Nombre de Nusselt
# Nombre de Nusselt

Le nombre de Nusselt $\mathrm {Nu}$ est un nombre adimensionnel utilisé pour caractériser le type de transfert thermique entre un fluide et une paroi. Il met en rapport le transfert par convection par rapport au transfert par conduction. Il est d'autant plus élevé que la convection prédomine sur la conduction.

Déterminer le nombre de Nusselt permet de calculer le coefficient de convection thermique à l'aide d'une corrélation, généralement obtenue expérimentalement, qui le lie

* au nombre de Reynolds et au nombre de Prandtl en convection forcée ;
* au nombre de Rayleigh en convection naturelle.

## Définitions

### Nombre de Nusselt local

Le nombre de Nusselt local est défini de la manière suivante :

    $\mathrm {Nu} ={\frac {h\,L_{c}}{\lambda }}$,

avec :

* $h$ : coefficient de transfert thermique ou coefficient de convection $(W·m^{-2}·K^{-1})$ en un point particulier de la surface ;
* $L_{c}$ : longueur caractéristique (m) ; elle est la même que celle utilisée pour le nombre de Reynolds ;
* ${\lambda }$ : conductivité thermique du fluide $(W·m^{-1}·K^{-1}).$

La longueur caractéristique $L_{c}$ dépend de la géométrie de la surface d'échange. Par exemple :

* dans le cas d'une plaque plane, on prendra l'abscisse $x$ à compter du bord d'attaque de la plaque,
* dans le cas d'un écoulement dans une conduite, on prendra le diamètre intérieur $D$ de la canalisation, ou le diamètre hydraulique si la conduite n'a pas une section circulaire.

Le nombre de Nusselt local peut également s'écrire sous la forme d'un gradient de température adimensionné à la paroi.

En posant $y^{+}={\frac {y}{L_{c}}}$ et $T^{+}={\frac {T-T_{s}}{T_{\infty }-T_{s}}}$ , on obtient à partir de l'équation de définition du coefficient de transfert :

    $\mathrm {Nu} ={\frac {\partial T^{+}}{\partial y^{+}}}{\Bigg |}_{\mathrm {paroi} }$,

avec $T$ la température du fluide en une position donnée, $T_{s}$ la température de surface de la paroi et $T_{\infty }$ la température du fluide à grande distance de la paroi.

Dans le cas d'un fluide en mouvement sur une plaque :

    $\varphi =h(T_{s}-T_{\infty })=-\lambda {\frac {\partial T}{\partial y}}{\Bigg |}_{y=0}\Leftrightarrow {\frac {h}{\lambda }}=-{\frac {1}{T_{s}-T_{\infty }}}{\frac {\partial T}{\partial y}}{\Bigg |}_{y=0}$.

On introduit les grandeur adimensionnelles pour une position à une distance $x$ du bord d'attaque (grandeur caractéristique locale) :

    $T^{+}={\frac {T-T_{s}}{T_{\infty }-T_{s}}}$ et $y^{+}={\frac {y}{x}}$.

On obtient l'expression du nombre de Nusselt :

    ${\frac {\partial T^{+}}{\partial y^{+}}}{\Bigg |}_{y^{+}=0}={\frac {x}{T_{s}-T_{\infty }}}{\frac {\partial T}{\partial y}}{\Bigg |}_{y=0}={\frac {x\ h}{\lambda }}=\mathrm {Nu} _{x}$.

### Nombre de Nusselt global

Le nombre de Nusselt global permet de calculer le coefficient de convection moyen sur la totalité de la surface. Il s'exprime :

    ${\overline {\mathrm {Nu} }}={\frac {{\overline {h}}\,L_{c}}{\lambda }}$,

où ${\overline {h}}={\frac {1}{S}}\iint _{S}h\ \mathrm {d} S$ de sorte que le flux thermique soit $\Phi ={\overline {h}}\,S\,(T_{s}-T_{\infty })$.

