (L’oc�anographie (de � oc�an � et du grec γρ?φειν / gr�phein, �crire) est l'�tude des oc�ans et des mers de la Terre....) et la plan�tologie (La plan�tologie est la science de l'�tude des plan�tes. La discipline recouvre de nombreuses branches de la science ; son domaine d'�tude...) sont grandes consommatrices de math�matiques car n�cessitent des mod�lisations. Rapport entre les math�matiques et les sciences humaines Son rapport avec les sciences humaines se fait essentiellement par les statistiques et les probabilit�s, mais aussi par des �quations diff�rentielles, stochastiques ou non, en �conomie et en finance (sociologie, psychologie, �conomie, finance, gestion, ...). Notamment, les math�matiques financi�res (Les math�matiques financi�res sont une branche des math�matiques appliqu�es ayant pour but la mod�lisation, la quantification et la compr�hension des ph�nom�nes r�gissant les march�s...) sont une branche des math�matiques appliqu�es visant a la compr�hension de l'�volution des march�s financiers et de l'estimation des risques. Cette branche des math�matiques se d�veloppe � la frontiere des probabilit�s et de l'analyse et use des statistiques. Utilisation non scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre � l'�tude d'une science ou des sciences et qui se consacre � l'�tude d'un domaine avec la rigueur et les...) des math�matiques La math�matisation ou l'appel � des m�thodes math�matiques ne justifie en aucun cas l'authenticit� scientifique. En effet, les postulats d'une "pens�e" peuvent �tre extr�mement probl�matiques, voire farfelus, mais s'ils sont de nature � �tre quantifi�s, ils peuvent donner lieu � des calculs complexes. Les th�ories astrologiques occidentales se d�fendent de suivre des m�thodes scientifiques. En particulier, l'astrologie (L‘astrologie est l'ensemble des syst�mes de croyances organis�s en vue d'obtenir des renseignements sur les ph�nom�nes terrestres � partir de...) statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la présentation de ces...) utilise les tests statistiques pour mettre en �vidence d'�ventuelles corr�lations entre la position des astres et le devenir des hommes. Toutefois, ces �tudes initi�es par Choisnard et Gauquelin, men�es � la marge de la recherche scientifique (La recherche scientifique d�signe en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de d�velopper les connaissances scientifiques. Par extension m�tonymique, la recherche...), n'ont � ce jour (Le jour ou la journ�e est l'intervalle qui s�pare le lever du coucher du Soleil ; c'est la p�riode entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil �clairent le...) pas �t� productifs et n'ont r�ussi � donner aucune preuve recevable d'un lien de cause � effet. Dans l'essai pol�mique Impostures intellectuelles, Alan Sokal et Jean Bricmont (Jean Bricmont, né en 1952, est un physicien et essayiste belge. Docteur en sciences, il a travaillé comme chercheur à l’Université Rutgers puis a enseigné à...) d�noncent l'utilisation non fond�e ou abusive d'une terminologie scientifique, en particulier math�matique et physique, dans le domaine des sciences humaines. L'�tude de syst�mes complexes (�volution du ch�mage, capital d'une entreprise, �volution d�mographique d'une population, ...) font appel � des connaissances math�matiques �l�mentaires (Les math�matiques �l�mentaires regroupent les math�matiques abord�es et abordables dans l'enseignement primaire et secondaire. Une page m�ta est d�di�e � ce projet : Projet/Math�matiques �l�mentaires.). Le choix des crit�res de comptage, notamment dans le cas du ch�mage, sont sujet � pol�mique. Beaucoup plus subtil est le cas de l'�conomie math�matique. Le postulat fondamental de cette discipline est que l'activit� �conomique peut se comprendre � partir d'un axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une...) de nature anthropologique, celui de l'acteur (Un acteur est un artiste qui