Espace quasi-métrique
# Espace quasi-métrique

En mathématiques, la notion d'espace quasi-métrique généralise celle d'espace métrique. Les quasi-distances (ou quasi-métriques), non nécessairement symétriques, sont fréquentes dans la vie courante, mais rarement utilisées en mathématiques, et le vocabulaire est fluctuant.

## Définition

Une quasi-distance sur un ensemble $E$ est une fonction

    $\mathrm {d} :E\times E\to \mathbb {R} _{+}$

telle que pour tout $x,y,z\in E$,

* $\mathrm {d} (x,y)=0\iff x=y$ (séparation) ;
* $\mathrm {d} (x,z)\leq \mathrm {d} (x,y)+\mathrm {d} (y,z)$ (inégalité triangulaire) ;

Un espace quasi-métrique est un couple $\left(E,\mathrm {d} \right)$ où $E$ est un ensemble et $\mathrm {d}$ est une quasi-distance sur $E$.

Remarques :

* Une quasi-distance symétrique est une distance.
* Toute quasi-distance $\mathrm {d}$ induit une distance $\mathrm {d} '$ en posant :

    $\mathrm {d} '\left(x,y\right)={\frac {\mathrm {d} \left(x,y\right)+\mathrm {d} \left(y,x\right)}{2}}$.

## Exemple

Considérons un système de routes, dont certaines sont éventuellement à sens unique. Le temps nécessaire pour aller d'un endroit à un autre en passant par la route donne une quasi-distance.

