Processus de naissance et de mort
# Processus de naissance et de mort

Les processus de naissance et de mort sont des cas particuliers de processus de Markov en temps continu où les transitions d'état sont de deux types seulement : les «naissances» où l'état passe de n à n+1 et les morts où l'état passe de n à n-1.

Ces processus ont de nombreuses applications en dynamique des populations et dans la théorie des files d'attente. Le processus est spécifié par les taux de naissance $(\lambda _{n})_{n=0\ldots \infty }$ et les taux de mortalité $(\mu _{n})_{n=0\ldots \infty }$.

## Le générateur

On suppose que $\mu _{0}=0$. Si $\pi _{n}(t)$ est la probabilité de trouver le système dans l'état $n$ (avec $n=0,1,2,...$) à l'instant $t$, alors

    ${\frac {d\pi _{n}(t)}{dt}}=\lambda _{n-1}\pi _{n-1}(t)-(\lambda _{n}+\mu _{n})\pi _{n}(t)+\mu _{n+1}\pi _{n+1}(t).$

Autrement dit,

    ${\frac {d\pi }{dt}}=\pi (t)A,$

où $A$ est le générateur défini par

    $A={\begin{pmatrix}-\lambda _{0}&\lambda _{0}&0&...&\\\mu _{1}&-\lambda _{1}-\mu _{1}&\lambda _{1}&0&...\\0&\mu _{2}&-\lambda _{2}-\mu _{2}&\lambda _{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots \\\end{pmatrix}}.$

Si plus généralement on note $P_{i,j}(t)$ la probabilité d'être dans l'état $j$ à l'instant $t$ sachant que le système était dans l'état $i$ à l'instant $t=0$, alors ${\frac {dP}{dt}}=AP(t)=P(t)A$ et $P(0)=I$ (la matrice identité).

## Exemples

Le processus de Yule correspond à $\mu _{n}=0$ et $\lambda _{n}=n\lambda$.

Le processus linéaire de naissance et de mort correspond à $\mu _{n}=n\mu$ et $\lambda _{n}=n\lambda$.

La file M/M/1 correspond à $\mu _{n}=\mu$ pour $n\geq 1$ et $\lambda _{n}=\lambda$ pour $n\geq 0$.

## Propriétés

Supposons que $\lambda _{n}>0$ pour tout $n>0$. Le processus de naissance et de mort a une durée de vie infinie si et seulement si

    $\sum _{n>0}\left({\frac {1}{\lambda _{n}}}+{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}\lambda _{n-1}}}+\cdots +{\frac {\mu _{n}\cdots \mu _{2}}{\lambda _{n}\cdots \lambda _{2}\lambda _{1}}}\right)$

est infini.

Par exemple, le processus de Yule a une durée de vie infinie car la série harmonique $\sum 1/n$ diverge.

## Formule de Karlin et McGregor

On définit une suite de polynômes $Q_{k}(x)$ telle que $Q_{0}(x)=1$ et $-xQ=AQ$. Autrement dit,

    $-xQ_{0}(x)=-\lambda _{0}Q_{0}(x)+\lambda _{0}Q_{1}(x)$

et

    $-xQ_{k}(x)=\mu _{k}Q_{k-1}(x)-(\lambda _{k}+\mu _{k})Q_{k}(x)+\lambda _{k}Q_{k+1}(x)$

pour tout $k\geq 1$. Ces polynômes sont orthogonaux par rapport à une mesure de probabilité $\psi$ sur l'intervalle $[0,+\infty [$ et

    $P_{i,j}(t)={\frac {\int _{0}^{\infty }e^{-xt}Q_{i}(x)Q_{j}(x)\,d\psi (x)}{\int _{0}^{\infty }Q_{j}(x)^{2}d\psi (x)}}.$

Cette formule est due à Karlin et McGregor.

### Exemples

* Si $\lambda _{n}=\lambda$ et $\mu _{n}=n\mu$ pour tout $n\geq 0$ (file d'attente M/M/$\infty$), alors $Q_{i}(x)=C_{i}(x/\mu ;\lambda /\mu ),$ où les $C_{i}$ sont les polynômes de Charlier. Les polynômes $Q_{i}(x)$ sont orthogonaux par rapport à la distribution de Poisson qui attribue le poids $e^{-\lambda /\mu }{\frac {(\lambda /\mu )^{n}}{n!}}$ sur les entiers $n=0,\mu ,2\mu ,...$
* Si $\lambda _{n}=(n+\beta )\lambda$ et $\mu _{n}=n\mu$ avec $\beta >0,\lambda >0,\mu >0$, alors il faut distinguer trois cas.

