Produit infini de Cantor
# Produit infini de Cantor

En mathématiques, le produit infini de Cantor est un produit infini particulier défini par récurrence permettant d'exprimer tout nombre réel strictement supérieur à 1. Il a été introduit par Georg Cantor en 1869 .

## Énoncé du théorème de décomposition

Tout nombre réel $x_0$ strictement plus grand que 1 s'exprime, de manière unique, sous la forme d'un produit infini de Cantor :

$x_{0}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)},$

où les $a_{n}$ sont des entiers naturels non nuls, vérifiant pour tout naturel n $a_{n+1}\geqslant a_{n}^{2}$, et $a_{n}\geqslant 2$ pour n assez $grands^,.$

## Construction du produit

On définit les nombres suivants, où $\left\lfloor x\right\rfloor$ représente la partie entière de x :

$a_{0}=\left\lfloor {\frac {x_{0}}{x_{0}-1}}\right\rfloor$, $x_{1}={\frac {x_{0}}{1+{\frac {1}{a_{0}}}}}$.

De $a_{0}+1>{\frac {x_{0}}{x_{0}-1}}$ on déduit aisément que $x_1$ > 1. On peut donc itérer le principe précédent et obtenir :

$a_{n}=\left\lfloor {\frac {x_{n}}{x_{n}-1}}\right\rfloor$, $x_{n+1}={\frac {x_{n}}{1+{\frac {1}{a_{n}}}}}$.

## Caractérisation des nombres $rationnels^,.$

Théorème — $x_{0}$ est un nombre rationnel si et seulement si $a_{n+1}=a_{n}^{2}$ à partir d'un certain rang.

## Exemples

* Pour tout entier $a\geqslant 2$, ${\frac {a}{a-1}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a^{2^{n}}}}\right)}$ ; la suite $(a_{n})=(a^{2^{n}})$ vérifie bien $a_{n+1}=a_{n}^{2}$.
* ${\sqrt {2}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)}=\left(1+{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{17}}\right)\left(1+{\frac {1}{577}}\right)\cdots$, avec $a_{0}=3$ et $a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1$ , voir la suite A001601 de l'OEIS.

D'après le théorème précédent, on voit donc que √2 est un nombre irrationnel (même s'il y a beaucoup plus simple pour le $démontrer)^,.$

* Plus généralement, Pour tout entier $a\geqslant 2$, ${\sqrt {\frac {a+1}{a-1}}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)}$, avec $a_{0}=a$ et $a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1$$^,.$

L'intérêt premier du développement en produit de Cantor est la rapidité de convergence de l'algorithme, ce qui en fait un candidat intéressant pour une implémentation sur calculatrice.

