Diagramme de McCabe-Thiele
# Diagramme de McCabe-Thiele

Le diagramme de McCabe-Thiele est une des méthodes pour l'analyse d'un mélange de deux composés lors d'une distillation fractionnée.

Elle repose sur le fait que la composition à chaque plateau théorique (ou stade d'équilibre) est déterminée par la fraction molaire de l'un des deux composants, et sur l'hypothèse que les flux molaires de la phase liquide et vapeur dans la zone d'enrichissement, ainsi que les flux molaires de la phase liquide et vapeur dans la zone d'appauvrissement, sont constants. Cette hypothèse est vérifiée si les deux corps ont des chaleurs de vaporisation voisines, si les pertes calorifiques sont négligeables et si la colonne est en régime permanent.

Ce diagramme a pour but de donner le nombre équivalent de plateaux théoriques (NEPT) de la distillation, la hauteur équivalente d'un plateau théorique (HEPT) ainsi que les conditions nécessaires pour une bonne séparation des deux composés.

## Construction

Avant de construire le diagramme de McCabe-Thiele pour la distillation d'un mélange binaire, les données de l’Équilibre Liquide-Vapeur (ELV) du mélange sont nécessaires pour tracer la courbe d'équilibre.

Il faut tout d'abord tracer l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées, qui doivent avoir la même échelle. L'axe des abscisses correspond à la fraction molaire du composé le plus volatil dans la phase liquide et l'axe des ordonnées correspond à la fraction molaire du composé le plus volatil dans la phase vapeur. Ensuite, il faut tracer la droite y = x, ainsi que la courbe d’équilibre liquide-vapeur du composé le plus volatil en utilisant les données ELV préalablement recherchées. Pour finir, il est nécessaire de tracer la droite opératoire sur la zone d'enrichissement, la droite opératoire sur la zone d'appauvrissement ainsi que la droite d'alimentation. Pour cela, un bilan matière sur ces zones est réalisé, comme détaillé ci-dessous.

## Droite opératoire de la zone d'enrichissement (DOZE)

Pour plus de clarification, on note :

* $x_d$ : fraction molaire du composé le plus volatil dans le distillat,
* D : débit molaire de distillat,
* L : débit molaire de liquide dans la zone d'enrichissement,
* V : débit molaire de vapeur dans la zone d'enrichissement,
* n : numéro de plateau, qui augmente de bas en haut,
* $x_n$ : composition du liquide d'un plateau n quelconque,
* $y_{n+1}$ : composition de la vapeur arrivant au plateau n+1, juste au-dessus du plateau n.

Par définition, le taux de reflux est $R={\frac {L}{D}}$.

D’après un bilan global, on a :

    $V=L+D$

Sur le plus volatil, on a :

    $y_{n+1}V=x_{n}L+x_{d}D$
    $\Leftrightarrow y_{n+1}=x_{n}{\frac {L}{V}}+x_{d}{\frac {D}{V}}$

Il faut maintenant exprimer ${\frac {L}{V}}$ et ${\frac {D}{V}}$ en fonction de R :

* ${\frac {V}{L}}=\left({\frac {L+D}{L}}\right)=1+{\frac {1}{R}}=\left({\frac {R+1}{R}}\right)$, soit ${\frac {L}{V}}=\left({\frac {R}{R+1}}\right)$
* ${\frac {V}{D}}=\left({\frac {L+D}{D}}\right)={\frac {L}{D}}+1=R+1$, soit ${\frac {D}{V}}=\left({\frac {1}{R+1}}\right)$

D'où l'équation de la DOZE :

    $y_{n+1}=\left({\frac {R}{R+1}}\right)x_{n}+\left({\frac {1}{R+1}}\right)x_{d}$

Cette droite fait correspondre la composition des phases liquides et vapeurs qui se croisent entre les plateaux n et n+1. Pour la tracer, on prend deux points particuliers :

* $x_{n}=x_{d}$
* $x_{n}=0$

On obtient donc :

    $y(x_{d})=\left({\frac {R}{R+1}}\right)x_{d}+\left({\frac {1}{R+1}}\right)x_{d}=x_{d}$

et :

    $y(0)=\left({\frac {x_{d}}{R+1}}\right)$

On peut donc tracer la DOZE de pente $\left({\frac {R}{R+1}}\right)$ passant par le point $(x_{d};x_{d})$ ainsi que par le point $(0;{\frac {x_{d}}{R+1}})$.

