Polynôme d'Abel
# Polynôme d'Abel

En mathématiques, les polynômes d'Abel forment une suite de polynômes dont le n-ième est de la forme

$A_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}.~$

Cette suite de polynômes est de type binomial.

## Propriétés

### Fonction génératrice

La fonction génératrice des polynômes d'Abel est :

    $\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {A_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\exp \left({\frac {t}{a}}W(at)\right)$

où W désigne la fonction W de Lambert.

### Identité binomiale

Les polynômes d'Abel vérifient l'identité suivante :

    $(x+y)A_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}A_{k}(x)A_{n-k}(y)$

## Applications

Les polynômes d'Abel sont fondamentaux dans le calcul ombral, dans la mesure où on peut montrer que tous les polynômes de type binomial peuvent être exprimés à partir des polynômes d'Abel.

