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Math�matiquesD�finition sous licence CC-BY-SA 3.0
G�om�trie euclidienne
G�om�trie euclidienne g�om�trie non euclidienne th�orie de la relativit� espace vectoriel norm� m�canique newtonienne Tweeter
Euclide La g�om�trie euclidienne commence avec les �l�ments d'Euclide, qui est � la fois une somme des connaissances g�om�triques de l'�poque et une tentative de formalisation math�matique de ces connaissances. Les notions de droite, de plan, de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...), d'aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) y sont expos�es de fa�on axiomatis�e. La conception de la g�om�trie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) est alors intimement li�e � la vision de l'espace physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...) ambiant au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) classique du terme. Les conceptions g�om�triques subissent, � partir des travaux d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce...), des �volutions suivant trois axes principaux�: Pour v�rifier les crit�res de rigueur logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est...) actuels, la d�finition (Une d�finition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'o� la division entre les d�finitions r�elles et les d�finitions nominales.) axiomatique subit de profonds changements, l'objet (De mani�re g�n�rale, le mot objet (du latin objectum, 1361) d�signe une entit� d�finie dans un espace � trois dimensions, qui a une fonction pr�cise, et qui peut �tre d�sign� par une �tiquette verbale. Il est d�fini par...) math�matique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...) reste n�anmoins le m�me. Pour ne plus se limiter aux dimensions deux et trois et pour permettre l'�laboration d'une th�orie (Le mot th�orie vient du mot grec theorein, qui signifie � contempler, observer, examiner �. Dans le langage courant, une th�orie est une id�e ou...) plus puissante, un mod�le alg�brique de la g�om�trie est envisag�. L'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine r�el de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de longueur ou d'orthogonalit�. En...) est maintenant d�fini comme un espace vectoriel (En alg�bre lin�aire, un espace vectoriel est une structure alg�brique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons lin�aires. Pour une introduction au concept de vecteur,...) ou affine (En math�matiques, affine peut correspondre � :) r�el de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie � la taille ; les dimensions d'une pi�ce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son �paisseur, ou bien son diam�tre si...) finie muni d'un produit scalaire (En g�om�trie vectorielle, le produit scalaire est une op�ration alg�brique s'ajoutant aux lois d�finissant la structure d'espace vectoriel. � deux vecteurs elle associe leur produit, qui...). Enfin, la structure g�om�trique euclidienne n'est plus la seule envisageable�; il est maintenant �tabli qu'il existe d'autres g�om�tries coh�rentes. Plus de 2�000 ans apr�s sa naissance, l'espace g�om�trique euclidien est un outil (Un outil est un objet finalis� utilis� par un �tre vivant dans le but d'augmenter son efficacit� naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions...) toujours efficace aux vastes domaines d'applications. Par exemple, l'espace des physiciens reste encore principalement du domaine de la g�om�trie euclidienne (La g�om�trie euclidienne commence avec les �l�ments d'Euclide, qui est � la fois une somme des connaissances g�om�triques de l'�poque et une tentative de formalisation math�matique de ces connaissances. Les notions de droite, de...), l'astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés physiques et chimiques. Elle ne doit pas...) �tant l'exception la plus notoire. L’approche euclidienne de la science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce que l'on tient pour vrai au sens large. L'ensemble de...) de l’espace La g�om�trie euclidienne au sens des antiques traite du plan et de l'espace. Les objets consid�r�s sont les points, les segments, les droites, les demi-droites, et leurs propri�t�s d'incidence (la r�gle), ainsi que les cercles (le compas). Les enjeux essentiels sont l'�tude de figures et la mesure. Les outils de la g�om�trie d'Euclide La construction d'Euclide se fonde sur cinq postulats[1]: Un segment de droite peut �tre trac� en joignant deux points quelconques. Un segment de droite peut �tre prolong� ind�finiment en une ligne droite. Etant donn� un segment de droite quelconque, un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...) peut �tre trac� en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extr�mit�s comme centre. Tous les angles droits sont congruents Si deux lignes sont s�cantes avec une troisi�me de telle fa�on que la somme des angles int�rieurs d'un c�t� est strictement inf�rieure � deux angles droits, alors ces deux lignes sont forc�ment s�cantes de ce c�t�. Les raisonnements sur les figures g�om�triques (Les figures g�om�triques sont un mode d'expression d�coratif d�velopp� par les civilisations anciennes, bas� sur la r�p�tition de figures et motifs suivant un trac� g�om�trique propre � une iconographie identitaire.) portent sur leurs intersections, et leurs dimensions�: sur l'incidence et la mesure. De ce point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.), certaines transformations des figures sont utiles�; les plus pertinentes sont les similitudes c'est-�-dire les transformations qui conservent les rapports des distances. Les similitudes les plus simples sont les rotations, les sym�tries, les translations, qui conservent les distances, ainsi que les homoth�ties. � partir de ces quelques objets de base, toutes les similitudes peuvent �tre construites par composition, . La construction d'Euclide permet le d�veloppement de la notion de mesure de longueur, d'aire, de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.), d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.). Il existe de nombreuses aires de surfaces usuelles calculables par les techniques des El�ments. Une m�thode, la m�thode d'exhaustion qui pr�figure l'int�gration, permet d'aller plus loin. Archim�de (287-212 av. J.C.), par exemple r�alise la quadrature de la parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un c�ne lorsque le plan est parall�le � l'une des g�n�ratrices du c�ne. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propri�t�s g�om�triques ont int�ress� les...). Une limite de la notion de mesure vient de ce que les nombres consid�r�s sont seulement les nombres constructibles. Les deux th�or�mes fondamentaux sont le th�or�me de Pythagore (Le th�or�me de Pythagore est un th�or�me de g�om�trie euclidienne qui �nonce que dans un triangle rectangle (qui poss�de un angle droit) le carr� de l'hypot�nuse (c�t� oppos� � l'angle droit) est �gal � la somme des...) et celui de Thal�s. Un peu d'analyse permet d'aller plus loin avec la trigonom�trie (La trigonom�trie (du grec ancien τρ?