Fonction êta de Dedekind
# Fonction êta de Dedekind

La fonction êta de Dedekind est une fonction définie sur le demi-plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive.

Pour un tel nombre complexe $\tau$, on pose $q={\rm {e}}^{2{\rm {i}}\pi \tau }$ et la fonction êta est alors : $\eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})$, en posant $q^{1/24}=\exp \left({\frac {{\rm {i}}\pi \tau }{12}}\right)$.

## Propriétés

La fonction êta est holomorphe dans le demi-plan supérieur mais n'admet pas de prolongement analytique en dehors de cet ensemble.

La fonction êta vérifie les deux équations fonctionnelles

    $\eta (\tau +1)=\exp \left({\frac {{\rm {i}}\pi }{12}}\right)\eta (\tau )$

et

    $\eta \left(-{\frac {1}{\tau }}\right)={\frac {\sqrt {\tau }}{\sqrt {i}}}\eta (\tau )$.

La seconde se généralise : soient $a,b,c,d$ des entiers tels que $ad-bc=1$ (donc associés à une transformation de Möbius appartenant au groupe modulaire), avec $c>0$. Alors

    $\eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d){\frac {\sqrt {c\tau +d}}{\sqrt {\rm {i}}}}\eta (\tau )$

où

    $\epsilon (a,b,c,d)=\exp \left\{{\rm {i}}\pi \left({\frac {a+d}{12c}}+s(-d,c)\right)\right\}$

et $s$ est la fonction somme de Dedekind :

    $s(h,k)=\sum _{1\leq n<k}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right)$.

À cause des équations fonctionnelles, la fonction êta est une forme modulaire de poids 1/2. On peut s'en servir pour définir d'autres formes modulaires.

En particulier, le discriminant modulaire de Weierstrass, forme modulaire de poids 12, peut être défini comme

    $\Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}$ (certains auteurs omettent le facteur $(2\pi )^{12}$, pour que la série soit à coefficients entiers).

La fonction d'Euler

    $\phi (q)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)=q^{-1/24}\eta (\tau )$

a un développement en série donné par l'identité d'Euler :

    $\phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}$.

Comme la fonction êta est facile à calculer, il est souvent utile d'exprimer, quand c'est possible, d'autres fonctions comme produits et quotients de fonctions êta. Ceci est possible pour beaucoup de formes modulaires.

