Équation de Born-Landé
# Équation de Born-Landé

L'équation de Born-Landé est un moyen de calculer l'énergie réticulaire d'un composé ionique cristallin. En 1918 Max Born et Alfred Landé proposent une expression de l'énergie réticulaire dérivant du potentiel électrostatique du réseau et d'un terme d'énergie potentielle répulsive.

    $E=-{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)$ (en joules par mole)

avec:

    $N_{A}$ = nombre d'Avogadro
    $M$ = constante de Madelung, liée à la géométrie du réseau.
    $z^{+}$ = charge du cation en eV
    $z^{-}$ = charge de l'anion en eV
    $e$ = charge de l'électron en coulombs, 1,602 2–19 C
    $\varepsilon _{0}$ = permittivité du vide
       $4\pi \varepsilon _{0}$ = 1,112 × $10^{−10}$ $C^2$ $J^{−1}$ $m^{−1}$
    $r_{0}$ = distance entre l'ion et son plus proche voisin
    ${n}$ = facteur de Born, un nombre compris entre 5 et 12, déterminé théoriquement ou expérimentalement par mesure de compressibilité du solide.

## Démonstration

Le cristal ionique est modélisé comme étant un assemblage de sphères élastiques compressées ensemble par les attractions électrostatiques mutuelles des ions. Les distances à l'équilibre entre ions proviennent de répulsions à courte portée qui finissent par s'opposer aux attractions.

### Potentiel électrostatique

Le potentiel électrostatique $E_{c}$ entre une paire d'ions de même charge ou de charge opposée est donné par :

    $E_{c}=-{\frac {z^{+}z^{-}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}$

où:

    $z^{+}$ = charge du cation
    $z^{-}$ = charge de l'anion
    $e$ = charge de l'électron en coulombs, 1,602 2 × $10^{−19}$ C
    $\varepsilon _{0}$ = permittivité du vide
       $4\pi \varepsilon _{0}$ = 1,112 × $10^{−10}$ $C^2$ $J^{−1}$ $m^{−1}$
    $r_{0}$ = distance entre les ions

Pour un réseau la somme des interactions entre tous les ions donne l'énergie de Madelung $E_{M}$ :

    $E_{M}=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}$

avec:

    $z$ = charge des ions
    $e$ = 1,602 2 × $10^{−19}$ C
    $4\pi \varepsilon _{0}$ = 1,112 × $10^{−10}$ $C^2$ $J^{−1}$ $m^{−1}$
    $M$ = constante de Madelung, liée à la géométrie du cristal

### Terme répulsif

Born et Lande ont suggéré que la répulsion entre ions serait proportionnelle à $1/r^{n}$ (où r est la distance entre ions). L'énergie répulsive $E_{R}$, devient :

    $E_{R}={\frac {B}{r^{n}}}$

où

    $B$ = constante
    $r$ = distance entre ions
    $n$ = facteur de Born, un nombre compris entre 5 et 12

### Énergie totale

L'énergie totale du réseau peut s'exprimer comme étant la somme des potentiels attractifs et répulsifs :

    $E=-{\frac {z^{+}z^{-}e^{2}M}{4\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}+{\frac {B}{r^{n}}}$

et l'énergie minimale (à la distance d'équilibre) est donnée par :

    $E=-{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)$

## Énergies réticulaires calculées

L'équation de Born-Landé donne une valeur satisfaisante d'énergie réticulaire.

| Composé | Énergie réticulaire calculée (kJ/mol) | Énergie réticulaire expérimentale (kJ/mol) |
| - | - | - |
| NaCl | −756 | −787 |
| LiF | −1 007 | −1 046 |
| $CaCl_2$ | −2 170 | −2 255 |
