Empilement de carrés dans un carré
# Empilement de carrés dans un carré

L'empilement de carrés dans un carré est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des carrés unités (côté 1) identiques de nombre n dans le carré le plus petit possible de côté a. Si a est un entier, la réponse est $a^2.$

La plus petite valeur de a qui permet d'empiler des carrés de n unités est connue lorsque n est un carré parfait (auquel cas il est √n), ainsi que pour n = 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 , 14, 15, 24 et 35. Le tableau ci-dessous indique la valeur optimale de a pour n ≤ $10^,.$

| Nombre de carrés unités n | Longueur d'un côté du carré extérieur | Démonstration |
| - | - | - |
| 1 | 1 | Immédiat |
| 2 | 2 | Frits Göbel - 1979 |
| 3 | 2 | Frits Göbel - 1979 |
| 4 | 2 | Immédiat |
| 5 | 2 + 1/√2 ≈ 2,707 | Frits Göbel - 1979 |
| 6 | 3 | Michael Kearney et Peter Shiu - 2002 |
| 7 | 3 | Erich Friedman - 1999 |
| 8 | 3 | Erich Friedman - 1999 |
| 9 | 3 | Immédiat |
| 10 | 3 + 1/√2 ≈ 3,707 | Walter Stromquist -1979 |

D'autres résultats qui ne permettent pas d'établir des empilements optimaux exacts sont connus. Par exemple :

* S'il est possible d'emballer $n^2$ − 2 carrés unitaires dans un carré du côté a, alors a ≥ n.
* L'approche naïve dans laquelle tous les carrés sont parallèles aux axes de coordonnées et sont placés en contact bord à bord laisse un espace perdu de moins de a + 1 dans un carré du côté a.
* L'espace gaspillé d'une solution optimale est asymptotiquement $o(a^{7/11})$ ((ici écrit en petite notation)).
* Toutes les solutions doivent gaspiller de l'espace au moins $Ω(a^{1/2})$ pour certaines valeurs de a
* 11 carrés unitaires ne peuvent pas être emballés dans un carré de côté inférieur à $2+2{\sqrt {4/5}}\approx 3,789$. En revanche, l'empilement le plus serré connu de 11 carrés se trouve à l'intérieur d'un carré de longueur approximative de 3,8772.
