Régularité par morceaux
# Régularité par morceaux

En mathématiques, les énoncés de certaines propriétés d'analyse et résultats de convergence se réfèrent à des fonctions vérifiant des hypothèses telles que continues par morceaux, dérivables par morceaux, etc.

Ces fonctions sont regroupées par classes de régularité qui sont autant d'espaces vectoriels emboîtés, appelés « classe $C^k$ par morceaux » et notés $C^k$ $_I.$

## Sur la droite réelle

Une fonction f est continue par morceaux sur le segment [a, b] s’il existe une subdivision σ : a = $a_0$ < … < $a_n$ = b telle que les restrictions de f à chaque intervalle ouvert $]a_i,$ $a_{i+1}[$ admettent un prolongement continu à l'intervalle fermé $[a_i,$ $a_{i+1}].$

Toute fonction continue sur un segment étant réglée, les fonctions continues par morceaux sur [a, b] le sont également.

Concrètement une telle fonction f est continue sur $]a_i,a_{i+1}[$ et admet une limite finie à droite et à gauche en chaque $a_i'$ (lesquelles peuvent être distinctes et distinctes de la valeur de f au point $a_i$ lui-même).

On définit de même les fonctions de classe $C^k$ par morceaux, linéaires par morceaux, etc. On notera qu'une fonction de classe $C^1$ par morceaux, par exemple, n'est pas nécessairement continue en $a_i',$ mais qu'elle et sa dérivée admettent des limites finies à droite et à gauche en $a_i.$

Cette notion s'étend naturellement pour les fonctions définies sur un intervalle quelconque : une fonction est dite continue (ou autre propriété) par morceaux sur l'intervalle I quand elle est continue (ou autre) par morceaux sur tout segment de I.

## En dimension supérieure

Soient Ω un ouvert borné de $ℝ^n$ et Ω son adhérence.

Pour simplifier, supposons que Ω est un domaine « régulier » (par exemple et pour fixer les idées, que le théorème de la divergence est valable pour toute fonction suffisamment lisse sur $ℝ^n).$

Alors :

* une fonction f de Ω dans ℝ est continue par morceaux — noté $C^0$ $_I(Ω)$ — s'il existe un ensemble fini d'ouverts disjoints $Ω_i$ tels que ${\overline {\Omega }}=\cup _{i}{\overline {\Omega _{i}}}$ et que la restriction de f à chacun des $Ω_i$ admette un prolongement continu à $ℝ^n$ ;
* une fonction f de Ω dans ℝ est de classe $C^k$ par morceaux — noté $C^k$ $_I(Ω)$ — si elle est de classe $C^{k–1}$ et s'il existe un ensemble fini d'ouverts disjoints $Ω_i$ tels que ${\overline {\Omega }}=\cup _{i}{\overline {\Omega _{i}}}$ et que la restriction de f à chacun des $Ω_i$ soit de classe $C^k(Ω_i).$

## Domaines d'application

La régularité par morceaux est utilisée pour démontrer les résultats importants de certaines théories simplifiées de l'intégration, et leurs applications, comme l'analyse par séries de Fourier.

