Relation de Schrödinger-Robertson
# Relation de Schrödinger-Robertson

La relation de Schrödinger-Robertson est une généralisation de l'inégalité de Heisenberg formalisée dès 1930 par Howard Percy Robertson, puis complétée par Erwin Schrödinger.

## Énoncé

Soient deux observables A et B et les opérateurs hermitiens ${\hat {A}}$ et ${\hat {B}}$ correspondants. Pour un état $|\psi \rangle$ donné, le produit des écarts types Δ A et Δ B vérifie :

       $\Delta {A}\cdot \Delta {B}\geq {\sqrt {{\frac {1}{4}}\left|\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\right\rangle _{\psi }\right|^{2}+{1 \over 4}\left|\left\langle \left\{{\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle _{\psi },{\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle _{\psi }\right\}\right\rangle _{\psi }\right|^{2}}}$

où :

* $\langle \,\rangle _{\psi }$ désigne la moyenne sur l'état $|\psi \rangle$ ;
* $[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$ désigne le commutateur de ${\hat {A}}$ et ${\hat {B}}$ ;
* $\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}$ désigne l'anticommutateur de ${\hat {A}}$ et ${\hat {B}}$.

## Applications

La relation de Schrödinger-Robertson fournit une équation d'incertitude pour tout couple d'observables ne commutant pas, notamment :

* La position et le moment d'une particule :

       $\Delta x_{i}\Delta p_{i}\geq {\frac {\hbar }{2}}$
* L'énergie et la position d'une particule dans un potentiel unidimensionnel $V(x)$ :

       $\Delta E\Delta x\geq {\hbar \over 2m}\left|\left\langle p_{x}\right\rangle \right|$
* Le nombre d'électrons d'un supraconducteur et la phase de son paramètre d'ordre de $Ginzburg-Landau^,$ :

       $\Delta N\Delta \phi \geq 1$
