Tore de Clifford
# Tore de Clifford

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, le tore de Clifford, nommé d'après William Kingdon Clifford, est le plongement le plus simple et le plus symétrique du 2-tore (c'est-à-dire du produit cartésien de deux cercles) dans l'espace $R^4.$

Projeté dans l'espace à trois dimensions (par exemple en projection stéréographique) il conserve sa topologie (et peut même s'identifier au tore ordinaire), mais il est impossible de conserver son absence de courbure.

En prenant pour les deux cercles le rayon $\textstyle {\sqrt {1/2}}$, le tore de Clifford peut s'identifier à un sous-ensemble de la 3-sphère unité ; on peut aussi le représenter dans le plan $C^2$ comme l'ensemble des points dont les deux coordonnées sont de module 1.

Le tore de Clifford est obtenu (en tant que variété riemanienne) en identifiant les bords opposé d'un carré ; la géométrie correspondante est donc euclidienne.

## Définitions

### Produit cartésien

Le cercle unité $S^1$ dans $R^2$ peut être paramétré par $S^{1}=\{(\cos \theta ,\sin \theta )\mid 0\leq \theta <2\pi \}$. Une autre copie étant paramétrée par un angle indépendant $S^{1}=\{(\cos \varphi ,\sin \varphi )\mid 0\leq \varphi <2\pi \}$, on définit le tore de Clifford comme le produit cartésien ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}\times {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}=\left\{\left.{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\cos \theta ,\sin \theta ,\cos \varphi ,\sin \varphi )\;\right|\;0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \right\}$, où le facteur ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ assure que tous les points sont dans la 3-sphère unité $S^3.$

### Construction à partir des nombres complexes

Dans le plan complexe C, le cercle unité peut se représenter par $S^{1}=\{e^{i\theta }\mid 0\leq \theta <2\pi \}$; le tore de Clifford s'identifie donc au sous-ensemble de $C^2$ $\{{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(e^{i\theta },e^{i\varphi })\,|\,0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \}$; autrement dit, ce sont les points de $C^2$ dont les coordonnées $(z_1,$ $z_2)$ vérifient$\left|z_{1}\right|^{2}=\left|z_{2}\right|^{2}=1/2$.

### Autres paramétrages

Le tore de Clifford peut également se paramétrer à l'aide des coordonnées de Hopf : tout point de la 3-sphère s'écrit $(\cos \lambda \cos \theta ,\cos \lambda \sin \theta ,\sin \lambda \cos \varphi ,\sin \lambda \sin \varphi )$, le tore correspond à $\lambda =\pi /4$ et il partage la 3-sphère en deux régions isomorphes au tore plein : $\pi /4<\lambda <5\pi /4$ et $\pi /4<\lambda <5\pi /4$, et transformées l'une en l'autre par la symétrie centrale $\lambda \mapsto \lambda +\pi$.

Le calcul des dérivées partielles de ces paramétrages et l'équation d'Euler-Lagrange permettent de montrer que le tore de Clifford est une surface minimale de $S^3.$

### Définition générale

Plus généralement, avec la représentation paramétrique précédente, les points de la 3-sphère ayant pour coordonnées $(\cos \lambda \cos \theta ,\cos \lambda \sin \theta ,\sin \lambda \cos \varphi ,\sin \lambda \sin \varphi )$, avec $\lambda$ fixé différent de $k\pi /2$, forment encore un tore appelé souvent également tore de Clifford (mais ce n'est plus une surface minimale en général).

## Tores de Clifford en dimensions supérieures

La sphère unité $S^{2n−1}$ d'un espace euclidien de dimension paire $R^{2n}$ (identifié à $C^n)$ est l'ensemble des n-uplets de coordonnées complexes vérifiant $S^{2n-1}=\{(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}:|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}=1\}.$ Toute famille de nombres positifs $r_1,$ ..., $r_n$ tels que $r_1^2$ + ... + $r_n^2$ = 1 définit alors un tore de Clifford généralisé par

    $T_{r_{1},\ldots ,r_{n}}=\{(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}:|z_{k}|=r_{k},~1\leqslant k\leqslant n\}$, certains de ces tores étant dégénérés si l'un des $r_i$ est nul ; l'ensemble de ces tores constitue une fibration de la sphère $S^{2n−1}.$

## Applications

En géométrie symplectique, le tore de Clifford est un exemple de sous-variété lagrangienne de $C^2.$

La conjecture de Lawson (en) affirme que tout plongement minimal d'un tore dans la 3-sphère est un tore de Clifford ; elle a été démontrée par Simon Brendle in 2012.

