Métrique de Kottler
# Métrique de Kottler

La métrique de Kottler (en anglais : Kottler $metric)^,$ est une solution exacte de l'équation du champ d'Albert Einstein, avec constante cosmologique (Λ).

La métrique est ainsi désignée en l'honneur de Friedrich Kottler (1886-1965) qui l'a découverte dès $1918^,.$ Ayant été ultérieurement et indépendamment (re)découverte d'abord par Hermann Weyl (1885-1955) en $1919^,$ puis par Erich Trefftz (1888-1937) en $1922^,,$ elle est aussi connue comme la métrique de Weyl-Trefftz ou la métrique de Kottler-Weyl-Trefftz (KWT).

La métrique est encore connue comme la métrique de Schwarzschild-de Sitter (SdS) pour une constante cosmologique est positive (Λ > 0) ; comme la métrique de Schwarzschild-anti de Sitter (SAdS) pour une constante cosmologique négative (Λ < 0).

## Expression

La métrique s'écrit :

$\mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {R_{\mathrm {S} }}{r}}-{\frac {\Lambda r^{2}}{3}}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}+\left(1-{\frac {R_{\mathrm {S} }}{r}}-{\frac {\Lambda r^{2}}{3}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}\right),$

où :

* RS = $2GM/c^2$ est le rayon de Schwarzschild, avec G la constante de Newton, M la masse et c la vitesse de la lumière dans le vide ;
* Λ est la constante cosmologique.
