Théorème du rang constant
# Théorème du rang constant

Le théorème du rang constant est le théorème de calcul différentiel suivant :

Théorème — Soient $U$ un ouvert de $ℝ^n,$ $a$ un élément de $U$ et $f:U$$→ℝ^p$ une application de classe $C^1.$ Si la différentielle de $f$ est de rang constant $r$ sur $U$, alors il existe

* un $C^1-difféomorphisme$ $\varphi$ d'un ouvert $V$ de $ℝ^n$ contenant 0 sur un ouvert de $U$ avec $\varphi (0)=a$ et
* un $C^1-difféomorphisme$ $\psi$ d'un ouvert de $ℝ^p$ contenant $f(\varphi (V))$ sur un ouvert de $ℝ^p,$ tels que :$\forall x\in V,\quad \psi \circ f\circ \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=(x_{1},\ldots ,x_{r},0,\ldots ,0).$

## Référence

Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions], 2010, p. 49

