Hectogone
# Hectogone

En géométrie, un hectogone ou hécatontagone est un polygone à 100 sommets, donc 100 côtés et 4 850 diagonales.

La somme des angles internes d'un hectogone non croisé vaut 17 640 degrés.

## Hectogones réguliers

Un hectogone régulier est un hectogone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a vingt : dix-neuf étoilés (notés {100/k} pour k impair de 3 à 49 sauf les multiples de 5) et un convexe (noté {100}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'hectogone régulier ».

| Représentation | | | | | |
| - | - | - | - | - | - |
| Symbole de Schläfli | {100} | {100/3} | {100/7} | {100/9} | {100/11} |
| Angle interne | 176,4° | 169,2° | 154,8° | 147,6° | 140,4° |
| Représentation | | | | | |
| Symbole de Schläfli | {100/13} | {100/17} | {100/19} | {100/21} | {100/23} |
| Angle interne | 133,2° | 118,8° | 111,6° | 104,4° | 97,2° |
| Représentation | | | | | |
| Symbole de Schläfli | {100/27} | {100/29} | {100/31} | {100/33} | {100/37} |
| Angle interne | 82,8° | 75,6° | 68,4° | 61,2° | 46,8° |
| Représentation | | | | | |
| Symbole de Schläfli | {100/39} | {100/41} | {100/43} | {100/47} | {100/49} |
| Angle interne | 39,6° | 32,4° | 25,2° | 10,8° | 3,6° |

## Caractéristiques de l'hectogone régulier

Chacun des 100 angles au centre mesure ${\frac {360^{\circ }}{100}}=3{,}6^{\circ }$ et chaque angle interne mesure ${\frac {17\,640^{\circ }}{100}}=176{,}4^{\circ }$.

Si a est la longueur d'une arête :

* le périmètre vaut $P=100\,a$ ;
* l'aire vaut $A=25\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{100}}\right)$ ;
* l'apothème vaut $H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{100}}\right)$ ;
* le rayon vaut $R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{100}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{100}}\right)}}$.

L'hectogone est constructible à la règle et au compas.

