Théorie d'Auslander-Reiten
# Théorie d'Auslander-Reiten

En algèbre, la théorie d'Auslander-Reiten étudie la théorie des représentations des anneaux artiniens à l'aide de techniques telles que les suites d'Auslander-Reiten (également appelées suites presque scindées) et les carquois d'Auslander-Reiten. La théorie d'Auslander-Reiten a été introduite par Maurice Auslander et Iduun Reiten et développée par eux dans plusieurs articles ultérieurs.

## Suite presque scindée

### Définition

Soit $R$ une algèbre d'Artin. Une suite

    $0\to A\to B\to C\to 0$

de modules gauches de type fini sur $R$ est appelée une suite presque scindée (ou suite d'Auslander–Reiten) si elle a les propriétés suivantes :

* La suite n'est pas scindée ;
* $C$ est indécomposable et tout homomorphisme d'un module indécomposable dans $C$ qui n'est pas un isomorphisme se factorise par $B$ ;
* $A$ est indécomposable et tout homomorphisme de $A$ vers un module indécomposable qui n'est pas un isomorphisme se factorise par $B$.

Pour tout module gauche de type fini $C$ qui est indécomposable mais non projectif, il existe une suite presque scindée comme ci-dessus, qui est unique à isomorphisme près. De même, pour tout module gauche de type fini $A$ qui est indécomposable mais non injectif, il existe une suitz presque scindée comme ci-dessus, qui est unique à isomorphisme près.

Le module $A$ dans la suite presque scindée est isomorphe à $D(Tr(C))$, le dual de la transposée de $C$.

### Exemple

On prend pour $R$ est l'anneau $k[x]/(x^{n})$ pour un corps $k$ et un entier $n\geq 1$. Les modules indécomposables sont isomorphes à l'un des $k[x]/(x^{m})$ pour $1\leq m\leq n$ et le seul qui est projectif est celui pour $m=n$. Les suites presque scindées sont isomorphes à

    $0\rightarrow k[x]/(x^{m})\rightarrow k[x]/(x^{m+1})\oplus k[x]/(x^{m-1})\rightarrow k[x]/(x^{m})\rightarrow 0$

pour $1\leq m<n$. Le premier morphisme envoie $a$ sur $(xa,a)$, et le second envoie $(b,c)$ sur $b-xc$.

## Carquois d'Auslander-Reiten

Le carquois d'Auslander-Reiten d'une algèbre d'Artin possède un sommet pour chaque module indécomposable et une flèche entre les sommets s'il existe un morphisme irréductible entre les modules correspondants. Il possède une application $\tau =D\ Tr$ appelée translation des sommets non projectifs vers les sommets non injectifs, où $D$ est le dual et $Tr$ la transposée.

