Entropie (mathématiques)
# Entropie (mathématiques)

En mathématiques, l'entropie est une quantité réelle mesurant en un certain sens la complexité d'un système dynamique.

## Théorème du principe variationnel

Le théorème du principe variationnel permet de faire le lien entre l'entropie topologique et l'entropie métrique. Pour tout homéomorphisme f d'un espace topologique séparé compact, il existe au moins une mesure borélienne invariante. Dans sa forme la plus simple, le théorème du principe variationnel affirme que l'entropie topologique de f est la borne supérieure des entropies métriques de f associées aux différentes mesures boréliennes invariantes. Sous sa forme forte, le théorème affirme de plus que ce supremum est un maximum :

Théorème — Forme faible : Pour tout système dynamique topologique compact (X,f), l'entropie topologique h(f) vérifie :

    $h(f)=\sup\{h_{\mu }(f),\mu \in M(X,f)\}$

ou $h_{\mu }(f)$ est l'entropie métrique de f associée à la mesure $\mu$ et M(X,f) est l'ensemble des mesures boréliennes de X qui soient f-invariantes.

Forme forte : Pour tout système dynamique topologique compact (X,f), il existe une mesure borélienne $\mu$ qui soit f-invariante, telle que l'entropie métrique de f pour $\mu$ soit exactement l'entropie topologique de f :

    $h(f)=h_{\mu }(f)$

La forme faible se déduit de la forme forte et d'inégalités entre entropie topologique et entropie métrique.

La forme forte se démontre en choisissant la mesure $\mu$ comme une limite faiblement convergente d'une suite de mesures.

