{"partition": "head_middle", "source_domain": "images.math.cnrs.fr", "digest": "sha1:6TAWIT6JV3XE5H7UGX4SAOBKOGOPAYZU", "path": "/lustre/fsn1/projects/rech/qgz/uzq54wg/processed_redpajama/base_processing/output/fr/2016-26/000_00010.parquet"}
Défis des maths
Débat du 18
Différentes mathématiques
Mathématiques, portraits
En sortant de l’école
Mathématiques ailleurs
L’IHP, maison d’histoires
L’IHP, une maison de science pour tous
Trimestres IHP
Monde de la recherche
Echos de la recherche
Objet du mois
Café des maths
Les conjectures du trimestre
Histoire des Mathématiques
Images et visualisation
Ressources pédagogiques : « pour aller moins loin »
Mathématiques de la Planète Terre Le podcast Henri Poincaré
Images des maths 2004
Autour de Galois
Benoît Mandelbrot et les objets fractals
Bibliothèques et périodiques mathématiques
Carnets de route de la MMI
Faut-il avoir peur des maths financières ?
Jacques Hadamard
Jean le Rond D’Alembert Joseph-Louis Lagrange
La conjecture des nombres premiers jumeaux
Le monde est mathématique
Les 5 minutes Lebesgue
Les figures sans paroles
Mathématiques de la planète Terre (2013)
Mathématiques et arts plastiques
Mathématiques et Industrie
Mathématiques et littérature
Mikhaïl Gromov, géomètre
Parlez-vous maths ?
Recensions
Transport optimal Qui sommes-nous ?
Fonctionnement du site
La recherche mathématique en mots et en images
Mathématiques ailleurs Retour à la rubrique En collaboration avec Iris Hilton
La quadrature du ciel
Piste verte
- Rédigé par Denis Favennec
Voir les commentaires L’art baroque regorge de paradoxes : souvent il trompe pour mieux détromper, et se sert de l’illusion pour faire surgir la vérité. On examine ici un des plus célèbres trompe-l’œil, celui exécuté par le jésuite Andrea Pozzo dans l’église Sant’Ignazio à Rome, et on met au jour la géométrie sous-jacente.
Rediffusion d’un article publié le 24 janvier 2013
Envoûtement
D’abord, le visiteur n’y voit que de l’or : en entrant dans l’église il subit
l’habituelle avalanche d’archanges et de saints, la débauche de métal, de marbre et de couleur, la bruyante démonstration des corps, bref cet excès d’apparence qu’on appelle l’art baroque. Pourtant, lorsqu’après avoir examiné la nef il lève au plafond les yeux, il doit s’avouer surpris : au-dessus de lui la voûte a disparu, elle a été remplacée par un puits de peinture, qui pointant le fond du ciel invite le visiteur à s’y perdre
Suspendue, une impressionnante collection de colonnes et d’arcades redouble l’architecture réelle de l’église par un décor fictif. Le visiteur, pris au dépourvu, commet alors l’irréparable : il se déplace. Au-dessus de lui, les colonnes vacillent, ploient, la corniche menace dangereusement de s’écrouler, chacun de ses pas déclenche une tempête architecturale. Enfin, l’édifice artificiel semble se stabiliser. Lentement, le visiteur se remet : arcs et colonnes se sont maintenant redressés, là où il est, tout est ordre et beauté - il a trouvé le point.
La corde et l’ombre
Rassuré sur son sort, le visiteur consulte son guide : il apprend que la décoration de l’église Sant’Ignazio, à Rome, a été réalisée par le peintre, architecte, scénographe et jésuite Andrea Pozzo vers 1685 ; que la fresque du berceau représente la transmission de la Foi dont les rayons émis par la Trinité (au point de fuite) sont d’abord reçus par Saint-Ignace (gris-bleu, un peu à droite du centre, supporté par un nuage) puis réverbérés vers les quatre parties du monde avec l’aide technique de la Compagnie de Jésus [1]. Il apprend également que Pozzo a décrit dans son ouvrage Perspectiva Pictorum et Architectorum, paru en 1693, la technique utilisée pour projeter sur le demi-cylindre de la nef sa cité suspendue.
Architecture réelle de l’église
Architecture réelle de l’église.
