Empilement de cercles dans un triangle équilatéral
# Empilement de cercles dans un triangle équilatéral

L'empilement de cercles dans un triangle équilatéral est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des cercles unités identiques de nombre n dans le triangle équilatéral le plus petit possible.

Des solutions optimales sont connues pour n < 13 et pour tout nombre triangulaire de cercle, et des conjectures sont disponibles pour n < $28^,^,.$

Une conjecture de Paul Erdős et Norman Oler indique que si n est un nombre triangulaire alors les empilement optimaux de n − 1 et de n cercles ont la même longueur de côté : c'est, selon la conjecture, un empilement optimal pour n − 1 cercles peut être trouvé en supprimant un seul cercle de l'empilement hexagonal optimal de n cercles. On sait maintenant que cette conjecture est vraie pour n ≤ 15.

Voici les solutions minimales pour la longueur du côté du triangle :

| Nombre de cercles n | Longueur du côté du triangle |
| - | - |
| 1 | $2{\sqrt {3}}\approx 3,464...$ |
| 2 | $2+2{\sqrt {3}}\approx 5,464...$ |
| 3 | $2+2{\sqrt {3}}\approx 5,464...$ |
| 4 | $4{\sqrt {3}}\approx 6,928...$ |
| 5 | $4+2{\sqrt {3}}\approx 7,464...$ |
| 6 | $4+2{\sqrt {3}}\approx 7,464...$ |
| 7 | $2+4{\sqrt {3}}\approx 8,928...$ |
| 8 | $2+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {33}}\approx 9,293...$ |
| 9 | $6+2{\sqrt {3}}\approx 9,464...$ |
| 10 | $6+2{\sqrt {3}}\approx 9,464...$ |
| 11 | $4+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {4}{3}}{\sqrt {6}}\approx 10,730...$ |
| 12 | $4+4{\sqrt {3}}\approx 10,928...$ |
| 13 | $4+{\dfrac {10}{3}}{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}\approx 11,406...$ |
| 14 | $8+2{\sqrt {3}}\approx 11,464...$ |
| 15 | $8+2{\sqrt {3}}\approx 11,464...$ |

Un problème étroitement lié est de couvrir le triangle équilatéral avec un nombre fixe de cercles égaux, ayant un rayon aussi petit que possible.

