Nombre multicomplexe (Segre)
# Nombre multicomplexe (Segre)

En mathématiques, les nombres multicomplexes de symbole $\mathbb {C} _{n}$ (n ∈ ℕ) constituent une famille d’algèbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension $2^n$ sur ℝ. Ils ont été introduits par Corrado Segre en 1892.

## Définition

### Par récurrence

Les algèbres multicomplexes $ℂ_n$ se construisent par récurrence, en posant $ℂ_0$ = ℝ comme initialisation. En supposant l’algèbre $ℂ_{n−1|n≥1}$ déjà construite, on introduit une nouvelle unité imaginaire $i_n$ ∉ $ℂ_{n−1}$ vérifiant $i^2$ $_n$ = −1 et commutant avec les précédentes unités imaginaires $i_1,$ …, $i_{n−1}$ : on définit alors $ℂ_n$ = {x + y $i_n$ | (x,y) ∈ $ℂ_{n−1}^2}.$

### Directe

Pour n ≥ 1, 1 et $i_n$ commutent avec tout nombre de $ℂ_{n−1},$ et $Vect(1,i_n)$ ∉ $ℂ_{n−1}$ (car $i_n$ ∉ $ℂ_{n−1}).$ La relation $ℂ_n$ = {x + y $i_n$ | (x,y) ∈ $ℂ_{n−1}^2}$ peut donc se réécrire sous la forme du produit tensoriel d'algèbres $ℂ_n$ = $ℂ_{n−1}$ $⊗_ℝ$ $Vect(1,i_n).$ En outre, puisque $i^2$ $_n$ = −1, on a $Vect(1,i_n)$ ≅ ℂ, d’où $ℂ_n$ = $ℂ_{n−1}$ $⊗_ℝ$ ℂ. ℝ étant l’élément neutre de $⊗_ℝ,$ et donc son produit vide, on a donc :

    $\forall n\in \mathbb {N} ,\mathbb {C} _{n}=\underbrace {\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\cdots \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } _{n{\text{ facteurs}}}={\bigotimes ^{n}}_{\mathbb {R} }\mathbb {C} \ .$

## Propriétés algébriques

* Le nombre de composantes doublant à chaque rang n et $ℂ_0$ = ℝ étant de dimension 1 sur ℝ, $ℂ_n$ est de dimension $2^n$ sur ℝ.
* Chaque $ℂ_n$ est une algèbre de Banach.
* Pour n ≥ 2, par commutativité de l’algèbre, $ℂ_n$ possède des diviseurs de zéro :
   * pour a ≠ b, on a $i_a−i_b$ ≠ 0, $i_a+i_b$ ≠ 0 et $(i_a−i_b)(i_a+i_b)$ = $i^2$ $_a−i^2$ $_b$ = 0 ;
   * pour a ≠ b, on a $i_ai_b−1$ ≠ 0, $i_ai_b+1$ ≠ 0 et $(i_ai_b−1)(i_ai_b+1)$ = $i^2$ $_ai^2$ $_b−1$ = 0.

### Isomorphisme avec les nombres multicomplexes de Fleury

* $ℂ_n$ ≅ $𝓜ℂ_{2n}.$

### Sous-algèbres

* Pour n ≥ 1, $ℂ_0,$ …, $ℂ_{n−1}$ sont des sous-algèbres de $ℂ_n.$
* Pour k ≤ n, $ℂ_n$ est de dimension $2^{n−k}$ sur $ℂ_k.$
* Pour n ≥ 1, chaque unité $i_k$ vérifie $i^2$ $_k$ = −1, donc $ℂ_n$ contient n copies du plan complexe.
* Pour n ≥ 2 et a ≠ b, chaque nombre $j_{a,b}$ = $i_ai_b$ = $i_bi_a$ vérifie $j_{a,b}^2$ = 1, donc $ℂ_n$ contient n(n−1)/2 copies du plan des complexes déployés.

## Cas particuliers

Les cas n ≤ 3 ont des noms consacrés :

* $ℂ_0$ : nombre réel (ℝ) ;
* $ℂ_1$ : nombre complexe (ℂ) ;
* $ℂ_2$ : nombre bicomplexe ;
* $ℂ_3$ : nombre tricomplexe.
