4-polytope uniforme
# 4-polytope uniforme

Un 4-polytope uniforme est, en géométrie, un 4-polytope isogonal dont les cellules sont des polyèdres uniformes. Il s'agit de l'équivalent de ces derniers en dimension 4.

## 4-polytopes uniformes convexes

### Dénombrement

Si on ne compte pas l'ensemble infini des duoprismes et des hyperprismes antiprismatiques, il existe 64 4-polytopes uniformes convexes :

* 4-polytopes non-prismatiques :
   * 9 de groupe de Coxeter $A_4$ ;
   * 9 de groupe de Coxeter $F_4$ ;
   * 15 de groupe de Coxeter $B_4$ (dont 3 sont également compris dans la famille précédente) ;
   * 15 de groupe de Coxeter $H_4$ ;
   * 1 forme adoucie spéciale dans le groupe $F_4$ ;
   * 1 4-polytope spécial, le grand antiprisme ;
* Prismes polyédriques :
   * 5 prismes basés sur les solides de Platon (dont le tesseract, déjà compris dans la famille $B_4)$ ;
   * 13 prismes basés sur les solides d'Archimède.

Les autres formes convexes sont générées par deux ensembles prismatiques infinis :

* l'ensemble des hyperprismes antiprismatiques uniformes, prismes polyédriques de deux antiprismes ;
* l'ensemble des duoprismes uniformes.

### $A_4$

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est $A_4$ sont au nombre de 9. Ils sont basés sur le 5-cellules (ou pentachore).

| Polytope | Symbole de Schläfli | Cellules | Faces | Segments | Sommets |
| - | - | - | - | - | - |
| 5-cellules | {3,3,3} | 5 | 10 | 10 | 5 |
| 5-cellules rectifié | $t_1{3,3,3}$ | 10 | 30 | 30 | 10 |
| 5-cellules tronqué | $t_{0,1}{3,3,3}$ | 10 | 30 | 40 | 20 |
| 5-cellules biseauté | $t_{0,2}{3,3,3}$ | 20 | 80 | 90 | 30 |
| 5-cellules augmenté | $t_{0,3}{3,3,3}$ | 30 | 70 | 60 | 20 |
| 5-cellules bitronqué | $t_{1,2}{3,3,3}$ | 10 | 40 | 60 | 30 |
| 5-cellules biseauté-tronqué | $t_{0,1,2}{3,3,3}$ | 20 | 80 | 120 | 60 |
| 5-cellules augmenté-tronqué | $t_{0,1,3}{3,3,3}$ | 30 | 120 | 150 | 60 |
| 5-cellules omnitronqué | $t_{0,1,2,3}{3,3,3}$ | 30 | 150 | 240 | 120 |

### $BC_4$

**Caractéristiques**

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est $BC_4$ sont au nombre de 15.

**8-cellules**

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 8-cellules (ou tesseract).

| Polytope | Symbole de Schläfli | Cellules | Faces | Segments | Sommets |
| - | - | - | - | - | - |
| 8-cellules | {4,3,3} | 8 | 24 | 32 | 16 |
| 8-cellules rectifié | $t_1{4,3,3}$ | 24 | 88 | 96 | 32 |
| 8-cellules tronqué | $t_{0,1}{4,3,3}$ | 24 | 88 | 128 | 64 |
| 8-cellules biseauté | $t_{0,2}{4,3,3}$ | 56 | 248 | 288 | 96 |
| 8-cellules augmenté (16-cellules augmenté) | $t_{0,3}{4,3,3}$ | 80 | 208 | 192 | 64 |
| 8-cellules bitronqué (16-cellules bitronqué) | $t_{1,2}{4,3,3}$ | 24 | 120 | 192 | 96 |
| 8-cellules biseauté-tronqué | $t_{0,1,2}{4,3,3}$ | 56 | 248 | 384 | 192 |
| 8-cellules augmenté-tronqué | $t_{0,1,3}{4,3,3}$ | 80 | 368 | 480 | 192 |
| 8-cellules omnitronqué (16-cellules omnitronqué) | $t_{0,1,2,3}{4,3,3}$ | 80 | 464 | 768 | 384 |

