Polynôme osculateur
# Polynôme osculateur

En analyse, un polynôme osculateur ou osculatoire est un polynôme fournissant une « bonne approximation » d'une fonction.

## Définition

Considérons ƒ une fonction réelle n fois dérivable en un point $x_0.$ Le polynôme p est dit osculatoire si

    $\forall i\in 0,...,n,p^{(i)}(x_{0})=f^{(i)}(x_{0})$

En particulier, pour n = 2, on constate donc que le polynôme est tangent et a la même courbure que ƒ en $x_0.$

### Formule

Le polynôme osculateur de degré minimal est donc son polynôme de Taylor :

$p(x)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}\,(x-x_{0})^{i}=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}\,(x-x_{0})+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}\,(x-x_{0})^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}\,(x-x_{0})^{n}$

Cependant, pour tout polynôme Q, tout polynôme de la forme

$p_{1}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}\,(x-x_{0})^{i}+(x-x_{0})^{n+1}Q(x)$

est également osculateur.

## Applications

Un polynôme osculateur peut remplacer localement une fonction ƒ. Cela permet d'avoir une fonction plus facile à manipuler.

