Méthode de Badal
# Méthode de Badal

La méthode de Badal est une méthode focométrique de détermination expérimentale de la focale d'une lentille divergente.

## Principe

On considère une lentille mince divergente de focale f' inconnue, de centre O, de foyers image F' et objet F.

Pour déterminer cette focale f', on va faire deux montages successifs.

### Premier montage: sans la lentille divergente

On utilise deux lentilles convergentes $L_{1}$ et $L_{2}$ de foyers objets respectifs $F_{1}$ et $F_{2}$, et de foyers images respectifs $F_{1}'$ et $F_{2}'$.

On met un objet A sur l'axe optique au foyer objet $F_{1}$ de la première lentille $L_{1}$. Son image se trouve en $A'=F_{2}'$, le foyer image de $L_{2}$:

$A=F_{1}\longrightarrow \infty \longrightarrow A'=F_{2}'$.

### Second montage: avec la lentille divergente

On intercale entre les deux lentilles convergentes la lentille divergente $L$ de focale inconnue au foyer objet $F_{2}$ de $L_{2}$.

La nouvelle image de $A$ se trouve en $A''$:

$A=F_{1}\longrightarrow \infty \longrightarrow F'\longrightarrow A''$.

### Détermination de la focale de la lentille divergente

Pour déterminer la focale inconnue $f'$ de la lentille divergente, il suffit ensuite de mesurer la distance ${A'A''}$ entre les deux images successives, et de se souvenir de la focale de la seconde lentille convergente ($f'_{2}=O_{2}A'$), en utilisant la relation:

$f'={\frac {{-f'_{2}}^{2}}{\overline {A'A''}}}$

## Explication

### Formation de l'image par la seconde lentille convergente

Dans le montage contenant la lentille divergente, l'image de $A$ par $L_{1}$ se trouve à l'infini, qui a elle-même comme image $F'$ par la lentille divergente.

Si l'on se restreint à la lentille $L_{2}$, F' est l'objet et $A''$ l'image:

$F'\longrightarrow A''$.

### Formules de conjugaison de Newton

Les formules de conjugaison de Newton donnent une relation entre les positions sur l'axe optique d'un objet B et de son image B' par rapport aux foyers $F_{2}$ et $F'_{2}$ de la lentille $L_{2}$. Elles sont exprimées avec des distances algébriques.

Soit B un point de l'axe optique et B' son image par la lentille $L_{2}$:

${\overline {F'_{2}B'}}.{\overline {F_{2}B}}=-{f'_{2}}^{2}$

Cette formule donne dans notre cas ($B=F'$ et $B'=A''$): ${\overline {F'_{2}A''}}.{\overline {F_{2}F'}}=-{f'_{2}}^{2}$.

Or $F'_{2}=A'$, la première position de l'image, et ${\overline {F_{2}F'}}=f'$, la focale inconnue.

Aussi, ${\overline {A'A''}}.f'=-{f'_{2}}^{2}$, qui devient:

$f'=-{\frac {{f'_{2}}^{2}}{A'A''}}$.