incarne un personnage dans un film, dans une pi�ce de th��tre, � la t�l�vision, � la radio, ou m�me dans des spectacles de rue. En plus de l'interpr�tation proprement dite,...) individuel rationnel. Dans cette vision, chaque individu (Le Wiktionnaire est un projet de dictionnaire libre et gratuit similaire � Wikip�dia (tous deux sont soutenus par la fondation Wikimedia).) cherche par ses actions � accro�tre un certain profit, et ce de fa�on rationnelle. Cette sorte de vision atomiste de l'�conomie permet � celle-ci de math�matiser relativement ais�ment sa r�flexion, puisque le calcul individuel se transpose en calcul math�matique. Toutefois, certains sociologues, comme Pierre Bourdieu, et m�me certains �conomistes, refusent ce postulat de l'homo (Homo est le genre qui réunit l'Homme moderne et les espèces apparentées. Le genre apparaît entre environ 2,5 et 2 Ma. Toutes les espèces sont éteintes sauf Homo sapiens ; les dernières...) œconomicus, en remarquant que les motivations des individus comprennent non seulement le don, mais aussi d�pendent d'autres enjeux dont l'int�r�t financier n'est qu'une partie, ou tout simplement ne sont pas rationnelles. La math�matisation est donc selon eux un habillage permettant une valorisation scientifique de la mati�re. Ceci dit, la mod�lisation math�matique en �conomie permet de percer � jour des m�canismes �conomiques qui n'auraient pu �tre d�couverts que tr�s difficilement par une analyse "litt�raire". Par exemple, les explications des cycles �conomiques ne sont pas triviales. Sans mod�lisation math�matique, on peut difficilement aller au del� du simple constat statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un...) ou des sp�culations non prouv�es. Impact culturel des math�matiques Expression artistique Page couverture du Trait� de l'harmonie r�duite � ses principes naturels de Jean-Philippe Rameau. Les notes qui sonnent bien ensemble � une oreille (L'oreille est l'organe qui sert à capter le son et est donc le siège du sens de l'ouïe, mais elle joue également un rôle important dans l'équilibre. Le mot peut...) occidentale, sont des sons dont les fr�quences fondamentales de vibration sont dans des rapports simples . Par exemple, l'octave est un doublement de fr�quence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi lorsqu'on emploie le mot fréquence sans...), la quinte une multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) par 3/2. Ce lien entre les fr�quences et l'harmonie a �t� notamment d�taill� dans le Trait� de l'harmonie r�duite � ses principes naturels (Paris, 1722, r��dit� en IBSN 2865631575 ou ISBN 205100787X) de Jean-Philippe Rameau, compositeur baroque fran�ais et th�oricien de la musique. Il repose en partie sur l'analyse des harmoniques (not�es 2 � 15 dans la figure suivante) d'un son fondamental Do grave (not� 1), les premi�res harmoniques et leurs octaves sonnant bien entre elles. Si la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les...) trac�e en rouge (La couleur rouge r�pond � diff�rentes d�finitions, selon le syst�me chromatique dont on fait usage.), qui suit les notes harmoniques, a une allure logarithmique, cela correspond au rapport entre deux ph�nom�nes. D'une part, la repr�sentation de la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) d'un son par notre syst�me auditif qui est proportionnelle au logarithme (En math�matiques, une fonction logarithme est une fonction d�finie sur � valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a o� a est un r�el strictement...) de la fr�quence du son (une fr�quence double correspond toujours � la m�me "distance sonore" appel�e octave). D'autre part, les fr�quences harmoniques qui sont des multiples entiers de la fr�quence fondamentale (En acoustique, la fr�quence fondamentale ou son fondamental est l'harmonique de premier rang d'un son.). Fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usit�), une courbe ou