S-matrice (mathématiques)
# S-matrice (mathématiques)

En mathématiques, une S-matrice est une matrice carrée réelle dont l'image de l'orthant positif intersecte l'intérieur de cet orthant. Ces matrices apportent des propriétés particulières aux problèmes de complémentarité linéaire.

## Définitions

Les propriétés équivalentes pouvant servir de définition aux S-matrices requièrent que l'on précise quelques notations et rappelle la définition d'un problème de complémentarité linéaire.

* Pour un vecteur $x\in \mathbb {R} ^{n}$, la notation $x\geqslant 0$ signifie que toutes les composantes $x_{i}$ du vecteur sont positives et la notation $x>0$ signifie que toutes les composantes du vecteur sont strictement positives.
* Étant donnés une matrice réelle carrée d'ordre $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ et un vecteur $q\in \mathbb {R} ^{n}$, un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur $x\in \mathbb {R} ^{n}$ tel que $x\geqslant 0$, $Mx+q\geqslant 0$ et $x^{\!\top }(Mx+q)=0$ (ce qui revient à dire que le produit de Hadamard de $x$ et $Mx+q$ est nul), ce que l'on écrit de manière abrégée comme suit : ${\mbox{CL}}(M,q):\qquad 0\leqslant x\perp (Mx+q)\geqslant 0.$

S-matrice — On dit qu'une matrice carrée réelle $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ est une S-matrice si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

* il existe un $x\geqslant 0$ tel que $Mx>0$,
* il existe un $x>0$ tel que $Mx>0$,
* $\forall \,q\in \mathbb {R} ^{n}$, le problème $\operatorname {CL} (M,q)$ est réalisable.

On note $\mathbf {S}$ l'ensemble des S-matrices d'ordre quelconque. On appelle S-matricité la propriété d'une matrice d'appartenir à $\mathbf {S} .$

La lettre S renvoie à Stiemke.

