Théorème de Moivre-Laplace
# Théorème de Moivre-Laplace

En théorie des probabilités, selon le théorème de Moivre-Laplace, si la variable $X_{n}$ suit une loi binomiale d'ordre $n$ et de paramètre $p\in ]0,1[$, alors la variable

$Z_{n}={\frac {X_{n}-np}{\sqrt {np(1-p)}}}$

converge en loi vers une loi normale centrée et réduite ${\mathcal {N}}(0,1)$.

Abraham de Moivre fut le premier à établir ce théorème en 1733 dans le cas particulier : $p={\frac {1}{2}}$ ; et Laplace a pu le généraliser en 1812 pour toute valeur de $p$ comprise entre 0 et 1. Il s'agit d'un cas particulier du théorème central limite.

## Démonstration

La démonstration repose sur l'identification de la loi limite par l'étude des fonctions caractéristiques des variables binomiales.

Soit $X_{n}$ une suite de variables binomiales $X_{n}\sim {\mathcal {B}}(n,\,p)$.

La fonction caractéristique de $X_{n}$ est :

$\varphi _{X_{n}}(t)=\left(p\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}+q\right)^{n}$

$Z_{n}={\frac {X_{n}-np}{\sqrt {npq}}}$

$\varphi _{Z_{n}}(t)=(p\mathrm {e} ^{\frac {\mathrm {i} t}{\sqrt {npq}}}+q)^{n}\mathrm {e} ^{\frac {-\mathrm {i} tnp}{\sqrt {npq}}}$

Calculons le logarithme de cette fonction :

$\ln \varphi _{Z_{n}}(t)=n\ln \left[(p\mathrm {e} ^{\frac {\mathrm {i} t}{\sqrt {npq}}}+q)\right]-{\frac {\mathrm {i} tnp}{\sqrt {npq}}}=n\ln \left[(p(\mathrm {e} ^{\frac {\mathrm {i} t}{\sqrt {npq}}}-1)+1)\right]-{\frac {\mathrm {i} tnp}{\sqrt {npq}}}$.

On développe l'exponentielle au 2e ordre, il vient :

$\ln \varphi _{Z_{n}}(t)\approx n\ln \left[1+p\left({\frac {\mathrm {i} t}{\sqrt {npq}}}-{\frac {t^{2}}{2npq}}\right)\right]-{\frac {\mathrm {i} tnp}{\sqrt {npq}}}$.

On développe ensuite le logarithme au 2e ordre, on trouve :

$\ln \varphi _{Z_{n}}(t)\approx n\left({\frac {\mathrm {i} pt}{\sqrt {npq}}}-{\frac {pt^{2}}{2npq}}+{\frac {p^{2}t^{2}}{2npq}}\right)-{\frac {\mathrm {i} tnp}{\sqrt {npq}}}=-{\frac {t^{2}}{2q}}+{\frac {pt^{2}}{2q}}={\frac {t^{2}}{2q}}(p-1)=-{\frac {t^{2}}{2}}$.

On a démontré que :

$\ln \varphi _{Z_{n}}(t)\approx {\frac {-t^{2}}{2}}$

$\varphi _{Z_{n}}(t)\approx \mathrm {e} ^{\frac {-t^{2}}{2}}$

C'est la fonction caractéristique de la loi normale centrée réduite ${\mathcal {N}}(0,1)$.

## Application

Autrement dit, si $X_{n}$ suit une loi binomiale de paramètres n et p et si $\Phi$ est la fonction de répartition de ${\mathcal {N}}(0,1)$ alors, pour tout réel t, on a :

$\lim _{n\to \infty }\operatorname {P} \left({\frac {X_{n}-np}{\sqrt {npq}}}\leq t\right)=\Phi (t)$

ce qui signifie que, pour n assez grand,

$\operatorname {P} \left({\frac {X_{n}-np}{\sqrt {npq}}}\leq t\right)\approx \Phi (t)$

ce qui donne, en posant $t={\frac {x-np}{\sqrt {npq}}}$, l'approximation suivante pour la probabilité d'avoir au plus $x$ succès :

$\operatorname {P} (X_{n}\leq x)\approx \Phi \left({\frac {x-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)$

Cette approximation est bonne en général pour $np(1-p)\geq 10$.

Pratiquement, il faut cependant faire attention au fait que les variables $X_{n}$ sont discrètes. Graphiquement, cela se traduit par le fait que les extrémités des bâtons du diagramme de la loi binomiale $X_{n}\sim {\mathcal {B}}(n,\,p)$ sont proches de la courbe de densité de la loi normale ${\mathcal {N}}(np,npq)$. On peut obtenir une valeur approchée de $\mathrm {P} (X_{n}=x)$ par le calcul de la surface sous la courbe de densité comprise entre les droites d'abscisse $x-{\frac {1}{2}}$ et $x+{\frac {1}{2}}$.

$\operatorname {P} (X_{n}=x)\approx \operatorname {P} \left({\frac {x-{\frac {1}{2}}-np}{\sqrt {npq}}}\leq N\leq {\frac {x+{\frac {1}{2}}-np}{\sqrt {npq}}}\right)$

$\operatorname {P} (X_{n}\leq x)\approx \operatorname {P} \left(N\leq {\frac {x+{\frac {1}{2}}-np}{\sqrt {npq}}}\right)$

On appelle cette procédure la « correction de continuité ».

## Exemple

On considère la suite de variables $X_{n}\sim {\mathcal {B}}(50,\,0{,}3)$ ; on a alors $np=15$ ; $nq=35$

D'après les tables, la valeur exacte pour $\mathrm {P} (X_{n}=10)=0{,}038\,619$.

La formule d'approximation avec une loi ${\mathcal {N}}(np,{\sqrt {npq}})={\mathcal {N}}(15,{\sqrt {10{,}5}})$ donne le résultat :

$\operatorname {P} \left({\frac {9{,}5-15}{\sqrt {10{,}5}}}\leq N\leq {\frac {10{,}5-15}{\sqrt {10{,}5}}}\right)$

soit

$\operatorname {P} (-1{,}7\leq N\leq -1{,}39)=\operatorname {P} (1,39\leq N\leq 1{,}7)=0{,}955\,4-0{,}917\,7=0{,}037\,7$

L'erreur d'approximation est faible.

Pour $\mathrm {P} (X_{n}\leq 10)=0{,}078\,9$, l'approximation usuelle fournit

$\mathrm {P} (N\leq -1{,}39)=\mathrm {P} (N\geq 1{,}39)=1-\mathrm {P} (N\leq 1{,}39)=0{,}082\,3$

Sans correction de la continuité de l'approximation, on aurait :

$\operatorname {P} \left(N\leq {\frac {10-15}{\sqrt {10{,}5}}}\right)=\operatorname {P} (N\leq -1{,}54)=1-\operatorname {P} (N\leq 1{,}54)=0{,}061\,8$

Cette dernière valeur est assez imprécise.

