Équation de Dirac
# Équation de Dirac

L'équation de Dirac est une équation formulée par Paul Dirac en 1928 dans le cadre de sa mécanique quantique relativiste de l'électron. Il s'agit au départ d'une tentative pour incorporer la relativité restreinte à des modèles quantiques, avec une écriture linéaire entre la masse et l'impulsion.

## Explication

Cette équation décrit le comportement de particules élémentaires de spins demi-entiers, comme les électrons. Dirac cherchait à transformer l'équation de Schrödinger afin de la rendre invariante par l'action du groupe de Lorentz, en d'autre termes à la rendre compatible avec les principes de la relativité restreinte.

Cette équation prend en compte de manière naturelle la notion de spin introduite peu de temps avant et permit de prédire l'existence des antiparticules. En effet, outre la solution correspondant à l'électron, il découvre une nouvelle solution correspondant à une particule de charge et autres nombres quantiques opposés à celle de l'électron. En 1932, Carl David Anderson, alors qu'il étudiait le rayonnement cosmique (sans lien avec les travaux de Dirac), observe, avec une chambre à brouillard, une particule de charge opposée à celle de l'électron et de masse bien inférieure à celle du proton (seule particule chargée positivement connue à l'époque). Cette particule s'avéra par la suite être celle conjecturée par Dirac, le positron.

Il est par ailleurs notable que l'opérateur de Dirac, découvert pour des raisons absolument physiques (et théoriques), a en mathématiques un usage indispensable dans le théorème de l'indice démontré en 1963.

## Formulation mathématique

La véritable équation :

* $\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)=\left(mc^{2}\alpha _{0}-\mathrm {i} \hbar c\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\,\right)\psi (\mathbf {x} ,t)$

où m est la masse de la particule, c la vitesse de la lumière, $\hbar$ la constante de Planck réduite, x et t les coordonnées dans l'espace et dans le temps, et ψ(x, t) une fonction d'onde à quatre composantes. (La fonction d'onde doit être formulée par un spineur à quatre composants, plutôt que par un simple champ scalaire, du fait des exigences de la relativité restreinte.) Enfin $\alpha _{j},\ j=0,1,2,3$ sont des matrices de dimension 4 × 4 agissant sur le spineur $\psi \,$ et appelées matrices de Dirac. En fonction des matrices de Pauli ${\vec {\sigma }}$, on peut écrire les matrices de Dirac, dans la représentation de Dirac (d'autres sont possibles, comme la représentation de Weyl ou la représentation de Majorana), sous la forme :

${\begin{matrix}\alpha _{0}=\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}}\right)&,&{\vec {\alpha }}=\left({\begin{matrix}0&{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&0\end{matrix}}\right)\end{matrix}}$

Il est commun en mécanique quantique de considérer l'opérateur quantité de mouvement ${\vec {p}}\equiv -\mathrm {i} \hbar {\vec {\nabla }}\,$ et dans ce cas l'équation de Dirac se réécrit de façon condensée :

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {p} ,t)=\left(mc^{2}\alpha _{0}+c{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {p}}\,\right)\psi (\mathbf {p} ,t)$

De plus, il est naturel de chercher une formulation covariante, ce qu'on fait en posant $\gamma ^{0}=\gamma _{0}=\alpha _{0}$ et $\gamma ^{i}=-\gamma _{i}=\alpha _{0}\alpha _{i}$ (métrique (+ – – –)), auquel cas on a (en adoptant les conventions $c=1$ et $\hbar =1$) une notation encore plus compacte :

$\left(\not \!p-m\right)\psi (\mathbf {p} ,t)=0$

où l'on a adopté la notation de Feynman $\not \!a=\gamma _{\mu }a^{\mu }$.

