Argument de Frattini
# Argument de Frattini

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, on appelle argument de Frattini le théorème suivant : si G est un groupe, H un sous-groupe normal fini de G et P un sous-groupe de Sylow de H, alors G = H $N_G(P)$ (où $N_G(P)$ désigne le normalisateur de P dans G).

## Démonstration

Dans les hypothèses ci-dessus (G est un groupe, H un sous-groupe normal fini de G et P un sous-groupe de Sylow de H), prouvons que G = H $N_G(P).$ Soit g un élément de G. Il s'agit de prouver que g appartient à H $N_G(P).$ Puisque H est supposé normal dans G, l'automorphisme intérieur x ↦ $gxg^{−1}$ de G induit un automorphisme (non forcément intérieur) de H. L'image $gPg^{−1}$ de P par cet automorphisme de H est un sous-groupe de Sylow de H du même ordre que P, donc $gPg^{−1}$ est conjugué de P dans H. Ceci signifie qu'il existe un élément h de H tel que $gPg^{−1}$ = $hPh^{−1}.$ Alors $h^{−1}gPg^{−1}h$ = P, autrement dit $h^{−1}g$ ∈ $N_G(P),$ d'où g ∈ H $N_G(P),$ ce qui, comme nous l'avons vu, démontre le théorème.

## Exemple d'utilisation

L'argument de Frattini permet par exemple de prouver que si G est un groupe fini, P un sous-groupe de Sylow de G et M un sous-groupe de G contenant $N_G(P)$ (normalisateur de P dans G), alors M est son propre normalisateur dans G. (Appliquer l'argument de Frattini au groupe $N_G(M),$ à son sous-groupe normal M et au sous-groupe de Sylow P de M. On trouve

    $(1)\qquad N_{G}(M)=MN_{N_{G}(M)}(P)$.

Il est clair que $N_{N_{G}(M)}(P)\subseteq N_{G}(P)\subseteq M$, donc le second membre de (1) est égal à M, d'où $N_{G}(M)=M$.)

## Généralisation

L'argument de Frattini admet la généralisation suivante, que certains auteurs appellent elle aussi argument de Frattini :

Théorème — Si G est un groupe opérant (à gauche ou à droite) sur un ensemble X et si H est un sous-groupe de G tel que l'opération de H sur X induite par celle de G soit transitive, alors,

pour tout élément x de X, G = H $G_x,$ où $G_x$ désigne le stabilisateur de x dans G.

## Histoire

L'argument de Frattini (sous sa forme particulière) fut énoncé et démontré par Giovanni Frattini en 1885, dans un article où il introduisait la notion de sous-groupe de Frattini.

