Ensemble rectifiable
# Ensemble rectifiable

En mathématiques, un ensemble rectifiable est une généralisation pluridimensionnelle de courbe rectifiable. Ce sont les objets différentiels de la théorie géométrique de la mesure, fondée par Herbert Federer.

## Définitions

Une partie A de $\mathbb {R} ^{n}$ est m-rectifiable s'il existe une famille dénombrable d'applications $f_{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ de classe ${\mathcal {C}}^{1}$ telle que

    ${\mathcal {H}}^{m}\left(A\setminus \bigcup _{i}f_{i}(\mathbb {R} ^{m})\right)=0~,$

où ${\mathcal {H}}^{m}$ est la mesure de Hausdorff de dimension m.

A est purement non m-rectifiable si pour toute application $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ de classe ${\mathcal {C}}^{1}$,

    ${\mathcal {H}}^{m}\left(A\cap f(\mathbb {R} ^{m})\right)=0~.$

On obtient des définitions équivalentes en remplaçant ${\mathcal {C}}^{1}$ par application lipschitzienne.

## Propriétés

* Un exemple de partie purement non 1-rectifiable de $\mathbb {R} ^{2}$ est le produit de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor par lui-même.
* Les parties rectifiables sont une généralisation, du point de vue de la théorie de la mesure, des sous-variétés. Par exemple, on peut définir la notion de sous-espace (de dimension m) presque tangent en un point de A, et montrer que A est m-rectifiable si et seulement si, en ${\mathcal {H}}^{m}$-presque chacun de ses points, elle admet un tel sous-espace presque tangent.
* Toute partie de ${\mathcal {H}}^{m}$-mesure finie est réunion d'une partie m-rectifiable et d'une partie purement non m-rectifiable (dont l'intersection est nécessairement ${\mathcal {H}}^{m}$-négligeable).
* Théorème de projection de Besicovitch-Federer : si une partie A, de ${\mathcal {H}}^{m}$-mesure finie, est purement non m-rectifiable, alors pour presque tout sous-espace P de dimension m, le projeté orthogonal de A sur P est ${\mathcal {H}}^{m}$-négligeable.

## Référence

(en) T.C. O'Neil, « Geometric measure theory », dans Encyclopedia of Mathematics, Springer online (lire en ligne)

