Ensemble totalement ordonné
# Ensemble totalement ordonné

En mathématiques, un ensemble totalement ordonné est un ensemble ordonné dans lequel deux éléments quelconques sont toujours comparables.

## Définition

Soit $E$ un ensemble muni d'une relation d'ordre $\preceq$. Rappelons que toute relation d'ordre $\preceq \,$ vérifie les propriétés suivantes :

* (réflexivité) $\forall x,\ x\preceq x$ ;
* (transitivité) $\forall x,y,z,\ {\biglx\preceq y\mathrm {\ et\ } y\preceq z{\bigr )}\Rightarrow x\preceq z$ ;
* (antisymétrie) $\forall x,y,\ {\biglx\preceq y\mathrm {\ et\ } y\preceq x{\bigr )}\Rightarrow x=y$.

$(E,\preceq )$ est un ensemble totalement ordonné si, en outre, tous les éléments de $(E,\preceq )$ sont comparables pour $\preceq$ :

* $\forall x,y,\ {\biglx\preceq y\mathrm {\ ou\ } y\preceq x{\bigr )}$.

## Exemples

* L'ensemble $E={\bigl \\ \emptyset ,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,2\}{\bigr \}}$ des parties de $\{1,2\}$ est ordonné par la relation d'inclusion. Cependant, $E$ n'est pas totalement ordonné : $\{1\}$ et $\{2\}$ ne sont pas comparables au sens de l'inclusion.
* L'ensemble $\mathbb {R} \,$ des nombres réels muni de la relation d'ordre usuelle $\leq$ est totalement ordonné.