Architecture réelle de l’église Sant’Ignazio.
Architecture fictive. (...)
Architecture fictive.
Architectures réelle (en noir) et fictive (en bleu).
La mise en perspective sur des surfaces courbes s’avérant beaucoup plus délicate que sur une portion de plan, Pozzo explique avoir recouru à trois « grilles » : après avoir représenté en perspective sur une esquisse préparatoire les fabriques fictives, l’astucieux Jésuite a quadrillé régulièrement cette esquisse par un réseau orthogonal.
Epure en perspective de l’architecture fictive - manque le quadrillage, que Pozzo a réalisé sur un dessin disparu.
Une deuxième grille, matérielle celle-là, faite de fines cordes entrecroisées a été alors tendue au niveau de la corniche de la nef. Enfin, au moyen d’une corde mobile fixée au point de vue (situé au niveau du sol, au centre de la nef) et parcourant successivement les droites du réseau, le quadrillage a été projeté sur la voûte [2]. Le réseau projeté est ainsi constitué d’arcs d’ellipse pour les transversales (intersections de plans passant par le point de vue avec le demi-cylindre de la nef), et de segments de droites pour les longitudinales (intersections du demi-cylindre avec des plans parallèles aux génératrices).
Planche tirée du De perspectiva... d’Andrea Pozzo, où est décrit le procédé employé pour mettre au carreau la voûte.
Les caprices d’une coupole
Non content de projeter un décor vertical sur une surface cylindrique, Pozzo récidive et aggrave son cas à la croisée du transept : la coupole prévue à l’origine n’ayant pu être construite [3], le peintre l’a représentée telle qu’elle aurait dû s’élever, vue depuis l’entrée du transept.
Coupole fictive. Projection
Coupole fictive.
Projection centrale de la coupole fictive sur le plafond plat.
Ainsi, tandis qu’une structure droite a été « envoûtée » sur le berceau semi-cylindrique, la coupole hémisphérique se trouve projetée sur un plafond plat. Cette coupole est d’ailleurs curieusement portée par des colonnes en porte-à-faux ; et comme ce qui est permis au peintre ne l’est peut-être pas au bâtisseur, les critiques n’ont pas manqué : « Certains architectes ont critiqué ma disposition de colonnes en encorbellement, comme une chose périlleuse dans des structures réelles ; mais un certain peintre de mes amis a levé tous leurs scrupules en répondant pour moi que s’il advenait que les encorbellements soient surchargés par les colonnes au point de menacer ruine, il s’engageait à réparer les dégâts à ses frais. » [4]
Si l’imagination du peintre l’emporte, en l’espèce, sur les raisons de l’architecte, le visiteur peut toutefois se plaindre du comportement de la coupole lorsqu’il l’observe en se déplaçant : celle-ci paraît en effet s’incliner dans une direction contraire aux pas de l’observateur, et sous certains angles, conformément à ce que prévoient les règles de la maçonnerie et peut-être aussi celles de la perspective (en l’occurrence, celles de l’anamorphose, c’est-à-dire une perspective observée en dehors du point de vue : La peinture et son double ), la capricieuse coupole semble réellement s’effondrer.
Ce qu’on imagine. Anamorphose
Ce qu’on imagine.
Anamorphose de la coupole, ou ce qu’on imagine lorsqu’on l’observe en dehors du point de vue.
L’ellipse cachée
Puisqu’il faut faire la part du réel et de l’imaginaire, le visiteur invoque la géométrie afin de discerner ce qu’il voit (et imagine) lorsqu’il observe la colonnade représentée sur le berceau : la projection (centrale, d’origine le point de vue) sur la voûte d’une colonne donnée est l’intersection du plan passant par le point de vue et par le segment fictif de la colonne avec le demi-cylindre de la nef : il s’agit donc d’un arc de conique - une ellipse dans ce cas particulier [5].
Projection d’une colonne. (...)
Projection d’une colonne.
Projection centrale d’une colonne fictive (en bleu) sur un arc d’ellipse (en rouge).
Photo de la nef prise en dehors du point de vue : la nature elliptique des colonnes projetées est sensible dans l’arcature du fond à droite.
