Recollement (topologie)
# Recollement (topologie)

En mathématiques, le recollement est la construction d'un espace topologique obtenu en « attachant un espace à un autre le long d'une application ». Plus $précisément^,,$ on attache un espace Y à un espace X, le long d'une application f à valeurs dans X, continue sur un sous-espace A de Y, en définissant l'espace X $∪_f$ Y comme le quotient de la somme topologique (en) X⊔Y par la relation d'équivalence qui identifie chaque élément de A à son image par f. C'est un cas particulier de somme amalgamée.

## Propriétés

L'ensemble quotient (sans sa topologie) est canoniquement en bijection avec la réunion disjointe X⊔(Y\A).

Si A est fermé dans Y, le plongement X → X $∪_f$ Y est une application fermée et le plongement(Y\A) → X $∪_f$ Y est une application ouverte.

Si A est ouvert (resp. fermé) et f est ouverte (resp. fermée), l'application X⊔Y → X $∪_f$ Y de passage au quotient est ouverte (resp. fermée).

## Exemples

* Le recollement de « cellules » est l'opération de base dans la définition inductive des CW-complexes. L'espace Y est dans ce cas une n-boule fermée et le sous-espace A est son bord, la (n – 1)-sphère.
* Le recollement est aussi utilisé pour définir des sommes connexes de variétés. Ici, on retire d'abord à chacune des deux variétés une boule ouverte, avant d'attacher entre eux les bords sphériques de ces deux boules.
* Le wedge de deux espaces pointés est le recollement des deux espaces le long de l'application qui envoie le point base de l'un sur celui de l'autre.
* Le quotient Y/A correspond au cas particulier de recollement dans lequel X est réduit à un point.
* La « droite réelle avec un point double » est le recollement de deux copies de ℝ le long de l'ouvert ℝ*.

## Description catégorique

Le recollement est un exemple de somme amalgamée dans la catégorie des espaces topologiques. En effet, X $∪_f$ Y est la solution du problème universel correspondant au diagramme commutatif suivant, où i est l'injection canonique :

