Recouvrement (mathématiques)
# Recouvrement (mathématiques)

Un recouvrement d'un ensemble E est une famille $(X_i)_{i∈I}$ d'ensembles dont l'union contient E, c'est-à-dire telle que tout élément de E appartient à au moins l'un des $X_i.$

## Cas particuliers

Certains auteurs imposent de plus que les $X_i$ soient des sous-ensembles de E. Dans ce cas, les $X_i$ forment un recouvrement de E (si et) seulement si leur union est égale à E, et une partition de E s'ils sont de plus non vides et deux à deux disjoints. Par exemple, pour E = {1, 2, 3, 4}, la famille (∅, {1, 2, 3}, {3, 4}) n'est qu'un recouvrement alors que ({1, 2}, {3, 4}) est une partition.

En topologie, un « recouvrement ouvert » d'une partie E d'un espace topologique X est un recouvrement de E par des ouverts $O_i$ de X ou, ce qui revient au même, par des ouverts $O_i∩$ E de E pour la topologie induite.

## Applications

Le recouvrement permet de décrire des problématiques industrielles, telle que la mise en place d'emploi du temps ou la planification routière.

Des problèmes de théorie des graphes, telles que le recouvrement par nœuds, peuvent aussi être décrits par ce paradigme.

