Module semi-simple
# Module semi-simple

En mathématiques et plus précisément en algèbre non commutative, un module sur un anneau est dit semi-simple ou complètement réductible s'il est somme directe de sous-modules simples ou, ce qui est équivalent, si chacun de ses sous-modules possède un supplémentaire.

Les propriétés des modules semi-simples sont utilisées en algèbre linéaire pour l'analyse des endomorphismes, dans le cadre des anneaux semi-simples et pour la théorie des représentations des groupes.

## Définitions

Soient A un anneau unitaire (non nécessairement commutatif) et M un A-module.

* M est dit simple s'il est non nul et sans autres sous-modules que {0} et M.
* Un sous-module de M est dit facteur direct s'il admet un sous-module supplémentaire.
* M est dit semi-simple si tout sous-module de M est facteur direct.

## Exemples

### Espaces vectoriels

Tout espace vectoriel est un module semi-simple (y compris un espace vectoriel sur un corps gauche), puisque tout sous-espace vectoriel possède un sous-espace supplémentaire – c'est une conséquence du théorème de la base incomplète.

### Anneaux semi-simples

Un anneau A est dit semi-simple s'il est semi-simple en tant que A-module. Dans ce cas, tous les A-modules seront semi-simples. Deux exemples historiques qui ont précédé la définition des modules semi-simples sont :

* l'algèbre engendrée par un endomorphisme diagonalisable (alors que si le polynôme minimal de l'endomorphisme possède une racine multiple, le sous-espace caractéristique correspondant n'est pas semi-simple : voir l'article « Réduction de Jordan ») ;
* la K-algèbre d'un groupe fini, si K est un corps dont la caractéristique est soit nulle, soit première avec l'ordre du groupe (voir l'article « Théorème de Maschke »).

## Propriétés

### Deux lemmes

* Pour tout module semi-simple M, les sous-modules de M et ses modules quotients sont semi-simples.

En effet, soit S un sous-module de M. Soit P un sous-module de S, il admet un supplémentaire dans M ; l'intersection de ce supplémentaire et de S est un supplémentaire de P dans S, donc S est semi-simple. Soit maintenant M/N un quotient de M, il est isomorphe à un supplémentaire S de N, donc il est semi-simple d'après ce qui précède.

* Tout module semi-simple non nul contient un sous-module simple.

En effet, soient S un module semi-simple non nul et (par le lemme de Zorn) T un sous-module propre maximal. Soit P un supplémentaire de T. Ce sous-module P est simple, par maximalité de T.

### Caractérisations équivalentes

Le théorème suivant fournit une équivalence entre diverses caractérisations des modules semi-simples.

Théorème — Les propriétés suivantes sont équivalentes :

* M est somme de sous-modules simples ;
* M est somme directe de modules simples ;
* M est semi-simple.
* 1⇒2 et même plus précisément : si M est somme d'une famille de modules simples alors il est somme directe d'une sous-famille. En effet, soient $(M_i)_{i∊I}$ une telle famille et (par le lemme de Zorn) J une partie maximale de I telle que la somme des $M_i$ pour i∊J, que nous noterons N, soit directe. Pour tout i∉J, $M_i∩N$ est non nul (par maximalité de J), donc égal à $M_i$ (par simplicité de ce dernier). Ainsi, tous les $M_i$ sont inclus dans N, donc M aussi, ce qui conclut.
* 2⇒3 car si M est somme directe d'une famille $(M_i)_{i∊I}$ de modules simples et si P est un sous-module non nul alors, en choisissant pour J une partie maximale de I telle que la somme de P et des $M_i$ pour i∊J soit directe et en raisonnant comme ci-dessus, on montre que cette somme directe est égale à M.
* 3⇒1 car si M est semi-simple alors, en notant N la somme de tous ses sous-modules simples et S un supplémentaire de N, d'après les deux lemmes S est nul.

On peut remarquer que d'après ce théorème,

* tout module possède un sous-module semi-simple maximum : la somme de tous ses sous-modules simples ;
* toute somme directe de modules semi-simples est semi-simple.

### Lemme de Schur

Le lemme de Schur pour les groupes est un lemme technique explicitant la nature des morphismes entre représentations d'un groupe dont l'algèbre est semi-simple, mais se généralise en termes de modules :

   Tout morphisme non nul entre modules simples est un isomorphisme.

Plus précisément, un morphisme non nul de M dans N (deux modules quelconques) est injectif dès que M est simple, et surjectif dès que N est simple.

La structure d'un morphisme de modules semi-simples s'en déduit : c'est une somme directe d'isomorphismes de sous-modules simples et de morphismes nuls.

### Décomposition canonique

La décomposition d'un module semi-simple M en sous-modules simples n'est pas unique : par exemple le groupe de Klein, qui possède trois sous-groupes d'ordre deux, est somme directe de deux quelconques de ces trois sous-groupes.

Mais en choisissant l'une des décompositions de M et en regroupant, parmi les facteurs simples de cette somme directe, tous ceux qui sont isomorphes entre eux, on obtient une décomposition de M en somme directe de facteurs semi-simples $N_S$ (S désignant une classe d'isomorphisme de modules simples) dont on va montrer qu'ils sont, eux, canoniques.

Pour cela, on définit la notion d'isotypie : nous dirons qu'un module semi-simple N est S-isotypique s'il vérifie l'une des trois propriétés équivalentes suivantes :

* N est somme de sous-modules de classe S ;
* N est somme directe de modules de classe S ;
* tout sous-module simple de N est de classe S.

3⇒1 et 1⇒2 se déduisent du théorème de caractérisation ci-dessus et de sa preuve. 2⇒1 se déduit du lemme de Schur, en remarquant que si un module simple P est sous-module d'une somme directe de modules simples, alors l'image de P dans au moins l'un des facteurs de cette somme est non nulle, donc P est isomorphe à ce facteur.

Cette définition permet de donner des sous-modules $N_S$ deux caractérisations qui dépendent uniquement de M et justifient leur nom de composantes isotypiques de M : pour toute classe d'isomorphisme T d'un sous-module simple P de M,

* $N_T$ est la somme de tous les sous-modules de M isomorphes à P ;
* $N_T$ est le sous-module T-isotypique maximum de M.

Il s'agit de prouver que la classe T de P fait partie des indices S de la famille $(N_S)$ – qui pour l'instant dépend, en apparence, de la décomposition de M dont on est partis – et que P est inclus dans $N_T.$ Ceci résulte du fait que M est la somme directe des $N_S$ et que d'après le lemme de Schur, pour tout S différent de T, l'image de P dans le facteur $N_S$ est nulle.

