Lemme d'Artin-Rees
# Lemme d'Artin-Rees

Le lemme d'Artin-Rees (aussi connu sous le nom de « théorème d'Artin-Rees ») est un théorème d'algèbre commutative, qui sert notamment à démontrer la propriété de platitude de la complétion (en) des modules de type fini sur un anneau noethérien. Le théorème d'intersection de Krull s'en déduit.

## Énoncés

Le lemme s'énonce comme suit.

Lemme d'Artin-Rees — Soient A un anneau commutatif noethérien, I un idéal de A, M un A-module de type fini, et N un sous-module de M. Alors il existe un entier k tel que

$(I^{n}M)\cap N=I^{n-k}((I^{k}M)\cap N)$

On en déduit le théorème suivant.

Théorème d'intersection de Krull — Soient A un anneau commutatif noethérien, I un idéal de A, et M un A-module de type fini. Alors l'intersection

$\cap _{n>0}I^{n}M$

est égale à l'ensemble des $x\in M$ tels que $(1-\alpha )x=0\,$ pour un certain $\alpha \in I$. De plus, il existe un tel α indépendant de ces $x$.

## Corollaires

Les deux corollaires suivants se déduisent immédiatement, respectivement, du lemme d'Artin-Rees et du théorème d'intersection de Krull.

Corollaire 1 — Soient A un anneau commutatif noethérien et I, J deux idéaux de A. Alors il existe un entier h tel que

$I^{h}\cap J\subset IJ.$

Corollaire 2 — Soient A un anneau commutatif noethérien et I un idéal de A. Alors l'intersection

$\cap _{n>0}I^{n}$

est nulle si et seulement si aucun élément de 1+I n'est diviseur de zéro dans A.

En particulier,

* si I est contenu dans le radical de Jacobson de A alors l'intersection est nulle ;
* lorsque A est intègre, l'intersection est nulle si et seulement si I est un idéal propre (c'est-à-dire distinct de A).

## Démonstrations

### Démonstration du lemme

La démonstration ci-dessous est essentiellement celle de Bourbaki (due en fait à Cartier) et a été reprise par Lang.

Dans l'anneau de polynômes A[X], considérons la sous-A-algèbre

$B=\oplus _{n\in \mathbb {N} }I^{n}X^{n}.$

A étant noethérien, I est un idéal de type fini de A et B est une A-algèbre de type fini. C'est donc un anneau noethérien.

Notons

$M_{X}=A[X]\otimes _{A}M=\oplus _{n\in \mathbb {N} }X^{n}M,$

et définissons de même $N_{X}$. Ainsi, $N_{X}$ est un sous-A[X]-module de $M_{X}$, en particulier un sous-B-module.

Définissons un autre sous-B-module de $M_{X}$ :

$M'_{X}=B\otimes _{A}M=\oplus _{n\in \mathbb {N} }X^{n}I^{n}M.$

Comme M est un A-module de type fini, $M'_{X}\,$ est un B-module de type fini, donc noethérien. Le sous-B-module $M'_{X}\cap N_{X}$ est donc engendré par un nombre fini de vecteurs. Soit k un entier majorant le degré en X de tous ces vecteurs. Alors,

    $\oplus _{n\in \mathbb {N} }X^{n}((I^{n}M)\cap N)=M'_{X}\cap N_{X}=B{\Bigl\bigoplus _{j=0}^{k}X^{j}{\bigl(I^{j}M)\cap N{\bigr )}{\Bigr )},$

d'où, pour tout $n\geq k$,

    $I^{n}M\cap N=\sum _{j=0}^{k}I^{n-j}((I^{j}M)\cap N)=I^{n-k}\sum _{j=0}^{k}I^{k-j}((I^{j}M)\cap N)\subset I^{n-k}((I^{k}M)\cap N),$

ce qui donne l'inclusion dans un sens. Celle dans l'autre sens est immédiate.

### Démonstration du théorème

Notons $N=\cap _{n>0}I^{n}M$. Si un vecteur x de M est tel qu'il existe un élément α de I pour lequel (1-α)x=0 alors $x=α^nx$ pour tout entier n>0, donc x appartient à N. Pour la réciproque, remarquons que d'après le lemme, N=IN. Le lemme de Nakayama permet de conclure.

