Relation réflexive
# Relation réflexive

En mathématiques, une relation binaire peut avoir, entre autres propriétés, la réflexivité ou bien l'antiréflexivité (ou irréflexivité).

Une relation R sur un ensemble X est dite :

* réflexive si tout élément de X est R-relié à lui-même :$\forall a\in X\quad aRa$ou encore, si le graphe de R contient la diagonale de X (qui est le graphe de l'égalité) ;
* antiréflexive (ou irréflexive) si aucun élément de X n'est R-relié à lui-même :$\forall a\in X\quad \lnot (aRa)$ou encore, si son graphe est disjoint de la diagonale de X.

La réflexivité et l'antiréflexivité sont deux propriétés incompatibles (R n'est jamais à la fois réflexive et antiréflexive, sauf si X est l'ensemble vide) mais ne sont pas la négation l'une de l'autre (R peut n'être ni réflexive, ni antiréflexive).

## Exemples et contrexemples

Les relations d'équivalence et les préordres (en particulier les relations d'ordre) sont réflexives ; les relations d'ordre strict sont antiréflexives (suivre les liens pour des exemples de tous ces types de relations).

La relation « n'est pas égal à » (≠) est antiréflexive.

Dans un ensemble de personnes, la relation « est enfant de » est antiréflexive : personne n'est son propre enfant.

Une relation sur un ensemble d'au moins deux éléments peut n'être ni réflexive, ni irréflexive : il suffit qu'au moins un élément soit en relation avec lui-même et un autre non :

* sur l'ensemble des entiers naturels, la relation « est premier avec » n'est ni réflexive (en général, un entier n'est pas premier avec lui-même), ni antiréflexive (l'entier 1 est l'exception) ;
* sur l'ensemble des entiers relatifs, la relation « est l'opposé de » n'est ni réflexive (en général, un nombre n'est pas son propre opposé), ni antiréflexive (l'entier 0 est l'exception).

## Clôture réflexive

La clôture réflexive d'une relation R sur X est la relation sur X, notée ici $R^{refl},$ dont le graphe est l'union de celui de R et de la diagonale de X :

    $\forall x,y\in X\quad xR^{\rm {refl}}y\Leftrightarrow (xRy\lor x=y).$

C'est la plus petite (au sens de l'inclusion des graphes) relation réflexive contenant R.

Par exemple, toute relation d'ordre ≤ est la clôture réflexive de l'ordre strict < associé.

## Article connexe

Clôture transitive et clôture réflexive transitive

