Module plat
# Module plat

La notion de module plat a été introduite et utilisée, en géométrie algébrique, par Jean-Pierre Serre. Cette notion se trouve également dans un ouvrage contemporain d'Henri Cartan et Samuel Eilenberg en algèbre homologique. Elle généralise les modules projectifs et a fortiori les modules libres. En algèbre commutative et en géométrie algébrique, cette notion a été notamment exploitée par Alexander Grothendieck et son école, et s'est révélée d'une importance considérable.

## Définition

Un module M sur un anneau commutatif (unitaire) A est dit plat si le foncteur produit tensoriel avec M est exact, c'est-à-dire pour toute suite exacte

$0\to N\to L\to K\to 0$

de A-modules, la suite obtenue par produit tensoriel

$0\to N\otimes _{A}M\to L\otimes _{A}M\to K\otimes _{A}M\to 0$

reste exacte. Comme le produit tensoriel est exact à droite pour tout module, la propriété revient à dire que pour tout morphisme injectif de A-modules N → L, l'application induite $N⊗_AM$ → $L⊗_AM$ est injective.

La notion de platitude se définit de la même façon pour les modules sur un anneau unitaire non nécessairement commutatif.

On dit qu'un morphisme d'anneaux φ : A → B est plat si B est plat pour la structure de A-module induite par φ. On dit aussi que B est plat sur A, le morphisme φ étant sous-entendu.

## Exemples

* Le ℤ-module ℤ/2ℤ n'est pas plat : l'application multiplication par 2, de ℤ dans ℤ, est injective, mais si on la tensorise par ℤ/2ℤ, elle devient nulle, alors que $ℤ⊗_ℤ($ ℤ/2ℤ ) est non nul car isomorphe à ℤ/2ℤ. Donc l'application après tensorisation n'est plus injective. Plus généralement, tout A-module plat est sans torsion, c'est-à-dire que ax = 0 avec a∈A et x∈M n'est possible que si x = 0 ou si a est un diviseur de zéro dans A.
* Tout module libre est plat. Ainsi, sur un corps, tout espace vectoriel est plat.
* Tout module projectif est plat. La réciproque est fausse en général, mais un module plat de présentation finie est toujours projectif.
* Sur un anneau de Dedekind A, tout module plat de type fini est isomorphe à $A^n⊕I$ pour un entier positif ou nul n et un idéal I de A.
* Tout morphisme de localisation A → $S^{-1}A$ est plat.
* Supposons A noethérien local d'idéal maximal ${\mathfrak {m}}$. Soit ${\hat {A}}$ son complété formel (en) pour la topologie ${\mathfrak {m}}$-adique. Alors l'homomorphisme canonique $A\to {\hat {A}}$ est injectif et plat. Si B est un autre anneau local noethérien tel que $A\subseteq B\subseteq {\hat {A}}$ et que l'idéal maximal de B soit égal à ${\mathfrak {m}}B$, alors A → B est plat. Cela implique que l'inclusion canonique de $ℂ[T_1,$ … , $T_n]$ dans l'anneau ${\mathcal {O}}_{n}$ des germes de fonctions holomorphes à n variables à l'origine est un homomorphisme plat.
* Plus généralement, soit $A$ un anneau commutatif noethérien, ${\mathfrak {m}}$ un idéal de $A$ et ${\hat {A}}$ le séparé complété de $A$ pour la topologie ${\mathfrak {m}}$-adique. Le $A$-module ${\hat {A}}$ est plat. Cela implique que l'anneau des séries formelles $A\left[\left[X_{1},...,X_{n}\right]\right]$ est un $A$-module plat, puisque $A\left[X_{1},...,X_{n}\right]$ est un $A$-module libre et que $A\left[\left[X_{1},...,X_{n}\right]\right]$ est son complété pour la topologie ${\mathfrak {m}}$-adique où ${\mathfrak {m}}$ est l'idéal constitué des polynômes sans terme constant.
* (Platitude générique) Soient $A$ un anneau intègre, $B$ une $A$-algèbre de présentation finie et $M$ un module de présentation finie sur $B$, alors il existe $f\in A$ non nul tel que la localisation $M_{f}$ soit plat (et même libre) sur $A_{f}$.

