Régression polynomiale
# Régression polynomiale

* Régression polynomiale cubique (degré 3) :
* la courbe bleue est la courbe ayant servi à générer les données (on y a ajouté un bruit aléatoire) ;
* la courbe verte est le graphe du polynôme obtenu par régression ;
* l'intervalle de confiance, en rouge, a été obtenu par la méthode de Scheffé.

La régression polynomiale est une analyse statistique qui décrit la variation d'une variable aléatoire expliquée à partir d'une fonction polynomiale d'une variable aléatoire explicative. C'est un cas particulier de régression linéaire multiple, où les observations sont construites à partir des puissances d'une seule variable.

## Présentation

Si l'on appelle $(X_i,$ $Y_i)$ la i-ème réalisation du couple de variables aléatoires, on recherche le polynôme

    $P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0},$

permettant d'écrire

    $Y_{i}=P_{n}(X_{i})+\varepsilon _{i}$

le résidu $ε_i,$ ou perturbation, étant « le plus petit » dans le sens des moindres carrés.

La régression polynomiale est une régression linéaire multiple : on peut écrire la relation, pour $X_{i,p}$ = Xp i :

    $Y_{i}=a_{n}\cdot X_{i,n}+a_{n-1}\cdot X_{i,n-1}+\ldots +a_{1}\cdot X_{i,1}+a_{0}+\varepsilon _{i}.$

## Cas particuliers

La régression linéaire est une régression polynomiale de degré 1.

## Applications

Un certain nombre de lois physiques s'expriment sous la forme de polynômes. La régression polynomiale permet alors d'estimer les valeurs des paramètres de la loi.

La méthode de lissage et de dérivation de Savitzky-Golay utilise une régression polynomiale sur un intervalle glissant.

## Résolution par la méthode des moindres carrés

Considérons un jeu de données $(X_i,$ $Y_i)_{1≤i≤n}.$ On veut effectuer une régression par un polynôme de degré trois :

    $P_{3}(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.$

Le carré du résidu s'écrit :

    $\varepsilon (x,y)^{2}=\left(P_{3}(x)-y\right)^{2}$

soit

    ${\begin{aligned}\varepsilon (x,y)^{2}=\ x^{6}a^{2}+2x^{5}ab+2x^{4}ac+2x^{3}ad-2x^{3}ya\\+x^{4}b^{2}+2x^{3}bc+2x^{2}bd-2x^{2}yb\\+x^{2}c^{2}+2xcd-2xyc\\+d^{2}-2yd\\+y^{2}{\text{.}}\end{aligned}}$

On note alors:

    $\varepsilon _{i}:=\varepsilon (X_{i},Y_{i})$

Les valeurs a, b, c, d minimisent la somme des carrés des résidus e :

    $e=\sum _{i}\varepsilon _{i}^{2}$

On appelle

    $\mathrm {S} _{j}=\sum _{i}\mathrm {X} _{i}^{j}$

et

    $\mathrm {T} _{j}=\sum _{i}\mathrm {X} _{i}^{j}\mathrm {Y} _{i}$

Si le paramètre a est plus élevé ou plus bas, la valeur de e augmente. La valeur de e est donc minimale pour le a recherché, c'est-à-dire que la dérivée partielle de e par rapport à a doit être nulle :

    ${\frac {\partial e}{\partial a}}=0\Longrightarrow 2a\mathrm {S} _{6}+2b\mathrm {S} _{5}+2c\mathrm {S} _{4}+2d\mathrm {S} _{3}-2\mathrm {T} _{3}=0$.

On peut faire de même pour chaque paramètre, ce qui donne un système d'équations linéaires :

    ${\begin{pmatrix}\mathrm {S} _{6}&\mathrm {S} _{5}&\mathrm {S} _{4}&\mathrm {S} _{3}\\\mathrm {S} _{5}&\mathrm {S} _{4}&\mathrm {S} _{3}&\mathrm {S} _{2}\\\mathrm {S} _{4}&\mathrm {S} _{3}&\mathrm {S} _{2}&\mathrm {S} _{1}\\\mathrm {S} _{3}&\mathrm {S} _{2}&\mathrm {S} _{1}&\mathrm {S} _{0}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {T} _{3}\\\mathrm {T} _{2}\\\mathrm {T} _{1}\\\mathrm {T} _{0}\end{pmatrix}}{\text{.}}$
