Taux d'évolution
# Taux d'évolution

$V_{D}=200$

$V_{A}=230$

$t={\frac {230-200}{200}}=15\%$

En mathématiques, le taux d'évolution permet de quantifier l'évolution d'une grandeur numérique entre deux dates. Si cette grandeur passe d'une valeur de départ $V_D$ à une valeur d'arrivée $V_A,$ le taux d'évolution est donné en pourcentage par la formule :

    $t={\frac {V_{A}-V_{D}}{|V_{D}|}}.$
    Note : pour ne pas avoir de problème de signe inversé dans certains cas, il faut utiliser la valeur absolue pour le dénominateur.

Il est souvent distingué d'un simple taux par l'indication du signe « + » lorsqu'il est positif. Il n'y a pas de risque de confusion lorsqu'il est négatif, c'est-à-dire si la valeur d'arrivée est inférieure à la valeur de départ. Il peut aussi dépasser +100 % si la valeur d'arrivée est supérieure au double de la valeur de départ.

Le taux d'évolution réciproque se calcule avec la même formule en intervertissant les valeurs $V_{D}$ et $V_{A}$.

Ces taux ne dépendent pas de l'unité de mesure avec laquelle la grandeur est exprimée et restent constants pour une grandeur qui évolue suivant une progression géométrique.

Le taux d'évolution permet aussi de calculer le coefficient multiplicateur $c$ entre les deux valeurs considérées. Si $V_{D}>0$, ce coefficient multiplicateur est donné par la formule :

    $c=1+t$

qui permet alors de calculer l'une des deux valeurs connaissant l'autre par la relation $V_{A}=cV_{D}$.

## Additivité des taux faibles

Les taux faibles (entre −2 % et +2 %) sont approximativement additifs :

* le taux d'évolution global correspondant à deux évolutions successives faibles est proche de la somme des taux correspondants ;
* le taux d'évolution réciproque est proche de l'opposé du taux d'évolution directe.

Ces propriétés se démontrent à l'aide d'un développement limité à l'ordre 1 de la multiplication des coefficients multiplicateurs :

    $(1+t_{1})\times (1+t_{2})=1+t_{1}+t_{2}+t_{1}t_{2}\approx 1+(t_{1}+t_{2})$

et de l'inverse :

    $(1+t)^{-1}=1-t+t^{2}-t^{3}+t^{4}-t^{5}+\dots \approx 1-t.$
