Problème de convergence
# Problème de convergence

En mathématiques, et plus précisément dans la théorie analytique des fractions continues généralisées à coefficients complexes, le problème de convergence est la détermination de conditions sur les numérateurs partiels $a_i$ et les dénominateurs partiels $b_i$ qui soient suffisantes pour garantir la convergence de la fraction continue $b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\ddots }}}}}}$, notée désormais dans cet article $b_{0}+{\frac {a_{1}\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid b_{2}}}+{\frac {a_{3}\mid }{\mid b_{3}}}+\cdots ,$ c'est-à-dire la convergence de la suite de ses réduites $b_{0}+{\frac {a_{1}\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid b_{2}}}+\ldots +{\frac {a_{n}\mid }{\mid b_{n}}}.$

## Résultats élémentaires

### Condition nécessaire et suffisante de convergence

Par définition, la fraction converge si et seulement si les $B_n$ sont non nuls à partir d'un certain rang et la série de terme général

${\frac {A_{n}}{B_{n}}}-{\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}=(-1)^{n-1}{\frac {a_{1}\ldots a_{n}}{B_{n-1}B_{n}}}$

converge, où les $A_n$ et $B_n$ désignent les numérateurs et les dénominateurs des réduites, et l'égalité ci-dessus se déduit des formules sur les réduites. De plus, si les complexes $a_n$ et $b_n$ sont des fonctions d'une variable z et si la convergence de la série est uniforme par rapport à z, il en est naturellement de même pour la convergence de la fraction continue.

### Théorèmes de Stern-Stolz et de Seidel-Stern

Si tous les numérateurs partiels $a_n$ sont non nuls, on se ramène facilement par conversion au cas où ils sont égaux à 1. On dit alors que la fraction est régulière.

Pour une fraction régulière, on dispose de la majoration $|B_{n}|\leq (1+|b_{1}|)\ldots (1+|b_{n}|).$ D'après le critère ci-dessus, une condition nécessaire pour que cette fraction converge est donc que le produit infini des (1 + $|b_n|)$ diverge ou, ce qui est équivalent, que la série des $|b_n|$ diverge : c'est le théorème de $Stern-Stolz^,^,^,^,^,.$

Pour une fraction à coefficients complexes, cette condition nécessaire de convergence n'est pas suffisante : par exemple, la fraction de période 1 ${\frac {1\mid }{\mid {\rm {i}}}}+{\frac {1\mid }{\mid {\rm {i}}}}+{\frac {1\mid }{\mid {\rm {i}}}}+\cdots$ ne converge pas, bien que la série de terme général |i| = 1 soit grossièrement divergente.

Cependant, pour une fraction régulière dont tous les dénominateurs partiels $b_n$ sont des réels strictement positifs, cette condition nécessaire est également suffisante : c'est le théorème de $Seidel-Stern^,^,^,.$ En effet, dans ce cas, la série équivalente à la fraction est alternée et les formules de récurrence sur les $B_n$ permettent de les minorer : $B_{2n}\geq b_{1}(b_{2}+b_{4}+\ldots +b_{2n}){\text{ et }}B_{2n+1}\geq b_{1}+b_{3}+\ldots +b_{2n+1}.$

## Convergence conditionnelle et inconditionnelle

Contrairement à une série, une fraction

$b_{0}+{\frac {a_{1}\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid b_{2}}}+\cdots$

peut très bien être convergente sans que ses « fractions extraites »

$b_{n-1}+{\frac {a_{n}\mid }{\mid b_{n}}}+{\frac {a_{n+1}\mid }{\mid b_{n+1}}}+\cdots$

le soient toutes. Par exemple :

$1+{\frac {-1\mid }{\mid 2}}+{\frac {-1\mid }{\mid 2}}+{\frac {-1\mid }{\mid 2}}+\cdots =0$

donc

$1+{\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {-1\mid }{\mid 2}}+{\frac {-1\mid }{\mid 2}}+{\frac {-1\mid }{\mid 2}}+\cdots =1+{\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {1\mid }{\mid 0}}=1$

mais

$1+{\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {-1\mid }{\mid 2}}+{\frac {-1\mid }{\mid 2}}+{\frac {-1\mid }{\mid 2}}+\cdots =+\infty .$

Une fraction convergente est dite inconditionnellement convergente lorsque toutes ses « fractions extraites » convergent, et conditionnellement convergente $sinon^,.$ Désormais, sauf précision contraire, lorsqu'on parlera de convergence d'une fraction continue généralisée, il s'agira implicitement de la « bonne » notion : celle de convergence inconditionnelle qui, par définition, est héritée par les « fractions extraites ».

