Matrice de Pascal
# Matrice de Pascal

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre linéaire et en combinatoire, les matrices de Pascal sont des matrices faisant intervenir le triangle de Pascal sous diverses formes.

## Définitions

### Matrices de Pascal triangulaires

La matrice de Pascal triangulaire supérieure T est la matrice infinie à coefficients entiers indexée sur $\mathbb {N} ^{2}$ définie par $T(i,j)={\binom {j}{i}}=C_{j}^{i}$ , avec la convention ${\binom {i}{j}}=0$ si $i>j$.

Tronquée à l'ordre n on obtient une matrice $T_{n}$ à n+1 lignes et n+1 colonnes ; par exemple $T_{4}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}$.

La transposée U de la matrice T est la matrice de Pascal triangulaire inférieure définie par $U(i,j)={\binom {i}{j}}$ . Elle présente la forme habituelle du triangle de Pascal. Par exemple, $U_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}$.

### Matrice de Pascal symétrique

Le produit UT donne une matrice symétrique S définie par $S(i,j)={\binom {i+j}{i}}$. Elle présente le triangle de Pascal habituel tourné de 45° ; par exemple, $S_{4}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}.$

Ceci vient de la formule de convolution pour les coefficients binomiaux, en effet :$S(i,j)=\sum _{k}T(i,k)U(k,j)=\sum _{k}{\binom {i}{k}}{\binom {j}{k}}=\sum _{k}{\binom {i}{i-k}}{\binom {j}{k}}={\binom {i+j}{i}}$.

## Interprétation comme matrice d'un endomorphisme polynomial

La matrice T est la matrice relative à la base canonique $(1,X,X^{2},...)$ de l'endomorphisme $\varphi$ de $\mathbb {R} [X]$ qui à P associe P(X + 1).

Ceci vient de la formule du binôme. En effet $(X+1)^{j}=\sum _{i}{\binom {j}{i}}X^{i}=\sum _{i}T(i,j)X^{i}$.

## Calcul de la matrice de Pascal triangulaire comme exponentielle de la matrice de la dérivation

La formule de Taylor appliquée aux polynômes permet d'écrire $P(X+1)=\sum _{k}{\frac {P^{(k)}(X)}{k!}}$; on peut donc écrire l'endomorphisme $\varphi$ sous la forme $\varphi =\sum _{k}{\frac {\delta ^{k}}{k!}}$ où $\delta$ est l'endomorphisme de dérivation. Si on appelle D la matrice canonique de $\delta$, on obtient $T=\sum _{k}{\frac {D^{k}}{k!}}$ qui n'est autre que l'exponentielle de la matrice D.

Cette matrice D, définie par $D(i,j)=j$ si $i=j-1$ , $D(i,j)=0$ sinon, est la matrice triangulaire supérieure stricte dont la sur-diagonale contient $1,2,3,...$.

Sa transposée est la matrice triangulaire inférieure stricte dont la sous-diagonale contient $1,2,3,...$.

En passant aux matrices tronquées, on obtient $\exp(D_{n})=T_{n}$ et $\exp(D_{n}^{T})=U_{n}$.

Par exemple pour n = 4, on obtient :$D_{4}^{T}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&0&3&0&0\\0&0&0&4&0\end{pmatrix}}$, donc

$U_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}=\exp {\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&0&3&0&0\\0&0&0&4&0\end{pmatrix}}$.

## Propriétés

### Puissances entières des matrices de Pascal triangulaires

Comme $\varphi (P(X))=P(X+1)$, on a $\varphi ^{m}(P(X))=P(X+m)$ pour tout entier m. On en déduit directement $T^{m}(i,j)=m^{j-i}T(i,j)$ et $U^{m}(i,j)=m^{i-j}U(i,j)$.

Par exemple, ${\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}^{m}={\begin{pmatrix}1&m&m^{2}&m^{3}&m^{4}\\0&1&2m&3m^{2}&4m^{3}\\0&0&1&3m&6m^{2}\\0&0&0&1&4m\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}$.

### Inverses des matrices de Pascal

Les trois matrices $T,U,S$ ont pour inverses des matrices où les coefficients de la matrice de départ ont été changés de signe "en damier".

Plus précisément $T^{-1}(i,j)=(-1)^{i+j}T(i,j)$ et de même pour $U,S$.

Par exemple, ${\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-1&1&-1&1\\-1&2&-3&4&-5\\1&-3&6&-10&15\\-1&4&-10&20&-35\\1&-5&15&-35&70\end{pmatrix}}$.

Pour T et U, on fait m = -1 dans les formules précédentes

Pour la matrice S, il suffit d'écrire :

$S_{n}^{-1}(i,j)=(U_{n}T_{n})^{-1}(i,j)=\sum _{k}T_{n}^{-1}(i,k)U_{n}^{-1}(k,j)=\sum _{k}(-1)^{i+k+k+j}T_{n}(i,k)U_{n}(k,j)=(-1)^{i+j}S_{n}(i,j)$

### Déterminant des matrices de Pascal finies

Les deux matrices triangulaires $T_{n},U_{n}$sont évidemment de déterminant 1, et comme $S_{n}=U_{n}T_{n}$ la matrice $S_{n}$ est aussi de déterminant 1.

Par exemple, ${\begin{vmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{vmatrix}}=1$

## Référence

* 1 2 (en) Alan Edelman et Gilbert Strang, « Pascal's matrices », American Mathematical Monthly, vol. 111, $n^o$ 3,‎ 2004, p. 361-385 (DOI 10.2307/4145127, lire en ligne).
