Factorisation aurifeuillienne
# Factorisation aurifeuillienne

En théorie des nombres, une factorisation aurifeuillienne, nommée d'après Léon-François-Antoine Aurifeuille, est un cas particulier de factorisation algébrique d'entiers provenant d'une factorisation (accidentelle) d'un polynôme cyclotomique.

## Définition

Les polynômes cyclotomiques eux-mêmes sont irréductibles (dans ${\mathbb {Q} }[X]$), mais il peut néanmoins arriver qu'on dispose de factorisations systématiques de leurs valeurs sur certains entiers. On appelle factorisation aurifeuillienne du polynôme cyclotomique P une formule de la forme $P(b^{cn+d})=Q_{n}(b)R_{n}(b)$ (où b est un entier fixé, la base, et Q et R sont des polynômes non constants), valable pour tout n. Une telle factorisation provient en général de ce que le polynôme $b^{d}X^{n}-1$ possède des facteurs autres que ceux donnés par les polynômes cyclotomiques (en 2004, Andrew Granville a démontré qu'avec une définition convenablement précisée, il n'en existait pas d'autres). Les exemples qui suivent illustrent ce phénomène.

## Exemples

* Les nombres de la forme $2^{4k+2}+1$ peuvent s'écrire :

       $2^{4k+2}+1=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1)$.
* De même, puisque $\Phi _{3}(-X)=X^{2}-X+1$, on a $\Phi _{3}(-3x^{2})=9x^{4}-3x^{2}+1=(3x^{2}+1)^{2}-9x^{2}$ ; prenant b=x=3, on en déduit la factorisation aurifeuillienne

       $3^{6k+3}+1=(3^{2k+1}+1)(3^{2k+1}-3^{k+1}+1)(3^{2k+1}+3^{k+1}+1)$.
* Les nombres de la forme $b^{n}-1$ ou $\Phi _{n}(b)$, avec $b=s^{2}\cdot t$ et $t$ sans facteur carré ont une factorisation aurifeuillienne si et seulement si l'une des deux conditions suivantes est remplie :
   * $t\equiv 1{\pmod {4}}$ et $n\equiv t{\pmod {2t}}$
   * $t\equiv 2,3{\pmod {4}}$ et $n\equiv 2t{\pmod {4t}}$.
* Les formules suivantes donnent les facteurs aurifeuilliens de $b^n$ ± 1 obtenus par le projet Cunningham pour les bases b ≤ 24 (qui ne sont pas des puissances d'autres bases) comme produits de trois facteurs F, L et M, avec L = A - B et M = A + B : nombre = F * (A - B) * (A + B) = F * L * M