## Corrélations

### En convection forcée

L'application du théorème de Buckingham à un problème de convection forcée, pour un écoulement établi en vitesse et en température avec un fluide dont les propriétés thermomécaniques sont constantes, fait apparaître trois groupements ou nombres sans dimension en relation sous la forme suivante :

    $\mathrm {Nu} =C\ \mathrm {Re} ^{\alpha }\ \mathrm {Pr} ^{\beta }$,

avec :

* $\mathrm {Re} ={\frac {V\,L_{c}}{\nu }}={\frac {\rho \,V\,L_{c}}{\mu }}$ le nombre de Reynolds,
* $\mathrm {Pr} \,=\,{\frac {\nu }{\alpha }}\,=\,{\frac {\mu \,c_{p}}{\lambda }}$ le nombre de Prandtl qui ne dépend que des propriétés du fluide,

où

* $V$ est un ordre de grandeur de la vitesse du fluide (m $s^{−1}),$
* $\rho$ est la masse volumique du fluide (kg $m^{−3}),$
* $\mu$ est la viscosité dynamique du fluide (kg $m^{−1}$ $s^{−1}$ ou Pa s),
* $\nu ={\frac {\mu }{\rho }}$ est la viscosité cinématique $(m^2$ $s^{−1}),$
* $c_{p}$ est la capacité thermique massique à pression constante (en J $kg^{−1}$ $K^{−1}),$
* $\alpha ={\tfrac {\lambda }{\rho \,c_{p}}}$ est la diffusivité thermique $(m^2$ $s^{−1}).$

Cette somme représente une fonction $f$, nommée corrélation car elle ne peut être, le plus souvent, précisée que par l'expérience. Dans ce cas, la forme prise par la corrélation peut être différente de l'expression simple proposée plus haut. De façon générale toutefois, la littérature scientifique fournit des fonctions selon les différentes conditions étudiées :

    $\mathrm {Nu} _{L_{c}}=f(\mathrm {Re} _{L_{c}},\mathrm {Pr} )$ et/ou ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L_{c}}=g\left(\mathrm {Re} _{L_{c}},\mathrm {Pr} \right)$.

L'objectif est, en général, de déterminer le nombre de Nusselt afin d'en déduire le coefficient de transfert thermique local $h$ ou global ${\overline {h}}$ par convection.

Les corrélations sont très nombreuses et il est difficile d'en dresser une liste exhaustive ; en voici néanmoins quelques exemples.

| Géométrie | Corrélation | Corrélation | Conditions |
| - | - | - | - |
| Écoulement parallèle à une surface plane isotherme $x$ est l'abscisse en prenant le bord d'attaque comme origine | $\mathrm {Nu} _{x}=0,332\,\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3}$ (local) ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=0,664\,\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3}$ (moyen entre 0 et $x$) | $\mathrm {Nu} _{x}=0,332\,\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3}$ (local) ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=0,664\,\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3}$ (moyen entre 0 et $x$) | Écoulement laminaire $\mathrm {Re} _{x}<5.10^{5}$ et $\mathrm {Pr} >0,7$ |
| Écoulement parallèle à une surface plane isotherme $x$ est l'abscisse en prenant le bord d'attaque comme origine | $\mathrm {Nu} _{x}=0,0296\,\mathrm {Re} _{x}^{4/5}\,\mathrm {Pr} ^{1/3}$ | $\mathrm {Nu} _{x}=0,0296\,\mathrm {Re} _{x}^{4/5}\,\mathrm {Pr} ^{1/3}$ | Écoulement turbulent $\mathrm {Re} _{x}>5.10^{5}$ et $0,6<\mathrm {Pr} <60$ |
| Écoulement perpendiculaire à un cylindre isotherme | Hilpert : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=C\,\mathrm {Re} _{D}^{n}\mathrm {Pr} ^{1/3}$ | $n=0,330$ et $C=0,989$ | $0,4\leqslant \mathrm {Re} _{D}\leqslant 4$ |
| Écoulement perpendiculaire à un cylindre isotherme | Hilpert : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=C\,\mathrm {Re} _{D}^{n}\mathrm {Pr} ^{1/3}$ | $n=0,385$ et $C=0,911$ | $4\leqslant \mathrm {Re} _{D}\leqslant 40$ |
| Écoulement perpendiculaire à un cylindre isotherme | Hilpert : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=C\,\mathrm {Re} _{D}^{n}\mathrm {Pr} ^{1/3}$ | $n=0,466$ et $C=0,683$ | $40\leqslant \mathrm {Re} _{D}\leqslant 4\,000$ |
| Écoulement perpendiculaire à un cylindre isotherme | Hilpert : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=C\,\mathrm {Re} _{D}^{n}\mathrm {Pr} ^{1/3}$ | $n=0,618$ et $C=0,193$ | $4\,000\leqslant \mathrm {Re} _{D}\leqslant 40\,000$ |
| Écoulement perpendiculaire à un cylindre isotherme | Hilpert : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=C\,\mathrm {Re} _{D}^{n}\mathrm {Pr} ^{1/3}$ | $n=0,805$ et $C=0,027$ | $40\,000\leqslant \mathrm {Re} _{D}\leqslant 400\,000$ |
| Écoulement dans un tube de paroi isotherme | $\mathrm {Nu} _{D}=3{,}66$$^,$ | $\mathrm {Nu} _{D}=3{,}66$$^,$ | Région thermique pleinement développée : ${\frac {x}{D}}>0{,}05\,\mathrm {Re} _{D}\,\mathrm {Pr}$. |
| Écoulement dans un tube à densité de flux thermique pariétal constant | $\mathrm {Nu} _{D}=4{,}36$$^,$ | $\mathrm {Nu} _{D}=4{,}36$$^,$ | | Région thermique pleinement développée : ${\frac {x}{D}}>0{,}05\,\mathrm {Re} _{D}\,\mathrm {Pr}$. |

