Théorème de la goutte
# Théorème de la goutte

Le théorème de la goutte est un théorème d'analyse fonctionnelle, démontré par Josef Daneš en $1972^,^,^,$ puis généralisé en 1985.

Dans un espace vectoriel réel, on définit la « goutte » D(x, C), associée à un point x et un convexe C, comme l'enveloppe convexe de {x}∪C. Le théorème généralisé s'énonce alors $ainsi^,$ :

   Dans un espace de Banach, soient B un convexe fermé borné non vide et F un fermé à distance non nulle de B.
   Pour tout point f du fermé F, il existe un point x de D(f, B) tel que F∩D(x, B) = {x}.

## Théorèmes équivalents

Le théorème de la goutte est équivalent, entre autres, au principe variationnel d'Ekeland et au « théorème du pétale », qui s'énonce comme suit, en définissant un « pétale » $P_γ(x,$ y) comme l'ensemble des points z tels que γd(z, x) + d(z, y) ≤ d(x, y) :

   Pour toute partie complète A d'un espace métrique X, tout point a de A, tout point b de X\A et tout réel γ > 0, il existe un point x du pétale $P_γ(a,$ b) tel que $P_γ(x,$ b)∩A = {x}.

Plus précisément :

* le théorème de la goutte non généralisé implique le principe d'Ekeland ;
* le principe d'Ekeland implique le théorème du pétale ;
* le théorème du pétale implique le théorème de la goutte, simple ou $généralisé^,.$

On peut s'étonner qu'un théorème purement métrique, comme celui du pétale ou d'Ekeland, se déduise d'un théorème sur les espaces vectoriels normés. Cela résulte du plongement de Kuratowski.

