Fonction de von Mangoldt
# Fonction de von Mangoldt

En mathématiques, la fonction de von Mangoldt est une fonction arithmétique nommée en l'honneur du mathématicien allemand Hans von Mangoldt.

## Définition

La fonction de von Mangoldt, traditionnellement notée $\Lambda$, est définie sur $\mathbb {N} ^{*}$ par

    $\Lambda (n)={\begin{cases}\ln p&{\text{si }}n=p^{k}{\text{ pour un nombre premier }}p{\mbox{ et un entier }}k\geq 1,\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}$

Cette importante fonction arithmétique n'est ni multiplicative, ni additive.

Elle satisfait l'identité

    $\ln n=\sum _{d\mid n}\Lambda (d)$ ou, ce qui est équivalent, $\Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\ln(d)$,

où les sommes sont prises sur tous les entiers naturels d qui divisent n et où $\mu$ désigne la fonction de Möbius.

## Fonction de Tchebychev

La « fonction sommatoire de von Mangoldt » $\psi$, aussi connue comme la deuxième fonction de Tchebychev, est définie par

    $\psi (x):=\sum _{p^{k}\leq x}\ln p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\lfloor \log _{p}x\rfloor \ln p$.

Von Mangoldt a fourni une preuve rigoureuse d'une formule explicite (en) pour $\psi (x)\,$, impliquant une somme sur les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann. Ce fut une partie importante de la première démonstration du théorème des nombres premiers, qui équivaut à $\psi (x)\sim x\quad (x\to +\infty )$.

## Séries de Dirichlet

La fonction de von Mangoldt joue un rôle important dans la théorie des séries de Dirichlet, en particulier la fonction zêta de Riemann. Son logarithme est

    $\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\ln n}}\,{\frac {1}{n^{s}}}$

pour $\Re (s)>1$. Sa dérivée logarithmique est donc :

    ${\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}$.

Plus généralement, sur le demi-plan de convergence d'une série de Dirichlet $F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$, on a

    $F'(s)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\ln n=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\sum _{d\mid n}\Lambda (d)$ et si $f$ est complètement multiplicative, on en déduit
    $F'(s)=-F(s)\sum _{d=1}^{\infty }{\frac {f(d)\Lambda (d)}{d^{s}}}$.

## Transformation de Mellin de la fonction de Tchebychev

La transformation de Mellin de la fonction de Tchebychev peut être trouvée en appliquant la formule sommatoire d'Abel :

    ${\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,{\rm {d}}x$

qui reste vraie pour $\Re (s)>1$.

## Série exponentielle

L'équivalent $\psi (x)\sim x$ (voir supra) se réécrit :

    $\sum _{n\leq x}\left(\Lambda (n)-1\right)=o(x)$.

Hardy et Littlewood ont examiné la série

    $F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)\mathrm {e} ^{-ny}$.

Ils ont démontré sous l'hypothèse de Riemann que

    $F(y)=O\left({\sqrt {\frac {1}{y}}}\right)\ (y\to 0)$

et que

    $F(y)=\Omega _{\pm }\left({\sqrt {\frac {1}{y}}}\right)\ (y\to 0)$.

Ainsi (si l'hypothèse de Riemann est vraie) cette fonction est oscillatoire, avec des oscillations divergentes: il existe une valeur $K>0$ telle que chacune des inégalités

    $F(y)<-{\frac {K}{\sqrt {y}}}$ et $F(z)>{\frac {K}{\sqrt {z}}}$

est vraie infiniment souvent dans chaque voisinage de 0. Le graphe sur la droite montre que ce comportement n'est pas facile à illustrer : les oscillations ne sont clairement visibles que lorsque les 100 premiers millions de termes de la série ont été sommés, et pour $y<10^{-5}$.

## La moyenne de Riesz

La moyenne de Riesz de la fonction de von Mangoldt est donnée par

    $\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)$
    $=-{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}ds$
    $={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}$.

Ici, $\lambda$ et $\delta$ sont des nombres caractérisant la moyenne de Riesz. On doit prendre $c>1$. La somme sur $\rho$ est la somme sur les zéros de la fonction zêta de Riemann, et on peut montrer que la série $\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}$ converge pour $\lambda >1$.

