Théorème des zéros de Hilbert
# Théorème des zéros de Hilbert

Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz, est un théorème d'algèbre commutative qui est à la base du lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert.

## Énoncés

Une algèbre de type fini sur K est un anneau quotient d'un anneau de polynômes $K[X_1,…,X_n]$ par un idéal. Sa structure de K-algèbre est induite par celle de $K[X_1,…,X_n].$ Il existe plusieurs formulations du théorème des zéros de Hilbert.

Théorème 1 (Lemme de Zariski). Soient K un corps et A une K-algèbre de type fini. Alors tout quotient de A par un idéal maximal est une extension finie de K.

De façon équivalente : si A est un corps, alors c'est une extension finie de K.

Procédons par récurrence sur le nombre de générateurs de la K-algèbre A, supposée être un corps. Il faut montrer que ces générateurs sont algébriques sur K. S'il n'y a pas de générateur, il n'y a rien à démontrer. Supposons le résultat vrai pour toute K-algèbre engendrée par n générateurs qui soit également un corps et donnons-nous une K-algèbre A engendrée par n + 1 éléments $x_{0},x_{1},...,x_{n}$ qui soit un corps.

* A est engendrée par $x_{1},...,x_{n}$ sur $K(x_{0})$, corps des fractions de $K[x_{0}]$ inclus dans le corps A. Par hypothèse de récurrence, les $x_{i},i>0$, sont annulés par des polynômes unitaires $P_{i}$ à coefficients dans $K(x_{0})$ et il reste à voir que $x_{0}$ est algébrique sur K.
* Notant $f\in K[x_{0}]$ le produit de tous les dénominateurs intervenant dans les coefficients des $P_{i}$, les $x_{i}$ sont entiers sur le localisé $K[x_{0}]_{f}$, donc A est entier sur $K[x_{0}]_{f}$.
* Si $x_{0}$ était transcendant sur K, alors $K[x_{0}]_{f}$ serait intégralement clos donc, d'après le point précédent, égal à $K(x_{0})$, ce qui est absurde. Finalement, $x_{0}$ est bien algébrique sur K.

Ce théorème a plusieurs conséquences immédiates.

On note Spm A le spectre maximal d'un anneau A, c.-à-d. l'ensemble des idéaux maximaux de A.

Théorème 2 (Nullstellensatz faible). Supposons que $K$ est algébriquement clos. Alors la fonction

${\begin{array}{lcll}\phi :&K^{n}&\to &\operatorname {Spm} K[X_{1},\dots ,X_{n}]\\&(a_{1},\dots ,a_{n})&\mapsto &(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})\end{array}}$

est une bijection, où $(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})$ désigne l'idéal engendré par les $X_{i}-a_{i}$.

Autrement dit, un point de $K^{n}$ s'identifie avec un idéal maximal de polynômes à $n$ indéterminées sur $K$ quand $K$ est algébriquement clos.

Soit $M\in \operatorname {Spm} K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ un idéal maximal. D'après le théorème 1, $K[X_1,…,X_n]/M$ est une extension finie de K ; il est donc égal à K car un corps algébriquement clos n'a que lui-même comme extension finie. Pour tout $i=1,2,\dots ,n$, on note $a_{i}\in K$ la classe de $X_{i}$ dans le quotient. Alors $X_{i}-a_{i}$ appartient à $M$. Donc $M$ contient l'idéal $(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})$. Comme celui-ci est maximal, on a l'égalité. L'unicité de $(a_{1},\dots ,a_{n})$ résulte du fait que si $(b_{1},\dots ,b_{n})$ est un autre n-uplet vérifiant la même propriété, alors $a_{i}-b_{i}=(X_{i}-b_{i})-(X_{i}-a_{i})$ appartient à $M$, et est donc nul car sinon ce serait un scalaire inversible dans $M$.

Théorème 3 (Existence des zéros). Si K est un corps algébriquement clos, alors pour tout idéal propre $I$ de $K[X_1,…,X_n],$ il existe un point de $K^n$ racine de tout élément de $I$.

Ce résultat n'est pas vrai si K n'est pas algébriquement clos. L'idéal M des multiples de $X^2$ + 1 est maximal dans ℝ[X] puisque le quotient de ℝ[X] par M est un corps isomorphe à ℂ, pourtant le polynôme n'admet pas de racine dans ℝ.

Soit $I$ un tel idéal. Il est contenu dans un idéal maximal $M$. Il suit du théorème 2 que $M=(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})$ et donc $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ est une racine commune des éléments de $I$.

