Variation de la pression atmosphérique avec l'altitude
# Variation de la pression atmosphérique avec l'altitude

La variation de la pression atmosphérique avec l'altitude décrit le gradient de pression de l'air dans l'atmosphère terrestre selon la distance avec le niveau de la mer. C'est le changement de la pression selon l'altitude observé à l'air libre au-dessus du sol terrestre ou d'une mer ou d'un océan. L'atmosphère terrestre n'est jamais en complet équilibre notamment à cause du réchauffement solaire du sol. Toutefois, on peut définir une atmosphère normalisée, supposément en équilibre et où la pression atmosphérique diminue avec l'altitude suivant une loi de puissance 5,25. La pression est réduite d'un facteur 2 à l'altitude 5 500 m et d'un facteur 10 à 16 km.

En météorologie appliquée, la pression est souvent utilisée directement comme coordonnée verticale. On parlera par exemple de la température à 700 hPa. Cette approche a des avantages techniques et elle simplifie certaines équations utilisées en météorologie. Il est aussi possible d'utiliser la pression pour mesurer la hauteur, ce qui est le principe de base de l'altimètre utilisé en aéronautique. Elle a aussi un rapport dans les vents de surface horizontaux et les vents d'altitude horizontaux.

## Pression en fonction de la température et de l'altitude

Dans la boîte déroulante, on va montrer que la formule quasi exacte de la variation de la pression en fonction de l'altitude dans la troposphère est simplement :

    $p=p_{0}\exp \left(-{7g \over 2C_{p}T_{0}}z\right)$
* p est la pression, en Pascal,
* p₀ est la pression au sol,
* g = 9.81 m/s² est l'accélération de la pesanteur,
* z est la hauteur par rapport au sol, en mètres,
* $C_p$ = 1006 J/kg / K est la capacité calorifique de l'air à pression constante,
* T₀ est la température au sol, en Kelvin.

On remarque que cette formule confirme l'adage américain «Hot to cold, look below». En effet, l'exponentielle décroît plus rapidement lorsque T₀ devient plus petit et donc l'altimètre surestimera la hauteur, ce qui en aviation peut provoquer un accident comme finir le vol dans une montagne si l'on porte une foi aveugle en l'altimètre.

Ainsi, si l'on calcule l'altitude à $p=p_{0}/2$, on a l'équation suivante :

    $\exp \left(-{7g \over 2C_{p}T_{0}}z_{1 \over 2}\right)={1 \over 2}$

Donc,

    ${7g \over 2C_{p}T_{0}}z_{1 \over 2}=\ln(2)$

Et donc,

    $z_{1 \over 2}={2C_{p}T_{0}\ln(2) \over 7g}={2\times 1006\times 288.15\times 0.693147 \over 7\times 9.80665}=5854$ mètres.

Cette valeur est proche de l'atmosphère normalisée où $z_½$ = 5750 mètres.

### Stabilité et instabilité

En règle générale, la pression atmosphérique diminue de moitié à environ 5 500 mètres et la température moyenne de l'atmosphère diminue de 6,5 °C par 1 000 mètres. Cependant ce taux n'est valable que pour une atmosphère normalisée et varie en fait selon le contenu en vapeur d'eau et l'altitude. Ces propriétés peuvent être démontrées rigoureusement si l'on fait l'hypothèse que l'atmosphère est en équilibre (ce qui n'est pas vrai en pratique).

Lorsque le sol est chauffé par le soleil, par convection, les basses couches de l'atmosphère sont réchauffées et comme l'air chaud est moins dense, l'air réchauffé va avoir tendance à s'élever grâce à la poussée d'Archimède. Si la poche d'air chaud se refroidit moins vite que l'air environnant, cette parcelle d'air va accélérer vers le haut. On est alors en présence d'une masse d'air instable. Dans le cas contraire, l'air en ascension devient plus froid que l'air environnant, le mouvement ascendant va s'interrompre et l'atmosphère est alors stable.

Le taux de refroidissement de la masse d'air en ascension peut être calculé théoriquement, ou sur un diagramme thermodynamique, par rapport à la température de l'environnement donnée par un radiosondage. Ce calcul repose sur l'hypothèse qu'il n'y a pas d'échange calorique avec l'air extérieur et que le taux de changement de température est différent si l'air est saturé ou pas. Dans le premier cas, la vapeur d'eau condensée est retirée de la masse en ascension.

### Utilisation des principes de la thermodynamique

On écrit les relations de la thermodynamique et on cherche à ne retenir que les termes propres aux caractéristiques de l'air et à l'altitude z.

Le travail mécanique δ W pour faire varier le volume est le produit de la variation de volume dV par la pression $p$ exercée pour ce changement de volume.

    $\delta W=-p\operatorname {d} V\,\!$

Le changement en enthalpie ($H=U+pV\,\!$) est donné par :

    $dH=dU+pdV+Vdp\,\!$

Donc pour avoir un processus qui est à la fois réversible et adiabatique, il faut que $\delta Q_{rev}=0\,\!$ et $dS=\delta Q_{rev}/T=0\,\!$. Ces processus sont donc isentropiques pour un gaz idéal ce qui mène à :

    $dU=\delta W+\delta Q=-pdV+0\,\!$
    $dH=\delta W+\delta Q+pdV+Vdp=-pdV+0+pdV+Vdp=Vdp\,\!$

On considère maintenant l'énergie u par unité de masse et l'enthalpie h par unité de masse.

On a donc:

    $dU=mdu\qquad dH=mdh$

où m est la masse de la parcelle d'air.

Pour la transformation de tout gaz de ce type, ceci est vrai :

    $du=C_{v}dT\,\!$
    $dh=C_{p}dT\,\!$

où $C_{v}$ et $C_{p}$ sont respectivement les capacités thermiques à volume constant et pression constante et T est la température. L'unité de Cp et Cv est le J/(kg⋅K). En outre

    $m=\rho V$

En dérivant selon $dU$ et $dH$ :

    $dU=mC_{v}dT=-pdV\,\!$
    $dH=mC_{p}dT=Vdp\,\!$.

On divise ces équations par m et l'on obtient donc :

    $du=C_{v}dT=-{pdV \over m}$
    $dh=C_{p}dT={Vdp \over m}$.

