Théorie k-catégorique
# Théorie k-catégorique

En logique mathématique, une théorie est dite k-catégorique pour un nombre cardinal k si elle a exactement un modèle de cardinalité k (à isomorphisme près).

## Théorème de Łoś-Vaught

### Énoncé

Théorème de Łoś (pl)-Vaught — Toute théorie sans modèle fini qui est k-catégorique pour un certain cardinal k (infini) au moins égal à celui de son langage est complète.

### Exemples de telles théories complètes

* La théorie des ensembles infinis est k-catégorique pour tout cardinal k infini.

    C'est une théorie du premier ordre en calcul des prédicats égalitaire pur qui comporte une infinité dénombrable d'axiomes, soit pour tout entier n ≥ 1 l'axiome « il existe au moins n éléments distincts » :
    $\exists x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\qquad \wedge _{1\leq i<j\leq n}~\neg (x_{i}=x_{j})$.
* Les quatre théories des ensembles densément ordonnés pour lesquels on précise s'ils ont ou non un premier ou un dernier élément sont ℵ₀-catégoriques (en) et leurs modèles dénombrables sont isomorphes respectivement aux ensembles ordonnés de rationnels

    $\left]0,1\right[\cap \mathbb {Q} ,\qquad \left[0,1\right[\cap \mathbb {Q} ,\qquad \left]0,1\right]\cap \mathbb {Q} ,\qquad \left[0,1\right]\cap \mathbb {Q}$.

## Théorème de Morley

Théorème de Morley — Si une théorie dans un langage au plus dénombrable est k-catégorique pour un certain cardinal k strictement supérieur au dénombrable, alors elle l'est pour tous.

