Décomposition des idéaux premiers
# Décomposition des idéaux premiers

En théorie algébrique des nombres, le théorème fondamental de l'arithmétique, valable sur les entiers relatifs, peut ne plus être vrai si on considère des entiers algébriques à la place. Toutefois, la théorie des anneaux de Dedekind montre que ce théorème peut être remplacé par un résultat plus faible : l'existence et l'unicité de la factorisation des idéaux premiers.

Une extension (finie) de corps de nombres (algébriques ou p-adiques, donc de caractéristique nulle) L/K étant donnée, la question de la décomposition des idéaux premiers (ou ramification des idéaux premiers) dans l'extension est : quelle est la factorisation dans $O_L$ (l'anneau des entiers algébriques de L) d'un idéal premier de $O_K$ ?

Après l'étude de la ramification en chaque idéal premier considéré isolément, il est souvent intéressant de considérer les propriétés de ramification comme des propriétés sur l'extension considérée : ceci mène aux notions d'extension ramifiée et non ramifiée ou d'extension décomposée.

## Premières définitions

Plus précisément, soit I un idéal premier non nul (c.-à-d. un idéal maximal) de $O_K.$ Alors, il existe des idéaux premiers $J_i$ de $O_L$ tels que :

    $I{\mathcal {O}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}J_{i}^{e_{i}}$

Les idéaux $J_i$ sont dits appelés idéaux premiers de $O_L$ au-dessus de I. On emploie la terminologie suivante :

* L'idéal I est dit décomposé si g > 1. (Dans le cas d'un corps de nombres p-adiques, comme l'anneau d'entiers est local, I n'est jamais décomposé.)
* Il est dit ramifié si les exposants $e_i$ — appelés indices de ramification — ne sont pas tous égaux à 1.

## Relation fondamentale

La factorisation écrite ci-dessus suit la loi suivante :

    $n=[L:K]=\sum _{i=1}^{g}e_{i}f_{i}$

où n = [L:K] désigne le degré de l'extension considérée et $f_i$ = $[l_i:k],$ appelé degré d'inertie ou degré résiduel est le degré de l'extension des corps résiduels k = $O_K/IO_K$ et $l_i$ = $O_L/J_iO_L.$

La loi énoncée ci-dessus se montre grâce au théorème des restes chinois :

    ${\mathcal {O}}_{L}/I{\mathcal {O}}_{L}\simeq \bigoplus _{i=1}^{g}{\mathcal {O}}_{L}/J_{i}^{e_{i}}{\mathcal {O}}_{L}$

En effet, le degré de l'extension vérifie [L:K] = $dim_kO_L/IO_L,$ et d'autre part, on a $e_if_i$ = $dim_kO_L/J_iO_L.$ Les dimensions considérées ici sont des dimensions d'espaces vectoriels sur k, qui est un corps fini (par exemple, dans le cas où K est le corps des nombres rationnels, on retrouve pour k un corps fini de la forme Z/pZ).

L'idéal I est alors dit :

* totalement ramifié s'il n'est pas décomposé et si le (seul) degré d'inertie est 1 : $I{\mathcal {O}}_{L}=J^{n}$ ;
* totalement décomposé s'il est non ramifié et si tous les degrés d'inertie valent 1 : $I{\mathcal {O}}_{L}=J_{1}...J_{n}$.

Note de vocabulaire : Ne pas confondre le terme décomposition de $I$ dans une extension (ce qui est la formule $I{\mathcal {O}}_{L}=\prod _{j}J_{i}^{e_{i}}$ précédente) avec le fait que l'on dit aussi que si le degré résiduel $f_{i}$ de $J_{i}$ (supposé non ramifié) est égal à 1 on dit que $J_{i}$ est décomposé dans $L/K$. Voir l'interprétation Galoisienne ci-dessous, le cas non Galoisien étant très délicat.

## Sur les extensions

Une extension est dite extension non ramifiée si aucun idéal premier ne ramifie. Elle est dite extension totalement décomposée si chaque idéal premier y est totalement décomposé. Il sera souvent intéressant de considérer des extensions non ramifiées sauf pour un nombre spécifié d'idéaux : par exemple, on dira souvent par abus de langage qu'une extension L/K est non ramifiée en dehors de p si les idéaux premiers de K, au-dessus de l'idéal premier de l'anneau des entiers relatifs engendré par p (c'est-à-dire au-dessus de p), sont les seuls à être éventuellement ramifiés dans L/K. De même, une extension est p-décomposée si tous les idéaux de K au-dessus de p sont totalement décomposés dans L/K.

Le corps de classes de Hilbert d'un corps de nombres est par exemple l'extension abélienne non ramifiée maximale de ce corps. La théorie des corps de classes permet d'étudier en profondeur de telles extensions.

## Calcul

Pour calculer effectivement la décomposition (degrés d'inertie, indices de ramification, et idéaux au-dessus), il faut se ramener à nouveau aux corps résiduels. Plus précisément, pour un idéal premier, dont on suppose de plus qu'il est premier au conducteur de l'anneau $O_K[t],$ où t est un générateur de l'extension L/K (c'est-à-dire L=K(t)), on obtient :

### Théorème

Soit $L=K(t)$ une extension finie de corps de nombres, $P$ le polynôme minimal de t dans ${\mathcal {O}}_{K}[X]$, et $I$ un idéal premier de K, qui soit premier au conducteur de ${\mathcal {O}}_{K}[t]$. Si :

    ${\overline {P}}={\overline {P_{1}}}^{e_{1}}\dots {\overline {P_{g}}}^{e_{g}}$

est la factorisation en polynômes irréductibles de l'image du polynôme P dans l'anneau de polynômes (à coefficients dans le corps résiduel, fini) ${\mathcal {O}}_{K}/I{\mathcal {O}}_{K}[X]$, alors, on a :

    $I{\mathcal {O}}_{L}=J_{1}^{e_{1}}\dots J_{g}^{e_{g}}$

où $J_{i}=I{\mathcal {O}}_{L}+P_{i}(t){\mathcal {O}}_{L}$, pour $P_{i}$ un relevé du polynôme ${\overline {P}}_{i}$ dans ${\mathcal {O}}_{K}[X]$.

### Remarques

Il existe des algorithmes de factorisation des polynômes dans les corps finis, donc le calcul des décompositions des idéaux premiers est possible. Toutefois, les calculs deviennent rapidement impraticables quand le degré de l'extension augmente.

## Article connexe

L'article « Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes » traite le cas d'une extension galoisienne. La structure supplémentaire apportera des propriétés de symétrie entre les différents indices de ramification.

