Multivecteur
# Multivecteur

Un multivecteur est le résultat d'un produit défini pour les éléments d'un espace vectoriel V. Un espace vectoriel muni d'une opération linéaire de produit entre ses éléments est une algèbre; on peut compter parmi les exemples d'algèbres sur un corps celles des matrices et des $vecteurs.^,^,.$ L'algèbre des multivecteurs est construite grâce au produit extérieur ∧ et est liée à l’algèbre extérieure des formes différentielles.

L'ensemble des multivecteurs d'un espace vectoriel V est gradué par le nombre de vecteurs de la base de V qui forment un multivecteur de l’ensemble. Un multivecteur produit de p vecteurs de base est appelé multivecteur de grade p, ou p-vecteur. La combinaison linéaire de p-vecteurs de base forme un espace vectoriel noté $Λ^p(V).$ Le grade maximal d'un multivecteur est la dimension de V.

Le produit d'un p-vecteur et d'un k-vecteur est un (k + p)-vecteur, l'ensemble des combinaisons linéaires de tous les multivecteurs sur V est une algèbre associative et close par le produit extérieur. Cette algèbre, notée Λ(V), est appelée l'algèbre extérieure de V.

## Définition

Soit $ℝ^n$ l'espace euclidien, muni de sa base orthonormée canonique

    $(e_{1},\ldots ,e_{n}).$

Si l'on se donne m vecteurs $v_{1},\ldots ,v_{m}$, on peut utiliser le produit extérieur pour former ce qu'on appelle un multivecteur ou encore m-vecteur :

    $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{m}.$

Si l'on note $e_{ij}=e_{i}\wedge e_{j}$, alors l'espace des m-vecteurs sur $ℝ^n,$ noté usuellement $Λ_mℝ^n,$ est un espace vectoriel dont les éléments sont de la forme :

    $\sum _{i_{1}<\ldots <i_{m}}{a_{i_{1},\ldots ,i_{m}}e_{i_{1},\ldots ,i_{m}}}.$

Un multivecteur est dit décomposable s'il peut être écrit comme produit extérieur de vecteurs de $ℝ^n.$ Par exemple sur $ℝ^4,$ c'est le cas de $e_{12}+2e_{13}-e_{23}=(e_{1}+e_{3})\wedge (e_{2}+2e_{3})$ mais pas de $e_{12}+e_{34}$.

## Propriétés

Cet espace est muni d'une base canonique qui est

    $\{e_{i_{1},\ldots ,i_{m}}\mid i_{1}<\ldots <i_{m}\}$

donc sa dimension est le coefficient binomial $C_{n}^{m}$.

De plus, cette base définit un produit scalaire sur cet espace.

Si m = n, alors

    $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}=$ det$[v_{1},\ldots ,v_{n}]e_{1,\ldots ,n}.$

## Interprétation

L'idée géométrique sous-jacente aux multivecteurs est de représenter un sous-espace vectoriel P de dimension m, dont l'expression $v=v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{m}$ en donnerait la base orientée.

Si l'on prend une autre base orientée de P, son produit extérieur $v'_{1}\wedge \ldots \wedge v'_{m}$ est un multiple positif de v.

Si $v_{1},\ldots ,v_{m}$ est une base orthonormée, alors $\|v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{m}\|=1.$

$v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{m}=0$ si et seulement si ces vecteurs sont liés.