## Droite opératoire sur la zone d'appauvrissement (DOZA)

On note :

* L' : débit de liquide en molaire dans la zone d'appauvrissement,
* V' : débit de vapeur en molaire dans la zone d’appauvrissement,
* $x_s$ : fraction molaire du composé le plus volatil dans le soutirat,
* S : débit du soutirat en molaire,
* n : numéro de plateau, qui augmente de bas en haut,
* $x_{n:}$ composition du liquide d'un plateau quelconque n,
* $y_{n+1}$ : composition de la vapeur arrivant au plateau n+1, juste au-dessus du plateau n.

Par définition, le taux de rebouillage est $R_{b}={\frac {V'}{S}}$.

D'après un bilan global, on a :

    $L'=V'+S$

Sur le plus volatil, on a :

    $L'x_{n}=V'y_{n+1}+Sx_{s}$
    $\Leftrightarrow y_{n+1}={\frac {L'}{V'}}x_{n}-{\frac {S}{V'}}x_{s}$

Il faut exprimer ${\frac {L'}{V'}}$ et ${\frac {S}{V'}}$en fonction de $R_b$ :

* $R_{b}={\frac {V'}{S}}\Leftrightarrow {\frac {S}{V'}}={\frac {1}{R}}_{b}$
* $L'=V'+S\Leftrightarrow S=L'-V'$, d'où ${\frac {1}{R}}_{b}={\frac {L'-V'}{V'}}={\frac {L'}{V'}}-1$ donc ${\frac {L'}{V'}}={\frac {1}{R_{b}+1}}={\frac {R_{b}+1}{R_{b}}}$

D'où une autre expression de l'équation de la DOZA :

    $y_{n+1}={\frac {R_{b}+1}{R_{b}}}x_{n}-{\frac {1}{R}}_{b}x_{s}$

Cette droite fait correspondre les compositions des phases liquide et vapeur qui se croisent entre deux plateaux. Pour la tracer, on prend deux points particuliers :

* $x_{n}=x_{s}$ ;
* intersection entre la DOZE et la DA.

On obtient donc :

    $y(x_{s})={\frac {R_{b}+1}{R_{b}}}x_{s}-{\frac {1}{R}}_{b}=x_{s}$.

On peut donc tracer la DOZA de pente ${\frac {R_{b}+1}{R_{b}}}$ et passant par le point $(x_{s};x_{s})$.

## Droite opératoire sur l'alimentation (DA)

On effectue quatre bilans successifs : sur le préchauffage, sur le plateau de l'alimentation, sur les zones d'enrichissement et d'appauvrissement et sur l'alimentation.

### Bilan sur le préchauffage

Pour plus de clarification, on note :

* A : débit de l'alimentation,
* $x_A$ : fraction molaire du composé le plus volatil dans l'alimentation,
* $V_A$ : débit de vapeur en molaire de l'alimentation,
* $L_A$ : débit de liquide en molaire de l'alimentation,
* $y_{VA}$ : composition de la phase vapeur à la température de l'alimentation,
* $x_{LA}$ : composition de la phase liquide à la température de l'alimentation.

Le bilan global donne :

    $A=V_{A}+L_{A}$.

Sur le plus volatil, on a :

    $Ax_{A}=V_{A}y_{VA}+L_{A}x_{LA}$.