On note que ρ = m / V et donc V = m / ρ. Donc :

    $dV=-{md\rho \over \rho ^{2}}={-\rho Vd\rho \over \rho ^{2}}=-{Vd\rho \over \rho }$

On substitue et donc :

    $du=C_{v}dT=+{pVd\rho \over \rho m}=p{d\rho \over \rho ^{2}}$
    $dh=C_{p}dT={dp \over \rho }$.

### Gradient adiabatique sec

On suppose que le sol réchauffe l'atmosphère et qu'aucun nuage n'est présent dans le ciel et donc qu'il n'y a aucune condensation de vapeur d'eau. On introduit maintenant l'équation d'équilibre hydrostatique entre le niveau z et z + d z (l'axe des z est orienté vers les altitudes élevées). Soit g = 9,81 m/s² l'accélération de la pesanteur. Par unité de surface, la masse de la couche d'air est $\rho dz$ et donc son poids est $\rho gdz$

La poussée d'Archimède s'exerçant sur le volume de gaz par unité de surface vaut $p-(p+dp)=-dp$. L'équation d'équilibre hydrostatique s'écrit donc $dp=-\rho gdz$ On rappelle que :

    $dh=C_{p}dT={dp \over \rho }$

On substitue maintenant dp et l'on obtient:

    $-\rho gdz=dp=C_{p}\rho dT$

Et donc: ${dT \over dz}=-{g \over C_{p}}$

On a $C_{p}=1006J/K/kg$, g = 9,81 m/s² et donc,

    ${\frac {dT}{dz}}=-9.75\times 10^{-3}K/m=-9.75K/km$

On retrouve une valeur très proche du gradient adiabatique sec qui est approximativement de 10 °C/km.

### Variation de la pression lorsque la température décroît de manière uniforme

Le niveau de pression à 500 hPa se situe à l'altitude de 5 500 mètres environ. Nous allons démontrer mathématiquement ce résultat. On suppose que le profil de température suit le gradient adiabatique sec.

L'équation d'état des gaz parfaits s'écrit :

    $pV=nRT$

où n est le nombre de moles et R est la constante des gaz parfaits.

On différencie cette équation et l'on a donc :

    $nRdT=pdV+Vdp=dH-dU=mC_{p}dT-mC_{v}dT$

On obtient donc :

    $nR=m(C_{p}-C_{v})$

et donc :

    $pV=m(C_{p}-C_{v})T$

On divise par le volume, on tient compte de $\rho ={m \over V}$ et on obtient alors l'équation d'état des gaz parfaits sous la forme suivante qui est plus appropriée en météorologie :

    $p=\rho (C_{p}-C_{v})T$

Pour un gaz idéal diatomique (relation de Mayer), il est possible de faire le rapport suivant :

    $\gamma ={\frac {C_{p}}{C_{v}}}={7 \over 5}$

Donc, on obtient l'équation d'état suivante :

    $p={2 \over 7}\rho C_{p}T$

On suppose maintenant que la colonne d'air se refroidit de manière uniforme avec :

On a donc : $T(z)=T_{0}-G_{z}z$

On a donc :

    $p={2 \over 7}\rho C_{p}(T_{0}-G_{z}z)$

Donc,

    $\rho ={7 \over 2}{p \over C_{p}(T_{0}-G_{z}z)}$

Finalement

    ${dp \over dz}=-{7 \over 2}{1 \over C_{p}}\times {p \over T_{0}-G_{z}z}\times g$

Et donc :

    ${dp \over p}=-{7 \over 2}{g \over C_{p}}\times {dz \over T_{0}-G_{z}z}$

Et donc :

    ${dp \over p}=-{7 \over 2}{g \over C_{p}T_{0}}\times {dz \over 1-G_{z}z/T_{0}}$

On pose : $\zeta ={G_{z} \over T_{0}}z$

Donc,

    $d\zeta ={G_{z} \over T_{0}}dz$

Et donc,

    $dz={T_{0} \over G_{z}}d\zeta$

Donc,

    ${dp \over p}=-{7 \over 2}{g \over C_{p}T_{0}}\times {T_{0} \over G_{z}}\times {d\zeta \over 1-\zeta }$

Et donc,

    ${dp \over p}=-{7 \over 2}{g \over C_{p}G_{z}}\times {d\zeta \over 1-\zeta }$

On calcule la primitive et donc :

    $\log(p)=-{7 \over 2}(-){g \over C_{p}G_{z}}\log(1-\zeta )+Cte$

Donc,

    $\log(p)={7 \over 2}{g \over C_{p}G_{z}}\log(1-\zeta )+Cte$

Donc:

    $p=K\exp \left({7 \over 2}{g \over C_{p}G_{z}}\log(1-\zeta )\right)$

À ζ = 0, on a $p=p_{0}$

Donc,

    $p=K\exp \left({7 \over 2}{g \over C_{p}G_{z}}\log(1-0)\right)$

Et donc, $K=p_{0}$

Donc,

    $p=p_{0}\exp \left({7 \over 2}{g \over C_{p}G_{z}}\log(1-\zeta )\right)$

La formulation exacte est la suivante :

    $p=p_{0}\exp(\log(1-\zeta ))^{{7 \over 2}{g \over C_{p}G_{z}}}$

On obtient donc :

    $p=p_{0}(1-\zeta )^{{7 \over 2}{g \over C_{p}G_{z}}}$

Donc,

    $p=p_{0}\left(1-{G_{z}z \over T_{0}}\right)^{{7 \over 2}{g \over C_{p}G_{z}}}$

On va montrer que la déviation par rapport à l'exponentielle pure est négligeable dans la troposphère.

