Espace de suites ℓp
# Espace de suites ℓp

En mathématiques, l'espace $ℓ^p$ est un exemple d'espace vectoriel, constitué de suites à valeurs réelles ou complexes et qui possède, pour 1 ≤ p ≤ ∞, une structure d'espace de Banach.

## Motivation

Considérons l'espace vectoriel réel $ℝ^n,$ c'est-à-dire l'espace des n-uplets de nombres réels.

La norme euclidienne d'un vecteur $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ est donnée par :

    $\|x\|=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}\right)^{1/2}$.

Mais pour tout nombre réel p ≥ 1, on peut définir une autre norme sur $ℝ^n,$ appelée la p-norme, en posant :

    $\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}$

pour tout vecteur $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$.

Pour tout p ≥ 1, $ℝ^n$ muni de la p-norme est donc un espace vectoriel normé. Comme il est de dimension finie, il est complet pour cette norme.

## Espace $ℓ^p$

La p-norme peut être étendue aux vecteurs ayant une infinité dénombrable de composantes, ce qui permet de définir l'espace $ℓ^p$ (noté aussi $ℓ^p(ℕ)$ car on peut définir de même $ℓ^p(X)$ pour n'importe quel ensemble X fini ou infini, le cas où X a n éléments correspondant au paragraphe précédent).

Plus précisément, $ℓ^p$ sera un sous-espace vectoriel de l'espace des suites infinies de nombres réels ou complexes, sur lequel la somme est définie par :

    $(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1},\dots )+(y_{0},y_{1},\dots ,y_{n},y_{n+1},\dots )=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1},\dots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\dots )$

et la multiplication par un scalaire par :

    $\lambda (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1},\dots )=(\lambda x_{0},\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\dots ).$

On définit la p-norme d'une suite $x=(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1},\dots )$ :

    $\|x\|_{p}=\left(|x_{0}|^{p}+|x_{1}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\dots \right)^{1/p}\in [0,+\infty ].$

La série de droite n'est pas toujours convergente : par exemple, la suite (1, 1, 1, …) a une p-norme infinie pour n'importe quel p < ∞.

L'espace $ℓ^p$ est défini comme l'ensemble des suites infinies de nombres réels ou complexes dont la p-norme est finie.

On définit aussi la « norme ∞ » comme :

    $\|x\|_{\infty }=\sup(|x_{0}|,|x_{1}|,\dots ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\dots )$

et l'espace vectoriel correspondant $ℓ^∞$ est l'espace des suites bornées.

## Propriétés

* Pour tout ensemble X, l'espace $ℓ^∞(X)$ des fonctions bornées sur X (à valeurs réelles ou complexes) est de Banach, c'est-à-dire que toute suite uniformément de Cauchy de fonctions bornées sur X converge uniformément (vers une fonction bornée). De même, pour 1 ≤ p ≤ ∞, $ℓ^p(ℕ)$ est de Banach. (Ce sont deux cas particuliers du théorème de Riesz-Fischer, qui concerne tous les espaces $L^p.)$
* Dans $ℓ^∞,$ un sous-espace remarquable est l'espace c des suites convergentes. Il est fermé (donc complet), puisque toute limite uniforme de suites convergentes est convergente ; ou encore : c est complet (donc fermé dans $ℓ^∞),$ puisqu'isométriquement isomorphe à l'espace (complet) des applications continues (donc) bornées sur le compact [0, ω] = ℕ∪{+∞}, compactifié d'Alexandrov de ℕ discret.
* Pour 1 < p < ∞, l'espace de suites $ℓ^p$ est réflexif. Son dual est l'espace $ℓ^q,$ avec $^1⁄_p+^1⁄_q$ = 1 ;
* Dans $ℓ^∞,$ le sous-espace $c_0$ des suites de limite nulle n'est pas réflexif : son dual est $ℓ^1$ et le dual de $ℓ^1$ est $ℓ^∞.$ Par conséquent, $ℓ^1$ et $ℓ^∞$ ne sont pas non plus réflexifs.
* Pour tout r < ∞ et tout x ∈ $ℓ^r,$ l'application p ↦ $║x║_p$ est décroissante sur [r, +∞[. En effet, si p ≥ q ≥ r on a $|x_k|$ / $║x║_q$ ≤ 1 pour tout indice k, donc$|x_{k}|^{p}/\|x\|_{q}^{p}\leq |x_{k}|^{q}/\|x\|_{q}^{q}~;$en sommant cette inégalité sur k on en déduit $║x║_p$ ≤ $║x║_q.$ La fonction p ↦ $║x║_p$ est aussi continue sur. En particulier :$\|x\|_{\infty }=\lim _{p\to +\infty }\|x\|_{p}.$
