Théorème des nombres polygonaux de Fermat
# Théorème des nombres polygonaux de Fermat

En théorie additive des nombres, le théorème des nombres polygonaux de Fermat indique que tout entier naturel est une somme d'au plus n nombres n-gonaux. C'est-à-dire que tout entier positif peut être écrit comme la somme de trois nombres triangulaires ou moins, et comme la somme de quatre nombres carrés ou moins, et comme la somme de cinq nombres pentagonaux ou moins, et ainsi de suite.

## Exemples

Par exemple, trois représentations du nombre 17, sont montrées ci-dessous :

* 17 = 10 + 6 + 1 (nombres triangulaires) ;
* 17 = 16 + 1 (nombres carrés) ;
* 17 = 12 + 5 (nombres pentagonaux).

## Histoire

Le théorème est nommé en l'honneur de Pierre de Fermat, qui l'a énoncé sans preuve en 1638, promettant de le démontrer dans un travail séparé, qui n'est jamais paru. Joseph-Louis Lagrange a démontré le cas carré en 1770 : c'est le théorème des quatre carrés de Lagrange, qui affirme que tout entier positif peut être représenté comme une somme de quatre carrés, par exemple, 7 = 4 + 1 + 1 + 1. Gauss a démontré le cas triangulaire en 1796, en commémorant l'occasion en écrivant dans son journal la ligne « ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ », et publié une preuve dans son livre Disquisitiones arithmeticae. Pour cette raison, le résultat de Gauss est parfois connu comme le théorème Eureka. Le théorème des nombres polygonaux a finalement été démontré par Cauchy en 1813. La démonstration de Nathanson est fondée sur le lemme suivant de Cauchy :

Pour tous entiers naturels impairs a et b tels que $b^2$ < 4a et 3a < $b^2$ + 2b + 4, il existe des entiers positifs s, t, u et v tels que a = $s^2$ + $t^2$ + $u^2$ + $v^2$ et b = s + t + u + v.

