Podaire
# Podaire

La podaire d'une courbe C par rapport à un point P est le lieu géométrique des projetés orthogonaux de P sur les tangentes à la courbe C.

Inversement, la courbe C dont une courbe est la podaire s'appelle l'antipodaire (ou podaire inverse).

L'orthotomique d'une courbe C par rapport à un point P est le lieu géométrique des symétriques de P par rapport aux tangentes à la courbe C. L'orthotomique est donc l'image de la podaire par une homothétie de centre P et de rapport 2.

## Étymologie et histoire

La podaire fut étudiée par Colin Maclaurin en 1718 puis par Olry Terquem. Étymologiquement, le terme podaire provient du mot grec podos pied (pied de la perpendiculaire).

## Définition mathématique

L'équation paramétrique de la podaire d'une courbe paramétrée c(t) par rapport à un point P est donnée par :

    $t\mapsto c(t)+{\langle c'(t),P-c(t)\rangle \over |c'(t)|^{2}}c'(t)$

En partant de l'équation cartésienne de la courbe sous la forme F(x, y)=0, en fixant l'origine du repère au point P, si l'équation de la tangente en $R=(x_0,$ $y_0)$ s'écrit

    $\cos(\alpha )x+\sin(\alpha )y=p$

alors le vecteur (cos α, sin α) est parallèle au segment PX, et la longueur de PX, soit la distance entre la tangente et l'origine, vaut p. Donc X a pour coordonnées polaires (p, α), ce qui permet d'écrire une équation polaire de la podaire.

## Exemples

| courbe donnée C | point de référence P | courbe podaire |
| - | - | - |
| droite | quelconque | point |
| cercle | sur le cercle | cardioïde |
| cercle | quelconque | limaçon de Pascal |
| parabole | foyer | droite |
| parabole | sommet | cissoïde de Dioclès |
| ellipse | foyer | cercle |
| hyperbole équilatère | centre | lemniscate de Bernoulli |
| hyperbole | foyer | cercle |
| spirale logarithmique | pôle | spirale logarithmique |

## Applications

La notion de podaire peut être utilisée en mécanique du point pour l'étude des mouvements à force centrale.

