Intérêts composés
# Intérêts composés

Un capital est placé à intérêts composés lorsque les intérêts de chaque période sont incorporés au capital pour l'augmenter progressivement et porter intérêts à leur tour. C'est une notion antagoniste à celle d'intérêts simples, où les intérêts ne sont pas réinvestis pour devenir à leur tour porteurs d'intérêts.

## Calcul d'intérêts composés

Pour calculer des intérêts composés annuellement, il faut utiliser une suite géométrique, dont la formule est :

    $V_{f}=V_{i}\cdot (1+\rho )^{a}\,$,

où $V_{f}$ est la valeur finale, $V_{i}$ la valeur initiale, $\rho$ le taux d'intérêt sur une période, et $a$ le nombre de périodes (d'années, semestres, trimestres, etc.). L'habitude est d'exprimer le taux d'intérêt en pourcentage, ainsi on écrira 2 % pour $\rho =0,02$.

Par exemple, en plaçant 10 unités d'une devise quelconque à un taux de 2 % par an pendant 5 ans, on obtient :

$10\cdot (1+2/100)^{5}\approx 11,04$ unités.

Après 10 ans, le total sera de 12,19 unités dans cette devise ; après un siècle, de 72,45 unités.

Cette somme $V_{f}$ est aussi celle qui est due par un emprunteur au bout de $a$ années, au taux d'intérêt $\rho$ (s'il n'a rien remboursé entre-temps).

Les intérêts peuvent aussi être composés sur $n$ fractions d'une année, par exemple 12 mois, même si le taux $\rho$ reste exprimé par an. Un intérêt égal à $\rho /12$ est alors versé à la fin de chaque mois. La valeur finale au bout de $a$ années est alors donnée par

    $V_{f}=V_{i}\cdot (1+\rho /n)^{na}\,$.

On peut aussi composer l'intérêt sur des trimestres ou des jours. Pour comparer les différentes périodes de composition, on calcule le taux effectif sur un an :

    ${\frac {V_{f}}{V_{i}}}-1=\left(1+\rho /n\right)^{n}-1$.

Pour un même taux $\rho$, plus la période de composition est courte, plus le taux effectif est grand.

Le taux effectif converge vers une valeur définie lorsqu'on découpe l'année en une infinité de périodes de composition infiniment courtes, c'est-à-dire lorsque $n$ tend vers l'infini. En effet, on peut démontrer que :

    $\lim _{n\to +\infty }(1+\rho /n)^{n}=e^{\rho }$.

Cette formule est utilisée pour calculer ce qu'on appelle des intérêts composés continûment.

La règle dite des 72, quant à elle, est une méthode pour estimer le temps de doublement d'une valeur initiale. Si un capital est placé avec un taux d'intérêt de t% par période, il faudra 72/t périodes pour le doubler.

## Valeur finale

    $V_{f}=V_{i}(1+\rho )^{a}\,$

Cette formule donne la valeur future $V_{f}$ d'un investissement $V_{i}$ avec un accroissement à un taux d'intérêt de $\rho$ pendant $a$ périodes.

## Valeur initiale

    $V_{i}={\frac {V_{f}}{\left(1+\rho \right)^{a}}}\,$

Cette formule donne la valeur initiale $V_{i}$ (ou valeur présente) nécessaire pour obtenir une certaine valeur future $V_{f}$ si le taux d'intérêt de $\rho$ est capitalisé pendant $a$ périodes.

## Taux d'intérêt

    $\rho =\left({\frac {V_{f}}{V_{i}}}\right)^{\left({\frac {1}{a}}\right)}-1$

Cette formule donne le taux d'intérêt composé $\rho$ obtenu si un investissement initial $V_{i}$ donne une valeur finale $V_{f}$ après $a$ périodes d'accroissement.

## Périodes nécessaires

    $a={\frac {\ln {\frac {V_{f}}{V_{i}}}}{\ln {(1+{\rho })}}}$

Cette formule donne le nombre de périodes $a$ nécessaires pour obtenir une valeur finale $V_{f}$ à partir d'un investissement initial $V_{i}$ si le taux d'intérêt est de $\rho$ ($\ln$ désigne la fonction logarithme népérien).

