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Exposé de M. professeur Oscar Burlet, vice recteur
Comment aller tout droit dans un espace courbe
Avec un titre pareil j'aurais pu parler de la meilleure manière d'atteindre un objectif, compte tenu de contraintes multiples. Si c'est bien là un problème que l'on rencontre fréquemment, par exemple dans la réalisation d'un plan d'économie pour l'Université, une discussion aussi générale n'aurait mené à rien, car rien est la seule chose que l'on puisse dire sur tout. Comme j'aimerais dire un peu plus que rien, je me limiterai à la géométrie, un domaine dans lequel je travaille. Rassurez-vous: il n'y aura pas de formules mathématiques. Mon propos est de vous faire découvrir quelques concepts et résultats de géométrie en partant de la connaissance immédiate de l'espace que possède chacun. Au lieu de travailler dans un modèle mathématique du monde physique, ce qui est ordinaire pour le mathématicien, nous mettrons en évidence, par des manipulations d'objets concrets, des phénomènes découverts par les mathématiciens dans leur monde abstrait.
Plan euclidien
Ainsi, une feuille de papier sur une table représentera pour nous une partie du plan euclidien. Sur cette feuille nous pouvons tracer des segments, des angles, des triangles et des courbes. Avec une règle nous pouvons mesurer la longueur d'un segment. Cette longueur est aussi la distance des extrémités. Pour mesurer la longueur d'une courbe, on la suit en lui superposant une ficelle qu'il suffira ensuite de tendre pour obtenir un segment dont la longueur sera celle de la courbe.
Aller tout droit dans un plan; c'est avancer sans dévier ni à gauche ni à droite. On le fait en déroulant un ruban sans faire de plis ou en roulant en voiture avec le volant bloqué, les roues dans l'axe du véhicule. En d'autres termes, la vitesse de déplacement est constante en direction et la trajectoire est un segment de droite. En fait, les droites peuvent être caractérisées comme trajectoires de mouvements à vitesse constante en grandeur et en direction. Dans ce cas le vecteur vitesse ne change pas, c'est un mouvement sans accélération. En termes de mécanique de Newton, les droites sont les trajectoires de points matériels sur lesquels n'agit aucune force.
Mais il y a une deuxième manière de caractériser les droites; ce sont les courbes dont les arcs sont de longueur minimale parmi tous ceux qui joignent les mêmes extrémités. Une ficelle ou un élastique tendu entre deux points occupera très précisément la place du segment joignant ces points. Qu'en est-il pour une surface plus générale telle qu'une sphère ou un anneau? Peut-on y définir les notions de droite, de segment et de distance et faire de la géométrie? Surfaces
Prenons une surface lisse, par exemple la surface d'un vase, et partant d'un point déroulons un ruban adhésif sans faire de plis. En toute rigueur ce n'est généralement pas possible, mais c'est réalisable approximativement si le ruban est suffisamment étroit. Si vous faites réellement cette expérience vous pourrez observer des comportements étranges. La courbe ainsi parcourue peut se recouper ou repasser près d'un point autant de fois que l'on veut et pourtant c'est bien sur la surface, l'analogue d'une droite dans le plan. Ces courbes sont appelées géodésiques.. Par exemple, sur une sphère, les géodésiques sont les grands cercles c'est-à-dire les cercles de même rayon que la sphère. Les méridiens et l'équateur sont des grands cercles sur la terre.
Nous avons vu que dans le plan, la longueur d'un segment est la distance des extrémités et que ce segment est le chemin le plus court qui les joint. De même sur une surface la distance entre deux points est la longueur du chemin le plus court qui les joint et ce chemin est toujours un segment géodésique, mais cette fois il peut y en avoir plusieurs et la longueur d'un segment géodésique n'est pas toujours la distance des extrémités; si vous parcourez l'équateur d'Est en Ouest, pour aller de Libreville à l'embouchure de l'Amazone, la longueur du chemin sera bien la distance séparant ces lieux mais si vous choisissez de les joindre d'Ouest en Est, en passant par le Pacifique, le chemin sera beaucoup plus long.
Un segment géodésique dont la longueur égale la distance des extrémités est dit minimal. On peut montrer que sur une surface fermée il est possible de joindre deux points quelconques par un segment géodésique minimal. Comme nous l'avons relevé, il n'est généralement pas unique, ce qui complique à loisir la géométrie sur les surfaces.
Géométrie sur les surfaces.
Quelle est cette géométrie et en quoi peut-elle nous intéresser?
De tout temps l'homme a cherché à se repérer dans son environnement, à mesurer des distances, des angles et des aires. Comment évaluer la largeur d'une rivière, la hauteur d'un arbre, l'aire d'un terrain ou la distance séparant deux sommets de montagnes. La géométrie plane est née de ces préoccupations, d'abord en Égypte et ensuite dans la Grèce antique. Mais très tôt les motivations purement utilitai