Théorème de Hadwiger
# Théorème de Hadwiger

Le théorème de Hadwiger est un théorème de géométrie intégrale (aussi appelée théorie des probabilités géométriques). Il caractérise les valuations sur les volumes convexes dans $\mathbb {R} ^{n}$. Le théorème a été prouvé par Hugo Hadwiger.

## Préliminaires

### Valuations

Soit $K^{n}$ la famille de tous les ensembles convexes et compacts dans $\mathbb {R} ^{n}$. Une valuation est une fonction $v:K^{n}\to \mathbb {R}$ telle que $v(\emptyset )=0$ et

    $v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)~.$

pour tous $S,T\in K^{n}$ tels que $S\cup T\in K^{n}$.

Une valuation est dite continue si elle est continue pour la métrique de Hausdorff. Une valuation est dite invariante par déplacements si $v(\phi (S)=v(S)$ pour $S\in K^{n}$ et pour toute fonction $\phi$ qui est une translation ou une rotation de $\mathbb {R} ^{n}$.

### Intégrales quermass

Les intégrales quermass $W_{j}:K^{n}\to \mathbb {R}$ sont définies via la formule de Steiner :

    $\mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}~,$

où $B$ est la boule euclidienne. Par exemple, $W_{0}$ est le volume, $W_{1}$ est proportionnel à la mesure de surface, $W_{n-1}$ est proportionnel à la largeur moyenne et $W_{n}$ est la constante $\mathrm {Vol} _{n}(B)$. $W_{j}$ est une valuation homogène de degré $n-j$, c'est-à-dire

    $W_{j}(tK)=t^{n-j}W_{j}(K)~,\quad t\geq 0~.$

## Énoncé

Théorème de Hadwiger —  Toute valuation continue $v$ sur $K^{n}$ qui est invariante par déplacements peut être représentée sous la forme

    $v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}W_{j}(S)~.$

## Corollaire

Toute valuation continue $v$ sur $K^{n}$ invariante par déplacements et homogène de degré $j$ est un multiple de $W_{n-j}$.

