Graphe de Hajós
# Graphe de Hajós

Le graphe de Hajós est, en théorie des graphes, un graphe possédant 6 sommets et 9 arêtes.

## Propriétés

### Propriétés générales

Le diamètre du graphe de Hajós, l'excentricité maximale de ses sommets, est 2, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 2 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 2-sommet-connexe et d'un graphe 2-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 2 sommets ou de 2 arêtes.

### Coloration

Le nombre chromatique du graphe de Hajós est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe de Hajós est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes du graphe de Hajós. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. C'est une fonction polynomiale et le polynôme qui lui est associé est qualifiée de polynôme chromatique. Ce polynôme de degré 6 admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 3. Il est égal à : $(x-2)^{4}(x-1)x$.

### Propriétés algébriques

Le groupe d'automorphismes du graphe de Hajós est un groupe d'ordre 6 isomorphe au groupe symétrique $S_3.$

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Hajós est : $(x^{2}-2x-4)(x^{2}+x-1)^{2}$.

