Induction électrique
# Induction électrique

En électromagnétisme, l’induction électrique, notée ${\vec {D}}$, représente en quelque sorte la densité de charge par unité d'aire (en $C/m^2)$ ressentie en un certain point : par exemple, une sphère de rayon $r$ entourant une charge $Q$ subit à cause d'elle en chacun de ses points un certain champ électrique, identique à celui qu'engendrerait la même charge uniformément répartie sur l'aire $A$ de la sphère. La densité de charge surfacique ${\frac {Q}{A}}={\frac {Q}{4\pi r^{2}}}$ ainsi obtenue est alors l'intensité de l'induction électrique. Également nommée champ de déplacement électrique ou parfois improprement densité de flux électrique, cette dernière est en outre orientée perpendiculairement à la surface, dans le sens du champ électrique.

L'induction électrique, ainsi matérialisée par un vecteur en tout point de l'espace, forme donc un champ vectoriel dépendant de la position ${\vec {r}}$ et du temps $t$, et qu'on peut alors noter ${\vec {D}}({\vec {r}},t)$. Une possibilité alternative est la dépendance de l'induction électrique, alors notée ${\vec {D}}({\vec {r}},\omega )$, à la position dans l'espace ${\vec {r}}$ et à la pulsation $\omega$, qui apparaît dans les équations de Maxwell des milieux.

## Dimension et unité

L'induction électrique est une grandeur $vectorielle^,.$ De dimension $L^{–2}·T·I,$ elle est homogène à une excitation électrique et une polarisation électrique. Dans le Système international (SI) d'unités, elle s'exprime en coulombs par mètre carré $(C/m^2$ ou C $m^{−2})^,.$

Ce choix d'unités résulte du théorème de Gauss. Voir aussi Induction électrique dans un condensateur, infra.

## Relation avec le champ électromagnétique

En général, on considère les milieux dits linéaires, ${\vec {D}}({\vec {r}},\omega )$ est alors relié au champ électrique ${\vec {E}}({\vec {r}},\omega )$ par la relation

    ${\vec {D}}({\vec {r}},\omega )\ =\ \varepsilon ({\vec {r}},\omega )\times {\vec {E}}({\vec {r}},\omega )$

où :

* $\varepsilon ({\vec {r}},\omega )$ représente la permittivité absolue du milieu, qui est une matrice 3x3 dans les milieux anisotropes, et une fonction dans les milieux isotropes. Cette relation n'est pas universelle : échappent à cette relation, entre autres, les milieux électriquement non linéaires (${\vec {D}}({\vec {r}},\omega )$ dépend alors aussi des termes quadratiques de ${\vec {E}}({\vec {r}},\omega )$),

${\vec {D}}={\frac {\vec {E}}{\|{\vec {E}}\|}}\left(\varepsilon ^{(1)}\cdot \|{\vec {E}}\|+\varepsilon ^{(2)}\cdot \|{\vec {E}}\|^{2}+\varepsilon ^{(3)}\cdot \|{\vec {E}}\|^{3}+\cdots \right)$

et les milieux dits « chiraux » (${\vec {D}}({\vec {r}},\omega )$ dépend alors linéairement de ${\vec {E}}({\vec {r}},\omega )$ mais aussi du champ magnétique ${\vec {H}}({\vec {r}},\omega )$).

## Induction électrique dans un condensateur

Pour un condensateur, la densité de charge sur les plaques est égale à la valeur du champ ${\vec {D}}$ entre les plaques. Ceci résulte directement du théorème de Gauss, si on intègre sur une boîte rectangulaire chevauchant la surface d'une des plaques du condensateur :

    $\oint _{S}{\vec {D}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=Q$

où $\mathrm {d} {\vec {S}}$ est l'élément d'aire orientée de la boîte et $Q$ la charge accumulée par le condensateur. La partie de la boîte à l'intérieur de la plaque a un champ nul (donc la partie de l'intégrale s'y reportant est nulle), et sur les bords de la boîte, $\mathrm {d} {\vec {S}}$ est perpendiculaire au champ (donc la partie de l'intégrale s'y reportant est aussi nulle). Finalement, il reste :

    $|{\vec {D}}|={\frac {Q}{S}}$,

ce qui représente la densité de charge de la plaque.

