Espace contractile
# Espace contractile

En mathématiques, un espace topologique est dit contractile s'il est homotopiquement équivalent à un point. Tous ses groupes d'homotopie sont donc triviaux, ainsi que ses groupes d'homologie de degré > 0.

## Exemples et contre-exemples

Tout espace vectoriel normé (ou même : tout espace vectoriel topologique sur ℝ) est contractile, à commencer par la droite réelle et le plan complexe.

Plus généralement, toute partie étoilée d'un tel espace (en particulier : tout convexe non vide, comme un intervalle réel ou un disque) est clairement contractile.

Le cône de tout espace topologique est contractile.

La n-sphère $S^n$ n'est pas contractile bien que, pour n ≥ 2, elle soit simplement connexe.

En fait, une variété compacte de dimension n>0 n'est jamais contractile. Voir l'appendice de, où ce résultat est appelé "théorème fondamental de la topologie différentielle."

La sphère unité d'un espace de Hilbert H de dimension infinie est contractile (et même difféomorphe à H). Plus généralement, dans tout espace vectoriel normé de dimension infinie, la sphère unité est contractile.

Un CW-complexe dont tous les groupes d'homotopie sont triviaux est contractile. Il en va donc de même pour une variété M de classe $C^∞.$ De plus, dans ce cas, l'application identité de M est homotope à une application constante par une homotopie non seulement continue mais de classe $C^∞.$ En effet, dès que deux applications lisses entre variétés lisses sont continûment homotopes, elles sont $C^∞-homotopes.$

Le « cercle polonais », obtenu en ajoutant à la courbe sinus fermée du topologue un arc joignant (0, –1) à (1, sin 1), n'est pas contractile, bien que tous ses groupes d'homotopie soient triviaux.

Il existe des espaces qui, bien que contractiles c'est-à-dire se rétractant par déformation sur (un sous-espace réduit à) un point, ne se rétractent pas fortement par déformation sur un point.

## Définitions équivalentes

Soit X un espace topologique non vide. Les énoncés suivants sont équivalents :

* X est contractile ;
* l'application identité de X est « homotopiquement nulle », c'est-à-dire homotope à une application constante ;
* X se rétracte par déformation sur un point ;
* le cône de X se rétracte par déformation sur X ;
* toute fonction continue à valeurs dans X est homotope à une application constante ;
* deux fonctions continues quelconques à valeurs dans X (définies sur un même espace) sont toujours homotopes.
