Table de dérivées usuelles
# Table de dérivées usuelles

Cet article énumère les fonctions dérivées de quelques fonctions usuelles.

| Domaine de définition $D_{f}$ | Fonction $f(x)$ | Domaine de dérivabilité $D_{f'}$ | Dérivée $f'(x)$ | Condition ou remarque |
| - | - | - | - | - |
| $\mathbb {R}$ | $k$ | $\mathbb {R}$ | 0 | $k$ constante réelle |
| $\mathbb {R}$ | $k\,x$ | $\mathbb {R}$ | $k$ | $k$ constante réelle |
| $\mathbb {R}$ | $x^{n}$ | $\mathbb {R}$ | $n\,x^{n-1}$ | $n$ entier naturel |
| $\mathbb {R} ^{*}$ | ${\frac {1}{x^{n}}}=x^{-n}$ | $\mathbb {R} ^{*}$ | $-nx^{-n-1}=-{\frac {n}{x^{n+1}}}$ | $n$ entier naturel |
| $\mathbb {R} _{+}$ | ${\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}$ | $\mathbb {R} _{+}^{*}$ | $(1/n)x^{(1/n)-1}={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}}$ | $n$ entier naturel |
| $\mathbb {R} _{+}^{*}$ | $x^{\alpha }$ | $\mathbb {R} _{+}^{*}$ | $\alpha x^{\alpha -1}$ | $\alpha$ constante réelle. Fonction prolongeable par continuité en 0 si α ≥ 0, et de prolongée dérivable en 0 si α ≥ 1. |
| $\mathbb {R} ^{*}$ | $\ln |x|$ | $\mathbb {R} ^{*}$ | ${\frac {1}{x}}$ | Cas $a=\mathrm {e}$ de $\log _{a}|x|$ |
| $\mathbb {R} ^{*}$ | $\log _{a}|x|$ | $\mathbb {R} ^{*}$ | ${\frac {1}{x\ln a}}$ | $a>0$ et $a\neq 1$ |
| $\mathbb {R}$ | ${\rm {e}}^{x}$ | $\mathbb {R}$ | ${\rm {e}}^{x}$ | Cas $a=\mathrm {e}$ de $a^{x}$ |
| $\mathbb {R}$ | $a^{x}$ | $\mathbb {R}$ | $a^{x}\ln a$ | $a>0$ |
| $\mathbb {R}$ | $\sin x$ | $\mathbb {R}$ | $\cos x$ | |
| $\mathbb {R}$ | $\cos x$ | $\mathbb {R}$ | $-\sin x$ | |
| $\mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)$ | $\tan x$ | $\mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)$ | ${\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x$ | |
| $\mathbb {R} \setminus \left(\pi \mathbb {Z} \right)$ | $\cot x$ | $\mathbb {R} \setminus \left(\pi \mathbb {Z} \right)$ | $-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-1-\cot ^{2}x$ | |
| $\left[-1,1\right]$ | $\arcsin x$ | $\left]-1,1\right[$ | ${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ | |
| $\left[-1,1\right]$ | $\arccos x$ | $\left]-1,1\right[$ | $-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ | |
| $\mathbb {R}$ | $\arctan x$ | $\mathbb {R}$ | ${\frac {1}{1+x^{2}}}$ | |
| $\mathbb {R}$ | $\operatorname {sinh} x$ | $\mathbb {R}$ | $\operatorname {cosh} x$ | |
| $\mathbb {R}$ | $\operatorname {cosh} x$ | $\mathbb {R}$ | $\operatorname {sinh} x$ | |
| $\mathbb {R}$ | $\operatorname {tanh} x$ | $\mathbb {R}$ | ${\frac {1}{\operatorname {cosh} ^{2}x}}=1-\operatorname {tanh} ^{2}x$ | |
| $\mathbb {R} ^{*}$ | $\operatorname {coth} x$ | $\mathbb {R} ^{*}$ | ${\frac {-1}{\operatorname {sinh} ^{2}x}}=1-\operatorname {coth} ^{2}x$ | |
| $\mathbb {R}$ | $\operatorname {arsinh} \,x$ | $\mathbb {R}$ | ${\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$ | |
| $\left[1,+\infty \right[$ | $\operatorname {arcosh} \,x$ | $\left]1,+\infty \right[$ | ${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$ | |
| $\left]-1,1\right[$ | $\operatorname {artanh} \,x$ | $\left]-1,1\right[$ | ${\frac {1}{1-x^{2}}}$ | |
| $\mathbb {R}$ | ${\frac {1}{1+e^{-x}}}$ | $\mathbb {R}$ | $f(x)(1-f(x))$ | Fonction sigmoïde |

Si $g$ est l'une de ces fonctions, la dérivée de la fonction composée $x\mapsto g(cx)$ (où $c$ est un réel fixé) sera $x\mapsto cg'(cx)$.

