Nombre hautement composé supérieur
# Nombre hautement composé supérieur

Un nombre hautement composé supérieur est un entier naturel non nul qui a plus de diviseurs que n'importe quel autre entier relativement à une puissance du nombre lui-même. Cette définition a été formulée par Srinivasa Ramanujan en 1915.

Il s'agit d'une condition plus restrictive que celle d'un nombre hautement composé défini comme un entier strictement positif qui a strictement plus de diviseurs que les nombres qui le précèdent.

## Définition

Un nombre $n$ est dit hautement composé supérieur, s'il existe un réel positif $\lambda$ tel que :

* pour tout entier naturel $k$ inférieur à $n$ : ${\frac {\sigma _{0}(n)}{n^{\lambda }}}\geq {\frac {\sigma _{0}(k)}{k^{\lambda }}}$
* pour tout entier naturel $k$ strictement supérieur à $n$ : ${\frac {\sigma _{0}(n)}{n^{\lambda }}}>{\frac {\sigma _{0}(k)}{k^{\lambda }}}$

où $\sigma _{0}$ est la fonction "nombre de diviseurs" qui à tout entier naturel non nul associe le nombre de ses diviseurs.

## Liste

Les dix premiers nombres hautement composés supérieurs sont les suivants :

| Nombre hautement composé supérieur (suite A002201 de l'OEIS) | 2 | 6 | 12 | 60 | 120 | 360 | 2520 | 5040 | 55 440 | 720 720 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| Nombre de diviseurs positifs | 2 | 4 | 6 | 12 | 16 | 24 | 48 | 60 | 120 | 240 |
| Décomposition en facteurs premiers | 2 | 2 ⋅ 3 | $2^2$ ⋅ 3 | $2^2$ ⋅ 3 ⋅ 5 | $2^3$ ⋅ 3 ⋅ 5 | $2^3$ ⋅ $3^2$ ⋅ 5 | $2^3$ ⋅ $3^2$ ⋅ 5 ⋅ 7 | $2^4$ ⋅ $3^2$ ⋅ 5 ⋅ 7 | $2^4$ ⋅ $3^2$ ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 | $2^4$ ⋅ $3^2$ ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 |
| Décomposition en produit de primorielles | 2 | 6 | 2 ⋅ 6 | 2 ⋅ 30 | $2^2$ ⋅ 30 | 2 ⋅ 6 ⋅ 30 | 2 ⋅ 6 ⋅ 210 | $2^2$ ⋅ 6 ⋅ 210 | $2^2$ ⋅ 6 ⋅ 2310 | $2^2$ ⋅ 6 ⋅ 30030 |

On remarque que les 15 premiers nombres hautement composés supérieurs c'est-à-dire 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200 et 6983776800 sont aussi les 15 premiers nombres colossalement abondants.

## Propriétés

Tout nombre hautement composé supérieur est aussi un nombre hautement composé, la réciproque n'étant pas vraie.

## Bases hautement composées supérieures

Les premiers nombres hautement composés supérieurs ont souvent été utilisés comme base de système de numération, du fait de leur important nombre de diviseurs par rapport à leur taille. On peut citer :

* le système binaire : base 2
* le système sénaire : base 6
* le système duodécimal : base 12
* le système sexagésimal : base 60

En outre 360 est le nombre de degrés dans un tour complet.

