Théorème de Mahler
# Théorème de Mahler

Le théorème de Mahler offre un analogue du développement en série de Taylor pour les fonctions continues à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques. Le théorème a été démontré par Kurt Mahler.

En combinatoire, le symbole de Pochhammer représente la factorielle indexée :

    $(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)\,$.

On note $\Delta$ l'opérateur de différence défini par

    $(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,$.

Alors nous avons

    $\Delta (x)_{n}=n(x)_{n-1}\,$

c’est-à-dire que le lien de parenté entre l'opérateur $\Delta$ et cette suite de polynômes est analogue au lien entre la différentiation réelle et la suite dont le n-ième terme est $x^{n}$.

Énoncé — Si $f$ est une fonction continue à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques, alors

    $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\Delta ^{k}f)(0)}{k!}}(x)_{k}\,$.

Contrairement au cas des séries à valeurs complexes où les conditions sont très contraignantes (cf. théorème de Carlson), on a seulement besoin de la continuité.

Si $f$ est un polynôme à coefficients dans n'importe quel corps commutatif de caractéristique nulle, l'identité reste valable.

