Homologie cellulaire
# Homologie cellulaire

En mathématiques et plus précisément en topologie algébrique, l'homologie cellulaire est une théorie de l'homologie des CW-complexes. Elle coïncide avec leur homologie singulière et en fournit un moyen de calcul.

## Définition

Si X est un CW-complexe de n-squelette $X_n,$ les modules d'homologie cellulaire sont définis comme les groupes d'homologie du complexe de chaînes cellulaires

$\ldots \to H_{n+1}(X_{n+1},X_{n})\to H_{n}(X_{n},X_{n-1})\to H_{n-1}(X_{n-1},X_{n-2})\to \ldots$

Le groupe

$H_{n}(X_{n},X_{n-1})$

est le groupe abélien libre dont les générateurs sont les n-cellules de X. Pour une telle n-cellule $e_{n}^{\alpha }$, soit $\chi _{n}^{\alpha }:\partial e_{n}^{\alpha }\simeq S^{n-1}\to X_{n-1}$ l'application de recollement, et considérons les applications composées

$\chi _{n}^{\alpha \beta }:S^{n-1}\to X_{n-1}\to X_{n-1}/(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta })\simeq S^{n-1}$

où $e_{n-1}^{\beta }$ est une (n – 1)-cellule de X et la seconde application est l'application quotient qui consiste à identifier $X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }$ à un point.

L'application bord

$d_{n}:H_{n}(X_{n},X_{n-1})\to H_{n-1}(X_{n-1},X_{n-2})$

est alors donnée par la formule

$d_{n}(e_{n}^{\alpha })=\sum _{\beta }\deg(\chi _{n}^{\alpha \beta })e_{n-1}^{\beta }$

où $\deg(\chi _{n}^{\alpha \beta })$ est le degré de $\chi _{n}^{\alpha \beta }$ et la somme est prise sur toutes les (n – 1)-cellules de X, considérées comme les générateurs de $H_{n-1}(X_{n-1},X_{n-2})$.

## Autres propriétés

On voit, d'après le complexe de chaînes cellulaires, que le n-squelette détermine toute l'homologie de dimension inférieure :

$\forall k<n,\quad H_{k}(X)\simeq H_{k}(X_{n}).$

Une conséquence importante du point de vue cellulaire est que si un CW-complexe n'a pas de cellules de dimensions consécutives alors tous ses modules d'homologie sont libres. Par exemple, l'espace projectif complexe $ℂℙ^n$ a une structure cellulaire avec une cellule en chaque dimension paire, donc

$\forall k\in [0,n],\quad H_{2k}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z} ~{\text{et}}~H_{2k+1}(\mathbb {CP} ^{n})=0.$

## Généralisation

La suite spectrale d'Atiyah-Hirzebruch (en) est la méthode analogue de calcul de l'homologie (ou la cohomologie) d'un CW-complexe, pour une théorie (co-)homologique généralisée arbitraire.

## Caractéristique d'Euler

La caractéristique d'Euler d'un CW-complexe X de dimension n est définie par

$\chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}$

où $c_j$ est le nombre de j-cellules de X.

C'est un invariant d'homotopie. En fait, elle peut s'exprimer en fonction des nombres de Betti de X :

$\chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {rang} H_{j}(X)$

$H_{*}(X)$ est l'homologie d'un complexe de groupes abéliens

$0\xrightarrow {d_{n+1}} \mathbb {Z} ^{c_{n}}\xrightarrow {d_{n}} \mathbb {Z} ^{c_{n-1}}\to \dots \to \mathbb {Z} ^{c_{1}}\xrightarrow {d_{1}} \mathbb {Z} ^{c_{0}}\xrightarrow {d_{0}} 0$

c'est-à-dire que $H_{j}(X)=\ker d_{j}/\operatorname {im} d_{j+1}$, or $c_{j}=\operatorname {rang} \operatorname {im} d_{j}+\operatorname {rang} \ker d_{j}$ donc

$\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {rang} H_{j}(X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\left(\operatorname {rang} \ker d_{j}-\operatorname {rang} \operatorname {im} d_{j+1}\right)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}$.