γωνος / tr�gonos, � triangulaire �, et μ?τρον / m�tron, � mesure �) est une branche des math�matiques qui traite des...). C'est le premier exemple de construction d'un pont entre la g�om�trie euclidienne pure et une autre branche math�matique, pour enrichir la palette (La Palette est un café-restaurant situé dans le 6e arrondissement de Paris, au croisement de la rue de Seine et de la rue Jacques-Callot. Ses...) d'outils disponibles. Un succ�s euclidien�: la r�gle et le compas Figure � la r�gle et au compas: Heptad�cagone, un polygone r�gulier de 17 cot�s Un objectif de la g�om�trie euclidienne est la construction de figures � la r�gle et au compas. L'�tude du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination...) rel�ve de ce domaine, la richesse des r�sultats obtenus est illustr�e par la liste des �l�ments remarquables d'un triangle. Une famille de figures embl�matiques est celle de certains polygones r�guliers (voir l'article Partage d'une tarte). Ils ne sont cependant pas tous constructibles. Les techniques de construction s'appliquent non seulement au plan, mais aussi � l'espace comme le montre l'�tude sur les poly�dres. Une sp�cificit� de la g�om�trie euclidienne r�side dans le fait qu'elle n'utilise initialement que peu ou pas du tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) de th�or�mes complexes et puissants d'alg�bre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) ou d'analyse. C'est une math�matique autonome et ind�pendante, o� les preuves proviennent essentiellement de raisonnements purement g�om�triques. Cependant, pour les cas complexes, comme la construction de la figure ci-contre, d'autres outils, par exemple les polyn�mes, se r�v�leront indispensables (cf Th�or�me (Un th�or�me est une proposition qui peut �tre math�matiquement d�montr�e, c'est-�-dire une assertion qui peut �tre �tablie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit � partir d'axiomes. Un th�or�me est �...) de Gauss-Wantzel). Les trois grand probl�mes de l'antiquit�, � savoir la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de...), � l'aide seulement de la r�gle et du compas, ne seront d'ailleurs montr�s impossibles qu'avec l'apport d'autres branches des math�matiques. La g�om�trie euclidienne aura de nombreuses applications. La Renaissance utilise largement les techniques des �l�ments. L'architecture (L’architecture peut se définir comme l’art de bâtir des édifices.), la peinture � travers la perspective[2] regorgent d'exemples de cette nature. L'art des entrelacs[3] de L�onard de Vinci (1452-1519) est un autre cas d'utilisation. Ces math�matiques servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) aussi � la mesure, � la fois pour les arpenteurs et dans un objectif scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre � l'�tude d'une science ou des sciences et qui se consacre � l'�tude d'un domaine avec la rigueur et les...). Le th�or�me de Thal�s (Le th�or�me de Thal�s est un th�or�me de g�om�trie, attribu� selon la l�gende au math�maticien et philosophe grec Thal�s de Milet ; en r�alit� Thal�s s'est...) permet � �ratosth�ne (276–194 av. J.-C.) de mesurer la circonf�rence de la terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et la plus massive des quatre planètes...). Cette technique, dite de triangulation (En géométrie et trigonométrie, la triangulation est une technique permettant de déterminer la position d'un point en mesurant les angles entre...) permet aussi aux marins de conna�tre leur position. Application et nouveaux outils�: espace euclidien et physique Syst�me solaire (Le système solaire est un système planétaire composé d'une étoile, le Soleil et des corps célestes ou objets définis...) (�chelle non r�elle). A partir du XVIe�si�cle les math�matiques s'�loignent de plus en plus de la g�om�trie du triangle. La g�om�trie euclidienne garde son utilit� car elle mod�lise toujours avec pertinence le monde (Le mot monde peut d�signer :) physique ambiant. Cependant, l'approche purement antique devient trop restrictive. Elle n'offre pas un cadre suffisant pour le d�veloppement des math�matiques. Pour aller plus loin, comme par exemple pour l'�tude des coniques[4] de Blaise Pascal (Blaise Pascal (19 juin 1623, Clermont (Auvergne) - 19 ao�t 1662, Paris) est un math�maticien et physicien, philosophe, moraliste et th�ologien fran�ais.) (1623-1662) ou la naissance du calcul infinit�simal (Le calcul infinit�simal (ou calcul diff�rentiel et int�gral) est une branche des math�matiques, d�velopp�e � partir de l'alg�bre et de la g�om�trie, qui implique deux id�es majeures compl�mentaires:)[5], l'introduction d'un rep�re est obligatoire. Avec le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) l'alg�bre et l'analyse deviennent pr�dominantes�: de nouveaux outils, �loign�s des outils h�rit�s d'Euclide, sont cr��s�; en ce qui concerne la mod�lisation de l'espace physique, ils sont n�anmoins toujours utilis�s dans le cadre d'une g�om�trie euclidienne peu formalis�e, et ce avec un large succ�s. Toutes les th�ories datant d'avant le XXe�si�cle se contentent en fait de ce cadre. Encore maintenant, et dans un contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu traditionnellement de l'analyse...) tr�s g�n�ral, la g�om�trie usuelle de la physique reste euclidienne. Elle permet des r�sultats spectaculaires, comme la m�canique newtonienne (La m�canique newtonienne est une branche de la physique. Depuis les travaux d'Albert Einstein, elle est souvent qualifi�e de m�canique classique.). Ce n'est qu'en 1915, qu'une autre g�om�trie, celle de la relativit� g�n�rale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux référentiels non-inertiels, est une...), explique mieux un ph�nom�ne, celui de l'avance du p�rih�lie (Le périhélie est le point de l'orbite d'un corps céleste (planète, comète, etc.) qui est le plus rapproché du Soleil (grec : helios) autour duquel il tourne.) de Mercure. La g�om�trie euclidienne reste maintenant valable � trois exceptions pr�s: les distances astronomiques, dans le cadre de la relativit� g�n�rale les vitesses proches de la lumi�re (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm...), avec la g�om�trie de la relativit� restreinte (On nomme relativit� restreinte une premi�re version de la th�orie de la relativit�, �mise en 1905 par Albert Einstein, qui ne consid�rait pas la question des acc�l�rations d'un...), les dimensions inf�rieures � la taille des particules, dans le cadre de certaines th�ories contemporaines comme les supercordes. Il faut toutefois � nouveau noter que, si la mod�lisation de la g�om�trie de l'espace reste souvent la m�me que celle de l'Antiquit� (aux exceptions d�j� cit�es pr�s), la formalisation change radicalement. D'autres math�matiques que celle du triangle sont utilis�es. Le mod�le lin�aire de la g�om�trie La conception de l'espace par les math�maticiens n'est historiquement pas fig�e�; les �volutions se font pour plusieurs raisons�: le besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes cat�gories : les