surface de forme irr�guli�re ou morcel�e qui se cr�e en suivant des r�gles d�terministes ou...) poss�dant une sym�trie d'�chelle et une sym�trie centrale On peut constater que l'on associe une certaine beaut� aux figures sym�triques. Une sym�trie d'une figure g�om�trique (Les figures g�om�triques sont un mode d'expression d�coratif d�velopp� par les civilisations anciennes, bas� sur la r�p�tition de figures et motifs suivant un trac� g�om�trique propre � une iconographie identitaire.) est, intuitivement, l'existence d'un motif de la figure qui se r�p�te suivant une r�gle pr�cise, tout en �tant partiellement transform�. Math�matiquement, une sym�trie est l'existence d'une action non triviale d'un groupe, tr�s souvent par isom�trie (En g�om�trie, une isom�trie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isom�trie est donc un cas particulier de similitude.), c'est-�-dire qui pr�serve les distances sur la figure. En d'autres termes, l'intuition de la r�gle est math�matiquement r�alis�e par le fait que c'est un groupe qui agit sur la figure, et le sentiment qu'une r�gle r�git la sym�trie est pr�cis�ment d� � la structure alg�brique (En math�matiques, plus particuli�rement en alg�bre, une structure alg�brique est form�e d’un ensemble combin� � une ou plusieurs lois de composition, �ventuellement compl�t�es par un ordre ou une topologie, le tout...) de ce groupe. Par exemple, le groupe li� � la sym�trie miroir (Un miroir est un objet possédant une surface suffisamment polie pour qu'une image s'y forme par réflexion et conçu à cet effet. C'est souvent une couche métallique fine, qui, pour être...) est l'ensemble . Un test de Rorschach est une figure invariante par cette sym�trie, de m�me qu'un papillon et plus g�n�ralement le corps des animaux, du moins en surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure, sa...). Lorsqu'on dessine la surface de la mer (Le terme de mer recouvre plusieurs r�alit�s.), l'ensemble des vagues poss�de une sym�trie par translation�: bouger notre regard de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en...) s�parant deux cr�tes de vagues ne change pas la vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) que l'on a de la mer. Un autre cas de sym�trie, cette fois non isom�trique, est celui pr�sent� par les fractales�: un certain motif se r�p�te � toutes les �chelles de vision. Perception des math�matiques par le grand public Les math�matiques n'ont pas de d�finition sur quoi l'on s'accorde en g�n�ral. Pour certains, elles sont ce qu'on leur a enseign� � l'�cole ou � l'universit�; pour d'autres, elles sont tout ce que fait la communaut� professionnelle occidentale des math�maticiens.[12] Marcia Ascher. Une perception commune de la v�rit� en g�n�ral est de consid�rer le vrai et le faux comme des oppos�s qui auraient � peu pr�s la m�me importance. Cette dualit� peut-�tre repr�sent�e comme suit�: Image:Vrai50 faux50.svg Dans cette mani�re de voir les choses, le vrai et le faux sont �quiprobables. Si ce sch�ma peut convenir � la question de savoir si un nombre est pair ou impair, il en va autrement de la question de savoir par exemple si un nombre r�el x vaut 2,4. Si x vaut 2,3 ce n'est pas tr�s loin, mais x ne vaut pas tout � fait 2,4. Si x vaut 2 voire 1, il semble assez clair que l'�galit� est fausse. Mais quelle que soit la diff�rence, cela sera math�matiquement faux. Dans ce cas, on aurait donc plut�t le sch�ma suivant�: Image:Vrai1 faux99.svg Si ce raisonnement s'applique aux math�matiques, il peut en fait s'appliquer � beaucoup de choses. Si on cherche � ne dire que des choses "math�matiquement vraies", c'est-�-dire tout � fait exactes, on se rend compte qu'on ne peut pas dire grand chose. Cette s�v�rit� de la notion de v�rit� a tendance � donner une image aust�re des math�matiques au grand public. Le langage et les symboles pour le moins �sot�riques ne sont pas l� pour arranger les choses. Cependant, la