Intégrale d'Itō
# Intégrale d'Itō

L'intégrale d'Itô, appelée en l'honneur du mathématicien Kiyoshi Itô, est un des outils fondamentaux du calcul stochastique. Elle a d'importantes applications en mathématique financière et pour la résolution des équations différentielles stochastiques.

Elle généralise de façon stochastique l'intégrale de Stieltjes. L'intégrande H et l'intégrateur sont tous deux des processus stochastiques :

    $Y_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},$

où H est un processus carré-intégrable localement adapté au filtre (au sens probabiliste) généré par X, qui est un mouvement brownien ou, de façon plus générale une semi-martingale. Le résultat de l'intégration, Y, est aussi un processus stochastique.

## Description

Il s'agit d'une intégrale définie de façon similaire à l'intégrale de Riemann comme limite d'une somme de Riemann. Si on se donne un processus de Wiener (ou mouvement brownien) $B:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} \,$ ainsi que $X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ un processus stochastique adapté à la filtration naturelle associée à $B_{t}$, alors l'intégrale d'Itô

    $\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}:\Omega \to \mathbb {R}$

est définie par la limite en moyenne quadratique de

    $\sum _{i=0}^{k-1}X_{t_{i}}\left(B_{t_{i+1}}-B_{t_{i}}\right)$

lorsque le pas de la partition $0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T$ de $[0,T]$ tend vers 0.

Ces sommes, considérées comme des sommes de Riemann-Stieltjes pour chaque chemin du mouvement brownien donné, ne convergent pas en général ; la raison en est que le mouvement brownien n'est pas à variations bornées. L'usage de la convergence quadratique est le point essentiel de cette définition.

## Propriétés

Avec les notations précédentes, le processus stochastique Y défini, pour t réel positif, par $Y_{t}=\int _{0}^{t}{X_{s}\mathrm {d} B_{s}}$, est une martingale. En particulier, son espérance est constante.

D'autre part, on a la propriété dite d'isométrie: $E(Y_{t}^{2})=\int _{0}^{t}{E(X_{s}^{2})\mathrm {d} s}$. Cette dernière intégrale est « classique », c'est-à-dire qu'elle est une intégrale au sens de Riemann par rapport à la variable s.

