Pression diamétrale
# Pression diamétrale

La pression diamétrale est un modèle décrivant la pression de contact entre deux pièces en liaison mécanique de type pivot glissant, pivot ou rotule. Le terme vient du fait que les forces surfaciques sont radiales, dirigées selon un diamètre, contrairement au modèle de la pression de Hertz pour lequel les forces sont orientées selon l'effort presseur.

La pression diamétrale est bien adaptée au cas où les diamètres de la pièce mâle et de la pièce femelle sont très proches. Si les diamètres sont très différents, le modèle de Hertz est mieux adapté.

Si la pression diamétrale est excessive, cela provoque du matage.

## Hypothèses

Nous considérons le cas d'un contact entre une pièce mâle et une pièce femelle, dont les rayons de courbure sont proches. Il n'y a pas de serrage, la liaison est parfaitement glissante ; de ce fait, les actions de contact sont des forces normales aux surfaces.

Nous nous limitons au cas où la charge peut être décrite par une force radiale s'exerçant sur le centre de la liaison.

## Cas d'un contact cylindre-cylindre

Dans le cas d'une liaison pivot ou pivot-glissant, nous sommes en présence d'un contact entre un cylindre mâle et un cylindre femelle. Nous distinguons trois cas :

* le jeu est négligeable
   * a) les solides sont indéformables,
   * b) les solides se déforment élastiquement ;
* c) le jeu n'est pas négligeable et les solides se déforment élastiquement.

Le terme jeu négligeable désigne typiquement un ajustement de type H7/g6.

Nous supposons que les cylindres sont d'axe z, et que le cylindre mâle est soumis à deux efforts extérieurs :

* une force ${\vec {\mathrm {F} }}$ d'axe y, l'effort presseur ;
* l'action de contact avec l'alésage.

Nous nous intéressons ici à l'action de contact avec l'alésage. Il s'agit d'un effort réparti, donc de type pression, qui est invariant par translation selon z.

Nous appelons :

* D le diamètre nominal du cylindre mâle et du cylindre femelle ;
* L la longueur de guidage.

### Jeu négligeable et solides indéformables

Dans ce premier modèle, nous avons une pression uniforme. Sa valeur $vaut^,^,$ :

    $\mathrm {P} ={\frac {\mathrm {F} }{\mathrm {D} \times \mathrm {L} }}={\frac {\mathrm {charge\ radiale} }{\mathrm {surface\ projet{\acute {e}}e} }}$.

Nous pouvons démontrer ceci de deux manières.

La première manière consiste à considérer un demi-cylindre plongé dans un fluide exerçant une pression hydrostatique uniforme. L'équilibre impose que la résultante de la pression sur la partie plate est égale en intensité à la résultante de la pression sur la partie cylindrique. La partie plate étant un rectangle de dimensions D × L, nous en déduisons que

    F = P × (D × L)

c.q.f.d.

La deuxième manière consiste à intégrer les forces de pression. Considérons un élément de la surface cylindrique infinitésimal, parallèle à une génératrice, de longueur L et délimité par les angles θ et θ + dθ. Cet élément de surface est assimilable à un rectangle de dimensions L × (dθ × D/2). La force qui s'exerce sur cet élément a pour intensité

    dF = P × dS = ½ × P × D × L × dθ

Le problème est symétrique selon le plan (y, z), donc la composante en x de cette force est annulée par la force exercée par l'élément de surface symétrique. La composante en y de cette force vaut :

    $dF_y$ = cos(θ)dF = ½ × cos(θ) × P × D × L × dθ.

La résultante vaut

    $\mathrm {F} _{y}=\int _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {1}{2}}\times \mathrm {P} \times \mathrm {D} \times \mathrm {L} \times \cos(\theta )\times \mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2}}\times \mathrm {P} \times \mathrm {D} \times \mathrm {L} \times \left[\sin(\theta )\right]_{-\pi /2}^{\pi /2}=\mathrm {P} \times \mathrm {D} \times \mathrm {L}$

c.q.f.d.

Notons que ce calcul est similaire à celui utilisé pour déterminer la contrainte dans un réservoir cylindrique à parois minces sous pression.

Si la charge n'est pas purement radiale mais a une composante moment selon x (la force résultante F n'est plus centrée), alors la répartition de la pression varie de manière linéaire selon z.

