Espace de Bergman
# Espace de Bergman

En analyse complexe, une branche des mathématiques, un espace de Bergman, nommé d'après Stefan Bergman, est un espace fonctionnel de fonctions holomorphes dans un domaine D du plan complexe qui ont un comportement suffisamment bon à la frontière pour qu'elles soient absolument intégrables. Plus précisément, $A^{p}(D)$ est l'espace des fonctions holomorphes dans D telles que la p-norme

    $\|f\|_{p}=\left(\int _{D}|f(x+iy)|^{p}\,dx\,dy\right)^{1/p}<\infty .$

Donc $A^{p}(D)$ est le sous-espace des fonctions holomorphes qui sont dans l'espace $L^p(D).$ Les espaces de Bergman sont des espaces de Banach, ce qui est une conséquence de l'estimation, valide sur les sous-ensembles compacts K de D:

$(1)\quad \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{p}(D)}.$

Donc la convergence d'une suite de fonctions holomorphes dans $L^p(D)$ implique alors la convergence sur tout compact, et ainsi la fonction limite est aussi holomorphe.

Si p = 2, alors $A^{p}(D)$ est un espace de Hilbert à noyau reproduisant, dont le noyau est donné par le noyau de Bergman.

