Nombre parfait
# Nombre parfait

En arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ou encore à la somme de ses diviseurs stricts. Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3.

Voir la suite A000396 de l'OEIS.

## Nombres parfaits pairs

### Premières découvertes

Dans le Livre IX de ses Éléments, Euclide, au IIIe siècle av. J.-C., a démontré que si M = $2^p$ − 1 est premier, alors M(M + 1)/2 = $2^{p–1}(2^p$ – 1) est parfait.

Par ailleurs, Leonhard Euler, au XVIIIe siècle, a démontré que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres de Mersenne premiers (nombres premiers de la forme $M_p$ = $2^p$ − 1, l'entier p étant alors nécessairement premier). La « perfection » d'un tel nombre s'écrit :

$2^{p-1}(2^{p}-1)=2^{p-1}M_{p}=1+2+4+\cdots +2^{p-1}+M_{p}+2M_{p}+4M_{p}+\cdots +2^{p-2}M_{p}.$

On veut montrer l'équivalence :

    A = $2^{p−1}(2^p$ − 1) (avec $2^p$ − 1 premier) ⇔ A est un nombre parfait pair.

**Sens direct**

Soit A = $2^{p−1}(2^p$ − 1), où $2^p$ − 1 est premier.

    $\sigma (A)=\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1).$

Les diviseurs de $2^{p−1}$ sont 1, 2, 4, 8, ..., $2^{p−1}.$ Leur somme est celle des termes d'une suite géométrique, qui vaut donc $2^p$ − 1.

Or ce nombre est premier. Ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même et leur somme vaut $2^p.$

En combinant ces résultats :

    ${\begin{aligned}\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))&=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)\\&=(2^{p}-1)(2^{p})\\&=2(2^{p-1})(2^{p}-1)\\&=2A.\end{aligned}}$

Par conséquent A = $2^{p−1}(2^p$ − 1) est parfait.

**Sens réciproque**

Supposons que A soit un nombre parfait pair. A = $2^{p−1}x,$ où x est un entier impair.

Comme A est parfait, la somme de ses diviseurs vaut deux fois sa valeur :

    $\sigma (A)=2A=2^{p}x=\sigma (2^{p-1}x)=\sigma (2^{p-1})\sigma (x)=(2^{p}-1)\sigma (x)$.

Ainsi $2^{p}x=(2^{p}-1)\sigma (x)$.

De cette égalité, le facteur impair $2^p$ − 1 du côté droit doit diviser x, le seul facteur impair du côté gauche (lemme de Gauss). Ainsi il existe un entier y < x, tel que x = $y(2^p$ − 1). On divise les deux côtés de l'égalité par le facteur commun (non nul) $2^p$ − 1 :

    $2^{p}y=\sigma (x)$.

Or $2^{p}y=\sigma (x)\geq x+y\ =2^{p}y$ (on connait au moins deux diviseurs distincts de x : x et y. Il pourrait y en avoir d'autres. D'où $\sigma (x)\geq x+y$).

Comme il y a égalité, $\sigma (x)=x+y$. Les seuls diviseurs de x sont donc x et y, ce qui prouve que x est premier, et donc y = 1 et x = $1(2^p$ − 1) = $2^p$ − 1.

Ainsi A = $2^{p−1}(2^p$ − 1) avec $2^p$ − 1 premier. Ce qui était recherché.

### Exemples

Les quatre premiers nombres parfaits sont connus depuis l'Antiquité :

* 6 = $2^1(2^2$ – 1) = (1 + 2) + 3 ;
* 28 = $2^2(2^3$ – 1) = (1 + 2 + 4) + (7 + 14) ;
* 496 = $2^4(2^5$ – 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + (31 + 62 + 124 + 248) ;
* 8 128 = $2^6(2^7$ – 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64) + (127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064).

Depuis, le total est passé à 51 nombres parfaits (puisqu'on ne connaît que 51 nombres de Mersenne premiers, le dernier découvert en décembre 2018) sans même que l'on sache, à partir du 47e, s'il n'y a pas des « trous » (des nombres parfaits intermédiaires non encore $découverts)^,.$

Les sept premiers nombres parfaits pairs sont donnés dans le tableau suivant :

| p | Nombre de Mersenne premier $M_p$ | Nombre parfait $2^{p–1}M_p$ |
| - | - | - |
| 2 | 3 | 6 |
| 3 | 7 | 28 |
| 5 | 31 | 496 |
| 7 | 127 | 8 128 |
| 13 | 8 191 | 33 550 336 |
| 17 | 131 071 | 8 589 869 056 |
| 19 | 524 287 | 137 438 691 328 |

### Propriétés

Tout nombre parfait pair se termine par un 6 ou un 8, mais pas forcément en alternance.

En 2000, Douglas Iannucci a démontré que tous les nombres pairs parfaits sont des nombres de Kaprekar en base deux.