De même, chaque méridienne de la coupole feinte engendre un cône elliptique de sommet le point de vue [6] ; l’intersection de ce cône avec le plan du plafond (plat) est également une ellipse. Quant aux parallèles de la coupole, comme ils appartiennent à des plans parallèles à ceux du plafond, ils se projettent en des cercles.
Notons que lorsqu’on photographie, en dehors du point de vue, ces arcs d’ellipse ou de cercle, on en effectue une deuxième projection centrale [7] : on obtient encore (généralement) des arcs d’ellipse. Si à présent, parcourant à rebours le trajet du visiteur, nous partons du point de vue (d’où les colonnes semblent droites) et nous déplaçons légèrement, toutes les ellipses cachées sortent pour ainsi dire de leur repaire et paraissent au grand jour. Pire : la colonnade qui semblait prolonger les vrais pilastres de la nef s’en écarte sensiblement.
Remarquons enfin qu’il suffit de deux observations depuis des points différents (ou de deux photographies dont les points de vue sont connus) pour reconstituer entièrement la forme réelle de la voûte : tout point de la voûte est en effet l’intersection des droites issues des deux points de vue et passant par lui.
Repérage d’un arc d’ellipse.
Arc d’ellipse observé (ou photographié) de deux points de vue.
Lorsque nous nous déplaçons dans l’église, deux regards suffisent donc à percevoir la forme véritable de ce que nous voyons ; mais nous pouvons difficilement nous empêcher d’imaginer (c’est-à-dire de projeter « à l’envers », et remonter de l’image perçue vers la chose conçue) qu’au-delà de la voûte, coupole et colonnes se penchent et ploient pour mieux nous échapper.
Le vrai point de vue
Apparaît ainsi, au plafond de Sant’Ignazio, une sorte de préférence elliptique (ou conique), une prévalence de la forme « dégradée » sur la forme pure du cercle, et de l’anamorphose sur la chose. [8] Dans une pensée qu’on pourrait qualifier de « baroque », la représentation l’emporte sur ses objets, la vérité sort de l’aberration, et seule l’illusion donne accès au sens.
Mieux : la représentation la plus adéquate est peut-être la plus déformante... C’est que suggère Pozzo lorsqu’il écrit : « Si à cause de l’irrégularité de la surface l’architecture apparaît déformée et les figures imparfaites lorsqu’on les observe en dehors du point de vue, c’est si loin d’être un défaut que je regarde cela comme une perfection de l’œuvre, que vue depuis le point déterminé elle apparaisse, avec ses proportions, droite, plane ou concave, alors qu’en réalité elle ne l’est pas. » [9]
On peut alors énoncer le paradoxe de Pozzo : depuis le « vrai » point de vue, l’observateur subit les prestiges et les illusions du trompe-l’œil [10]. Ce point de vue est défini par Pozzo comme étant « la gloire de Dieu ». Lorsqu’on s’en écarte, on aperçoit l’anamorphose et tombe en quelque sorte dans l’hérésie - mais cette erreur révèle la vérité de la représentation, c’est-à-dire son caractère fictif. Autrement dit : depuis le « vrai » point de vue tout ce qu’on voit est faux, et ce n’est qu’en dehors qu’on peut voir le vrai. (On en déduit aisément le « théorème de Pozzo » : il faut deux points de vue pour distinguer le vrai du faux.)
Quant à l’unicité du point de vérité, elle est ainsi justifiée par l’artiste : « Puisque la perspective n’est qu’un simulacre de la vérité, le peintre n’est pas obligé de la faire apparaître vraie depuis tous les points de vue, mais depuis un seul point déterminé. » Contrairement au procédé employé par Veronese à San Sebastiano un siècle plus tôt, où le plafond est découpé en caissons comportant chacun un point de vue différent, Pozzo a choisi d’unifier le point de vérité (et d’illusion), facilitant et accentuant les aberrations visuelles en dehors de ce point.
Plafond de l’église San Sebastiano (Venise) par Veronese ;
De ce simulacre révélateur, à vrai dire, le visiteur a un peu de mal à se détacher ; et lorsqu’il quitte l’église, heureux et trompé, il jure, sans regret, qu’on l’y reprendra volontiers.