    b Nombre F A B 2 $2^{4k+2}$ + 1 1 $2^{2k+1}$ + 1 $2^{k+1}$ 3 $3^{6k+3}$ + 1 $3^{2k+1}$ + 1 $3^{2k+1}$ + 1 $3^{k+1}$ 5 $5^{10k+5}$ - 1 $5^{2k+1}$ - 1 $5^{4k+2}$ + $3(5^{2k+1})$ + 1 $5^{3k+2}$ + $5^{k+1}$ 6 $6^{12k+6}$ + 1 $6^{4k+2}$ + 1 $6^{4k+2}$ + $3(6^{2k+1})$ + 1 $6^{3k+2}$ + $6^{k+1}$ 7 $7^{14k+7}$ + 1 $7^{2k+1}$ + 1 $7^{6k+3}$ + $3(7^{4k+2})$ + $3(7^{2k+1})$ + 1 $7^{5k+3}$ + $7^{3k+2}$ + $7^{k+1}$ 10 $10^{20k+10}$ + 1 $10^{4k+2}$ + 1 $10^{8k+4}$ + $5(10^{6k+3})$ + $7(10^{4k+2})$ + $5(10^{2k+1})$ + 1 $10^{7k+4}$ + $2(10^{5k+3})$ + $2(10^{3k+2})$ + $10^{k+1}$ 11 $11^{22k+11}$ + 1 $11^{2k+1}$ + 1 $11^{10k+5}$ + $5(11^{8k+4})$ - $11^{6k+3}$ - $11^{4k+2}$ + $5(11^{2k+1})$ + 1 $11^{9k+5}$ + $11^{7k+4}$ - $11^{5k+3}$ + $11^{3k+2}$ + $11^{k+1}$ 12 $12^{6k+3}$ + 1 $12^{2k+1}$ + 1 $12^{2k+1}$ + 1 $6(12^k)$ 13 $13^{26k+13}$ - 1 $13^{2k+1}$ - 1 $13^{12k+6}$ + $7(13^{10k+5})$ + $15(13^{8k+4})$ + $19(13^{6k+3})$ + $15(13^{4k+2})$ + $7(13^{2k+1})$ + 1 $13^{11k+6}$ + $3(13^{9k+5})$ + $5(13^{7k+4})$ + $5(13^{5k+3})$ + $3(13^{3k+2})$ + $13^{k+1}$ 14 $14^{28k+14}$ + 1 $14^{4k+2}$ + 1 $14^{12k+6}$ + $7(14^{10k+5})$ + $3(14^{8k+4})$ - $7(14^{6k+3})$ + $3(14^{4k+2})$ + $7(14^{2k+1})$ + 1 $14^{11k+6}$ + $2(14^{9k+5})$ - $14^{7k+4}$ - $14^{5k+3}$ + $2(14^{3k+2})$ + $14^{k+1}$ 15 $15^{30k+15}$ + 1 $15^{14k+7}$ - $15^{12k+6}$ + $15^{10k+5}$ + $15^{4k+2}$ - $15^{2k+1}$ + 1 $15^{8k+4}$ + $8(15^{6k+3})$ + $13(15^{4k+2})$ + $8(15^{2k+1})$ + 1 $15^{7k+4}$ + $3(15^{5k+3})$ + $3(15^{3k+2})$ + $15^{k+1}$ 17 $17^{34k+17}$ - 1 $17^{2k+1}$ - 1 $17^{16k+8}$ + $9(17^{14k+7})$ + $11(17^{12k+6})$ - $5(17^{10k+5})$ - $15(17^{8k+4})$ - $5(17^{6k+3})$ + $11(17^{4k+2})$ + $9(17^{2k+1})$ + 1 $17^{15k+8}$ + $3(17^{13k+7})$ + $17^{11k+6}$ - $3(17^{9k+5})$ - $3(17^{7k+4})$ + $17^{5k+3}$ + $3(17^{3k+2})$ + $17^{k+1}$ 18 $18^{4k+2}$ + 1 1 $18^{2k+1}$ + 1 $6(18^k)$ 19 $19^{38k+19}$ + 1 $19^{2k+1}$ + 1 $19^{18k+9}$ + $9(19^{16k+8})$ + $17(19^{14k+7})$ + $27(19^{12k+6})$ + $31(19^{10k+5})$ + $31(19^{8k+4})$ + $27(19^{6k+3})$ + $17(19^{4k+2})$ + $9(19^{2k+1})$ + 1 $19^{17k+9}$ + $3(19^{15k+8})$ + $5(19^{13k+7})$ + $7(19^{11k+6})$ + $7(19^{9k+5})$ + $7(19^{7k+4})$ + $5(19^{5k+3})$ + $3(19^{3k+2})$ + $19^{k+1}$ 20 $20^{10k+5}$ - 1 $20^{2k+1}$ - 1 $20^{4k+2}$ + $3(20^{2k+1})$ + 1 $10(20^{3k+1})$ + $10(20^k)$ 21 $21^{42k+21}$ - 1 $21^{18k+9}$ + $21^{16k+8}$ + $21^{14k+7}$ - $21^{4k+2}$ - $21^{2k+1}$ - 1 $21^{12k+6}$ + $10(21^{10k+5})$ + $13(21^{8k+4})$ + $7(21^{6k+3})$ + $13(21^{4k+2})$ + $10(21^{2k+1})$ + 1 $21^{11k+6}$ + $3(21^{9k+5})$ + $2(21^{7k+4})$ + $2(21^{5k+3})$ + $3(21^{3k+2})$ + $21^{k+1}$ 22 $22^{44k+22}$ + 1 $22^{4k+2}$ + 1 $22^{20k+10}$ + $11(22^{18k+9})$ + $27(22^{16k+8})$ + $33(22^{14k+7})$ + $21(22^{12k+6})$ + $11(22^{10k+5})$ + $21(22^{8k+4})$ + $33(22^{6k+3})$ + $27(22^{4k+2})$ + $11(22^{2k+1})$ + 1 $22^{19k+10}$ + $4(22^{17k+9})$ + $7(22^{15k+8})$ + $6(22^{13k+7})$ + $3(22^{11k+6})$ + $3(22^{9k+5})$ + $6(22^{7k+4})$ + $7(22^{5k+3})$ + $4(22^{3k+2})$ + $22^{k+1}$ 23 $23^{46k+23}$ + 1 $23^{2k+1}$ + 1 $23^{22k+11}$ + $11(23^{20k+10})$ + $9(23^{18k+9})$ - $19(23^{16k+8})$ - $15(23^{14k+7})$ + $25(23^{12k+6})$ + $25(23^{10k+5})$ - $15(23^{8k+4})$ - $19(23^{6k+3})$ + $9(23^{4k+2})$ + $11(23^{2k+1})$ + 1 $23^{21k+11}$ + $3(23^{19k+10})$ - $23^{17k+9}$ - $5(23^{15k+8})$ + $23^{13k+7}$ + $7(23^{11k+6})$ + $23^{9k+5}$ - $5(23^{7k+4})$ - $23^{5k+3}$ + $3(23^{3k+2})$ + $23^{k+1}$ 24 $24^{12k+6}$ + 1 $24^{4k+2}$ + 1 $24^{4k+2}$ + $3(24^{2k+1})$ + 1 $12(24^{3k+1})$ + $12(24^k)$
* La factorisation suivante des nombres de Lucas $L_{10k+5}$ peut aussi être considérée comme aurifeuillienne :

       $L_{10k+5}=L_{2k+1}\cdot (5{F_{2k+1}}^{2}-5F_{2k+1}+1)\cdot (5{F_{2k+1}}^{2}+5F_{2k+1}+1)$
    où $L_{n}$ est le $n$-ème nombre de Lucas, et $F_{n}$ est le $n$-ème nombre de Fibonacci.

## Historique

En 1871, Aurifeuille découvrit la factorisation de $2^{4k+2}+1$ pour k = 14 $^,$

    $2^{58}+1=(2^{29}+2^{15}+1)(2^{29}-2^{15}+1)=536838145\cdot 536903681.\,\!$

Le second facteur est premier, et l'autre vaut $5\times 107367629,$ ce dernier nombre étant premier. Cette factorisation (qui avait échappé à Fortuné Landry) est un cas particulier de l'identité de Sophie Germain $4x^{4}+y^{4}=(2x^{2}+2xy+y^{2})(2x^{2}-2xy+y^{2})$, mais en 1878, Édouard Lucas signala que Aurifeuille avait obtenu des factorisations analogues pour tous les b premiers

