Masse au repos
# Masse au repos

La masse au $repos^,^,,$ masse $propre^,$ ou encore masse invariante (par opposition à la masse relative ou masse relativiste, dépendante du référentiel), usuellement notée $m_{0}$, est la masse inerte d'un corps dans un référentiel inertiel où il est au repos, ou d'un système physique dans un référentiel inertiel où son centre d'inertie est au repos. Elle est principalement utilisée en relativité restreinte et en physique des particules.

## Masse au repos

Dans tout référentiel inertiel, elle peut être calculée à partir de l'énergie totale $E$ de la particule et de sa quantité de mouvement $p=\|\mathbf {p} \|$ par la relation suivante :

    $m_{0}^{2}=\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{c}}\right)^{2}\,$

où $c$ est la vitesse de la lumière.

On obtient cette relation à partir de la norme du quadrivecteur énergie-impulsion d'une particule :

    $E^{2}-(pc)^{2}=m_{0}^{2}c^{4}$.

Si la particule est au repos, son énergie au repos $E_{0}$ vaut donc :

    $\ E_{0}=m_{0}c^{2}$.

## Masse relativiste

Ce concept vient de la théorie de la relativité restreinte qui a amené Albert Einstein à postuler l'équivalence entre la masse et l'énergie.

L'énergie d'une particule de masse au repos $m=m_{0}$ allant à la vitesse v est $E(v)=\gamma .m_{0}.c^{2}$ et sa masse relativiste est alors définie par $m(v)={{E(v)} \over c^{2}}=\gamma .m_{0}$.

Ce qui permet d'utiliser eV et ses multiples comme unité de mesure de l'énergie de la particule ainsi que eV/c² pour la masse.

## Système de plusieurs particules

Le concept de masse invariante peut être généralisé pour un système de plusieurs particules. On ne considérera ici que des systèmes fermés pour des raisons de simplicité.

### Cas général

Dans le cas général, on a la relation suivante :

    $\left(M_{0}c^{2}\right)^{2}=E^{2}-\left(pc\right)^{2},$
    soit $M_{0}^{2}=\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{c}}\right)^{2}.$

où $M_{0}$ est la masse au repos totale du système, $E$ l'énergie totale du système et $p=\left\|\mathbf {p} \right\|$ la quantité de mouvement totale du système. On remarquera que cette formule est exactement la même que pour une particule seule, à la seule différence qu'il faut prendre les données globales du système à la place des données particulières.

Il faut néanmoins noter que cette masse invariante globale n'est pas égale à la somme des masses invariantes des particules composant le système : en plus de ces masses individuelles, il faut ajouter la masse « apparente » $M_{c}$ correspondant à l'énergie cinétique interne $E_{c}$ du système ($E_{c}=\sum _{i}E_{c,i}$, c'est-à-dire la somme des énergies cinétiques des particules dans le référentiel du centre de masse du système global ; $M_{c}=\sum _{i}m_{c,i}={\frac {E_{c}}{c^{2}}}$) ainsi que la masse $\Delta m$ correspondant à l'énergie d'interaction $\Delta E$ entre les particules ($\Delta E=\sum _{i}\Delta E_{i,j}$, c'est-à-dire la somme des énergies d'interaction pour chaque paire de particules du système ; $\Delta m=\sum _{i}\Delta m_{i,j}={\frac {\Delta E}{c^{2}}}$). Les relations entre données individuelles ($m_{0,i}$ et $E_{0,i}$, $m_{c,i}$ et $E_{c,i}$, $\Delta m_{i,j}$ et $\Delta E_{i,j}$) et globales ($M_{0}$ et $E$, $M_{m}$ et $E_{m}$, $M_{c}$ et $E_{c}$, $\Delta E$ et $\Delta m$) sont donc :

    $E=E_{m}+E_{c}+\Delta E=\left(\sum _{i}E_{0,i}\right)+\left(\sum _{i}E_{c,i}\right)+\left(\sum \Delta E_{i,j}\right),$
    $\mathbf {p} =\sum _{i}\mathbf {p} _{i}~~;~~p=\left\|\mathbf {p} \right\|=\left\|\sum _{i}\mathbf {p} _{i}\right\|.$

et surtout, ce qui nous intéresse ici :

    $M_{0}=M_{m}+M_{c}+\Delta m=\left(\sum _{i}m_{0,i}\right)+\left(\sum _{i}m_{c,i}\right)+\left(\sum \Delta m_{i,j}\right),$

Avec les données usuelles (les $m_{0,i}$ ou $E_{0,i}$, les $E_{c,i}$ et les $\Delta E_{i,j}$), on a :

