Nombre carré triangulaire
# Nombre carré triangulaire

En mathématiques, un nombre triangulaire carré est un nombre triangulaire qui est de plus carré. Il y a une infinité de tels nombres.

Ils s'écrivent sous la forme

$N_{k}={\frac {\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}}{32}}={\frac {\left(\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}\right)^{2}}{32}},\quad k\in \mathbb {N} ^{*}.$

## Démonstration

Le problème se ramène à la résolution d'une équation diophantienne de la manière suivante.

Tout nombre triangulaire est de la forme t(t + 1)/2. On recherche donc les entiers t et s tels que t(t + 1)/2 = $s^2,$ c'est-à-dire, en posant x = 2t + 1 et y = 2s, les solutions de l'équation de Pell-Fermat

$x^{2}-2y^{2}=1.$

Les solutions sont données par

$x_{k}+y_{k}{\sqrt {2}}=(1+{\sqrt {2}})^{2k},$

soit

$x_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}+(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{2}}\quad {\rm {et}}\quad y_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{2{\sqrt {2}}}}.$

On trouve donc

$t_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}+(1-{\sqrt {2}})^{2k}-2}{4}}\quad {\rm {et}}\quad s_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{4{\sqrt {2}}}},$

d'où la valeur annoncée pour $N_k$ = $s_k^2.$

## Observations numériques

| k | $N_k$ | $s_k$ | $t_k$ | $t_k/s_k$ |
| - | - | - | - | - |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 36 | 6 | 8 | 1,3… |
| 3 | 1 225 | 35 | 49 | 1,4 |
| 4 | 41 616 | 204 | 288 | 1,411… |
| 5 | 1 413 721 | 1 189 | 1 681 | 1,413… |
| 6 | 48 024 900 | 6 930 | 9 800 | 1,4141… |
| 7 | 1 631 432 881 | 40 391 | 57 121 | 1,41420… |
| 8 | 55 420 693 056 | 235 416 | 332 928 | 1,414211… |
| 9 | 1 882 672 131 025 | 1 372 105 | 1 940 449 | 1,4142132… |

(voir la suite A001110 de l'OEIS pour quelques valeurs suivantes de $N_k).$

Lorsque k tend vers l'infini, le rapport

${\frac {t_{k}}{s_{k}}}={\frac {x_{k}-1}{y_{k}}}\sim {\frac {x_{k}}{y_{k}}}$

tend vers la racine carrée de deux et

${N_{k+1} \over {N_{k}}}={s_{k+1}^{2} \over s_{k}^{2}}\to (1+{\sqrt {2}})^{4}.$

