Espace régulier
# Espace régulier

En mathématiques, un espace régulier est un espace topologique vérifiant les deux conditions de séparation suivantes :

* $T_2$ : l'espace est séparé ;
* $T_3$ : on peut séparer un point x et un fermé ne contenant pas x par deux ouverts disjoints.

## Propriété $T_3$

Soit E un espace topologique (non nécessairement séparé). Les propositions suivantes sont équivalentes :

* E est $T_3$ ;
* on peut séparer un point x et un fermé ne contenant pas x par deux ouverts d'adhérences disjointes ;
* tout point x admet une base de voisinages fermés (autrement dit : tout ouvert contenant x contient un voisinage fermé de x) ;
* tout fermé est l'intersection de ses voisinages fermés.

La topologie grossière (sur n'importe quel ensemble) est $T_3.$

La propriété $T_3$ est (de même que $T_2)$ préservée par sous-espaces et par produits.

## Espace complètement régulier

Un espace topologique est dit complètement régulier s'il est uniformisable et séparé. Tout espace complètement régulier est régulier, car un espace X est uniformisable si et seulement si pour tout point x de X et tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe une fonction continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 en x et 1 sur F.

Par exemple, tout groupe topologique séparé est complètement régulier. Les espaces normaux et les espaces localement compacts sont complètement réguliers.

