Lemme d'Artin-Tate
# Lemme d'Artin-Tate

En algèbre, le lemme d'Artin-Tate énonce :

   Soit A un anneau commutatif noethérien et $B\subset C$ des A-algèbres commutatives. Si C est de type fini sur A et si C est fini sur B, alors B est de type fini sur A.

(Ici, « de type fini » signifie « algèbre de type fini » et « fini » signifie « module de type fini ».)

Ce lemme a été introduit par Emil Artin et John Tate en 1951 pour donner une preuve du théorème des zéros de Hilbert.

Le lemme est similaire au théorème d'Eakin-Nagata, qui dit que : si C est fini sur B et C est un anneau noethérien, alors B est un anneau noethérien.

## Preuve

La preuve suivante peut être trouvée dans Atiyah-MacDonald. Soient $x_{1},\ldots ,x_{m}$ engendrant $C$ en tant que $A$-algèbre et soient $y_{1},\ldots ,y_{n}$ engendrant $C$ comme $B$-module. On peut alors écrire

    $x_{i}=\sum _{j}b_{ij}y_{j}\quad {\text{et}}\quad y_{i}y_{j}=\sum _{k}b_{ijk}y_{k}$

avec $b_{ij},b_{ijk}\in B$. Alors $C$ est fini (engendré par $y_{1},\ldots ,y_{n}$) sur la $A$-algèbre $B_{0}$ engendrée par les $b_{ij},b_{ijk}$. En utilisant le fait que $A$ et donc $B_{0}$ sont noethériens, le sous-module $B\subset C$ est lui aussi fini sur $B_{0}$. Puisque $B_{0}$ est de type fini en tant que $A$-algèbre, $B$ est aussi une $A$-algèbre de type fini.

## Nécessité de la noethérianité

Sans l'hypothèse que A est noethérien, l'énoncé du lemme d'Artin-Tate n'est plus vrai. En effet, pour tout anneau A non noethérien, on peut définir une structure de A-algèbre sur $C:=A\oplus A$ en posant $(a,x)(b,y)=(ab,bx+ay)$. Alors pour tout idéal $I\subset A$ qui n'est pas de type fini, $B:=A\oplus I\subset C$ n'est pas de type fini sur A, bien que toutes les autres hypothèses du lemme soient satisfaites.

