Théorème taubérien de Wiener
# Théorème taubérien de Wiener

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème taubérien de Wiener fait référence à plusieurs résultats analogues démontrés par Norbert Wiener en 1932. Ils donnent des conditions nécessaires et suffisantes pour pouvoir approximer une fonction des espaces $L_1$ ou $L_2$ par des combinaisons linéaires de translatées d'une fonction donnée.

## La condition pour l'espace $L_1$

Soit f ∈ $L_1(R)$ une fonction intégrable. Le sous-espace vectoriel engendré par les translatées de f, $f_a(x)$ = f(x+a), est dense dans $L_1(R)$ si et seulement si la transformée de Fourier de f ne s'annule pas dans R.

### Reformulation taubérienne

Le résultat suivant, équivalent à l'énoncé précédent, explique pourquoi le théorème de Wiener est un théorème taubérien :

Supposons que la transformée de Fourier de f ∈ $L_1$ n'ait pas de zéros réels, et que le produit de convolution f * h tende vers zéro à l'infini pour une certaine fonction h ∈ $L_∞.$ Alors le produit de convolution g * h tend vers zéro à l'infini pour tout g ∈ $L_1.$

Plus généralement, si $\lim _{x\to \infty }(f*h)(x)=A\int f(x)\,{\rm {d}}x$ pour une certaine fonction f ∈ $L_1$ dont la transformée de Fourier ne s'annule pas, alors on a également $\lim _{x\to \infty }(g*h)(x)=A\int g(x)\,{\rm {d}}x$ pour tout g ∈ $L_1.$

### Version discrète

Le théorème de Wiener possède un analogue dans $l_1(Z)$ : le sous-espace engendré par les translatées,f ∈ $l_1(Z)$ est dense si et seulement si la transformée de Fourier discrète $\varphi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n){\rm {e}}^{-{\rm {i}}n\theta }$ ne s'annule pas dans R. Les énoncés suivants sont équivalents à ce résultat :

* Soit f ∈ $l_1(Z)$ une suite dont la transformée de Fourier ne s'annule pas, et telle que le produit de convolution discret f * h tend vers 0 à l'infini pour une suite bornée h. Alors il en est de même de g * h pour toute suite g ∈ $l_1(Z).$
* Soit φ une fonction définie sur le cercle unité dont la série de Fourier converge absolument. Alors la série de Fourier de 1/φ converge absolument si et seulement si φ ne s'annule pas.

Israel Gelfand a montré que ces résultats sont équivalents à la propriété suivante de l'algèbre de Wiener (en) A(T) :

* Les idéaux maximaux de A(T) sont tous de la forme $M_{x}=\left\{f\in A(\mathbb {T} )\,\mid \,f(x)=0\right\},\quad x\in \mathbb {T} .\,$

Gelfand démontra cette équivalence en utilisant les propriétés des algèbres de Banach, obtenant ainsi une nouvelle démonstration du résultat de Wiener.

## La condition pour l'espace $L_2$

Soit f ∈ $L_2(R)$ une fonction de carré intégrable. Le sous-espace vectoriel engendré par les translatées de f, $f_a(x)$ = f(x+a), est dense dans $L_2(R)$ si et seulement si l'ensemble des zéros réels de la transformée de Fourier de f est négligeable, c'est-à-dire de mesure de Lebesgue nulle.

Le résultat correspondant pour les suites de $l_2(Z)$ est : Le sous-espace vectoriel engendré par les translatées d'une suite f ∈ $l_2(Z)$ est dense si et seulement si l'ensemble des zéros de la transformée de Fourier $\varphi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n){\rm {e}}^{-{\rm {i}}n\theta }$ est négligeable.

