Théorème d'Atkinson
# Théorème d'Atkinson

Le théorème $d'Atkinson^,$ est un résultat d'analyse fonctionnelle qui caractérise les opérateurs de Fredholm.

## Énoncé

Pour tout opérateur borné T sur un espace de Banach E, les propriétés suivantes sont équivalentes :

* T est un opérateur de Fredholm ;
* il existe un opérateur borné S sur E tel que $id_E$ – ST et $id_E$ – TS soient de rang fini ;
* il existe un opérateur borné S sur E tel que $id_E$ – ST et $id_E$ – TS soient compacts ;
* la classe de T dans l'algèbre de Calkin B(E)/K(E) est inversible.

## Démonstration

Clairement, 2. implique 3., qui équivaut à 4.

1 ⇒ 2 : supposons que T est de Fredholm, c'est-à-dire que la codimension de son image et la dimension de son noyau sont finies. Ils admettent alors des supplémentaires topologiques : kerT⊕V = E = imT⊕W. De V dans imT, la restriction de T est une bijection continue, dont la bijection réciproque $S_0$ est continue (d'après le théorème de l'application ouverte). Soit S = $S_0⊕0,$ où 0 désigne l'application nulle de W dans kerT. Alors, $im(id_E$ – TS) = W et $im(id_E$ – ST) = kerT sont de dimension finie.

3 ⇒ 1 : supposons que $id_E$ – TS et $id_E$ – ST sont compacts. Alors (cf. « Alternative de Fredholm ») kerST est de dimension finie et imTS est de codimension finie. A fortiori, kerT (inclus dans kerST) est de dimension finie et imT (contenant imTS) est de codimension finie.

