Trigonalisation
# Trigonalisation

En algèbre linéaire, une matrice carrée A à coefficients dans un corps K est dite trigonalisable (ou triangularisable) sur K si elle est semblable à une matrice triangulaire T à coefficients dans K, via une matrice de passage P elle aussi à coefficients dans K :

$A=PTP^{-1}.$

Trigonaliser (on dit aussi triangulariser) A sur K consiste à trouver de telles matrices T et P. Cela est possible (on dit alors que A est trigonalisable) si et seulement si le polynôme caractéristique de A est scindé sur K. Par exemple, si A est à coefficients réels, elle est trigonalisable sur ℝ si et seulement si toutes ses valeurs propres (complexes a priori) sont réelles.

Dans la suite, on se donne un entier n > 0 et $\operatorname {M} _{n}(K)$ désignera l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K.

## Matrices triangulaires

Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée dont tous les coefficients situés strictement en dessous de la diagonale principale sont nuls, c'est-à-dire une matrice de la forme

${\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &\cdots &a_{1,n}\\0&\ddots &\ddots &a_{2,n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n,n}\end{pmatrix}}.$

De même, une matrice triangulaire inférieure est une matrice carrée dont tous les coefficients situés strictement au-dessus de la diagonale sont nuls.

## Endomorphismes et matrices trigonalisables

* Soit $M\in \operatorname {M} _{n}(K)$, on dit que $M$ est une matrice trigonalisable s'il existe une matrice inversible $P\in GL_{n}(K)$ et une matrice triangulaire supérieure $T\in \operatorname {M} _{n}(K)$ telles que :$M=PTP^{-1}$ (ou, ce qui est équivalent : $T=P^{-1}MP$).Cela revient à dire que $M$ est semblable dans $\operatorname {M} _{n}(K)$ à une matrice triangulaire supérieure (ou à une matrice triangulaire inférieure, ce qui est équivalent). En particulier :
   * toute matrice triangulaire supérieure est trigonalisable (il suffit de choisir $P=I_{n}$ où $I_{n}$ est la matrice identité de dimension $n$) ;
   * toute matrice diagonalisable est a fortiori trigonalisable (car une matrice diagonale est un cas particulier de matrice triangulaire).
* Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $u$ un endomorphisme de $E$. On dit que $u$ est un endomorphisme trigonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure.
* Ces deux définitions sont reliées par le fait qu'un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans au moins une base de $E$ est trigonalisable ; dans ce cas, sa matrice dans n'importe quelle base de $E$ est trigonalisable.

## Conditions de trigonalisation

Il existe plusieurs critères pour savoir si une matrice ou un endomorphisme sont trigonalisables :

* Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans K[X].

    En particulier, si K est algébriquement clos, toute matrice carrée à coefficients dans K est trigonalisable et donc aussi tout endomorphisme d'un K-espace vectoriel de dimension finie.
    Sur le corps des nombres complexes (algébriquement clos d'après le théorème de d'Alembert-Gauss), Issai Schur a démontré un résultat plus précis :

Théorème de décomposition de Schur — Toute matrice carrée complexe est trigonalisable dans une base orthonormée.

* Un endomorphisme u de E est trigonalisable si et seulement s'il existe un drapeau total de E stable par u.
