Théorème de Lindemann-Weierstrass
# Théorème de Lindemann-Weierstrass

En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si des nombres algébriques $α_1,$ … , $α_n$ sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres rationnels, alors leurs exponentielles $e^{α1},$ … , $e^{αn}$ sont algébriquement indépendantes sur Q. En d'autres termes, l'extension $Q(e^{α1},$ … , $e^{αn})$ de Q est transcendante de degré n.

Une formulation équivalente du théorème est la suivante : si $α_0,$ … , $α_n$ sont des nombres algébriques distincts alors $e^{α0},$ … , $e^{αn}$ sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres algébriques, c'est-à-dire : $a_{0}{\rm {e}}^{\alpha _{0}}+a_{1}{\rm {e}}^{\alpha _{1}}+\ldots +a_{n}{\rm {e}}^{\alpha _{n}}\neq 0$ pour tous nombres algébriques $a_i$ non tous nuls.

En 1882, ce théorème fut annoncé par Ferdinand von Lindemann à la fin de son article sur le cas particulier n = 1, et fut aussitôt démontré par Karl Weierstrass, qui diffusa son manuscrit mais différa jusqu'en 1885 sa $publication^,.$

## Le cas n = 1

En 1882, Lindemann avait esquissé la preuve du fait que pour tout nombre algébrique a non nul, le nombre $e^a$ est transcendant (ce qui redémontrait que e est transcendant et prouvait que π l'est aussi). C'est le cas n = 1 du théorème démontré par Weierstrass.

En effet (avec la première formulation),

* a est non nul équivaut à : l'ensemble {a} est linéairement libre sur Q, et
* $e^a$ est transcendant équivaut à : l'ensemble ${e^a}$ est algébriquement libre sur Q

En utilisant la seconde formulation, on peut le réécrire :

* a est non nul équivaut à : 0 et a sont distincts, et
* $e^a$ est transcendant équivaut à : $e^0$ et $e^a$ sont linéairement indépendants sur Q.

## Conjecture p-adique

L'analogue p-adique du théorème de Lindemann-Weierstrass est la conjecture suivante : « soient [p un nombre premier et] $β_1,$ … , $β_n$ des nombres p-adiques algébriques [Q-linéairement indépendants et] appartenant au domaine de convergence de l'exponentielle p-adique $exp_p.$ Alors les n nombres $exp_p(β_1),$ … , $exp_p(β_n)$ sont algébriquement indépendants sur Q. »

