Impédance acoustique
# Impédance acoustique

L'impédance acoustique d'un milieu pour une onde acoustique caractérise la résistance du milieu au passage de cette onde. Cette propriété est utilisée en géosciences dans les techniques géophysiques de prospection sismique qui permettent d'imager le sous-sol de la Terre jusqu'à quelques kilomètres de profondeur.

## Définition

Pour les faibles amplitudes, la pression acoustique et la vitesse de la particule associée du milieu sont liées linéairement.

L'impédance acoustique (aussi appelée impédance acoustique spécifique, car c'est une grandeur intensive) $Z_{ac}$ d'un milieu pour une onde acoustique est le rapport de la pression acoustique et de la vitesse de la particule associée du milieu :

    $Z_{\mathrm {ac} }={\frac {p}{v}}$

avec :

* p en Pa,
* v en m/s.

L'unité de l'impédance acoustique est le pascal seconde par mètre (Pa s/m), souvent appelé le rayl en l'honneur de John William Strutt, baron Rayleigh (1842–1919).

Pour une onde acoustique plane progressive, le rapport vaut :

    $Z_{\mathrm {ac} }=\pm \rho _{\mathrm {m} }\,c$

avec

* $ρ_m$ en kg/m³ la masse volumique du milieu,
* c en m/s la vitesse de l'onde acoustique dans le milieu.

Le signe dépend du sens de la propagation et du choix de l'orientation de l'axe de propagation de l'onde acoustique. Le produit $ρ_m$ c a souvent plus d'importance acoustique en tant que propriété caractéristique du milieu que $ρ_m$ ou c individuellement. C'est pour cette raison que $ρ_m$ c est appelé l'impédance acoustique caractéristique du milieu.

L'unité de l'impédance acoustique (nouvelle physique) est aussi le mètre par seconde (m/s), car l'on considère à présent que la pression acoustique se définit aussi en m² par seconde² $(m^2/sec^2)$ et non plus seulement en pascals, comme toute autre pression, par ailleurs. La vitesse de l'impédance acoustique est inverse de celle de l'onde elle-même. Voir référence bibliographique **.

Bien que l'impédance acoustique du milieu soit une grandeur réelle pour les ondes acoustiques planes progressives, cela n'est plus vrai pour les ondes acoustiques planes stationnaires ou les ondes acoustiques divergentes. Dans le cas général, $Z_{ac}$ est complexe :

    $Z_{\mathrm {ac} }=R_{\mathrm {ac} }+\mathrm {i} \,X_{\mathrm {ac} }$

avec $R_{ac}$ la résistance acoustique et $X_{ac}$ la réactance acoustique du milieu pour l'onde considérée.

L'impédance acoustique caractéristique d'un milieu est analogue à l'impédance électromagnétique caractéristique √(µ/ε) d'un milieu et à l'impédance électrique caractéristique d'une ligne électrique de transmission.

La masse volumique et la vitesse du son variant avec la température, c'est aussi le cas pour l'impédance acoustique caractéristique. À titre d'exemple, le tableau suivant donne la vitesse du son dans l'air, c, la masse volumique de l'air, $ρ_m,$ et l'impédance acoustique caractéristique de l'air, $Z_{ac}$ = $ρ_m$ c, en fonction de la température, T.

| T (°C) | c (m/s) | $'ρ'_m$ (kg/m³) | $Z_{ac}$ (Pa s/m) |
| - | - | - | - |
| -10 | 325,4 | 1,341 | 436,5 |
| -5 | 328,5 | 1,316 | 432,4 |
| 0 | 331,5 | 1,293 | 428,3 |
| +5 | 334,5 | 1,269 | 424,5 |
| +10 | 337,5 | 1,247 | 420,7 |
| +15 | 340,5 | 1,225 | 417,0 |
| +20 | 343,4 | 1,204 | 413,5 |
| +25 | 346,3 | 1,184 | 410,0 |
| +30 | 349,2 | 1,164 | 406,6 |

## Cas d'un composant acoustique

Lorsque le milieu considéré est un composant acoustique, comme un résonateur, un silencieux ou un tuyau d'orgue, l'impédance acoustique se mesure à l’entrée du composant.

L'impédance acoustique ne fait intervenir que des grandeurs intensives (la pression acoustique et la vitesse de la particule), par opposition à d'autres définitions d'impédance qui introduisent l'aire de la section d'entrée du composant acoustique, une grandeur extensive par nature :

* L'impédance mécanique $Z_m$ est définie par :

    $Z_{\mathrm {m} }={\frac {A\,p}{v}}=A\,Z_{\mathrm {ac} },$
    A p étant la force exercée à l'entrée du composant acoustique.
* L'impédance hydraulique $Z_hest$ définie par :

    $Z_{\mathrm {h} }={\frac {p}{A\,v}}={\frac {Z_{\mathrm {ac} }}{A}},$
    A v étant le débit volumique acoustique à l'entrée du composant acoustique.