### En convection naturelle

Pour l'étude de la convection naturelle, le nombre de Reynolds n'a pas de sens puisque le fluide est au repos à distance de la paroi. Le nombre de Grashof est utilisé à sa place :

    $\mathrm {Gr} _{L_{c}}={\frac {g\,\beta \,(T_{s}-T_{\infty })\,L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}={\frac {g\,\beta \,(T_{s}-T_{\infty })\,{L_{\mathrm {c} }}^{3}\,{\rho }^{2}}{\mu ^{2}}}$,

où :

* $g$ est l'accélération de la pesanteur (m $s^{−2})$ ;
* $\beta$ est le coefficient de dilatation $(K^{−1})$ ;
* $\Delta T=T_{s}-T_{\infty }$ est la différence de température entre la paroi et le fluide au repos à distance de la paroi (K).

Le nombre de Rayleigh lui est associé par : $\mathrm {Ra} _{L_{c}}=\mathrm {Pr} \,\mathrm {Gr} _{L_{c}}$.

Dans les cas les plus simples la corrélation prend la forme ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L_{c}}=C\,\mathrm {Ra} _{L_{c}}^{n}$. mais de façon plus générale on pourra rencontrer des fonctions plus sophistiquées :

    $\mathrm {Nu} _{L_{c}}=f\left(\mathrm {Gr} _{L_{c}},\mathrm {Pr} \right)$ et/ou ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L_{c}}=g\left(\mathrm {Gr} _{L_{c}},\mathrm {Pr} \right)$.

Quelques exemples sont proposés dans le tableau qui suit. Un recueil plus important est fourni en boite déroulante plus loin.

