Polynôme de Bell
# Polynôme de Bell

En mathématiques, et plus précisément en combinatoire, un polynôme de Bell, nommé ainsi d'après le mathématicien Eric Temple Bell, est défini par:

    $B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}}$

où la somme porte sur toutes les suites $j_1,$ $j_2,$ $j_3,$ …, $j_{n−k+1}$ d'entiers naturels telles que :

    $j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k$ et $j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n$

## Polynômes de Bell complets

La somme

    $B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})$

est parfois appelée n-ème polynôme de Bell complet, et alors les polynômes $B_{n,k}$ définis ci-dessus sont appelés des polynômes de Bell « partiels ». Les polynômes de Bell complets $B_n$ peuvent être exprimés par le déterminant d’une matrice :

    $B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}{0 \choose 0}x_{1}&{1 \choose 0}x_{2}&{2 \choose 0}x_{3}&{3 \choose 0}x_{4}&\cdots &{n-2 \choose 0}x_{n-1}&{n-1 \choose 0}x_{n}\\\\-1&{1 \choose 1}x_{1}&{2 \choose 1}x_{2}&{3 \choose 1}x_{3}&\cdots &{n-2 \choose 1}x_{n-2}&{n-1 \choose 1}x_{n-1}\\\\0&-1&{2 \choose 2}x_{1}&{3 \choose 2}x_{2}&\cdots &{n-2 \choose 2}x_{n-3}&{n-1 \choose 2}x_{n-2}\\\\0&0&-1&{3 \choose 3}x_{1}&\cdots &{n-2 \choose 3}x_{n-4}&{n-1 \choose 3}x_{n-3}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &{n-2 \choose n-2}x_{1}&{n-1 \choose n-2}x_{2}\\\\0&0&0&0&\cdots &-1&{n-1 \choose n-1}x_{1}\end{vmatrix}}=\left|{j-1 \choose i-1}x_{j-i+1}-\delta _{j-i+1}\right|$

avec $δ_k$ le symbole de Kronecker. La matrice dont $B_n$ est le déterminant est une matrice de Hessenberg.

## Interprétation combinatoire

Si l'entier n est partitionné en une somme dans laquelle "1" apparait $j_1$ fois, "2" apparait $j_2$ fois, et ainsi de suite, alors le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments qui correspondent à cette partition de l'entier n quand on ne distingue plus les éléments de l'ensemble est le coefficient correspondant du polynôme.

### Exemples

Par exemple, nous avons :

    $B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}$

car il y a :

* 6 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 5 + 1 ;
* 15 partitions de la forme 4 + 2 ;
* 10 partitions de la forme 3 + 3.

De même :

    $B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}$

car il y a :

* 15 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 4 + 1 + 1 ;
* 60 partitions de la forme 3 + 2 + 1 ;
* 15 partitions de la forme 2 + 2 + 2.

## Propriétés

### Formule de récurrence

    $B_{n+1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n+1})=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{n-k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k})\,x_{k+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})\,x_{n-k+1}$
    avec $B_0$ = 1.

La matrice ${\begin{pmatrix}{j-1 \choose i-1}x_{j-i+1}-\delta _{j-i+1}\end{pmatrix}}$ étant une matrice de Hessenberg, on peut développer son déterminant selon la dernière colonne, donnant la formule de récurrence.

### Nombre de Stirling de seconde espèce

    $B_{n,k}(1,1,\dots ,1)={\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}$

### Nombre de Bell

    $B_{n}(1,1,\dots ,1)=B_{n}$
    $B_{n}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}=B_{n}$

### Nombre de Stirling de première espèce (non signés)

    $B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}$

### Nombre de Lah

    $B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)=\left\lfloor {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rfloor$

### Factorielle

    $B_{n}(0,1,\dots ,n-1)=(n-1)!$ pour n ≥ 1.
    $B_{n}(0!,1!,\dots ,(n-1)!)=n!$
    $B_{n}(-0!,-1!,\dots ,-(n-1)!)=0$

### Dernier argument

* $B_{n,1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{n}$
* $\forall k>1,B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1},x_{n-k+2},\dots ,x_{n})=B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1},0,\dots ,0)$
* $B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1},x_{n})=B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1},0)+x_{n}$

### Type binomial

    $B_{n}(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots ,x_{n}+y_{n})=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{n-k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k})B_{k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{k})$

avec $B_0$ = 1.

