Modèle des urnes d'Ehrenfest
# Modèle des urnes d'Ehrenfest

Le modèle des urnes est un modèle stochastique introduit en 1907 par les époux Ehrenfest pour illustrer certains des « paradoxes » apparus dans les fondements de la mécanique statistique naissante. Peu de temps en effet après que Boltzmann a publié son théorème H, des critiques virulentes furent formulées, notamment par Loschmidt, puis par Zermelo, Boltzmann étant accusé de pratiquer des « mathématiques douteuses ».

Ce modèle est parfois également appelé le « modèle des chiens et des puces ». Le mathématicien Mark Kac a écrit à son propos qu'il était :

   « ... probablement l'un des modèles les plus instructifs de toute la physique ... »

## Le modèle des urnes

### Définition du modèle stochastique

On considère deux urnes A et B, ainsi que N boules, numérotées de 1 à N. Initialement, toutes les boules se trouvent dans l'urne A. Le processus stochastique associé consiste à répéter l'opération suivante :

* Tirer au hasard un numéro i compris entre 1 et N, prendre la boule n°i, la transférer dans l'urne où elle n'était pas.

Par convention, le premier instant est $t_{0}=0$.

### Dynamique du modèle

Dans ce modèle, on suit au cours du temps t (discret) le nombre total de boules n(t) présentes dans l'urne A. On obtient une courbe qui part initialement de n(0)=N et commence par décroître vers la valeur moyenne N/2, comme on pourrait s'y attendre pour un « bon » système thermodynamique initialement hors d'équilibre et relaxant spontanément vers l'équilibre.

Mais cette décroissance est irrégulière : il existe des fluctuations autour de la valeur moyenne N/2, qui peuvent devenir parfois très importantes (ceci est particulièrement visible lorsque N est petit).

En particulier, quel que soit le nombre de boules N fini, il existe toujours des récurrences à l'état initial, pour lesquelles toutes les boules reviennent dans l'urne A après une durée finie. Mais, comme le temps moyen entre deux récurrences consécutives croît très rapidement avec N, ces récurrences ne nous apparaissent pas lorsque N est très grand.

### Version « modèle des chiens et des puces »

Dans cette version, les deux urnes sont remplacées par deux chiens, et les N boules par N puces, sautant d'un chien à l'autre.

## Récurrences et théorème de Kac (1947)

### Récurrences à l'état initial

Il existe des récurrences à l'état initial, caractérisées par une suite dénombrable d'instants $\{t_{n}\}_{n=1,2,\dots }$ finis pour lesquels toutes les boules reviennent dans l'urne A, c’est-à-dire que l'on a : $n(t_{n})=N$ (par convention, on pose $t_{0}=0$). On peut alors définir une nouvelle suite dénombrable $\tau _{n}=t_{n}-t_{n-1}$ des durées finies entre deux récurrences consécutives.

### Théorème de Kac (1947)

Il est possible de calculer la durée moyenne entre deux récurrences à l'état initial consécutives :

$\langle \ \tau \ \rangle \ =\ \lim _{p\to \infty }\ {\frac {1}{p}}\ \sum _{n=1}^{p}\ \tau _{n}$

On a le théorème suivant [Kac - 1947] :

$\langle \tau \rangle \ =\ 2^{N}$

De plus, on peut montrer que la dispersion des durées autour de leur valeur moyenne, caractérisée par l'écart-type σ, est du même ordre de grandeur :

$\sigma ={\sqrt {\ \lim _{p\to \infty }{\frac {1}{(p-1)}}\sum _{n=1}^{p}\,\left[\,\tau _{n}\,-\,\langle \tau \rangle \,\right]^{2}\ }}\ \sim \ \langle \tau \rangle$

Voir par exemple [Kac-1957].

## Solution exacte

* Voir par exemple : [Kac-1947] et : [Kac-1957]
* Au même titre, la mesure stationnaire du modèle, ainsi que la rapidité de convergence vers la mesure stationnaire ont été étudiées par Mark Kac : voir
   * Modèle des urnes d'Ehrenfest, et
   * Théorie spectrale (cas du modèle des urnes d'Ehrenfest) .

## Lien avec une marche aléatoire

Le modèle des urnes d'Ehrenfest est formellement similaire à une marche aléatoire non isotrope sur le réseau $\mathbb {Z}$, dont la limite continue converge vers le mouvement brownien d'une particule élastiquement liée. En termes probabilistes on parle de convergence vers le processus d'Ornstein-Uhlenbeck, processus stochastique défini par l'équation différentielle stochastique :

    $dx_{t}=\theta (\mu -x_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}.\,$

Voir par exemple : [Kac-1947] et : [Kac-1957]

