Problème de Lemoine
# Problème de Lemoine

En mathématiques, le problème de Lemoine est un certain problème de construction en géométrie plane élémentaire posé par le mathématicien français Émile Lemoine (1840-1912) en $1868^,.$ Le problème a été publié dans la Question 864 dans Nouvelles annales de mathématiques (Série 2, Volume 7 (1868), p 191). L'intérêt principal du problème est qu'une discussion de la solution du problème par Ludwig Kiepert publiée dans Nouvelles Annales de Mathématiques (série 2, Volume 8 (1869), pp 40-42) contenait une description d'une hyperbole qui est maintenant connue comme l'hyperbole de $Kiepert^,.$

## Énoncé du problème

La question publiée par Lemoine pose le problème de construction suivant :

   Étant donné un sommet de chacun des triangles équilatéraux placés sur les côtés d'un triangle, construire le triangle d'origine.

## La solution de Ludwig Kiepert

Kiepert établit la validité de sa construction en démontrant quelques lemmes.

Problème — Soient $A_1,$ $B_1,$ $C_1$ les sommets des triangles équilatéraux placés sur les côtés d'un triangle ABC . Étant donné $A_1,$ $B_1,$ $C_1$ construire A, B, C.

Lemme 1 — Si sur les trois côtés d'un triangle quelconque ABC, on décrit des triangles équilatéraux $ABC_1,$ $ACB_1,$ $BCA_1,$ alors les segments de droite $AA_1,$ $BB_1,$ $CC_1$ sont égaux, ils sont concourantes en un point P, et les angles qu'ils forment sont égaux à 60°.

Ce point P est le point de Fermat du triangle de référence.

Lemme 2 — Si sur $A_1$ $B_1$ $C_1$ on fait la même construction que sur ABC, on aura trois triangles équilatéraux $A_1B_1C_2,$ $A_1C_1B_2,$ $B_1C_1A_2,$ trois segments de droite égaux $A_1A_2,$ $B_1B_2,$ $C_1C_2,$ qui concourront également au point P.

Lemme 3 — A, B, C sont respectivement les milieux de $A_1A_2,$ $B_1B_2,$ $C_1C_2.$

Solution — Pour construire le triangle solution :

* Décrire sur les segments $A_1B_1,$ $A_1C_1,$ $B_1C_1$ les triangles équilatéraux $A_1B_1C_2,$ $A_1C_1B_2,$ $B_1C_1A_2,$ respectivement.
* Les milieux de $A_1A_2,$ $B_1B_2,$ $C_1C_2$ sont respectivement les sommets A, B, C du triangle recherché.

## Autres solutions

Plusieurs autres personnes en plus de celle de Kiepert ont soumis leurs solutions en 1868-1869, dont Williere (à Arlon), Brocard, Claverie (Lycée de Clermont), Joffre (Lycée Charlemagne), Racine (Lycée de Poitiers), Augier (Lycée de Caen ), V. Niebylowski et L. Henri Lorrez. La solution de Kiepert était plus complète que les autres.

