Système quater-imaginaire
# Système quater-imaginaire

Le système de numération quater-imaginaire fut proposé en premier par Donald Knuth en 1955, lors d'une soumission à une recherche de talent scientifique au lycée. C'est un système positionnel non standard (en) car à base complexe (en), qui utilise comme base le nombre imaginaire pur 2i. Il peut représenter chaque nombre complexe en utilisant seulement les chiffres 0, 1, 2 et 3 (les réels négatifs, dont la représentation dans un système standard utilise le signe moins, sont représentables en quater-imaginaire par une simple suite de chiffres).

## Puissances de 2i

| n | −8 | −7 | −6 | −5 | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| $(2i)^n$ | 1/256 | i/128 | −1/64 | −i/32 | 1/16 | i/8 | −1/4 | −i/2 | 1 | 2i | −4 | −8i | 16 | 32i | −64 | −128i | 256 |

## Du système décimal vers le système quater-imaginaire

| Base 10 | Base 2i |
| - | - |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 10300 |
| 5 | 10301 |
| 6 | 10302 |
| 7 | 10303 |
| 8 | 10200 |
| 9 | 10201 |
| 10 | 10202 |
| 11 | 10203 |
| 12 | 10100 |
| 13 | 10101 |
| 14 | 10102 |
| 15 | 10103 |
| 16 | 10000 |
| Base 10 | Base 2i |
| –1 | 103 |
| −2 | 102 |
| −3 | 101 |
| −4 | 100 |
| −5 | 203 |
| −6 | 202 |
| −7 | 201 |
| −8 | 200 |
| −9 | 303 |
| −10 | 302 |
| −11 | 301 |
| −12 | 300 |
| −13 | 1030003 |
| −14 | 1030002 |
| −15 | 1030001 |
| −16 | 1030000 |
| Base 10 | Base 2i |
| i | 10,2 |
| 2i | 10 |
| 3i | 20,2 |
| 4i | 20 |
| 5i | 30,2 |
| 6i | 30 |
| 7i | 103000,2 |
| 8i | 103000 |
| 9i | 103010,2 |
| 10i | 103010 |
| 11i | 103020,2 |
| 12i | 103020 |
| 13i | 103030,2 |
| 14i | 103030 |
| 15i | 102000,2 |
| 16i | 102000 |
| Base 10 | Base 2i |
| −i | 0,2 |
| −2i | 1030 |
| −3i | 1030,2 |
| −4i | 1020 |
| −5i | 1020,2 |
| −6i | 1010 |
| −7i | 1010,2 |
| −8i | 1000 |
| −9i | 1000,2 |
| −10i | 2030 |
| −11i | 2030,2 |
| −12i | 2020 |
| −13i | 2020,2 |
| −14i | 2010 |
| −15i | 2010,2 |
| −16i | 2000 |

## Exemples

* Deux exemples d'entiers :

    $-31_{10}=d_{0}+d_{2}(2{\rm {i}})^{2}+d_{4}(2{\rm {i}})^{4}+d_{6}(2{\rm {i}})^{6}+\dots =d_{0}-4d_{2}+16d_{4}-64d_{6}+\dots \Leftrightarrow$
    $d_{0}=1,\quad 8_{10}=d_{2}-4d_{4}+16d_{6}-\dots \Leftrightarrow$
    $d_{0}=1,\quad d_{2}=0,\quad -2_{10}=d_{4}-4d_{6}+\dots \Leftrightarrow$
    $d_{0}=1,\quad d_{2}=0,\quad d_{4}=2,\quad d_{6}=1,\quad d_{8}=\dots =0$

donc

    $-31_{10}=1020001_{2{\rm {i}}}.$

De même, $15_{10}=10103_{2{\rm {i}}}.$

* La conversion d'un nombre dyadique se ramène à celle d'un entier :

    ${\frac {31}{4}}=-31(2{\rm {i}})^{-2}=10200{,}01_{2{\rm {i}}}.$
* La conversion du produit par i d'un nombre dyadique aussi :

    $-{\frac {15{\rm {i}}}{2}}=15(2{\rm {i}})^{-1}=1010{,}3_{2{\rm {i}}}.$
* La partie réelle et la partie imaginaire s'additionnent :

    ${\frac {31}{4}}-{\frac {15}{2}}{\rm {i}}=10200{,}01_{2{\rm {i}}}+1010{,}3_{2{\rm {i}}}=11210{,}31_{2{\rm {i}}}.$
