Représentation induite d'un groupe fini
# Représentation induite d'un groupe fini

En mathématiques une représentation induite est une représentation d'un groupe canoniquement associée à une représentation de l'un de ses sous-groupes. L'induction est adjointe à gauche de la restriction (en). Cette propriété intervient dans la formule de réciprocité de Frobenius.

Cet article traite le cas des groupes finis.

## Définitions et exemples

Dans tout l'article, G désigne un groupe fini, H un sous-groupe de G et θ une représentation de H dans un espace vectoriel de dimension finie W sur un corps K. G/H désigne l'ensemble des classes à gauche modulo H.

### Définitions

* La représentation induite par une représentation θ du sous-groupe H de G est la représentation de G, notée ρ = $Ind^G$ $_H$ θ, ou simplement Ind(θ) s'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, telle que :
   * θ est une sous-représentation de la restriction $Res^G$ $_H(ρ)$ de ρ à H ;
   * pour toute représentation σ de G, le morphisme naturel suivant est un isomorphisme entre espaces des morphismes de représentations :$\hom _{G}(\mathrm {Ind} _{H}^{G}\theta ,\sigma ){\overset {\sim }{\to }}\hom _{H}(\theta ,\mathrm {Res} _{H}^{G}\sigma )$.

Son unicité (à isomorphisme près) est garantie par cette propriété universelle d'adjonction, et son existence est assurée par la construction ci-dessous.

* Si ψ désigne le caractère de θ, celui de ρ dépend uniquement de ψ. Il est donc appelé caractère induit par ψ et noté Ind(ψ) ou encore $Ind^G$ $_H$ (ψ) si un risque d'ambiguïté existe.

### Construction

Soit W le K[H]-module sous-jacent à la représentation θ de H, et soit ρ la représentation de G associée au K[G]-module

$V=K[G]\otimes _{K[H]}W.$

Alors ρ = $Ind^G$ $_H$ θ, puisque :

* W = $K[H]⊗_{K[H]}W$ est bien un sous-K[H]-module de V ;
* pour tout K[G]-module E, on a un isomorphisme naturel :$\hom _{K[G]}(V,E){\overset {\sim }{\to }}\hom _{K[H]}(W,E)$qui peut se « déduire de la formule Hom(A,Hom(B,C))=Hom(A⊗B,C) » (Serre, p. II - 7) ou se détailler de façon plus élémentaire (Serre, p. II - 6) en vérifiant la bijectivité de l'application linéaire qui, à tout G-morphisme f de V dans E, associe le H-morphisme restriction de f à W.

### Exemples

* Si H = G, alors $Ind^G$ $_H$ θ = θ.
* Si θ est la représentation triviale de H, alors $Ind^G$ $_H$ θ est la représentation par permutations associée à l'action naturelle de G sur G/H.
* Si θ est la représentation régulière de H, alors $Ind^G$ $_H$ θ est la représentation régulière de G.

## Propriétés

### Premières propriétés

* Une représentation (V,ρ) de G est équivalente à $Ind^G$ $_H$ θ si et seulement si :
   * W est un sous-K[H]-module de V ;
   * V = $⊕_{c∊G/H}$ cW, où la notation cW signifie : $ρ_s(W)$ pour n'importe quel élément s de la classe à gauche c. (Un tel $ρ_s(W)$ ne dépend pas du choix de s dans c puisque si tH = c =sH alors t est de la forme sh pour un certain élément h de H, si bien que $ρ_t(W)$ = $ρ_s(ρ_h(W))$ = $ρ_s(W).)$
* Soient G le groupe symétrique $S_3,$ engendré par un 3-cycle c et une transposition t, H le sous-groupe alterné $A_3$ = {1, c, $c^2},$ W = $ℂe_1$ et θ la représentation de H sur W définie par $θ_c(e_1)$ = $je_1.$ Alors G/H = {H, tH} et $Ind^G$ $_H$ θ est la représentation ρ de G sur V = $ℂe_1⊕ℂe_2$ définie par : $ρ_t(e_1)$ = $e_2$ et $ρ_c(e_1)$ = $je_1.$ On montre facilement que ρ est irréductible (par exemple en vérifiant que son caractère est de norme 1). C'est donc la représentation irréductible complexe de $S_3$ de degré 2.
* Soient G le groupe des quaternions Q = {±1, ±i, ±j, ±k}, engendré par i et j, H le sous-groupe {1, i, –1, –i}, W = $ℂe_1$ et θ la représentation de H sur W définie par $θ_i(e_1)$ = $ie_1.$ Alors G/H = {H, jH} et $Ind^G$ $_H$ θ est la représentation ρ de G sur V = $ℂe_1⊕ℂe_2$ définie par : $ρ_j(e_1)$ = $e_2$ et $ρ_i(e_1)$ = $ie_1.$ On vérifie facilement, comme précédemment, que ρ est irréductible. C'est donc la représentation irréductible complexe de Q de degré 2.
* Pour toute sous-représentation θ' de θ, $Ind^G$ $_H$ (θ') est une sous-représentation de $Ind^G$ $_H$ (θ).
* Pour toutes représentations $θ_1$ et $θ_2$ de H, on a : $Ind^G$ $_H$ $(θ_1⊕θ_2)$ = $(Ind^G$ $_H$ $θ_1)⊕(Ind^G$ $_H$ $θ_2).$
* Une représentation (V,ρ) de G est équivalente à $Ind^G$ $_H$ θ si et seulement si W est un sous-K[H]-module de V et V = $⊕_{c∊G/H}$ cW (Serre, p. II - 5).