On note que $\zeta \ll 1$ et donc on peut effectuer un développement limité :

    $\log(1-\zeta )\approx -\zeta -{1 \over 2}\zeta ^{2}$

Donc,

    $p=p_{0}\exp \left[{7 \over 2}{g \over C_{p}G_{z}}\left(-\zeta -{1 \over 2}\zeta ^{2}\right)\right]$

Donc,

    $p=p_{0}\exp \left({7 \over 2}{g \over C_{p}G_{z}}(-)\zeta \right)\times \exp \left(-{1 \over 2}{7 \over 2}{g \over C_{p}G_{z}}\zeta ^{2}\right)$

Finalement au second ordre, on obtient :

    $p=p_{0}\exp \left(-{7 \over 2}{g \over C_{p}G_{z}}\zeta \right)\times \exp \left(-{1 \over 2}{7 \over 2}{g \over C_{p}G_{z}}\zeta ^{2}\right)$

On rappelle que : $\zeta ={G_{z} \over T_{0}}z$

Donc,

    $p=p_{0}\exp \left(-{7 \over 2}{g \over C_{p}G_{z}}{G_{z}z \over T_{0}}\right)\times \exp \left[-{7 \over 4}{g \over C_{p}G_{z}}\left({G_{z}z \over T_{0}}\right)^{2}\right]$

Donc,

    $p=p_{0}\exp \left(-{7 \over 2}{gz \over C_{p}T_{0}}\right)\times \exp \left[-{7 \over 4}{gG_{z}z^{2} \over C_{p}T_{0}^{2}}\right]$

Dans ce qui suit pour l'atmosphère standard, on va prouver que :

    $\exp \left[-{7 \over 4}{gG_{z}z^{2} \over C_{p}T_{0}^{2}}\right]\approx 1$

### Application de la formule pour l'atmosphère standard

On veut exprimer numériquement la formule supra.

On suppose que $T_{0}=288.15$, $C_p=1006,$ g= 9.80665, $G_{z}=6.5\times 10^{-3}$

On obtient donc :

    $p=p_{0}\left(1-{G_{z}z \over T_{0}}\right)^{{7 \over 2}\ {g \over C_{p}G_{z}}}$
    $p=p_{0}\left(1-{6.5\times 10^{-3} \over 288.15}z\right)^{{7 \over 2}\ {9.80665 \over 1006\times 6.5\times 10^{-3}}}$

Donc,

    $p=p_{0}\left(1-2.25576\times 10^{-5}\times z\right)^{5.24900}$

Cette formule est très proche de la formule officielle.

### Variation de la pression lorsque la température suit le gradient adiabatique sec

Dans ce cas particulier, on a $G_{z}={g \over C_{p}}$

Donc,

    ${g \over C_{p}G_{z}}={g \over C_{p}(gC_{p})}=1$

On obtient alors simplement :

    $p=p_{0}\exp \left(-{7 \over 2}{gz \over C_{p}T_{0}}\right)\times \exp \left[-{7 \over 4}\left({gz \over C_{p}T_{0}}\right)^{2}\right]$

On va montrer que la déviation par rapport à l'exponentielle pure est négligeable dans la troposphère. En effet, on considère z = 10⁴ avec une température au sol de 300 K. On a alors :

    $\zeta ={gz \over C_{p}T_{0}}={10\times 10^{4} \over 10^{3}\times 3\times 10^{2}}={1 \over 3}$

La seconde exponentielle vaut :

    $\exp \left(-{7 \over 4}\zeta ^{2}\right)=\exp \left(-{7 \over 4}\times {1 \over 9}\right)=0.82329...$

À la tropopause, la différence serait donc de 20 %. On remarquera qu'en plus il serait irréaliste de considérer que l'air se refroisse suivant le gradient adiabatique jusqu'à la tropopause. Au mieux, la décroissance adiabatique de la température, ne se produit que jusqu'à 5 km d'altitude en Namibie ou en Arizona, et dans ce cas, l'on a : $\zeta ={1 \over 6}$

On obtient alors :

    $\exp \left(-{7 \over 4}\zeta ^{2}\right)=\exp \left(-{7 \over 4}\times {1 \over 36}\right)=0.959255...$

Soit une déviation de 5 % seulement.

### Erreur altimétrique en cas d'air froid

On considère un temps froid avec une couche de stabilité neutre. On considère z = 2000 et T₀ = 268.15 On a :$\zeta ={gz \over C_{p}T_{0}}={10\times 2\times 10^{3} \over 10^{3}\times 268}=0.074626$

Donc, au premier ordre, la décroissance est proportionnelle à z. L'erreur sur le taux de décroissance est donc de : $e={288.15-268.15 \over 278}=0.072$

On constate qu'au premier ordre l'altitude sera surestimée de 7 %. Donc, plus l'on sera haut plus l'altimètre surestimera l'altitude. Cela confirme l'adage « Hot to cold, look below ».

### Variation de la pression dans l'atmosphère standard

Dans l'atmosphère standard, on a $G_{z}=-6K/km=-6\times 10^{-3}$. On considère la température au sol de 300 K.

On considère à nouveau la tropopause située à 10 km. On a :

    $\zeta ={gz \over C_{p}T_{0}}={10\times 10^{4} \over 10^{3}\times 300}={1 \over 3}$

La seconde exponentielle vaut :

    $\exp \left[-{7 \over 4}{g \over C_{p}G_{z}}\zeta ^{2}\right]=\exp \left({7 \over 4}{10^{-2} \over 6\times 10^{-3}}{1 \over 9}\right)=\exp \left(-{7 \over 216}\right)=0.96811...$

Ceci ne fait qu'une erreur de 3 %.

L'erreur à 5 km ne serait que de moins de 1 %.

### Établissement à partir de la physique statistique

Considérons un système de particules à l'équilibre thermique à la température T (qui a donc la même température en tout point) dont les particules peuvent occuper des niveaux d'énergie $E_j$ répartis discrètement ou continûment. La probabilité qu'une particule occupe le niveau d'énergie $E_j$ est donnée par la distribution de Boltzmann :

    $P_{j}={\frac {e^{-{\frac {E_{j}}{k_{\mathrm {B} }T}}}}{Z}}$.

$k_B$ est la constante de Boltzmann et Z un facteur de normalisation (la fonction de partition) qui assure que la somme sur toutes les probabilités est égale à 1. Pour un système constitué de N particules, le nombre de particules dans l'état $E_j$ est $n_j$ = N $P_j.$

Une particule de gaz de masse m a dans le champ de pesanteur une énergie potentielle $E_{pot}=mgz$ et, à cause de sa température dans le milieu, une énergie thermique $E_{th};$ donc au total, une énergie $E(z)=mgz+E_{th}.$ Si l'on considère deux volumes élémentaires de même taille à des altitudes $z_0$ et $z_1,$ les particules à l'altitude $z_1$ ont une énergie supérieure de mgΔh. Le rapport des probabilités de présence d'une particule dans le volume à $z_1$ et dans le volume à $z_0$ vaut donc :

    ${\frac {P(z_{1})}{P(z_{0})}}={\frac {e^{-{\frac {E(z_{1})}{k_{\mathrm {B} }T}}}}{e^{-{\frac {E(z_{0})}{k_{\mathrm {B} }T}}}}}=e^{-{\frac {\Delta E}{k_{\mathrm {B} }T}}}=e^{-{\frac {\Delta E_{pot}}{k_{\mathrm {B} }T}}}$.

