Matrice bistochastique
# Matrice bistochastique

En mathématiques, une matrice bistochastique ou doublement stochastique est une matrice carrée à coefficients réels positifs dont les sommes des éléments de chaque ligne et chaque colonne sont égales à 1.

Ces matrices sont utilisées en théorie des probabilités et en combinatoire.

## Définition

Formellement, pour une matrice carrée réelle à coefficients positifs $A=(a_{ij})$ est bistochastique si et seulement si l'égalité suivante est vérifiée :

    $\sum _{i}a_{ij}=\sum _{j}a_{ij}=1.$

Les matrices bistochastiques sont aussi les matrices stochastiques dont la transposée est stochastique.

## Propriétés

### Polytope de Birkhoff et théorème de Birkhoff-von Neumann

L'ensemble des matrices bistochastiques de taille d est un polytope convexe dans l'ensemble des matrices carrées de taille d à coefficients réels, appelé polytope de Birkhoff. Les matrices de permutations sont clairement des points extrémaux de ce convexe. Le théorème de Birkhoff-von Neumann établit que ce sont les seuls, ou encore (cf. théorème de Krein-Milman) que ce polytope est l'enveloppe convexe de l'ensemble des matrices de permutation.

Il en résulte que pour tout vecteur y de $ℝ^d,$ l'ensemble des images de y par les matrices bistochastiques est égal à l'enveloppe convexe de l'ensemble des vecteurs obtenus en permutant les coordonnées de y. Inversement, on peut déduire le théorème de Birkhoff-von Neumann de cette égalité (qui constitue l'équivalence entre deux caractérisations de la majorisation, et peut se démontrer directement) :

Dans l'espace $M_d(ℝ)$ des matrices réelles carrées de taille d, notons B l'ensemble des matrices bistochastiques et E l'enveloppe convexe de l'ensemble des matrices de permutation. Par hypothèse, pour tout vecteur y de $ℝ^d,$ B(y) = E(y). Par juxtaposition de colonnes, on en déduit que pour toute matrice N dans $M_d(ℝ),$ les ensembles de matrices BN et EN sont égaux, donc ont même image par l'application trace. Autrement dit : pour toute forme linéaire φ sur $M_d(ℝ),$ φ(B) = φ(E) donc (cf. « Séparation des convexes ») B = E.

### Conjecture de Van der Waerden

En 1926, Van der Waerden conjectura que le permanent d'une matrice bistochastique de dimension n était supérieure à $n!/n^{n}$, valeur atteinte par la matrice ne contenant que des 1/n. Des preuves de ce résultat ont été publiées, en 1980 par B. Gyires, et en 1981 par G. P. $Egorychev^,^,$ et D. I. Falikman. Egorychev et Falikman ont remporté le prix Fulkerson en 1982 pour ces preuves.

## Applications et utilisations

Les matrices bistochastiques apparaissent notamment dans l'inégalité de Muirhead, une généralisation de l'inégalité arithmético-géométrique et dans les chaînes de Markov ayant une certaine symétrie.

