RANDU
# RANDU

RANDU est le nom d'un générateur congruentiel linéaire introduit dans les années 1960, sur des machines IBM System/370 ou d’autres machines 32 bits. Il est très impopulaire car il possède de nombreux biais auxquels ont dû faire face les personnes qui l'ont utilisé.

## Définition

Il est défini par la relation de récurrence :

$X_{n+1}\equiv (65539\times X_{n})\mod 2^{31}$

avec $X_0$ impair. On engendre des nombres réels pseudo-aléatoires entre 0 et 1 par

$r_{n}\equiv X_{n}/2^{31}.$

## Critiques

C'est l'exemple parfait du fait que le potentiel d'un générateur ne saurait en aucun cas garantir sa qualité. En effet, bien que son potentiel soit de 31 (le minimum requis pour un bon générateur est de 5), il donne des résultats plus que décevants au test spectral pour des dimensions supérieures à 2 et n’aurait donc jamais dû être utilisé. De plus l'absence d'incrément fait que sa période est faible (moins de $2^{30}).$

Les défauts de ce générateur s'expliquent en remarquant que $65539=2^{16}+3.$ C'est pour cela que ce générateur avait été introduit. En effet, la multiplication par 65539, opération lente sur les machines de l'époque, était remplacée par un algorithme plus rapide utilisant des additions et des décalages de bits (shift), puisque $65539\times x=x\ll 16+x\ll 1+x$.

Malheureusement, un tel choix de multiplicateur, $m=2^{16}+3$, est un désastre pour les propriétés statistiques. En effet,

$m^{2}=6m-9\mod 2^{31}.$

On en déduit que trois nombres successifs $X_n,$ $X_{n+1}$ et $X_{n+2}$ vérifient toujours la relation

$X_{n+2}=6X_{n+1}-9X_{n}\mod 2^{31}.$

Il en est de même pour les réels $r_n$ qui vérifient

$r_{n+2}=6r_{n+1}-9r_{n}\mod 1.$

Cette relation donne des corrélations macroscopiques : par exemple, une modification des valeurs de $r_n$ et $r_{n+1}$ de l'ordre de 0,01, change la valeur de $r_{n+2}$ d'au plus 0,15. Pour avoir un « bon » générateur, on souhaite une relation avec des coefficients beaucoup plus grands que 6 et 9, de telle manière qu'une petite modification de $r_n$ ou $r_{n+1}$ change complètement la valeur de $r_{n+2},$ pour donner l'illusion d'un tirage vraiment aléatoire.

Ce générateur est parfois étudié dans les cours, pour ses vertus pédagogiques.

    « ...its very name RANDU is enough to bring dismay into the eyes and stomachs of many computer scientists! » — Donald E. Knuth
