Exponentielle complexe
# Exponentielle complexe

L'exponentielle complexe est une fonction qui prolonge la fonction exponentielle réelle de base e à la variable complexe et possède les mêmes propriétés essentielles que cette dernière.

Pour tout nombre complexe z, la série entière

$\sum _{n\geqslant 0}{z^{n} \over n!}$

est convergente. Sa somme est l'exponentielle de z, notée $e^z$ ou exp(z).

## Propriétés

On peut proposer une définition de Pi s'appuyant sur l'exponentielle complexe.

Le module et l'argument de $e^{x+iy}$ (pour x et y réels) sont respectivement $e^x$ et y mod 2π.

Les développements limités (ou développements en série des fonctions) de l'exponentielle, du cosinus et du sinus permettent de trouver que :

    $\forall y\in \mathbb {R} ,\ \exp(\mathrm {i} y)=\cos(y)+\mathrm {i} \,\sin(y)$

dont on peut déduire :

    $\forall z=x+\mathrm {i} y\in \mathbb {C} ,\ \exp(z)=\exp(x+\mathrm {i} y)=\exp(x)\exp(\mathrm {i} y)=\exp(x)[\cos(y)+\mathrm {i} \,\sin(y)]$
