Méthode de Bessel
# Méthode de Bessel

La méthode de Bessel est une méthode focométrique de détermination expérimentale de la focale d'une lentille mince convergente. Elle porte le nom de Friedrich Wilhelm Bessel, qui l'a publié en 1840.

## Principe

On considère une lentille mince convergente de focale f', de centre O, de foyers image F' et objet F.

Soient D, la distance entre l'objet A (sur l'axe optique) et l'écran (où l'on visualise l'image A'), et d, la distance entre les deux positions de la lentille qui assurent la conjugaison de A et A', (c’est-à-dire la netteté de l'image sur l'écran). On peut déduire la valeur de la focale f' par la formule :

$f'={\frac {D^{2}-d^{2}}{4.D}}$

## Explication

### Formules de conjugaison

Les formules de conjugaison de Descartes donnent une relation entre les positions sur l'axe optique d'un objet A et de son image A' par rapport au centre optique O. Elles sont exprimées avec des distances algébriques.

Soit A un point de l'axe optique et A' son image par la lentille :

${\frac {1}{\overline {OA'}}}-{\frac {1}{\overline {OA}}}={\frac {1}{\overline {OF'}}}={\frac {1}{f'}}$

On souhaite que A' soit réelle (c’est-à-dire projetable sur un écran) : ${\overline {OA'}}>0$.

Il faut pour cela que A soit placé sur l'axe optique à une distance ${\overline {OA}}<-f'$.

On a : ${\overline {OA'}}>0$

Donc : ${\frac {1}{\overline {OA'}}}>0$

Or : ${\frac {1}{\overline {OA'}}}-{\frac {1}{\overline {OA}}}-{\frac {1}{f'}}=0$

Par conséquent : ${\frac {1}{\overline {OA}}}+{\frac {1}{f'}}>0$

D'où : ${\frac {1}{\overline {OA}}}>-{\frac {1}{f'}}$

Et par décroissance de la fonction inverse, on obtient : ${\overline {OA}}<-f'$

### Formation d'une image réelle à partir d'un objet réel

On fixe $D={\overline {AA'}}$, la distance entre l'objet (A) et l'écran (A') et on pose $x={\overline {OA}}$ et $y={\overline {OA'}}$, donc

$D={\overline {AA'}}={\overline {OA'}}-{\overline {OA}}\Rightarrow y=D+x$.

Les relations de conjugaison se réécrivent :

${\frac {1}{y}}={\frac {1}{f'}}+{\frac {1}{x}}\Rightarrow y={\frac {f'x}{f'+x}}$.

La combinaison des deux précédentes équations donne bien une équation du second degré en x :

$x^{2}+D.x+f'.D=0$

Cette équation n'a de solution réelle que si $\Delta =D^{2}-4.f^{'}.D=D.\left(D-4.f'\right)\geq 0$

Aussi, il faut que $D\geq D_{min}=4.f'$

### Positions respectives de l'image et de l'objet

Si $D>D_{min}$, alors $\Delta >0$ : il y a deux solutions réelles (il existe alors deux positions de la lentille qui permettent de conjuguer A et A').

Les solutions sont :

$x_{\pm }={\frac {-D\pm {\sqrt {D^{2}-4.f^{'}.D}}}{2}}$

Aussi, ces deux positions possibles de la lentille sont éloignées de $\left|x_{+}-x_{-}\right|={\sqrt {D^{2}-4.f^{'}.D}}$

Cette distance est aussi la distance entre les deux positions de la lentille qui assurent la conjugaison de A et A' : $d=\left|x_{+}-x_{-}\right|={\sqrt {D^{2}-4.f^{'}.D}}$

En élevant au carré, on trouve la formule : $f'={\frac {D^{2}-d^{2}}{4.D}}$

### Remarque

La méthode de Silbermann apparaît comme un cas particulier de la méthode de Bessel, celui où la position de la lentille est unique (soit d=0).

