L’Encyclopédie/1re édition/FOLIUM
# L’Encyclopédie/1re édition/FOLIUM

FOLIUM de Descartes, ou simplement FOLIUM, s. m. (Géométrie.) nom latin, & qui signifie feuille. On appelle ainsi une courbe du second genre ou ligne du troisieme ordre KAODR, représentée fig. 45. Analys. & dont la partie AOD ressemble à-peu-près à une feuille, ce qui lui a fait donner le nom de folium.

Soient les coordonnées AB, x, BC ou BD, y, l’équation de cette courbe sera x³+y³=axy ; les axes AB, AF, touchant la courbe en A. Pour donner à cette équation une forme plus commode, qui fasse découvrir aisément la figure de la courbe, je divise en deux également l’angle FAB par la ligne AO, & j’imagine les nouvelles coordonnées rectangles AP, z & PC, u, j’aurai, comme il est très aisé de le prouver, x=(z+u)/√2, & y=z−u/√2 (voyez Transformation des Axes) ; & faisant la substitution, il vient u²=(azz−2z²/√2):(a+6z/√2) pour l’équation de la courbe rapportée aux axes AO, GAM perpendiculaires l’un à l’autre. D’où l’on voit, 1°. que si z est infiniment petite, on a u=±z & qu’ainsi la courbe coupe de part & d’autre l’axe AO sous un angle de 45ᵈ. 2°. que u a toûjours deux valeurs égales, & qu’ainsi les deux parties de la courbe sont égales & semblables des deux côtés de l’axe AO : 3°. que si a=2z/√2, on a u=0 ; & que si a< 2z/√2, on a u imaginaire ; qu’ainsi faisant 2AO=a√2, la courbe ne va pas au-delà du point O, du côté des z positives : 4°. que si z=−a√2/6, u est infinie ; & que si z est <−a√2/6, u est imaginaire. Donc prenant AN=a√2/6=AO/3, & menant KNR perpendiculaire à AN, cette ligne KNR sera asymptote de la courbe. Voyez Asymptote.

Cette courbe est aussi quarrable. Pour le prouver de la maniere la plus simple, je reprends l’équation x³+y³=axy, & je fais y=xz, j’aurai ydx élément de l’aire de la courbe = xzdx, dont l’intégrale est xxz/2−∫ xxdz/2. Or y=xz donne x=az/(z+z²) & xxdz=aazzdz/((1+z³)2), dont l’intégrale est aisée à trouver. Car soit 1+z³=u³, on aura zzdz=uudu ; & aazzdz/((1+z³)²)=aadu/u⁴, dont l’intégrale est fort simple. Voy. Integral & Transformation. Donc, &c.

M. de l’Hopital, analyse des infiniment petits, sect. 2. donne une méthode de trouver les asymptotes de cette courbe par les tangentes. Voyez Tangente, &c. (O)

