Entortillement
# Entortillement

En mathématiques, l'entortillement est une caractéristique d'une courbe fermée sans point double dans l'espace $\mathbf {R} ^{3}$. On peut aussi utiliser le terme vrille. Comme son nom l'indique, ce nombre décrit à quel point la courbe est entortillée, c'est-à-dire le degré de complexité de son chemin dans l'espace.

## Formule générale

L'entortillement d'une courbe de longueur $L$ et dont les points sont repérés par $\mathbf {r} (s)$, avec $s$ variant de 0 à $L$ et $\mathbf {r} (0)=\mathbf {r} (L)$ s'obtient par la formule

$\mathrm {Ent} ={\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{L}\mathrm {d} s\;{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}(s)\cdot \int _{0}^{L}\mathrm {d} s'\;{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}(s')\times {\frac {\mathbf {r} (s')-\mathbf {r} (s)}{\|\mathbf {r} (s')-\mathbf {r} (s)\|^{3}}}.\qquad (1)$

## Cas d'une courbe aplatie

L'entortillement décrit la déformation de la courbe par rapport au cercle ou au nœud obtenu en aplatissant la courbe. Ainsi un cercle plat a pour entortillement zéro. Une courbe plate est représentée par un diagramme de lien, où à chaque croisement le brin passant dessous est coupé juste autour du brin passant dessus pour garder en mémoire les positions relatives, comme sur le dessin ci-dessous. On choisit arbitrairement une orientation, c'est-à-dire un sens de parcours du diagramme obtenu (ce choix ne change pas les résultats). À partir de cette orientation on obtient l'entortillement d'une courbe aplatie, qui est un nombre entier, à l'aide de son diagramme. L'entortillement est calculé en ajoutant, pour chaque croisement, $+1$ ou $-1$ selon la règle

| $+1$ | $-1$ |
| - | - |

Le résultat est indépendant de l'orientation choisie pour la courbe. C'est le résultat qu'on obtient en calculant la formule (1) lorsque la courbe est aplatie.

## Autre formule

La définition de l'entortillement d'un lien permet d'exprimer une formule équivalente à la formule (1). On note ${\hat {u}}$ un vecteur unitaire de $\mathbf {R} ^{3}$ et on projette la courbe parallèlement à cette direction sur un plan. On calcule alors l'entortillement directionnel $\mathrm {ent} ({\hat {u}})$ en procédant comme au paragraphe précédent avec le diagramme obtenu. L'entortillement de la courbe tridimensionnelle est la moyenne selon toutes les directions de l'espace de l'entortillement directionnel.

$\mathrm {Ent} ={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {S} ^{2}}\mathrm {ent} ({\hat {u}})\,\mathrm {d} {\hat {u}}\qquad (2)$

## Lien avec la théorie des nœuds

Ce nombre est invariant par deux des trois mouvements de Reidemeister, utilisés en théorie des nœuds : on parle de l'entortillement d'un diagramme de nœud. Le diagramme du nœud de trèfle (droit) ci-dessous a pour entortillement +3 :

L'entortillement d'un ruban, ajouté à sa torsade, est un nombre entier appelé enlacement.