Pour un nombre de particules N suffisamment grand, la densité de particules n(z) se comporte comme les probabilités de présence :

    ${\frac {n(z_{1})}{n(z_{0})}}={\frac {NP(z_{1})}{NP(z_{0})}}=e^{-{\frac {\Delta E_{pot}}{k_{\mathrm {B} }T}}}$,

et d'après la loi des gaz parfaits $p(z)=n(z)\,k_{\mathrm {B} }T$, la pression obéit à la même relation :

    ${\frac {p(z_{1})}{p(z_{0})}}=e^{-{\frac {\Delta E_{pot}}{k_{\mathrm {B} }T}}}=e^{-{\frac {mg\Delta z}{k_{\mathrm {B} }T}}}=e^{-{\frac {Mg}{RT}}\Delta z}$,

(dans l'équation précédente, on passe de la masse et de la constante de Boltzmann à la masse molaire et à la constante des gaz parfaits en multipliant ces grandeurs par le nombre d'Avogadro $N_A.$

Du point de vue énergétique, on a supposé ici les hypothèses du théorème d'équipartition vérifiées. Mais cette hypothèse n'est en général vérifiée que pour une atmosphère dense, seul cas où les énergies entre les différents degrés de liberté peuvent être échangés par chocs entre les molécules de gaz.

(Justification : Le théorème d'équipartition n'est en général valable que pour les hautes énergies car il ne peut être utilisé directement que sur des potentiels de forme quadratiques dans la fonction de Hamilton. Comme l'énergie potentielle d'altitude n'est que linéaire dans la fonction de Hamilton, on ne peut en général pas supposer le théorème d'équipartition valide pour les gaz très dilués.)

### Correction liée à la présence de vapeur d'eau

Dans la section précédente, on a supposé que l'air est sec et donc qu'il n'y a aucune condensation. Toutefois, les nuages sont très présents dans l'atmosphère et sont constitués de gouttelettes d'eau ou de cristaux de glace. En effet, lorsqu’une parcelle d'air s'élève, celle-ci se refroidit selon l'adiabatique sèche (10 °C/km) jusqu'à ce qu'elle soit saturée en vapeur d'eau. Dès lors, la vapeur d'eau se condense et libère de la chaleur latente ce qui a pour résultat que la parcelle d'air se refroidit moins vite. Le taux de refroidissement d'une parcelle d'air saturé est de l'ordre de 6,5 °C/km. Cette valeur est appelée gradient adiabatique humide. L'atmosphère standard est au niveau de la mer T = 287 K, p = 1013.15 hPa. On considère que l'atmosphère en équilibre a un gradient égal à l’adiabatique humide. La tropopause se situe à 11 km aux latitudes tempérées ce qui correspond à une température de $15-11\times 6.5=-56.5$ °C. La température couramment admise à la tropopause est −52 °C.

### Atmosphère normalisée

l'OACI a défini une atmosphère normalisée. On considère de l'air sec, de composition chimique constante, se comportant comme un gaz parfait, supposé au repos et en équilibre hydrostatique. Le gradient de température est supposé constant à -6.5 K/km jusqu'à 11 km. Au niveau de la mer la température est de 15 °C et la pression 1013,25 hPa. Ce gaz subit une accélération de la pesanteur supposée constante à 9,806 65 m/s². On remarquera que cette atmosphère normalisée ne correspond évidemment pas à la réalité.

L’équation d'état d'un gaz parfait à l'altitude z, de pression P, de volume V, d'une température T et d'un nombre de moles n s'exprime sous la forme : avec R la constante universelle des gaz parfaits :

    $P(z)V(z)=nRT(z)$

ou encore pour l'air sec avec la constante spécifique de l'air sec $R_{s}={R \over M_{a}}$ et la masse volumique de l'air $\rho$

    $P(z)=\rho (z)R_{s}T(z)$

Le gradient de température $\alpha$ étant constant, on peut écrire $T(z)=T_{0}+\alpha z$ et

    $P(z)=\rho (z)R_{s}(T_{0}+\alpha z)$

Or l'équation de l'équilibre hydrostatique nous donne avec l'accélération de la pesanteur $g$

    $\mathrm {d} P(z)=-\rho (z)g\mathrm {d} z$

Le quotient de ces deux équations amène à :

    ${\mathrm {d} P \over P}=-{g \over R_{s}}{\mathrm {d} z \over {T_{0}+\alpha z}}$

L'intégration de cette équation sur la tranche d'altitude 0 (niveau de la mer) jusqu'à l'altitude z donne :

    $\int _{P_{0}}^{P(z)}{\mathrm {d} P \over P}=-{g \over R_{s}}\int _{0}^{z}{\mathrm {d} z \over {T_{0}+\alpha z}}$
    $\ln(P(z))-\ln(P_{0})=-{g \over {\alpha R_{s}}}[\ln(T_{0}+\alpha z)-\ln(T_{0})]$
    $\ln \left({P(z) \over P_{0}}\right)=-{g \over {\alpha R_{s}}}\ln \left(1+{\alpha \over T_{0}}z\right)$
    ${P(z) \over P_{0}}=\left(1+{\alpha \over T_{0}}z\right)^{-{g \over {\alpha R_{s}}}}$

On obtient ainsi l'expression de la pression en fonction de l'altitude :

    $P(z)=P_{0}\left(1+{\alpha \over T_{0}}z\right)^{-{g \over {\alpha R_{s}}}}$

La dérivée peut se calculer également :

    ${\mathrm {d} P \over \mathrm {d} z}=-{{P_{0}g} \over {T_{0}R_{s}}}\left(1+{\alpha \over T_{0}}z\right)^{-{g \over {\alpha R_{s}}}-1}$

Avec $P_0=101325$ Pa, $T_0=288,15$ K, g=9,80665 m/s², α=-0,0065 K/m, $R_s=287.057995959$ J/(kg⋅K)

    $P(z)=101325\left(1-{0,0065 \over 288,15}z\right)^{5.25578595913}$
    ${\mathrm {d} P \over \mathrm {d} z}=-12,01\left(1-{0,0065 \over 288,15}z\right)^{4,255}$

et pour z=0 :

    ${\mathrm {d} P \over \mathrm {d} z}=-12,0\,Pa/m$

Si α croit, l'exposant décroît et la température décroît aussi. Donc, la pression décroît. Donc l'altimètre indiquera une altitude supérieure à l'altitude réelle. Comme il est expliqué plus bas, cette règle peut être fausse.

