Méthode des moments (analyse numérique)
# Méthode des moments (analyse numérique)

En analyse numérique, la méthode des moments est une méthode de résolution numérique de problèmes linéaires avec conditions aux limites. La méthode consiste à ramener le problème à un système linéaire.

## Description de la méthode

### Discrétisation

La méthode des moments permet de résoudre les équations inhomogènes du type :

    $L(f)=g$

où L est un opérateur linéaire, f et g deux fonctions. Généralement, on nomme la fonction g le terme excitation ou source, et f le terme de champ ou la réponse, l'inconnu que l'on cherche à déterminer.

La fonction f peut être décomposée sur une base de fonctions $(f_{i})$:

    $f=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f_{i}$

où les coefficients $\alpha _{n}$ sont constants. L'opérateur L étant linéaire, on a :

    $\sum _{i=1,n}\alpha _{i}L(f_{i})=g$

On définit également un produit scalaire dans l'espace des fonctions (généralement un espace de Hilbert) ainsi que des fonctions tests $w_j$ dans le domaine de l'opérateur L. En prenant le produit scalaire de l'équation précédente avec chaque $w_j,$ on obtient :

    $\sum _{i=1,n}\alpha _{i}\langle w_{j},L(f_{i})\rangle =\langle w_{j},g\rangle$

Cette série d'équations peut se récrire sous forme matricielle :

    $\mathrm {L} [\alpha ]=[g]$

où

    $\mathrm {L} ={\begin{pmatrix}\langle w_{1},L(f_{1})\rangle &\langle w_{1},L(f_{2})\rangle &\cdots &\langle w_{1},L(f_{n})\rangle \\\langle w_{2},L(f_{1})\rangle &\langle w_{2},L(f_{2})&\cdots &\langle w_{2},L(f_{n})\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle w_{n},L(f_{1})\rangle &\langle w_{n},L(f_{2})\rangle &\cdots &\langle w_{n},L(f_{n})\rangle \end{pmatrix}}$
    $[\alpha ]=\left({\begin{matrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \end{matrix}}\right),\ [g]=\left({\begin{matrix}\langle w_{1},g\rangle \\\langle w_{2},g\rangle \\\vdots \\\langle w_{n},g\rangle \end{matrix}}\right)$

Si la matrice L est inversible, alors les coefficients $\alpha _{i}$ peuvent être calculés par :

    $[\alpha ]=\mathrm {L} ^{-1}[g]$

### Méthode des moments

La méthode des moments consiste à choisir l'ensemble de fonctions-test $w_i$ = $x^{i-1}$

## Cas particulier : méthode de Galerkine

Lorsque les fonctions tests $w_i$ sont choisies telles que $w_i$ = $f_i,$ cette méthode est connue sous le nom de méthode de Galerkine, du nom du mathématicien russe Boris Galerkine.

