Règles de Bioche
# Règles de Bioche

En mathématiques, et plus précisément en analyse, les règles de Bioche sont des règles de changement de variable dans le calcul d'intégrales comportant des fonctions trigonométriques.

## Les règles et leur justification

Ces règles ont été formulées par Charles Bioche lorsqu'il était professeur en mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand. Dans la suite, f(t) est une expression rationnelle en sin(t) et cos(t), c'est-à-dire une expression obtenue à l'aide de sin(t), cos(t), des nombres réels et les quatre opérations +, –, ×, / ; on peut encore écrire $f(t)={\frac {P(\sin t,\cos t)}{Q(\sin t,\cos t)}}$, où P et Q sont des polynômes à deux variables, à coefficients réels.

Ainsi, pour calculer $\int f(t)\,\mathrm {d} t$, on forme l'intégrande : ω(t) = f(t)dt. Ensuite,

* si ω(–t) = ω(t), un changement de variable judicieux est u(t) = cos(t) ;
* si ω(π – t) = ω(t), un changement de variable judicieux est u(t) = sin(t) ;
* si ω(π + t) = ω(t), un changement de variable judicieux est u(t) = tan(t) ;
* si deux des trois relations précédentes sont vraies (dans ce cas les trois relations sont vraies), un changement de variable judicieux est u(t) = cos(2t) ;
* dans les autres cas, le changement de variable u(t) = tan(t/2) s'avère souvent judicieux (voir « Formules trigonométriques impliquant la tangente de l'arc moitié »).

D'un point de vue mnémotechnique, ces règles sont peut-être plus simples à retenir sous cette première forme. Mais on les trouve souvent exposées plutôt par rapport à f, ce qui donne respectivement pour les deux premières (en tenant compte du fait que d(–t) = d(π – t) = –dt) :

* « si f est impaire, utiliser x = cos t »
* « si f est telle que f(π – t) = –f(t), utiliser x = sin t ».

Ces règles peuvent en fait être énoncées comme un théorème : on démontre que le changement de variable proposé conduit (si la règle s'applique, et si f est bien de la forme $f(t)={\frac {P(\sin t,\cos t)}{Q(\sin t,\cos t)}}$) à l'intégration d'une fraction rationnelle en la nouvelle variable, qui se calcule par décomposition en éléments simples.

## Cas des polynômes

Pour calculer l'intégrale $\int \sin ^{p}(t)\cos ^{q}(t)\,\mathrm {d} t$, la règle de Bioche s'applique également.

* Si p et q sont impairs, on emploie u = cos(2t) ;
* Si p est impair et q pair, on emploie u = cos t ;
* Si p est pair et q impair, on emploie u = sin t ;
* Sinon, on en est réduit à linéariser.

## Autre version pour les fonctions hyperboliques

Soit à calculer $\int {g(\cosh t,\sinh t)\,\mathrm {d} t}$.

Si les règles de Bioche suggèrent de calculer $\int {g(\cos t,\sin t)\,\mathrm {d} t}$ par u = cos t (resp. sin t, tan t, cos(2t), tan(t/2)), dans le cas de cosinus et sinus hyperboliques un changement de variable judicieux est u = cosh t (resp. sinh t, tanh t, cosh(2t), tanh(t/2)).

Dans tous les cas, le changement de variable u = $e^t$ permet de se ramener à une primitive de fraction rationnelle, ce dernier changement de variable étant plus intéressant dans le quatrième cas (u = tanh(t/2)).

## Référence

* ↑ Voir par exemple L. G. Vidiani, « Règles de Bioche », Revue de mathématiques et de sciences physiques,‎ octobre 1976, p. 1-2 (lire en ligne), ou le chapitre correspondant sur Wikiversité.
