Matrice de Householder
# Matrice de Householder

En algèbre linéaire, la matrice de Householder associée à un vecteur non nul $v\in \mathbb {R} ^{n}$ est la matrice définie par :

    $H_{v}=I_{n}-2{\frac {vv^{T}}{\|v\|^{2}}}$

où $I_n$ est la matrice identité de taille n.

Dans la suite, $\forall x,y\in {R}^{n},x\cdot y=\langle x\cdot y\rangle$, le produit scalaire euclidien.

## Propriétés

* $H_{v}$ est symétrique et orthogonale (donc involutive).

$\mathbb {R} ^{n}$ étant muni de sa structure euclidienne canonique et $u$ désignant le vecteur unitaire ${\frac {v}{\|v\|}}$, on a, pour tout vecteur x,

    $H_{v}(x)=x-2(u\cdot x)u~.$

$H_{v}$ est donc la matrice, dans la base canonique, de la réflexion par rapport à l'hyperplan orthogonal à v. En particulier, c'est la matrice d'une symétrie orthogonale :

    $H_{v}=H_{v}^{-1}=H_{v}^{T}$.

Ainsi, $H_v$ est la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan orthogonal au vecteur v.

* Si $v=a-b\neq 0$ avec $\|b\|=\|a\|$ alors $H_{v}(a)=b$. C'est sur cette propriété que se fondent toutes les applications des matrices de Householder (matrice de Hessenberg, tridiagonalisation ou décomposition QR).

$\|v\|^{2}=\|a\|^{2}-2a\cdot b+\|b\|^{2}=2(\|a\|^{2}-a\cdot b)=2v\cdot a~,$ donc

    $H_{v}(a)=a-2{\frac {v\cdot a}{\|v\|^{2}}}v=a-v=b~.$

## Applications

Les matrices de Householder sont utilisées pour des algorithmes de factorisation de matrices, comme la factorisation QR.

## Article connexe

* Opérateur de Householder