1er cas : Si $\lambda <\mu$, alors

       $Q_{i}(x)=M_{i}\left({\frac {x}{\mu -\lambda }};\beta ,{\frac {\lambda }{\mu }}\right),$

où les $M_{i}$ sont les polynômes de Meixner. Ainsi, les polynômes $Q_{i}(x)$ sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilités qui attribue le poids

       $w_{n}=(1-\lambda /\mu )^{\beta }{\frac {\beta (\beta +1)\cdots (\beta +n-1)}{n!}}(\lambda /\mu )^{n}$

aux points $(\mu -\lambda )n$ pour $n=0,1,2,...$

2e cas : Si $\lambda >\mu$, alors

       $Q_{i}(x)=M_{i}\left({\frac {x}{\lambda -\mu }}-\beta ;\beta ,{\frac {\mu }{\lambda }}\right).$

Les polynômes $Q_{i}(x)$ sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilités qui attribue le poids

       $w_{n}=(1-\mu /\lambda )^{\beta }{\frac {\beta (\beta +1)\cdots (\beta +n-1)}{n!}}(\mu /\lambda )^{n}$

aux points $(\lambda -\mu )(n+\beta )$ pour $n=0,1,2,...$

3e cas : Si $\lambda =\mu$, alors

       $Q_{i}(x)={\frac {i!}{\beta (\beta +1)\cdots (\beta +i-1)}}L_{i}^{(\beta -1)}(x/\lambda ),$

où les $L_{i}^{(\beta -1)}$ sont des polynômes de Laguerre généralisés. Les polynômes $Q_{i}(x)$ sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilités sur $[0,+\infty [$ de densité donnée par la distribution Gamma $\Gamma (\beta ,\lambda )$ :

       $f(x)={\frac {1}{\lambda ^{\beta }\Gamma (\beta )}}x^{\beta -1}e^{-x/\lambda }.$

## Processus absorbants

Lorsque $\lambda _{0}=0$, l'état 0 est absorbant. Ce cas intervient souvent en dynamique des populations et correspond à l'extinction de la population. Notons $u_{n}$ la probabilité que le système soit absorbé en 0 au bout d'un temps fini, si l'on part de l'état $n>0$. Posons

    $U=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu _{1}\ldots \mu _{n}}{\lambda _{1}\ldots \lambda _{n}}}.$

Si $U=+\infty$, alors $u_{n}=1$ pour tout $n>0$.

Si $U<+\infty$, alors

    $u_{n}={\frac {1}{1+U}}\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {\mu _{1}\ldots \mu _{k}}{\lambda _{1}\ldots \lambda _{k}}}.$

Par exemple, pour le processus linéaire de naissance et de mort, on voit que $U=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {\mu }{\lambda }}\right)^{n}$. L'extinction est certaine lorsque $\mu \geq \lambda$.

Supposons $U<+\infty$. Notons $T_{n}$ l'espérance du temps d'extinction lorsque le système part de l'état $n$. Alors

    $T_{1}={\frac {1}{\mu _{1}}}+{\frac {\lambda _{1}}{\mu _{1}\mu _{2}}}+\cdots +{\frac {\lambda _{1}\ldots \lambda _{k-1}}{\mu _{1}\ldots \mu _{k}}}+\cdots$

et

    $T_{n}=\sum _{k=1}^{n-1}\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {\lambda _{k+1}\ldots \lambda _{i-1}}{\mu _{k+1}\ldots \mu _{i}}}$

pour $n\geq 2$.

Par exemple, pour le processus linéaire de naissance et de mort avec $\mu >\lambda$, on trouve que

    $T_{n}={\frac {1}{\lambda }}\sum _{i\geq 1}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{i}\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k+i}}.$

Lorsque $n\to +\infty$, on a $T_{n}\sim (\log n)/(\mu -\lambda ).$

## Méthode des fonctions génératrices

Lorsque les taux de naissance et de mort sont des polynômes en $n$, on peut faire le lien avec certaines équations aux dérivées partielles. Ainsi, pour le processus linéaire de naissance et de mort, posons

    $g(t,x)=\sum _{n=0}^{\infty }\pi _{n}(t)x^{n}.$

On montre que

    ${\frac {\partial g}{\partial t}}=(\lambda x-\mu )(x-1){\frac {\partial g}{\partial x}}.$

En utilisant la méthode des caractéristiques, on en déduit que

    $g(t,x)=\left({\frac {(\lambda x-\mu )-\mu (x-1)e^{(\lambda -\mu )t}}{(\lambda x-\mu )-\lambda (x-1)e^{(\lambda -\mu )t}}}\right)^{n_{0}}$

si l'on part de l'état $n_{0}$ à $t=0$. On en déduit que l'espérance $E(t)$ de la population au temps $t$ est

    $E(t)={\frac {\partial g}{\partial x}}(t,1)=n_{0}e^{(\lambda -\mu )t}.$

On en déduit aussi la probabilité $\pi _{0}(t)$ d'extinction au temps $t$ :

    $\pi _{0}(t)=g(t,0)=\left({\frac {\mu e^{(\lambda -\mu )t}-\mu }{\lambda e^{(\lambda -\mu )t}-\mu }}\right)^{n_{0}}$

si $\lambda \neq \mu$. En particulier, si $\lambda >\mu$, on a $\pi _{0}(t)\to (\mu /\lambda )^{n_{0}}$ quand $t\to +\infty$.

## Quasi-processus de naissance et de mort

Les quasi-processus de naissance et de mort sont les processus de Markov en temps continu sur un espace d'états discret dont le générateur est tridiagonal par blocs :

    $A={\begin{pmatrix}Q_{0,0}&Q_{0,1}&0&\ldots &\\Q_{1,0}&Q_{1,1}&Q_{1,2}&0&\\0&Q_{2,1}&Q_{2,2}&Q_{2,3}&\\\vdots &0&\ddots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}.$
