Polynômes orthogonaux multiples
# Polynômes orthogonaux multiples

Les polynômes orthogonaux multiples (POM) sont des polynômes orthogonaux dans une variable qui satisfait le critère d'orthogonalité par rapport à une famille finie de mesures $\mu _{1},\dots ,\mu _{r}$. Ils ne doivent pas être confondus avec les polynômes orthogonaux à plusieurs variables, les polynômes orthogonaux multivariables. Les polynômes sont divisés en deux classes appelées type 1 et type 2.

Dans la littérature, il existe de nombreux autres noms pour les polynômes orthogonaux multiples, ils sont également appelés $d$-polynômes orthogonaux, polynômes des Hermite-Padé ou polynômes polyorthogonaux.

## Polynômes orthogonaux multiples

Soit ${\vec {n}}=(n_{1},\dots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}$ un multi-indice et $\mu _{1},\dots ,\mu _{r}$ sont measures positives aux nombres réels. Comme d'habitude, $|{\vec {n}}|:=n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}$.

### POM de type 1

Les polynômes de type 1 sont notés comme $A_{{\vec {n}},j}$ pour $j=1,2,\dots ,r$ et écrits comme a vecteur $(A_{{\vec {n}},1},A_{{\vec {n}},2},\dots ,A_{{\vec {n}},r})$, où le $j$ème polynôme $A_{{\vec {n}},j}$ peut être au plus de degré $n_{j}-1$. De plus, ils doivent vérifier :

    $\sum \limits _{j=1}^{r}\int _{\mathbb {R} }x^{k}A_{{\vec {n}},j}d\mu _{j}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,|{\vec {n}}|-2,$

et

    $\sum \limits _{j=1}^{r}\int _{\mathbb {R} }x^{|{\vec {n}}|-1}A_{{\vec {n}},j}d\mu _{j}(x)=1.$

On a donc un système d'équations $|{\vec {n}}|$ pour les $|{\vec {n}}|$ coefficients des polynômes $A_{{\vec {n}},1},A_{{\vec {n}},2},\dots ,A_{{\vec {n}},r}$ défini.

### POM de type 2

Un polynôme $P_{\vec {n}}(x)$ est de type 2 s'il est monique et de degré $|{\vec {n}}|$ et le critère d'orthogonalité suivant est rempli :

    $\int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{j}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{j}-1,\qquad j=1,\dots ,r.$

**Remarques**

Si nous écrivons toutes les équations $j=1,\dots ,r$, nous obtenons la définition suivante du POM de type 2

    $\int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{1}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{1}-1$
    $\int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{2}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{2}-1$
    $\vdots$
    $\int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{r}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{r}-1$