### Cas général

Dans le cas général, la solution de l'équation barométrique est (on utilise la relation de Mayer pour les gaz parfaits):

    $\ln \left({\frac {p(z_{1})}{p(z_{0})}}\right)=-\int _{z_{0}}^{z_{1}}{g \over (C_{p}-C_{v})T(\zeta )}\,\mathrm {d} \zeta =-{7 \over 2}\times {g \over C_{p}}\int _{z_{0}}^{z_{1}}{\mathrm {d} \zeta \over T(\zeta )}$,

soit

    $p(z_{1})=p(z_{0})\,e^{-{7 \over 2}\times {g \over C_{p}}\int _{z_{0}}^{z_{1}}{\mathrm {d} \zeta \over T(\zeta )}}$

avec une intégrale restant à calculer numériquement.

### Formule internationale du nivellement barométrique

En prenant le niveau de la mer comme altitude de référence $z_0,$ et en prenant pour l'atmosphère un état moyen défini par l'atmosphère normalisée type OACI (Température 15 °C = 288,15 K, pression 1013,25 hPa, gradient vertical de température 0,65 °C pour 100 m), on obtient la formule internationale du nivellement barométrique donnant la pression p(z) exprimée en hectopascals (ou millibars) à l'altitude z exprimée en mètres :

* $p(z)=1013{,}25\left(1-{\frac {0{,}0065\cdot z}{288{,}15}}\right)^{5{,}255}$

Dans la boîte déroulante, on a montré que l'exposant dans la formule ci-dessus est égal à :

    ${g \over \alpha R_{s}}={9.80665 \over 0.0065\times 287.057995959}=5.25578595913$

est sensiblement égal à:

    ${g \over \alpha (C_{p}-C_{v})}={7 \over 2}\times {g \over C_{p}\alpha }={7\times 9.80665 \over 2\times 6.5\times 10^{-3}\times 1006}=5.25$

avec $\alpha =6.5\times 10^{-3}$ °C/m.

Cette formule permet le calcul de la pression nominale à une certaine altitude, sans avoir besoin de connaître la température ou le gradient vertical de température. La précision dans le cas d'applications pratiques est toutefois limitée, puisque l'on choisit ici un état moyen différent de l'état réel de l'atmosphère. On remarquera que lorsque $z\to \infty$ la température tend vers $-\infty$ et donc ce modèle n'est pas correct dans la haute atmosphère. Cette formule ne s'applique que dans la troposphère où la plupart des activités humaines se situent.

| Altitude | Pression en hPa |
| - | - |
| 0 m | 1013,25 |
| 250 m | 983,58 |
| 500 m | 954,62 |
| 750 m | 926,35 |
| 1000 m | 898.76 |
| 1250 m | 871,85 |
| 1500 m | 845,59 |
| 1750 m | 819,97 |
| 2000 m | 794,98 |
| 2250 m | 770,62 |
| 2500 m | 746,86 |
| 3000 m | 701,12 |
| 3500 m | 657,68 |
| 4000 m | 616,45 |
| 4500 m | 577,33 |
| 5000 m | 540,25 |
| 6000 m | 471,87 |
| 7000 m | 410,66 |
| 8000 m | 356,06 |
| 9000 m | 307,48 |
| 10000 m | 264,42 |
| 11000 m | 226,37 |

On obtient également le tableau suivant pour la dépendance à l'altitude et à la température de l'échelon de nivellement barométrique :

| | échelon de nivellement barométrique [m/hPa] | échelon de nivellement barométrique [m/hPa] | échelon de nivellement barométrique [m/hPa] | échelon de nivellement barométrique [m/hPa] |
| - | - | - | - | - |
| z | −15 °C | 0 °C | 15 °C | 30 °C |
| 0 m | 7,5 | 7,9 | 8,3 | 8,8 |
| 500 m | 7,9 | 8,3 | 8,7 | 9,2 |
| 1000 m | 8,3 | 8,7 | 9,2 | 9,6 |
| 2000 m | 9,3 | 9,7 | 10,1 | 10,6 |
| 3000 m | 10,4 | 10,8 | 11,2 | 11,6 |

Pour des altitudes et des températures moyennes, on utilise souvent la formule « 1 hPa / 30ft ». Cette approximation est souvent utilisée par les pilotes pour des calculs mentaux rapides.

La constante des gaz parfaits R est une constante universelle et peut être sortie de l'intégrale. La masse molaire moyenne des gaz de l'atmosphère M est, sauf en cas de très fortes variations de l'humidité de l'air, pratiquement constante au sein de la troposphère et peut également être sortie de l'intégrale. Dans une atmosphère au repos, les différences d'altitude caractéristique $h_s$ entre les différents gaz de l'atmosphère, qui ont des masses molaires différentes, pourraient conduire à une séparation des gaz, les gaz les plus légers se concentrant dans les couches supérieures et les gaz lourds dans les couches inférieures. Mais ce n'est pas le cas grâce à un mélange important des gaz dû aux conditions météorologiques dans la troposphère. La variation de l'humidité de l'air ainsi que d'autres causes de variation de M peuvent être prises en compte en considérant la température virtuelle correspondante $T_v$ au lieu de la température réelle T. On peut ainsi utiliser pour M la valeur de la masse molaire de l'air sec au niveau de la mer.

