Équation différentielle d'Euler
# Équation différentielle d'Euler

En mathématiques, l'équation d'Euler ou équation de Cauchy-Euler est une équation différentielle linéaire de la forme suivante :

    $a_{n}x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\ldots +a_{0}y(x)=f(x)\,\qquad (a_{n}\neq 0).$

Elle peut être ramenée par changement de variable à une équation différentielle linéaire à coefficients constants.

## Résolution

Pour appliquer la théorie générale des équations linéaires, on s'intéresse dans un premier temps à l'équation homogène associée, et en se plaçant sur un intervalle où $x^n$ ne s'annule pas : $]-\infty ,0[$ ou $]0,+\infty [$. Dans le premier cas on posera le changement de variable x = – $e^u$ et dans le second x = $e^u.$ On pose ensuite g(u) = $y(e^u).$ Grâce à ces changements de variables, l'équation différentielle d'Euler est alors ramenée à une équation différentielle à coefficients constants, en g, qu'on peut résoudre explicitement.

### Résolution pour le cas du second ordre

Un cas commun de l'équation de Cauchy est celui du second ordre (n=2), qui apparaît dans plusieurs problèmes physiques comme la résolution de l'équation de Laplace en coordonnées polaires. On peut donc ramener l'équation à la forme

    $x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0.\,$

On cherche donc une solution simple de la forme

    $y=x^{m}.\,$

et il faut dès lors trouver les valeurs de m vérifiant

    $x^{2}(m(m-1)x^{m-2})+ax(mx^{m-1})+b(x^{m})=0\,$

La recherche des solutions m de l'équation du second degré

    $m^{2}+(a-1)m+b=0.\,$

amènent classiquement à trois cas :

* Deux racines réelles distinctes $m_1$ et $m_2;$
* Une racine double m;
* Deux racines complexes conjuguées α ± β i.

Le cas 1 donne une solution de la forme

    $y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}\,$

Le cas 2 donne

    $y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}\,$

Le cas 3 donne une solution de la forme

    $y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))\,$
    $\alpha =\mathop {\rm {Re}} (m)\,$
    $\beta =\mathop {\rm {Im}} (m)\,$

avec $c_1,$ $c_2$ ∈ ℝ .

