Parallélogramme
# Parallélogramme

En géométrie, un parallélogramme est un quadrilatère dont les segments diagonaux se coupent en leur milieu.

## Définitions équivalentes

En géométrie purement affine, un quadrilatère (ABCD) est un parallélogramme (au sens défini en introduction) si et seulement s'il satisfait l'une des propriétés équivalentes suivantes :

* les vecteurs ${\overrightarrow {AB}}$ et ${\overrightarrow {DC}}$ sont égaux ;
* les vecteurs ${\overrightarrow {AD}}$ et ${\overrightarrow {BC}}$ sont égaux.

Si de plus les quatre sommets sont trois à trois non alignés, ces propriétés sont aussi équivalentes à la suivante : les côtés opposés sont parallèles deux à deux, c'est-à-dire : (AB) // (CD) et (AD) // (BC).

En géométrie euclidienne, sous cette même hypothèse, ces propriétés sont aussi équivalentes à :

* le quadrilatère est non croisé et ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;
* il est convexe et ses angles opposés ont la même mesure deux à deux ;
* ses angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux ;
* c'est un trapèze (non croisé) dont les bases ont même longueur.

## Propriétés

* Tout parallélogramme a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
* Dans tout parallélogramme ABCD, on a l'identité du parallélogramme : $AC^2$ + $BD^2$ = $2(AB^2$ + $BC^2).$
* Les angles d'un parallélogramme qui se suivent sont supplémentaires
* Les angles opposés sont égaux

### Cas particuliers

* Un losange est un parallélogramme ayant au moins deux côtés consécutifs de même longueur. Il est même équilatéral.
* Un rectangle est un parallélogramme ayant au moins un angle droit. Il est même équiangle.
* Un carré est un losange rectangle.

## Aire

Soient $b$ la longueur d'un côté du parallélogramme et $h$ la longueur de la hauteur associée. L'aire $A$ du parallélogramme vaut :

    $A=b\times h.$

L'aire d'un parallélogramme est aussi donnée par un déterminant.

## Antiparallélogramme

Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux.

Dans un antiparallélogramme, les angles opposés ont la même mesure en valeur absolue.

## Équipollence et vecteurs

Il est désormais classique de définir la notion de parallélogramme à partir de celle de vecteur (voir supra) mais on peut inversement, à partir de la notion de milieu, définir (comme en introduction) celle de parallélogramme, puis celle d'équipollence de deux bipoints, et enfin celle de vecteur :

* on appelle bipoint tout couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
* deux bipoints (A, B) et (C, D) sont dits équipollents si ABDC est un parallélogramme ;

    La relation d'équipollence est une relation d'équivalence.
* on appelle vecteur ${\overrightarrow {AB}}$ la classe d'équivalence du bipoint (A,B), c'est-à-dire l'ensemble des bipoints équipollents à (A,B).

On retrouve alors qu'un quadrilatère (ABCD) est un parallélogramme si et seulement si $AB^→=DC^→{\textstyle$ {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {DC}}}.