### Jeu négligeable et déformation élastique

Si l'on prend en compte le fait que les solides sont déformables, alors la pression n'est plus uniforme. On a une répartition sinusoïdale des pressions, de la $forme^,$ :

    P(θ) = $P_{max}⋅cos$ θ

avec

    $\mathrm {P} _{\mathrm {max} }={\frac {4}{\pi }}\cdot {\frac {\mathrm {F} }{\mathrm {L} \mathrm {D} }}$.

Ceci est démontré dans la section suivante.

La pression maximale est donc plus élevée d'un facteur 4/π ≃ 1,27 par rapport au cas de la pression uniforme.

### Jeu non négligeable et déformation élastique

Dans le cas où le jeu n'est plus négligeable, l'écrasement du cylindre mâle ne va plus assurer le contact sur le demi-cylindre de l'alésage, mais sur une portion d'angle au sommet $2θ_0.$ On considère que la pression suit une loi de type loi des $ressorts^,$ :

    P(θ) = $K⋅δ^α(θ)$

où

* K est un coefficient de rigidité des matériaux en contact ;
* δ(θ) est le déplacement radial du point de la surface de contact situé en θ ;
* α est un coefficient représentant le comportement du matériau :
   * α = 1 pour les métaux (comportement purement élastique),
   * α > 1 pour les polymères (comportement visco-élastique ou visco-plastique).

La répartition de pression est de la forme :

    A⋅cos θ - B

où A et B sont des constantes réelles. La pression maximale vaut :

    $\mathrm {P_{max}} ={\frac {4\mathrm {F} }{\mathrm {L} \mathrm {D} }}\times {\frac {1-\cos \theta _{0}}{2\theta _{0}-\sin 2\theta _{0}}}$

l'angle $θ_0$ étant exprimé en radians.

Le coefficient de raideur K, ainsi que le demi-angle de contact $θ_0,$ ne peuvent pas être déterminés de manière théorique. Ils doivent être déterminés expérimentalement. Pour un assemblage donné — diamètres et matériaux définis —, donc pour une valeur de K supposée fixe et un jeu j donné, on peut tracer une courbe $θ_0$ = ƒ(F/(DL)).

Relation entre pression, jeu et angle de contact

On appelle 1 le cylindre contenant (femelle, concave) 2 le cylindre contenu (mâle, convexe) ; le cylindre i a pour centre $O_i$ et pour rayon $R_i.$

Nous partons d'une situation initiale idéale dans laquelle les deux cylindres sont concentriques. Le jeu, ramené au rayon, vaut :

    j = $R_1$ - $R_2.$

Sous l'action de l'effort presseur, le jeu se comble, puis les surfaces se déforment. Nous supposons que le cylindre 2 ne se déforme pas, et que le cylindre 1 se déforme de manière élastique. La surface 2 s'enfonce d'une profondeur $δ_{max}$ ; le cylindre 2 est donc descendu de la quantité e (excentration) :

    e = $O_1O_2$ = j + $δ_{max}.$

Nous nous plaçons dans le repère au centre du cylindre contenant $(O_1,$ x, y). Soit un point M de la surface de contact ; on appelle θ l'angle (-y, $O_1M).$ Le déplacement de la surface δ est défini par :

    δ(θ) = $O_1M$ - $R_1.$

avec donc δ(0) = $δ_{max}.$ Les coordonnées de M sont donc :

    $M((R_1$ + δ(θ)⋅sin θ) ; $-(R_1$ + δ(θ))⋅cos θ)

et les coordonnées de $O_2$ sont :

    $O_2(0$ ; -e).

Plaçons-nous dans le repère $(O_1,$ u, v), l'axe u étant aligné avec $(O_1M).$ Dans ce repère, les coordonnées sont :

    $M(R_1$ + δ(θ) ; 0)
    $O_2(e⋅cos$ θ ; -e⋅sin θ)

D'après la relation de Chasles, on a

    ${\overrightarrow {\mathrm {O} _{1}\mathrm {M} }}={\overrightarrow {\mathrm {O} _{1}\mathrm {O} _{2}}}+{\overrightarrow {\mathrm {O} _{2}\mathrm {M} }}$

soit

    $\left\{{\begin{aligned}\mathrm {R} _{1}+\delta (\theta )&=&e\cdot \cos \theta +\mathrm {R} _{2}\cos \varphi \\0&=&-e\cdot \sin \theta +\mathrm {R} _{2}\sin \varphi \end{aligned}}\right.$

soit, en considérant l'expression de e ainsi que $R_1$ = j + $R_2$ :

