Fibration de Hopf
# Fibration de Hopf

En géométrie la fibration de Hopf donne une partition de la sphère à 3-dimensions $S^3$ par des grands cercles. Plus précisément, elle définit une structure fibrée sur $S^3.$ L'espace de base est la sphère à 2-dimensions $S^2,$ la fibre modèle est un cercle $S^1.$ Ceci signifie notamment qu'il existe une application p de projection de $S^3$ sur $S^2,$ telle que les images réciproques de chaque point de $S^2$ soient des cercles.

Cette structure a été découverte par Heinz Hopf en 1931. Cette fibration peut aussi être interprétée comme un fibré principal$S^{1}\to S^{3}\to S^{2}\,$, dont le groupe structural est le groupe $S^1$ des complexes de module 1.

## Construction dans un plan complexe

La sphère $S^3$ peut être identifiée à l'ensemble des éléments $(z_0,$ $z_1)$ de $ℂ^2$ qui vérifient $|z_0|^2$ + $|z_1|^2$ = 1. On fait agir sur ce sous-espace le groupe des complexes de module 1, par la formule

    $\lambda \cdot (z_{0},z_{1})=(\lambda z_{0},\lambda z_{1}).$

Les orbites sous cette action de groupe sont clairement des cercles. L'espace quotient est l'espace projectif complexe $ℂP^1,$ qui s'identifie à $S^2$ (la sphère de Riemann).

Pour construire une application de projection adaptée à ces notations, on peut introduire l'application de Hopf

    $p(z_{0},z_{1})=(|z_{0}|^{2}-|z_{1}|^{2},2z_{0}z_{1}^{*}),$

le premier élément du couple étant réel et le second complexe, on peut voir le résultat comme un point de $ℝ^3.$ Si en outre $|z_0|^2$ + $|z_1|^2$ = 1, alors $p(z_0,$ $z_1)$ appartient à la sphère unité. Enfin, on observe que $p(z_0,$ $z_1)$ = $p(z_2,$ $z_3)$ si et seulement s'il existe λ de module 1 tel que $(z_2,$ $z_3)$ = $(λz_0,$ $λz_1).$

La représentation ci-contre donne une idée de la disposition des fibres-cercles. On peut représenter la sphère $S^3$ privée d'un point par projection stéréographique comme étant l'espace usuel de dimension 3. Le point de $S^3$ que l'on a supprimé se retrouve à l'infini. Il convient d'ajouter aux cercles représentés d'autres cercles continuant à remplir l'espace et un axe perpendiculaire au plan de l'image, qui est le cercle passant par le point à l'infini. Plus précisément, étant donné un parallèle de la sphère $S^2,$ son image réciproque (dans $ℝ^3)$ par la projection de Hopf est un tore, et les fibres en sont des cercles de Villarceau.

### Extension

Par le même procédé, toute sphère de dimension impaire $S^{2n+1}$ apparaît comme un espace fibré sur l'espace projectif $\mathbb {C} P^{n}$, avec pour fibres des cercles. Il s'agit en fait d'une restriction du fibré en droites tautologique sur $\mathbb {C} P^{n}$ : chaque fibre de ce dernier est une droite complexe, qu'on restreint en un cercle.

### Représentation dans l'espace

Une illustration de la fibration se trouve dans le chapitre 7 de la série Dimensions.

