Empilement de cercles dans un carré
# Empilement de cercles dans un carré

L'empilement de cercles dans un carré est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des cercles unités identiques de nombre n dans le carré le plus petit possible. De manière équivalente, l'objectif est de disposer n points dans un carré visant à obtenir le moins de séparation, $d_n,$ entre les points.

Pour passer d'une formulations du problème à l'autre, le côté du carré des cercles unitaires sera $L=2+{\frac {2}{d_{n}}}$.

Des solutions (pas nécessairement optimales) ont été calculées pour chaque n≤10 000. Les solutions allant jusqu'à n = 20 sont indiquées ci-dessous.

| Nombre de cercles (n) | Longueur du côté du carré (L) | $d_n$ | Densité (n/L^2) |
| - | - | - | - |
| 1 | 2 | ∞ | 0,25 |
| 2 | $2+{\sqrt {2}}$ ≈ 3,414... | ${\sqrt {2}}$ ≈ 1,414... | 0,172... |
| 3 | $2+{\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {6}}{2}}$ ≈ 3,931... | ${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$ ≈ 1,035... | 0,194... |
| 4 | 4 | 1 | 0,25 |
| 5 | $2+2{\sqrt {2}}$ ≈ 4,828... | ${\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}$ ≈ 0,707... | 0,215... |
| 6 | $2+{\frac {12}{\sqrt {13}}}$ ≈ 5,328... | ${\frac {1}{6}}{\sqrt {13}}$ ≈ 0,601... | 0,211... |
| 7 | $4+{\sqrt {3}}$ ≈ 5,732... | $4-2{\sqrt {3}}$ ≈ 0,536... | 0,213... |
| 8 | $2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ ≈ 5,863... | ${\frac {1}{2}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})$ ≈ 0,518... | 0,233... |
| 9 | 6 | 0,5 | 0,25 |
| 10 | 6,747... | 0,421...  A281065 | 0,220... |
| 11 | 7,022... | 0,398... | 0,223... |
| 12 | $2+15{\sqrt {\frac {2}{17}}}$ ≈ 7,144... | 0,389... | 0,235... |
| 13 | 7,463... | 0,366... | 0,233... |
| 14 | $6+{\sqrt {3}}$ ≈ 7,732... | 0,348... | 0,226... |
| 15 | $4+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ ≈ 7,863... | 0,341... | 0,243... |
| 16 | 8 | 0,333... | 0,25 |
| 17 | 8,532... | 0,306... | 0,234... |
| 18 | $2+{\frac {24}{\sqrt {13}}}$ ≈ 8,656... | 0,300... | 0,240... |
| 19 | 8,907... | 0,290... | 0,240... |
| 20 | ${\frac {130}{17}}+{\frac {16}{17}}{\sqrt {2}}$ ≈ 8,978... | 0,287... | 0,248... |
