Lexique de propriétés de fonctions
# Lexique de propriétés de fonctions

Ce lexique répertorie des propriétés mathématiques qui peuvent être satisfaites ou non par les nombreuses fonctions utilisées. Les noms de fonctions de référence sont répertoriés dans la liste de fonctions numériques.

## A

### Absolument continue

    Une fonction est dite absolument continue si elle peut s’écrire comme une intégrale dépendant de sa borne.

### Additive

    Une fonction arithmétique f est dite additive si elle vérifie pour tout a et b premiers entre eux, $f(ab)=f(a)+f(b)$.
    En dehors de ce contexte, une fonction f est dite additive si et seulement si pour tout $(a,b)\in {\cal {{D}_{f}}}$, on a $f(a+b)=f(a)+f(b)$.

### Affine

    Une fonction affine est une fonction de la forme $x\mapsto ax+b$.

### Aléatoire

    Une fonction aléatoire est une fonction dont les valeurs en tout point sont des variables aléatoires.

### Algébrique

    Une fonction algébrique est une fonction qui est solution d’une équation polynomiale en ses variables.

### Analytique

    Une fonction analytique est une fonction qui est développable en série entière en chaque point de son domaine de définition.

### Antécédent

    Pour une valeur possible du résultat d'une fonction, un antécédent est une valeur de la variable qui lui est associée.

### Application

    Le terme d'application est souvent employé comme synonyme de fonction, bien qu'on l'utilise généralement pour des cas distincts : la différence couramment admise est qu'une application désigne une fonction définie sur tout son ensemble de départ, dans le cas contraire elle est uniquement une fonction dont le but est d'établir le domaine de définition. Cependant plusieurs interprétations peuvent se trouver, comme le fait qu'une fonction associe au plus un élément de l'ensemble but à un élément de l'ensemble source, contrairement aux applications. Une fonction peut également faire allusion par abus de langage aux fonctions numériques dans lequel cas une application concerne des ensembles autres que des nombres.

### Arithmétique

    Une fonction arithmétique est une fonction à variable entière et à valeurs complexes.

## B

### B-différentiable

    Une fonction entre deux espaces vectoriels normés est dite B-différentiable en un point si elle est approchée par un opérateur positivement homogène et borné au voisinage de ce point.

### Baire

    Une fonction de Baire est une fonction obtenue comme limite simple de fonction continues par récurrence transfinie.

### Bijective

    Une fonction est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, c'est-à-dire que tout élément de l'ensemble but admet un unique antécédent.

### Bornée

    Une fonction est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c’est-à-dire si son image est bornée.

## C

### $C^n,$ $C^∞$

    Une fonction est dite de classe $C^n$ si elle est n fois dérivable et que sa dérivée n-ième est continue. Elle est dite de classe $C^∞$ si elle est infiniment dérivable.

### Calculable

    Une fonction calculable est une fonction partielle récursive totale.

### Caractéristique

    Une fonction est caractéristique d’une partie d’un ensemble si elle vaut 1 sur les éléments de cet ensemble et 0 ailleurs.

### Cardinale

    Une fonction est cardinale si elle est à valeurs dans les nombres cardinaux.

### Cauchy-continue

    Une fonction est dite Cauchy-continue si elle préserve les suites de Cauchy.

### Causale

    Une fonction d’une variable réelle est dite causale si son support est borné à gauche.

### Centrale

    Une fonction centrale est une fonction définie sur un groupe et constante le long de ses classes de conjugaison.

### Complètement additive

    Une fonction arithmétique est dite complètement additive si la valeur en un produit est la somme des valeurs en chaque facteur.

### Complètement multiplicative

    Une fonction arithmétique est dite complètement multiplicative si la valeur en un produit est le produit des valeurs en chaque facteur.

### Concave

    Une fonction réelle f d’une ou plusieurs variables réelles est dite concave si la fonction opposée est convexe : quels que soient x et y dans le domaine de définition, pour tout $t\in [0;1]$, $f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y)$.

### Constante

    Une fonction constante est une fonction n’ayant qu’une seule valeur.

### Constructible

    Une fonction à variable et valeurs entières est dite constructible s’il existe une machine de Turing permettant d’obtenir ses valeurs en temps ou en espace du même ordre de grandeur que la variable.

