Théorème de Gordan
# Théorème de Gordan

Le théorème de Gordan donne une condition nécessaire et suffisante d'existence de solutions à un système linéaire d'inégalités strictes dans $\mathbb {R}$. C'est l'exemple le plus simple de « théorème de l'alternative ».

Théorème de Gordan (1873) — Soit $f_{1},\ldots ,f_{k}$ des formes linéaires sur un espace vectoriel réel $E$ de dimension finie. Alors :

    $\{y\in E\,\mid \,f_{1}(y)>0,f_{2}(y)>0,\ldots ,f_{k}(y)>0\}$ est vide

(si et) seulement si

    0 appartient à l'enveloppe convexe de $\{f_{1},\ldots ,f_{k}\}$.

## Note

* ↑ (de) P. A. Gordan, « Ueber die Auflösung linearer Gleichungen mit reellen Coefficienten », Math. Ann., vol. 6,‎ 1873, p. 23-28 (lire en ligne).