Les nombres parfaits pairs étant de la forme $2^{n−1}(2^n$ − 1), ce sont des nombres triangulaires (et même hexagonaux) et, en tant que tels, la somme des entiers naturels jusqu'à un certain rang (impair), en l'occurrence $2^n$ − 1. De plus, tous les nombres parfaits pairs, excepté le premier, sont la somme des $2^{(n−1)/2}$ premiers cubes impairs. Par exemple :

    28 = $1^3$ + $3^3$ ;
    496 = $1^3$ + $3^3$ + $5^3$ + $7^3$ ;
    8128 = $1^3$ + $3^3$ + $5^3$ + $7^3$ + $9^3$ + $11^3$ + $13^3$ + $15^3.$

La somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait pair est égale à 2.

Pour $2^{p–1}(2^p$ – 1), cette somme est égale à $\left(\sum _{k=0}^{p-1}{\frac {1}{2^{k}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{p}-1}}\right)={\frac {1-{\frac {1}{2^{p}}}}{1-{\frac {1}{2}}}}\left(1+{\frac {1}{2^{p}-1}}\right)=2$.

## Nombre parfait impair

Aujourd'hui, les mathématiciens ignorent si des nombres parfaits impairs existent. Différents travaux ont été entrepris mais aucun ne permet d'affirmer ou d'infirmer leur existence. En 1496, Jacques Lefèvre a affirmé que tout nombre parfait est de la forme décrite par Euclide, ce qui impliquerait bien sûr qu'aucun nombre parfait impair n'existe. En 2003, Carl Pomerance a présenté une méthode heuristique qui suggère qu'aucun nombre parfait impair n'existe.

Un nombre parfait impair N doit remplir les conditions suivantes:

* N est supérieur à $10^{1500}.$
* N est de la forme $N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}}$ où :
   * q, $p_1,$ … , $p_k$ sont des nombres premiers distincts (Euler) ;
   * q ≡ α ≡ 1 (modulo 4) (Euler) ;
   * le plus petit facteur premier de N est inférieur à (2k + 8) / 3 ;
   * la relation $e_1$ ≡ $e_2$ ≡ … ≡ $e_k$ ≡ 1 (modulo 3) n'est pas satisfaite ;
   * $q^α$ > $10^{62}$ ou $p_j^{2ej}$ > $10^{62}$ pour au moins un j ;
   * N est inférieur à $2^{4k}.$
* Si $e_i$ ≤ 2 pour tout i :
   * le plus petit diviseur premier de N est au moins 739 ;
   * α ≡ 1 (modulo 12) ou α ≡ 9 (modulo 12).
* N est de la forme 12m + 1 ou 324m + 81 ou 468m + 117.
* Le plus grand diviseur premier de N est supérieur à $10^8.$
* Le second plus grand diviseur premier de N est supérieur à $10^4$ et le troisième à 100.
* N se décompose en au moins 101 facteurs premiers dont au moins 10 facteurs premiers distincts. Si 3 n'est pas un diviseur de N, alors N comporte au moins 12 diviseurs premiers distincts.

John Voight a trouvé un nombre impair N = n ⋅ p où n et p sont premiers entre eux, p premier et $\sigma (n)(p-1)=2N$, alors qu'il faudrait $\sigma (n)(p+1)=2N$ pour que N soit parfait impair ( $n=3^{4}7^{2}11^{2}19^{2}$ et $p=127$$)^,.$ Il considère alors $-N=n(-p)$ comme nombre parfait impair négatif.

## Propriétés mineures

Comme on l'a vu précédemment les nombres parfaits pairs ont une forme bien précise et les nombres parfaits impairs sont rares si tant est qu'ils existent. Il existe un certain nombre de propriétés simples à démontrer sur les nombres parfaits :

* Un nombre parfait n'est pas divisible par $105^,.$
* Le seul nombre parfait pair de la forme $x^3$ + 1 est 28.
* Un nombre de Fermat ne peut être parfait.
* La somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait vaut 2 :
   * pour 6, 1/6 + 1/3 + 1/2+ 1/1 = 2 ;
   * pour 28, 1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2 + 1/1 = 2.
* Le nombre de diviseurs d'un nombre parfait N (pair ou impair) est pair, puisque N ne peut être un carré parfait.
   * De ces deux résultats on déduit que tout nombre parfait est un nombre à moyenne harmonique entière.
* En base 10, tous les nombres parfaits pairs se terminent par 6 ou 28 ; en base 9, à la seule exception de 6, ils se terminent tous par $1^,.$
* Le seul nombre parfait sans facteur carré est 6.

## Notions apparentées

Si la somme des diviseurs stricts est plus petite que le nombre, ce nombre est dit déficient. Dans le cas où la somme est plus grande, le nombre est dit abondant. Ces termes sont issus de la numérologie grecque. Un couple de nombres dont chacun est la somme des diviseurs stricts de l'autre est dit amical, les cycles plus étendus sont dits sociables. Un entier positif tel que chaque entier inférieur est la somme de diviseurs distincts du premier nombre est dit pratique.

