Réarrangement symétrique décroissant
# Réarrangement symétrique décroissant

En analyse à plusieurs variables, le réarrangement symétrique $décroissant^,$ d'une fonction f de $ℝ^n$ dans ℝ est une fonction symétrique décroissante dont les ensembles de sur-niveau sont de même taille que ceux de f.

## Définition pour les ensembles

Le réarrangement A* d'une partie mesurable A de $ℝ^n$ est la boule ouverte de $ℝ^n$ de centre 0 et de volume égal à celui de A. Formellement :

$A^{*}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}~|~\omega _{n}|x|^{n}<|A|\},$

où $ω_n$ est le volume de la boule unité et |A| est le volume de A.

## Définition pour les fonctions

Soit f une fonction mesurable positive et, pour tout réel t, $\scriptstyle \mathbb {I} _{[f>t]}$ la fonction indicatrice de son ensemble de sur-niveau t, c'est-à-dire de l'ensemble

$[f>t]:=\{y~|~f(y)>t\}.$

Le réarrangement f* de f est défini par

$f^{*}(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[f>t]^{*}}(x)~\mathrm {d} t.$

## Propriétés

* Pour toute partie mesurable A,$(\mathbb {I} _{A})^{*}=\mathbb {I} _{A^{*}}.$En effet, pour toute fonction positive g,$g(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[g>t]}(x)~\mathrm {d} t.$
* f* est symétrique (c'est-à-dire que f*(x) est fonction uniquement de la norme euclidienne de x) et décroissante (en tant que fonction de cette norme).
* Les ensembles de sur-niveau de f* sont les réarrangements de ceux de f et ont par conséquent même mesure, c'est-à-dire que pour tout réel t,$[f^{*}>t]=[f>t]^{*}{\text{ donc }}|~[f^{*}>t]~|=|~[f>t]~|.$
* Le réarrangement préserve l'ordre :$f\leq g\Rightarrow f^{*}\leq g^{*}.$
* Si f appartient à l'espace $L^p,$ alors f* aussi et$\|f^{*}\|_{p}=\|f\|_{p}.$
* Le réarrangement fait décroître la distance dans $L^p$ : si f et g appartiennent à $L^p,$ alors$\|f^{*}-g^{*}\|_{p}\leq \|f-g\|_{p}.$
* Inégalité de Hardy-Littlewood :$\int fg\leq \int f^{*}g^{*}.$
* Inégalité de Pólya-Szegő (it) : si 1 ≤ p < ∞ et si f appartient à l'espace de Sobolev W $^{1,p},$ alors$\|\nabla (f^{*})\|_{p}\leq \|\nabla f\|_{p}.$

## Applications

* L'inégalité de Pólya-Szegő donne, dans le cas limite p = 1, l'inégalité isopérimétrique.
* En utilisant certaines relations avec les fonctions harmoniques, on peut démontrer l'inégalité de Rayleigh-Faber-Krahn (en).