La convergence vers x d'une fraction est inconditionnelle si et seulement si aucune de ses réduites n'est égale à $x^,.$

## Fractions continues périodiques

Une fraction continue périodique (dont un cas particulier est celle correspondant à un irrationnel quadratique) est une fraction continue dont les deux suites des numérateurs partiels et des dénominateurs partiels sont, à partir d'un certain rang, périodiques, et dont les numérateurs partiels sont non nuls. Pour les étudier, il suffit évidemment de se concentrer sur celles dites « purement périodiques » avec de plus $b_0$ = 0, c'est-à-dire celles de la forme

    $x={\frac {a_{1}\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid b_{2}}}+\cdots +{\frac {a_{k}\mid }{\mid b_{k}}}+{\frac {a_{1}\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid b_{2}}}+\cdots +{\frac {a_{k}\mid }{\mid b_{k}}}+\cdots .$

En appliquant la théorie des transformations de Möbius à $s(w)={\frac {A_{k-1}w+A_{k}}{B_{k-1}w+B_{k}}}$ où $A_{k–1},$ $B_{k–1},$ $A_k$ et $B_k$ sont les numérateurs et les dénominateurs des réduites d'indices k – 1 et k de x, on montre que si x converge, elle converge vers un des points fixes de s(w). Plus précisément, soit $r_1$ et $r_2$ les racines de l'équation du second degré $B_{k-1}w^{2}+(B_{k}-A_{k-1})w-A_{k}=0,$ qui sont les points fixes de s(w). Si $B_{k–1}$ n'est pas nul, x converge vers $r_1$ si et seulement si

* $r_1$ = $r_2$ ou
* la réduite d'indice k – 1 est plus proche de $r_1$ que de $r_2$ et, si k ≥ 2, aucune des k – 1 réduites précédentes (d'indices 0, … , k – 2) n'est égale à $r_2.$

Si $B_{k–1}$ est nul, tous les $B_{nk–1}$ s'annulent aussi, et la fraction continue ne converge pas. Lorsqu'aucune des deux conditions précédentes n'est remplie, la suite des réduites oscille sans $converger^,^,.$

### Cas particulier où la période est égale à 1

Si la période k vaut 1, c'est-à-dire si $x={\frac {a\mid }{\mid b}}+{\frac {a\mid }{\mid b}}+{\frac {a\mid }{\mid b}}+\cdots$ (avec b non nul), alors $A_0/B_0$ = 0/1 = 0, $A_1/B_1$ = a/b et l'équation précédente devient : $w^2$ + bw – a = 0, qui n'est autre que $w={\frac {a}{b+w}}.$ D'après le résultat précédent, x converge vers $r_1$ si et seulement si $r_1$ = $r_2$ ou $|r_1|$ < $|r_2|.$

La condition pour que la fraction $y:=b+x=b+{\frac {a\mid }{\mid b}}+{\frac {a\mid }{\mid b}}+{\frac {a\mid }{\mid b}}+\cdots$ converge est bien sûr la même, et sa limite est alors b + $r_1,$ c'est-à-dire cette fois (puisque $r_1$ + $r_2$ = – b) la racine de plus grand module de l'équation $v^2$ – bv – a = 0, qui n'est autre que $v=b+{\frac {a}{v}}.$

Les numérateurs et dénominateurs des réduites forment ici une suite récurrente linéaire d'ordre 2 (la même, à un décalage près : $A_n$ = $B_{n+1})$ :

$B_{-1}=0,\quad B_{0}=1,\quad B_{n}=bB_{n-1}+aB_{n-2}.$

L'étude générale des suites récurrentes linéaires montre que deux cas se présentent :

* si l'équation $v^2$ – bv – a = 0 a deux racines distinctes $δ_1$ et $δ_2$ :

Si l'on désigne par $δ_1$ la plus grande des deux racines en module, alors $δ_1$ est nécessairement non nul, ce qui permet de définir le nombre complexe ω = $δ_2/δ_1$ (différent de 1) et d'écrire :

$\forall n\in \mathbb {N} \cup \{-1\}\quad B_{n}={\frac {\delta _{1}^{n+1}-\delta _{2}^{n+1}}{\delta _{1}-\delta _{2}}}=\delta _{1}^{n}{\frac {1-\omega ^{n+1}}{1-\omega }}.$

Ce cas se divise alors en deux :

      * Les racines sont de modules distincts :

Dans ce cas, ω est de module strictement inférieur à 1 donc $ω^n$ tend vers 0, et la suite des réduites converge vers $δ_1$ car

${\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}={\frac {B_{n}}{B_{n-1}}}=\delta _{1}{\frac {1-\omega ^{n+1}}{1-\omega ^{n}}}.$

      * Les racines sont de même module :

${\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}=\delta _{1}{\frac {1-\omega ^{n+1}}{1-\omega ^{n}}}=\delta _{1}\left({\frac {1-\omega }{1-\omega ^{n}}}+\omega \right).$

* si l'équation $v^2$ – bv – a = 0 a une racine double δ (non nulle) :$\forall n\in \mathbb {N} \cup \{-1\}\quad B_{n}=(n+1)\delta ^{n}.$${\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}={\frac {B_{n}}{B_{n-1}}}={\frac {(n+1)\delta ^{n}}{n\delta ^{n-1}}}=\delta \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\to \delta .$La suite des réduites converge vers l'unique racine.

