Oscillation (mathématiques)
# Oscillation (mathématiques)

L'oscillation quantifie la tendance d'une fonction ou d'une suite à varier entre des valeurs extrémales. Il existe plusieurs notions d'oscillation : oscillation d'une suite de réels, oscillation d'une fonction à valeurs dans un espace métrique (comme ℝ), en un point ou sur une partie de son domaine de définition.

## Définitions

### Oscillation d'une suite réelle

L'oscillation ω(a) d'une suite réelle a = $(a_n)_n$ est la différence entre ses limites supérieure et inférieure :

$\omega (a)=\limsup(a)-\liminf(a)\in [0,+\infty ].$

Elle est définie sauf si cette différence est de la forme (+∞) – (+∞) ou (–∞) – (–∞), c'est-à-dire si la suite tend vers +∞ ou vers –∞. Elle vaut +∞ lorsque la suite n'est pas bornée. Elle est nulle lorsque la suite converge.

### Oscillation d'une fonction sur une partie

Si f est une fonction à valeurs réelles définie sur un ensemble X, l'oscillation $ω_f(U)$ de f sur une partie non vide U de X est la différence entre les bornes supérieure et inférieure de f sur U :

$\omega _{f}(U)=\sup _{x\in U}f(x)-\inf _{x\in U}f(x).$

Plus généralement, si f est à valeurs dans un ensemble E muni d'une distance d, $ω_f(U)$ est le diamètre de l'image de U par f :

$\omega _{f}(U)={\rm {diam}}{\Bigf(U){\Big )}=\sup _{x,y\in U}d{\Bigf(x),f(y){\Big )}\in [0,+\infty ].$

Elle est toujours définie, et vaut +∞ lorsque la fonction n'est pas bornée sur U.

### Oscillation d'une fonction en un point

Lorsque le domaine X de f est muni d'une topologie, on définit l'oscillation $ω_f(a)$ de f en un point quelconque a de X comme la borne inférieure de ses oscillations $ω_f(U)$ quand U parcourt le filtre V(a) des voisinages de a, ou même seulement une base W(a) de V(a) :

$\omega _{f}(a)=\inf _{U\in V(a)}\omega _{f}(U)=\inf _{U\in W(a)}\omega _{f}(U).$

Si de plus f est à valeurs réelles, cette oscillation est la différence entre limites supérieure et inférieure de f en a :

$\omega _{f}(a)=\limsup _{V(a)}f-\liminf _{V(a)}f=\limsup _{W(a)}f-\liminf _{W(a)}f.$

On peut toujours choisir pour W(a) l'ensemble des ouverts qui contiennent a. Si l'espace topologique X est métrisable, on peut aussi choisir comme base la famille des boules (ouvertes par exemple) B(a, ε) de centre a et de rayon ε > 0 et vérifier que

$\omega _{f}(a)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\omega _{f}{\BigB(a,\varepsilon ){\Big )},$

ce qui, si l'espace métrisable X est un ensemble de réels (muni de la distance usuelle), se réécrit :

$\omega _{f}(a)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\omega _{f}\lefta-\varepsilon ,a+\varepsilon [\cap X\right).$

L'oscillation de f en un point a de son domaine est nulle si et seulement si f est continue en a.

De plus, toutes les égalités ci-dessus s'étendent au cas où f n'est définie que sur une partie Y de X à laquelle a est seulement adhérent, en remplaçant le filtre V(a) des voisinages de a par celui, $V_Y(a),$ de leurs intersections avec Y. L'oscillation de f en a est nulle si et seulement si le filtre image, $f(V_Y(a)),$ est de Cauchy. Lorsque l'espace métrique d'arrivée E est complet, cela équivaut, à nouveau, à l'existence d'une limite en a pour f.

Lorsque X est métrisable et E complet, si f est continue sur le sous-espace Y, elle s'étend continûment au $G_δ$ des points adhérents à Y en lesquels l'oscillation de f est nulle.

La notion d'oscillation en un point adhérent généralise aussi celle d'oscillation d'une suite dans ℝ à toute suite dans E, vue comme fonction sur l'espace discret Y = ℕ, en considérant a = +∞, adhérent à ℕ dans son compactifié d'Alexandrov X = ℕ∪{+∞}.

## Exemples

* Les seules suites périodiques d'oscillation nulle sont les suites constantes.
* L'oscillation de la suite $a_n$ = $(–1)^n$ vaut 2.
* L'oscillation de la fonction x ↦ 1/x est infinie en 0 et nulle en tout autre élément de ℝ.
* Celle de la fonction sinus vaut 2 en ±∞, et 0 ailleurs.
* Celle de x ↦ sin(1/x) vaut 2 en 0, et 0 ailleurs.

## Discontinuités

L'application a ↦ $ω_f(a)$ permet de quantifier les discontinuités de f et de les classer.

Elle est en outre semi-continue supérieurement, donc l'ensemble Δ(f) des points de discontinuité de f est un $F_σ,$ comme réunion des fermés $Δ_n(f)$ = {a ∈ X | $ω_f(a)$ ≥ 1/n}. Par passage au complémentaire, l'ensemble des points de continuité de f est un $G_δ,$ intersection dénombrable des ouverts {a ∈ X | $ω_f(a)$ , 1/n}.

Cela fournit aussi une preuve très rapide de l'une des deux directions du critère de Lebesgue pour l'intégrabilité de Riemann, à savoir : si Δ(f) n'est pas Lebesgue-négligeable, alors f n'est pas Riemann-intégrable, puisque I+(f) – $I_–(f)$ ≥ $λ(Δ_n(f))/n.$

