Théorème de sélection de Michael
# Théorème de sélection de Michael

En mathématiques, le théorème de sélection de Michael, est un théorème d'analyse fonctionnelle démontré en 1956 par Ernest Michael $(en)^,.$ Il s'énonce comme suit :

   Si X est un espace paracompact alors, toute multifonction hémicontinue inférieurement Γ, de X dans un espace de Banach E et à valeurs des convexes fermées non vides, possède une « sélection » continue, c'est-à-dire qu'il existe une application continue f : X → E telle que pour tout x de X, f(x) appartienne à Γ(x).

Michael a aussi démontré la réciproque, si bien que cette propriété caractérise les espaces paracompacts (parmi les espaces séparés).

## Démonstration

Soit d la distance associée à la norme sur E. On construit par récurrence une suite de fonctions continues $f_n$ vérifiant, pour tout entier naturel n et tout x dans X : $d(f_n(x),$ Γ(x)) < $2^{–n}$ et $d(f_{n+1}(x),$ $f_n(x))$ < $3.2^{–n–1}.$ Le lemme ci-dessous permet en effet de construire une fonction $f_0$ à distance constamment < 1 de $φ_0$ := Γ puis, pour tout n > 0, une fonction $f_n$ à distance constamment < $2^{–n}$ de $φ_n$ := $Γ∩B(f_{n–1},$ $2^{–n+1}).$ La limite uniforme des $f_n$ constitue alors une sélection continue pour Γ.

   Lemme — Soient X un espace paracompact, V un espace vectoriel normé et φ : X → V une multifonction hémicontinue inférieurement, à valeurs convexes non vides. Pour tout r > 0, la multifonction B(φ, r) : x ↦ { y∈Y | d(y, φ(x)) < r } possède une sélection continue.

Ce lemme est un cas particulier du théorème suivant.

## Théorème de sélection de Browder

Théorème — Soient X un espace paracompact et Y un espace vectoriel topologique. Toute multifonction ψ : X → Y à valeurs convexes non vides et à valeurs inverses ouvertes possède une sélection continue.

Pour tout vecteur y de Y, notons $U_y$ la valeur inverse de ψ en y, c'est-à-dire l'ouvert (éventuellement vide) des x tels que y ∈ ψ(x). Soit $(g_y)_{y∈Y}$ une partition de l'unité localement finie subordonnée au recouvrement de X par les $U_y.$ Alors, la fonction

$x\mapsto \sum _{y\in Y}g_{y}(x)y$

## Théorème de Bartle-Graves

Un corollaire du théorème de sélection de Michael est le théorème de Bartle-Graves :

Théorème — Toute surjection linéaire continue d'un espace de Banach dans un autre possède une section continue.

