Espace semi-métrique
# Espace semi-métrique

En mathématiques, la notion d'espace semi-métrique est une généralisation de celle d'espace métrique dans laquelle on n'impose pas l'inégalité triangulaire. Dans les traductions de textes russes, le terme « semi-métrique » est parfois remplacé par « symétrique ».

En analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression « espace semi-métrique » est utilisée comme synonyme d'espace pseudo-métrique, parce que toute semi-norme induit une pseudo-distance (i.e. un écart à valeurs finies).

## Définition

Une semi-distance sur un ensemble $E$ est une fonction

    $\mathrm {d} :E\times E\to \mathbb {R} _{+}$

telle que pour tout $x,y,z\in E$,

* $\mathrm {d} \left(x,y\right)=0\iff x=y$ (séparation) ;
* $\mathrm {d} \left(x,y\right)=\mathrm {d} \left(y,x\right)$ (symétrie).

Un espace semi-métrique $(E,\mathrm {d} )$ est un ensemble $E$ muni d'une semi-distance $\mathrm {d}$.

Une semi-distance $\mathrm {d}$, sur un ensemble $E$, qui vérifie l'inégalité triangulaire est une distance, auquel cas $(E,\mathrm {d} )$ est un espace métrique.