### Continue

    Une fonction est dite continue lorsque l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert, ce qui revient à écrire en termes de limites que pour tout élément $a$ de son domaine de définition, $\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$

### Contractante

    Une fonction réelle f d’une ou plusieurs variables réelles est dite contractante de rapport k, avec $k\in [0,1[$, si pour tout x et y dans son domaine de définition, $|f(x)-f(y)|\leq k|x-y|$.

### Convexe

    Une fonction réelle f d’une ou plusieurs variables réelles est dite convexe si elle satisfait l’inégalité de convexité : quels que soient x et y dans le domaine de définition, pour tout $t\in [0;1]$, $f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$.

### Courbe

    Une fonction courbe est une fonction booléenne de non-linéarité maximale.

### Croissante

    Une fonction réelle d'une variable réelle $f$ est dite croissante si elle préserve l'ordre des valeurs, c'est-à-dire que pour tout couple $(a,b)$ de valeurs dans le domaine de définition tel que $a\leq b$, on a $f(a)\leq f(b)$. Elle est dite strictement croissante si pour tout couple $(a,b)$ tel que $a<b$, on a $f(a)<f(b)$.

### Cubique

    Une fonction cubique est une fonction polynomiale en une variable de degré 3.

## D

### Décroissante

    Une fonction réelle d'une variable réelle $f$ est dite décroissante si elle renverse l'ordre des valeurs, c'est-à-dire que pour tout couple $(a,b)$ de valeurs dans le domaine de définition tel que $a\leq b$, on a $f(a)\geq f(b)$. Elle est dite strictement croissante si pour tout couple $(a,b)$ tel que $a<b$, on a $f(a)>f(b)$.

### Densité

    Une fonction de densité est une fonction positive et intégrable d’intégrale 1, associée à une loi à densité.

### Dérivable

    Une fonction est dite dérivable si elle admet une fonction dérivée, c'est-à-dire si le taux d'accroissement admet une limite finie en tout point de son domaine de définition.

### Dérivée faible

    Une fonction localement intégrable est dite à dérivée faible si elle admet une dérivée au sens des distributions.

### Développable en série entière

    Une fonction réelle d’une variable réelle (resp. complexe d'une variable complexe) est dite développable en série entière sur un intervalle (resp. sur un disque) si elle y est égale à la somme d’une série de fonctions puissances.

### Différentiable

    Une fonction de plusieurs variables réelles est dite différentiable en un point de son domaine si elle admet un développement de Taylor à l’ordre 1 au voisinage de ce point.

### Domaine de définition

    Pour une fonction, il s'agit de l'ensemble des valeurs possibles pour sa variable.

## E

### Élémentaire

    Une fonction élémentaire est une fonction obtenue par combinaison de fonctions polynômes, de l’exponentielle et du logarithme, par les opérations arithmétiques élémentaires et par composition.

### Elliptique

    Une fonction elliptique est une fonction méromorphe sur le plan complexe et périodique dans deux directions différentes.

### Ensemble but (d'arrivée)

    Pour une fonction, l'ensemble but est un ensemble prédéfini qui contient toutes les valeurs possibles du résultat. En particulier, il contient l'ensemble image.

### Ensemble de définition

    Voir domaine de définition

### Ensemble image

    Pour une fonction, l'ensemble image est l'ensemble des valeurs possibles de son résultat.

### Ensemble source (de départ)

    Pour une fonction, l'ensemble source est un ensemble prédéfini qui contient toutes les valeurs possibles de la variable. En particulier, il contient le domaine de définition.

### Entière

    Une fonction entière est une fonction holomorphe sur le plan complexe, à ne pas confondre avec une fonction à valeurs entières.

### Épigraphe

    L’épigraphe d’une fonction réelle f est l’ensemble des couples $(x,y)$ tels que $y\geq f(x)$, où x est dans le domaine de définition de la fonction et $y\in \mathbb {R}$.

### Escalier

    Une fonction en escalier est une fonction constante par morceaux.

### Étagée

    Une fonction étagée est une combinaison linéaire de fonctions indicatrices de parties mesurables

## F

### Fermée

    Une fonction d’une ou plusieurs variables réelles est dite fermée si son épigraphe est fermé, c’est-à-dire si elle est semi-continue inférieurement.

