Théorème de récurrence de Poincaré
# Théorème de récurrence de Poincaré

Le théorème de récurrence de Poincaré dit que, pour presque toutes les « conditions initiales », un système dynamique conservatif dont l'espace des phases est de « volume » fini va repasser au cours du temps aussi près que l'on veut de sa condition initiale, et ce de façon répétée.

## Contexte

### Système dynamique

Soit un système dynamique mesuré, c’est-à-dire un triplet $(X,\mu ,\phi )$ où :

* $X$ est un espace mesurable, qui représente l'espace des phases du système.
* $\mu$ est une mesure finie sur $X$,
* $\phi :X\to X$ est une fonction mesurable préservant la mesure $\mu$, c’est-à-dire telle que :
* $\forall \ A\subset X\ ,\quad (\mu \circ \phi ^{-1})(A)\ =\ \mu \left[\phi ^{-1}(A)\right]\ =\ \mu (A)$.

### Récurrence d'un point

Soit $A\subset X$ un sous-ensemble mesurable. Un point $x\in X$ est dit récurrent par rapport à $A$ si

* $\phi ^{k}(x)\in A$ pour une infinité d'entiers $k$.

Autrement dit : $x$ est récurrent par rapport à $A$ si pour tout entier naturel $p$, il existe un entier $k\geq p$ tel que $\phi ^{k}(x)\in A$, c'est-à-dire si $x\in \cap _{p\in \mathbb {N} }\cup _{k\geq p}\phi ^{-k}(A)$.

## Théorème de récurrence de Poincaré

Soit $A\subset X$ un sous-ensemble mesurable pour la mesure $\mu$. Alors, presque tous les points de $A$ sont récurrents par rapport à $A$$^,.$

Posons $U_{p}=\cup _{k\geq p}\phi ^{-k}(A)$ (pour tout entier naturel $p$) et $U=\cap _{p\in \mathbb {N} }U_{p}$.

Il s'agit de prouver que l'ensemble $A\setminus U=\cup _{p\in \mathbb {N} }\left(A\setminus U_{p}\right)$ des points de $A$ non récurrents par rapport à $A$ est de mesure nulle, c'est-à-dire (puisqu'il s'agit d'une union dénombrable) que chaque $A\setminus U_{p}$ est de mesure nulle.

De $U_{p+1}=\phi ^{-1}(U_{p})$ et $\mu \left[\phi ^{-1}(U_{p})\right]=\mu (U_{p})$, on déduit que tous les $U_{p}$ ont même mesure.

On conclut en utilisant que $A$ et $U_{p}$ sont inclus dans $U_{0}$ :

    $\mu \left(A\setminus U_{p}\right)\leq \mu \left(U_{0}\setminus U_{p}\right)=\mu \left(U_{0}\right)-\mu \left(U_{p}\right)=0$.

## Histoire

Le théorème a été publié par Poincaré en 1890 dans l'article Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Ce mémoire vaudra à son auteur le prix du roi Oscar, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques. Le jury était composé de Weierstrass, Mittag-Leffler et Hermite. L'histoire de ce mémoire est célèbre.