besoins primaires, les besoins...) de mieux fonder la th�orie g�om�trique, d'une part en comblant certains d�ficits de rigueur du texte d'Euclide, d'autre part en liant (Un liant est un produit liquide qui agglomère des particules solides sous forme de poudre. Dans le domaine de la peinture, il permet au pigment d'une peinture de coller sur le...) la th�orie � d'autres branches des math�matiques�; mais aussi la n�cessit� de pouvoir utiliser l'important corpus de r�sultats g�om�triques dans d'autres espaces, physiques aussi bien que math�matiques, que l'espace physique ambiant ou le plan usuel. Ces deux derniers objectifs sont en fait atteints grace � une branche particuli�re des math�matiques�: l'alg�bre lin�aire (L’alg�bre lin�aire est la branche des math�matiques qui s'int�resse � l'�tude des espaces vectoriels (ou espaces lin�aires), de leurs �l�ments les vecteurs,...). Motivation�: la m�canique (Dans le langage courant, la m�canique est le domaine des machines, moteurs, v�hicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui...) du solide Un solide poss�de 6 degr�s de libert� La m�canique du solide apporte un point de vue nouveau sur la g�om�trie euclidienne. Si notre espace d�crit la position du centre de gravit� (Le centre de gravité est le point d'application de la résultante des forces de gravité ou de pesanteur. Il est également le point...), le solide peut encore tourner autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent...) de ce centre. Il dispose encore trois degr�s de libert� suppl�mentaires. Il est alors n�cessaire de consid�rer un espace de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) six, pour rendre compte de la position exacte du solide. Il en est de m�me pour la vitesse (On distingue :). Elle est d�crite par le mouvement de son centre de gravit� (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.), repr�sent� classiquement par un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un...) dans l'espace et par une rotation, que l'on peut repr�senter par un vecteur perpendiculaire (En g�om�trie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil � plomb) et justifie la g�n�ralisation de la...) au plan de rotation et dont la longueur est proportionnelle � la vitesse angulaire (En physique, et plus sp�cifiquement en m�canique, la vitesse angulaire ω, aussi appel�e fr�quence angulaire, est une mesure de la vitesse de rotation.). Math�matiquement, le champ (Un champ correspond � une notion d'espace d�fini:) des vitesses est dit �quiprojectif et se repr�sente par un torseur (Un torseur est un outil math�matique utilis� principalement en m�canique du solide ind�formable, pour d�crire les mouvements des solides et les actions m�caniques...). L'espace est encore de dimension six. Cette d�marche consistant � d�finir un espace abstrait, qui ne repr�sente plus directement notre univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.), mais un espace sp�cifique au probl�me �tudi�, est f�conde. Elle permet d'utiliser les outils de la g�om�trie euclidienne dans des contextes vari�s. Cette g�om�trie est remarquablement adapt�e pour la repr�sentation d'un champ �quiprojectif. La m�canique statique (Le mot statique peut d�signer ou qualifier ce qui est relatif � l'absence de mouvement. Il peut �tre employ� comme :) est un autre exemple, un objet est consid�r� comme l'assemblage d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) de solides soumis � des contraintes qui les lient entre eux. La dimension est alors �gale � six fois le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de solides composant l'objet. Cette d�marche est surtout d�velopp�e (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites...) durant le XXe�si�cle. En effet, la dimension croit rapidement et une puissance (Le mot puissance est employ� dans plusieurs domaines avec une signification particuli�re :) de calcul accessible uniquement depuis l'arriv�e des ordinateurs est n�cessaire pour rendre l'approche op�rationnelle. Motivation�: la statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de...) Exemple de repr�sentation euclidienne d'un d�pouillement. Le d�pouillement des sondages utilise aussi les propri�tes de la g�om�trie euclidienne. Elle permet, gr�ce � la notion de distance, une mod�lisation pertinente, et, gr�ce aux outils de l'alg�bre lin�aire, une algorithmique (L'algorithmique est l’ensemble des règles et des techniques qui sont impliquées dans la définition et la conception d'algorithmes, c'est à...) puissante pour les calculs. Si les crit�res, repr�sent�s par des questions d'un sondage ( Un sondage peut d�signer une technique d'exploration locale d'un milieu particulier. Un sondage peut �galement �tre une m�thode statistique d'analyse d'une population humaine ou...) peuvent �tre ramen�s � des grandeurs mesurables, alors chaque sond� appara�t comme un point d'un espace dont la dimension est �gale au nombre de crit�res. Cette g�om�trie est essentielle en statistique�: Elle r�duit la dimension de l'espace � travers le choix d'axes (appel� ici composantes) particuli�rement r�v�lateurs et en nombre r�duits. L'analyse du sondage devient r�alisable dans un espace plus petit, d�pollu�e du bruit non significatif, et graphiquement repr�sentable pour une compr�hension intuitive du d�pouillement. Elle mesure les corr�lations entre les diff�rentes questions. La figure illustre ici deux crit�res, chacun repr�sent� par un axe. Pour cet exemple, quand le crit�re de l'axe horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la verticale. Une ligne horizontale va « de la gauche vers la...) prend des valeurs positives, alors le crit�re de l'axe vectical prend des valeurs n�gatives. Les deux crit�res sont dits anticorr�l�s. La d�marche consistant � analyser des donn�es � travers une g�om�trie euclidienne est utilis�e dans de nombreuses sciences humaines. Elle permet l'analyse des comportements m�me lorsque ceux-ci ne suivent pas des lois rigides. Mod�le lin�aire de la g�om�trie: les espaces euclidiens La notion d'espace vectoriel fournit une premi�re structure purement alg�brique dans laquelle le langage g�om�trique peut s'exprimer. La notion de coordonn�e introduite au�? si�cle (Un si�cle est maintenant une p�riode de cent ann�es. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, g�n�ration. Il a ensuite indiqu� la dur�e d'une g�n�ration humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'o� peut �tre l'�ge du Christ ?)