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Transformée de Fourier
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Transformée de Fourier : encyclopédie mathématiques
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En analyse, la transformation de Fourier est une extension, pour les fonctions non périodiques, du développement en série des fonctions périodiques de Fourier. La transformation de Fourier associe à une fonction intégrable, définie sur l'ensemble des nombres réels ou celui des nombres complexes, une fonction appelée transformée de Fourier dont la variable indépendante peut s'interpréter en physique comme la fréquence ou la pulsation.
La transformée de Fourier s'exprime comme « somme infinie » des fonctions trigonométriques de toutes fréquences. Une telle sommation se présente sous forme d'intégrale. L'analyse non standard permet de la présenter sous forme d'une série et justifie le point de vue intuitif. Séries et transformation de Fourier constituent les deux outils de base de l'analyse harmonique.
Lorsque la fonction est la représentation d'un phénomène physique, comme l'état du champ électromagnétique ou du champ sonore en un point, on l'appelle signal et sa transformée de Fourier s'appelle son spectre.
1 Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables
1.1 Définition
1.2 Conventions alternatives
1.3 Extension de la transformation de Fourier
1.4 Propriétés de la transformation de Fourier
1.5 Transformation de Fourier inverse
1.6 Extension à l'espace ℝn
2 Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable
2.1 Extension de la transformation de L1 à L2
2.2 La transformation vue comme opérateur de L2(R)
3 Lien avec le produit de convolution
4 Principe d'incertitude
5 Transformation de Fourier sur l'espace de Schwartz
6 Transformation de Fourier pour les distributions tempérées
6.1 Compatibilités
6.1.1 Compatibilité avec les espaces de fonctions
6.1.2 Compatibilité avec les espaces de suites
6.2 Signaux discrets et signaux périodiques
7 Liens avec d'autres transformations
7.1 Lien avec les transformations de Laplace
7.2 Lien avec les séries de Fourier
7.2.1 Parallèle formel
7.2.2 Transformée
8 Généralisation
Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables[modifier | modifier le code]
Définition[modifier | modifier le code]
La transformation de Fourier est une opération qui transforme une fonction intégrable sur en une autre fonction, décrivant le spectre fréquentiel de cette dernière. Si est une fonction intégrable sur , sa transformée de Fourier est la fonction donnée par la formule :
Conventions alternatives[modifier | modifier le code]
Il est possible de choisir une définition alternative pour la transformation de Fourier. Ce choix est une affaire de convention dont les conséquences ne se manifestent (en général) que par des facteurs numériques. Par exemple, certains scientifiques utilisent ainsi :
avec t en secondes la fréquence (en Hz).
Certains électroniciens ou physiciens utilisent (pour des raisons de symétrie avec la transformation de Fourier inverse) la transformation suivante :
avec t en secondes et la pulsation (en rad.s-1).
Cette définition n'est cependant pas adaptée au traitement des produits de convolution : à cause du facteur , on a , à moins d'introduire un tel facteur dans la définition du produit de convolution.
L'ensemble de départ est l'ensemble des fonctions intégrables d'une variable réelle . L'ensemble d'arrivée est l'ensemble des fonctions d'une variable réelle . Concrètement lorsque cette transformation est utilisée en traitement du signal, on notera volontiers t à la place de x et ou à la place de qui seront les variables respectives de temps et de pulsation ou de fréquence. On dira alors que est dans le domaine temporel, et que est dans le domaine fréquentiel.
En physique, la transformation de Fourier permet de déterminer le spectre d'un signal. Les phénomènes de diffraction donnent une image de l'espace dual du réseau, ils sont une sorte de « machine à transformation de Fourier » naturelle. Pour ces applications, les physiciens définissent en général la transformation directe avec un facteur et la transformation de Fourier inverse avec le même préfacteur.
La notation peut aussi être remplacée par F(f) ou TF(ƒ). Dans cet article, on utilisera exclusivement la première notation.
Il est également d'usage dans certaines communautés scientifiques de noter pour la fonction de départ et pour sa transformée, faisant ainsi correspondre à x, y, z les variables duales p, q, r. Cette notation est conforme à l'interprétation physique inspirée par la mécanique quantique : dualité entre position et quantité de mouvement. Cette notation n'est pas retenue ici.
Extension de la transformation de Fourier[modifier | modifier le code]
Le cadre le plus naturel pour définir les transformations de Fourier est celui des fonctions intégrables. Toutefois, de nombreuses opérations (dérivations, transformation de Fourier inverse) ne peuvent être écrites en toute généralité. On doit à Plancherel l'introduction de la transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable, pour lesquelles la formule d'inversion est vraie. Puis la théorie des distributions de Schwartz, et plus particulièrement des distributions tempérées permit de trouver un cadre parfaitement adapté.
On peut généraliser la définition de la transformation de Fourier à plusieurs variables, et même sur d'autres groupes que le groupe additif . Ainsi, on peut la définir sur le groupe additif , c'est-à-dire sur les fonctions de période 1 — on retrouve ainsi les séries de Fourier —, et plus généralement sur des groupes localement compacts, pas nécessairement commutatifs, et en particulier sur des groupes finis. Ces définitions font intervenir les groupes duaux, ainsi que la mesure de Haar.
Propriétés de la transformation de Fourier[modifier | modifier le code]
Linéarité
Contraction du domaine