logique floue et l'intuition sont partie int�grante des math�matiques, elles sont m�me � la base de leur d�veloppement. Des math�matiques qui en sont d�nu�es sont sans grand int�r�t et rebutent naturellement les �l�ves. Le formalisme math�matique est un ph�nom�ne assez r�cent venant d'une volont� d'universaliser le langage math�matique, si ce n'est pas de l'uniformiser. Vulgarisation math�matique La vulgarisation math�matique a pour objectif de pr�senter les math�matiques en un langage d�nu� de termes techniques. Comme l'objet d'�tudes des math�matiques n'est pas r�el, elle use souvent d'un vocabulaire imag�, et de comparaisons ou analogies non rigoureuses, pour faire sentir l'id�e des d�veloppements math�matiques. Oh, les maths de Yakov Perelman. Le livre qui rend fou de Raymond Smullyan (Raymond Smullyan est un logicien, math�maticien et magicien am�ricain n� en 1919.). Toutefois, notons que les math�matiques font rarement l'objet de vulgarisation dans des journaux ou journaux t�l�vis�s. Litt�rature et filmographie Si nombre de biographies portent sur les math�maticiens, les math�matiques sont un th�me certes peu exploit� dans la litt�rature ou la filmographie, mais pr�sent. Romans Plusieurs livres de Denis Guedj, dont: Le Th�or�me du Perroquet Z�ro, ou les cinq vies d'A�mer Le d�mon des maths par Hans Magnus Enzensberger Films Will Hunting, Un homme d'exception, film de Ron Howard (2001) avec Russell Crowe dans le r�le de John Forbes Nash (John Forbes Nash Jr (n� le 13 juin 1928) est un math�maticien qui a travaill� sur la th�orie des jeux et la g�om�trie diff�rentielle. Il a partag� le � Prix Nobel � d'�conomie en 1994 avec Reinhard Selten et John...), adapt� du livre de Sylvia Nasar. Pi, film de Darren Aronofsky (1998) La preuve irr�futable, (2005) avec Anthony Hopkins et Gwyneth Paltrow. Cube et Cube 2 S�ries t�l�vis�es Numb3rs, s�rie de Nicolas Falacci et Cheryl Heuton. Notes et r�f�rences ↑ The Oxford Dictionary of English Etymology, Oxford English Dictionary ↑ http://www.sciencesnaturelles.be/museum/halls/prehist/ishango/flash/files/Ishango_FR_def.html Le B�ton d'Ishango - Institut (Un institut est une organisation permanente créée dans un certain but. C'est habituellement une institution de recherche. Par exemple, le Perimeter Institute for...) royal des Sciences naturelles de Belgique ↑ http://mathworld.wolfram.com/IshangoBone.html Le B�ton d'Ishango - MathWorld ↑ http://www.lemonde.fr/web/article/0,1-0@2-3244,36-877143@51-877260,0.html Les os incis�s d'Ishango font na�tre la num�ration en Afrique (D’une superficie de 30 221 532 km2 en incluant les îles, l’Afrique est un continent couvrant 6 % de la surface terrestre et 20,3 % de la...), Le Monde ↑ (en) Euclid's Elements, site interactif ↑ Karl Popper, "Les deux probl�mes fondamentaux de la th�orie de la connaissance", �dition Hermann, Paris (Paris est une ville fran�aise, capitale de la France et le chef-lieu de la r�gion d’�le-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien, entre les...), 1999). ↑ http://www.crystalinks.com/mathematics.html ↑ Actes du Groupe canadien d'�tudes en didactique des math�matiques texte de Nicolas Bouleau (Les bouleaux font partie de la famille des bétulacées. La plupart des espèces sont des arbres ; quelques-unes, comme Betula nana, sont des...), page 24 ↑ d�tail de sa classification ↑ Clay Mathematics Institute P=NP ↑ Un sondage ( Un sondage peut d�signer une technique d'exploration locale d'un milieu particulier. Un sondage peut �galement �tre une m�thode statistique d'analyse d'une population humaine ou non humaine � partir d'un...) de William Gasarch selon lequel 61% des math�maticien pensent que la r�ponse est non. ↑ Marcia Ascher, Math�matiques d'ailleurs, Nombres, Formes et Jeux dans les soci�t�s traditionnelles, �ditions du Seuil, 1998, p. 13. Source: Wikip�dia publi�e sous licence CC-BY-SA 3.0.
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