En posant z = $a/b^2,$ la convergence de x et y a donc lieu si et seulement si les deux racines carrées de 1 + 4z sont soit égales, soit non équidistantes de 1, c'est-à-dire si et seulement si z n'est pas un réel < −1/4.

En particulier, la fraction ${\frac {1\mid }{\mid b}}+{\frac {1\mid }{\mid b}}+{\frac {1\mid }{\mid b}}+\cdots$ converge si et seulement si $1/b^2$ n'est pas un réel < −1/4, c'est-à-dire si le complexe b (supposé non nul) n'appartient pas à l'intervalle imaginaire pur ]−2i, 2i[.

La convergence était prévisible pour b réel positif, par le théorème de Seidel-Stern vu plus haut (et pour b de module supérieur ou égal à 2, par le critère de Śleszyński-Pringsheim ci-dessous).

## Critère de Śleszyński-Pringsheim

À la fin du dix-neuvième siècle, Ivan Śleszyński et Alfred Pringsheim montrèrent que si les numérateurs et dénominateurs partiels vérifient $|b_n|$ ≥ $|a_n|$ + 1 pour n ≥ 1, alors

$\forall N\in \mathbb {N} \quad \sum _{n=1}^{N}\left|{\frac {a_{1}\ldots a_{n}}{B_{n-1}B_{n}}}\right|<1$

donc (cf. § « Condition nécessaire et suffisante de convergence » ci-dessus) la fraction

${\frac {a_{1}\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid b_{2}}}+\cdots$

converge et ses réduites sont de modules strictement inférieurs à 1. En utilisant des fractions de période 1, on peut d'ailleurs montrer que l'« ensemble limite des fractions de Śleszyński-Pringsheim » — c'est-à-dire l'ensemble de toutes les limites de fractions vérifiant les hypothèses de ce théorème — est exactement le disque unité fermé.

## Théorème de Worpitzky

Auparavant (en 1865), Julius Worpitzky avait démontré, dans ce qui semble être « la plus ancienne publication d'un mémoire sur la convergence des fractions continues algébriques », que si les numérateurs partiels $a_n$ de la fraction continue

${\frac {a_{1}\mid }{\mid 1}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {a_{3}\mid }{\mid 1}}+\cdots$

sont tels que $|a_n|$ ≤ 1/4 alors la fraction converge, uniformément par rapport à z si les complexes $a_n$ sont des fonctions d'une variable z.

Ce théorème se déduit aujourd'hui de celui de Śleszyński-Pringsheim, par l'équivalence de fractions ${\frac {2a_{1}\mid }{\mid 1}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {a_{3}\mid }{\mid 1}}+\cdots ={\frac {4a_{1}\mid }{\mid 2}}+{\frac {4a_{2}\mid }{\mid 2}}+{\frac {4a_{3}\mid }{\mid 2}}+\cdots .$ Il permit à Worpitzky de montrer que si

    $f(z)={\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {c_{2}z\mid }{\mid 1}}+{\frac {c_{3}z\mid }{\mid 1}}+{\frac {c_{4}z\mid }{\mid 1}}+\cdots$

et si $|c_i|$ ≤ 1/4 pour tout i, alors, pour |z| ≤ 1, la fraction f(z) converge uniformément, donc f est holomorphe sur le disque unité ouvert.

Il est immédiat que de plus, toutes les réduites de f(z) appartiennent au disque ouvert Ω de rayon 2/3 centré en 4/3 et que l'ensemble limite est le disque fermé Ω.

On peut aussi montrer que 1/4 est le plus grand majorant des $|c_i|$ pour lequel la convergence de f(1) a toujours lieu.

## Théorème de Van Vleck

Jones et Thron attribuent à Edward Burr Van Vleck le résultat suivant, qui généralise le théorème de Seidel-Stern. Si tous les $a_i$ valent 1, et si tous les $b_i$ ont des arguments tels que $-\pi /2+\varepsilon <\arg(b_{i})<\pi /2-\varepsilon ,$ où ε est un nombre positif fixé inférieur à π/2 (autrement dit si tous les $b_i$ sont dans un secteur angulaire d'ouverture π – 2ε et symétrique autour de l'axe des réels positifs), alors la i-ième réduite $f_i$ de la fraction continue est située dans le même secteur, c'est-à-dire qu'elle vérifie $-\pi /2+\varepsilon <\arg(f_{i})<\pi /2-\varepsilon .$

Dans ce cas, les suites des réduites d'indice pair et des réduites d'indice impair convergent, mais pas forcément vers la même limite ; leur limite est commune (et alors la fraction continue converge) si et seulement si la série des $|b_n|$ est divergente.

