Problème de Fagnano
# Problème de Fagnano

Le problème de Fagnano, encore appelé « problème du triangle de Schwarz », est un célèbre problème de géométrie euclidienne résolu par le mathématicien italien Giulio Fagnano (1682-1766) et son fils Giovanni Fagnano (en) (1715-1797) :

   Peut-on inscrire un triangle de périmètre minimal dans un triangle acutangle donné ?

## Énoncé

Théorème — Soit ΔABC un triangle acutangle donné. Il existe un unique triangle ΔMNP de périmètre minimal, inscrit dans ΔABC. Ce triangle a pour sommets les pieds des hauteurs issues de ΔABC. Le triangle ΔMNP est appelé le triangle orthique.

## Démonstration

Soit ΔABC le triangle donné. On cherche les points M, N et P sur les côtés [BC], [AC] et [AB] respectivement, de sorte que le périmètre de ΔMNP soit minimal.

On considère dans un premier temps une version plus simple du problème. On fixe un point P arbitraire sur (AB), afin de déterminer les points M et N sur (BC) et (AC) respectivement, tels que ΔMNP soit de périmètre minimal (ce minimum dépendra du choix de P). Soit $P_1$ l'image de P par la réflexion d'axe (BC) et $P_2$ d'axe (AC). Alors $CP_1$ = $CP_2,$ ${\widehat {P_{1}CB}}={\widehat {PCB}}$ et ${\widehat {P_{2}CA}}={\widehat {PCA}}$. En posant $\gamma ={\widehat {BCA}}$, on en déduit ${\widehat {P_{1}CP_{2}}}=2\gamma$. De plus, 2γ < 180°, puisque γ < 90°, par définition. Par conséquent, la droite $(P_1P_2)$ coupe les côtés [BC] et [AC] de ΔABC aux points M et N respectivement et le périmètre de ΔMNP est égal à la distance $P_1P_2.$ D'une manière analogue, si Z est un point quelconque sur [BC] et Y un point quelconque sur [AC], le périmètre de ΔZPY est égal à la longueur de la ligne brisée $P_1ZYP_2,$ qui est supérieure ou égale à $P_1P_2.$ Ainsi, le périmètre de ΔZPY est supérieur ou égal au périmètre de ΔPMN et l'égalité a lieu précisément lorsque Z = M et Y = N.

Ainsi, il faut trouver un point P de [AB] de sorte que $[P_1P_2]$ soit de longueur minimale. On remarque que ce segment est la base d'un triangle isocèle $P_2P_1C$ avec comme angle constant 2γ au point C et comme côtés $CP_1$ = $CP_2$ = CP. Ainsi, il faut choisir P sur [AB] de sorte que $CP_1$ = CP soit minimal. Il est évident que ce minimum est obtenu lorsque P est le pied de la hauteur issue de C.

Remarquons maintenant que si P est le pied de la hauteur issue de C, alors M et N sont les pieds des deux autres hauteurs de ΔABC. Pour prouver cette assertion, notons $M_1$ et $N_1$ les pieds des hauteurs de ΔABC passant par A et B respectivement. Alors

${\widehat {BM_{1}P_{1}}}={\widehat {BM_{1}P}}={\widehat {BAC}}={\widehat {CM_{1}N_{1}}},$

ce qui montre que le point $P_1$ appartient à la droite $(M_1N_1).$ D'une manière analogue, $P_2$ appartient à la droite $(M_1N_1)$ et donc M = $M_1$ et N = $N_1.$

En conclusion, de tous les triangles inscrits à ΔABC, celui de périmètre minimal est celui dont les sommets sont les pieds des hauteurs issues de ΔABC.

## Cas du triangle obtusangle

Lorsque ΔABC est obtusangle, le triangle MNP est tel que M, N et C sont confondus, et P le pied de la hauteur issue de C. Dans ce cas, on dit que ΔMNP est dégénéré.

