Variation totale d'une fonction
# Variation totale d'une fonction

En mathématiques, la variation totale est liée à la structure (locale ou globale) du codomaine d'une fonction.

Pour une fonction continue à valeurs réelles f, définie sur un intervalle [a, b] ⊂ ℝ, sa variation totale sur l'intervalle de définition est une mesure de la longueur d'arc de la projection sur l'axe des ordonnées de la courbe paramétrée (x, f(x)), pour x ∈ [a, b].

## Note historique

L'idée de variation totale pour les fonctions d'une variable réelle a d'abord été introduite par Camille Jordan, afin de démontrer un théorème de convergence pour les séries de Fourier de fonctions discontinues périodiques à variation bornée. L'extension du concept aux fonctions de plusieurs variables n'est pas si simple.

## Définition

### Fonctions d'une variable réelle

La variation totale d'une fonction d'une variable réelle (ou complexe) f, définie sur un intervalle $[a,b]\subset \mathbb {R}$ est donnée par :

    $V_{b}^{a}(f)=\sup _{\mathcal {P}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|,\,$

où le supremum vaut sur l'ensemble des partitions ${\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}|P{\text{ est une partition de }}[a,b]\right\}$ de l'intervalle donné.

### Fonctions de plusieurs variables réelles

Soit Ω un sous-ensemble ouvert de $ℝ^n.$ Pour une fonction f dans $L^1(Ω),$ la variation totale de f sur Ω est définie par :

    $V(f,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }f(x)\operatorname {div} \phi (x)\,\mathrm {d} x\colon \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert \phi \Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\},$

où $C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ est l'ensemble des fonctions à valeurs vectorielles continûment différentiables à support compact contenu dans Ω, et $\Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}$ est la norme liée à la borne supérieure essentielle. On remarquera qu'il n'est pas utile ici d'avoir un domaine $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ borné.

## Propriétés

### Variation totale de fonctions différentiables

La variation totale d'une fonction différentiable peut être donnée par une intégrale dépendant de la fonction plutôt que la borne supérieure de fonctionnelles comme vu auparavant.

**Variation totale d'une fonction d'une variable réelle dérivable**

La variation totale d'une fonction dérivable f, définie sur un intervalle réel [a , b], peut être exprimée ainsi si sa dérivée f' est Riemann-intégrable

    $V_{b}^{a}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\mathrm {d} x$

**Variation totale d'une fonction de plusieurs variables réelles différentiable**

Soit une fonction f définie et différentiable sur un ensemble ouvert borné $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$, la variation totale de f est alors donnée par

    $V(f,\Omega )=\int \limits _{\Omega }\left|\nabla f(x)\right|\mathrm {d} x$

où $|.|$ désigne la norme $l_2.$

On commence par prouver une égalité qui vient du théorème de Green-Ostrogradsky.

    Sous les conditions du théorème, on a :
       $\int _{\Omega }f\,\mathrm {div} \phi =-\int _{\Omega }\nabla f\cdot \phi$

En effet, par le théorème de Green-Ostrogradsky

    $\int _{\Omega }\mathrm {div} \mathbf {F} =\int _{\partial \Omega }\mathbf {F} \cdot \mathbf {n}$

en prenant $\mathbf {F} :=f\mathbf {\phi }$, il vient :

    $\int _{\Omega }{\text{div}}\left(f\mathbf {\phi } \right)=\int _{\partial \Omega }\left(f\mathbf {\phi } \right)\cdot \mathbf {n}$

où $\mathbf {\phi }$ est nulle sur le bord de Ω par définition :

    $0=\int _{\Omega }{\text{div}}\left(f\mathbf {\phi } \right)=\int _{\Omega }\partial _{x_{i}}\left(f\mathbf {\phi } _{i}\right)=\int _{\Omega }(\mathbf {\phi } _{i}\partial _{x_{i}}f+f\partial _{x_{i}}\mathbf {\phi } _{i})\,\Leftrightarrow \,\int _{\Omega }f\partial _{x_{i}}\mathbf {\phi } _{i}=-\int _{\Omega }\mathbf {\phi } _{i}\partial _{x_{i}}f\,\Leftrightarrow \,\int _{\Omega }f{\text{div}}\mathbf {\phi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\phi } \cdot \nabla f$

Ainsi, l'égalité suivante est vérifiée :

    $\int _{\Omega }f{\text{div}}\mathbf {\phi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\phi } \cdot \nabla f\leq \left|\int _{\Omega }\mathbf {\phi } \cdot \nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\mathbf {\phi } \right|\cdot \left|\nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|$

Dans le dernier terme, $\mathbf {\phi }$ peut être écarté, car par définition, sa borne supérieure essentielle vaut au plus 1.

Maintenant, considérons $\theta (x):={\frac {\nabla f(x)}{\left|\nabla f(x)\right|}}$ lorsque $|\nabla f(x)|\neq 0$ et $\theta (x)=0$ sinon. Pour $\varepsilon >0$, soit ensuite $\theta _{\varepsilon }^{*}$ une approximation de $\theta$ à $\varepsilon$ près dans $C_{c}^{1}(\Omega ;\mathbb {R} ^{n})$ et de même intégrale. Cette approximation est possible car $C_{c}^{1}$ est dense dans $L^1.$ Maintenant, en remplaçant dans l'égalité du lemme précédent :

    $\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\Omega }f{\text{div}}\theta _{\varepsilon }^{*}=\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\Omega }\mathbb {\theta } _{\varepsilon }^{*}\cdot \nabla f=\int _{\Omega }\theta \cdot \nabla f=\int _{\Omega }\left|\nabla f\right|$

On a ainsi une suite convergente de $\int _{\Omega }f{\text{div}}\mathbf {\phi }$ qui tend vers $\int _{\Omega }\left|\nabla f\right|$ alors qu'on avait $\int _{\Omega }f{\text{div}}\mathbf {\phi } \leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|$, ce qui permet de conclure.

On dit que f est à variation bornée si sa variation totale est finie.

## Applications

La variation totale peut être vue comme une fonctionnelle positive d'une variable réelle (pour le cas à une seule variable) ou sur l'espace des fonctions intégrables (pour le cas à plusieurs variables). Comme fonctionnelle, la variation totale trouvent plusieurs applications en mathématiques et ingénierie, comme le contrôle optimal, l'analyse numérique, ou le calcul variationnel, où la solution d'un problème doit être à variation totale minimale. On pourra citer deux types de problèmes courants :

* analyse numérique des équations différentielles : trouver des solutions approchées d'une équation différentielle.
* débruitage d'une image: en traitement de l'image, le débruitage consiste à réduire le bruit électronique d'une image reconstruite à partir des données obtenues de façon électronique, par transmission de données ou captation.
