Espace réflexif
# Espace réflexif

En analyse fonctionnelle, un espace vectoriel normé est dit réflexif si l'injection naturelle dans son bidual topologique est surjective. Les espaces réflexifs possèdent d'intéressantes propriétés géométriques.

## Définition

Soit $X$ un espace vectoriel normé, sur $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$. On note $X'$ son dual topologique, c'est-à-dire l'espace (de Banach) des formes linéaires continues de $X$ dans le corps de base. On peut alors former le bidual topologique $X''$, qui est le dual topologique de $X'$. Il existe une application linéaire continue naturelle

    $J:X\to X''$

définie par

    $J(x)(\phi )=\phi (x)$, pour tout $x$ dans $X$ et $\phi$ dans $X'$ .

Ainsi, $J$ envoie $x$ vers la forme linéaire continue sur $X$ donnée par l'évaluation en $x$. Comme conséquence du théorème de Hahn-Banach, $J$ préserve la norme (soit encore $\|J(x)\|=\|x\|$) et est donc injective. L'espace $X$ est alors dit réflexif si $J$ est bijective.

Remarques.

* Cette définition implique que tout espace normé réflexif est de Banach, puisque $X$ est isomorphe à $X''$.
* L'espace de James (de) est non réflexif, bien qu'isométriquement isomorphe à son bidual topologique (par un autre morphisme que $J$).

## Exemples

Tout espace vectoriel normé de dimension finie n est réflexif. En effet son dual (qui coïncide avec le dual topologique puisque toute application linéaire est continue) a pour dimension n, qui est donc aussi la dimension du bidual, si bien que l'injection linéaire J est alors bijective.

Tout espace de Hilbert est réflexif, de même que les espaces $L^p$ pour 1 < p < ∞. De manière générale : tout espace de Banach uniformément convexe est réflexif d'après le théorème de Milman-Pettis.

Les espaces de suites $c_0,$ $ℓ^1$ et $ℓ^∞$ ne sont pas réflexifs. L'espace C([0, 1]) non plus.

Les espaces de Montel sont réflexifs, pour une définition de la réflexivité généralisant celle présentée ici seulement dans le cas normé.

## Propriétés

Si Y est un sous-espace vectoriel fermé d'un espace réflexif X alors Y et X/Y sont réflexifs.

Pour un espace normé X, les propriétés suivantes sont équivalentes :

* X est réflexif ;
* X est complet et son dual est réflexif ;
* la boule unité fermée de X est faiblement compacte ;
* toute suite bornée de X admet une sous-suite faiblement convergente ;
* X est complet et toute forme linéaire continue sur X atteint sa norme en un point de la boule unité de X ;
* X est complet et tout convexe fermé non vide C de X est « proximinal », c'est-à-dire que pour tout x dans X, il existe dans C au moins un c (non unique en général) tel que ║x – c║ soit égal à la distance de x à C.

Un espace réflexif peut être muni d'une norme équivalente qui en fait un espace strictement convexe, mais il existe des espaces réflexifs séparables qui ne sont pas super-réflexifs, c'est-à-dire qui ne sont uniformément convexes pour aucune norme équivalente.

Un espace réflexif est séparable si et seulement si son dual est séparable.

