Suite de composition
# Suite de composition

La notion de suite de composition est une notion de théorie des groupes. Elle permet, dans un sens qui sera précisé, de considérer un groupe comme « composé » de certains de ses sous-groupes.

## Définitions

Soient G un groupe et e son élément neutre. On appelle suite de composition de G toute suite finie $(G_0,$ $G_1,$ …, $G_r)$ de sous-groupes de G telle que

$G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{r}=\{e\}$

et que, pour tout i ∈ {0, 1, …, r – 1}, $G_{i+1}$ soit sous-groupe normal de $G_i.$ Les quotients $G_i/G_{i+1}$ sont appelés les quotients de la suite.

* Soient $Σ_1$ = $(G_0,$ $G_1,$ …, $G_r)$ et $Σ_2$ = $(H_0,$ $H_1,$ …, $H_s)$ deux suites de composition de G. On dit que
   * $Σ_2$ est un raffinement de $Σ_1,$ ou encore que $Σ_2$ est plus fine que $Σ_1,$ si $Σ_1$ est extraite de $Σ_2,$ c'est-à-dire s'il existe des indices 0 = j(0) < j(1) … < j(r) = s tels que $G_i$ = $H_{j(i)}$ pour tout i ∈ {1, …, r – 1}.
   * $Σ_1$ et $Σ_2$ sont $équivalentes^,$ si r = s et s'il existe une permutation σ de l'ensemble {0, 1, …, r – 1} telle que pour tout i dans cet ensemble, le quotient $G_i/G_{i+1}$ soit isomorphe au quotient $H_{σ(i)}/H_{σ(i)+1}.$
* Soit Σ = $(G_0,$ $G_1,$ …, $G_r)$ une suite de composition de G. Les trois conditions suivantes sont équivalentes : a) Σ est strictement décroissante et n'admet pas d'autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même ; b) les quotients de Σ sont tous des groupes simples ; c) pour tout i ∈ [0, r – 1], $G_{i+1}$ est un sous-groupe distingué maximal de $G_i$ (c'est-à-dire un élément maximal, relativement à l'inclusion, de l'ensemble des sous-groupes propres distingués de $G_i).$ On appelle suite de Jordan-Hölder une suite de composition possédant les propriétés équivalentes a) à c).

Remarque : les auteurs de langue anglaise appellent « composition series » ce qui est appelé ici suite de Jordan-Hölder.

## Quelques faits

* Pour tout groupe G, la suite (G, {e}) est une suite de composition. C'est une suite de Jordan-Hölder si et seulement si G est simple.
* $S_3$ ⊃ $A_3$ ⊃ {e} est une suite de Jordan-Hölder.
* Théorème de raffinement de Schreier : pour deux suites de composition d'un même groupe, il existe toujours un raffinement de la première et un raffinement de la seconde qui sont équivalents.
* On en déduit que si un groupe admet une suite de Jordan-Hölder, toute suite de composition strictement décroissante de ce groupe admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder.
* Si un groupe résoluble G admet une suite de Jordan-Hölder, chaque groupe quotient de cette suite est à la fois simple et résoluble, donc est cyclique d'ordre premier, et G est donc fini. En particulier, un groupe abélien infini n'admet pas de suite de Jordan-Hölder.
* Tout groupe fini admet une suite de Jordan-Hölder.
* Théorème de Jordan-Hölder : deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe sont toujours équivalentes.

## Généralisation aux groupes à opérateurs

Soient G un groupe à opérateurs et e son élément neutre. On appelle suite de composition de G toute suite finie $(G_0,$ $G_1,$ …, $G_r)$ de sous-groupes stables de G telle que

$G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{r}=\{e\}$

et que, pour tout i ∈ {0, 1, …, r – 1}, $G_{i+1}$ soit sous-groupe normal de $G_i.$ Les quotients $G_i/G_{i+1}$ sont appelés les quotients de la suite.

Une suite principale d'un groupe peut être considérée comme une suite de Jordan-Hölder d'un certain groupe à opérateurs.

