Lemme de Fitting
# Lemme de Fitting

En mathématiques, le lemme de Fitting est un énoncé d'algèbre d'après lequel si M est un module indécomposable et de longueur finie alors tout endomorphisme de M est soit bijectif, soit nilpotent. Il en résulte que l'anneau des endomorphismes de M est local.

## Énoncé

Si M est un module de longueur finie n et f un endomorphisme de M alors

$M=\ker(f^{n})\oplus \mathrm {im} (f^{n}).$

## Démonstration

Par hypothèse sur la longueur de M, on a

$\ker(f^{n+1})=\ker(f^{n})\quad {\text{et}}\quad \mathrm {im} (f^{n+1})=\mathrm {im} (f^{n}).$

De ces égalités on déduit respectivement

$\ker(f^{n})\cap \mathrm {im} (f^{n})=0\quad {\text{et}}\quad \ker(f^{n})+\mathrm {im} (f^{n})=M.$

## Conséquences

* Sous les hypothèses du lemme, f se restreint en un endomorphisme nilpotent de $ker(f^n)$ et un automorphisme de $im(f^n).$
* Si M est de plus indécomposable alors f est soit nilpotent, soit inversible, et l'anneau End(M) est local.
* Ce lemme permet de démontrer le théorème de Krull-Schmidt sur l'unicité de la décomposition d'un module de longueur finie en somme directe d'indécomposables.
