Nombre multicomplexe (Fleury)
# Nombre multicomplexe (Fleury)

En mathématiques, les nombres multicomplexes de symbole ${\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}$ (n ∈ $ℕ^*)$ constituent une famille d’algèbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension n sur ℝ. Ils ont été introduits par Norbert Fleury en 1993.

## Définition

Soit un élément e tel que $e^n$ = −1 et tel que $(1,e,e^2,…,e^{n−1})$ soit une famille libre : $𝓜ℂ_n$ est alors défini comme l’algèbre réelle générée par cette $famille^,^,.$

## Propriétés algébriques

* Chaque algèbre $𝓜ℂ_n$ est un cas particulier d’algèbre de Clifford généralisée (en).
* Comme $e^n+1$ = 0, chaque algèbre $𝓜ℂ_n$ est canoniquement isomorphe à l’algèbre quotient (en) $ℝ[X]/X^n+1.$
* Tout nombre multicomplexe de pseudo-norme non nulle peut s’écrire sous forme polaire : $\textstyle x=\rho \exp(\sum _{i=1}^{n-1}\phi _{i}e^{i})$.

### Sommes directes et produits tensoriels

* Chaque algèbre $𝓜ℂ_n$ est isomorphe à une somme directe impliquant ℝ et ℂ :
   * si n est pair :

    ${\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}\cong \underbrace {\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \oplus \cdots \oplus \mathbb {C} } _{{\frac {n}{2}}{\text{ facteurs}}}=\bigoplus ^{\frac {n}{2}}\mathbb {C} =\mathbb {C} ^{\frac {n}{2}}\ ;$
   * si n est impair :

    ${\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}\cong \mathbb {R} \oplus \underbrace {\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \oplus \cdots \oplus \mathbb {C} } _{{\frac {n-1}{2}}{\text{ facteurs}}}=\mathbb {R} \oplus \bigoplus ^{\frac {n-1}{2}}\mathbb {C} =\mathbb {R} \times \mathbb {C} ^{\frac {n-1}{2}}=\mathbb {R} \oplus {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n-1}\ ;$
   * ce que l’on peut écrire de manière compacte : $𝓜ℂ_n$ ≅ $ℝ^{nmod2}$ × $ℂ^{⌊n/2⌋}.$
* Il s’ensuit immédiatement que :
   * si m et n ne sont pas simultanément impairs, $𝓜ℂ_m$ ⊕ $𝓜ℂ_n$ ≅ $𝓜ℂ_{m+n}$ ;
   * si m et n sont simultanément impairs, $𝓜ℂ_m$ ⊕ $𝓜ℂ_n$ ≅ $𝓜ℂ_{m+n−2}$ ⊕ $\textstyle \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown$.
* En utilisant les propriétés précédentes, la distributivité du produit tensoriel d'algèbres $⊗_ℝ$ par rapport à la somme directe ⊕ et l’isomorphisme $𝓜ℂ_4$ ≅ ℂ $⊗_ℝ$ ℂ, on démontre alors aisément que $𝓜ℂ_m$ $⊗_ℝ$ $𝓜ℂ_n$ ≅ $𝓜ℂ_{mn}.$

### Isomorphisme avec les nombres multicomplexes de Segre

* $𝓜ℂ_{2n}$ ≅ $ℂ_n.$

### Sous-algèbres

* $𝓜ℂ_{n−1}$ ⊂ $𝓜ℂ_n.$
* $ℝ^{⌈n/2⌉}$ ⊂ $𝓜ℂ_n.$
* D’où $\textstyle \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown$$^{⌊(n+1)/4⌋}$ ⊂ $𝓜ℂ_n.$
* $ℂ^{⌊n/2⌋}$ ⊂ $𝓜ℂ_n.$

## Cas particulier : $𝓜ℂ_3$

Au XIXe siècle, après que l’idée de représenter les nombres complexes sous la forme géométrique d’un plan 2D a été avancée, les mathématiciens ont cherché à étendre la notion de complexe à l’espace 3D, mais sans succès. C’est finalement en abandonnant l’égalité du nombre de dimensions entre l’algèbre hypercomplexe cherchée et l’espace géométrique que les quaternions, de dimension 4, et leurs liens avec les rotations dans l’espace ont été découverts. Malgré le succès des quaternions, les recherches d’une algèbre hypercomplexe de dimension 3 exhibant des propriétés similaires aux opérations géométriques dans l’espace ont continué, plusieurs auteurs arrivant finalement et indépendamment à l’algèbre $𝓜ℂ_3$ ou l’un de ses isomorphes $triviaux^,.$

