Lemme de Mazur
# Lemme de Mazur

En analyse fonctionnelle (mathématique), le lemme de Mazur — ou théorème de Mazur — assure que dans un espace vectoriel normé, toute limite faible d'une suite $(x_n)_{n∈ℕ}$ est limite forte (c'est-à-dire en norme) d'une suite combinaisons convexes des vecteurs $x_n.$ Cette propriété est utilisée en calcul des variations, par exemple pour démontrer le théorème de Tonelli $(en)^,.$

## Énoncé

Dans un espace vectoriel normé X, soit $(x_n)_{n∈ℕ}$ une suite convergeant faiblement vers un vecteur x de X, c'est-à-dire que pour toute forme linéaire continue f sur X,

$\lim _{n\to +\infty }f(x_{n})=f(x).$

Alors il existe une suite $(y_n)_{n∈ℕ}$ à valeurs dans l'enveloppe convexe de l'ensemble des valeurs de la suite $(x_n)_{n∈ℕ},$ et même telle que pour tout entier n, le terme $y_n$ soit de la forme

$y_{n}=\sum _{k=n}^{N_{n}}\lambda _{n,k}x_{k}{\text{ avec }}\sum _{k=n}^{N_{n}}\lambda _{n,k}=1{\text{ et }}\forall k\in \{n,\ldots ,N_{n}\},~\lambda _{n,k}\in \mathbb {R} ^{+},$

qui converge en norme vers x, c'est-à-dire telle que

$\lim _{n\to +\infty }\left\|y_{n}-x\right\|=0.$

## Démonstration

On utilise les trois résultats suivants, valables dans tout espace vectoriel topologique localement convexe métrisable, en particulier dans un espace vectoriel normé :

* l'adhérence de tout convexe est convexe ;
* tout convexe fermé est faiblement fermé ;
* tout point adhérent à une partie est limite d'une suite à valeurs dans cette partie.

Pour tout entier n > 0, soit $C_n$ l'enveloppe convexe de l'ensemble des $x_k$ pour k ≥ n. Son adhérence $C_n$ est convexe d'après le point 1 donc faiblement fermée d'après le point 2, si bien que $C_n$ contient l'adhérence faible de $C_n,$ qui elle-même contient x par hypothèse. D'après le point 3, il existe donc $y_n$ ∈ $C_n$ tel que ‖x – $y_n‖$ < 1/n.

