Morphisme zéro
# Morphisme zéro

Dans la théorie des catégories, une branche des mathématiques, un morphisme zéro est un type spécial de morphisme présentant certaines propriétés comme celles des morphismes vers et depuis un objet zéro .

## Définitions

Supposons que C soit une catégorie, et f : X → Y un morphisme de la catégorie C. Le morphisme f est appelé morphisme constant (ou encore morphisme zéro à gauche) si pour tout objet W de la catégorie C et tout morphisme de cette catégorie g, h : W → X, on a fg = fh. Parallèlement, f est appelé morphisme coconstant (ou encore morphisme zéro à droite) si pour tout objet Z de la catégorie C et tout morphisme de cette catégorie g, h : Y → Z, on a gf = hf. Un morphisme zéro est à la fois un morphisme constant et coconstant.

Une catégorie avec morphismes zéro est celle où, pour tous les couples d'objets A et B de la catégorie C, il y a un morphisme fixe de cette catégorie $0_{AB}$ : A → B, cette collection de morphismes zéro étant telle que pour tous les objets X, Y, Z de la catégorie C et tous les morphismes de cette catégorie f : Y → Z, g : X → Y, le diagramme suivant commute:

Les morphismes $0_{XY}$ sont nécessairement des morphismes zéro et forment un système compatible de morphismes zéro.

Si C est une catégorie avec morphismes zéro, alors la collection des morphismes zéro $0_{XY}$ est unique.

Cette façon de définir séparément un "morphisme zéro" et l'expression "une catégorie à morphismes zéro" est malheureuse, mais si chaque sous-catégorie a un "morphisme zéro", alors la catégorie est "à morphismes zéro".

## Exemples

* Dans la catégorie des groupes (ou des modules ), un morphisme zéro est un homomorphisme f : G → H qui mappe tout G à l'élément d'identité de H. L'objet zéro dans la catégorie des groupes est le groupe trivial 1 = {1}, qui est unique à un isomorphisme près. Tout morphisme zéro peut être factorisé par 1, c'est-à-dire f : G → 1 → H.
* Plus généralement, supposons que C soit une catégorie avec un objet zéro 0 $\Rightarrow$ pour tous les objets X et Y, il existe une séquence unique de morphismes zéro

       $0_{XY}$ : X → 0 → Y
    La famille de tous les morphismes ainsi construite confère à C la structure d'une catégorie à morphismes zéro.
* Si C est une catégorie pré-additive, alors tout ensemble de morphismes Mor ( X, Y ) est un groupe abélien et a donc un élément nul. Ces éléments nuls forment une famille compatible de morphismes zéro pour C ce qui en fait une catégorie à morphismes zéro.
* La catégorie des ensembles n'a pas d'objet nul, mais elle a un objet initial, l' ensemble vide ∅. Les seuls morphismes zéro à droite dans cette catégorie sont les fonctions ∅ → X pour un ensemble X.

## Concepts associés

Si C a un objet zéro 0, étant donné deux objets X et Y de la catégorie C, il existe des morphismes canoniques f : X → 0 et g : 0 → Y. Alors, gf est un morphisme zéro dans Mor $_C$ ( X, Y ). Ainsi, toute catégorie avec un objet zéro est une catégorie avec un morphisme zéro donné par la composition $0_{XY}$ : X → 0 → Y.

Si une catégorie a des morphismes zéro, alors on peut définir les notions de noyau et de conoyau pour tout morphisme de cette catégorie.

