Matrice modale
# Matrice modale

En algèbre linéaire, la matrice modale est utilisée dans le processus de diagonalisation impliquant des valeurs propres et des vecteurs propres.

Plus précisément la matrice modale $M$ pour la matrice $A$ est la matrice n × n formée avec les vecteurs propres de $A$ sous forme de colonnes. Elle est utilisée en diagonalisation

    $D=M^{-1}AM,$

où $D$ est une matrice diagonale n × n avec les valeurs propres de $A$ sur la diagonale principale de $D$ et des zéros ailleurs. La matrice $D$ s'appelle la matrice spectrale pour $A$. Les valeurs propres doivent apparaître de gauche à droite, de haut en bas dans le même ordre que leurs vecteurs propres correspondants sont disposés de gauche à droite dans $M$.

## Exemple

La matrice

    $A={\begin{pmatrix}3&2&0\\2&0&0\\1&0&2\end{pmatrix}}$

a des valeurs propres et des vecteurs propres correspondants:

    $\lambda _{1}=-1,\quad \,\mathbf {b} _{1}=\left(-3,6,1\right),$
    $\lambda _{2}=2,\qquad \mathbf {b} _{2}=\left(0,0,1\right),$
    $\lambda _{3}=4,\qquad \mathbf {b} _{3}=\left(2,1,1\right).$

Une matrice diagonale $D$, similaire, à $A$ est :

    $D={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&4\end{pmatrix}}.$

Un choix possible pour une matrice inversible $M$ tel que $D=M^{-1}AM,$ est :

    $M={\begin{pmatrix}-3&0&2\\6&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}}.$

On peut remarquer que la matrice modale $M$ et la matrice diagonale $D$ ne sont pas uniques. En effet, si on permute une colonne de $M$, on obtient une nouvelle matrice $D$. De plus, la non unicité des vecteurs propres implique que la matrice $M$ n'est pas unique.

## Matrice modale généralisée

Soit $A$ une matrice n × n. Une matrice modale généralisée $M$ de $A$ est une matrice n × n dont les colonnes, considérées comme des vecteurs, forment une base canonique pour $A$ et apparaissent dans $M$ selon les règles suivantes :

* Toutes les chaînes Jordan constituées d'un vecteur (c'est-à-dire de longueur d'un vecteur) apparaissent dans les premières colonnes de $M$.
* Tous les vecteurs d'une chaîne apparaissent ensemble dans les colonnes adjacentes de $M$ .
* Chaque chaîne apparaît dans $M$ par ordre de rang croissant (c'est-à-dire que le vecteur propre généralisé de rang 1 apparaît avant le vecteur propre généralisé de rang 2 de la même chaîne, qui apparaît avant le vecteur propre généralisé de rang 3 de la même chaîne, etc.).

On peut montrer que (1): $AM=MJ$où $J$ est la réduction de Jordan de A.

En multipliant à gauche par $M^{-1}$, on obtient (2): $J=M^{-1}AM$

On notera que lors du calcul de ces matrices, l'équation (1) est la plus facile des deux équations à vérifier, car elle ne nécessite pas d'inverser une matrice.

### Exemple

Cet exemple illustre une matrice modale généralisée avec quatre chaînes de Jordan. Malheureusement, il est un peu difficile de construire un exemple intéressant d'ordre inférieur. La matrice

    $A={\begin{pmatrix}-1&0&-1&1&1&3&0\\0&1&0&0&0&0&0\\2&1&2&-1&-1&-6&0\\-2&0&-1&2&1&3&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\-1&-1&0&1&2&4&1\end{pmatrix}}$

a une seule valeur propre $\lambda _{1}=1$ avec multiplicité algébrique $\mu _{1}=7$ . Une base canonique pour $A$ se composera d'un vecteur propre généralisé linéairement indépendant de rang 3 (rang de vecteur propre généralisé), deux de rang 2 et quatre de rang 1 ; ou de manière équivalente, une chaîne de trois vecteurs $\left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}$, une chaîne de deux vecteurs $\left\{\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{1}\right\}$, et deux chaînes d'un vecteur $\left\{\mathbf {z} _{1}\right\}$, $\left\{\mathbf {w} _{1}\right\}$ .

Une réduction de Jordan "presque diagonale" $J$, similaire à $A$, s'obtient comme suit :

    $M={\begin{pmatrix}\mathbf {z} _{1}&\mathbf {w} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&-1&0&0&-2&1\\0&3&0&0&1&0&0\\-1&1&1&1&0&2&0\\-2&0&-1&0&0&-2&0\\1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&-1&0\end{pmatrix}},$
    $J={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}},$

où $M$ est une matrice modale généralisée pour $A$, les colonnes de $M$ sont une base canonique pour $A$, et $AM=MJ$. Il faut remarquer que puisque les vecteurs propres généralisés eux-mêmes ne sont pas uniques, et que certaines des colonnes des deux $M$ et $J$ peuvent être interchangés, il s'ensuit que les deux $M$ et $J$ ne sont pas uniques.

