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Actualité : Yakov Sinaï, prix Abel 2014
Math�matiques Yakov Sina�, prix Abel 2014
Le prix Abel, qui est avec la médaille Fields l'une des plus prestigieuses récompenses dans le domaine des mathématiques, a été attribué cette année au mathématicien russe Yakov Sinaï. Sean Bailly
Le billard de Sinaï fournit un exemple simple de chaos déterministe. Les boules A et B partent du point I avec des conditions initiales légèrement différentes. Elles rebondissent sur l'obstacle central et sur les bords. Les trajectoires sont rapidement très différentes.	L'auteur
Sean Bailly est journaliste � Pour la Science.
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Prix Abel 2012 : Endre Szemer�di
Le prix Abel 2013, 2012, 2011 et 2009.
M. Berger, La mathématique du billard, Pour la Science n° 163, mai 1991.
V. Croquette, Déterminisme et chaos, Pour la Science n° 62, décembre 1982.
Le prix Abel est un prix annuel pour les mathématiques créé par l'Académie norvégienne des sciences et des lettres. Le premier a été attribué en 2003 au Français Jean-Pierre Serre. L'année dernière, en 2013, ce prix récompensait le mathématicien belge Pierre Deligne. La cuvée 2014 vient d'être annoncée (le 26 mars) : il s'agit de Yakov G. Sinaï, mathématicien russe travaillant à l'Université de Princeton, aux États-Unis, et à l'Institut Landau de physique théorique de l'Académie russe des sciences. Il est récompensé pour ses « contributions fondamentales » à la théorie des systèmes dynamiques, à la théorie ergodique et à la physique mathématique.
Le comité Abel souligne que « ses travaux ont eu et continuent d’avoir une vaste portée et un profond retentissement sur les mathématiques et la physique, ainsi que sur l’interaction toujours fructueuse de ces deux domaines ».
En effet, de nombreux résultats en mathématiques ayant des applications en physique portent son nom : l’entropie de Kolmogorov-Sinaï, le billard de Sinaï, les marches aléatoires de Sinaï, les mesures de Sinaï-Ruelle-Bowen ou encore la théorie de Pirogov-Sinaï.
Y. Sinaï est ainsi considéré comme le principal architecte des ponts entre les systèmes dynamiques, entre les systèmes déterministes d’une part et les systèmes probabilistes d’autre part. Un système dynamique désigne simplement un système qui évolue au cours du temps selon certaines règles. Il est considéré comme déterministe quand la connaissance des conditions du système à un instant donné et les lois qui le régissent suffisent, mathématiquement, pour calculer comment il va évoluer. Si des phénomènes ou des lois de nature aléatoire interviennent, on a alors un système probabiliste ou stochastique, tel un dé qu’on lance sans pouvoir prévoir le résultat, si ce n’est par le calcul des probabilités associées à chaque face du dé. Les systèmes dynamiques déterministes peuvent être imprévisibles en pratique, quand leur évolution temporelle est très sensible aux conditions initiales ; ils sont dits chaotiques. Y. Sinaï s’est beaucoup intéressé aux liens qui existent entre ces différents systèmes, comment il est possible de trouver des comportements chaotiques dans des systèmes déterministes et comment, inversement, l’analyse statistique permet de faire des prévisions précises dans les systèmes chaotiques.
La physique, la météorologie, le mouvement des courants océaniques ou des planètes, les cycles physiologiques, la dynamique des populations, etc. : on trouve dans les différentes sciences une multitude d’exemples de systèmes dynamiques Une question qui s’est posée à la fin des années 1950 était, compte tenu de la diversité des situations, si l’on pouvait définir des similarités entre les systèmes dynamiques, des grandeurs qui caractérisent tous ces systèmes. Y. Sinaï s’y est intéressé et a développé le concept d’entropie des systèmes dynamiques. Il a ainsi généralisé une notion proposée en 1948 par Claude Shannon, qui a définit la notion d’entropie en théorie de l’information. Cette grandeur permet de quantifier la densité d’information que contient un message. En effet, un message peut être plus ou moins long et transmettre exactement la même information. Concrètement, cela signifie que dans la version courte, chaque caractère du message porte une grande part d’information et, inversement pour le message long, chaque caractère apporte peu d’information. Si l’on essaye de prévoir quel va être le prochain caractère d’un message, la prévision est plus difficile dans un message dense en information. L’entropie est considérée élevée quand la densité d’information est grande. Y. Sinaï a repris cette idée pour évaluer l’imprévisibilité d’un système dynamique.
Dans un système physique, il est possible, en général, d’avoir une bonne estimation de son évolution à court terme. Mais à plus longue échéance, cela devient plus complexe, comme c’est le cas pour les prévisions météorologiques. Y. Sinaï a quantifié la complexité d’un système dynamique avec l’entropie de Kolmogorov-Sinaï. De façon similaire à l’entropie de Shannon, l’entropie définie par Y. Sinaï mesure la difficulté qu’il y a à calculer l’évolution d’un système dynamique. Cette grandeur a permis de progresser dans la classification des systèmes dynamiques.
Dans les systèmes présentant du chaos déterministe, l’évolution est décrite par des lois bien connues, mais elle est très sensible aux conditions initiales. Ainsi, deux systèmes identiques mais dont les conditions initiales sont légèrement différentes ont, passé un certain temps, des évolutions très différentes. Y. Sinaï a, par exemple, étudié ces systèmes avec le billard qui porte son nom. Il s’agit d’un billard carré dont le centre est occupé par un disque. Une bille de masse négligeable est lancée dans le billard et rebondit contre les parois du carré et du disque comme le ferait une vraie boule de billard. Y. Sinaï a développé ce modèle pour étudier la dynamique des gaz, où les molécules sont représentées par des petites billes qui entrent fréquemment en collision. Il a montré que ce système est chaotique car la différence des conditions initiales conduit à une déviation de la trajectoire qui augmente de façon exponentielle avec le temps (dans le cas d’un billard normal, la divergence est proportionnelle au temps écoulé). Y. Sinaï, âgé aujourd’hui de 78 ans, a eu un rôle important dans bien d’autres domaines à la frontière entre les mathématiques et la physique. Il a aussi exercé une grande influence sur les chercheurs qui l’ont côtoyé, notamment ses doctorants, dont il a formé plus d’une cinquantaine au cours de sa carrière.	Abonnez-vous pour un acc�s illimit� � plus de 20 ans d'archives !
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