Magma (algèbre)
# Magma (algèbre)

En mathématiques, un magma est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. Un magma est par définition un ensemble muni d'une loi de composition interne.

## Définitions

Un magma est un ensemble $M$ muni d'une loi de composition interne $\star$, noté alors $(M,\star )$ ou simplement $M$.

Aucun axiome n'est imposé. La loi de composition peut être notée additivement, multiplicativement, mais aussi sans aucun signe, par simple juxtaposition.

On dit que le magma $(M,\star )$ est :

* unifère s'il possède un élément neutre $e$, c'est-à-dire $\forall x\in M,\ e\star x=x\star e=x$ ;
* un demi-groupe (ou associatif) si $\star$ est associative ;
* un monoïde s'il vérifie les deux propriétés (associativité et existence d'un élément neutre).

Si $(M,\cdot )$ et $(N,\star )$ sont des magmas, un morphisme de magmas, ou homomorphisme de magmas, de $(M,\cdot )$ dans $(N,\star )$ est par définition une application f de M dans N telle que, pour tous éléments x, y de M, on ait

    $\qquad f(x\cdot y)=f(x)\star f(y).$

Si, de plus, f est une bijection, la réciproque de f est un morphisme de magmas de $(N,\star )$ dans $(M,\cdot )$ et on dit que f est un isomorphisme de magmas. La réciproque d'un isomorphisme de magmas est un isomorphisme de magmas.

Si le contexte est assez clair, on dit « morphisme » tout court plutôt que « morphisme de magmas », mais il y a des cas où cela pourrait prêter à confusion. Par exemple, un morphisme de magmas entre monoïdes n'est pas forcément un morphisme de monoïdes.

## Exemples de magmas

* Le magma vide est l'unique magma sur l'ensemble vide.
* $(\mathbb {N} ,+)$ est un monoïde commutatif. De plus, tout élément y est régulier.
* $(\mathbb {N} ,\times )$ est également un monoïde commutatif, mais 0 n'est pas régulier.
* $(\mathbb {Z} ,-)$ est un magma non associatif et non commutatif. Il n'est même pas unifère mais seulement unifère à droite car, s'il admet un (unique, ce qui n'est pas automatique) élément neutre à droite (0), il n'en admet pas à gauche. En revanche, ce magma est permutatif et régulier.
* On appelle magma opposé au magma $M=(E,\star )$ le magma $M^{op}=(E,\boxplus )$ où $x\boxplus y=y\star x$ pour tous $(x,y)\in E^{2}$.
* Magma quotient
* Murskiǐ a montré en 1965 que le magma à trois éléments $\{0,1,2\}$ muni de la loi interne $\star$ ci-dessous ne possède pas d'axiomatisation équationnelle (ou base équationnelle) finie.

Magma {0,1,2} muni de $\star$ :

| $\star$ | 0 | 1 | 2 |
| - | - | - | - |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 2 | 2 |

* La structure d'anneau fait intervenir deux lois de composition internes sur un même ensemble, et donc deux magmas.

## Magma libre construit sur un ensemble

Pour tout ensemble $X$, il est possible de construire un ensemble $M_{X}$ qui contient $X$ et qui est un magma pour la loi $\bullet$ définie par : $a\bullet b=(a,b)$. Cet ensemble doit nécessairement contenir

* les éléments $a,\,b,\,c,\,d,\,\dots$ de $X$
* les couples $(a,b),\,(a,c),\,(b,c),\ \dots$ d'éléments de $X$
* les couples $(a,(b,c)),\,((a,b),c),\ \dots$ formés d'un couple et d'un élément de $X$
* les couples $((a,b),(c,d)),\,(a,(b,(c,d))),\,(a,((b,c),d))\dots$
* $\dots$

$M_{X}$ peut être décrit comme l'ensemble des mots parenthésés construits à partir des éléments de $X$, l'opération $\bullet$ étant une concaténation non associative.

Bourbaki décrit cet ensemble comme l'union des ensembles de mots de longueur $n$ pour $n$ appartenant à $\mathbb {N}$ . Il définit par récurrence l'ensemble des mots de longueur $n$, $M_{n}(X)$ comme l'ensemble somme des ensembles $M_{p}(X)\times M_{n-p}(X)$ pour $1\leqslant p\leqslant n-1$ : un mot de longueur n est la concaténation d'un mot de longueur $p$ et d'un mot de longueur $n-p$.

Cet ensemble s'appelle le magma libre construit sur $X$.

Ce magma libre construit sur $X$ possède la propriété universelle suivante: si $f$ est une application de $X$ vers un magma $M$, il existe une unique extension de $f$, ${\tilde {f}}$, qui soit un morphisme de magma de $M_{X}$ vers $M$.

## Historique

Le terme magma a été introduit pour la première fois dans le contexte de l'algèbre générale par Nicolas Bourbaki.

L'ancienne appellation « groupoïde de Ore », introduite par Bernard Hausmann et Øystein Ore en 1937 et parfois utilisée jusque dans les années 1960, est aujourd'hui à $éviter^,^,,$ l'usage du terme groupoïde étant aujourd'hui réservé à la théorie des catégories, où il signifie autre chose.