A et $x_A$ sont connus, $x_{LA}$ et $y_{VA}$ sont à déterminer à partir du diagramme isobare ou par un tableau de données, et $V_A$ et $L_A$ sont inconnues et sont à déterminer avec les deux équations.

### Bilan sur le plateau de l'alimentation

On effectue deux bilans : un sur le débit de vapeur et un sur le débit de liquide. Concernant le bilan vapeur, on a :

    $V=V_{A}+V'$
    $\Leftrightarrow V_{A}=V-V'$

Pour le bilan liquide, on a :

    $L'=L+L_{A}$
    $\Leftrightarrow L_{A}=L'-L$

### Bilan sur les zones d'enrichissement et d'appauvrissement

Pour la zone d'enrichissement, on a :

    $Vy=Lx+Dx_{d}$

Pour la zone d'appauvrissement, on a :

    $L'x=V'y+Sx_{s}$

On somme les deux équations :

    $Vy+L'x=Lx+V'y+Dx_{d}+Sx_{s}$

Or, d'après le bilan global sur l'ensemble de l'alimentation, on a :

    $Dx_{d}+Sx_{s}=Ax_{A}$

Finalement, on obtient :

    $Vy+L'x=Lx+V'y+Ax_{a}$

### Bilan sur l'alimentation

D'après l'équation précédente, on a :

    $Vy+L'x=Lx+V'y+Ax_{a}$

On peut déterminer l'équation de la droite d'alimentation, en effet, on a :

    $y(V-V')=x(L-L')+Ax_{A}$

or :

    $V-V'=V_{A}$

et :

    $L-L'=-L_{A}$

Ainsi, on a :

    $yV_{A}=-xL_{A}+Ax_{A}$

Donc l'équation de la droite d'alimentation est :

    $y=-{\frac {L_{A}}{V_{A}}}x+{\frac {A}{V_{A}}}x_{A}$

### Expression de la droite d'alimentation en fonction de la fraction liquide d'alimentation

Par définition, la fraction liquide d'alimentation est $q={\frac {L_{A}}{A}}$.

On exprime tout d'abord ${\frac {L_{A}}{V_{A}}}$ en fonction de $q$ :

    $A=L_{A}+V_{A}$
    $\Leftrightarrow V_{A}=A-L_{A}$
    $\Leftrightarrow {\frac {L_{A}}{V_{A}}}={\frac {L_{A}}{A-L_{A}}}$

En inversant, on a :

    ${\frac {V_{A}}{L_{A}}}={\frac {A-L_{A}}{L_{A}}}={\frac {1-q}{q}}$

d'où :

    ${\frac {L_{A}}{V_{A}}}={\frac {q}{1-q}}$

Puis on exprime ${\frac {A}{V_{A}}}$ en fonction de $q$ :

    $A=L_{A}+V_{A}$
    $\Leftrightarrow L_{A}=A-V_{A}$

et :

    $q={\frac {L_{A}}{A}}={\frac {A-V_{A}}{A}}=1-{\frac {V_{A}}{A}}$

d'où :

    ${\frac {V_{A}}{A}}=1-q\Leftrightarrow {\frac {A}{V_{A}}}={\frac {1}{1-q}}$

On peut donc exprimer l'équation de la droite d'alimentation en fonction de la fraction liquide de l'alimentation :

    $y={\frac {q}{q-1}}x-{\frac {1}{q-1}}x_{A}$

Pour tracer la DA, on prend deux points particuliers : le point $(x_{LA};y_{VA})$ (composition des phases L et V à la température d'alimentation) et le point quand $x=x_{A}$, qui donne $y(x_{A})={\frac {q}{q-1}}x_{A}-{\frac {1}{q-1}}x_{A}=x_{A}$.

## Approfondissement

À noter qu'il est possible de faire un diagramme en prenant en compte les enthalpies du liquide (isobare de rosée) et de la vapeur saturée (isobare d'ébullition) en fonction des fractions x et y du mélange en utilisant le diagramme de Ponchon et Savarit.