## Application à la propagation des ondes à l'interface entre deux milieux

Lorsqu'une onde acoustique rencontre l'interface séparant deux milieux d'impédances acoustiques différentes, une partie de l'onde est transmise dans l'autre milieu tandis qu'une autre partie se réfléchit sur l'interface. La notion d'impédance acoustique permet d'étudier complètement et quantitativement ce phénomène et d'estimer les quantités d'énergie acoustique transmises et réfléchies.

### Lois et hypothèses constitutives de l'acoustique linéaire

L'étude de la propagation des ondes à l'interface de deux milieux acoustiques peut se faire en première approximation sous les hypothèses de l'acoustique linéaire non dispersive, et en se restreignant aux ondes d'incidence normale à l'interface. Dans ce cas, la thermodynamique fournit une relation constitutive linéaire entre les efforts et la déformation :

    $p(x,t)=-\rho _{\mathrm {m} }\,c^{2}\,{\frac {\partial u}{\partial x}}(x,t)$

dans laquelle x est la variable d'espace suivant la direction normale à l'interface, p(x, t) est la pression acoustique dans le milieu, u(x, t) est le champ des déplacements, $ρ_m$ est la masse volumique du milieu, et c est la vitesse de l'onde acoustique dans le milieu.

Cette équation est valable aussi bien pour :

* un liquide, auquel cas ρ $c^2$ = B est son module de compressibilité ;
* un gaz, auquel cas ρ $c^2$ = γ $p_0,$ γ étant le rapport des chaleurs spécifiques et $p_0$ la pression moyenne. En acoustique linéaire, la pression acoustique p est une perturbation de cette pression moyenne ;
* un solide dont on ne considère qu'une direction privilégiée pour la propagation des ondes, par exemple une barre en traction-compression, ρ $c^2$ = E étant le module d'Young, une corde vibrante, ρ $c^2$ = T / S étant le rapport de la tension T de la corde sur sa section S, ou une barre en torsion, ρ $c^2$ = G étant le module de Coulomb ou module de cisaillement de la barre. De plus, la pression acoustique p doit être remplacée par la contrainte σ suivant la direction de propagation de l'onde.

Pour plus de précisions, voir la définition de la vitesse du son dans les différents milieux pré-cités.

### Écriture de l'équation unidimensionnelle des ondes

Le principe fondamental de la dynamique appliqué localement au milieu et dans la direction normale à l'interface s'écrit :

    $\rho _{\mathrm {m} }{\frac {\partial v}{\partial t}}(x,t)=-{\frac {\partial p}{\partial x}}(x,t)$

En remarquant que $v={\frac {\partial u}{\partial t}}$, on peut combiner cette équation avec la loi constitutive de l'acoustique linéaire pour obtenir l'équation des ondes, aussi appelée équation de D'Alembert, qui est vérifiée simultanément par la vitesse et la pression acoustique :

    ${\frac {\partial ^{2}v}{\partial t^{2}}}(x,t)=c^{2}\,{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}(x,t)$
    ${\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}(x,t)=c^{2}\,{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}(x,t)$

La vitesse v étant solution de l'équation des ondes, on peut rechercher une solution de propagation sous la forme de la somme d'une onde directe f et d'une onde rétrograde g :

    $v(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)$

En dérivant cette dernière équation, il vient :

    ${\frac {\partial v}{\partial x}}(x,t)=f^{\prime }(x-c\,t)+g^{\prime }(x+c\,t)$

De même, en dérivant la loi constitutive :

    ${\frac {\partial p}{\partial t}}(x,t)=-\rho _{\mathrm {m} }\,c^{2}\,{\frac {\partial v}{\partial x}}(x,t)=-\rho _{\mathrm {m} }\,c^{2}\,(f^{\prime }(x-c\,t)+g^{\prime }(x+c\,t))$

Sachant que la pression acoustique s'écrit elle aussi sous la forme d'une solution de propagation, il est possible de l'identifier à l'expression ci-dessus, en introduisant l'impédance acoustique caractéristique $Z_{ac}$ = $ρ_m$ c :

    $p(x,t)=Z_{\mathrm {ac} }(f(x-ct)-g(x+ct))$

### Relation entre amplitude des ondes à l'interface de deux milieux

**Cas général**

Si l'on choisit l'origine x = 0 à l'interface entre les deux milieux $M_1$ = {x < 0}, d'impédance acoustique $Z_1,$ et $M_2$ = {x > 0}, d'impédance acoustique $Z_2,$ on peut définir les restrictions suivantes :

* $f_1$ la restriction de la fonction d'onde directe sur $M_1$ ;
* $g_1$ la restriction de la fonction d'onde rétrograde sur $M_1$ ;
* $f_2$ la restriction de la fonction d'onde directe sur $M_2$ ;
* $g_2$ la restriction de la fonction d'onde rétrograde sur $M_2.$

En x = 0, la condition de continuité des vitesses et des pressions s'écrit :

    $f_{1}(-ct)+g_{1}(ct)=f_{2}(-ct)+g_{2}(ct)$
    $Z_{1}(f_{1}(-ct)-g_{1}(ct))=Z_{2}(f_{2}(-ct)-g_{2}(ct))$