### Altitude géopotentielle

La diminution de l'accélération de la pesanteur g avec l'altitude doit être prise en compte en cas de grandes altitudes ou d'exigences de précision importantes. Une accélération de la pesanteur variable dans l'intégrande de la solution de l'équation barométrique complique énormément le problème. Pour le contourner, on utilise la notion d'altitude géopotentielle plutôt que l'altitude géométrique. Imaginons une masse m soulevée du niveau de la mer jusqu'à une altitude h, avec g variable. Comme g diminue avec l'altitude, l'énergie potentielle $ΔE_{pot}$ gagnée par la masse est inférieure à l'énergie potentielle pour g = $g_0.$ L'altitude géopotentielle $h_p$ est l'altitude à laquelle soulever la masse m à g = $g_0$ constant pour lui apporter la même énergie potentielle $ΔE_{pot}$ (en d'autres termes, $h_p$ est le potentiel gravitationnel divisé par $g_0).$ L'altitude géopotentielle est mesurée en mètre géopotentiel; les surfaces de même altitude géopotentielle sont des surfaces équipotentielles dans le champ de pesanteur.

Pour l'altitude géopotentielle $h_p$ correspondant à une altitude géométrique h, on a :

    $\Delta E_{pot}=\int _{0}^{h}mg(z)\,\mathrm {d} z=mg_{0}\cdot z_{p}$,

d'où

    $g(z)\,\mathrm {d} z=g_{0}\,\mathrm {d} h_{p}$.

En ce qui concerne le rapport entre l'accélération de la pesanteur à l'altitude h et l'accélération de la pesanteur $g_0,$ le champ de gravitation diminue quadratiquement en fonction de la distance au centre de la Terre :

    ${\frac {g(z)}{g_{0}}}=\left({\frac {R_{E}}{R_{E}+z}}\right)^{2}$,

avec $R_{E}$ le rayon de la Terre.

L'intégration de

    $\mathrm {d} z_{p}={\frac {g(z)}{g_{0}}}\,\mathrm {d} z=\left({\frac {R_{E}}{R_{E}+h}}\right)^{2}\mathrm {d} h$

donne

    $\int _{0}^{h_{p}}\mathrm {d} z_{p}=\int _{0}^{h}\left({\frac {R_{E}}{R_{E}+z}}\right)^{2}\mathrm {d} z$
    $\Leftrightarrow \ h_{p}={\frac {R_{E}\cdot h}{R_{E}+h}}$.

$R_{E}$ vaut 6 356 km. Il faut aussi prendre en compte le fait que l'accélération de la pesanteur au niveau de la mer $g_0$ dépend de la latitude.

De cette manière, il faut convertir les altitudes géométriques en altitudes géopotentielles avant le calcul, ce qui permet d'utiliser l'accélération de la pesanteur au niveau de la mer $g_0$ dans les calculs plutôt qu'une accélération de la pesanteur variable. Pour de faibles altitudes, la différence entre altitudes géométrique et géopotentielle est assez faible et souvent négligeable :

| géométrique | géopotentiel |
| - | - |
| 0 m | 0,0 m |
| 500 m | 500,0 m |
| 1000 m | 999,8 m |
| 5000 m | 4996,1 m |
| 10000 m | 9984,3 m |

En utilisant l'accélération de la pesanteur au niveau de la mer $g_0,$ les altitudes géopotentielles $h_{p0}$ et $h_{p1}$ et la température virtuelle $T_v,$ la formule du nivellement barométrique générale se simplifie en :

    $p(h_{1})=p(h_{0})\,e^{-{\frac {Mg_{0}}{R}}\int _{h_{p0}}^{h_{p1}}{\frac {1}{T_{v}(z_{p})}}\,\mathrm {d} z_{p}}$.

Il reste à calculer l'intégrale de $1/T_v,$ ce qui suppose de connaître le profil de température $T_v(h_p).$ Il peut par exemple être déterminé à l'aide de radiosondes. Pour des modèles simplifiés d'atmosphère à température constante ou d'évolution linéaire, on retrouve les formules de nivellement traitées au début.

## Applications

### Réduction au niveau de la mer

**Théorie**

La pression de l'air mesurée par un baromètre dépend de l'état météorologique de l'atmosphère mais également de l'altitude de mesure. Si l'on a besoin de comparer les mesures de différents baromètres en différents lieux (par exemple pour estimer l'état d'une dépression ou d'un front), il faut s'affranchir de l'influence de l'altitude de mesure sur les données relevées. Dans ce but, les pressions mesurées sont rapportées à une altitude de référence, en général le niveau de la mer, à l'aide d'une formule de nivellement. Ce calcul est appelé réduction (même si les valeurs augmentent). Le résultat de cette réduction est la pression réduite au niveau de la mer (ou PNM).

Il faut utiliser la bonne formule suivant chaque exigences de précision. Pour un calcul approché, on peut calculer un facteur de réduction à partir de la formule de nivellement à température constante (pour laquelle il faut néanmoins choisir une température représentative) :

    $p_{0}=p(z)\,e^{gz \over (C_{p}-C_{v})T}$

Pour une altitude standard de 500 m et en choisissant une température annuelle moyenne de 6 °C, on trouve un facteur de réduction de 1,063. Les valeurs mesurées seront à multiplier par ce facteur.

Si l'on a besoin de plus de précision, il faut au moins prendre en compte la température réelle de l'air. On peut voir son influence sur l'exemple suivant, où l'on a mesuré une pression de 954,3 hPa à une altitude de 500 m, en utilisant la formule de nivellement barométrique pour une évolution de température linéaire (a=0,0065 K/m) en fonction de différentes températures T(z). La réduction donne :

    $p_{0}=p(z)\,\left({\frac {T(z)}{T(z)+0{,}0065\,z}}\right)^{-5{,}255}$

| T(z) | −10 °C | 0 °C | 10 °C | 20 °C | 30 °C |
| - | - | - | - | - | - |
| $p_0$ | 1017,9 | 1015,5 | 1013,3 | 1011,2 | 1009,3 |

On voit que le choix de la température se traduit par des différences de pression de l'ordre du hPa. Si l'on souhaite obtenir une bonne précision, que les profils de température sont disponibles, et que la précision et l’étalonnage du baromètre utilisé justifient les moyens, la réduction devrait toujours se faire avec les profils de température réels. On peut alors utiliser la formule de nivellement correspondant à une évolution linéaire de la température. On pourrait également utiliser la variante à température constante, en utilisant la température à mi-hauteur :

    $p_{0}=p(z)\,e^{+{\frac {Mg}{R\,(T(z)+a{\frac {z}{2}})}}z}$

Cette variante est en théorie un peu moins précise, puisqu'elle ne prend pas en compte la variation de la température avec l'altitude, alors que la variante linéaire la prend en compte par hypothèse. Toutefois, pour les températures et altitudes utilisées dans les stations météorologiques, la différence est négligeable.

