Matrice dégénérée
# Matrice dégénérée

En mathématiques, une matrice carrée réelle est dite dégénérée si un de ses mineurs principaux est nul. Une matrice carrée réelle non dégénérée est donc une matrice dont tous les mineurs principaux sont non nuls.

Ces matrices interviennent dans l'étude des problèmes de complémentarité linéaire.

## Définition

Pour toute matrice M, on note $M_{IJ}$ la sous-matrice formée des éléments avec indices de ligne dans I et indices de colonne dans J.

Matrice non dégénérée — On dit qu'une matrice carrée réelle $M\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )$ est non dégénérée si tous ses mineurs principaux sont non nuls :

$\forall I\subset \{1,\ldots ,n\}\quad \det M_{II}\neq 0$

La matrice M est donc dégénérée si et seulement si, pour un certain vecteur non nul $u\in \mathbb {R} ^{n}$, il existe I et J, complémentaires dans $\{1,\ldots ,n\}$, tels que $M_{II}u_{I}=0$ et $u_{J}=0$, ce qui équivaut à $u\circ (Mu)=0$ où $\circ$ désigne le produit de Hadamard.

## Complexité

Vérifier qu'une matrice donnée dans $\operatorname {M} _{n}(\mathbb {Q} )$ est non dégénérée est un problème $co-NP-complet^,.$

## Rôle dans les problèmes de complémentarité

La non-dénénérescence d'une matrice $M\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )$ est reliée à une notion d'unicité locale des solutions du problème de complémentarité linéaire $\operatorname {LCP} (q,M)$, dont l'espace des solutions est noté $\operatorname {SOL} (q,M)$. Cet espace est discret si et seulement si toute solution est localement unique, c'est-à-dire isolée dans $\operatorname {SOL} (q,M)$.

Matrice non dégénérée et complémentarité — Pour une matrice $M\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )$, les propriétés suivantes sont équivalentes :

* $M$ est non dégénérée ;
* pour tout $q\in \mathbb {R} ^{n}$, $\operatorname {SOL} (q,M)$ a au plus $2^{n}$ éléments ;
* pour tout $q\in \mathbb {R} ^{n}$, $\operatorname {SOL} (q,M)$ est fini ;
* pour tout $q\in \mathbb {R} ^{n}$, $\operatorname {SOL} (q,M)$ est discret.
