Lemme de Krasner
# Lemme de Krasner

En théorie des nombres, plus spécifiquement en analyse p-adique, le lemme de Krasner est un résultat de base, dû à Marc Krasner, reliant la topologie d'un corps non archimédien complet à ses extensions algébriques.

## Énoncé

Soit $K$ un corps valué complet non archimédien et soit ${\bar {K}}$ une clôture algébrique séparable de $K$. Étant donné un élément $\alpha$ dans ${\bar {K}}$, notons $\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}$ ses conjugués de Galois. Le lemme de Krasner s'énonce de la façon $suivante^,^,.$

Lemme de Krasner — Si un élément $\beta$ de ${\bar {K}}$ est tel que $\left|\alpha -\beta \right|<\left|\alpha -\alpha _{i}\right|$ pour $i=2,\dots ,n$, alors $K(\alpha )\subseteq K(\beta )$.

## Applications

* Le lemme de Krasner peut être utilisé pour montrer que la complétion p-adique et la clôture séparable des corps globaux commutent. En d'autres termes, étant donné un idéal premier ${\mathfrak {p}}$ d'un corps global $L$, la clôture séparable de la complétion ${\mathfrak {p}}$-adique de $L$ est égale à la complétion ${\bar {\mathfrak {p}}}$-adique de la clôture séparable de $L$, où ${\bar {\mathfrak {p}}}$ est un idéal premier de ${\bar {L}}$ au-dessus de (qui contient) ${\mathfrak {p}}$.
* Une autre application consiste à prouver que $\mathbf {C} _{p}$, la complétion de la clôture algébrique de $\mathbf {Q} _{p}$, est algébriquement $clos^,.$

## Généralisation

Le lemme de Krasner admet la généralisation suivante. Considérons un polynôme unitaire

       $f^{*}=\prod _{k=1}^{n}(X-\alpha _{k}^{*})$

de degré $n>1$ à coefficients dans un corps hensélien $(K,v)$ et ayant ses racines dans la clôture algébrique ${\bar {K}}$. Soient I et $J$ deux ensembles disjoints non vides dont l'union est $\{1,\ldots ,n\}$. Considérons de plus un polynôme

       $g=\prod _{i\in I}(X-\alpha _{i})$

à coefficients et racines dans ${\bar {K}}$ et supposons que . Supposons que

       $v(\alpha _{i}-\alpha _{i}^{*})>v(\alpha _{i}^{*}-\alpha _{j}^{*})$ pour tout $i\in I$ et tout $j\in J$.

Alors les coefficients des polynômes

       $g^{*}:=\prod _{i\in I}(X-\alpha _{i}^{*})$ et $\ h^{*}:=\prod _{j\in J}(X-\alpha _{j}^{*})$

sont contenus dans l'extension de $K$ engendré par $g$. (Le lemme de Krasner original correspond au cas où $g$ est de degré 1.)