La formule de réduction recommandée par le service météorologique allemand correspond à la variante à température constante. La température à mi-hauteur est estimée à partir de la mesure de la température à l'altitude de mesure, à l'aide du gradient de température standard. L'humidité de l'air est prise en compte par l'utilisation de la température virtuelle correspondante.

* $p_{0}=p(z)\,e^{x},\quad x={\frac {g_{0}}{R^{*}\,(T(z)+Ch\cdot E+a{\frac {z}{2}})}}\,z$

avec

| $p_{0}$ | | Pression réduite au niveau de la mer |
| - | - | - |
| $p(z)$ | | Pression à l'altitude du baromètre (en hPa, précision de 0,1 hPa) |
| $g_{0}$ | = 9,806 65 $m/s^2$ | Accélération de la pesanteur standard |
| $R^{*}$ | = 287,05 $m^2/(s^2K)$ | Constante spécifique de l'air sec (= R/M) |
| $z$ | | Altitude du baromètre (en m, à 1 dm près ; on peut effectuer les calculs à partir de l'altitude géométrique jusqu'à 750 m, au-delà il faut utiliser l'altitude géopotentielle) |
| $T(z)$ | | Température de mesure (en K, avec T(h) = t(h) + 273,15 K) |
| $t(z)$ | | Température de mesure (en °C) |
| $a$ | = 0,0065 K/m | Gradient de température vertical |
| $E$ | | Pression partielle de vapeur d'eau (in hPa) |
| $Ch$ | = 0,12 K/hPa | Coefficient correctif pour la pression partielle, pour prendre en compte de la variation moyenne de la pression partielle de vapeur en fonction de l'altitude (dépendant du lieu de mesure, mais supposé constant ici) |

Si l'on ne dispose pas de mesure de l'humidité de l'air, on peut estimer E avec les approximations suivantes, basées sur des moyennes annuelles de la température et de l'humidité :

    $t(z)<9,1\,^{\circ }\mathrm {C} :{\tilde {E}}=5{,}6402\cdot (-0{,}0916+e^{0{,}06\cdot t(z)})$
    $t(z)\geq 9,1\,^{\circ }\mathrm {C} :{\tilde {E}}=18{,}2194\cdot (1{,}0463-e^{-0{,}0666\cdot t(z)})$

**Pratique**

Pour un météorologue amateur, les exigences de précision pour la mesure de la pression et de l'altitude du baromètre décrites précédemment n'ont en général pas besoin d'être satisfaites. Pour un baromètre de station météorologique d'amateur, il faut compter sur une erreur systématique d'au moins 1 à 2 hPa. Une telle incertitude correspond à une incertitude sur l'échelon barométrique de 10 à 20 m. Vouloir estimer plus précisément l'altitude de mesure ne conduirait probablement pas à une meilleure précision. Dans cette optique, il faudrait déjà estimer s'il est pertinent ou non de considérer l'influence de l'humidité de l'air.

Il ne faut pas utiliser l'altitude réelle, mais l'altitude fictive qui correspond à la meilleure approximation de la pression réduite au niveau de la mer, à partir des données d'un baromètre de référence proche (station météorologique officielle, aéroport, etc.). Avec un étalonnage de ce type, on peut compenser en grande partie l'erreur systématique du baromètre. Il est approprié d'utiliser une altitude approchée pour la réduction, puis de comparer ses propres mesures avec une mesure de référence sur une certaine durée et pour différentes températures. Si l'on remarque une erreur systématique, on peut calculer la différence d'altitude avec la bonne formule de nivellement afin de modifier l'altitude réduite en conséquence. Si l'on ne considère pas l'impact de la température, il faut effectuer l’étalonnage pour une température représentative.

Les baromètres de salon sont en général réglés pour indiquer la pression réduite à l'aide d'une vis à l'arrière de l'objet, qui permet de régler la tension du ressort de la capsule de Vidie. Cet étalonnage correspond donc à un décalage de la graduation. En théorie, c'est un étalonnage incorrect : comme le montrent les formules de nivellement, la réduction au niveau de la mer se fait par une multiplication par un facteur d’étalonnage, et non une simple addition de constante (la pression réduite au niveau de la mer varie d'un peu plus qu'un hPa quand la pression à l'altitude du baromètre varie de 1 hPa). L'échelle de graduation doit donc être légèrement étirée en plus d'être décalée. L'erreur correspondante est toutefois plus faible que l'erreur provenant de la non prise en compte de l'influence de la température. Comme il n'est pas possible d'indiquer au baromètre l'altitude actuelle, l’étalonnage ne peut se faire que par comparaison avec un baromètre de référence. L’étalonnage doit se faire à l'altitude du baromètre (ou bien à un endroit de même altitude) : cela n'a pas de sens de faire étalonner « correctement » l'appareil chez son fabricant ou vendeur s'il celui-ci est situé à un tout autre endroit. Lorsque le baromètre est utilisé pour une prévision météorologique à court terme par la mesure des variations de pression, un étalonnage exact n'est pas aussi nécessaire.

**Limites**

En général, lors de la réduction de mesures de pression, il faut être conscient que la colonne d'air ajoutée par calcul ne peut souvent pas exister réellement et ne donne pas la « vraie » valeur de la « pression réduite niveau de la mer »…

Les formules de réduction reposent sur des conventions et servent, au-delà d'applications scientifiques spécifiques, à rendre les mesures de stations météorologiques différentes aussi comparables que possible.