### Réciproque

Soit f une fonction infiniment dérivable en un point a et de réciproque $f^{-1},$ alors :

    $y_{n}=\sum _{k=1}^{n}[f]_{x=a}^{(k)}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})\Leftrightarrow x_{n}=\sum _{k=1}^{n}[f^{-1}]_{x=f(a)}^{(k)}B_{n,k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n-k+1})$

**Cas particuliers**

En prenant f (x) = $e^x$ (soit f $^{–1}(x)$ = ln(x)) infiniment dérivable en 0, on a :

* $[f]_{x=0}^{(k)}=1$
* $[f^{-1}]_{x=f(0)}^{(k)}=(-1)^{k-1}(k-1)!$

d’où :

    $y_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})\Leftrightarrow x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n-k+1})$

soit :

    $x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}[B_{1}(x_{1}),B_{2}(x_{1},x_{2}),\dots ,B_{n-k+1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})]$

En prenant f (x) = $x^α$ avec α ≠ 0 (soit f $^{–1}(x)$ = $x^{1/α})$ infiniment dérivable en 1, on a :

* $[f]_{x=1}^{(k)}=\alpha ^{\underline {k}}$
* $[f^{-1}]_{x=f(1)}^{(k)}=\left({\frac {1}{\alpha }}\right)^{\underline {k}}$

avec $.^k$ la factorielle décroissante, d’où :

    $y_{n}=\sum _{k=1}^{n}\alpha ^{\underline {k}}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})\Leftrightarrow x_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{\alpha }}\right)^{\underline {k}}B_{n,k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n-k+1})$

### Factorielle décroissante

    $\forall (a,b)\in \mathbb {N} ^{2},\sum _{k=1}^{n}a^{\underline {k}}B_{n,k}(b^{\underline {1}},b^{\underline {2}},\dots ,b^{\underline {n}})=(ab)^{\underline {k}}$

avec $.^k$ la factorielle décroissante.

### Comportement d’échelle

**Polynômes de Bell partiels**

**Cas général**


    $B_{n,k}(\alpha \beta x_{1},\alpha \beta ^{2}x_{2},\dots ,\alpha \beta ^{n-k+1}x_{n-k+1})=\alpha ^{k}\beta ^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})$

**Polynômes de Bell partiels**

**Cas particuliers**


    $B_{n,k}(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\dots ,\alpha x_{n-k+1})=\alpha ^{k}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})$
    $B_{n,k}(\alpha x_{1},\alpha ^{2}x_{2},\dots ,\alpha ^{n-k+1}x_{n-k+1})=\alpha ^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})$

**Polynômes de Bell complets**

**Cas général**


    $B_{n}(\alpha \beta x_{1},\alpha \beta ^{2}x_{2},\dots ,\alpha \beta ^{n}x_{n})=\beta ^{n}\sum _{k=1}^{n}\alpha ^{k}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})$

**Polynômes de Bell complets**

**Cas particuliers**


    $B_{n}(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\dots ,\alpha x_{n})=\sum _{k=1}^{n}\alpha ^{k}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})$
    $B_{n}(\alpha x_{1},\alpha ^{2}x_{2},\dots ,\alpha ^{n}x_{n})=\alpha ^{n}B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$

**Polynômes de Bell complets**

**Autre expression**


    $B_{n}(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\dots ,\alpha x_{n})=\sum _{k=1}^{n}\alpha ^{\underline {k}}B_{n,k}[B_{1}(x_{1}),B_{2}(x_{1},x_{2}),\dots ,B_{n-k+1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})]$

avec $.^k$ la factorielle décroissante.

### Identité de convolution

Pour des suites $x_n,$ $y_n,$ n = 1, 2, …, on peut définir un produit de convolution par :

    $(x\diamondsuit y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}$

(les bornes de sommation étant 1 et n − 1, et non 0 et n).

Soit $x_{n}^{k\diamondsuit }$ le n-ème terme de la suite $\displaystyle \underbrace {x\diamondsuit \cdots \diamondsuit x} _{k\ \mathrm {facteurs} }$

Alors :

    $B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}$

## Applications

### Formule de Faà di Bruno

La formule de Faà di Bruno peut être énoncée à l'aide des polynômes de Bell de la manière suivante :

    ${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right)$

De même, on peut donner une version de cette formule concernant les séries formelles : supposons que

    $f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}$ et $g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}$

Alors :

    $g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1}) \over n!}x^{n}$

Les polynômes de Bell complets apparaissent dans l’exponentielle d’une série formelle :

    $\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n}$

### Moments et cumulants

Pour une variable aléatoire réelle dont le moment d’ordre r existe, on a :

    $m_{r}=B_{r}(\kappa _{1},\kappa _{2},\dots ,\kappa _{r})$

avec $m_r$ le moment ordinaire d’ordre r et $κ_1,$ $κ_2,$ …, $κ_r$ les cumulants d’ordre 1 à r.

### Représentations de suites polynomiales

Pour toute suite $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ … de scalaires, soit :

    $p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}$

Cette suite de polynômes est de type binomial, c'est-à-dire qu'elle satisfait l'identité binomiale suivante :

    $p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y)$

pour n ≥ 0.

En fait, on a également la réciproque :

Théorème — Toutes les suites de polynômes de type binomial peuvent s’exprimer sous la forme faisant intervenir les polynômes de Bell.

Si nous posons

    $h(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}$

en considérant cette série comme une série formelle, alors pour tout n :

    $h^{-1}\left({\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x)$
