Lemme de Yoneda
# Lemme de Yoneda

En théorie des catégories, le lemme de Yoneda, attribué au mathématicien japonais Nobuo Yoneda, est un théorème de plongement d'une catégorie ${\mathcal {C}}$ localement petite dans une catégorie de foncteurs : les objets de ${\mathcal {C}}$ sont identifiés aux foncteurs représentables, et les morphismes de ${\mathcal {C}}$ à toutes les transformations naturelles entre ces foncteurs. C'est une vaste généralisation du théorème de Cayley pour les groupes (vus comme des petites catégories à un seul objet). Une des conséquences du lemme de Yoneda est le théorème des modèles acycliques (en), qui a de nombreuses utilisations en homologie et en géométrie algébrique.

Le lemme de Yoneda exprime le fait que deux objets $X$ et $Y$ sont isomorphes si (et seulement si) ils ont les mêmes relations (i.e. les mêmes ensembles de morphismes) avec tous les autres objets de la catégorie.

## Lemme de Yoneda

Soit ${\mathcal {C}}$ une catégorie localement petite, c'est-à-dire dans laquelle, pour tous objets A et X, les morphismes de A dans X forment un ensemble et pas seulement une classe.

* Un objet A de ${\mathcal {C}}$ définit un foncteur Hom covariant $h^A$ de ${\mathcal {C}}$ dans la catégorie Ens des ensembles par :$X\mapsto h^{A}(X)=\mathrm {Hom} _{C}(A,X),$$f\mapsto h^{A}(f)=(g\mapsto f\circ g).$De la sorte, on dispose d'un foncteur contravariant $h^–$ de ${\mathcal {C}}$ dans la catégorie Fun(${\mathcal {C}}$, Ens) des foncteurs covariants de ${\mathcal {C}}$ dans Ens. Tout morphisme de A dans B dans la catégorie ${\mathcal {C}}$ induit une transformation naturelle de $h^B$ dans $h^A.$ Le lemme de Yoneda affirme que toute transformation naturelle de $h^B$ dans $h^A$ est de cette forme ; mieux, il caractérise l'ensemble des transformations naturelles de $h^A$ dans n'importe quel foncteur de ${\mathcal {C}}$ dans Ens. Le lemme de Yoneda montre que le foncteur contravariant $h^–$ est pleinement fidèle ; la catégorie duale ${\mathcal {C}}$$^{op}$ se trouve ainsi plongée dans Fun(${\mathcal {C}}$, Ens).
* En remplaçant ${\mathcal {C}}$ par ${\mathcal {C}}$$^{op},$ on en déduit une version similaire, concernant le foncteur covariant $h_–$ : A ↦ $h_A$ = Hom$_{C{\displaystyle{\mathcal{C}}}}$(–, A), de ${\mathcal {C}}$ dans la catégorie de préfaisceaux Fun(${\mathcal {C}}$$^{op},$ Ens), c'est-à-dire la catégorie des foncteurs contravariants de ${\mathcal {C}}$ dans Ens. Ce foncteur $h_–,$ appelé le plongement de Yoneda, plonge canoniquement ${\mathcal {C}}$ dans la catégorie Fun(${\mathcal {C}}$$^{op},$ Ens), qui a l'intérêt d'être cocomplète, c'est-à-dire de posséder toutes les petites colimites. Il s'agit de la « cocomplétion universelle » de ${\mathcal {C}}$.

Dans la suite, il ne sera question que de la première version.

### Énoncé

Lemme de Yoneda — Pour tout objet $A$ de ${\mathcal {C}}$, toute transformation naturelle $\psi$ de $h^{A}$ sur un foncteur $T:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Ens}$ est uniquement déterminée par l'élément de $T(A)$ défini comme l'image de $\mathrm {id} _{A}\!\in h^{A}(A)$ par $\psi (A)$. Plus précisément, on dispose d'une bijection :

${\begin{aligned}\mathrm {Nat} \!\left(\,h^{A},T\,\right)&\,{\overset {\sim }{\longrightarrow }}\,T(A)\\\psi &\longmapsto \!\psi (A)\!\left(\,\mathrm {id} _{A}\,\right).\end{aligned}}$

En particulier, pour tous objets $A$ et $B$ de ${\mathcal {C}}$, on a :

$\mathrm {Nat} \!\left(\,h^{A},h^{B}\,\right)\simeq h^{B}(A)=\mathrm {Hom} _{\,{\mathcal {C}}}(B,A).$

### Preuve

**Injectivité**

Avec les notations ci-dessus, considérons $\psi$ une transformation naturelle de $h^A$ sur T. Pour tout élément $f$ dans $h^{A}(B)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$, on a :

$f=h^{A}(f)(\mathrm {id} _{A})\,$

En appliquant à cette identité l'application ensembliste $\psi (B):h^{A}(B)\rightarrow T(B)$, on obtient :

$\psi (B)(f)=\psi (B)\left[h^{A}(f)(\mathrm {id} _{A})\right]=T(f)\left[\psi (A)(\mathrm {id} _{A})\right]$

où la seconde égalité vient de la définition d'une transformation naturelle. L'élément $\psi (B)(f)$ est donc l'image de $\psi (A)(\mathrm {id} _{A})$ par $T(f)$. De fait, en faisant varier f, on montre que $\psi$ est uniquement déterminé par $\psi (A)(\mathrm {id} _{A})$. L'application énoncée est injective.

**Surjectivité**

Soit un élément v de T(A). La preuve de l'injectivité permet de deviner un antécédent de v (forcément unique). Pour tout objet B de C, définissons :

$\psi _{v}(B):h^{A}(B)\rightarrow T(B)\,$

$f\mapsto T(f)(v)$

Vérifions que $\psi _{v}$ est bien une transformation naturelle. Pour toute flèche g : B → C et pour tout élément f de $h^A(B),$ on est en mesure d'écrire :

$T(g)\left[\psi _{v}(B)(f)\right]=T(g)\left[T(f)(v)\right]=T\left[g.f\right](v)=\psi _{v}(C)(g.f)$

Or, la composée g.f peut être regardée comme l'image de f par $h^A(g).$ Donc, l'identité obtenue se réécrit :

$T(g)\left[\psi _{v}(B)(f)\right]=\psi _{v}(C)\left[h^{A}(g)(f)\right]$

En faisant varier f :

$T(g)\circ \psi _{v}(B)=\psi _{v}(C)\circ h^{A}(g)$

Cela étant vérifié pour toute flèche g, $\psi _{v}$ est bien une transformation naturelle de $h^A$ sur T et son image est presque par définition v (on l'a défini pour).