| Géométrie | Corrélation | Corrélation | Conditions |
| - | - | - | - |
| Surface plane verticale isotherme $x$ est l'abscisse en prenant le bord d'attaque comme origine (en bas pour une paroi chaude, en haut pour une paroi froide) | ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=C\,\mathrm {Ra} _{x}^{n}$ | $n=1/4$ et $C=0,59$$^,$ | Écoulement laminaire $10^{4}\leqslant \mathrm {Ra} \leqslant 10^{9}$ |
| Surface plane verticale isotherme $x$ est l'abscisse en prenant le bord d'attaque comme origine (en bas pour une paroi chaude, en haut pour une paroi froide) | ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=C\,\mathrm {Ra} _{x}^{n}$ | $n=1/3$ et $C=0,10$$^,$ | Écoulement turbulent $10^{9}\leqslant \mathrm {Ra} \leqslant 10^{13}$ |
| Surface plane verticale isotherme $x$ est l'abscisse en prenant le bord d'attaque comme origine (en bas pour une paroi chaude, en haut pour une paroi froide) | Résultats obtenus $analytiquement^,$ $\mathrm {Nu} _{x}=0,508\,\mathrm {Ra} _{x}^{1/4}\left({\frac {\mathrm {Pr} }{0,952+\mathrm {Pr} }}\right)^{1/4}$ ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}={\frac {4}{3}}\mathrm {Nu} _{x}=0,667\,\mathrm {Ra} _{x}^{1/4}\left({\frac {\mathrm {Pr} }{0,952+\mathrm {Pr} }}\right)^{1/4}$ | Résultats obtenus $analytiquement^,$ $\mathrm {Nu} _{x}=0,508\,\mathrm {Ra} _{x}^{1/4}\left({\frac {\mathrm {Pr} }{0,952+\mathrm {Pr} }}\right)^{1/4}$ ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}={\frac {4}{3}}\mathrm {Nu} _{x}=0,667\,\mathrm {Ra} _{x}^{1/4}\left({\frac {\mathrm {Pr} }{0,952+\mathrm {Pr} }}\right)^{1/4}$ | Écoulement laminaire $\mathrm {Ra} \leqslant 10^{9}$ |
| Cylindre horizontal | $Morgan^,$ : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=C\,\mathrm {Ra} _{D}^{n}$ | $n=0,058$ et $C=0,675$ | $10^{-10}\leqslant \mathrm {Ra} _{D}\leqslant 10^{-2}$ |
| Cylindre horizontal | $Morgan^,$ : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=C\,\mathrm {Ra} _{D}^{n}$ | $n=0,148$ et $C=1,02$ | $10^{-2}\leqslant \mathrm {Ra} _{D}\leqslant 10^{2}$ |
| Cylindre horizontal | $Morgan^,$ : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=C\,\mathrm {Ra} _{D}^{n}$ | $n=0,188$ et $C=0,850$ | $10^{2}\leqslant \mathrm {Ra} _{D}\leqslant 10^{4}$ |
| Cylindre horizontal | $Morgan^,$ : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=C\,\mathrm {Ra} _{D}^{n}$ | $n=0,250$ et $C=0,480$ | $10^{4}\leqslant \mathrm {Ra} _{D}\leqslant 10^{7}$ |
| Cylindre horizontal | $Morgan^,$ : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=C\,\mathrm {Ra} _{D}^{n}$ | $n=0,333$ et $C=0,125$ | $10^{7}\leqslant \mathrm {Ra} _{D}\leqslant 10^{12}$ |
| Corrélation | Corrélation | Conditions |
| Surface plane verticale isotherme |||
| $T_{s}$ : température de la paroi isotherme. $L$ : hauteur de la paroi. $x$ : abscisse en prenant le bord d'attaque comme origine (en bas pour une paroi chaude, en haut pour une paroi froide). Les propriétés thermophysiques du fluide sont évaluées à une température $T_{f}={\frac {T_{s}+T_{\infty }}{2}}$. $\mathrm {Nu} _{x}={\frac {h(x)\,x}{\lambda }}$ : nombre de Nusselt local à l'abscisse $x$. ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}={\frac {{\overline {h}}\,x}{\lambda }}$ : nombre de Nusselt moyen entre le bord d'attaque et l'abscisse $x$. ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}=\left({\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}\right)_{x=L}$ : nombre de Nusselt moyen sur la hauteur de la paroi. |||
| ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=C\,\mathrm {Ra} _{x}^{n}$ | $n=1/4$ et $C=0,59$$^,$ | Écoulement laminaire $10^{4}\leqslant \mathrm {Ra} \leqslant 10^{9}$ |
| ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=C\,\mathrm {Ra} _{x}^{n}$ | $n=1/3$ et $C=0,10$$^,$ | Écoulement turbulent $10^{9}\leqslant \mathrm {Ra} \leqslant 10^{13}$ |
