Distance ultramétrique
# Distance ultramétrique

En mathématiques, et plus précisément en topologie, une distance ultramétrique est une distance d sur un ensemble E vérifiant l'inégalité ultratriangulaire :

$d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))$

Un espace métrique dont la distance vérifie cette propriété est dit ultramétrique.

## Définition et exemples

Soit E un ensemble ; on appelle distance ultramétrique (sur E) une application $d:\mathrm {E} \times \mathrm {E} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ vérifiant les propriétés suivantes :

| Nom | Propriété |
| - | - |
| symétrie | $\forall x,y\in \mathrm {E} ,\ d(x,y)=d(y,x)$ |
| séparation | $\forall x,y\in \mathrm {E} ,\ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ |
| inégalité ultratriangulaire | $\forall x,y,z\in \mathrm {E} ,\ d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))$ |

Compte tenu de la symétrie, l'inégalité ultratriangulaire signifie que dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure ou égale à la plus grande des longueurs des deux autres côtés (donc à la somme de ces deux longueurs, ce qu'exprime l'inégalité triangulaire).

### Distance triviale

Tout ensemble peut être muni de la distance dite triviale ou discrète définie par:

    $d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{si }}x=y\\1&{\text{si }}x\neq y\end{cases}}$

L'inégalité

    $d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))$

est vraie, que x soit égal à z ou non. Il s'agit donc d'une distance ultramétrique.

### Distance p-adique sur l'ensemble ℚ

Pour un nombre premier p, on peut définir la valuation p-adique $v_{p}(r)$ de tout nombre rationnel r non nul.

On prouve facilement que cette application vérifie

    $v_{p}(r+r')\geq \inf(v_{p}(r),v_{p}(r'))$ et $v_{p}(-r)=v_{p}(r).$

On définit alors la distance p-adique sur ℚ par :

    $d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{si }}x=y\\p^{-v_{p}(x-y)}&{\text{si }}x\neq y\end{cases}}$

La propriété précédente de $v_{p}$ conduit facilement à l'inégalité ultramétrique. Les deux autres vérifications sont aisées.

Il s'agit donc bien d'une distance ultramétrique sur ℚ.

### Autres exemples

* Soient X un ensemble quelconque et E = $X^ℕ$ l'ensemble des suites à valeurs dans X. On munit E d'une structure d'espace ultramétrique complet en posant$k(x,y)=\inf\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}\neq y_{n}\}$ (autrement dit : $k(x,x)=+\infty$ et si $x\neq y$, $k(x,y)$ est le rang du premier terme où les deux suites diffèrent), puis$d(x,y)={\frac {1}{1+k(x,y)}}$$^,ou$ encore, pour un réel $a>1$ arbitraire :$d_{a}(x,y)=a^{-k(x,y)}$,qui est une distance uniformément équivalente à $d$.Pour X = {0, 1}, on obtient l'espace de Cantor et pour X = ℕ, l'espace de Baire.
* En génétique, la distance entre génotypes le long des branches d'un arbre phylogénétique peut être mesurée par une distance ultramétrique.

## Propriétés

Voici quelques propriétés d'un espace ultramétrique, qui semblent aller contre l'intuition.

* Il n'existe pas de boules sécantes, en ce sens que si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun, alors l'une contient l'autre :

    $B(a,r)\cap B(a',r')\neq \varnothing {\text{ et }}r\leq r'\Rightarrow B(a,r)\subset B(a',r')$.
* Tout point d'une boule en est un centre :

    $\forall x\in B(a,r)\quad B(x,r)=B(a,r)$.
* Dans un espace métrique, toute boule ouverte est ouverte, toute boule fermée est fermée. Dans un espace ultramétrique, on a de plus :

    Toute boule fermée de rayon non nul est ouverte. Toute boule ouverte est fermée.
    Par conséquent, tout espace topologique ultramétrisable est de dimension nulle donc totalement discontinu, c'est-à-dire que ses composantes connexes sont les singletons.
* Étant donné trois points, les deux plus proches sont à la même distance du troisième, autrement dit : « tout triangle est isocèle et sa base est au plus égale aux côtés égaux », ce qui s'écrit aussi :

    $d(x,y)\neq d(y,z)\Rightarrow d(x,z)=\max(d(x,y),d(y,z))$.
* Pour qu'une suite $(x_{n})$ soit de Cauchy, il suffit que $d(x_{n},x_{n+1})\to 0.$

### Application

Soit X un ensemble muni d'une distance ultramétrique d, et soit r un nombre positif. L'ensemble des boules de rayon r définies sur X constitue une partition de X. En faisant croître r à partir de 0, on forme une chaîne de finesse entre ces partitions, de la plus fine (partition discrète pour r = 0) à la moins fine (partition universelle pour r maximal). C'est une des bases de la classification automatique par regroupement hiérarchique.

