Théorème de Sárközy
# Théorème de Sárközy

Le théorème de Sárközy est une démonstration partielle de la conjecture, due à Paul Erdös, suivante :

Conjecture d'Erdös (Théorème de Granville-Ramaré) — Pour $n>4$, le coefficient binomial ${2n \choose n}$, n'est pas sans facteur carré.

Puisque $4$ divise${2n \choose n}$ si $n\neq 2^{k}$, il suffit de considérer le cas des puissances de $2$.

Théorème de Sárközy — La conjecture d'Erdös est vraie pour tout entier assez grand.

En 1985, András Sárközy montre en outre que

    $\ln s(n)\approx \left({\sqrt {2}}-2\right)\zeta \left({\frac {1}{2}}\right){\sqrt {n}}$

où $\zeta$ désigne la fonction zêta de Riemann et $s(n)$ la partie carrée de $n$, c'est-à-dire son plus grand diviseur carré.

La borne supérieure $2^{8000}$ est donnée par Andrew Granville et Olivier Ramaré pour $n_{0}$ (1996). En conjonction avec une vérification antérieure de la conjecture d'Erdős pour $4<n<2^{774840978}$, la démonstration est complète.