## Quelques critères

* M est plat si et seulement si pour tout idéal I de A, l'application canonique $I⊗_AM$ → M qui à a⊗x associe ax, est injective.
* Si A est local et si M est de type fini sur A, alors M est plat si et seulement s'il est libre.
* Sur un anneau de Dedekind, un module est plat si et seulement s'il est sans torsion.
* Sur un anneau A quelconque, M est plat si et seulement s'il est universellement sans torsion, c'est-à-dire pour toute algèbre de type fini B sur A, le B-module $M⊗_AB$ est sans torsion sur B.
* (Nature locale de la platitude) M est plat sur A si et seulement si pour tout idéal maximal m de A, le produit tensoriel $M⊗_AA_m$ est plat sur $A_m.$
* (Théorème de Govorov et D. Lazard) Un module est plat si et seulement si c'est une limite inductive de modules libres de rang fini.

## Opérations laissant stables les modules plats

* Si M et N sont plats, alors M⊕N (plus généralement, toute somme directe de modules plats) et $M⊗_AN$ sont plats.
* Toute limite inductive de modules plats est un module plat.
* (Changement de base) Si A → B est un morphisme d'anneaux (unitaire) quelconque et si M est plat sur A, alors $M⊗_AB$ est plat sur B.
* Soit 0 → N → L → K → 0 une suite exacte. Si N et K sont plats, alors L aussi. Si L et K sont plats, alors N aussi. Par contre, si N et L sont plats, il n'y a aucune raison que K soit plat (considérer par exemple N=2ℤ et L=ℤ).
* En général un sous-module d'un module plat n'est pas plat. De même le quotient d'un module plat n'est pas plat.

## Fidèle platitude

Une propriété plus forte que la platitude est la fidèle platitude. On dit qu'un A-module M est fidèlement plat s'il est plat et si pour tout A-module non nul N, on a $M⊗_AN$ ≠ 0.

On dit qu'un homomorphisme d'anneaux φ : A → B est fidèlement plat s'il fait de B un A-module fidèlement plat. C'est équivalent à dire que A → B est plat et que pour tout idéal maximal M de A, il existe un idéal maximal N de B tel que M = $φ^{-1}(N).$

Tout module libre non nul est fidèlement plat. Le ℤ-module ℚ est plat mais non fidèlement plat.

## Interprétation géométrique

Supposons A commutatif unitaire et noethérien. Soit M un module de type fini sur A. Pour tout idéal premier P de A, le produit tensoriel $M⊗_Ak(P)$ – où k(P) est le corps des fractions de A/P – est un espace vectoriel sur k(P). Ainsi M peut être vu comme une famille d'espaces vectoriels (sur des corps variables) paramétrée par les points du spectre Spec A. L'application qui à P associe la dimension de $M⊗_Ak(P)$ est semi-continue supérieurement (Spec A étant muni de la topologie de Zariski, et l'ensemble des entiers positifs ou nuls de la topologie discrète). On peut montrer que lorsque A est réduit, M est plat si et seulement si cette fonction est continue (donc localement constante).

Un module M est fidèlement plat si et seulement s'il est plat et si $M⊗_Ak(P)$ est non nul pour tout P.

## Relation avec les foncteurs Tor

Supposons A commutatif unitaire. Soit M un A-module. Alors la platitude de M est équivalente à chacune des propriétés suivantes :

* Pour tout A-module N et pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a $Tor_n^A(M,$ N) = 0.
* Pour tout idéal de type fini I de A, on a $Tor_1^A(M,$ A/I) = 0.

Soit A → B un homomorphisme d'anneaux plat. Alors pour tous A-modules M, N et pour tout entier n > 0, on a $\operatorname {Tor} _{n}^{A}(M,N)\otimes _{A}B=\operatorname {Tor} _{n}^{B}(M\otimes _{A}B,N\otimes _{A}B).$