**16-cellules**

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 16-cellules (ou hexadécachore).

| Polytope | Symbole de Schläfli | Cellules | Faces | Segments | Sommets |
| - | - | - | - | - | - |
| 16-cellules | {3,3,4} | 16 | 32 | 24 | 8 |
| 16-cellules rectifié (24-cellules) | $t_1{3,3,4}$ | 24 | 96 | 96 | 24 |
| 16-cellules tronqué | $t_{0,1}{3,3,4}$ | 24 | 96 | 120 | 48 |
| 16-cellules biseauté (24-cellules rectifié) | $t_{0,2}{3,3,4}$ | 48 | 240 | 288 | 96 |
| 16-cellules augmenté (8-cellules augmenté) | $t_{0,3}{3,3,4}$ | 80 | 208 | 192 | 64 |
| 16-cellules bitronqué (8-cellules bitronqué) | $t_{1,2}{3,3,4}$ | 24 | 120 | 192 | 96 |
| 16-cellules biseauté-tronqué (24-cellules tronqué) | $t_{0,1,2}{3,3,4}$ | 48 | 240 | 384 | 192 |
| 16-cellules augmenté-tronqué | $t_{0,1,3}{3,3,4}$ | 80 | 368 | 480 | 192 |
| 16-cellules omnitronqué (8-cellules omnitronqué) | $t_{0,1,2,3}{3,3,4}$ | 80 | 464 | 768 | 384 |

### $F_4$

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est $F_4$ sont au nombre de 9. Ils sont basés sur le 24-cellules (ou icositétrachore).

| Polytope | Symbole de Schläfli | Cellules | Faces | Segments | Sommets |
| - | - | - | - | - | - |
| 24-cellules (16-cellules rectifié) | {3,3,4} | 24 | 96 | 96 | 24 |
| 24-cellules rectifié (16-cellules biseauté) | $t_1{3,3,4}$ | 48 | 240 | 288 | 96 |
| 24-cellules tronqué (16-cellules biseauté-tronqué) | $t_{0,1}{3,3,4}$ | 48 | 240 | 384 | 192 |
| 24-cellules biseauté | $t_{0,2}{3,3,4}$ | 144 | 720 | 864 | 288 |
| 24-cellules augmenté | $t_{0,3}{3,3,4}$ | 240 | 672 | 576 | 144 |
| 24-cellules bitronqué | $t_{1,2}{3,3,4}$ | 48 | 336 | 576 | 288 |
| 24-cellules biseauté-tronqué | $t_{0,1,2}{3,3,4}$ | 144 | 720 | 1 152 | 576 |
| 24-cellules augmenté-tronqué | $t_{0,1,3}{3,3,4}$ | 240 | 1 104 | 1 440 | 576 |
| 24-cellules omnitronqué | $t_{0,1,2,3}{3,3,4}$ | 240 | 1 392 | 2 304 | 1 152 |
| 24-cellules biseauté-tronqué alterné (24-cellules adouci) | $h_{0,1,2}{3,3,4}$ | 144 | 480 | 432 | 96 |

### $H_4$

**Caractéristiques**

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est $H_4$ sont au nombre de 15.

**120-cellules**

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 120-cellules (ou hécatonicosachore).

| Polytope | Symbole de Schläfli | Cellules | Faces | Segments | Sommets |
| - | - | - | - | - | - |
| 120-cellules | {5,3,3} | 120 | 720 | 1 200 | 600 |
| 120-cellules rectifié | $t_1{5,3,3}$ | 720 | 3 120 | 3 600 | 1 200 |
| 120-cellules tronqué | $t_{0,1}{5,3,3}$ | 720 | 3 120 | 4 800 | 2 400 |
| 120-cellules biseauté | $t_{0,2}{5,3,3}$ | 1 920 | 9 120 | 10 800 | 3 600 |
| 120-cellules augmenté (600-cellules augmenté) | $t_{0,3}{5,3,3}$ | 2 640 | 7 440 | 7 200 | 2 400 |
| 120-cellules bitronqué (600-cellules bitronqué) | $t_{1,2}{5,3,3}$ | 720 | 4 320 | 7 200 | 3 600 |
| 120-cellules biseauté-tronqué | $t_{0,1,2}{5,3,3}$ | 1 920 | 9 120 | 14 400 | 7 200 |
| 120-cellules augmenté-tronqué | $t_{0,1,3}{5,3,3}$ | 2 640 | 13 440 | 18 000 | 7 200 |
| 120-cellules omnitronqué (600-cellules omnitronqué) | $t_{0,1,2,3}{5,3,3}$ | 2 640 | 17 040 | 28 800 | 14 400 |