| Résultats obtenus $analytiquement^,$ $\mathrm {Nu} _{x}=0,508\,\mathrm {Ra} _{x}^{1/4}\left({\frac {\mathrm {Pr} }{0,952+\mathrm {Pr} }}\right)^{1/4}$ ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}={\frac {4}{3}}\mathrm {Nu} _{x}=0,667\,\mathrm {Ra} _{x}^{1/4}\left({\frac {\mathrm {Pr} }{0,952+\mathrm {Pr} }}\right)^{1/4}$ | Résultats obtenus $analytiquement^,$ $\mathrm {Nu} _{x}=0,508\,\mathrm {Ra} _{x}^{1/4}\left({\frac {\mathrm {Pr} }{0,952+\mathrm {Pr} }}\right)^{1/4}$ ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}={\frac {4}{3}}\mathrm {Nu} _{x}=0,667\,\mathrm {Ra} _{x}^{1/4}\left({\frac {\mathrm {Pr} }{0,952+\mathrm {Pr} }}\right)^{1/4}$ | Écoulement laminaire $\mathrm {Ra} \leqslant 10^{9}$ |
| Churchill et $Chu^,^,^,$ ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=\left(0,825+{\frac {0,387\mathrm {Ra} _{x}^{1/6}}{\left(1+\left(0,492/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{8/27}}}\right)^{2}$ $\mathrm {Nu} _{x}$ est pratiquement uniforme en régime turbulent. | Churchill et $Chu^,^,^,$ ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=\left(0,825+{\frac {0,387\mathrm {Ra} _{x}^{1/6}}{\left(1+\left(0,492/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{8/27}}}\right)^{2}$ $\mathrm {Nu} _{x}$ est pratiquement uniforme en régime turbulent. | Pour tous types d'écoulements $0,1\leqslant \mathrm {Ra} \leqslant 10^{12}$ |
| Churchill et $Chu^,^,$ ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=0,68+{\frac {0,670\mathrm {Ra} _{x}^{1/4}}{\left(1+\left(0,492/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{4/9}}}$ $\mathrm {Nu} _{x}=0,68+{\frac {3}{4}}{\frac {0,670\mathrm {Ra} _{x}^{1/4}}{\left(1+\left(0,492/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{4/9}}}$ | Churchill et $Chu^,^,$ ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=0,68+{\frac {0,670\mathrm {Ra} _{x}^{1/4}}{\left(1+\left(0,492/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{4/9}}}$ $\mathrm {Nu} _{x}=0,68+{\frac {3}{4}}{\frac {0,670\mathrm {Ra} _{x}^{1/4}}{\left(1+\left(0,492/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{4/9}}}$ | Écoulement laminaire $\mathrm {Ra} \leqslant 10^{9}$ |
| Surface plane verticale à flux thermique constant |||
| $\varphi$ : densité de flux thermique en n'importe quel point de la surface. $\mathrm {Gr} _{x}^{*}=\mathrm {Gr} _{x}\,\mathrm {Nu} _{x}={\frac {g\,\beta \,\varphi \,x^{4}}{\nu \,\alpha \,\lambda }}$ : nombre de Grashof modifié. |||
| Sparrow et Gregg, Vliet et Liu, Vliet $\mathrm {Nu} _{x}=0,60\left(\mathrm {Gr} _{x}^{*}\,\mathrm {Pr} \right)^{1/5}$ ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=1,25\,\mathrm {Nu} _{x}$ | Sparrow et Gregg, Vliet et Liu, Vliet $\mathrm {Nu} _{x}=0,60\left(\mathrm {Gr} _{x}^{*}\,\mathrm {Pr} \right)^{1/5}$ ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=1,25\,\mathrm {Nu} _{x}$ | Écoulement laminaire $10^{5}\leqslant \mathrm {Gr} _{x}^{*}\,\mathrm {Pr} \leqslant 10^{11}$ |
| Sparrow et Gregg, Vliet et Liu, Vliet $\mathrm {Nu} _{x}=0,568\left(\mathrm {Gr} _{x}^{*}\,\mathrm {Pr} \right)^{0,22}$ ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=1,136\,\mathrm {Nu} _{x}$ | Sparrow et Gregg, Vliet et Liu, Vliet $\mathrm {Nu} _{x}=0,568\left(\mathrm {Gr} _{x}^{*}\,\mathrm {Pr} \right)^{0,22}$ ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=1,136\,\mathrm {Nu} _{x}$ | Écoulement laminaire $10^{13}\leqslant \mathrm {Gr} _{x}^{*}\,\mathrm {Pr} \leqslant 10^{16}$ |
| Churchill et $Chu^,^,^,$ ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=\left(0,825+{\frac {0,387\mathrm {Ra} _{x}^{1/6}}{\left(1+\left(0,492/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{8/27}}}\right)^{2}$ Bonne approximation localement $\mathrm {Nu} _{x}=0,17+{\frac {3}{4}}{\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}$ . | Churchill et $Chu^,^,^,$ ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=\left(0,825+{\frac {0,387\mathrm {Ra} _{x}^{1/6}}{\left(1+\left(0,492/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{8/27}}}\right)^{2}$ Bonne approximation localement $\mathrm {Nu} _{x}=0,17+{\frac {3}{4}}{\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}$ . | Pour tout type d'écoulement $0,1\leqslant \mathrm {Ra} \leqslant 10^{12}$ |