Andrea Pozzo, De perspectiva Pictorum et Architectorum, 1693.
Martin Kemp, The Science of art, Yale University Press, 1992.
Catalogue de l’exposition Pozzo : Mirabili disinganni. Andrea Pozzo (1642-1707). Architetto e pittore gesuita, Rome, 2010.
On peut aussi consulter, de l’auteur de cet article : Douce perspective. Une histoire de science et d’art, éditions Ellipses, 2007.
Voici enfin un lien vers une reproduction en haute définition de la voûte : http://upload.wikimedia.org/wikiped....
Post-scriptum : L’auteur remercie Quitterie Henry de Villeneuve pour lui avoir transmis ses magnifiques prises de vue.
L’auteur et la rédaction d’Images des mathématiques remercient les relecteurs et relectrices, Vincent Beck, Adriano Marmora, Sébastien Martinez, Christine Huyghe, Nicolas Schabanel, Muriel Salvatori, pour leur aide à améliorer une version préliminaire de cet article.
[1] La source principale dont s’est inspiré Pozzo est le mot fameux de Saint-Ignace : « Allez, et répandez partout l’incendie. »
[2] Dans son ouvrage, Pozzo explique qu’il aurait suffi, théoriquement, de placer un flambeau au point de vue, la nuit, et de tracer sur la voûte l’ombre projetée par les cordes du réseau suspendu ; mais cette solution idéale lui a paru peu commode à mettre en œuvre.
[3] Les fonds ont fait défaut...
[4] Andrea Pozzo, De Perspectiva..., Fig. XCI.
[5] La courbure n’est pas très accentuée et peut passer inaperçue au premier regard, car Pozzo a habilement disposé la plupart des colonnes presque sur des génératrices du cylindre.
[6] Situé sous l’arc doubleau du transept, il n’est pas à l’aplomb du centre de la croisée.
[7] La photographie étant une projection centrale comme les autres, d’origine le diaphragme.
[8] On retrouve cette préférence aussi bien chez des scientifiques comme Kepler, que des architectes comme Le Bernin ou Borromini.
[9] Rappelons la formule frappante de Descartes, dans la Dioptrique : « Suivant les règles de la perspective, les tailles douces représentent mieux les cercles par des ovales que par d’autres cercles… en sorte que souvent pour mieux représenter un objet, elles doivent ne lui pas ressembler. »
[10] Illusion peu déplaisante, puisqu’il note que « L’art de la perspective trompe avec un merveilleux plaisir la vue, le plus subtil de nos sens extérieurs. » Son ouvrage est d’ailleurs dédié « Aux amoureux de la perspective ».
Pour citer cet article :
Denis Favennec
— «La quadrature du ciel» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015
Crédits image :
Commentaire sur l'article Laisser un commentaire
Forum sur abonnement
Pour participer à
ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci
d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a
été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.
| s’inscrire
| mot de passe oublié ?
Articles suggérés
Si vous avez aimé cet article, voici quelques suggestions automatiques qui pourraient vous intéresser :
A la recherche du point perdu
Quelques tableaux à perpectives “impures”, d’Ambrogio Lorenzetti à Picasso.
lire l'article
Où est le tableau ?
Analyse perspective des « Ménines » de Vélasquez
La peinture et son double 19 avril 2015
Rediffusion.
Hans Holbein a peint en 1533 « Les Ambassadeurs », tableau dont nous proposons une lecture en perspective.
Voir les commentaires Partager cet article
Cet article fait partie du dossier
voir le dossier
L'image du jour Un article au hasard Cliquez pour découvrir un article au hasard parmi tous les articles publiés !
Actualités des maths 27 juin 2016
Hasard et chance (France Inter, 27/6)
Deuxièmes nuits des math. (Saumur 27/6, Blois 29/6-2/7, Orléans 1/7, Tours 2/7)
Des techniques de traitement d’image pour la classification des tableaux (Paris, 26/6)
Musimatique : Peut-on entendre la forme d’un tambour ? (Lyon, 21/6)
Le graveur de mathématiques + expo IHP (Paris, 20/6)
Concours européen « Diviser pour régner » (18-25/6)
Suivre IDM
Newsletter IDM
Crédits et mentions légales
Sites web utiles