La représentation (V, ρ) définie dans la construction vérifie bien ces propriétés : il suffit pour cela de remarquer que K[G] est un K[H]-module libre (à droite), de base une transversale à gauche de H dans G. Réciproquement, « l'unicité est immédiate », c'est-à-dire que deux représentations de G vérifiant ces propriétés sont clairement isomorphes.

* Pour toute sous-représentation θ' de θ, $Ind^G$ $_H$ (θ') est une sous-représentation de $Ind^G$ $_H$ (θ).

Si W' est un sous-K[H]-module de W alors $K[G]⊗_{K[H]}W'$ est un sous-K[G]-module de $K[G]⊗_{K[H]}W.$

* Pour toutes représentations $θ_1$ et $θ_2$ de H, on a : $Ind^G$ $_H$ $(θ_1⊕θ_2)$ = $(Ind^G$ $_H$ $θ_1)⊕(Ind^G$ $_H$ $θ_2).$

Pour tous K[H]-modules $W_1$ et $W_2,$ $K[G]⊗_{K[H]}(W_1⊕W_2)$ = $(K[G]⊗_{K[H]}W_1)⊕(K[G]⊗_{K[H]}W_2).$

### Caractère

* Le caractère χ de la représentation (V,ρ) = $Ind^G$ $_H$ θ s'exprime en fonction du caractère ψ de (W, θ) par la formule suivante, dans laquelle C désigne une transversale à gauche de H dans G, et h l'ordre de H :$\forall t\in G\quad \chi (t)=\sum _{c\in C \atop c^{-1}tc\in H}\psi (c^{-1}tc)={\frac {1}{h}}\sum _{s\in G \atop s^{-1}ts\in H}\psi (s^{-1}ts).$

L'élément $ρ_t$ définit un automorphisme de V qui permute les $ρ_cW,$ donc sa trace χ(t) = $Tr(ρ_t)$ est la somme des traces des restrictions de cet automorphisme aux $ρ_cW$ qu'il laisse invariants, ce qui équivaut pour c à la relation $c^{−1}tc$ ∊ H. D'où :

$\chi (t)=\sum _{c\in C \atop c^{-1}tc\in H}\mathrm {Tr} ((\rho _{t})_{|\rho _{c}W}).$

Or si $c^{−1}tc$ ∊ H, on a :

$\forall w\in W\quad \rho _{c^{-1}}\circ \rho _{t}\circ \rho _{c}(w)=\theta _{c^{-1}tc}(w)\quad {\text{donc}}\quad \mathrm {Tr} ((\rho _{t})_{|\rho _{c}W})=\mathrm {Tr} (\theta _{c^{-1}tc})=\psi (c^{-1}tc),$

ce qui démontre la première formule.

Pour la deuxième (qui n'a de sens que si h est inversible dans K) il suffit de remarquer que pour tout s ∊ cH, $s^{−1}ts$ est conjugué de $c^{−1}tc$ par un élément de H, et d'utiliser que ψ est centrale.

On étend cette formule aux fonctions centrales par la définition suivante :

* Soient f une fonction centrale sur H à valeurs dans K et C une transversale à gauche de H dans G, alors la fonction $Ind^G$ $_H$ (f ) est définie par :$\forall t\in G\quad \mathrm {Ind} _{H}^{G}f(t)=\sum _{c\in C \atop c^{-1}tc\in H}f(c^{-1}tc).$

### Réciprocité de Frobenius

On suppose que la caractéristique de K ne divise pas l'ordre de G. La formule de réciprocité de Frobenius s'exprime alors par :

* Pour tout caractère ψ d'une représentation de H et tout caractère χ d'une représentation de G, les deux scalaires suivants sont égaux :

$\langle \mathrm {Ind} _{H}^{G}\;\psi \mid \chi \rangle _{G}=\langle \psi \mid \mathrm {Res} _{H}^{G}\;\chi \rangle _{H}.$

Cette formule est une conséquence de la propriété d'adjonction qui définit la représentation induite. Elle s'étend linéairement aux fonctions centrales.

## Critère d'irréductibilité de Mackey

On suppose que la caractéristique de K est nulle et que le polynôme Xe – 1, où e désigne l'exposant de G, est scindé sur K. Ainsi, les caractères irréductibles de G forment une base orthonormale des fonctions centrales à valeurs dans K et toute représentation est entièrement déterminée (à équivalence près) par son caractère. On peut prendre par exemple pour K le corps des nombres complexes.

Une double application de la formule de réciprocité de Frobenius décrite ci-dessus permet, sous ces hypothèses, de démontrer le cas particulier suivant du critère d'irréductibilité de Mackey. Deux définitions sont nécessaires pour l'exprimer. Pour tout élément s de G, $H_s$ désigne ici l'intersection de H avec son conjugué par s et $θ^s$ désigne la représentation sur W de ce sous-groupe $H_s$ = $sHs^{−1}$ ∩ H définie par :

$\forall u\in H_{s}\quad \theta ^{s}(u)=\theta (s^{-1}us).$

Le critère s'énonce de la manière suivante :

* La représentation Ind(θ) est irréductible si et seulement si θ est irréductible et pour tout s ∉ H, la restriction de θ à $H_s$ est disjointe de $θ^s.$

On en déduit le corollaire suivant :

* Si H est normal dans G, Ind(θ) est irréductible si et seulement si θ est irréductible et n'est isomorphe à aucune des $θ^s,$ pour s ∉ H.

## Référence

* ↑ (en) Jean-Pierre Serre, Linear Representations of Finite Groups, Springer, coll. « GTM » $(n^o$ 42), 2012 (lire en ligne), p. 29.