....) devient centrale, et le plan, par exemple, est mod�lis� par un espace vectoriel de dimension deux, qui s'identifie essentiellement � l'ensemble de tous les couples de coordonn�es (x1,x2), o� x1,x2 sont des nombres r�els�; un point est alors simplement un tel couple, et une droite l'ensemble des couples de la forme (λx1,λx2), o� (x1,x2) est un couple fix�, et λ varie parmi tous les nombres�; la g�n�ralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être considérés...) se fait facilement � l'espace de dimension 3 en consid�rant des triplets de coordonn�es (x1,x2,x3), mais aussi aux espaces de dimension n en consid�rant l'ensemble de tous les n-uplets de nombres . Les propri�t�s d'incidence ne sont toutefois pas celles attendues�; notamment, toutes les droites se rencontrent en un point origine�: le n-uplet (En math�matiques, si n est un entier naturel non nul alors un n-uplet est une collection de n objets tel qu'il soit possible de dire exactement celui qui est le...) . En fait, les droites ont le comportement attendu seulement au voisinage (La notion de voisinage correspond � une approche axiomatique �quivalente � celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuit� qui s'entend ici...) de l'origine. Il faut ensuite pouvoir transf�rer cette situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre plus général afin de le...) locale � tous les autres points de l'espace. Cela se fait par translation, plus pr�cis�ment en faisant agir l'espace vectoriel sur lui-m�me par translation. La situation locale est alors la m�me au voisinage de tous les points, on obtient ainsi la notion d'espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc d� � la d�couverte de nouvelles g�om�tries parfaitement coh�rentes, mais diff�rant de celle d'Euclide par l'axiome des parall�les. Elles remettaient en cause les notions...), qui permet de rendre compte pleinement des propri�t�s d'incidence�: par exemple, dans un espace affine r�el de dimension 2, les droites v�rifient le cinqui�me postulat d'Euclide. Cependant, avec simplement la notion d'espace affine, seules les propri�t�s d'incidence sont mod�lis�es, une grande partie de la g�om�trie euclidienne classique n'est pas atteinte�: il manque essentiellement une notion de mesure. Un outil lin�aire permet de combler cette lacune�; c'est le produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est ind�pendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition � un pseudoscalaire, qui est un...). Un espace affine r�el muni d'un produit scalaire est appel� espace euclidien, toutes les notions g�om�triques classiques sont d�finies dans un tel espace, et leurs propri�t�s issues de l'alg�bre v�rifient tous les axiomes euclidiens�: les th�or�mes g�om�triques issus du corpus classiques, portant sur n'importe quels objets v�rifiant ces axiomes, deviennent donc en particulier des th�or�mes pour les points, droites, cercles, tels que d�finis dans un espace euclidien. Version g�om�trique du th�or�me de Pythagore, le th�or�me fondamental des espaces euclidiens. Enfin, comme on l'a vu, les espaces affines euclidiens ne sont pas limit�s aux dimensions 2 ou 3�; ils permettent donc de rendre compte des diff�rents probl�mes physiques et statistiques �voqu�s plus haut, et qui mettaient en jeu un plus grand nombre de variables, avec une utilisation d'un langage g�om�trique, et beaucoup de th�or�mes d'incidence et de mesure se g�n�ralisent presque automatiquement, notamment le th�or�me de Pythagore. Il traite d'un triangle, il est maintenant mod�lis� par deux vecteurs x et y. Les propri�t�s du produit scalaire assurent l'�galit� suivante: Il suffit de remarquer que (x|y) est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux pour affirmer le th�or�me de Phytagore et sa r�ciproque (La réciproque est une relation d'implication.). Des d�monstrations �quivalentes dans la formalisation antique sont donn�es dans l'article associ�. Elles sont plus longues, particuli�rement � cause de la r�ciproque, qui fait appel au th�or�me d'Al-Kashi. Le passage � un degr� (Le mot degr� a plusieurs significations, il est notamment employ� dans les domaines suivants :) d'abstraction ( En philosophie, l'abstraction d�signe � la fois une op�ration qui consiste a isoler par la pens�e une ou plusieurs qualit�s d'un objet concret pour en former une repr�sentation intellectuelle, et le produit de...) sup�rieur offre un formalisme plus puissant, donnant acc�s � de nouveaux th�or�mes et simplifiant les d�monstrations�; l'intuition g�om�trique habituelle des dimensions 2 ou 3 est parfois d�fi�e par ces dimensions sup�rieures, est parfois toujours efficace. Les gains sont suffisants pour que les analyses sophistiqu�es soient g�n�ralement exprim�es � l'aide du produit scalaire. Illustration de la port�e g�om�trique du produit scalaire D�finition du produit scalaire. D�finition du propduit scalaire Un produit scalaire est une application de ExE dans le corps des nombres, ici les r�els. C'est donc une application qui � deux vecteurs associe un nombre. Si x et y sont deux vecteurs, alors on le note ici (x|y). Il est bilin�aire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilin�aire si et seulement si elle est lin�aire en...), ce qui signifie qu'il est lin�aire pour chaque variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une...). Cette propri�t� s'exprime, par exemple pour la premi�re variable par les deux propri�t�s suivantes: Il est sym�trique, ce qui signifie qu'il est possible d'intervertir les variables sans modification du r�sultat: Il est d�fini positif, ce qui signifie: Le produit scalaire des vecteurs x et y est d�fini dans le formalisme d'Euclide, comme la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière...) du rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) vert (Le vert est une couleur compl�mentaire correspondant � la lumi�re qui a une longueur d'onde comprise entre 490 et 570 nm. L'œil humain poss�de un r�cepteur, appel� c�ne M, dont la bande passante est ax�e...) de la figure ci-contre. Cette figure repr�sente le plan contenant x et y. Le rectangle vert est d�fini comme ayant pour hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) la rotation de x d'un quart de tour dans la direction de y et pour base la projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de repr�senter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) orthogonale de y sur l'axe de direction x. Si l'angle entre x et y est plus petit qu'un quart de tour, alors le produit scalaire est compt� positivement. Dans le cas inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x =...), celui de la figure rouge (La couleur rouge r�pond � diff�rentes d�finitions, selon le syst�me chromatique dont on fait usage.), il est compt� n�gativement. Cette application est bien d�finie sur deux vecteurs et associe bien un scalaire. Compatibilit� de l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de...) Compatibilit� de la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) La deuxi�me figure illustre la compatibilit� de l'addition avec la premi�re variable du produit scalaire. Le rectangle vert a pour surface le produit scalaire de x avec y, le rectangle bleu (Bleu (de l'ancien haut-allemand � blao � = brillant) est une des trois couleurs primaires. Sa longueur d'onde est comprise approximativement entre 446 et 520 nm. Elle varie en luminosit� du cyan � une...) a pour surface le produit scalaire de x avec y' . La somme des deux surfaces est bien �gale � la surface du rectangle orange qui est le produit scalaire de x avec y+y'. En effet, la translation laisse invariante la surface. L'�galit� suivante