Théorème de Hardy-Ramanujan
# Théorème de Hardy-Ramanujan

En mathématiques et plus précisément en théorie des nombres, le théorème de Hardy-Ramanujan, demontré par G. H. Hardy et S. Ramanujan en 1917, énonce que ln⁡(lnn){\textstyle \ln(\ln \, n)} est un ordre normal du nombre ω(n){\textstyle \omega (n)} de facteurs premiers distincts d'un entier naturel $n$, où ln(x) désigne la fonction logarithme naturel.

Cela signifie que la plupart des nombres ont environ ce nombre de facteurs premiers distincts. Par exemple, le nombre de facteurs premiers d'un entier inférieur à un milliard $(10^9){\textstyle$ (10^{9})} est $ln⁡(ln10^9)≈3,$ 03.{\textstyle \ln(\ln \, 10^{9})\approx 3, 03.}

## Énoncé

Une version plus précise indique que pour toute fonction à valeurs réelles ψ(n){\textstyle \psi (n)} qui tend vers l'infini quand n → $\infty$, on a :

$|\omega (n)-\ln(\ln \,n)|<\psi (n){\sqrt {\ln(\ln \,n)}}$

Cette relation n'est pas valable que pour une proportion infinitésimale de nombres réels. Si $g(x)$ désigne le nombre d'entiers naturels $n$ inférieurs à $x$ pour lesquels l'inégalité ci-dessus n'est pas valide : alors $g(x)/x$ converge vers zéro lorsque $x$ tend vers l'infini.

## Preuve

Une autre preuve a été donnée par Pál Turán en 1934. La mathématicien a utilisé le crible de Turán afin de prouver la majoration :

$\sum _{n\leq x}|\omega (n)-\ln(\ln \,n)|^{2}\ll x\ln(\ln \,x).$

## Ordre Moyen

G. H. Hardy et S. Ramanujan ont aussi montré l'équivalence suivante:

${\frac {\omega (1)+\omega (2)+\,...+\,\omega (n)}{n}}\sim \ln(\ln \,n)\qquad (n\rightarrow +\infty ).$

On dit alors que ln⁡(lnn){\textstyle \ln(\ln \, n)} est un ordre moyen de ω(n){\textstyle \omega (n)}.

## Généralisations

Les mêmes résultats sont vrais pour Ω(n){\textstyle \Omega (n)}, le nombre de facteurs premiers de n comptés avec multiplicité. Ce théorème est généralisé par le théorème d'Erdős–Kac, qui montre que $\omega (n)$ est essentiellement normalement distribué.

