Lemme d'Auerbach
# Lemme d'Auerbach

En mathématique, le lemme d'Auerbach, qui porte le nom de Herman Auerbach, est un lemme d'analyse fonctionnelle qui affirme que certaines propriétés des espaces euclidiens sont valables pour des espaces vectoriels normés généraux de dimension finie.

## Énoncé

Lemme d'Auerbach — Soit (V, ||·||) un espace vectoriel normé réel ou complexe de dimension n. Alors il existe une base $(e_1,$ …, $e_n)$ de V telle que

    $|e_i|$ = 1 et $|e^i|$ = 1 pour i = 1, …, n

où $(e^1,$ …, $e^n)$ est la base de V* duale de $(e_1,$ …, $e_n),$ i. e. $e^i(e_j)$ = $δ_{ij}.$

Toute base ayant cette propriété est appelée base d'Auerbach normée.

Si V est un espace euclidien ou hermitien, ce résultat est évident car on peut prendre pour $(e_i)$ une base orthonormale de V (la base duale est alors constituée des formes linéaires $(e_i|·)).$

## Démonstration

Considérons l'application qui à tout n-uplet de vecteurs de V associe le module de son déterminant dans une base fixée. Sur la puissance n-ième de la sphère unité, qui est compacte, cette application continue admet un maximum M, obtenu pour un certain n-uplet $(e_1,$ …, $e_n),$ qui est une base puisque M est non nul. Les formes linéaires $e^i$ de la base duale sont de norme au moins 1 puisque $e^i(e_i)$ = 1. Mais elles sont aussi de norme au plus 1 : montrons-le par exemple pour la forme $e^1.$ Pour tout vecteur unitaire $v$, on a :

    $M\geq |D(v,e_{2},\ldots ,e_{n})|=|D(\sum _{i=1}^{n}e^{i}(v)e_{i},e_{2},\ldots ,e_{n})|=|\sum _{i=1}^{n}e^{i}(v)D(e_{i},e_{2},\ldots ,e_{n})|=|e^{1}(v)D(e_{1},\ldots ,e_{n})|=|e^{1}(v)|M$

et comme M est strictement positif, on en déduit bien :

    $|e^{1}(v)|\leq 1.$

## Corollaire

Le lemme a un corollaire qui a des applications à la théorie de l'approximation.

Corollaire — Soit V un sous-espace vectoriel de dimension n d'un espace vectoriel normé (X, ||·||). Alors il existe une projection P de X sur V telle que ||P|| ≤ n.

Soit $(e_1,$ ..., $e_n)$ une base d'Auerbach de V. D'après une version simplifiée du théorème de Hahn-Banach, chaque $e^i$ de la base duale correspondante peut être prolongée en une forme linéaire f $^i$ sur X telle que

    ||f $^i||$ = 1.

Soit maintenant

    P(x) = ∑ f $^i(x)$ $e_i.$

Il est aisé de vérifier que P est effectivement une projection sur V et que ||P|| ≤ n (cela résulte de l'inégalité triangulaire).

Ce résultat est loin d'être optimal : Kadec et Snobar ont prouvé qu'il existait même une projection de norme inférieure ou égale à √n, puis König et Tomczak-Jaegermann ont affiné cette majoration.

