K-théorie de Milnor
# K-théorie de Milnor

La K-théorie de Milnor, théorie mathématique introduite par John Milnor, fait partie des premières tentatives pour définir les groupes de K-théorie algébrique d'ordre supérieur.

## Définition

Le calcul du $K_2$ d'un corps F a conduit Milnor à la définition ad hoc suivante des K-groupes d'indices supérieurs par

$K_{*}^{M}(F):=T^{*}F^{\times }/(a\otimes (1-a)),$

donc comme le quotient (gradué) de l'algèbre tensorielle du groupe abélien $F^×$ par l'idéal bilatère engendré par les a ⊗ (1 – a) pour a ≠ 0, 1.

Le produit tensoriel sur T*F induit un produit $K^M_m$ × $K^M_n$ → $K^M_{m+n}$ qui fait de $K^M(F)$ un anneau gradué qui est commutatif (au sens gradué).

## Exemples

Pour n = 0, 1 ou 2, ces K-groupes de corps coïncident avec ceux de Quillen, mais pour n ≥ 3, ils sont en général différents.

$K^M_n(F_q)$ = 0 pour n ≥ 2 (alors que le K-groupe de Quillen $K_{2i–1}(F_q),$ pour i ≥ 1, est cyclique d'ordre $q^i$ – 1).

$K^M_2(ℂ)$ est un groupe divisible non dénombrable sans torsion.

$K^M_2(ℝ)$ est la somme directe d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2 et d'un sous-groupe divisible non dénombrable sans torsion.

$K^M_2(ℚ_p)$ est la somme directe du groupe multiplicatif de $F_p$ et d'un sous-groupe divisible non dénombrable sans torsion.

$K^M_2(ℚ)$ est la somme directe d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2 et de sous-groupes cycliques d'ordre p – 1, pour tout nombre premier p impair.

## Liens avec d'autres théories

La K-théorie de Milnor joue un rôle fondamental en théorie des corps de classes supérieure (en), remplaçant $K^M_1$ utilisé en théorie des corps de classes de dimension 1.

La K-théorie de Milnor modulo 2, notée $k_✲(F),$ est liée à la cohomologie étale (ou de Galois) du corps F par la conjecture de Milnor, démontrée par Vladimir Voïevodski. L'énoncé analogue modulo un nombre premier impair est la conjecture de Bloch-Kato (en), démontrée par Voevodsky et Rost.

On définit le « symbole » ${a_1,$ … , $a_n}$ comme l'image de $a_1⊗$ … ⊗ $a_n$ dans $K^M_n(F)$ : si n = 2, c'est un symbole de Steinberg.

On définit pour tout n un morphisme de $k_n(F)$ dans le groupe de Witt de F, en associant à ce symbole la forme de Pfister (en) de dimension $2^n$

$\langle \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =\langle 1,a_{1}\rangle \otimes \langle 1,a_{2}\rangle \otimes \ldots \otimes \langle 1,a_{n}\rangle .$

Vu comme à valeurs dans $I^n/I^{n+1},$ ce morphisme est surjectif car les formes de Pfister engendrent additivement $I^n.$ La conjecture de Milnor s'interprète comme l'injectivité de ce morphisme.