Si l'on se donne l'onde directe venant de la gauche $f_1$ et l'onde rétrograde venant de la droite $g_2,$ on peut en déduire les ondes transmises $f_2$ et réfléchies $g_1$ :

    ${\begin{pmatrix}f_{2}\\g_{1}\end{pmatrix}}={\frac {1}{Z_{1}+Z_{2}}}\,{\begin{pmatrix}Z_{2}-Z_{1}&2\,Z_{1}\\2\,Z_{2}&Z_{1}-Z_{2}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}g_{2}\\f_{1}\end{pmatrix}}$

Dans cette matrice, les éléments ont la signification physique suivante (concernant les vitesses particulaires, pour les pressions permuter $Z_1$ et $Z_2)$ :

* $t_{12}={\frac {2\,Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}}}$ est le coefficient de transmission en amplitude des ondes depuis $M_1$ vers $M_2$ ;
* $r={\frac {Z_{1}-Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}$ est le coefficient de réflexion en amplitude des ondes venant de $M_1$ sur l'interface ;
* $-r={\frac {Z_{2}-Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}}}$ est le coefficient de réflexion en amplitude des ondes venant de $M_2$ sur l'interface ;
* $t_{21}={\frac {2\,Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}$ est le coefficient de transmission en amplitude depuis $M_2$ vers $M_1.$

On observe évidemment que 1 + r = $t_{12}.$

Ces coefficients sont analogues à ceux donnés par les formules de Fresnel en électromagnétisme.

**Étude de quelques cas limites**

Trois cas particuliers peuvent être étudiés avec intérêt :

* le cas $Z_2$ / $Z_1$ = 0, alors r = 1, l'onde incidente se réfléchit à l'identique sur l'interface pour les déplacements et en changeant de signe pour les pressions;
* le cas $Z_2$ / $Z_1$ = 1, alors r = 0 et $t_{12}$ = 1, l'onde incidente se transmet complètement, l'impédance des deux milieux est dite adaptée ;
* le cas $Z_2$ / $Z_1$ = $\infty$, alors r = -1, l'onde incidente se réfléchit en changeant de signe pour les déplacements et à l'identique pour les pressions.

### Relation entre puissance des ondes à l'interface

La densité de puissance d'une onde acoustique suivant une direction est donnée dans le cas général par :

    $\Pi (x,t)=p(x,t)\,v(x,t)=Z\,(f^{2}(x-c\,t)-g^{2}(x+c\,t))$

C'est une quantité homogène à une puissance par unité de surface (exprimée en W $m^{−2}),$ qui est souvent assimilée à l'intensité acoustique.

On peut calculer les coefficients de transmission et de réflexion énergétiques, par exemple en se plaçant dans le cas d'une unique onde directe incidente $(f_1$ $\neq$ 0 et $g_2$ = 0).

Le coefficient de réflexion énergétique exprime la quantité d'énergie contenue dans l'onde réfléchie $g_1,$ étant donné une onde incidente directe $f_1$ :

    $R={\frac {\Pi (x<0,t>0)}{\Pi (x<0,t<0)}}={\frac {Z_{1}\,g_{1}^{2}}{Z_{1}\,f_{1}^{2}}}=r^{2}=\left({\frac {Z_{1}-Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}\right)^{2}$

Le coefficient de transmission énergétique exprime la quantité d'énergie contenue dans l'onde transmise $f_2,$ étant donné une onde incidente directe $f_1$ :

    $T={\frac {\Pi (x>0,t>0)}{\Pi (x<0,t<0)}}={\frac {Z_{2}\,f_{2}^{2}}{Z_{1}\,f_{1}^{2}}}={\frac {Z_{2}\,t_{12}^{2}}{Z_{1}}}={\frac {4\,Z_{1}\,Z_{2}}{(Z_{1}+Z_{2})^{2}}}$

Étant donné les deux définitions ci-dessus, on peut aisément vérifier la conservation de l'énergie :

    $R+T=1$

Les coefficients de réflexion et de transmission énergétiques sont souvent exprimés en décibel, en écrivant :

    $R_{\mathrm {dB} }=10\log _{10}(R)$
    $T_{\mathrm {dB} }=10\log _{10}(T)$

### Application numérique

Si l'on considère l'interface entre l'eau, d'impédance acoustique $Z_1$ = 1,5 × $10^6$ Pa s/m, et l'air, d'impédance acoustique $Z_2$ = 430 Pa s/m, on trouve des coefficients de réflexion et transmission :

    $R_{\mathrm {dB} }=-0.005\ \mathrm {dB}$
    $T_{\mathrm {dB} }=-30\ \mathrm {dB}$

Les sons ne se transmettent quasiment pas d'un milieu à l'autre, comme cela peut être constaté en plongée sous-marine.

Valeurs de certaines impédances acoustique (utilisés pour l'échographie en médecine) :

| milieu | $Z\left[\mathrm {kg \over m^{2}s} \right]$ |
| - | - |
| air | $0.04\cdot 10^{4}$ |
| graisse | $1.38\cdot 10^{6}$ |
| sang | $1.62\cdot 10^{6}$ |
