Indice de Calinski-Harabasz
# Indice de Calinski-Harabasz

L'indice de Calinski-Harabasz est une mesure de qualité d'une partition d'un ensemble de données en classification automatique

C'est le rapport entre la variance inter-groupes et la variance intra-groupe.

Il se rapproche beaucoup du critère utilisé pour stopper certains algorithmes de partitionnement, comme les K-means. De tels algorithmes vont donc maximiser ce score, par construction.

Une alternative à l'indice de Calinski-Harabasz est l'indice de Dunn ou encore l'indice de Davies-Bouldin.

## Expression

### Position du problème

Si l'on note X{\textstyle X} la matrice des données, dont chaque ligne correspond à un individu (ou observation) et chaque colonne correspond à un prédicteur (ou variable). On note N{\textstyle N} le nombre d'individus et p{\textstyle p} le nombre de prédicteurs :

$X=\left({\begin{array}{ccc}x_{1}^{1}&...&x_{p}^{1}\\\vdots &&\vdots \\x_{1}^{N}&...&x_{p}^{N}\\\end{array}}\right)$

Notons $d(x^i,$ $x^{i′}){\textstyle$ d(x^{i}, x^{i'})} la dissimilarité entre les individus $x^{i}=(x_{1}^{i},...,x_{p}^{i})$ et $x^{i'}=(x_{1}^{i'},...,x_{p}^{i'})$ (respectivement, ligne $i$ et $i'$de $X$). Notons $K\geqslant 2$ le nombre de groupes que l'on souhaite former.

Un algorithme de partitionnement donnera une fonction d'attribution $C:[\![1,N]\!]\longrightarrow [\![1,K]\!]$ dont on cherche à évaluer la pertinence par un score. L'ensemble des points appartenant à un groupe k{\textstyle k} est alors donné par $I_k={i∈[[1,$ N]]/ C(i)=k}{\textstyle I_{k}=\{i\in [\![1, N]\!]/\ C(i)=k\}}.

### Expression de l'indice de Calinski-Harabasz

Notons $μ_k=1/|I_k|$ $∑_{i∈Ik}x^i{\textstyle$ \mu _{k}={\frac {1}{\vert I_{k}\vert }}\sum _{i\in I_{k}}x^{i}} le point moyen du groupe k{\textstyle k} et μ=1/N $∑_{i=1}^Nx^i{\textstyle$ \mu ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x^{i}} le point moyen de tout le nuage. L'indice (ou score) de Calinski-Harabasz, $S_{CH}{\textstyle$ S_{CH}}, se base sur la variance inter-groupes $B=∑_{k=1}^K|I_k|‖μ_k−μ‖^2{\textstyle$ B=\sum _{k=1}^{K}\vert I_{k}\vert \Vert \mu _{k}-\mu \Vert ^{2}} et les variances intra-groupes $W_k=∑_{i∈Ik}‖x^i−μ_k‖^2{\textstyle$ W_{k}=\sum _{i\in I_{k}}\Vert x^{i}-\mu _{k}\Vert ^{2}}.

Il aura pour expression :

$S_{CH}={\frac {\displaystyle (N-K)B}{\displaystyle (K-1)\sum _{k=1}^{K}W_{k}}}$

## Propriétés

### Domaine de variation

L'indice de Calinski-Harabasz varie entre 0 (pire classification) et +∞{\textstyle +\infty } (meilleure classification). Il dépend fortement de N{\textstyle N} (le nombre de points dans l'échantillon). Toutes choses égales par ailleurs, il croit linéairement avec N{\textstyle N}. Par conséquent, son ordre de grandeur peut varier considérablement d'un jeu de données à l'autre.