est v�rifi�e: La troisi�me figure illustre la compatibilit� de la multiplication externe avec la premi�re variable du produit scalaire. Le rectangle violet (Le violet est une couleur, compos�e d'un m�lange de bleu (environ 50% de luminosit�) et de rouge (environ 25% de luminosit�) en synth�se additive, et...) poss�de une hauteur �gale � celle du triangle vert, et sa base est �gale � OD. Les deux triangles OAB et OCD sont semblables il est donc possible d'y appliquer le th�or�me de Thal�s, il d�montre que comme OC = λ.OA, alors OD = λ.OB. Sa surface est donc bien multipli�e par λ. L'�galit� suivante est v�rifi�e: Sym�trie du produit scalaire Pour d�montrer la sym�trie de l'application, les notations suivantes sont utilis�es: ||v|| d�signe la longueur d'un vecteur v quelconque, l1 la longueur de la base du rectangle vert de la figure sur la sym�trie et l2 la longueur de la base du rectangle rouge. Par d�finition du produit scalaire, les �galit�s (1) et (2) sont v�rifi�es. Les deux triangles OAB et OCD sont semblables car ils sont deux angles en communs. Le th�or�me de Thal�s prouve l'�galit� (3), donc: La d�monstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions...) de la sym�trie d�montre en m�me temps la lin�arit� par rapport � la premi�re variable puisque la lin�arit� par rapport � la deuxi�me variable est d�j� �talie. Il reste � d�montrer que l'application est d�finie positive . Il suffit de remarquer que (x|x) est la surface d'un carr� (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la...) de cot� x. En cons�quence, cette surface est positive et n'est nulle que si la longueur de x est nul, c’est-�-dire si le vecteur est �gal � z�ro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en notation...). La longueur d'un vecteur quelconque v est d�finie par: . Dans ce contexte, on parle de norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce...) d'un vecteur et non plus de longueur. Et tout espace euclidien contient un produit scalaire qui d�finit la distance euclidienne, et donc les angles et les mesures. � Historique de l'approche lin�aire Arthur Cayley La notion d'espace vectoriel appara�t petit � petit. Ren� Descartes (1596-1650) et Pierre de Fermat (Pierre de Fermat, n� le 20 ao�t 1601, � Beaumont-de-Lomagne, pr�s de Montauban, et d�c�d� le 12 janvier 1665 � Castres, �tait un juriste et math�maticien fran�ais, surnomm� � le prince des amateurs �.) (1601-1665) utilisent le principe de coordonn�es comme un outil pour r�soudre avec une approche alg�brique des probl�mes g�om�triques. La notion de rep�re orthonormal est utilis�e en 1636[6]. Bernard Bolzano (1781-1848) d�veloppe une premi�re conception g�om�trique[7] o� les points, les droites et les plans sont d�finis uniquement par des op�rations alg�briques, c’est-�-dire l'addition et la multiplication par un nombre. Cette approche permet de g�n�raliser la g�om�trie � d'autres dimensions que celles des plans et des volumes. Arthur Cayley (1821-1895) est un acteur (Un acteur est un artiste qui incarne un personnage dans un film, dans une pi�ce de th��tre, � la t�l�vision, � la radio, ou m�me dans des spectacles de rue. En plus de l'interpr�tation proprement dite, un acteur (ou...) majeur dans la formalisation des espaces vectoriels[8]. Un contemporain William Rowan Hamilton (1805-1865) utilise un autre corps de nombres que celui des r�els�: les imaginaires[9]. Il montre que cette d�marche est essentielle en g�om�trie pour la r�solution de nombreux probl�mes. A la suite des travaux de Gaspard Monge (1746-1818), son �l�ve Jean Poncelet (1788-1867) r�forme la g�om�trie projective (La g�om�trie projective est le domaine des math�matiques qui mod�lise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle �tudie les propri�t�s des figures...)[10]. La g�om�trie projective, g�om�trie de la perspective, devient aussi mod�lisable par l'alg�bre lin�aire�: un espace projectif se construit � partir d'un espace vectoriel � partir d'un processus d'identification des points suivant une r�gle de perspective. Les espaces projectifs sont ainsi g�n�ralis�s aux dimensions quelconques. Il est aussi int�ressant de noter que la g�om�trie projective est une g�om�trie non euclidienne (On nomme g�om�trie non euclidienne une th�orie g�om�trique modifiant au moins un des axiomes postul�s par Euclide dans les �l�ments.), dans le sens o� le cinqui�me postulat d'Euclide y tombe en d�faut�; l'alg�bre lin�aire fournit donc non seulement un mod�le pour la g�om�trie euclidienne, mais aussi, par des adaptations simples, pour une g�om�trie non euclidienne. Les limites d'Euclide L'approche lin�aire n'est pas une remise en question des conceptions euclidiennes. Elle permet au contraire de g�n�raliser celles-ci, d'�tendre leur port�e, et de les enrichir en retour. Seulement, un autre grand mouvement historique a au contraire remis en cause ces conceptions. Le cinqui�me postulat Exemple de g�om�trie hyperbolique Le XIXe�si�cle voit l'apparition de nombreuses nouvelles g�om�tries. L'origine de leurs naissances r�sulte d'interrogations sur le cinqui�me postultat, que Proclus exprime de la mani�re suivante: Dans un plan, par un point distinct d'une droite d, il existe une unique droite parall�le � d�; ce postulat, admis par Euclide, et que l'intuition soutient, ne devrait-il pas �tre un th�or�me�? Ou, au contraire, peut-on imaginer des g�om�tries o� il tomberait en d�faut�? Un enjeu durant le XIXe�si�cle pour les math�maticiens, sera de parvenir � se d�tacher d'une intuition physique casuellement inf�conde, ainsi que d'un respect inopportun des le�ons des anciens, pour oser inventer de nouvelles conceptions g�om�triques�; celles-ci ne s'imposeront pas sans difficult�. D�s le d�but du si�cle Carl Friedrich Gauss (1777-1855) s'interroge sur ce postulat[11]. En 1813 il �crit�: Pour la th�orie des parall�les, nous ne sommes pas plus avanc�s qu'Euclide, c'est une honte pour les math�matiques. En 1817 il semble que Gauss ait acquis la conviction[12] de l'existence de g�om�tries non euclidiennes. En 1832, le math�maticien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de compétences et...) J�nos Bolyai (1802-1860) r�dige un m�moire (D'une mani�re g�n�rale, la m�moire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir d'une information.) sur le sujet[13]. L'existence d'une g�om�trie non euclidienne n'est pas formellement d�montr�e, mais une forte pr�somption est acquise. Le commentaire de Gauss est �loquent�: Vous f�liciter reviendrait � me f�liciter moi-m�me[14]. Gauss n'a jamais publi� ces r�sultats, probablement pour �viter une pol�mique. Ind�pendamment, Nicola� Lobatchevsky (1792-1856) devance Bolyai sur la description d'une g�om�trie analogue dans le journal russe Le messager de Kazan en 1829. Deux autres publications[15] et [16] sur le sujet n'ont n�anmoins pas plus d'impact sur les math�maticiens de l'�poque. Bernhard Riemann (1826-1866) �tablit l'existence d'une autre famille de g�om�tries non euclidiennes pour son travail de th�se (Une thèse (du nom grec thesis, se traduisant par « action de poser ») est l'affirmation ou la prise de position d'un locuteur, à l'égard du sujet ou du thème qu'il...) sous la direction de Gauss. L'impact reste faible, la th�se n'est publi�e que deux ans apr�s sa mort (La mort est l'état définitif d'un organisme biologique qui cesse de vivre (même si on a pu parler de la mort dans un sens cosmique plus général, incluant par exemple la mort des étoiles). Chez les...). Les g�om�tries de Lobatchevsky et Bolyai correspondent � des structure hyperboliques o� il existe une infinit� de parall�les passant par un m�me point. Cette situation est illustr�e dans la figure ci-contre, les droites d1, d2 et d3 sont trois exemples de parall�les � D passant par le point M. Le cas riemannien correspond au cas elliptique o� aucune parall�le n'existe. L'unification (Le concept d'unification est une notion centrale de la logique des prédicats ainsi que d'autres systèmes de logique et est sans doute ce qui distingue le plus Prolog des autres langages de programmation.) de Klein Universit� (Une université est un établissement d'enseignement supérieur dont l'objectif est la production du savoir (recherche), sa conservation et sa transmission (études...) d'Erlangen Felix Klein La situation est devenue confuse, les El�ments ne sont pas en mesure de rendre compte d'une telle diversit�. On compte nombre d'espaces g�om�triques�: les espaces vectoriels euclidiens, les espaces affines euclidiens, les espaces projectifs, les g�om�tries elliptiques et hyperboliques, plus quelques cas exotiques comme le ruban de M�bius (Le ruban de M�bius est une curiosit� topologique tr�s facile � confectionner, comme le montre le sch�ma ci-dessous.). Chaque g�om�trie poss�de des d�finitions diff�rentes, plus ou moins �quivalentes et aboutissant sur des s�ries de th�or�mes plus ou moins diff�rents selon les auteurs et les g�om�tries. La fin de la supr�matie euclidienne engendre un important d�sordre, qui rend la compr�hension de la g�om�trie difficile. Un jeune professeur de 24 ans Felix Klein (1848-1925) nouvellement nomm� professeur � l'universit� de Erlangen ordonne toutes ces g�om�tries dans son discours inaugural[17]. Ces travaux ont cette fois un vaste retentissement sur la communaut� scientifique, la supr�matie euclidienne dispara�t et la pol�mique n�e de la remise en cause du cinqui�me postulat s'�teint. Son travail implique une r�forme de la formalisation des espaces euclidiens. Il utilise les travaux de James Joseph Sylvester (1814-1897) sur ce que l'on appelle maintenant les produits scalaires[18]. La g�om�trie euclidienne reste d'actualit� au prix d'une refonte profonde de sa construction. Dans son programme d'Erlangen, Felix Klein trouve le crit�re permettant de d�finir toutes les g�om�tries. Les gains attendus sont au rendez-vous. Les g�om�tries sont classifi�ees, celles qui se pr�sentent comme des cas particuliers apparaissent et les th�or�mes g�n�riques peuvent s'exprimer sur l'int�gralit� de leur domaine d'application�; en particulier, l'espace v�rifiant l'axiomatique euclidienne est la limite qui s�pare les familles de g�om�tries hyperboliques de Bolyai et Lobatchevsky des g�om�tries elliptiques de Riemann. Klein d�finit une g�om�trie par l'ensemble de ses isom�tries c'est-�-dire les transformations laissant les distances invariantes. Cette approche caract�rise parfaitement une g�om�trie. Cet ensemble b�n�ficie d'une structure nouvelle pour l'�poque, celle d'un groupe particulier puisqu'il poss�de lui m�me une g�om�trie. Cette approche dans le cas euclidien est �quivalente � celle du produit scalaire, et si elle est d'un maniement plus abstrait, elle est aussi plus g�n�rale car elle s'applique � toutes les g�om�tries. La pr�sentation des espaces euclidiens se limite donc � l'�tude du produit scalaire, parfaitement suffisant pour d�crire la g�om�trie dans ce cas particulier. Euclide et la rigueur Th�or�me de Pythagore La derni�re r�forme est celle de la logique. Le point de vue vectoriel de la g�om�trie a permis de trouver un mod�le de la g�om�trie d'Euclide dans un autre domaine math�matique qu'on esp�re mieux fond�. Mais cela ne rend pas caduques certaines questions sur la construction logique intrins�que d'Euclide. Les postulats propos�s par Euclide ne suffisent en fait pas � d�crire enti�rement les r�sultats qu'il obtient�; il utilise de fa�on implicite des postulats non formul�s. Cette lacune logique est principalement due � une carence de formalisation du texte d'Euclide�: Les Elements ne satisfont pas les crit�res de rigueur actuels. Notons quelques lacunes. Cas ou les nombres ne sont pas les r�els Les transformations laissant invariantes les distances ne peuvent se d�duire de la base axiomatique. Le cœur m�me du raisonnement g�om�trique antique n'est donc pas d�montrable � partir des postulats. Le Th�or�me de Pythagore est un exemple illustr� dans la figure de droite. La d�monstration utilise le fait que les triangles IBC et AEC poss�dent la m�me aire car l'un correspond � la rotation d'un quart de tour de l'autre. Cette assertion (Dans la langue fran�aise, le mot assertion (n,f) repr�sente une v�rit� absolue : il d�finit une proposition reconnue comme vraie. -> voir Wiktionary) n'est en fait pas d�montrable dans le cadre axiomatique choisi par Euclide. La nature du corps de nombres sous-jacent n'est pas explicitable. Il n'est donc pas possible de conna�tre la nature des longueurs. L'article sur les nombres r�els montre les cons�quences facheuses de ce probl�me. Ainsi, comme illustr� sur la figure de gauche, la rotation d'un angle de 45� de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) d'un cercle de cot� 1 ne poss�de pas, a priori son extr�mit� A' . Enfin les limites recouvertes par la construction euclidienne ne sont pas explicit�s. Le cinqui�me postulat, dont le statut est entre celui d'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en...) et de conjecture (En math�matiques, une conjecture est une assertion qui a �t� propos�e comme vraie, mais que personne n'a encore pu d�montrer ou r�futer.) est un exemple. L'orientation (Au sens litt�ral, l'orientation d�signe ou mat�rialise la direction de l'Orient (lever du soleil � l'�quinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;) de l'espace (voire article D�terminant) qui permet de parler de droite et de gauche est encore suppos�e exister. En revanche, aucun �l�ment dans la base axiomatique ne permet une telle construction. La r�ponse de Hilbert David Hilbert Le math�maticien David Hilbert cherche alors � apporter une r�ponse par la d�finition d'une nouvelle axiomatique d�crivant exactement l'espace euclidien. Elle doit remplir les trois crit�res suivants: Etre minimale, aucun axiome ne doit pouvoir �tre retranch� sans que soient alors possibles d'autres g�om�tries que celle d'Euclide. Etre compl�te, tous les �l�ments non d�montrables � partir de la construction d'Euclide doivent maintenant pouvoir l'�tre. L'objectif est plus ambitieux, la base axiomatique doit �tre compl�te, c’est-�-dire qu'une d�monstration doit pouvoir exister