Équation des géodésiques
# Équation des géodésiques

Dans une variété riemannienne, on obtient l'équation d'une géodésique en exprimant que sa longueur est minimale – par définition.

Un système de coordonnées $x^{i}$ étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale :

$\mathrm {d} s={\sqrt {\pm g_{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}}$

Le signe optionnel $\pm$ est choisi en fonction du signe de l'intervalle et de la signature du tenseur métrique.

Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable $\tau$, on écrit

${\dot {s}}={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} \tau }}={\sqrt {\pm g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}$

où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à $\tau$. La longueur de la trajectoire est donc égale à l'intégrale :

$\int {\sqrt {\pm g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}\mathrm {d} \tau$

En utilisant la méthode de Lagrange relative au calcul des variations pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique

${\frac {\partial {\dot {s}}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\left({\frac {\partial {\dot {s}}}{\partial {\dot {x}}^{k}}}\right)=0$

La paramétrisation canonique $\tau =s$ des trajectoires permet d'obtenir une équation mettant en jeu les symboles de Christoffel :

${\ddot {x}}^{k}+\Gamma _{ij}^{k}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}=0$

Explicitant ${\dot {s}}$ dans l'équation géodésique précédente :

${\frac {\partial {\dot {s}}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\left({\frac {\partial {\dot {s}}}{\partial {\dot {x}}^{k}}}\right)=0$

on a, en notant $g_{ij,k}=\partial _{k}g_{ij}$ la dérivée partielle du tenseur métrique par rapport à la k-ème coordonnée :

${\frac {1}{2{\dot {s}}}}g_{ij,k}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\left({\frac {1}{\dot {s}}}g_{ki}{\dot {x}}^{i}\right)=0$

Paramétrons la trajectoire par sa longueur $s$, c’est-à-dire posons $\tau =s$. Avec ce choix, on a ${\dot {s}}=1$ et l'équation géodésique devient

${\frac {1}{2}}g_{ij,k}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\left(g_{ki}{\dot {x}}^{i}\right)=0$

Comme le tenseur métrique dépend de $x^{i}$ mais pas explicitement de ${\dot {x}}^{i}$, on a ${\tfrac {\mathrm {d} g_{ki}}{\mathrm {d} s}}=g_{ki,j}{\tfrac {\mathrm {d} x^{j}}{\mathrm {d} s}}=g_{ki,j}{\dot {x}}^{j}$ et l'équation géodésique prend la forme

${\frac {1}{2}}g_{ij,k}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-g_{ki,j}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-g_{ki}{\ddot {x}}^{i}=0$

ou encore, en utilisant le fait que les indices i et j jouent des rôles symétriques, et donc que $g_{ki,j}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}=g_{kj,i}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}$ :

${\frac {1}{2}}\left(g_{ij,k}-g_{ki,j}-g_{kj,i}\right){\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-g_{ki}{\ddot {x}}^{i}=0$

Or la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique permet d'affirmer que :

$g_{ij,k}=\Gamma _{ik}^{l}g_{lj}+\Gamma _{jk}^{l}g_{il}$

$g_{ki,j}=\Gamma _{kj}^{l}g_{li}+\Gamma _{ij}^{l}g_{kl}$

$g_{kj,i}=\Gamma _{ki}^{l}g_{lj}+\Gamma _{ij}^{l}g_{kl}$

donc, en utilisant la symétrie du tenseur métrique et des symboles de Christoffel :

$g_{ij,k}-g_{ki,j}-g_{kj,i}=-2\Gamma _{ij}^{l}g_{kl}$

et donc :

$-\Gamma _{ij}^{l}g_{kl}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}=g_{ki}{\ddot {x}}^{i}=g_{kl}{\ddot {x}}^{l}$

en renommant l'indice i en l dans la dernière égalité. Il suffit alors d'appliquer l'inverse du tenseur g pour conclure que :

${\ddot {x}}^{l}=-\Gamma _{ij}^{l}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}$

## Exemple

Considérons le demi-plan de Poincaré, dont les points sont repérés par un couple (x,y), avec y > 0. La métrique sur ce demi-plan est donnée au point (x,y) par :

    $g(x,y)={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}}$

Le calcul des symboles de Christoffel à partir de ce tenseur donne :

    $\Gamma _{xx}^{y}=-\Gamma _{xy}^{x}=-\Gamma _{yx}^{x}=-\Gamma _{yy}^{y}={\frac {1}{y}}$

L'équation des géodésiques donne, en notant $v_{x}={\dot {x}}$ et $v_{y}={\dot {y}}$:

    ${\dot {v}}_{x}-{\frac {2}{y}}v_{x}v_{y}=0$
    ${\dot {v}}_{y}+{\frac {1}{y}}(v_{x}^{2}-v_{y}^{2})=0$

auxquelles on peut rajouter l'équation $g(v_{x},v_{y})=1$ qui a servi d'hypothèse pour établir l'équation des géodésiques, ce qui donne ici :

    ${\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}{y^{2}}}=1$

Si on remplace $v_{y}$ par ${\dot {y}}$ dans la première équation, on obtient ${\frac {dv_{x}}{dy}}-{\frac {2}{y}}v_{x}=0$ dont les solutions sont de la forme $v_{x}=\alpha y^{2}={\dot {x}}$ pour une certaine constante $\alpha$. La relation ${\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}{y^{2}}}=1$ donne alors $v_{y}=\pm y{\sqrt {1-\alpha ^{2}y^{2}}}={\dot {y}}$.

Si $\alpha$ est nul, on obtient respectivement x constant et $y=e^{\pm t}$ (en choisissant convenablement l'origine des temps). La géodésique est une droite parallèle à Oy, parcourue de façon exponentielle. On s'approche indéfiniment du bord y=0 ou on s'éloigne indéfiniment en faisant tendre t vers l'infini.

Si $\alpha$ est non nul, l'intégration de l'équation ${\dot {y}}=\pm y{\sqrt {1-\alpha ^{2}y^{2}}}$ conduit à $y={\frac {1}{\alpha \cosh(t)}}$ (en choisissant convenablement l'origine des temps). Puis l'intégration de l'équation ${\dot {x}}=\alpha y^{2}$ conduit à $x={\frac {\tanh(t)}{\alpha }}$ (à translation près parallèlement à Ox). On constate que $x^{2}+y^{2}={\frac {1}{\alpha ^{2}}}$ et les géodésiques sont des demi-cercles de diamètre porté par Ox. Quand t tend vers l'infini, on s'approche indéfiniment du bord Oy qui constitue une limite du demi-plan de Poincaré située à l'infini.