## H

### Harmonique

    Une fonction harmonique est une fonction deux fois continûment dérivable qui satisfait l'équation de Laplace.

### Harmonique positive

    Une fonction harmonique positive est l’intégrale de Poisson d’une mesure positive sur le cercle unité.

### Hölderienne

    Une fonction réelle f d’une variable réelle est dite hölderienne d’exposant α s’il existe une constante C telle que pour tout x et y dans le domaine de définition de la fonction, on a $|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }$.

### Holomorphe

    Une fonction holomorphe est une fonction dérivable d’une variable complexe.

### Homogène

    Une fonction réelle f d’une ou plusieurs variables réelles est dite (positivement) homogène de degré α si pour tout réel t (positif) et pour tout x dans le domaine de définition de f on a $f(tx)=t^{\alpha }f(x)$.

### Homographique

    Une fonction homographique est un quotient non constant de fonctions affines $x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}$

## I

### Image

    Pour une valeur de la variable, il s'agit du résultat associé.
    L’image d’une fonction f est l’ensemble des images des éléments de son domaine : $\operatorname {im} (f)=\left\{f(x),x\in {\mathcal {D}}_{f}\right\}$.

### Impaire

    Une fonction f est impaire si pour tout x de son domaine de définition, $-x$ est aussi dans son domaine de définition avec $f(-x)=-f(x)$.

### Indicatrice

    Une fonction indicatrice est une fonction n'admettant que deux valeurs : 0 et 1 (ou 0 et l'infini en analyse convexe).

### Injective

    Une fonction est dite injective si tout élément de l'ensemble but admet au plus un antécédent, c'est-à-dire que deux valeurs distinctes de la variables sont toujours associées à deux résultats différents.

### Intégrable

    Une fonction est dite intégrable en une borne d'un intervalle de son domaine de définition si son intégrale converge sur cet intervalle.

## L

### Linéaire

    Une fonction linéaire est une fonction de la forme $x\mapsto ax$ où a est une constante indépendante de x.

### Lipschitzienne

    Une fonction f est dite lipschitzienne de rapport k si pour tout x et y de son domaine de définition on a $|f(x)-f(y)|\leq k|x-y|$.

### Lisse

    Une fonction lisse est une fonction de classe ${\mathcal {C}}^{\infty }$.

### Localement intégrable

    Une fonction est dite localement intégrable si elle est intégrable sur tout compact de son domaine de définition.

### Logarithmiquement convexe

    Une fonction logarithmiquement convexe est une fonction strictement positive dont la composée à gauche avec le logarithme donne une fonction convexe.

## M

### Majorée

    Une fonction réelle f est majorée s’il existe un réel M tel que pour tout élément x du domaine de f on a $f(x)\leq M$.

### Méromorphe

    Une fonction méromorphe est une fonction d’une variable complexe pouvant s’écrire comme le quotien de deux fonctions entières.

### Mesurable

    Une fonction est dite mesurable si l’image réciproque de toute partie mesurable est mesurable.

### Minorée

    Une fonction réelle f est minorée s’il existe un réel M tel que pour tout élément x du domaine de f on a $f(x)\geq M$.

### Monotone

    Une fonction réelle d'une variable réelle est dite monotone si elle est croissante ou décroissante. Elle est dite strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

### Multiplicative

    Une fonction multiplicative est une fonction arithmétique f vérifiant $f(1)=1$ et pour tout couple $(a,b)$ d’entiers premiers entre eux, $f(ab)=f(a)f(b)$.

## N

### N de Luzin

    Une fonction réelle d’une variable réelle possède la propriété N de Luzin si l’image de tout ensemble Lebesgue-négligeable est Lebesgue-négligeable.

### Négligeable

    Une fonction f est dite négligeable par rapport à une fonction g au voisinage de $a\in {\overline {\mathbb {R} }}$ s’il existe une fonction ε définie sur ce même voisinage telle que $f=\varepsilon \times g$ et $\lim _{x\to a}\varepsilon (x)=0$.

### Numérique

    Une fonction numérique est une fonction dont le résultat est toujours un nombre.

## O

### Oscillation moyenne bornée

    Une fonction localement intégrable est dite à oscillation moyenne bornée si la moyenne de l’écart absolu à la moyenne sur les cubes est majorée.