    $\left\{{\begin{aligned}j+\mathrm {R} _{2}+\delta (\theta )&=&(j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta +\mathrm {R} _{2}\cos \varphi \\0&=&-(j+\delta _{\max })\cdot \sin \theta +\mathrm {R} _{2}\sin \varphi \end{aligned}}\right.$

Nous sommes dans le domaine des petites déformations, puisque nous sommes dans le domaine élastique. Nous avons donc $δ_{max}$ ≪ $R_1$ et donc |φ| ≪ 1, soit

    cos φ ≃ 1
    sin φ ≃ 1 (en radians)

donc

    $\left\{{\begin{aligned}(j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta +\mathrm {R} _{2}-(j+\mathrm {R} _{2}+\delta (\theta ))&=&0\\(j+\delta _{\max })\cdot \sin \theta -\mathrm {R} _{2}\cdot \varphi &=&0\end{aligned}}\right.$

et ainsi

    $\left\{{\begin{aligned}(j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta -j-\delta (\theta )&=&0\\(j+\delta _{\max })\cdot \sin \theta -\mathrm {R} _{2}\cdot \varphi &=&0\end{aligned}}\right.$

À θ = $θ_0,$ on a δ(0) = 0 et la première équation donne

    $(j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta _{0}-j=0\Rightarrow \delta _{\max }={\frac {j(1-\cos \theta _{0})}{\cos \theta _{0}}}\Leftrightarrow \cos \theta _{0}={\frac {j}{j+\delta _{\max }}}$

et donc

    $\left(j+{\frac {j(1-\cos \theta _{0})}{\cos \theta _{0}}}\right)\cdot \cos \theta -j-\delta (\theta )=0$
    $\Longrightarrow \delta (\theta )=j\left({\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}-1\right)$ [1].

En appliquant la loi d'élasticité pour un métal (α = 1), on a

    $\left\{{\begin{aligned}\mathrm {P} (\theta )&=&\mathrm {K} \cdot j\left({\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}-1\right)\\\mathrm {P} _{\max }&=&\mathrm {K} \cdot j\cdot {\frac {1-\cos \theta _{0}}{\cos \theta _{0}}}\end{aligned}}\right.$ [2]

On notera que la pression est une fonction affine en cos θ :

    P(θ) = A⋅cos θ - B

avec A = K⋅j/cos $θ_0$ et B = A⋅cos $θ_0.$

Cas où le jeu est négligeable

Si le jeu est négligeable, j ≃ 0 $(R_1$ ≃ $R_2),$ alors le contact se fait sur tout le demi-périmètre : $2θ_0$ ≃ π soit cos $θ_0$ ≃ 0. La valeur de 1/cos $θ_0$ devient très grande (elle tend vers l'infini), donc

    $\delta (\theta )\simeq j{\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}$

Notons que j et cos $θ_0$ tendent tous les deux vers 0, donc j/cos $θ_0$ est une forme indéterminée lorsque j tend vers 0. En toute rigueur, le cas j = 0, $θ_0$ = π/2 est indéfini, et d'ailleurs, mécaniquement, il n'a pas de sens (ajustement incertain). On s'intéresse de fait à une fonction limite

    $\mathrm {P} _{\pi /2}(\theta )=\lim _{\theta _{0}\to \pi /2}\mathrm {P} _{\theta _{0}}(\theta )$.

On a donc une répartition sinusoïdale de la déformation et donc de la pression :

    $\mathrm {P} (\theta )=\mathrm {K} \cdot {\frac {j}{\cos \theta _{0}}}\cdot \cos \theta$

soit

    P(θ) = $P_{max}⋅cos$ θ

avec

    $\mathrm {P} _{\max }=\mathrm {K} \cdot {\frac {j}{\cos \theta _{0}}}$.

Considérons un élément de surface dS délimité par θ et θ + dθ. Comme dans le cas de la pression uniforme, nous avons

    $dF_y(θ)$ = cos(θ)dF = ½ × cos(θ) × P(θ) × D × L × dθ = ½ × $cos^2(θ)$ × $P_{max}$ × D × L × dθ.

