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location: PROBLÈMES DE JUIN Veuillez envoyer vos solutions à
Professeur E.J. Barbeau
Toronto, ON M5S 3G3
au plus tard le 15 août 2001.
Trouvez toutes les paires (a, b) d'entiers positifs
telles que a � b et le système
cosax + cosbx = 0
asinax + bsinbx = 0
a une solution. Dans chaque cas, déterminez ces solutions.
Soit ABCD, un quadrilatère convexe tel que
AB = AD et CB = CD. (a) Démontrez qu'il est possible d'y inscrire un cercle.
(b) Démontrez qu'on peut y circonscrire un cercle
si et seulement si AB ^BC.
(c) Si AB ^AC et R, r sont les rayons respectifs
des cercles circonscrit et inscrit, démontrez que la distance
entre les centres des deux cercles est la racine carrée de
R2 + r2 - r�[(r2 + 4R2)].
Démontrez que si, pour tout entier positif n,
les nombres entiers a, b et c satisfont à l'équation
�na �+ �nb � = �nc �,
alors au moins un des nombres a et b doit être entier.
Soit I, un intervalle réel de longueur 1/n.
Démontrez que I ne peut contenir plus de 1/2(n+1)
fractions de la forme p/q,
où p et q sont des entiers positifs
tels que 1 � p � n et le plus grand diviseur commun de
p et q est 1.
Démontrez qu'il existe un seul triplet d'entiers positifs a, b, c supérieurs à 1 tel que ab + 1 est un multiple de c, bc + 1 est un multiple de a et
ac + 1 est un multiple de b.
Soit m, un entier positif, et f(m) la plus petite valeur n pour
laquelle l'affirmation suivante est vraie:
étant donné n'importe quel ensemble de n entiers,
il est possible d'y choisir m entiers dont la somme est
divisible par m
Déterminez f(m).