Représentation régulière
# Représentation régulière

En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, les représentations régulières (gauche et droite) d'un groupe G sont les représentations de G associées aux deux actions (à gauche et à droite) de G sur lui-même par translation. Si G est un groupe fini ce sont, pour un corps fixé K, deux actions linéaires de G sur le K-espace vectoriel $K^G$ des applications de G dans K. Si G est un groupe localement compact, ce sont deux représentations continues unitaires de G sur un certain espace de Hilbert inclus dans $ℂ^G.$

## Définition

* Sur le K-espace vectoriel $K^G$ des applications de G dans K, la représentation régulière gauche de G, notée λ, est donnée par$\forall g,h\in G,\quad \forall f\in K^{G},\qquad \lambda _{g}(f)(h)=f(g^{-1}h)$et la droite, notée ρ, par

$\forall g,h\in G,\quad \forall f\in K^{G},\qquad \rho _{g}(f)(h)=f(hg).$

* En particulier les fonctions $δ_k$ pour k∊G, qui sont définies par$\forall h\in G,\qquad \delta _{k}(h)={\begin{cases}1\quad {\text{si}}\quad h=k\\0\quad {\text{sinon}}\end{cases}}$et qui, lorsque G est fini, forment la base canonique de $K^G,$ sont permutées par ces deux actions de G :$\forall g,k\in K^{G},\qquad \lambda _{g}(\delta _{k})=\delta _{gk}\quad {\text{et}}\quad \rho _{g}(\delta _{k})=\delta _{kg^{-1}}.$
* La représentation régulière gauche est la plus utilisée, et souvent appelée simplement « la » représentation régulière. La droite lui est équivalente, par l'isomorphisme d'entrelacement ${\widetilde}~:~K^{G}\to K^{G},\quad f\mapsto \left({\tilde {f}}:G\to K,h\mapsto f(h^{-1})\right).$

## Groupe fini

Soit G un groupe fini d'ordre g et d'élément neutre noté 1. Les propriétés décrites pour la représentation régulière gauche λ sont (par équivalence) aussi vérifiées pour la droite.

### Propriétés élémentaires

* La représentation régulière est fidèle.

En effet λ est injective, puisque tout élément s de G est entièrement déterminé par $λ_s$ et même par $λ_s(δ_1),$ qui est égal à $δ_s.$

* Le caractère χ de la représentation régulière est égal à $gδ_1.$

En effet, le fait que χ(1) = g, la dimension de l'espace, est une propriété générale à tous les caractères, et pour tout autre élément s de G, χ(s) est nul car c'est la trace d'une matrice de permutation (la matrice de $λ_s$ dans la base canonique) qui ne comporte que des zéros sur la diagonale.

Dans la suite de cette section, on suppose que la caractéristique p de K ne divise pas g (autrement dit : que g est inversible dans K) et que le polynôme $X^g$ - 1 est scindé sur K (ou même seulement le polynôme Xe - 1, où e désigne l'exposant de G).

### Algèbre d'un groupe

L'espace vectoriel $K^G$ peut être muni d'un produit de convolution qui en fait une K-algèbre, notée K[G]. La donnée d'une représentation de G équivaut alors à celle d'un K[G]-module. Le module qui correspond à la représentation régulière est la structure naturelle de K[G] vue comme module à gauche sur elle-même.

Le théorème de Maschke montre que (si p ne divise pas g) toute représentation de G est somme directe de représentations irréductibles, ce qui se traduit par le fait que tout K[G]-module est un module semi-simple, c'est-à-dire une somme directe de modules simples, ou encore : K[G] est une algèbre semi-simple.

### Nombre de représentations irréductibles

Une étude plus complète de la structure de l'algèbre K[G] permet de montrer (sous les hypothèses ci-dessus) que pour le module qui correspond à la représentation régulière, la décomposition est la suivante :

* Chaque représentation irréductible de G est contenue dans la représentation régulière un nombre de fois égal à son degré.

Autrement dit : le groupe n'a qu'un nombre fini h de représentations irréductibles $(S_i,$ $ρ_i),$ et les composantes isotypiques de la représentation régulière sont équivalentes à :

$(S_{i},\rho _{i})\oplus \ldots \oplus (S_{i},\rho _{i})\quad (d_{i}{\text{ fois}}),\quad {\text{avec}}\quad d_{i}=\dim(S_{i}).$

Cette propriété est utile, par exemple pour déterminer la table des caractères d'un groupe, comme les groupes alternés d'indices 4 et 5, les groupes symétriques $S_3$ et $S_4$ ou encore du groupe simple d'ordre 168.

### Identités remarquables

Comme toute représentation de G, $(K^G,$ λ) est somme directe de ses composantes isotypiques. Puisque la multiplicité $m_i$ de $ρ_i$ dans sa i-ème composante isotypique est égale au degré $d_i$ de $ρ_i,$ l'examen des dimensions fournit l'identité remarquable :

$g=\sum _{i=1}^{h}m_{i}d_{i}=\sum _{i=1}^{h}d_{i}^{2}.$

Une version « modulo la caractéristique p du corps » (donc plus faible si p>0) des identités $m_i=d_i$ et $g=∑d_i^2$ peut s'obtenir directement en utilisant le fait que les caractères irréductibles $χ_1,$ …, $χ_h$ forment une base orthonormée des fonctions centrales, pour la forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur $K^G$ définie par

$(f|h)={\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}f(s)h(s^{-1}),$

et on obtient par la même occasion :

$\forall s\in G^{*},\qquad \sum _{i=1}^{h}d_{i}\chi _{i}(s)=0.$

Si $χ=gδ_1$ désigne le caractère de la représentation régulière et $χ_i$ celui de la i-ème représentation irréductible, alors, par définition des $m_i$ :

$\chi =\sum m_{i}\chi _{i},$

d'où (dans K) :

$m_{j}=(\chi _{j}|\sum m_{i}\chi _{i})=(\chi _{j}|\chi )={\frac {1}{g}}\sum _{s\in g}\chi _{j}(s)g\delta _{1}(s^{-1})=\chi _{j}(1)=d_{j}$

et

$g=\chi (1)=\sum m_{i}\chi _{i}(1)=\sum m_{i}d_{i}=\sum d_{i}^{2}.$

Dans le cas où s est différent de 1, on obtient aussi :

$0=\chi (s)=\sum m_{i}\chi _{i}(s)=\sum d_{i}\chi _{i}(s).$

### Produit hermitien

Si K est un sous-corps du corps ℂ des nombres complexes, toute représentation (V, ρ) de G possède un produit hermitien sur V qui est G-invariant, c'est-à-dire tel que tous les $ρ_s$ (quand s parcourt G) soient des isométries. Dans le cas de la représentation régulière, un produit hermitien sur $K^G$ qui remplit cette fonction est celui pour lequel la base canonique $(δ_k)_{k∊G}$ est orthonormée.

