Nombre parasite
# Nombre parasite

En mathématiques récréatives, un nombre parasite est un entier naturel qui, lorsqu'il est multiplié par un certain nombre entier n compris entre 2 et 9, voit sa représentation décimale inchangée, excepté pour le chiffre des unités qui est déplacé en début d'écriture. Un tel nombre est dit « n-parasite ».

## Exemples

Pour n de 2 à 9, la table suivante donne les plus petits nombres n-parasites, ou « nombres de Dyson » :

| N | $P_n$ | $n×P_n$ |
| - | - | - |
| 2 | 105 263 157 894 736 842 | 210 526 315 789 473 684 |
| 3 | 1 034 482 758 620 689 655 172 413 793 | 3 103 448 275 862 068 965 517 241 379 |
| 4 | 102 564 | 410 256 |
| 5 | 142 857 | 714 285 |
| 6 | 10 169 491 525 423 728 813 559 932 203 389 830 508 474 576 271 186 440 677 966 | 61 016 949 152 542 372 881 355 993 220 338 983 050 847 457 627 118 644 067 796 |
| 7 | 1 014 492 753 623 188 405 797 | 7 101 449 275 362 318 840 579 |
| 8 | 1 012 658 227 848 | 8 101 265 822 784 |
| 9 | 10 112 359 550 561 797 752 808 988 764 044 943 820 224 719 | 91 011 235 955 056 179 775 280 898 876 404 494 382 022 471 |

## Recherche

La méthode suivante permet de trouver un nombre n-parasite. Soit m l'ordre multiplicatif de 10 dans l'anneau ℤ/(10n – 1)ℤ, c’est-à-dire le plus petit entier m > 0 tel que $10^m$ ≡ 1 (mod 10n – 1)). Alors $n{\frac {10^{m}-1}{10n-1}}$ est un nombre n-parasite.

Par exemple, si n = 4, 10n – 1 = 39 et m = 6 ; l'écriture en décimale récurrente de 1/39 est 0,025641... et $10^6×(1/39)$ = 25 641,025641... = 25641 + 1/39. On obtient 25 641 = $10^6×(1/39)$ – 1/39 = $(10^6$ – 1)/39. Le nombre 4×25 641 = 102 564 est 4-parasite.

Cette méthode ne donne pas le plus petit nombre n-parasite pour n = 5 (elle donne 1 020 408 163 265 030 612 244 897 959 183 673 469 387 755 au lieu de 142 857).

## Référence

* ↑ Suite A092697 de l'OEIS.
* ↑ (en) John Tierney, « Prize for Dyson Puzzle », New York Times, 13 avril 2009.
