Principe variationnel d'Ekeland
# Principe variationnel d'Ekeland

Le principe variationnel d'Ekeland est un théorème d'analyse mathématique, découvert par Ivar $Ekeland^,^,,$ qui garantit l'existence de solutions presque optimales à certains problèmes d'optimisation.

Il peut être utilisé lorsque l'espace métrique des variables du problème d'optimisation n'est pas compact — ce qui empêche d'appliquer le théorème de Bolzano-Weierstrass — mais seulement complet.

Sa forme faible permet de démontrer rapidement le théorème du point fixe de Caristi. De plus, cette propriété des espaces complets les caractérise (parmi les espaces métriques).

## Énoncé

Soient :

* (X, d) un espace métrique complet,
* f : X → une application semi-continue inférieurement et non constamment égale à +∞,
* ε un réel strictement positif et
* x un point de X tel que f(x) ≤ ε + inf(f(X)).

Alors, pour tout δ > 0, il existe un point y de X tel que :

* $f(y)\leq f(x),$
* $d(x,y)\leq \delta {\text{ et}}$
* $\forall z\in X\setminus \{y\}\quad f(z)>f(y)-{\varepsilon \over \delta }d(y,z).$

## Variantes

L'énoncé usuel ci-dessus équivaut à son cas particulier ε = δ = 1 (en remplaçant f par f/ε et d par d/δ), ainsi qu'aux quatre variantes suivantes. Il est commode, pour formuler et démontrer tous ces théorèmes, d'associer à f le préordre ≼ défini par : u ≼ v ⇔ f(u) + d(u, v) ≤ f(v).

   Soient (X, d) un espace métrique complet et f : X → [0, +∞] une application semi-continue inférieurement et non constamment égale à +∞.
   * Tout point de X possède un ≼-minorant $≼-minimal^,^,.$

   * Tout point de X dont l'image par f est inférieure ou égale à 1 + inf(f(X)) possède un ≼-minorant ≼-minimal.

   * « Forme faible » — Il existe dans X un élément ≼-minimal dont l'image par f est inférieure ou égale à 1 + inf(f(X)).

   * Il existe dans X un élément ≼-minimal.

## Démonstrations

Dans les variantes ci-dessus, on a évidemment 1 ⇒ 2, 3 ⇒ 4 et, en notant 2½ la version ε = δ = 1 de l'énoncé usuel, 2 ⇒ 2½ et 2½ ⇒ 3.

* Preuve de 1 : à partir de $y_0$ = x, on définit par récurrence une suite $(y_n),$ en notant $F_n$ l'ensemble des ≼-minorants de $y_n$ et en choisissant dans $F_n$ un point $y_{n+1}$ tel que $f(y_{n+1})$ ≤ 1/(n + 1) + $inf(f(F_n)).$ L'unique point y commun aux fermés $F_n$ est alors solution.
* 4 ⇒ 1, en changeant d'espace : le sous-espace des ≼-minorants d'un point arbitraire de X est fermé donc complet.
* Si X vérifie 3 (ou même seulement 4) pour toute application f comme dans l'énoncé, alors il est $complet^,$ : soit $(y_n)$ une suite de Cauchy dans X. L'application f définie sur X par f(x) = 2 $lim_{n→∞}$ $d(y_n,$ x) est uniformément continue. Soit y minimal pour l'ordre ≼ associé à f. Pour tout entier naturel m, $f(y_m)$ + $d(y_m,$ y) ≥ f(y) donc par passage à la limite, 0 + f(y)/2 ≥ f(y), par conséquent f(y) = 0, autrement dit $(y_n)$ converge vers y.
