Suite des nombres gâteaux
# Suite des nombres gâteaux

En mathématiques, le nombre gâteau d'ordre n, noté $G_{n}$, est le nombre maximum de régions obtenues en coupant un cube par n plans. Son appellation vient de ce qu'il représente le nombre maximal de parts que l'on peut obtenir dans un gâteau en effectuant n coups de couteau.

Les valeurs de $G_{n}$ pour $n\geqslant 0$ sont données par la suite A000125 de l'OEIS :

1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232,... .

C'est un exemple de suite commençant par 1, 2, 4, 8 qu'il ne faut pas continuer par 16, 32, etc.

## Formules générales

Le nombre gâteau correspondant à n découpes est donné par les formules :

    $G_{n}={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+{n \choose 3}={\tfrac {1}{6}}\left(n^{3}+5n+6\right)={\tfrac {1}{6}}\left(n+1)(n(n-1)+6\right).$

## Propriétés

Le seul nombre gâteau premier est 2.

La suite des nombres gâteaux est l'analogue tridimensionnel de la suite du traiteur paresseux en dimension deux. La suite des différences entre deux nombres gâteaux successifs donne également la suite du traiteur paresseux.

La suite des nombres gâteaux est donnée par la quatrième colonne du triangle de Bernoulli complété, soit $G_{n}=B_{n,3}$.

Elle s'obtient en effectuant la somme des 4 premières colonnes du triangle de Pascal.

## Démonstration

Supposons qu'il y ait déjà n – 1 plans découpant le "gâteau" en un nombre maximal $G_{n-1}$ de morceaux, et ajoutons un plan. Ce plan va couper chacun des n – 1 plans suivant n – 1 droites. Ces droites découpent dans ce nouveau plan un nombre de régions égal au maximum à $B_{n-1,2}$ (suite du traiteur paresseux). Chacune de ces régions est une cloison séparant en deux un morceau précédent. Il y a donc $B_{n-1,2}$ morceaux qui sont coupés en deux, créant ainsi autant de nouveaux morceaux en plus des $G_{n-1}$ déjà présents ; donc $G_{n}=B_{n-1,2}+G_{n-1}$ ; en itérant, on obtient que $G_{n}=B_{n-1,2}+B_{n-2,2}+\cdots +B_{0,2}+G_{0}=B_{n-1,2}+B_{n-2,2}+\cdots +B_{0,2}+1$ ; ce nombre est bien $B_{n,3}={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+{n \choose 3}$ (voir l'article triangle de Bernoulli).

Plus généralement, le nombre maximal de morceaux que l'on peut obtenir en coupant un hypercube de ${\mathbb {R}}^{k}$ par n hyperplans affines est égal à $B_{n,k}={n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose k}$.

