Lemme du serpent
# Lemme du serpent

Le lemme du serpent, en mathématiques, et en particulier en homologie et cohomologie, est un énoncé valide dans toute catégorie abélienne ; c'est un outil des plus importants pour la construction de suites exactes, objets omniprésents en homologie et ses applications, par exemple en topologie algébrique. Les morphismes ainsi construits sont généralement appelés « morphismes connectants ».

## Énoncé

Dans une catégorie abélienne (par exemple la catégorie des groupes abéliens ou celle des espaces vectoriels sur un corps), considérons le diagramme commutatif suivant :

où les lignes sont des suites exactes et 0 est l'objet nul de la catégorie concernée. Alors il existe une suite exacte liant les noyaux et les conoyaux de a, b, et c :

$\ker a\;{\color {Gray}\longrightarrow }\ker b\;{\color {Gray}\longrightarrow }\ker c\;{\overset {d}{\longrightarrow }}\operatorname {coker} a\;{\color {Gray}\longrightarrow }\operatorname {coker} b\;{\color {Gray}\longrightarrow }\operatorname {coker} c.$

De plus, si le morphisme f est un monomorphisme, alors le morphisme ker a → ker b l'est aussi, et si g' est un épimorphisme, alors coker b → coker c l'est aussi.

Par le théorème de plongement de Mitchell, il est suffisant de prouver le résultat sur les catégories de modules pour l'étendre à toutes les petites catégories abéliennes. On se contente donc de prouver le résultat pour toute catégorie de modules.

Soit $x\in \ker c\subset C$ alors par exactitude de la première ligne, on a un $y\in B$ tel que $g(y)=x$. Ensuite par commutativité du diagramme, on a $g'\circ b(y)=c\circ g(y)=0$ car on choisi $x$ dans le noyau de $c$. Ainsi, $b(y)\in \ker g'=\operatorname {Im} f'$ par exactitude de la seconde ligne. Enfin par injectivité de $f'$ (qui découle de l'exactitude de la seconde ligne), on a un unique $z\in A'$ tel que $f'(z)=b(y)$. Ce $z$ est envoyé sur $[z]\in \operatorname {coker} a$.

On définit alors le morphisme de bord par $d(x)=[z]$.

Il reste à montrer que cette définition ne dépend pas du $y$ choisi. Si on prend un autre $y'$ qui convient, nommons $\Delta =y-y'$ et $\zeta '$ la valeur associé à $\Delta$ dans $A'$. Alors par définition, $\Delta \in \ker g=\operatorname {Im} f$ donc il existe un $\alpha \in A$ tel que $f(\alpha )=\Delta$. Par commutativité, on a $f'\circ a(\alpha )=b\circ f(\alpha )=b(\Delta )$. Par injectivité, $a(\alpha )=\zeta '\in \operatorname {Im} a$.

Ainsi la différence entre $z$, associé à $y$, et $z'$, associé à $y'$, est dans l'image de $a$ et donc, au quotient, $[z]=[z']$.

