Lemme du tube
# Lemme du tube

En mathématiques, le lemme du tube est le résultat de topologie générale $suivant^,$ :

   Si x est un point d'un espace topologique X et si Y est un espace quasi-compact, tout ouvert de X × Y contenant la partie {x} × Y contient un ouvert élémentaire U × Y contenant cette partie.

Il permet par exemple de démontrer simplement que tout produit fini de compacts est compact, sans recourir au théorème de Tychonov.

## Remarques

* Le lemme du tube équivaut à :Pour tout espace X et tout espace quasi-compact Y, la projection X × Y → X est une application fermée.

Dire que cette projection est fermée équivaut à pour tout fermé F de X × Y, l'ensemble des x tels qu'au moins un (x, y) appartienne à F est un fermé de X donc à pour tout ouvert O de X × Y, l'ensemble des x tels que tous les (x, y) appartiennent à O est ouvert dans X, c'est-à-dire voisinage de chacun de ses points, ou encore, à pour tout ouvert O de X × Y et tout x tel que {x} × Y est inclus dans O, il existe un ouvert U contenant x tel que U × Y soit inclus dans O.

* L'hypothèse que Y est quasi-compact est indispensable : par exemple dans le plan euclidien ℝ × ℝ, l'ouvert {(x, y) ; |x| < $1/(y^2$ + 1)} contient {0} × ℝ mais ne contient aucun ouvert élémentaire intermédiaire. Plus généralement, pour tout espace Y non quasi-compact, il existe un espace X pour lequel la projection X × Y → X n'est pas fermée, donc dans lequel un certain point x ne vérifie pas le lemme du tube.

## Application aux produits finis de compacts

Le lemme du tube permet de montrer que le produit de deux espaces quasi-compacts est $quasi-compact^,.$ Par récurrence, tout produit fini d'espaces quasi-compacts est donc quasi-compact, si bien que tout produit fini d'espaces compacts (c'est-à-dire quasi-compacts et séparés) est compact.

Ce cas particulier du théorème de Tychonov est ainsi bien plus élémentaire que le cas d'un produit infini.

## Généralisation

La preuve de la généralisation suivante est à peine plus compliquée que la preuve directe du lemme du tube.

   Si A est une partie quasi-compacte d'un espace X et B une partie quasi-compacte d'un espace Y, tout ouvert contenant la partie A × B contient un ouvert élémentaire U × V contenant cette partie.

Elle permet de montrer que dans un espace séparé, deux parties compactes disjointes sont toujours incluses dans deux ouverts disjoints.