| Surface plane inclinée à température constante : surface chaude vers le bas ou surface froide vers le haut |||
| L'inclinaison de la surface d'échange est caractérisée par l'angle $\theta$ pris entre la verticale et la surface ; il est positif si la surface chaude est orienté vers le bas et négatif dans les cas contraires. En régime laminaire et dans les cas d'une surface chaude orientée vers le bas ou d'une surface froide orientée vers le haut, les relations précédentes, utilisables dans le cas d'une surface plane verticale, sont applicables à condition de remplacer $g$ par $g\,\cos \theta$. |||
| La corrélation de Churchill et Chu reste valable dans certaines conditions : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=0,68+{\frac {0,670\mathrm {Ra} _{x}^{1/4}}{\left(1+\left(0,492/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{4/9}}}$ . | La corrélation de Churchill et Chu reste valable dans certaines conditions : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=0,68+{\frac {0,670\mathrm {Ra} _{x}^{1/4}}{\left(1+\left(0,492/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{4/9}}}$ . | $g$ remplacé par $g\,\cos \theta$ pour le calcul de $\mathrm {Ra}$. $\theta <45^{\circ }$ pour $10^{5}\leqslant \mathrm {Ra} \leqslant 10^{11}$ |
| Pour les faibles inclinaisons : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}=0,58\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/5}$ . | Pour les faibles inclinaisons : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}=0,58\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/5}$ . | $\mathrm {Ra}$ calculé à partir de $g$ et non $g\,\cos \theta$. $87^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }$ pour $10^{6}\leqslant \mathrm {Ra} \leqslant 10^{9}$ $89^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }$ pour $10^{9}\leqslant \mathrm {Ra} \leqslant 10^{11}$ |
| Surface plane inclinée à température constante : surface chaude vers le haut ou surface froide vers le bas |||
| La couche limite est plus instable dans ces conditions, il est plus fréquent d'avoir recours à des corrélations expérimentales. |||
| La corrélation de Churchill et Chu reste valable dans certaines conditions : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=0,68+{\frac {0,670\mathrm {Ra} _{x}^{1/4}}{\left(1+\left(0,492/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{4/9}}}$ . | La corrélation de Churchill et Chu reste valable dans certaines conditions : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}=0,68+{\frac {0,670\mathrm {Ra} _{x}^{1/4}}{\left(1+\left(0,492/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{4/9}}}$ . | $g$ remplacé par $g\,\cos \theta$ pour le calcul de $\mathrm {Ra}$. $\theta <45^{\circ }$ pour $10^{5}\leqslant \mathrm {Ra} \leqslant 10^{9}$ |
| Raithby et Hollands : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}=0,14\,\mathrm {Ra} ^{1/3}\left({\frac {1+0,0107\,\mathrm {Pr} }{1+0,01\,\mathrm {Pr} }}\right)$ . | Raithby et Hollands : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}=0,14\,\mathrm {Ra} ^{1/3}\left({\frac {1+0,0107\,\mathrm {Pr} }{1+0,01\,\mathrm {Pr} }}\right)$ . | $60^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }$$10^{7}\leqslant \mathrm {Ra} \leqslant 2.10^{11}$ et $0,024\leqslant \mathrm {Pr} \leqslant 2000$Pour les gaz si $\mathrm {Ra}$ est grand, Clausing et Berton : $T_{f}=T_{s}-0,83(T_{s}-T_{\infty })$ si $1\leqslant T_{s}/T_{\infty }\leqslant 3$ |
| Surface plane inclinée à densité de flux constante : surface chaude vers le bas ou surface froide vers le haut |||
| ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}=0,56\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/4}$ | ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}=0,56\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/4}$ | $\theta <88^{\circ }$ et $10^{5}<\mathrm {Ra} _{L}<10^{11}$ |