**600-cellules**

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 600-cellules (ou hexacosichore).

| Polytope | Symbole de Schläfli | Cellules | Faces | Segments | Sommets |
| - | - | - | - | - | - |
| 600-cellules | {3,3,5} | 600 | 1 200 | 720 | 120 |
| 600-cellules rectifié | $t_1{3,3,5}$ | 720 | 3 600 | 3 600 | 720 |
| 600-cellules tronqué | $t_{0,1}{3,3,5}$ | 720 | 3 600 | 4 320 | 1 440 |
| 600-cellules biseauté | $t_{0,2}{3,3,5}$ | 1 440 | 8 640 | 10 800 | 3 600 |
| 600-cellules augmenté (120-cellules augmenté) | $t_{0,3}{3,3,5}$ | 2 640 | 7 440 | 7 200 | 2 400 |
| 600-cellules bitronqué (120-cellules bitronqué) | $t_{1,2}{3,3,5}$ | 720 | 4 320 | 7 200 | 3 600 |
| 600-cellules biseauté-tronqué | $t_{0,1,2}{3,3,5}$ | 1 440 | 8 640 | 14 400 | 7 200 |
| 600-cellules augmenté-tronqué | $t_{0,1,3}{3,3,5}$ | 2 640 | 13 440 | 18 000 | 7 200 |
| 600-cellules omnitronqué (120-cellules omnitronqué) | $t_{0,1,2,3}{3,3,5}$ | 2 640 | 17 040 | 28 800 | 14 400 |

### $D_4$

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le demitesseract. Ils sont déjà présents dans les autres constructions, mais sont indiqués ici pour mention de leur construction alternative.

| Polytope | Symbole de Schläfli | Cellules | Faces | Segments | Sommets |
| - | - | - | - | - | - |
| Demitesseract (16-cellules) | {3,3,5} | 16 | 32 | 24 | 8 |
| Demitesseract rectifié (16-cellules tronqué) | $t_1{3,3,5}$ | 48 | 240 | 288 | 96 |
| Demitesseract tronqué (8-cellules rectifié) | $t_{0,1}{3,3,5}$ | 24 | 96 | 120 | 48 |
| Demitesseract biseauté (8-cellules bitronqué) | $t_{0,2}{3,3,5}$ | 24 | 88 | 96 | 32 |
| Demitesseract biseauté-tronqué (24-cellules) | $t_{0,1,2}{3,3,5}$ | 24 | 96 | 96 | 24 |
| Demitesseract augmenté-biseauté (16-cellules biseauté) | $t_{0,2,3}{3,3,5}$ | 24 | 120 | 192 | 96 |
| Demitesseract omnitronqué (16-cellules biseauté-tronqué) | $t_{0,1,2,3}{3,3,5}$ | 48 | 240 | 384 | 192 |
| Demitesseract adouci (24-cellules adouci) | s{3,3,5} | 144 | 480 | 432 | 96 |

Here again the snub 24-cell represents an alternated truncation of the truncated 24-cell, creating 96 new tetrahedra at the position of the deleted vertices. In contrast to its appearance within former groups as partly snubbed polychoron, only within this symmetry group it has the full analogy to the Kepler snubs, i.e. the snub cube and the snub dodecahedron.

### Grand antiprisme

Le grand antiprisme comprend 20 antiprismes pentagonaux formant deux anneaux perpendiculaires, reliés par 300 tétraèdres.

| Polytope | Symbole de Schläfli | Diagramme de Coxeter-Dynkin | Cellules | Faces | Segments | Sommets |
| - | - | - | - | - | - | - |
| Grand antiprisme | aucun | aucun | 320 | 720 | 500 | 100 |
