Théorème de Midy
# Théorème de Midy

En mathématiques, le théorème de Midy, dû au mathématicien français Étienne $Midy^,,$ est un énoncé concernant le développement décimal périodique d'une fraction a/p (comprise, sans perte de généralité, entre 0 et 1), où p est un nombre premier (différent de 2 et 5) tel que la période soit paire. Une telle fraction s'écrit

    ${\frac {a}{p}}=0{,}{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{k}a_{k+1}\dots a_{2k}}}$

et le théorème établit que les chiffres dans la deuxième moitié de la période sont les compléments à 9 de ceux qui leur correspondent dans la première moitié. En d'autres termes :

$a_{i}+a_{i+k}=9$

ou encore :

$a_{1}\dots a_{k}+a_{k+1}\dots a_{2k}=10^{k}-1.$

Par exemple,

    ${\frac {3}{7}}=0{,}{\overline {428571}}{\text{ et }}428+571=999.$

On peut donner des preuves expéditives de ce théorème en utilisant la théorie des groupes. On peut aussi le démontrer par des calculs d'algèbre élémentaire et de congruence sur les entiers.

## Théorème de Midy dans d'autres bases

Le théorème de Midy ne dépend pas de propriétés particulières du développement décimal, c'est-à-dire qu'il est encore valable dans n'importe quelle base b non divisible par p, à condition bien sûr de remplacer $10^k$ – 1 par $b^k$ – 1 et 9 par b – 1.

(Accessoirement, on peut en déduire que si p > b et si b n'est pas un résidu quadratique modulo p, le chiffre de rang p + 1/2 du développement de 1/p en base b vaut b – 1.)

Par exemple, en base cinq :

    ${\frac {3}{7}}=0{,}{\overline {203241}}_{5}{\text{ et }}203_{5}+241_{5}=444_{5}.$

La seconde des deux formulations du théorème en base b = 10 données en introduction peut d'ailleurs s'interpréter comme un cas particulier de la première, pour un développement 2-périodique en base B = $10^k.$ De même, l'exemple ci-dessus, 6-périodique en base b = 5, se réécrit comme 2-périodique en base B = 125 :

    ${\frac {3}{7}}=0{,}{\overline {(53)(71)}}_{125}{\text{ et }}53+71=124.$

Compte tenu de cette remarque, le théorème de Midy en base quelconque s'écrit donc simplement : si p est un nombre premier ne divisant pas B et si le développement de a/p en base B s'écrit $0,a_1a_2a_1a_2…,$ alors $a_1$ + $a_2$ = B – 1.

## Théorème de Midy étendu

De même, on peut donner du théorème de Midy $étendu^,$ une reformulation simple :

   Si p est un nombre premier ne divisant pas B et si le développement a/p = $0,a_1a_2a_3…$ en base B est de période h > 1, alors $a_1$ + $a_2$ + … + $a_h$ est un multiple de B – 1 :
       $\sum _{i=1}^{h}a_{i}=s(B-1){\text{ avec }}0<s<h.$

L'encadrement de l'entier s vient du fait que les h chiffres, tous compris entre 0 et B – 1, ne peuvent pas être tous nuls ni tous égaux à B – 1, puisque h > 1.

Le théorème de Midy original est le cas h = 2 : dans ce cas, 0 < s < 2 donc s = 1.

Lorsque h > 2, s peut être supérieur à 1 ; pour h = 3, on a cependant encore s = 1 si a est égal à 1, 2 ou 3, sauf, dans certaines bases, si a = 3 et p = 7.

Par exemple, en reprenant 3/7, on a également :

* en bases cent et dix : $42+85+71=198=2\times 99{\text{ et }}4+2+8+5+7+1=27=3\times 9~;$
* en bases vingt-cinq et cinq (puisque $0,203241_5$ = $0,(10)(17)(21)_{25})$ : $10+17+21=2\times 24{\text{ et }}2+0+3+2+4+1=3\times 4.$

## Cas p non premier

Dans l'énoncé ci-dessus du théorème de Midy (même non étendu), la primalité de p est cruciale. Par exemple (en base mille) :

    ${\frac {1}{21}}=0,{\overline {(047)(619)}}_{1000}\quad {\text{mais}}\quad 047+619\neq 999.$

En effet, lorsqu'on ne suppose plus que p est un nombre premier ne divisant ni a ni B, mais seulement que p est un entier premier avec a et B, si la période — c'est-à-dire l'ordre multiplicatif de B mod p — est égale à 2, on n'a plus nécessairement B ≡ –1 mod p. Or c'est sous cette forme que le critère apparaît naturellement, dans une démonstration qui n'utilise même pas la 2-périodicité (elle s'en $déduit)^,$ :

   Soit a/p ∈ ]0, 1[ une fraction irréductible, de développement $0,a_1a_2a_3…$ en base B. Les chiffres $a_i$ vérifient $a_i$ + $a_{i+1}$ = B – 1 si et seulement si B ≡ –1 mod p.

Notons ε ∈ [0, 1] le réel représenté en base B par $0,a_2a_3a_{4…}.$ Ainsi, B a/p = $a_1$ + ε.

* Supposons que B ≡ –1 mod p (donc p et B sont premiers entre eux et le développement de a/p est unique). Puisque a/p + ε est à la fois entier (égal à a1 + b/p – $a_1)$ et strictement compris entre 0 et 2, il est égal à 1. Par unicité des développements $0,a_1a_2…$ et $0,a_2a_3…,$ on en déduit que $a_i$ + $a_{i+1}$ = B – 1.
* Réciproquement, supposons que $a_i$ + $a_{i+1}$ = B – 1. Alors, a1 + B/p est entier (égal à a/p + ε + $a_1$ = 1 + $a_1)$ donc (comme a et p sont premiers entre eux) p divise 1 + B, autrement dit : B ≡ –1 mod p.

On peut cependant remarquer — toujours en supposant que l'ordre multiplicatif de B mod p est 2, c'est-à-dire que p divise $B^2$ – 1 mais ne divise pas B – 1 — que si B – 1 est premier avec p (en particulier si p est une puissance d'un nombre premier impair), la condition B ≡ –1 mod p est encore automatiquement vérifiée.

## Preuve du théorème étendu

Soient p un nombre premier ne divisant pas la base B, et a/p une fraction strictement comprise entre 0 et 1 et dont le développement $0,a_1a_2…$ en base B est de période h > 1. On peut alors démontrer que h est l'ordre multiplicatif de B modulo p (c'est-à-dire le plus petit entier n tel que p divise $B^n$ − 1), en particulier p ne divise pas B − 1 (puisque h > 1) et N := $B^h$ – 1/p est un entier.

Notons m l'entier $B^h$ − 1/B − 1. Alors, pN = $B^h$ − 1 = m(B − 1) et p ne divise pas B − 1 donc il divise m, si bien que la fraction

    ${\frac {N}{B-1}}={\frac {m}{p}}$

est un entier. A fortiori :

    $aN\equiv 0{\pmod {B-1}}.$

Or l'entier aN est égal à $a/pB^h$ – a/p, donc s'écrit $a_1a_2…a_h$ en base B. Par conséquent, modulo B − 1, on a bien :

    $\sum _{i=1}^{h}a_{i}=\sum _{i=1}^{h}a_{i}1^{h-i}\equiv \sum _{i=1}^{h}a_{i}B^{h-i}=aN\equiv 0.$
