Plus longue sous-chaîne commune
# Plus longue sous-chaîne commune

En informatique, le problème de la plus longue sous-chaîne commune, à ne pas confondre avec celui de la plus longue sous-séquence commune, consiste à déterminer la (ou les) plus longue(s) chaîne(s) consécutives de caractères qui est sous-chaîne de deux chaînes de caractères. Ce problème se généralise à la recherche de la plus longue sous-chaîne commune à plus de deux chaînes de caractères.

## Exemple

La plus longue sous-chaîne commune à « ABABC », « BABCA » et « ABCBA » est la chaîne « ABC » de longueur 3. Les autres sous-chaînes communes telles que « AB », « BC » et « BA » sont plus courtes.

## Formalisation du problème

Étant donné deux chaînes, $S$ de longueur $n$ et $T$ de longueur $m$, trouver la plus longue chaîne étant en même temps sous-chaîne de $S$ et $T$. Par définition la longueur de la plus longue sous-chaîne est comprise entre $0$ (vocabulaires disjoint) et $max(n,m)$ ($S=T$).

## Algorithmes

Il est possible de déterminer la longueur et la position de départ de la plus longue sous-chaîne de $S$ et $T$ en $\Theta (n+m)$ à l'aide d'un arbre des suffixes généralisé (en). L'algorithme naïf faisant appel à la programmation dynamique est beaucoup plus coûteux en temps : $\Theta (nm)$.

### Arbre des suffixes

La plus longue chaîne commune à un ensemble de chaînes peut être déterminée en construisant l'arbre des suffixes généralisé puis en trouvant le nœud le plus profond ayant des feuilles pointant vers toutes les chaînes. Dans l'exemple ci-contre, le nœud auquel on arrive par « AB » a quatre feuilles dans son sous-arbre ; la feuille de gauche dit qu'une occurrence de la sous-chaîne « AB » commence en position 2 dans la chaîne 0 (« ABAB »), de même, la feuille de droite indique une occurrence débutant en position 0 dans la chaîne 2 (« ABBA ») ; des deux feuilles centrales, celle de gauche indique qu'une occurrence de la sous-chaîne « ABA » commence en position 1 dans la chaîne 1 (« BABA »).

La construction de l'arbre des suffixes a une complexité en temps de $\Theta (N)$, où $N$ est la somme des longueur des chaînes représentées.

La recherche peut se faire en temps similaire grâce à des algorithmes de plus petit ancêtre commun.

### Programmation dynamique

Dans un premier temps, on cherche le plus long suffixe commun pour chaque paire de préfixes des deux chaînes $S$ et $T$. Le plus long suffixe commun du préfixe $S[1,p]$ de longueur $p$ de $S$ et du préfixe $T[1,q]$ de longueur $q$ de $T$ est

    ${\mathsf {PLSuff}}(S[1,p],T[1,q])={\begin{cases}{\mathsf {PLSuff}}(S[1,p-1],T[1,q-1])+1&{\text{si }}S[p]=T[q]\\0&{\text{sinon}}.\end{cases}}$

Pour les chaînes « ABAB » et « BABA », on obtient:

    ABAB 00000 B 00101 A 01020 B 00203 A 01030

Le plus grand de ces suffixes communs à tous les préfixes est la plus longue sous-chaîne commune. Dans la table, elles sont indiquées en rouge, et dans l'exemple, les deux sous-chaînes communes de longueur maximale sont « ABA » et « BAB ».

    ${\mathsf {PLSC}}(S,T)=\max _{1\leq p\leq m \atop 1\leq q\leq n}{\mathsf {PLSuff}}(S[1,p],T[1,q]).$

La méthode peut être étendue à plus de deux chaînes en ajoutant des dimensions à la table.