En intégrant entre -π/2 et π/2, on obtient :

    $\mathrm {F} =\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\mathrm {d} \mathrm {F} _{y}(\theta )\mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2}}\mathrm {P} _{\max }\mathrm {D} \mathrm {L} \int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos ^{2}\theta \mathrm {d} \theta$

On sait que (par exemple en utilisant la formule d'Euler) :

    $\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos ^{2}\theta \mathrm {d} \theta ={\frac {1}{4}}\left[2\theta +\sin 2\theta \right]_{-\pi /2}^{\pi /2}={\frac {1}{2}}\left[\theta +\sin \theta \cos \theta \right]_{-\pi /2}^{\pi /2}={\frac {\pi }{2}}$

d'où

    $\mathrm {F} ={\frac {\pi }{4}}\mathrm {P} _{\max }\mathrm {D} \mathrm {L}$

d'où

    $\mathrm {P} _{\max }={\frac {4}{\pi }}{\frac {\mathrm {F} }{\mathrm {D} \mathrm {L} }}$

c.q.f.d.

Cas où le jeu n'est pas négligeable

La force sur une surface élémentaire est définie par :

    dF(θ) = P(θ)dS = Kδ(θ)dS = ½ × K × j × cos θ/cos $θ_0$ - 1) × dS
    $\mathrm {d} \mathrm {F} _{y}={\frac {\mathrm {K} j}{2}}\left({\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}-1\right)\mathrm {D} \mathrm {L} \cos \theta \mathrm {d} \theta$
    $\mathrm {F} ={\frac {\mathrm {K} j\mathrm {D} \mathrm {L} }{2}}\int _{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}\left({\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos \theta _{0}}}-\cos \theta \right)\mathrm {d} \theta ={\frac {\mathrm {K} j\mathrm {D} \mathrm {L} }{2}}\left[{\frac {\theta +\sin \theta \cos \theta }{2\cos \theta _{0}}}-\sin \theta \right]_{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}$

d'où

    $\mathrm {F} ={\frac {\mathrm {K} j\mathrm {D} \mathrm {L} }{2}}\left({\frac {2\theta _{0}+2\sin \theta _{0}\cos \theta _{0}}{2\cos \theta _{0}}}-2\sin \theta _{0}\right)={\frac {\mathrm {K} j\mathrm {D} \mathrm {L} }{2}}\left({\frac {\theta _{0}-\sin \theta _{0}\cos \theta _{0}}{\cos \theta _{0}}}\right)$.

On reconnaît l'identité trigonométrique sin 2θ = 2 sin θ cos θ :

    $\mathrm {F} ={\frac {\mathrm {K} j\mathrm {D} \mathrm {L} }{4\cos \theta _{0}}}(2\theta _{0}-\sin 2\theta _{0})$

d'où

    $\mathrm {K} ={\frac {4\mathrm {F} \cos \theta _{0}}{j\mathrm {D} \mathrm {L} (2\theta _{0}-\sin 2\theta _{0})}}$

et ainsi :

    $\mathrm {P} _{\max }=\mathrm {K} j{\frac {1-\cos \theta _{0}}{\cos \theta _{0}}}={\frac {4\mathrm {F} }{\mathrm {D} \mathrm {L} }}\times {\frac {1-\cos \theta _{0}}{2\theta _{0}-\sin 2\theta _{0}}}$

c.q.f.d.

## Cas d'un contact sphère-sphère

Un contact sphère-sphère correspond à une liaison rotule, comme une tête de tige de vérin rotulée. Cela peut également décrire la situation des billes d'un module à billes porteuses.

### Cas d'une pression uniforme

Comme précédemment, lorsque les pièces sont considérées comme indéformables et que le jeu est négligeable, nous pouvons considérer que la pression de contact est uniforme. Elle s'obtient également en considérant l'aire du disque $diamétral^,^,$ :

    $\mathrm {P} ={\frac {\mathrm {F} }{\pi \mathrm {R} ^{2}}}={\frac {\mathrm {charge\ radiale} }{\mathrm {surface\ projet{\acute {e}}e} }}$.

### Cas d'une répartition sinusoïdale des pressions

Comme pour le cas du contact cylindre-cylindre, si l'on considère que les pièces se déforment élastiquement mais que le jeu est négligeable, on obtient une répartition sinusoïdale des $pressions^,$ :

    P(θ, φ) = $P_{max}⋅cos$ θ

avec

    $\mathrm {P} ={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\mathrm {F} }{\pi \mathrm {R} ^{2}}}$.

