Cercles d'Apollonius
# Cercles d'Apollonius

En géométrie, le nom de cercles d'Apollonius a été donné à plusieurs configurations différentes.

## Cercles d'Apollonius associés à deux points

Apollonius de Perge propose de définir le cercle comme l'ensemble des points M du plan pour lesquels le rapport des distances MA/MB reste constant, les points A et B étant donnés.

Définition — Si A et B sont deux points distincts et k est un réel strictement positif différent de 1, le cercle d'Apollonius relativement aux points A et B et de rapport k est l'ensemble des points M du plan tels que

    ${\frac {MA}{MB}}=k.$

Démonstration du fait que ce lieu géométrique est bien un cercle, et construction de ce cercle :

* Solution sur (AB) : si k = 1, MA=k MB a une unique solution sur (AB) : le milieu de [AB]. Sinon le problème d'Apollonius MA = k MB a deux solutions sur (AB), disons C et son conjugué harmonique D par rapport à A et B ; D existe dès que C n'est pas le milieu de [AB].
* Solution hors de (AB) : Si MA/MB = k, alors MA/MB = CA/CB ; (MC) est alors la bissectrice de l'angle en M dans le triangle AMB. Mais on a aussi MA/MB = DA/DB et (MD) est la seconde bissectrice de l'angle en M dans AMB. En particulier le triangle CMD est rectangle en M et M est donc sur le cercle de diamètre [CD].
* Synthèse : Pour tout M du plan hors de (AB) les droites (MA), (MB), (MC) et (MD) forment un faisceau harmonique. Si de plus M est sur le cercle de diamètre [CD], on sait alors que (MC) et (MD) sont les bissectrices intérieures et extérieures en M du triangle AMB. On conclut avec la caractérisation de la bissectrice en termes de rapport.
* Le cercle de diamètre [CD] est le cercle d'Apollonius relativement aux points A et B et de rapport k.

On peut aussi remarquer que ce lieu est obtenu par l'annulation de la fonction scalaire de Leibniz $MA^{2}-k^{2}MB^{2}$ ; si $G$ est le barycentre de $A(1)$ et $B(-k^{2})$, le lieu est le cercle de centre $G$ et de rayon ${\frac {k}{|k^{2}-1|}}AB$.

Pour k variant, ces cercles forment un faisceau de cercles à points limites A et B.

## Faisceau de cercles d'Apollonius d'un triangle

Soit ABC un triangle. Le cercle c de centre O est circonscrit au triangle ABC.

Les bissectrices en A coupent [BC] en $I_1$ et $J_1,$ le cercle $c_1$ de centre $O_1$ a pour diamètre $[I_1J_1].$

Les bissectrices en B coupent [AC] en $I_2$ et $J_2,$ le cercle $c_2$ de centre $O_2$ a pour diamètre $[I_2J_2].$

Les bissectrices en C coupent [AB] en $I_3$ et $J_3,$ le cercle $c_3$ de centre $O_3$ a pour diamètre $[I_3J_3].$

Le faisceau de cercles d'Apollonius est formé par les trois cercles $c_1,$ $c_2$ et $c_3$ d'Apollonius qui ont en commun les deux points P et Q. Ce sont les points de base du faisceau.

Leurs centres $O_1,$ $O_2$ et $O_3$ sont alignés sur la médiatrice de [PQ].

Le centre O du cercle circonscrit c et le point de Lemoine du triangle ABC sont situés sur la droite (PQ).

Les points Q (X15) et P (X16) sont les points isodynamiques du triangle ABC. Ce sont les conjugués isogonaux des points de Fermat (X14 et X13)

## Cercles d'Apollonius associés à trois cercles donnés

Le problème d'Apollonius, ou problème des contacts consiste à déterminer les cercles tangents à trois cercles donnés. En partant de trois cercles tangents deux à deux, et en itérant, on obtient une figure fracatale ; voir : Cercles d'Apollonius (fractale).