Un exemple de la fictivité de la colonne d'air ajoutée : sur une plaine sur laquelle ne s'écoule pas d'air froid, l'air près du sol peut se refroidir par une nuit claire à cause du rayonnement thermique du sol (phénomène d'inversion). Une station météorologique à cet endroit enregistrerait cette température moindre. Si cette plaine s'était trouvée au niveau de la mer, l'air ne se serait pas refroidi (absence du sol responsable de l'inversion), et la colonne d'air réelle aurait eu une température bien plus importante que la colonne d'air calculée. Le calcul a admis une trop grande densité de l'air de la colonne d'air, et donne une pression réduite plus importante que la pression réelle au niveau de la mer.

### Mesures d'altitudes

La dépendance de la pression atmosphérique à l'altitude permet de calculer des hauteurs. De telles mesures de hauteur sont rapides et simples à mettre en œuvre, mais leur précision est limitée. Un baromètre utilisé pour la mesure d'altitude est appelé altimètre. Les méthodes de mesures dépendent de l'utilisation et des exigences de précision. Ce genre de mesures servent entre autres pour les randonnées, ou bien pour la topographie dans le cas de mesures plus précises.

### Réglage des altimètres

Un altimètre est un baromètre qui convertit directement la pression en altitude en supposant une atmosphère normalisée. On remarquera qu'en pratique, on ne peut convertir directement la pression en altitude et que l'on doit effectuer des corrections. Les aviateurs utilisent la formule mnémotechnique suivante : From high to low, look below (Du haut vers le bas, regarde en-bas). Cela signifie que si l'on vole d'une zone de haute pression vers une zone de basse pression, ou si l'on vole d'une zone chaude à une zone froide, l'altimètre va surévaluer l'altitude ce qui peut être une source de danger en cas de vol aux instruments. Dans la boîte déroulante, on justifie (sous certaines conditions) cette affirmation. En ce qui concerne la température, cette règle peut être franchement fausse. En effet, un temps froid est souvent associé à une haute pression au sol. Haute pression, signifie altitude indiquée plus basse. Ainsi, si on vole près du sol d'une zone chaude vers une zone froide, la pression va généralement augmenter et donc l'altitude indiquée va décroître.

### Insignes de la Fédération Aéronautique internationale

**Insigne d'argent**

Une des épreuves pour obtenir l'insigne d'argent en planeur est d'effectuer un gain d'altitude de 1 000 mètres. Historiquement les GPS n'existaient pas et l'altitude était mesurée à partir de la pression. La FAI exigeait l'utilisation d'un barographe calibré. En général, le gain de 1 000 mètres est effectué dans une ou plusieurs ascendances thermiques et donc la température de l'air en fonction de l'altitude suit la courbe adiabatique sèche où ${\mathrm {d} T \over \mathrm {d} z}=9,75\ {\textrm {K}}\cdot {\textrm {km}}^{-1}$. On suppose que le pilote commence son ascension au niveau de la mer et termine son ascension à 1 000 mètres dans des conditions de température et de pression normalisées. En application des formules de la boîte déroulante, La pression réelle à 1 000 m sera de 898,24 hPa. Dans le modèle de l'atmosphère normalisée, où ${\mathrm {d} T \over \mathrm {d} z}=6,5\ {\textrm {K}}\cdot {\textrm {km}}^{-1}$, la pression officielle à 1 000 mètres sera de 898,87 hPa. La différence entre les deux pressions est donc de 0,63 hectopascals. La pression diminue de 0,12 hPa/m. Cela correspond donc à une erreur de 5 mètres en faveur du pilote. Ainsi, si le pilote effectue une ascension de 995 mètres, il aura son gain d'altitude validé tout en n'ayant pas effectué un gain d'altitude de 1 000 mètres ou plus !

**Insigne d'or**

Une des épreuves pour obtenir l'insigne d'or en planeur est d'effectuer un gain d'altitude de 3 000 mètres. Ce gain peut être effectué dans les régions sèches comme dans l'ouest américain en utilisant des ascendances thermiques. À nouveau, la température de l'air en fonction de l'altitude suit la courbe adiabatique sèche. On suppose que le pilote commence son ascension au niveau de la mer et termine son ascension à 3 000 mètres dans des conditions de température et de pression normalisées. En application des formules de la boîte déroulante, La pression réelle à 3 000 m sera de 696,65 hPa. Dans le modèle de l'atmosphère normalisée, la pression officielle à 3 000 mètres sera de 701,37 hPa. La différence entre les 2 pressions est donc de 4,72 hPa. La pression diminue de 0,12 hPa/m. Cela correspond donc à une erreur de 39 mètres en faveur du pilote. Ainsi, si le pilote effectue une ascension de 2 961 mètres, il aura son gain d'altitude validé tout en n'ayant pas effectué un gain d'altitude de 3 000 mètres ou plus !

On remarque que plus le gain d'altitude est important, plus l'erreur systématique est proportionnellement favorable au pilote.

## Diagrammes thermodynamiques

On peut calculer mathématiquement l'énergie et les changements de pression du processus mais en général on utilisera une représentation d'une transformation adiabatique sur des diagramme thermodynamiques. Ces diagrammes sont précalculés pour indiquer le chemin suivi par la pression en fonction de la température. On note :

* Téphigramme
* Skew-T
* Émagramme
* Diagramme de Stüve

## Conclusion

Le modèle proposé ci-dessus est simplifié car il ne tient pas compte du fait que la pression et la température ne sont pas uniformes. Ainsi, il se forme des zones de haute et basse pression (typiquement entre 980 hPa et 1040 hPa) et la température n'est pas uniforme à la surface de la Terre. La même chose se produit dans les couches moyennes de la troposphère où des dépressions ou des anticyclones peuvent se former en altitude.

Le gradient adiabatique sec est largement supérieur au gradient moyen de la température et donc l'air au niveau du sol tendrait à être stable. Toutefois, au cours de la journée, par temps ensoleillé, les basses couches de l'atmosphère vont se réchauffer jusqu'à ce que le gradient thermique devienne supérieur au gradient adiabatique sec. Alors des colonnes d'air montantes vont se développer pour rétablir l'équilibre. Ces ascendances thermiques sont utilisées par les oiseaux, et les pilotes de planeur, d'aile delta ou de parapente. Le modèle simplifié explique de manière assez précise des phénomènes bien connus des pilotes de planeur (ascendances thermiques) et des alpinistes (raréfaction de l'air en altitude).

Voir également :

* Atmosphère normalisée
* Hydrostatique
* Formule du nivellement barométrique
