Degré de liberté (physique)
# Degré de liberté (physique)

En physique, un degré de liberté (abrégé ddl ou DDL) est un paramètre indépendant dans la description formelle de l'état d'un système physique, ou peut-être plus précisément d'un système dynamique. Le terme paramètre est à prendre ici au sens large, comme un élément d'information, généralement un nombre, identifié à une grandeur physique. De manière cruciale, ce paramètre doit avoir la liberté d'évoluer sans contraintes.

## Applications de la notion de degré de liberté en physique

Ce concept très général de degré de liberté est utilisée dans de nombreux domaines de la physique (mécanique, physique statistique, chimie, théorie quantique des champs, ...), ainsi qu'en mathématiques pures (statistique). Nous listons quelques exemples dans cette section.

### En génie mécanique

En génie mécanique, les degrés de liberté indiquent les différentes possibilités de mouvement dans l'espace. Se référer à l'article degré de liberté (génie mécanique). Cette utilisation de l'expression est similaire à celle utilisée dans la typologie des vibrations moléculaires. Dans le dernier cadre évoqué (description des mouvements moléculaires), deux types de degrés de liberté sont identifiés : les degrés de liberté externes au nombre de 6, correspondant aux mouvements de la molécule dans l'espace (translations et rotations), et les degrés de liberté internes, correspondant aux déformations de la molécule par rapport à sa conformation d'équilibre.

### Molécules

En trois dimensions, il existe 6 degrés de liberté associés au mouvement d'une particule, 3 pour sa position, 3 pour sa quantité de mouvement. Il existe donc 6 degrés de liberté au total. Une autre façon de justifier ce schéma est de considérer que le mouvement de la molécule sera décrit par le mouvement de deux particules mécaniques représentant ses deux atomes, que 6 degrés de liberté sont attachés à chaque particule, comme ci-dessus. Avec cette autre considération, il apparaît que différents ensembles de degrés de liberté peuvent être définis afin de définir le mouvement de la molécule. En fait les degrés de liberté pour un système mécanique est un ensemble d'axes indépendants dans l'espace des phases du système, ce qui permet de le générer entièrement. Pour un espace multidimensionnel comme l'espace des phases, il existe plus d'un ensemble possible d'axes. Il est établi que tous les degrés de liberté de la molécule d'hydrogène ne participent pas à l'expression de son énergie. Par exemple, les degrés associés à la position du centre de masse n'y participent pas.

Dans le tableau ci-dessous, les degrés négligés le sont en raison de leur faible influence sur l'énergie totale, à moins d'être à très hautes températures ou énergies. La rotation diatomique est négligée en raison de la rotation autour des axes moléculaires. La rotation monoatomique est négligée pour la même raison que la diatomique, mais cet effet est valable dans les deux autres directions.

| | Monoatomique | Molécules linéaires constituée de N atomes | Molécules non-linéaires constituée de N atomes |
| - | - | - | - |
| Position (x, y et z) | 3 | 3 | 3 |
| Rotation (x, y et z) | 0 | 2 | 3 |
| Vibration | 0 | 3N - 5 | 3N - 6 |
| Total | 3 | 3N | 3N |

**En chimie des polymères**

Dans le modèle de chaîne idéale, deux angles sont nécessaires pour décrire l'orientation de chaque monomère.

### En physique statistique

En physique statistique, un degré de liberté est un nombre unique décrivant un micro-état d'un système. La spécification de tous les micro-états d'un système est un point dans l'espace de phase du système.

### En mécanique quantique

La description de l'état d'un système en tant que point dans son espace de phase, bien que mathématiquement pratique, est fondamentalement inexacte. En mécanique quantique, les degrés de liberté de mouvement sont remplacés (dans la représentation de Schrödinger) par le concept de fonction d'onde et les opérateurs qui correspondent à d'autres degrés de liberté ont des spectres discrets. Par exemple, l'opérateur de spin d'un électron ou d'un photon n'a que deux valeurs propres. Cette discontinuité devient apparente lorsque l'action a un ordre de grandeur proche de la constante de Planck et que les degrés de liberté individuels peuvent être distingués.

(Voir aussi la discussion sur les degrés de liberté dans l'article sur la mécanique quantique dans la représentation de Heisenberg.)

## Quelques définitions et propriétés en physique statistique

### Degrés de liberté indépendants

**Définition**

L'ensemble de degrés de liberté $X_{1},\ldots ,X_{N}$ d'un système est indépendant si l'énergie associée avec l'ensemble peut être écrite sous la forme suivante :

    $E=\sum _{i=1}^{N}E_{i}(X_{i}),$

où $E_{i}$ est une fonction de la seule variable $X_{i}$.

Exemple : si $X_{1}$ et $X_{2}$ sont deux degrés de liberté, et $E$ est l'énergie associée :

* si $E=X_{1}^{4}+X_{2}^{4}$, alors les deux degrés de liberté sont indépendants ;
* si $E=X_{1}^{4}+X_{1}X_{2}+X_{2}^{4}$, les deux degrés de liberté ne sont pas indépendants. Le terme impliquant le produit de $X_{1}$ et $X_{2}$ est un terme de couplage, qui décrit une interaction entre deux degrés de liberté.

**Propriétés**

Si $X_{1},\ldots ,X_{N}$ est un ensemble de degrés de liberté indépendants alors, à l'équilibre thermodynamique, $X_{1},\ldots ,X_{n}$ sont statistiquement indépendants les uns des autres.