| Pour les faibles inclinaisons : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}=0,58\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/5}$ . | Pour les faibles inclinaisons : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}=0,58\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/5}$ . | $\mathrm {Ra}$ calculé à partir de $g$ et non $g\,\cos \theta$. $88^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }$ et $10^{6}<\mathrm {Ra} <10^{11}$ |
| Surface plane horizontale isotherme : surface chaude vers le haut ou surface froide vers le bas |||
| Certaines corrélation préconisent l'utilisation de $L^{*}={\frac {S}{P}}$ comme: longueur caractéristique, rapport de la surface sur le $périmètre^,.$ D'autre simplement la longueur $L$. Les propriétés thermophysiques du fluide sont évaluées à une température $T_{f}={\frac {T_{s}+T_{\infty }}{2}}$ si la température de la surface d'échange peut être considérée constante. |||
| ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L^{*}}=C\,\mathrm {Ra} _{L^{*}}^{n}$ | $n=1/4$ et $C=0,27$$^,^,$ | Ecoulement laminaire $3.10^{5}\leqslant \mathrm {Ra} _{L^{*}}\leqslant 3.10^{10}$ $10^{5}\leqslant \mathrm {Ra} _{L^{*}}\leqslant 10^{10}$$^,$ |
| ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L^{*}}=C\,\mathrm {Ra} _{L^{*}}^{n}$ | $n=1/5$ et $C=0,52$ | $10^{4}\leqslant \mathrm {Ra} _{L^{*}}\leqslant 10^{9}$ et $\mathrm {Pr} >0,7$ |
| Surface plane horizontale isotherme : surface chaude vers le haut ou surface froide vers le bas |||
| ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L^{*}}=C\,\mathrm {Ra} _{L^{*}}^{n}$ | $n=1/4$ et $C=0,54$$^,^,$ | Ecoulement laminaire $10^{5}\leqslant \mathrm {Ra} _{L^{*}}\leqslant 2.10^{7}$ $10^{4}\leqslant \mathrm {Ra} _{L^{*}}\leqslant 10^{7}$$^,$ |
| ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L^{*}}=C\,\mathrm {Ra} _{L^{*}}^{n}$ | $n=1/3$ et $C=0,14$ $n=1/3$ et $C=0,15$$^,^,$ | Ecoulement turbulent $2.10^{7}\leqslant \mathrm {Ra} _{L^{*}}\leqslant 3.10^{10}$ $10^{7}\leqslant \mathrm {Ra} _{L^{*}}\leqslant 10^{9}$$^,$ |
| Raithby et Hollands : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}=0,14\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/3}\left({\frac {1+0,0107\,\mathrm {Pr} }{1+0,01\,\mathrm {Pr} }}\right)$ . | Raithby et Hollands : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}=0,14\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/3}\left({\frac {1+0,0107\,\mathrm {Pr} }{1+0,01\,\mathrm {Pr} }}\right)$ . | $10^{7}\leqslant \mathrm {Ra} _{L}\leqslant 2.10^{11}$ et $0,024\leqslant \mathrm {Pr} \leqslant 2000$Pour les gaz si $\mathrm {Ra} _{L}$ est grand, Clausing et Berton : $T_{f}=T_{s}-0,83(T_{s}-T_{\infty })$ si $1\leqslant T_{s}/T_{\infty }\leqslant 3$ |
| Raithby et Hollands : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L^{*}}={\frac {0,560\,\mathrm {Ra} _{L^{*}}^{1/4}}{\left(1+\left(0,492/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{4/9}}}$ . Si ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L^{*}}\leqslant 10$ une correction est proposée : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{corr}={\frac {1,4}{\ln \left(1+1,4{\sqrt {\mathrm {Nu} _{L^{*}}}}\right)}}$ . | Raithby et Hollands : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L^{*}}={\frac {0,560\,\mathrm {Ra} _{L^{*}}^{1/4}}{\left(1+\left(0,492/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{4/9}}}$ . Si ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L^{*}}\leqslant 10$ une correction est proposée : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{corr}={\frac {1,4}{\ln \left(1+1,4{\sqrt {\mathrm {Nu} _{L^{*}}}}\right)}}$ . | $\mathrm {Ra} _{L^{*}}\leqslant 10^{7}$ |
| Surface plane horizontale à densité de flux constant : surface chaude vers le bas ou surface froide vers le haut |||
| ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L^{*}}=C\,\mathrm {Ra} _{L^{*}}^{n}$ | $n=1/5$ et $C=0,13$ | $10^{6}\leqslant \mathrm {Ra} _{L^{*}}\leqslant 10^{11}$ |
| Surface plane horizontale à densité de flux constant : surface chaude vers le haut ou surface froide vers le bas |||
| ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L^{*}}=C\,\mathrm {Ra} _{L^{*}}^{n}$ | $n=1/3$ et $C=0,13$ | $\mathrm {Ra} _{L^{*}}<2.10^{8}$ |
| ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{L^{*}}=C\,\mathrm {Ra} _{L^{*}}^{n}$ | $n=1/3$ et $C=0,16$ | $5.10^{8}\leqslant \mathrm {Ra} _{L^{*}}\leqslant 10^{11}$ |
| Cylindre horizontal isotherme |||
| $Morgan^,$ : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=C\,\mathrm {Ra} _{D}^{n}$ | $n=0,058$ et $C=0,675$ | $10^{-10}\leqslant \mathrm {Ra} _{D}\leqslant 10^{-2}$ |
| $Morgan^,$ : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=C\,\mathrm {Ra} _{D}^{n}$ | $n=0,148$ et $C=1,02$ | $10^{-2}\leqslant \mathrm {Ra} _{D}\leqslant 10^{2}$ |
| $Morgan^,$ : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=C\,\mathrm {Ra} _{D}^{n}$ | $n=0,188$ et $C=0,850$ | $10^{2}\leqslant \mathrm {Ra} _{D}\leqslant 10^{4}$ |
| $Morgan^,$ : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=C\,\mathrm {Ra} _{D}^{n}$ | $n=0,250$ et $C=0,480$ | $10^{4}\leqslant \mathrm {Ra} _{D}\leqslant 10^{7}$ |
| $Morgan^,$ : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=C\,\mathrm {Ra} _{D}^{n}$ | $n=0,333$ et $C=0,125$ | $10^{7}\leqslant \mathrm {Ra} _{D}\leqslant 10^{12}$ |
| Churchill et Chu : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=0,36+{\frac {0,514\,\mathrm {Ra} _{D}^{1/4}}{\left(1+\left(0,559/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{4/9}}}$ . | Churchill et Chu : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=0,36+{\frac {0,514\,\mathrm {Ra} _{D}^{1/4}}{\left(1+\left(0,559/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{4/9}}}$ . | $10^{-6}\leqslant \mathrm {Ra} _{D}\leqslant 10^{9}$ |
| Pour une plus large gamme $d'utilisations^,^,^,$ : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=\left(0,60+0,387\left({\frac {\mathrm {Ra} _{D}}{\left(1+\left(0,559/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{16/9}}}\right)^{1/6}\right)^{2}$ . | Pour une plus large gamme $d'utilisations^,^,^,$ : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=\left(0,60+0,387\left({\frac {\mathrm {Ra} _{D}}{\left(1+\left(0,559/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{16/9}}}\right)^{1/6}\right)^{2}$ . | $10^{-4}<\mathrm {Ra} _{D}<10^{12}$ |
| Cylindre vertical isotherme |||
| ${\overline {Nu}}_{L}={\frac {4}{3}}\left({\frac {7\,\mathrm {Ra} _{L}\,\mathrm {Pr} }{100+105\,\mathrm {Pr} }}\right)^{1/4}+0,1143{\frac {272+315\,\mathrm {Pr} }{64+63\,\mathrm {Pr} }}{\frac {L}{D}}$ | ${\overline {Nu}}_{L}={\frac {4}{3}}\left({\frac {7\,\mathrm {Ra} _{L}\,\mathrm {Pr} }{100+105\,\mathrm {Pr} }}\right)^{1/4}+0,1143{\frac {272+315\,\mathrm {Pr} }{64+63\,\mathrm {Pr} }}{\frac {L}{D}}$ | ${\frac {D}{L}}>35\,\mathrm {Gr} ^{-1/4}$ |
| Il est possible d'utiliser les mêmes corrélations que pour une surface plane isotherme, le coefficient de convection est obtenu par l'intermédiaire d'un facteur correcteur de sorte $que^,$ : ${\frac {h_{\mathrm {cyl} }(x)}{h_{\mathrm {plan} }(x)}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{\mathrm {Gr} _{x}^{1/4}}}{\frac {x}{R}}$ , ${\frac {{\overline {h}}_{\mathrm {cyl} }}{{\overline {h}}_{\mathrm {plan} }}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{\mathrm {Gr} _{L}^{1/4}}}{\frac {L}{R}}$ . $R$ est le rayon du cylindre, $D$ son diamètre et $L$ sa longueur. |||
| Sphère isotherme |||
| $Yuge^,$ : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=2+0,43\,\mathrm {Ra} _{D}^{1/4}$ . | $Yuge^,$ : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=2+0,43\,\mathrm {Ra} _{D}^{1/4}$ . | Dans un gaz et $\mathrm {Ra} _{D}<10^{5}$ |
| Autre corrélation pour tous types de $fluides^,^,$ : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=2+{\frac {0,589\,\mathrm {Ra} _{D}^{1/4}}{\left(1+\left(0,492/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{4/9}}}$ . | Autre corrélation pour tous types de $fluides^,^,$ : ${\overline {\mathrm {Nu} }}_{D}=2+{\frac {0,589\,\mathrm {Ra} _{D}^{1/4}}{\left(1+\left(0,492/\mathrm {Pr} \right)^{9/16}\right)^{4/9}}}$ . | $\mathrm {Ra} _{D}<10^{12}$ et $\mathrm {Pr} >0,7$ |