pour montrer la v�racit� ou non de toute proposition. Etre intrins�que, comme celle d'Euclide, la base axiomatique ne doit pas faire appel � d'autres notions math�matiques, comme par exemple les nombres r�els. Le fruit (En botanique, le fruit est l'organe végétal protégeant la graine. Caractéristique des Angiospermes, il succède à la fleur par transformation du pistil. La paroi de l'ovaire forme le...) de son travail est l'article de 1899 qu'il appelle Fondements de la g�om�trie et contenant une liste de 21 axiomes. Si cette liste d�crit bien la g�om�trie d'Euclide, deux des trois crit�res ne sont pas remplis. En 1902, le math�maticien Eliakim Hastings Moore (1862 1932) d�montrera la redondance[19] du 21�me axiome de la liste de Hilbert. Elle est depuis minimale. La compl�tude (On parle de compl�tude en math�matiques dans des sens tr�s diff�rents. On dit d'un objet math�matiques qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui �tre ajout�, en un sens qu'il faut...) n'est pas non plus atteinte. En fait, le math�maticien Kurt G�del (1906-1978) d�montrera[20] en 1931 que, dans un tel contexte, la compl�tude n'est jamais atteignable. Ainsi, il existe d'autres classes de probl�mes pour lesquels la construction de Hilbert souffre des m�mes lacunes que la base axiomatique antique. L'hypoth�se du continu est un exemple de nouveau champ math�matique o� cette base axiomatique se r�v�le trop incompl�te pour trancher. Et G�del a d�montr� que l'ajout d'un nouvel axiome pour permettre une d�monstration ne fera qu'ouvrir un nouveau champs contenant d'autres propositions ind�cidables. Malgr� ses limites, l'article de 1899 est d'une grande influence sur les math�matiques du XXe�si�cle. Au d�tail pr�s du 21eme axiome qu'il est ais� de retirer, la construction de Hilbert correspond � ce que l'on peut faire de mieux en mati�re (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière...) de base axiomatique. Ces fondements permettent une construction aussi rigoureuse que possible de la g�om�trie euclidienne. Cette approche est pionni�re dans le monde de la logique. En revanche, la construction de Felix Klein est plus op�rationnelle et plus ais�ment g�n�ralisable. En g�om�trie, la base axiomatique de Hilbert n'est donc que peu utilis�e. G�n�ralisations Le concept de g�om�trie est maintenant appliqu� � un vaste ensemble d'espaces. Si la remise en question du cinqui�me postulat est l'exemple historique qui donne un contenu � la notion de g�om�trie non euclidienne, une analyse plus pr�cise montre l'existence de quantit� (La quantit� est un terme g�n�rique de la m�trologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre mani�re de d�nommer la...) d'autres cas non envisag�s par Euclide respectant n�anmoins le cinqui�me postulat. Dans le cas des espaces vectoriels, le corps de nombre peut �tre modifi�, la distance est parfois choisie de mani�re � poss�der un nouveau groupe d'isom�tries, le nombre de dimensions peut devenir infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en...). Il existe en plus de nombreux cas o� l'espace n'est pas vectoriel, Klein formalise des g�om�tries non orientables, Georg Cantor (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 mars 1845, Saint-P�tersbourg - 6 janvier 1918, Halle) est un math�maticien allemand connu pour �tre le cr�ateur de la th�orie des ensembles. Il �tablit l'importance de la bijection...) (1845-1918) d�couvre un ensemble triadique dont la dimension n'est pas enti�re et qui maintenant est class� dans la cat�gorie des g�om�tries fractales. La topologie (La topologie est une branche des math�matiques concernant l'�tude des d�formations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) ouvre la porte � la construction de nombreux autres cas. C'est la raison pour laquelle le terme de g�om�trie non euclidienne tombe petit � petit en d�su�tude durant le XXe�si�cle. Il est maintenant entr� dans l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de d�crire une g�om�trie par les propri�t�s qu'elles poss�dent et non pas par une, devenue tr�s sp�cifique et qu'elle n'aurait pas, � savoir son caract�re euclidien. Les exemples suivants sont parmi les plus fr�quemment utilis�s. Dimension infinie Les espaces de fonctions � valeur r�elles disposent d'une structure d'espace vectoriel. Il est f�cond de les �tudier avec des outils g�om�triques. Il est possible d'y associer une distance issue d'un produit scalaire si les fonctions sont de carr� int�grable. Ce produit scalaire est d�fini de la mani�re suivante: Dans un tel espace, le th�or�me de Pythagore se g�n�ralise et a permis � Joseph Fourier (1768-1830) de r�soudre l'�quation (En math�matiques, une �quation est une �galit� qui lie diff�rentes quantit�s, g�n�ralement pour poser le probl�me de leur identit�. R�soudre l'�quation consiste � d�terminer toutes les fa�ons de donner � certaines des quantit�s qui y...) de la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et temp�rature ont souvent un sens �quivalent : Quelle chaleur !). Cette approche, consistant � utiliser les outils de la g�om�trie pour r�soudre des probl�mes d'analyse s'appelle maintenant l'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été étendu, et...). De multiples distances diff�rentes sont alors d�finies sur ces espaces, g�n�rant alors des g�om�tries diff�rentes. Elles prennent, par exemple, pour nom espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme d�coule d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la g�n�ralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou...), espace de Banach (Un espace de Banach est un espace vectoriel norm� complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie d�duite de sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel...), espace pr�hilbertien ou espace vectoriel norm� (Un espace vectoriel norm� est une des structures importantes rencontr�es en analyse, et plus particuli�rement en analyse fonctionnelle. D�velopp�e...). L'espace de Hilbert est la g�n�ralisation la plus naturelle des g�om�tries euclidiennes. Remarque: L'espace donn�e (Dans les technologies de l'information (TI), une donn�e est une description �l�mentaire, souvent cod�e, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un �v�nement, etc.) en exemple poss�de une propri�t� particuli�re. Une fonction nulle partout sauf en z�ro ou elle vaut un est � une distance nulle de la fonction nulle. Deux points diff�rents ont donc une distance nulle. Pour r�soudre cette difficult�, il est possible de quotienter l'espace vectoriel par l'espace des fonctions de mesure nulle. Espace Hermitien (Plusieurs entit�s math�matiques sont qualifi�es d'hermitiennes en r�f�rence au math�maticien Charles Hermite.) Les nombres r�els souffrent d'une faiblesse, le corps qu'ils forment n'est pas alg�briquement clos. Cela signifie qu'il existe des polyn�mes non constants qui n'y ont pas de racine. Cette faiblesse complexifie l'analyse des applications lin�aires d'un espace vectoriel dans lui-m�me. L'article sur les valeurs propres explicite cette difficult�. Une