Ensemble sans somme
# Ensemble sans somme

En combinatoire additive et en théorie additive des nombres, un sous-ensemble $A$ d'un groupe abélien noté additivement est un ensemble sans somme si la somme d'ensembles $A\oplus A=\{a+b\mid a,b\in A\}$ est disjointe de $A$. De manière équivalente, $A$ est sans somme si l'équation $a+b=c$ n'a pas de solution avec $a,b,c\in A$.

Par exemple, l'ensemble des entiers impairs est un sous-ensemble sans somme de l'ensemble des entiers ; de même, si n est un entier naturel pair, l'ensemble {n/2 + 1, … , n} est un sous-ensemble sans somme de {1, … , n}.

Concernant ces ensembles, on peut se poser la question suivante :

    Quel est le nombre $a_{n}$ de sous-ensembles sans somme de {1, … , n}, pour un entier n ?

$a_{n}$ est trivialement $\geqslant n+1$ puisque l'ensemble vide et les singletons sont sans somme.

Les premières valeurs en commençant à $n=1$ sont :

    2, 3, 6, 9, 16, 24, 42, 61, 108, 151, 253, 369, 607, 847, 1400, 1954,..., suite A007865 de l'OEIS.

Par exemple, $a(3)=6$, car hormis le vide et les singletons, seuls $\{1,3\}$ et $\{2,3\}$ sont sans somme.

Ben J. Green a montré que la réponse asymptotique est $O(2^{n/2}),$ comme suggéré dans la conjecture de Cameron-Erdős.

Alexander Sapozhenko a montré plus précisément que le nombre est ∼ $c_0$ $2^{n/2}$ si n est pair, et ∼ $c_1$ $2^{n/2}$ si n est impair, où $c_0$ et $c_1$ sont des constantes.

D'autres questions ont été posées et examinées :

* Quel est le nombre de sous-ensembles sans somme dans un groupe abélien ?
* Quelle est la taille maximale d'un sous-ensemble sans somme dans un groupe abélien ?
