Fonction de taux
# Fonction de taux

En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités une fonction de taux est une fonction positive semi-continue inférieurement. Ces fonctions interviennent dans l'étude des grandes déviations et permettent de quantifier les probabilités d'évènements rares.

## Définition

Soit $X$ un espace topologique séparé et $I:X\longrightarrow [0,+\infty ]$ une fonction positive à valeurs dans la droite réelle achevée. On dit que $I$ est une fonction de taux si elle est semi-continue inférieurement, c'est-à-dire que :

pour tout $a\in [0,+\infty [$ l'ensemble $I^{-1}([0,a])=\{x\in X,\,I(x)\leq a\}\subset X$ est fermé.

Si de plus ces ensembles sont tous compacts alors on dit que $I$ est une bonne fonction de taux.

## Propriétés et exemples

* Si $I$ est une bonne fonction de taux alors $I$ possède un minimum sur tout fermé. Autrement dit $I$ atteint son infimum sur tout fermé.
* La transformée de Cramér d'une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb {R} ^{d}$ est toujours une fonction de taux. Plus précisément si $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb {R} ^{d}$ et si on note

          $K(t)=\ln \mathbb {E} [e^{\langle t,X\rangle }]\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}~~~\forall t\in \mathbb {R} ^{d}$
    la fonction génératrice des cumulants de $X$ et
          $K^{*}(x)=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{d}}\{\langle t,x\rangle -K(t)\}~~~\forall x\in \mathbb {R} ^{d}$
    la transformée de Legendre-Fenchel de $K$, alors $K^{*}$ est une fonction de taux convexe. Si de plus 0 appartient à l'intérieur de l'ensemble $D_{K}=\{t\in \mathbb {R} ^{d},\,K(t)<+\infty \}$ alors $K^{*}$ est une bonne fonction de taux convexe.
