Primorielle
# Primorielle

En théorie des nombres, la primorielle d'un entier naturel $n$, notée $n\#$ ou $P(n)$ [réf. souhaitée], est le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$. Par exemple, la primorielle de 10 est:$10\#=7\#=2\times 3\times 5\times 7=210.$ Ces nombres ont été ainsi nommés par Harvey Dubner.

L'idée de multiplier des nombres premiers consécutifs apparaît dans la démonstration d'Euclide de l'infinité des nombres premiers ; on l'utilise pour montrer l'existence d'un nombre premier plus grand que tout nombre premier $p$ donné : tout diviseur premier du nombre d'Euclide $p\#+1$ est en effet strictement plus grand que $p$. Il est possible que $p\#+1$ soit lui-même premier ; c'est alors un nombre premier primoriel.

## Premières valeurs

Voici les premières valeurs des primorielles, en prenant par convention 0# = 1, sous forme de liste et de représentation graphique. La liste ne donne $n\#$ que pour $n$ premier puisque, par définition, la suite est constante entre deux premiers consécutifs.

| k | n = $p_k$ | n# |
| - | - | - |
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 3 | 6 |
| 3 | 5 | 30 |
| 4 | 7 | 210 |
| 5 | 11 | 2 310 |
| 6 | 13 | 30 030 |
| 7 | 17 | 510 510 |
| 8 | 19 | 9 699 690 |
| 9 | 23 | 223 092 870 |
| 10 | 29 | 6 469 693 230 |
| 11 | 31 | 200 560 490 130 |
| 12 | 37 | 7 420 738 134 810 |

Les indices $k\leqslant 12$ pour lesquels $(p_{k}\#)-1$ est premier sont 2, 3, 5, 6 et ceux pour lesquels $(p_{k}\#)+1$ est premier sont 1, 2, 3, 4, 5, 11 (pour plus d'informations, voir l'article « Nombre premier primoriel » et ses liens externes).

## Évaluations asymptotiques

* Paul Erdős a montré élémentairement en 1932 que $n\#\,\leqslant 4^{n}$ (comme lemme dans sa preuve du postulat de Bertrand).
* Le logarithme de $n\#$ , soit $\sum _{p\leq n}\ln p$ , est égal à $\theta (n)$, où $\theta$ est la première fonction de Tchebychev. Le théorème des nombres premiers étant équivalent à la relation $\theta (n)\sim n$, on obtient : $n\#=\mathrm {e} ^{n+o(n)}$, ce qui implique $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=\mathrm {e}$. Pour $n<10^{11}$ les valeurs de ${\sqrt[{n}]{n\#}}$ sont inférieures à $\mathrm {e}$, mais on remarque ensuite des oscillations autour de $\mathrm {e}$.
* la somme des inverses des primorielles est finie :

    $\sum _{p{\text{ premier}}}{1 \over p\#}={1 \over 2}+{1 \over {2\times 3}}+{1 \over {2\times 3\times 5}}+\ldots =0{,}7052301717918\ldots$ Voir la suite A064648 de l'OEIS.
    Notons que ce nombre est par définition le nombre dont la suite des coefficients du développement de Engel est la suite des nombres premiers.

## Primorielles et nombres composés consécutifs

Pour tout entier $k$ de 2 jusqu'à $n$ inclus, on a ${\text{PGCD}}(n\#,k)>1$ ; on en déduit que les entiers $n\#+2,n\#+3,...,n\#+n$ forment $n-1$ entiers consécutifs composés, ce qui montre qu'il y a des plages de composés consécutifs aussi grandes qu'on veut.

## Produits de primorielles

Un entier $n>0$ est produit de primorielles si et seulement si sa décomposition en produit de facteurs premiers écrite avec des facteurs croissants voit les exposants de ces derniers décroitre :

    $n=p_{1}^{\alpha _{1}}\times p_{2}^{\alpha _{2}}\times \cdots \times p_{k}^{\alpha _{k}}$ avec $\alpha _{1}\geqslant \alpha _{2}\geqslant ...\geqslant \alpha _{k}>0,$

où $p_{k}$ est le k-ieme nombre premier.

Toutes les factorielles sont des produits de primorielles, comme le montre la formule de Legendre exprimant l'exposant du nombre premier $p$ dans la décomposition de $n!$ :

    $\alpha _{p}(n!)=\left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +...$

Par exemple $5040=7!=7\#\times 3\#\times (2\#)^{2}$.

Tout nombre hautement composé est également un produit de primorielles.

## Progressions arithmétiques et primorielles

    Les primorielles jouent un rôle important dans la recherche de suites de $k$ nombres premiers en progression arithmétique (Ben Green et Terence Tao ont établi en 2004 l'existence de telles suites avec $k$ arbitrairement grand, mais de façon non constructive). Pour une telle suite, on a les deux propriétés suivantes :
   * la raison est un multiple de $k\#$, sauf si la suite commence à $k$ (qui doit alors être premier). Par exemple, la suite de 26 nombres premiers trouvée en 2010 par Benoît Perichon et $PrimeGrid^,$ a une raison multiple de 26# = 23# ; elle est donnée par la formule :$43142746595714191+23681770\times 23\#\times n$ pour $n=0,1,...,25$

   * il semble que pour tout $k>7$ , le plus petit multiple (soit $k\#$ lui-même) est atteint pour certaines suites. Cette conjecture est vérifiée au moins jusqu'à $k=21$ ; par exemple, David W. Wilson a découvert en 1999 une suite arithmétique de 13 nombres premiers de raison 13# :$14933623+13\#\times n$ pour $n=0,1,...,12$.

## Numération primorielle

Les primorielles constituent les bases variables de la numération primorielle.

