Intégrale d'Euler
# Intégrale d'Euler

En mathématiques, on désigne par intégrales d'Euler ou intégrales eulériennes deux types d'intégrales :

* L'intégrale d'Euler de première espèce aussi appelée fonction bêta : $\mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$
* L'intégrale d'Euler de seconde espèce aussi appelée fonction gamma : $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

Pour m et n entiers strictement positifs :

    $\Gamma (n)=(n-1)!\,$
    $\mathrm {\mathrm {B} } (n,m)={(n-1)!(m-1)! \over (n+m-1)!}={n+m \over nm{n+m \choose n}}$
