Théorème de la base normale
# Théorème de la base normale

En mathématiques, le théorème de la base normale s'inscrit dans la théorie de Galois.

Il garantit que si L / K est une extension finie galoisienne de corps commutatifs, de groupe de Galois G, alors il existe un élément x de L dont l'orbite Gx est une base du K-espace vectoriel L. Autrement dit : la représentation naturelle de G sur L est équivalente à la représentation régulière.

## Histoire

Ce théorème fut d'abord établi dans le cas des corps finis : en 1850, Eisenstein démontra le cas où K est un corps premier fini et Schönemann celui où le degré de l'extension est premier ; c'est Hensel qui démontra le théorème pour les corps finis en toute généralité. En 1932, ce résultat fut étendu à certains corps infinis par Emmy Noether, puis à tous par Deuring.

La démonstration de Deuring traitait simultanément tous les corps (finis ou infinis) grâce à l'« argument de Deuring-Noether $»^,.$ La plupart des manuels proposent cependant une démonstration ultérieure d'Artin dans le cas infini, formulée en termes de déterminants, et donnent un argument complètement différent pour le cas fini.

Ce théorème a été généralisé : il existe même un élément simultanément « libre » sur tous les corps intermédiaires (en qualifiant de « libres sur K » les éléments x dont le théorème de la base normale énonce l'existence) : Faith l'a prouvé en 1957 pour les corps infinis (en étendant l'argument d'Artin), mais ce n'est qu'en 1986 que ce résultat a été établi pour les corps finis, par Blessenohl et Johnsen.

## Démonstration

La preuve suivante, inspirée de Deuring, consiste à décomposer de deux façons le K[G]-module (à gauche) des endomorphismes du K-espace vectoriel L, puis à invoquer le théorème de $Krull-Schmidt^,^,.$

Soient n le degré de l'extension, $(x_1,$ … , $x_n)$ une base du K-espace vectoriel L et $(y_1,$ … , $y_n)$ une base de son dual. Une première décomposition est

$\mathrm {End} _{K}(L)=\oplus _{j=1}^{n}Ly_{j}.$

C'est non seulement une somme directe de K[G]-sous-modules mais aussi de L-sous-espaces vectoriels, donc $End_K(L)$ est de dimension n sur L. Or d'après le théorème d'indépendance de Dedekind, les n éléments de G sont L-linéairement indépendants. Ils forment donc eux aussi une base du L-espace vectoriel $End_K(L)$ :

$\mathrm {End} _{K}(L)=\oplus _{g\in G}Lg.$

Contrairement aux $Ly_j,$ les Lg ne sont pas stables pour l'action à gauche de G, mais on a (en identifiant tout élément ℓ de L avec l'élément de $End_K(L)$ « multiplication par ℓ ») :

$\forall g\in G,\quad \forall \ell \in L,~g.\ell =g(\ell )g\quad {\text{donc}}\quad g.L=Lg,$

ce qui permet de décomposer $End_K(L)$ en K-sous-espaces vectoriels puis, en regroupant, en K[G]-sous-modules :

$\mathrm {End} _{K}(L)=\oplus _{g\in G}g.L=\oplus _{g\in G}g.\left(\oplus _{i=1}^{n}Kx_{i}\right)=\oplus _{i=1}^{n}K[G].x_{i}.$

On aboutit ainsi à l'isomorphisme de K[G]-modules

$L^{n}\simeq \oplus _{j=1}^{n}Ly_{j}=\oplus _{i=1}^{n}K[G].x_{i}\simeq \left(K[G]\right)^{n},$

dont on déduit, grâce au théorème de Krull-Schmidt, que L est isomorphe à K[G].

