Module de relaxation
# Module de relaxation

En rhéologie, le module de relaxation permet de rendre compte de la relaxation de contrainte, la déformation étant maintenue constante.

## Introduction

La contrainte $\sigma$ à un temps $t$ ne dépend pour un fluide newtonien que du taux de déformation à ce même temps :

    $\sigma (t)=\eta \ {\dot {\gamma }}(t)$.

Par contre, pour un fluide viscoélastique, cette même contrainte va dépendre de l'histoire des taux de déformation via le module de relaxation $G(t)$ (ou $E(t)$) :

    $\sigma (t)=\int _{-\infty }^{t}G(t-t'){\dot {\gamma }}(t')dt'$.

Physiquement, on s'attend à ce que cette fonction tende vers 0 lorsque t tend vers l'infini ; c'est la perte de mémoire des états les plus anciens.

Dans le cadre du modèle de Maxwell, on montre que le module de relaxation $G(t)$ vaut :

    $G(t)=G_{0}\ e^{-t/\tau }$

où $\tau ={\frac {\eta }{E}}$ est le temps de relaxation du modèle de Maxwell.

## Annexe : grandeurs complexes

### Module complexe

Expérimentalement, on applique en DMA des déformations sinusoïdales. On définit une déformation complexe :

    $\gamma (t)=\gamma _{0}\ e^{i\omega t}$

ce qui amène à une contrainte complexe :

    $\sigma (t)=i\omega \gamma (t)\int _{0}^{\infty }G(x)exp(-i\omega x)dx=G^{*}(t)\gamma (t)$

avec :

    $x=t-t'$ ;
    $G^{*}$, le module de cisaillement complexe. Celui-ci se décompose comme la somme d'une partie réelle et d'une partie imaginaire :
    $G^{*}(\omega )=G'(\omega )+iG''(\omega )$

où :

    $G'$ est le module de conservation ;
    $G''$ est le module de perte.

Le facteur de perte indique la capacité d'une matière viscoélastique à dissiper de l'énergie mécanique en chaleur. Il est donné par l'équation :

    $\tan \delta ={\frac {G''}{G'}}$

où $\delta$ est l'angle de phase ou de perte.

Une valeur faible du facteur de perte traduit un comportement élastique marqué : le matériau étant soumis à une sollicitation, la dissipation d'énergie par frottement interne est faible.

### Viscosité complexe

Il est par ailleurs possible de définir une viscosité complexe de la manière suivante :

    $\sigma =\eta ^{*}(\omega )\ {\dot {\gamma }}=(\eta '(\omega )-i\eta ''(\omega ))\ {\dot {\gamma }}$

avec :

    $\eta '={\frac {G''}{\omega }}$, associée au module de perte,
    $\eta ''={\frac {G'}{\omega }}$, associée au module de conservation.
