Produit intérieur
# Produit intérieur

En géométrie différentielle, le produit intérieur est une opération élémentaire sur les formes différentielles, que l'on construit à partir d'un champ de vecteurs.

Plus précisément, si $X$ est un champ de vecteurs sur une variété différentielle $M$ et si $\Omega ^{p}(M)$ désigne l'ensemble des formes différentielles de degré $p$ sur $M$ alors le produit intérieur par $X$ est l'opérateur

$\iota _{X}\colon \Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)$

défini par : pour tous champs de vecteurs $Y_{1},\dots ,Y_{p-1}$ sur $M$,

$(\iota _{X}\omega )(Y_{1},\dots ,Y_{p-1})=\omega (X,Y_{1},\dots ,Y_{p-1})$

C'est une antidérivation de l'algèbre extérieure, i.e., si α est une p-forme et β une forme de degré quelconque :

$\iota _{X}(\alpha \wedge \beta )=\iota _{X}\alpha \wedge \beta +(-1)^{p}\alpha \wedge \iota _{X}\beta$

