Diviseur spécial
# Diviseur spécial

En mathématiques, un diviseur spécial est un diviseur sur une courbe algébrique qui possède la particularité de déterminer plus de fonctions compatibles qu'attendu.

La condition pour qu'un diviseur D soit spécial peut être formulée en termes de cohomologie des faisceaux comme la non-trivialité du groupe de cohomologie $H^1$ du faisceau des sections du faisceau inversible associé à D. Par le théorème de Riemann-Roch, cela signifie que le groupe de cohomologie $H^0,$ espace des sections holomorphes, est plus gros qu'attendu.

Par dualité de Serre, cette condition se traduit par l'existence de différentielles holomorphes de diviseur ≥ −D sur la courbe.

## Théorie de Brill-Noether

La théorie de Brill-Noether, en géométrie algébrique, traite des diviseurs spéciaux sur les courbes algébriques « génériques (en) ». Il est principalement intéressant quand le genre g est supérieur ou égal à 3.

Le théorème de Riemann-Brill-Noether, dont la première preuve rigoureuse fut donnée par Phillip Griffiths et Joe Harris, peut se formuler en termes de la variété de Picard Pic(C) et du sous-ensemble de Pic(C) correspondant aux classes d'équivalence des diviseurs D de degré n pour lesquels l(D) (avec les notations du théorème de Riemann-Roch) est égal à r : la dimension dim(n, r, g) de ce sous-schéma de Pic(C) est supérieure ou égale à r(n − r + 1) − (r − 1)g.

Cette borne est atteinte pour les courbes de modules (en) génériques.

On peut formuler ce problème en dimensions supérieures, et il existe maintenant une théorie de Brill-Noether pour certaines classes de surfaces algébriques.

