Théorème de préparation de Malgrange
# Théorème de préparation de Malgrange

En mathématiques, le théorème de préparation de Malgrange est un analogue du théorème de préparation de Weierstrass pour les fonctions $C^{\infty }$. Étape préliminaire pour établir un théorème de déformations verselles différentiable, ce résultat a été d'abord conjecturé par René Thom avant d'être démontré par Bernard Malgrange.

## Énoncé du théorème

Supposons que f soit un germe à l'origine de fonction $C^{\infty }$ dépendant des variables $,t\in \mathbb {R}$ et $x\in \mathbb {R} ^{n}$ près de l'origine, et supposons l'existence d'un entier k tel que : $f(0,0)=0,{\partial f \over \partial t}(0,0)=0,\dots ,{\partial ^{k-1}f \over \partial t^{k-1}}(0,0)=0,{\partial ^{k}f \over \partial t^{k}}(0,0)\neq 0.$

Le théorème affirme que la fonction f s'écrit alors sous la forme : $f(t,x)=c(t,x)\left(t^{k}+a_{k-1}(x)t^{k-1}+\cdots +a_{0}(x)\right)$ où les germes de fonction c et a sont $C^{\infty }\$et c est non nul à l'origine.

