Représentation parabolique
# Représentation parabolique

En théorie des nombres, les représentations paraboliques sont un certain type de représentation de groupe algébrique apparaissant comme éléments discrets d'espaces $L^{2}$. Le terme parabolique dérive indirectement des formes paraboliques de la théorie des formes modulaires. Dans la formulation actuelle des formes automorphes, les représentations remplacent les fonctions holomorphes ; ces représentations pouvant être celles de groupes algébriques adéliques.

Lorsque le groupe est le groupe linéaire général les représentations paraboliques sont directement liées aux formes paraboliques et aux formes de Maass. Pour le cas de la forme parabolique, chaque forme propre de Hecke (newform) correspond à une représentation parabolique.

## Formulation

Soit G un groupe algébrique réductif sur un corps de nombres K et désignons par A les adèles de K. Plongeons G(K) diagonalement dans G(A), par exemple avec et les éléments correspondants de alors). Désignons par Z le centre de G et soit ω un caractère unitaire continu de Z(K) \ Z(A)× vers $C^×.$ Fixons une mesure de Haar sur G(A) et désignons par $L^2_0(G(K)$ \ G(A), ω) l'espace de Hilbert des fonctions mesurables à valeurs complexes, f, sur G(A) vérifiant

* f(γg) = f(g) pour tout γ ∈ G(K)
* f(gz) = f(g)ω(z) pour tout z ∈ Z(A)
* pour tous les radicaux unipotents, U, de tous les sous-groupes paraboliques de G(A).

Ceci est appelé l'espace des formes paraboliques de caractère central ω sur G(A). Une fonction élément d'un tel espace est appelé une fonction parabolique.

Une telle fonction parabolique engendre une représentation unitaire du groupe G(A) sur l'espace de Hilbert complexe par les translatés à droite de f où l'action de g ∈ G(A) sur est donnée par

L'espace des formes paraboliques de caractère central ω se décompose en une somme directe d'espaces de Hilbert

où la somme est sur les sous-représentation irréductibles de $L^2_0(G(K)$ \ G(A), ω) et les $m_π$ sont des entiers strictement positifs (c'est-à-dire que chaque sous-représentation irréductible apparaît avec une multiplicité finie). Une représentation parabolique de G(A) est une sous-représentation (π, $V_π)$ pour un certain ω.

Les groupes pour lesquels les multiplicités $m_π$ sont toutes égales à un sont dits posséder la propriété de multiplicité un.