## Pression de Hertz

Lorsque le jeu n'est pas négligeable, il faut connaître l'angle de contact $θ_0.$ Mais il n'est pas possible de le déterminer simplement, il faut le mesurer. Lorsque l'on ne dispose pas de cette mesure, on peut envisager d'utiliser la théorie du contact de Hertz, à condition que le rayon de la partie femelle (concave) soit notablement supérieur à celui de la partie mâle (convexe).

Normalement, la théorie de Hertz ne s'applique que lorsque les surfaces ne peuvent pas se conformer, s'épouser par déformation élastique ; c'est le cas d'un contact plan-convexe ou convexe-convexe. Nous sommes ici dans un cas convexe-concave, il faut donc prendre les résultats avec précaution ; en particulier, le rayon de la partie concave (femelle) doit être grand devant le rayon de la partie convexe (mâle). Toutefois, la pression maximale calculée par la méthode de Hertz est supérieure à la pression réelle, puisqu'en réalité le contact est plus grand donc l'effort mieux réparti ; l'utilisation de la théorie de Hertz va donc dans le sens de la prudence.

Par rapport aux formules de cette théorie, le rayon de la pièce femelle (concave) est négatif.

On définit un diamètre de courbure relative

    ${\frac {1}{d^{*}}}={\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}$

avec $d_1$ le diamètre de la pièce femelle (négatif) et $d_2$ le diamètre de la pièce mâle (positif), ainsi qu'un module d'élasticité équivalent

    ${\frac {1}{\mathrm {E} ^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{\mathrm {E} _{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{\mathrm {E} _{2}}}$

où $ν_i$ est le module de Poisson du matériau de la pièce i et $E_i$ est son module de Young.

Pour un contact cylindre-cylindre, la largeur de la zone de contact vaut :

    $b=\left({\frac {2\mathrm {F} }{\pi \mathrm {L} }}\cdot {\frac {d^{*}}{\mathrm {E} ^{*}}}\right)^{1/2}$

et la pression maximale, au milieu, vaut :

    $\mathrm {P_{max}} ={\frac {2\mathrm {F} }{\pi b\mathrm {L} }}={\sqrt {\frac {2\mathrm {F} \mathrm {E} ^{*}}{\pi \mathrm {L} d^{*}}}}$.

Pour un contact sphère-sphère, la zone de contact est un disque de diamètre

    $a=\left({\frac {3\mathrm {F} }{8}}\cdot {\frac {d^{*}}{\mathrm {E} ^{*}}}\right)^{1/3}$

et la pression maximale, au milieu, vaut :

    $\mathrm {P_{max}} ={\frac {3\mathrm {F} }{2\pi a^{2}}}={\frac {2}{\pi }}{\sqrt[{3}]{3\mathrm {F} \left({\frac {\mathrm {E} ^{*}}{d^{*}}}\right)^{2}}}$.

## Applications

### Boulon servant de butée

Dans un assemblage boulonné, les boulons servent en général à presser les pièces l'une contre l'autre, et c'est l'adhérence qui s'oppose aux efforts tangentiels au plan de contact (efforts tendant à faire glisser une pièce par rapport à l'autre). Dans certains cas toutefois, l'adhérence est, volontairement ou pas, insuffisante. Les boulons servent alors de butée et sont alors soumis à du cisaillement, et le trou de passage du boulon est soumis à une pression de contact.

Dans le cas d'une conception rigoureuse, c'est la partie lisse de la vis qui est en contact avec les pièces ; dans le cas d'une vis épaulée, il y a un jeu minimal entre la partie lisse de la vis et le trou de passage, nous sommes alors dans le cas d'une pression diamétrale de pièces peu déformables « sans jeu ». D'après ce que l'on a vu précédemment, connaissant la pression admissible $P_{adm}$ du matériau, l'épaisseur t de la pièce et le diamètre d du boulon, la force maximale admissible $F_{b,Rd}$ vaut, par boulon :

    $F_{b,Rd}$ = $P_{adm}$ × d × t.

Dans ce contexte, la pression admissible est déterminée à partir de la résistance à la traction $f_u$ et d'un certain nombre de coefficients de sécurité et de coefficients déterminés par l'expérience.