solution souvent utilis�e consiste � g�n�raliser le corps de nombre et � passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) aux complexes. Cette m�thode est utilis�e en physique, par exemple pour l'�tude des syst�mes oscillants. La g�n�ralisation d'un espace euclidien aux nombres imaginaires s'appelle un espace hermitien. Distance n�gative Le c�ne de lumi�re en relativit� restreinte La g�om�trie euclidienne suppose que la distance entre deux points est toujours positive. Il existe cependant des formes bilin�aires ne v�rifiant pas cette hypoth�se. La g�om�trie est alors diff�rente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la...), l'ensemble des points � une distance nulle de l'origine forme un c�ne. La physique utilise cette g�om�trie. En relativit� restreinte, la partie spatiale de l’espace-temps (La notion d'espace-temps a �t� introduite par Minkowski en 1908 dans un expos� math�matique sur la g�om�trie de l'espace et du temps telle qu'elle avait �t� d�finie par...) est euclidien, mais si on int�gre le temps, il ne l'est plus. En effet, la forme quadratique (En math�matiques, une forme quadratique est un polyn�me homog�ne de degr� deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points dans un espace...) x2 + y2 + z2 − c2t2 d�finissant le "�carr� de la distance�" spatio-temporelle n'est pas positive. La figure illustre ce ph�nom�ne. Le point A repr�sente un observateur, le plan horizontal repr�sente les dimensions spatiales (les trois dimensions sont ici repr�sent�es par un plan pour que la figure soit repr�sentable en dimension trois), l'axe vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.) repr�sente la dimension temporelle. Pour que l'observateur puisse int�ragir avec le point C, il faudrait un d�placement ( En g�om�trie, un d�placement est une similitude qui conserve les distances et les angles orient�s. En psychanalyse, le d�placement est m�canisme de...) � une vitesse sup�rieure � la lumi�re. Dans le cadre de cette th�orie, c'est impossible. En cons�quence, le point C n'est pas dans la partie accessible de l'univers pour l'observateur. Le point B en revanche, se situe dans le cone de lumi�re, en cons�quence, une interaction (Une interaction est un �change d'information, d'affects ou d'�nergie entre deux agents au sein d'un syst�me. C'est une action r�ciproque qui suppose l'entr�e en contact de sujets.) entre l'observateur et le point B est possible. Vari�t� Sur une sph�re (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé centre. La...), la somme des angles d'un triangle n'est pas �gale � 180��: une sph�re n'est pas un espace euclidien. Par contre, les lois de la g�om�trie euclidienne sont de bonnes approximations locales. Pour un petit triangle sur la surface de la Terre, la somme des angles est proche de 180�. Toute les g�om�tries ne satisfont pas le cinqui�me postulat d'Euclide. La surface de la terre est un parfait exemple, le plus court chemin entre deux points se situe toujours sur un grand cercle (En g�om�trie, un grand cercle est un cercle trac� � la surface d'une sph�re qui a le m�me diam�tre qu'elle et la divise en deux h�misph�res �gaux. D'une mani�re �quivalente, un grand cercle est un cercle sur la sph�re...) sur la surface de la sph�re et dont le centre est celui de la terre, ce type d'objet correspond donc � la droite pour cette g�om�trie. Voil� une g�om�trie coh�rente, correspondant � un cas r�el. Cependant le cinqui�me postulat n'est plus v�rifi�. Dans cet exemple, deux droites non confondues poss�dent toujours une intersection contenant deux points. L'abandon du cinqui�me postulat est fondamental. Il est en effet souhaitable de consid�rer la sph�re, non pas comme un sous-ensemble (En math�matiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout �l�ment du sous-ensemble A est aussi �l�ment du sur-ensemble...) d'un espace euclidien de dimension 3 mais comme une g�om�trie � part enti�re, disposant d'une distance et d'un crit�re d'orthogonalit�. Sans outil de cette nature, l'�tude d'objet de cette nature devient plus d�licate. La solution math�matique est d�riv�e (La d�riv�e d'une fonction est le moyen de d�terminer combien cette fonction varie quand la quantit� dont elle d�pend, son argument, change. Plus pr�cis�ment, une d�riv�e...) de l'exemple illustr� dans la figure. Si l'�tude se r�sume � une zone locale, comme par exemple Paris (Paris est une ville fran�aise, capitale de la France et le chef-lieu de la r�gion d’�le-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien, entre...), alors il est possible d'utiliser une carte plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est compos�e d'une lame semblable � celle d'un couteau, munie de deux poign�es, � chaque extr�mit� de la lame. Elle permet le d�grossissage et le creusage de formes courbes,...). C’est-�-dire une repr�sentation euclidienne, qui, � condition de ne pas trop s'�loigner du point d'�tude, sera d'une pr�cision aussi grande que voulue. Un plan de Paris n'est pas totalement exact car sur une sph�re la somme des angles d'un triangle est toujours sup�rieure � 180 degr�s. En revanche, la dimension de Paris est suffisamment petite pour que l'erreur soit n�gligeable. La solution consistant � d�crire un objet g�om�trique avec une carte associ�e � chaque point est celle retenue pour la description math�matique d'un tel objet. Une g�om�trie de cette nature, qui ne correspond pas � un espace comme l'imaginait Euclide s'appelle une g�om�trie non euclidienne, on les appelle maintenant des Vari�t�s. Le math�maticien Felix Klein a d�montr� que d'autres ph�nom�mes que la remise en question du cinqui�me postulat peut amener une g�om�trie non euclidienne. L’astrophysique (L’astrophysique (du grec astro = astre et physiqui = physique) est une branche interdisciplinaire de l'astronomie qui concerne principalement la physique et l'étude des propriétés des objets de l'univers (étoiles,...) � grande �chelle (La grande échelle, aussi appelée échelle aérienne ou auto échelle, est un véhicule utilisé par les sapeurs-pompiers, et...) ne peut pas se contenter de la g�om�trie euclidienne. En th�orie de la relativit� (Cet article traite de la th�orie de la relativit� � travers les �ges. En physique, la notion de relativit� date de Galil�e. Les travaux d'Einstein en...) g�n�rale, les mod�les utilis�s ne sont plus euclidiens, la gravitation (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) se manifestant par la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) incurv�e suivie par une masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la...) le long d'une g�od�sique (En g�om�trie, une g�od�sique d�signe le chemin le plus court, ou l'un des chemins s'il en existe plusieurs, entre deux points d'un espace une fois qu'on s'est donn� un moyen de mesurer les distances,...) non euclidienne. Il convient donc de susbstituer � la distance euclidienne une distance d�finie par une forme quadratique plus g�n�rale.	Source: Wikip�dia publi�e sous licence CC-BY-SA 3.0.
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