Théorème 4. Soit $I$ un idéal d'une algèbre de type fini A sur K. Alors le radical √I de $I$ est égal à l'intersection des idéaux maximaux de A contenant $I$.

Quitte à remplacer $A$ par $A/I$, on peut supposer que $I=0$. L'inclusion du nilradical dans l'intersection des maximaux est immédiate. Il reste à montrer l'inclusion inverse. Soit $f$ appartenant à l'intersection des maximaux de $A$. Si $f$ n'est pas nilpotent, on peut considérer la partie multiplicative $S$ de $A$ constituée des puissances entières strictement positives de $f$. La localisation $A_{f}=S^{-1}A$ est encore une algèbre de type fini sur K car elle est isomorphe à $A[T]/(Tf-1)$. Soient $M'$ un idéal maximal de $A_{f}$ et $M$ son image réciproque dans $A$ par l'homomorphisme canonique de localisation $A\to A_{f}$. Alors $A/M\to A_{f}/M'$ est injectif. Par le théorème 1, $A_{f}/M'$ est une extension finie de K, donc entier sur $A/M$. C'est alors un exercice facile de voir que $A/M$ est un corps, et donc $M$ est maximal. Par sa construction, $M$ ne contient pas $f$ (celui-ci étant inversible dans $A_{f}$, $M'$ serait égal à l'idéal unité sinon). Ce qui aboutit à une contradiction puisque $f$ est supposé appartenir à tous les idéaux maximaux de $A$.

Si $P$ est un polynôme appartenant à $K[X_1,…,X_n],$ les zéros de $P$ dans $K^n$ sont les points $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in K^{n}$ tels que $P(a_{1},\ldots ,a_{n})=0$.

Corollaire (Nullstellensatz fort). Supposons K algébriquement clos. Soient $I$ un idéal de $K[X_1,…,X_n]$ et $Z(I)$ l'ensemble des zéros communs des polynômes de $I$. Si $f$ est un polynôme dans $K[X_1,…,X_n]$ qui s'annule sur $Z(I)$, alors une puissance de $f$ appartient à $I$.

Pour tout idéal maximal $M=(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})$ contenant $I$, $(a_{1},\dots ,a_{n})$ est un point de $Z(I)$, donc annule $f$. Il suit que $f$ appartient à $M$. Par le théorème 4, $f$ appartient au radical de $I$, donc une puissance de $f$ appartient à $I$.

Le théorème 2 sur la structure des idéaux maximaux est faux sur un corps non algébriquement clos (même en une variable). Cependant, la propriété plus faible suivante subsiste :

* Tout idéal maximal $M$ de $K[X_1,…,X_n]$ (K non nécessairement clos) est engendré par $n$ polynômes.

Par la théorie de la dimension de Krull, on sait qu'aucun idéal maximal de $K[X_1,…,X_n]$ ne peut être engendré par strictement moins que $n$ éléments.

## Théorème de Bézout

Une forme particulière du théorème des zéros est le théorème d'existence des zéros (th. 3 ci-dessus) qui, par contraposée, peut se reformuler ainsi :

* Soit K un corps algébriquement clos, soient $f_{0},\dots ,f_{m}\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ des polynômes sans zéros communs. Alors il existe $g_{0},\dots ,g_{m}\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ vérifiant l'identité de Bézout

$f_{0}g_{0}+\dots +f_{m}g_{m}=1.$

L'astuce de Rabinowitsch montre que ce cas particulier du Nullstellensatz fort implique le cas général. En effet si, dans $K[X_1,…,X_n],$ $I$ est l'idéal engendré par $f_{1},\dots ,f_{m}$ et $f$ est un polynôme qui s'annule sur $Z(I)$, on considère l'idéal de $K[X_0,X_1,…,X_n]$ engendré par $f_{1},\dots ,f_{m}$ et par le polynôme $1-fX_{0}$. Cet idéal n'a pas de zéros communs dans $K^{n+1}.$ Donc il existe $g_{0},\dots ,g_{m}\in K[X_{0},\dots ,X_{n}]$ tels que l'on ait

$(1-fX_{0})g_{0}+f_{1}g_{1}+\ldots +f_{m}g_{m}=1.$

En remplaçant dans cette identité $X_{0}$ par $1/f$, et en multipliant les deux côtés par une puissance convenable $N$ de $f$, on voit que cette puissance de $f$ appartient à $I$. De plus, on peut majorer $N$ par le maximum des degrés totaux de $g_{1},\dots ,g_{m}$.

