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Math�matiquesD�finition sous licence CC-BY-SA 3.0
Isom�trie
Isom�trie produit scalaire espace m�trique antid�placement espace affine Tweeter
En g�om�trie, une isom�trie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isom�trie est donc un cas particulier de similitude. Si cette isom�trie conserve aussi les angles orient�s, alors ils s'agit d'un d�placement. Si elle inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y...) les angles orient�s, il s'agit d'un antid�placement (En g�om�trie, un antid�placement est une isom�trie qui conserve les distances et qui renverse l'orientation : en dimension un antid�placement inverse les angles orient�s.). Le terme isom�trie (En g�om�trie, une isom�trie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isom�trie est donc un cas particulier de similitude.) est parfois un peu vague (Une vague est un mouvement oscillatoire de la surface d'un oc�an, d'une mer ou d'un lac. Les vagues sont g�n�r�es par le vent et ont une amplitude...). Usuellement, il renvoie aux isom�tries affines, c’est-�-dire aux transformations bijectives d'un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc d� � la d�couverte de nouvelles g�om�tries parfaitement coh�rentes, mais diff�rant de celle d'Euclide par l'axiome des parall�les. Elles remettaient...) euclidien dans un autre qui conseve les distances. On g�n�ralise au tranformations bijectives d'un espace m�trique (En math�matiques, un espace m�trique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les �l�ments de l'ensemble est d�finie. C'est un cas particulier d'espace topologique.) dans un autre qui conserve les distances. Dans un cadre lin�aire, on parle parfois d'isom�trie vectorielle, c’est-�-dire d'automorphisme qui conserve le produit scalaire (En g�om�trie vectorielle, le produit scalaire est une op�ration alg�brique s'ajoutant aux lois d�finissant la structure d'espace vectoriel. � deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet de retrouver...), mais il est plus prudent dans ce cadre de parler d'automorphisme orthogonal. Isom�tries planes remarquables On d�signe par le plan (i.e., plus pr�cis�ment, un plan affine (En math�matiques, affine peut correspondre � :) r�el euclidien orient�). Les applications suivantes sont des isom�tries de : �tant donn� un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication...) l'application qui, � tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point (Graphie) A, associe le point A' tel que : c'est la translation de vecteur . Sa r�ciproque est la translation de vecteur . Elle n'a aucun point fixe (En math�matiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-m�me, un �l�ment x de E est un point fixe de f si f(x) = x.), sauf si , auquel cas c'est l'identit�. Les translations sont des d�placements. �tant donn�e (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) une droite Δ l'application qui, � tout point A, associe le point A' tel que , o� H est le projet� orthogonal de A sur Δ: c'est la r�flexion d'axe Δ. On peut la d�finir autrement: A' = A si et, si , A' est tel que Δ est la m�diatrice de [AA']. Les r�flexions sont involutives et sont des antid�placements. �tant donn� un point A de et un r�el θ l'application qui fixe A et, � un point B distinct de A, associe l'unique point B' tel que AB = AB' et une mesure de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) orient� est θ: c'est la rotation de centre A et d'angle θ. La r�ciproque de la rotation de centre A et d'angle θ est la rotation de centre A et d'angle − θ. Enfin, les rotations sont des d�placements. Classification des isom�tries planes ayant un point fixe Une isom�trie du plan ayant trois points fixes non align�s est l'identit�. Une isom�trie du plan autre que l'identit� ayant au moins deux points fixes A et B est la r�flexion par rapport � la droite (AB). Une isom�trie du plan ayant un unique point fixe A est une rotation de centre A. D�monstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions...) Soit f une isom�trie plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est compos�e d'une lame semblable � celle d'un couteau, munie de deux poign�es, � chaque extr�mit� de la lame. Elle permet le...) autre que l'identit�. Soit M un point du plan et M' = f(M) tel que . Un point fixe A de f v�rifie MA = M'A donc est sur la m�diatrice de [MM']: les points fixes sont donc align�s. Par contrapos�e, si f a trois points fixes non align�s, c'est l'identit�. Soit f une isom�trie plane autre que l'identit� ayant au moins deux points fixes A et B et s la r�flexion par rapport � la droite (AB). Soit C un point n'appartenant pas � (AB). Alors son image C' par f v�rifie CA = C'A et CB = C'B donc C' appartient � l'intersection de deux cercles de centres respectifs A et B. Cette intersection a au plus deux points et C' est diff�rent de C (sinon f aurait trois points fixes non align�s et serait l'identit�, ce qui est exclu par hypoth�se) donc C et C' sont les deux points d'intersection respectifs de ces cercles (rappelons que deux cercles de centres distincts ont au plus deux points en commun). Comme CA = C'A et CB = C'B, A et B sont sur la m�diatrice de [CC']; par d�finition (Une d�finition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'o� la division entre les d�finitions r�elles et les d�finitions nominales.), on a donc s(C') = C. Comme s(A) = A et s(B) = B, a trois points fixes non align�s (� savoir A, B et C), donc . On a donc f = s − 1, i.e. f = s (car les r�flexions sont involutives. f est donc la r�flexion par rapport � la droite (AB). Si f poss�de un unique point fixe A: soit B un point distinct de A et B' = f(B). On a alors . Soit Δ la m�diatrice de [BB'] et s la r�flexion par rapport � la droite Δ. D'une part, BA = B'A, donc et s(A) = A; d'autre part, s(B') = B. L'application poss�de donc au moints deux points fixes: A et B. est donc soit l'identit� soit une r�flexion. On ne peut avoir , car sinon f=s aurait une infinit� de points fixes (tous les points de Δ). est donc une r�flexion s' par rapport � une droite passant par A (car s(f(A)) = A). On a donc et f est donc une rotation car compos�e de deux r�flexions d'axes s�cants. Source: Wikip�dia publi�e sous licence CC-BY-SA 3.0.
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