Théorème du complément normal de Burnside
# Théorème du complément normal de Burnside

En mathématiques, le théorème du complément normal de Burnside est un théorème de théorie des groupes qui s'énonce comme suit : si G est un groupe fini, si P est un sous-groupe de Sylow de G, si P est contenu dans le centre de son normalisateur $N_G(P)$ (autrement dit si le normalisateur $N_G(P)$ de P se réduit au centralisateur $C_G(P)$ de P), alors P admet un complément normal dans G.

Puisque P est un sous-groupe de Sylow de G, tout complément de P dans G est un sous-groupe de Hall de G. Comme tout sous-groupe de Hall normal d'un groupe fini G est seul de son ordre parmi les sous-groupes de G, le complément normal dont le théorème de Burnside assure l'existence est seul de son ordre parmi les sous-groupes de G et est donc caractéristique dans G. On pourrait donc parler du théorème du complément caractéristique de Burnside.

Remarques.

* L'hypothèse selon laquelle P est contenu dans le centre de $N_G(P)$ entraîne évidemment que P est commutatif. On ajoute souvent ce fait aux hypothèses dans l'énoncé du théorème.
* Si N est un complément normal d'un p-sous-groupe de Sylow de G, alors N est complément (normal) de tout p-sous-groupe de Sylow de G. (En effet, soit P un p-sous-groupe de Sylow de G dont N soit complément normal dans G. Si Q est un autre p-sous-groupe de Sylow de G, les ordres de N et de Q sont premiers entre eux et leur produit est égal à l'ordre de G, ce qui est suffisant pour que N et Q soient compléments l'un de l'autre dans G.) Si G est un groupe fini d'ordre $p^rm,$ où m est non divisible par le nombre premier p, dire que N est complément normal des p-sous-groupes de Sylow de G revient à dire que N est un sous-groupe normal d'ordre m de G. D'après une remarque faite plus haut, cela revient encore à dire que N est l'unique sous-groupe d'ordre m de G. Un tel sous-groupe N est appelé un p-complément normal de G.
* Un groupe fini dont les p-sous-groupes de Sylow admettent un complément normal (autrement dit, un groupe fini qui admet un p-complément normal) est dit p-nilpotent.
* Selon un théorème de Frobenius, G possède un p-complément normal si et seulement si
   * ou bien : pour tout p-sous-groupe non trivial H de G, le quotient $N_G(H)/C_G(H)$ est un p-groupe,
   * ou bien : pour tout p-sous-groupe non trivial H de G, le sous-groupe $N_G(H)$ possède un p-complément normal.
* Soient G un groupe fini et p un diviseur premier de l'ordre de G. Si les hypothèses du théorème du complément normal de Burnside sont satisfaites et que l'ordre de G n'est pas égal à p, il résulte clairement du théorème que G n'est pas simple. Ce fait est souvent utilisé pour déterminer les éventuels groupes simples d'un ordre fini donné, à un stade de la théorie antérieur à la classification des groupes simples finis. D'autre part, le théorème du complément normal de Burnside est utilisé dans la démonstration du théorème de Feit-Thompson, lequel joue un rôle important dans la classification des groupes simples finis.
