Mesure produit
# Mesure produit

En mathématiques et plus précisément en théorie de la mesure, étant donnés deux espaces mesurés $(\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1},\mu _{1})$ et $(\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2},\mu _{2}),$ on définit une mesure produit $μ_1×μ_2$ sur l'espace mesurable $(\Omega _{1}\times \Omega _{2},{\mathcal {S}}_{1}\times {\mathcal {S}}_{2})$.

La tribu produit ${\mathcal {S}}_{1}\times {\mathcal {S}}_{2}$ est la tribu sur le produit cartésien $\Omega _{1}\times \Omega _{2}$ engendrée par les parties de la forme $A_{1}\times A_{2}$, où $A_{1}$ appartient à ${\mathcal {S}}_{1}$ et $A_{2}$ à ${\mathcal {S}}_{2}$ :

${\mathcal {S}}_{1}\times {\mathcal {S}}_{2}\ =\ \sigma \left(\left\{A_{1}\times A_{2}\ |\ A_{1}\in {\mathcal {S}}_{1},\ A_{2}\in {\mathcal {S}}_{2}\right\}\right).$

Une mesure produit $μ_1×μ_2$ est une mesure sur $(\Omega _{1}\times \Omega _{2},{\mathcal {S}}_{1}\times {\mathcal {S}}_{2})$ telle que :

$\forall A_{1}\in {\mathcal {S}}_{1},~\forall A_{2}\in {\mathcal {S}}_{2}\qquad (\mu _{1}\times \mu _{2})(A_{1}\times A_{2})=\mu _{1}(A_{1})\mu _{2}(A_{2}).$

D'après le théorème d'extension de Carathéodory, une telle mesure $μ_1×μ_2$ existe, et si $μ_1$ et $μ_2$ sont σ-finies alors elle est unique.

En fait, lorsque $μ_1$ et $μ_2$ sont σ-finies, pour chaque ensemble mesurable E,

$(\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{\Omega _{2}}\mu _{1}(E^{y})~\mathrm {d} \mu _{2}(y)=\int _{\Omega _{1}}\mu _{2}(E_{x})~\mathrm {d} \mu _{1}(x),$

avec $E_x$ = ${y∈Ω_2|(x,y)∊E}$ et $E^y$ = ${x∈Ω_1|(x,y)∊E},$ qui sont tous deux des ensembles mesurables.

La mesure de Borel-Lebesgue sur l'espace euclidien $ℝ^n$ peut être obtenue comme le produit de n copies de celle sur la droite réelle ℝ.

Même lorsque $μ_1$ et $μ_2$ sont complètes, $μ_1×μ_2$ ne l'est pas nécessairement. Par exemple, pour obtenir la mesure de Lebesgue sur $ℝ^2,$ il faut compléter le produit des deux copies de la mesure de Lebesgue sur ℝ.

