Espace pseudo-métrique
# Espace pseudo-métrique

En mathématiques, un espace pseudo-métrique est un ensemble muni d'une pseudo-distance. C'est une généralisation de la notion d'espace métrique.

Sur un espace vectoriel, tout comme une norme induit une distance, une semi-norme induit une semi-distance. Pour cette raison, en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression « espace semi-métrique » est utilisée comme synonyme d'espace pseudo-métrique (alors qu'« espace semi-métrique » a un autre sens en topologie).

## Définition

Une pseudo-distance sur un ensemble $E$ est une fonction

    $\mathrm {d} :E\times E\to \mathbb {R} _{+}$

telle que pour tout $x,y,z\in E$,

* $\mathrm {d} \left(x,x\right)=0$ ;
* $\mathrm {d} \left(x,y\right)=\mathrm {d} \left(y,x\right)$ (symétrie) ;
* $\mathrm {d} \left(x,z\right)\leq \mathrm {d} \left(x,y\right)+\mathrm {d} \left(y,z\right)$ (inégalité triangulaire).

Autrement dit, une pseudo-distance est un écart à valeurs finies.

Un espace pseudo-métrique est un ensemble muni d'une pseudo-distance.

À la différence de ceux d'un espace métrique, les points d'un espace pseudo-métrique ne sont pas nécessairement discernables — c'est-à-dire que l'on peut avoir $\mathrm {d} (x,y)=0$ pour des points distincts $x\neq y$.

## Exemples

| Espace | Pseudo-distance | Propriétés et remarques |
| - | - | - |
| Un ensemble $X$ quelconque non vide. | $d(x,y):=0$ | Cette pseudo-distance vérifie la séparibilité si et seulement si $X$ est un singleton. |
| L'espace $\mathbb {R} ^{X}$ des fonctions à valeurs réelles définies sur $X$. | $d(f,g):=|f(x_{0})-g(x_{0})|$ où $x_{0}\in X$ est fixé. | Cette pseudo-distance vérifie la séparibilité si et seulement si $X$ est un singleton. |
| La tribu ${\mathcal {A}}$ d'un espace mesuré $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ où $\mu$ est une mesure finie. | $d(A,B):=\mu (A\Delta B)$ où $\Delta$ désigne la différence symétrique. | Cette pseudo-distance est parfois appelée la pseudo-distance de Fréchet–Nikodym–Aronszajn. |
| La tribu ${\mathcal {A}}$ d'un espace mesuré $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ où $\mu$ est une mesure finie. | $d(A,B):={\frac {\mu (A\Delta B)}{\mu (A\cup B)}}$ si $\mu (A\cup B)\neq 0$ et $d(A,B):=0$ sinon. | Cette pseudo-distance est parfois appelée la pseudo-distance de Markzewisky–Steinhaus. |

## Cas particuliers

* Si $\mathrm {d}$ est un écart sur un ensemble $E$, alors $\min(1,\mathrm {d} )$ est une pseudo-distance sur $E$.
* Si $p$ est une semi-norme sur un espace vectoriel $V$, alors $\mathrm {d} \left(x,y\right):=p\left(x-y\right)$ est une pseudo-distance sur $V$. Réciproquement, toute pseudo-distance invariante par translation et homogène provient d'une semi-norme.

## Propriétés topologiques

La topologie pseudo-métrique associée à une pseudo-distance $\mathrm {d}$ est celle induite par l'ensemble des boules ouvertes :

    $B_{r}\left(p\right)=\{x\in X\mid \mathrm {d} \left(p,x\right)<r\}$.

Un espace topologique est dit « pseudo-métrisable » s'il existe une pseudo-distance dont la topologie associée coïncide avec celle de l'espace.

Remarque : un espace est métrisable si (et seulement si) il est pseudo-métrisable et $T_0.$

## Identification métrique

En quotientant un espace pseudo-métrique par la relation d'équivalence d'annulation de la pseudo-distance, on obtient un espace métrique. Plus explicitement, on définit

    $x\sim y\iff \mathrm {d} \left(x,y\right)=0$,

et l'on obtient une distance $\mathrm {d} ^{*}$ sur $E^{*}=E/\sim ~$ en posant :

    $\mathrm {d} ^{*}\left(\left[x\right],\left[y\right]\right)=\mathrm {d} \left(x,y\right)$.

La topologie de l'espace métrique $(E^{*},\mathrm {d} ^{*})$ est la topologie quotient de celle de $(E,\mathrm {d} )$.

