Théorème de Herbrand-Ribet
# Théorème de Herbrand-Ribet

Le théorème de Herbrand-Ribet renforce le théorème de Kummer selon lequel le nombre premier p divise le nombre de classes du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité si et seulement si p divise le numérateur du n-ième nombre de Bernoulli $B_n$ pour un certain entier n strictement compris entre 0 et p-1. Le théorème de Herbrand-Ribet précise ce que veut dire, en particulier, l'éventuelle divisibilité par p de $B_n.$

Le groupe de Galois $\Sigma$ du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité pour un nombre premier impair p, ℚ(ζ) avec $\zeta ^{p}=1$, est constitué des $p-1$ éléments $\sigma _{a}$, où $\sigma _{a}$ est défini par le fait que $\sigma _{a}(\zeta )=\zeta ^{a}$. Comme conséquence du petit théorème de Fermat, dans l'anneau des entiers p-adiques $ℤ_p,$ nous avons $p-1$ racines de l'unité, chacune d'elles est congrue mod p à un certain nombre dans l'intervalle 1 à p - 1 ; nous pouvons par conséquent définir un caractère de Dirichlet $\omega$ (le caractère de Teichmüller) à valeurs dans $ℤ_p$ en requérant que pour n premier à p, ω(n) soit congru à n modulo p. Le p-composant du groupe de classes, c'est-à-dire le sous-groupe de ce groupe formé par les éléments dont les ordres sont des puissances de p, est un $ℤ_p-module,$ et nous pouvons appliquer les éléments de l'anneau $ℤ_p[Σ]$ vers elle et obtenir les éléments du groupe de classes. Nous pouvons maintenant définir un élément idempotent de l'anneau pour chaque n de 1 à p - 1, comme

$\epsilon _{n}={\frac {1}{p-1}}\sum _{a=1}^{p-1}\omega (a)^{n}\sigma _{a}^{-1}$

Nous pouvons maintenant séparer la p-composante du groupe G des classes d'idéaux de ℚ(ζ) par identification des idempotents ; si G est le groupe des classes d'idéaux, alors $G_{n}=\epsilon _{n}(G)$.

Alors, nous avons le théorème de Herbrand-Ribet : $G_{n}$ est non trivial si et seulement si p divise le nombre de Bernoulli $B_{p-n}$. La partie exprimant p divise $B_{p-n}$ si $G_{n}$ est non trivial est due à Jacques Herbrand. La réciproque (si $p$ divise $B_{p-n}$ alors $G_{n}$ est non trivial) est due à Ken Ribet, et est considérablement plus difficile. Par la théorie des corps de classes, ceci n'est possible que s'il existe une extension non ramifiée du corps des racines $p$-ièmes de l'unité par une extension cyclique de degré $p$ qui se comporte de la manière prescrite sous l'action de $\Sigma$ ; Ribet démontra ceci en 1976, par une construction concrète d'une telle extension.

