Localisation d'une catégorie
# Localisation d'une catégorie

En mathématiques, et plus précisément en théorie des catégories, la localisation de catégorie est une construction algébrique permettant d'inverser une certaine classe de morphismes. Elle a notamment des applications en topologie algébrique et en géométrie algébrique.

## Définition

Pour une catégorie ${\mathcal {C}}$ et une classe de morphismes ${\mathcal {W}}\subset \mathrm {mor} ({\mathcal {C}})$, la localisation ${\mathcal {C}}[{\mathcal {W}}^{-1}]$ de ${\mathcal {C}}$ par rapport à ${\mathcal {W}}$ est la catégorie universelle où tous les morphismes de ${\mathcal {W}}$ sont inversibles.

Plus précisément, la localisation de ${\mathcal {C}}$ par rapport à ${\mathcal {W}}$ est la donnée d'une catégorie ${\mathcal {C}}[{\mathcal {W}}^{-1}]$ et d'un foncteur $l_{\mathcal {W}}\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}[{\mathcal {W}}^{-1}]$ tel que

$w\in {\mathcal {W}}$

$l_{\mathcal {W}}(w)$

${\mathcal {C}}[{\mathcal {W}}^{-1}]$

et tel que pour toute catégorie ${\mathcal {D}}$ et foncteur $f\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ satisfaisant

$w\in {\mathcal {W}}$

$f(w)$

${\mathcal {D}},$

il existe un unique foncteur $g\colon {\mathcal {C}}[{\mathcal {W}}^{-1}]\rightarrow {\mathcal {D}}$ tel que $f=g\circ l_{\mathcal {W}}$. Cette propriété garantit l'unicité (à isomorphisme près) de la localisation, si elle existe.

## Construction

### Catégories de zig-zags

Si ${\mathcal {W}}$ est un ensemble de morphismes, il est possible de construire une localisation ${\mathcal {C}}[{\mathcal {W}}^{-1}]$ de ${\mathcal {C}}$ par rapport à ${\mathcal {W}}$ :

* les objets de ${\mathcal {C}}[{\mathcal {W}}^{-1}]$ sont les mêmes que ceux de ${\mathcal {C}}$
* les morphismes entre deux objets $A$ et $B$ sont des classes d'équivalence de « zig-zags » dans ${\mathcal {C}}$ : $A\xrightarrow {f_{1}} X_{1}\xleftarrow {w_{1}} X_{2}\xrightarrow {f_{2}} \cdots \xleftarrow {w_{n-1}} X_{p-1}\xrightarrow {f_{n}} X_{p}\xleftarrow {w_{n}} B$ avec $w_{1},\ldots ,w_{n}\in {\mathcal {W}}$ et $f_{1},\ldots ,f_{n}$ des morphismes quelconques de ${\mathcal {C}}$. Un tel « zig-zag » représente la composée $w_{n}^{-1}\circ f_{n}\circ w_{n-1}^{-1}\cdots f_{2}\circ w_{1}^{-1}\circ f_{1}$.

### Calcul des fractions (à gauche)

Une classe de morphismes ${\mathcal {W}}\subset \mathrm {mor} ({\mathcal {C}})$ admet un calcul des fractions à gauche si

* il contient les morphismes identités : $\forall X\in \mathrm {obj} ({\mathcal {C}}),{\text{id}}_{X}\in {\mathcal {W}}$,
* il est stable par composition : $\forall u,v\in {\mathcal {W}},u\circ v\in {\mathcal {W}}$,
* tout diagramme $X'\xleftarrow {u} X\xrightarrow {f} Y$ dans ${\mathcal {C}}$, avec $u\in {\mathcal {W}}$ peut être complété en un carré commutatif, avec $v\in {\mathcal {W}}$ : ${\begin{matrix}X&\xrightarrow {f} &Y\\\scriptstyle u\displaystyle \downarrow &&\downarrow \scriptstyle v\displaystyle \\X'&\xrightarrow {g} &Y\end{matrix}}$,
* pour tous morphismes parallèles $X{\overset {f}{\underset {g}{\rightrightarrows }}}Y$ tel qu'il existe $u\in {\mathcal {W}}$ tel que $fu=gu$, alors il existe $v\in {\mathcal {W}}$ tel que $vf=vg$.

Si ${\mathcal {W}}$ admet un calcul des fractions, alors la localisation de ${\mathcal {C}}$ par rapport à ${\mathcal {W}}$ existe et admet une présentation simple :

* les objets de ${\mathcal {C}}[{\mathcal {W}}^{-1}]$ sont les mêmes que ceux de ${\mathcal {C}}$ ;
* les morphismes entre deux objets $A$ et $B$ sont des classes d'équivalence de diagrammes dans ${\mathcal {C}}$ de la forme : $A\xrightarrow {f} X\xleftarrow {w} B$ avec $w\in {\mathcal {W}}$ et $f$ des morphismes quelconques de ${\mathcal {C}}$. Un tel diagramme représente la composée $f\circ w^{-1}$ ;
* deux tels diagrammes $A\xrightarrow {f_{1}} X_{1}\xleftarrow {w_{1}} B$ et $A\xrightarrow {f_{2}} X_{2}\xleftarrow {w_{2}} B$ sont équivalents s'il existe $X_{1}\xrightarrow {v_{1}} X_{3}$ et $X_{2}\xrightarrow {v_{2}} X_{3}$ tels que $v_{1}\circ w_{1}=v_{2}\circ w_{2}$ et $v_{1}\circ f_{1}=v_{2}\circ f_{2}$. Cette relation d'équivalence est similaire à celle intervenant dans la construction du corps des fractions ou, plus généralement, dans une localisation d'un anneau commutatif.

## Exemples et applications

* La catégorie homotopique associée à un modèle de Quillen est sa localisation par rapport aux équivalences faibles.
* Étant donné un espace topologique $X$, la catégorie des faisceaux $\mathrm {Sh} (X)$ peut être obtenue comme une certaine localisation de la catégorie des préfaisceaux $\mathrm {PSh} (X)$, tel que la faisceautisation soit le foncteur de localisation.
* La localisation d'un anneau commutatif est un cas particulier de localisation d'une catégorie, où les anneaux sont vus comme des catégories (préadditive) à un seul objet.