Pour i de 1 à N, la valeur du ie degré de liberté $X_{i}$ est distribué selon une loi de Boltzmann. Sa fonction de densité de probabilité est la suivante :

    $p_{i}(X_{i})={\frac {e^{-{\frac {E_{i}}{k_{B}T}}}}{\int dX_{i}\,e^{-{\frac {E_{i}}{k_{B}T}}}}}$,

Dans cette section, et par la suite, les $\langle \rangle$ indiquent la moyenne de la quantité qu'ils entourent.

L'énergie interne du système est la somme des énergies moyennes associées à chacun des degrés de liberté :

    $U=\langle E\rangle =\sum _{i=1}^{N}\langle E_{i}\rangle$ .

On postulera par la suite que les échanges d'énergie du système considéré se font avec l'extérieur, et que le nombre de particules du système est constant, c'est-à-dire que l'on se place dans l'ensemble canonique. Rappelons qu'en physique statistique, un résultat qui est démontré pour un système reste vrai pour ce système à la limite thermodynamique dans n'importe quel ensemble. Dans l'ensemble canonique, à l'équilibre thermodynamique, l'état du système est distribué parmi les micro-états selon une distribution de Boltzmann. Si $T$ est la température du système et $k_{B}$ la constante de Boltzmann, alors la fonction de densité de probabilité associée à chaque micro-état est la suivante :

    $P(X_{1},\ldots ,X_{N})={\frac {e^{-{\frac {E}{k_{B}T}}}}{\int dX_{1}\,dX_{2}\ldots dX_{N}e^{-{\frac {E}{k_{B}T}}}}}$,

Cette expression se transforme en un produit de termes dépendant d'un simple degré de liberté :

    $P(X_{1},\ldots ,X_{N})=p_{1}(X_{1})\ldots p_{N}(x_{N})$

L'existence d'un tel développement de la fonction de densité de probabilité en un produit de fonction d'une seule variable suffit à lui seul à démontrer que les $X_{1}\ldots X_{N}$ sont indépendants statistiquement les uns des autres.

Chaque fonction $p_{i}$ étant normalisée, il s'ensuit que $p_{i}$ est la fonction de densité de probabilité du degré de liberté $X_{i}$, pour i de 1 à N.

Enfin, l'énergie interne du système est l'énergie moyenne. L'énergie $E_{i}$ d'un degré de liberté est une fonction de la seule variable $X_{i}$. Puisque $X_{1},\ldots ,X_{N}$ sont statistiquement indépendantes les uns des autres, les énergies $E_{1}(X_{1}),\ldots ,E_{N}(X_{N})$ le sont aussi. L'énergie interne totale du système peut être alors écrite comme :

    $U=\langle E\rangle =\langle \sum _{i=1}^{N}E_{i}\rangle =\sum _{i=1}^{N}\langle E_{i}\rangle$.

### Degrés de liberté quadratiques

Un degré de liberté $X_{i}$ est quadratique si les termes d'énergie associés peuvent être écrits :

    $E=\alpha _{i}\,\,X_{i}^{2}+\beta _{i}\,\,X_{i}Y$,

où $Y$ est une combinaison linéaire d'autres degrés de liberté quadratiques.

Par exemple, si $X_{1}$ et $X_{2}$ sont deux degrés de liberté, et $E$ l'énergie associé :

* Si $E=X_{1}^{4}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{2}^{4}$, alors les deux degrés de liberté ne sont pas indépendants et ne sont pas quadratiques.
* Si $E=X_{1}^{4}+X_{2}^{4}$, les degrés de liberté sont indépendants et non quadratiques.
* Si $E=X_{1}^{2}+X_{1}X_{2}+2X_{2}^{2}$, les degrés de liberté ne sont pas indépendants et sont quadratiques.
* Si $E=X_{1}^{2}+2X_{2}^{2}$, les degrés de liberté sont indépendants et quadratiques.

En mécanique classique, la dynamique d'un système de degrés de liberté quadratiques est contrôlée par un ensemble d'équations différentielles linéaires avec des coefficients constants.

**Degrés de libertés quadratiques et indépendants**

$X_{1},\ldots ,X_{N}$ sont des degrés de liberté quadratiques et indépendants si l'énergie associée à un micro-état du système qu'ils décrivent peut être écrite :

    $E=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}X_{i}^{2}$.

**Théorème d'équipartition**

En physique statistique classique, à l'équilibre thermodynamique, l'énergie interne d'un système de N degrés de liberté indépendants et quadratiques est :

    $U=\langle E\rangle =N\,{\frac {k_{B}T}{2}}$.

Ici, l'énergie moyenne associée avec un degré de liberté est :

    $\langle E_{i}\rangle =\int dX_{i}\,\,\alpha _{i}X_{i}^{2}\,\,p_{i}(X_{i})={\frac {\int dX_{i}\,\,\alpha _{i}X_{i}^{2}\,\,e^{-{\frac {\alpha _{i}X_{i}^{2}}{k_{B}T}}}}{\int dX_{i}\,\,e^{-{\frac {\alpha _{i}X_{i}^{2}}{k_{B}T}}}}}$
    $\langle E_{i}\rangle ={\frac {k_{B}T}{2}}{\frac {\int dx\,\,x^{2}\,\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\int dx\,\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}}={\frac {k_{B}T}{2}}$.

Les degrés de libertés étant indépendants, l'énergie interne du système est égale à la somme de l'énergie moyenne associée à chaque degré de liberté, ce qui démontre le résultat.

