Théorème de Hamilton
# Théorème de Hamilton

Le théorème de Hamilton est un théorème de géométrie du triangle, dû à William Rowan Hamilton :

   Soit ABC un triangle et H son orthocentre. Les triangles ABC, ABH, BCH et ACH ont le même cercle d'Euler.

Démonstration — Soient $I_A,$ $I_B,$ $I_C$ les milieux respectifs de [BC], [AC], [AB]. Soient $H_A,$ $H_B,$ $H_C$ les pieds des hauteurs issues respectivement de A, B, C. Soient $J_A,$ $J_B,$ $J_C$ les milieux respectifs de [HA], [HB], [HC].

On sait que le cercle d'Euler du triangle ABC passe par ces neuf points. Pour montrer le résultat, il suffit de considérer un à un les triangles intérieurs et vérifier que leurs cercles d'Euler passent par les mêmes points.

Dans le cas du triangle ABH, il apparait que C est son orthocentre, les pieds de ses hauteurs sont $H_A,$ $H_B,$ $H_C,$ les milieux de ses segments sont $J_A,$ $J_B,$ $I_C$ et les milieux des segments liant ses sommets à son orthocentre sont $I_A,$ $I_B,$ $J_C.$ Les triangles ABC et ABH ont donc bien le même cercle d'Euler.

On conclut en raisonnant de façon similaire sur BCH et CAH.

