Tore d'application
# Tore d'application

En mathématiques et plus particulièrement en topologie, le tore d'application, dit aussi mapping torus ou encore tore de suspension, d'un homéomorphisme $f$ d'un espace topologique $X$ est l'espace produit $\scriptstyle X\times [0,1]$ quotienté par la relation d'équivalence $\scriptstyle (x,1)\sim (f(x),0)$.

## Propriétés

* Le tore d'un homéomorphisme de X est l'espace total d'un fibré sur $S^1,$ de fibre X.
* Les tores de deux homéomorphismes f et g de X sont homéomorphes (et même isomorphes, en tant que fibrés) dès que f et g sont conjugués ou isotopes (dans le groupe topologique des homéomorphismes de X, muni de la topologie compacte-ouverte), ou plus synthétiquement : dès qu'il existe un chemin continu $(h_t)_{t∈[0,1]}$ d'homéomorphismes de X tel que $h_1∘f$ = $g∘h_0.$
* Le tore d'un homéomorphisme f de X est l'espace des orbites de l'action de ℤ sur X×ℝ donnée par n∙(x, y) = (f $^n(x),$ y + n).

## Exemples

* Le tore de l'application identité de $X$ est le fibré trivial.
* Si $X=S^{1}$, le tore de $f$ est le tore $T^2$ ou la bouteille de Klein, selon que $f$ conserve ou renverse l'orientation.
* Le ruban de Möbius est le tore de l'homéomorphisme $\scriptstyle [-1,1]\to [-1,1],x\mapsto -x$.