    $M_{0}=M_{m}+{\frac {E_{c}}{c^{2}}}+{\frac {\Delta E}{c^{2}}}=\left(\sum _{i}m_{0,i}\right)+\left(\sum _{i}{\frac {E_{c,i}}{c^{2}}}\right)+\left(\sum {\frac {\Delta E_{i,j}}{c^{2}}}\right),$
    $M_{0}={\frac {E}{c^{2}}}={\frac {E_{m}}{c^{2}}}+{\frac {E_{c}}{c^{2}}}+{\frac {\Delta E}{c^{2}}}=\left(\sum _{i}{\frac {E_{0,i}}{c^{2}}}\right)+\left(\sum _{i}{\frac {E_{c,i}}{c^{2}}}\right)+\left(\sum {\frac {\Delta E_{i,j}}{c^{2}}}\right).$

### Cas particulier 1 : particules sans interaction

Si les interactions entre les particules sont nulles, ou si elles peuvent être négligées (c'est-à-dire que l'énergie d'interaction peut être négligée devant les énergies de masse et/ou cinétique interne), on a alors :

    $M_{0}=M_{m}+M_{c}=\left(\sum _{i}m_{0,i}\right)+\left(\sum _{i}m_{c,i}\right),$
    $M_{0}=M_{m}+{\frac {E_{c}}{c^{2}}}=\left(\sum _{i}m_{0,i}\right)+\left(\sum _{i}{\frac {E_{c,i}}{c^{2}}}\right),$
    $M_{0}={\frac {E}{c^{2}}}={\frac {E_{m}}{c^{2}}}+{\frac {E_{c}}{c^{2}}}=\left(\sum _{i}{\frac {E_{0,i}}{c^{2}}}\right)+\left(\sum _{i}{\frac {E_{c,i}}{c^{2}}}\right).$

### Cas particulier 2 : particules « presque immobiles »

Dans certains cas, l'énergie cinétique peut être négligée : cette approximation est valable dans le cas où l'énergie de masse et/ou l'énergie d'interaction sont grandes devant l'énergie cinétique interne des particules. Ce cas particulier est un cas d'école : c'est une approximation théorique qui en pratique n'existe pas. On a alors :

    $M_{0}=M_{m}+\Delta m=\left(\sum _{i}m_{0,i}\right)+\left(\sum \Delta m_{i,j}\right),$
    $M_{0}=M_{m}+{\frac {\Delta E}{c^{2}}}=\left(\sum _{i}m_{0,i}\right)+\left(\sum {\frac {\Delta E_{i,j}}{c^{2}}}\right),$
    $M_{0}={\frac {E}{c^{2}}}={\frac {E_{m}}{c^{2}}}+{\frac {\Delta E}{c^{2}}}=\left(\sum _{i}{\frac {E_{0,i}}{c^{2}}}\right)+\left(\sum {\frac {\Delta E_{i,j}}{c^{2}}}\right).$

### Cas particulier 3 : particules « presque immobiles » et sans interaction

Ce cas est le cas extrême, combinaison des deux précédents, où l'énergie d'interaction et l'énergie cinétique interne sont toutes les deux négligeables devant l'énergie de masse du système. Dans ce cas, la masse propre du système global est simplement la somme des masses propres des particules composant le système :

    $M_{0}=M_{m}=\sum _{i}m_{0,i},$
    $M_{0}={\frac {E}{c^{2}}}={\frac {E_{m}}{c^{2}}}=\sum _{i}{\frac {E_{0,i}}{c^{2}}}.$

### Dans un autre système de coordonnées

Dans le cas d'un système de deux particules sans masse dont les impulsions sont séparées par un angle $\theta$, la masse invariante a pour expression simplifiée :

       $M^{2}\,$ $=(E_{1}+E_{2})^{2}-\|{\textbf {p}}_{1}+{\textbf {p}}_{2}\|^{2}\,$ $=[(p_{1},0,0,p_{1})+(p_{2},0,p_{2}\sin \theta ,p_{2}\cos \theta )]^{2}=(p_{1}+p_{2})^{2}-p_{2}^{2}\sin ^{2}\theta -(p_{1}+p_{2}\cos \theta )^{2}\,$ $=2p_{1}p_{2}(1-\cos \theta ).\,$

De même, en physique des collisionneurs, les grandeurs telles que la pseudorapidité $\eta$ ou l'angle azimutal $\phi$, associées à l'impulsion transverse $p_{T}$, sont souvent utilisées comme système de coordonnées dans les détecteurs. Dans l'hypothèse de particules sans masse ou relativistes ( $E>>m$,) la masse invariante prend la forme :

       $M^{2}\,$ $=2p_{T1}p_{T2}(\cosh(\eta _{1}-\eta _{2})-\cos(\phi _{1}-\phi _{2})).\,$
