Graphe de Doyle
# Graphe de Doyle

Le graphe de Doyle (ou graphe de Holt) est, en théorie des graphes, un graphe 4-régulier possédant 27 sommets et 54 arêtes. C'est le plus petit graphe exemple de graphe étant sommet-transitif et arête-transitif mais pas $symétrique^,.$ De tels graphes sont rares. Il doit son nom à Peter G. Doyle et Derek F. Holt qui le découvrirent tous deux de façon indépendante en 1976 et 1981 respectivement.

## Propriétés

### Propriétés générales

Le diamètre du graphe de Doyle, l'excentricité maximale de ses sommets, est 3, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 3 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 5. Il s'agit d'un graphe 4-sommet-connexe et d'un graphe 4-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 4 sommets ou de 4 arêtes.

C'est également un graphe hamiltonien avec 98 472 cycles hamiltoniens distincts.

### Coloration

Le nombre chromatique du graphe de Doyle est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 2-coloration valide du graphe.

L'indice chromatique du graphe de Doyle est 5. Il existe donc une 5-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

### Propriétés algébriques

Le groupe d'automorphismes du graphe de Doyle est un groupe d'ordre 54.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Doyle est : $-(x-4)(x-1)^{4}(x+2)^{4}(x^{3}-6x+2)^{6}$.