**Selon la norme Eurocode**

Selon la norme Eurocode $3^,.$ Dans le cas d'un assemblage à simple recouvrement et une seule rangée de boulons, on utilise une expression simple :

    $P_{adm}$ = 1,5 × $f_u/γ_{M2}$

avec

* $γ_{M2}$ = 1,25 : coefficient partiel de sécurité de résistance à la rupture des sections transversales en traction pour l'acier.

Dans les cas plus complexes, on utilise l'expression :

    $P_{adm}$ = $k_1$ × α × $f_u/γ_{M2}$

avec

* $k_1$ et α sont des coefficients prenant en compte d'autres modes de rupture que le matage, en particulier la possibilité de rupture en cisaillement ou en traction de la pièce (« arrachement de la pince ») ; $k_1$ prend en compte les effets perpendiculaires aux efforts, et α les effets longitudinaux ;
* $k_1$ = $min{2,8e_2/d_0$ ; 2,5} pour les boulons de rive, $k_1$ = $min{1,4p_2/d_0$ ; 2,5} pour les boulons intérieurs
   * $e_2$ : pince transversale (distance entre le trou lisse et le bord de la pièce dans le sens perpendiculaire à la sollicitation),
   * $p_2$ : distances entre rangées de boulons, prise perpendiculairement à l'effort,
   * $d_0$ : diamètre du trou lisse ;
* α = $min{e_1/3d_0$ ; $p_1/3d_0$ - 1/4 ; $f_{ub}/f_u$ ; 1}, avec
   * $e_1$ : pince longitudinale (distance entre le trou lisse et le bord de la pièce dans le sens de la sollicitation),
   * $p_1$ : entraxe, si plusieurs tours sont alignés dans le sens de la sollicitation,
   * $f_{ub}$ : résistance à la traction du boulon.

Résistance à la traction des principaux aciers de $construction^,$ :

| Nuance d'acier | S235 | S275 | S355 |
| - | - | - | - |
| Résistance à la traction $f_u$ (MPa) | 360 | 430 | 510 |

**Selon la règle pour le calcul des appareils de levage de la FEM**

La section I de la Fédération européenne de manutention (FEM), consacrée aux appareils lourds de levage et de manutention, étudie le cas dans ses Règles pour le calcul des appareils de levage. La règle, qui s'applique aux assemblage rivetés et boulonnés, n'indique pas la manière dont on calcule la pression diamétrale — on considère habituellement une pression uniforme —, mais fixe la pression limite. La contrainte limite admissible de l'acier est notée $σ_a$ et est égale à la limite d'élasticité $σ_E$ divisée par un coefficient de sécurité $ν_E$ variant, selon les cas d'emploi de l'appareil de levage (grue, pont roulant), de 1,1 à 1,5.

    $σ_a$ = $σ_E/ν_E$

La pression diamétrale maximale admissible sur la surface des trous vaut alors :

    $1,5⋅σ_a$ pour un cisaillement simple (deux plaques, situation de simple recouvrement) ;
    $2⋅σ_a$ pour un cisaillement double ou multiple.

La pression admissible vaut donc, selon les cas, de 1 à 1,8 fois la limite d'élasticité.

**Autre cas**

Pour un assemblage boulonné de pièces en bois, on admet une pression admissible de l'ordre de 4 à 8,5 MPa.

### Palier lisse (coussinet)

Les paliers lisses, ou coussinets, sont des bagues (sorte de tubes) que l'on interpose entre un arbre et l'alésage (perçage assurant le guidage en rotation), et qui permettent de diminuer le frottement. Dans le cas d'un arbre tournant lentement et sous une charge radiale, on peut appliquer légitimement le modèle de la pression diamétrale uniforme (pièces peu déformables avec un jeu négligeable).

Le produit de la pression diamétrale par la vitesse de glissement circonférentielle, appelé facteur pV, mesure la capacité du matériau à supporter l'échauffement par $frottement^,^,.$

Valeurs de pression admissibles :

| Type de coussinet Vitesse circonférentielle maximale | Pression admissible (MPa) |
| - | - |
| Coussinets auto-lubrifiants 7 à 8 m/s 13 m/s pour graphite | graphite : 5 bronze au plomb : 20 à 30 bronze à l'étain : 7 à 35 |
| Coussinet de type Glacier 2 à 3 m/s | acétal : 70 PTFE : 50 |
| Coussinet polymère 2 à 3 m/s | 7 à 10 |