## P

### Paire

    Une fonction f est paire si pour tout x de son domaine de définition, $-x$ est aussi dans son domaine de définition avec $f(-x)=f(x)$.

### Périodique

    Une fonction f d’une variable réelle est périodique de période T si pour tout x de son domaine de définition, les nombres $x+T$ et $x-T$ appartiennent aussi au domaine de définition avec $f(x+T)=f(x)$.

### Polynomiale

    Une fonction polynomiale est une combinaison linéaire de puissances de sa variable.

### Positive

    Une fonction positive est à valeurs dans $\mathbb {R} ^{+}$.

### Positivement homogène

    Une fonction d’une variable réelle ou vectorielle est dite positivement homogène si elle vérifie pour tout λ > 0, $f(\lambda x)=\lambda f(x)$.

### Presque périodique

    Une fonction réelle d’une variable réelle est dite presque périodique si l’ensemble de ses presque périodes est bien réparti pour toute précision.

### Puissance

    Une fonction puissance est une fonction de la forme $x\mapsto x^{\alpha }$ où α est un réel.

## Q

### Quadratique

    Une fonction quadratique est une fonction de plusieurs variables qui est polynomiale de degré 2.

### Quasi-convexe

    Une fonction réelle définie sur un convexe est dite quasi-convexe si sur tout segment elle atteint son maximum en une extrémité.

## R

### Rationnelle

    Une fonction rationnelle est un quotient de fonctions polynomiales.

### Réelle

    Une fonction réelle est une fonction à valeurs réelles.

### Réglée

    Une fonction réglée est la limite uniforme d’une suite de fonctions en escalier.

### Régulière

    Une fonction régulière est une fonction infiniment dérivable.

## S

### Semi-continue

    Une fonction réelle est semi-continue inférieurement si l’image réciproque de tout intervalle de la forme $]a,+\infty [$ est ouvert.
    Elle est semi-continue supérieurement si l’image réciproque de tout intervalle de la forme $]-\infty ,a[$ est ouvert.

### Semi-harmonique

    Une fonction est dite sous-harmonique sur un ouvert de $\mathbb {C}$ si elle est continue et vérifie la propriété de sous-moyenne locale.

### Sous-additive

    Une fonction réelle f est dite sous-additive si elle vérifie l’inégalité $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$

### Sous-linéaire

    Une fonction réelle f est dite sous-linéaire si elle est sous-additive et positivement homogène.

### Sous-modulaire

    Une fonction sous-modulaire est une fonction d’ensembles à valeurs réelles satisfaisant l’inégalité $f(X\cup Y)+f(X\cap Y)\leq f(X)+f(Y)$.

### Surjective

    Une fonction est dite surjective si tout élément de l'ensemble but admet au moins un antécédent, c'est-à-dire si l'ensemble image est confondu avec l'ensemble but.

### Support compact

    Une fonction est dite à support compact si elle est nulle en dehors d’un ensemble compact dans son domaine de définition

## T

### T

    Une fonction-T est une permutation sur les blocs de n bits dont le i-ème bit de sortie ne dépend que des i premiers bits d’entrée.

### Totale

    Une fonction est totale quand son domaine de définition est son ensemble de départ.

### Transcendante

    Une fonction transcendante est une fonction réelle d’une variable réelle qui n’est pas algébrique.

### Triangulaire

    Une fonction triangulaire est une fonction continue et affine par morceaux n’admettant que deux expressions sur son support.

## U

### Uniformément continue

    Une fonction f est dite uniformément continue si pour tout réel $\varepsilon >0$, il existe un réel $\delta >0$ tel que pour tout x et y dans le domaine de définition de la fonction tel que $\operatorname {d} (x,y)\leq \delta$, on a $\operatorname {d} (f(x),f(y))\leq \varepsilon$.

### Univalente

    Une fonction univalente est une fonction holomorphe injective sur un ouvert du plan complexe.

## V

### Variations bornées

    Une fonction réelle d’une variable réelle est dite à variation bornée sur un intervalle I si l’ensemble des sommes $\sum _{i=1}^{n}|f(x_{i})-f(x_{i-1})|$ est majoré lorsque $(x_{0},...,x_{n})$ parcourt les suites finies strictement croissantes dans I.
