Matrice de Green
# Matrice de Green

En mathématiques et plus spécialement dans le domaine des équations différentielles, une matrice de Green aide à déterminer une solution particulière d'un système d'équations différentielles linéaires du premier ordre avec second membre. Le concept porte le nom du mathématicien et physicien britannique George Green (1793-1841).

## Exemple

Par exemple, considérons l'équation $x'=A(t)x+g(t)\,$ où $x\,$ est un vecteur et $A(t)\,$ est une matrice $n\times n\,$ fonction de $t\,$, qui est continue pour $t\in I,a\leq t\leq b\,$, où $I\,$ est un intervalle.

Texte anglais à traduire : Now let $x^{1}(t),\ldots ,x^{n}(t)\,$ be $n\,$ linearly independent solutions to the homogeneous equation $x'=A(t)x\,$ and arrange them in columns to form a fundamental matrix:

    $X(t)=\left[x^{1}(t),\ldots ,x^{n}(t)\right].\,$

Now $X(t)\,$ is an $n\times n\,$ matrix solution of $X'=AX\,$.

This fundamental matrix will provide the homogeneous solution, and if added to a particular solution will give the general solution to the inhomogeneous equation.

Let $x=Xy\,$ be the general solution. Now,

    ${\begin{aligned}x'&=X'y+Xy'\\&=AXy+Xy'\\&=Ax+Xy'.\end{aligned}}$

This implies $Xy'=g\,$ or $y=c+\int _{a}^{t}X^{-1}(s)g(s)\,ds\,$ where $c\,$ is an arbitrary constant vector.

Now the general solution is $x=X(t)c+X(t)\int _{a}^{t}X^{-1}(s)g(s)\,ds.\,$

The first term is the homogeneous solution and the second term is the particular solution.

Now define the Green's matrix $G_{0}(t,s)={\begin{cases}0&t\leq s\leq b\\X(t)X^{-1}(s)&a\leq s<t.\end{cases}}\,$

The particular solution can now be written $x_{p}(t)=\int _{a}^{b}G_{0}(t,s)g(s)\,ds.\,$

