Théorème d'Abel (analyse)
# Théorème d'Abel (analyse)

En mathématiques, le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, portant le nom de Niels Henrik Abel, est un outil central de l'étude des séries entières.

## Énoncé

Théorème — Si une série entière $\sum a_{n}z^{n}$ converge en un point $z_{0}$, alors la convergence est uniforme sur $[0,z_{0}]$ (donc la fonction somme de la série est continue sur ce segment).

La démonstration repose sur la méthode classique de sommation par parties, équivalente à l'intégration par parties pour les intégrales.

Remarque : dans le cas où la série $\sum a_{n}z_{0}^{n}$ est absolument convergente, le résultat est trivial. En effet, sous cette hypothèse, $\sum a_{n}z^{n}$ converge même normalement sur le disque fermé de centre $0$ et de rayon $\left|z_{0}\right|$.

## Exemples

* Soit la série de Mercator$f(x)=-\sum _{n\geq 1}{\frac {(-x)^{n}}{n}}=\ln(1+x)$ pour $|x|<1$.Comme la série harmonique alternée$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}$ converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on déduit sa somme du théorème d'Abel :$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}=-\lim _{1^{-}}f=-\ln 2$.
* Soit $g(x)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan x$ pour $|x|<1$.Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$ converge, d'où la formule de Leibniz :$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=\lim _{1^{-}}g=\arctan 1={\frac {\pi }{4}}$.
* Soient $\Sigma a_{n}$ et $\Sigma b_{n}$ deux séries convergentes et $\Sigma c_{n}$ leur produit de Cauchy :$c_{n}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}$.On déduit du théorème d'Abel que si la série $\Sigma c_{n}$ converge alors sa somme est égale au produit des deux sommes $A=\Sigma a_{n}$ et $B=\Sigma b_{n}$ :$\Sigma c_{n}=C\Rightarrow C=AB$.

## Réciproque partielle

Tauber a démontré en 1897 que sous l'hypothèse $a_n$ = o(1/n), si la limite radiale existe, alors la série converge et lui est égale. Ce résultat a été amélioré par Littlewood : l'hypothèse $a_n$ = O(1/n) suffit. Le théorème taubérien de Hardy-Littlewood en est une généralisation.

