Module projectif
# Module projectif

En mathématiques, un module projectif est un module P (à gauche par exemple) sur un anneau A tel que pour tout morphisme surjectif f : N → M entre deux A-modules (à gauche) et pour tout morphisme g : P → M, il existe un morphisme h : P → N tel que g = fh, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute :

Autrement dit : P est projectif si pour tout module N, tout morphisme de P vers un quotient de N se factorise par N.

## Propriétés

* Les A-modules projectifs sont les objets projectifs de la catégorie abélienne des A-modules : P est projectif si et seulement si le foncteur Hom(P, ) (covariant, exact à gauche) est exact.
* Un module est projectif si et seulement s'il est facteur direct dans un module libre.
* Par conséquent, tout module projectif est plat. La réciproque est fausse, mais tout module plat de présentation finie est projectif.
* Sur un anneau de Dedekind A, tout module projectif de type fini est isomorphe à $A^n$ ⊕ I pour un idéal I de A.
* Sur un anneau noethérien, un module de type fini est projectif si et seulement s'il est localement libre.
* D'après le théorème de Quillen-Suslin, sur un anneau de polynômes $A[X_1,...,X_n]$ où A est un anneau principal (par exemple un corps commutatif), tout module projectif de type fini est $libre^,.$ Cette propriété est également exacte si A est un anneau de Bézout commutatif ou un anneau de valuation et, dans le cas où A est un corps commutatif, lorsque l'anneau de polynômes ci-dessus est remplacé par l'anneau de polynômes de Laurent $A[X_1,$ …, $X_n,$ $Y_1,$ …, $Y_m,$ $Y_1^{−1},$ …, $Y_m^{−1}].$ Voir également l'article Anneau d'Hermite.
* Si A est un anneau commutatif noethérien sans idempotent non trivial (i.e. $e^2$ = e implique que e = 0 ou 1), autrement dit, si son spectre est connexe pour la topologie de Zariski, tout module projectif non de type fini sur A est libre.
* Sur un anneau local, tout module projectif est libre.

## Rang

Pour tout module projectif de type fini P sur un anneau commutatif A, le rang du $A_p-module$ libre $P_p$ est appelé le rang de P en p, et P est dit de rang n si son rang en tout p vaut n.

