Ressaut hydraulique
# Ressaut hydraulique

Le ressaut hydraulique est un phénomène couramment observé lors d'écoulements hydrauliques à surface libre tels des rivières ou des déversoirs. Lorsque le fluide subit une perte importante de vitesse, la surface de l'écoulement s'élève brusquement. L'énergie cinétique est transformée en énergie potentielle et en turbulence, qui se traduit par des pertes irréversibles de charge. Le flot, qui était rapide, ralentit et s'empile sur lui-même à la manière d'une onde de choc supersonique.

Ce phénomène dépend de la vitesse initiale du fluide. Si cette vitesse est inférieure à la vitesse critique, aucun ressaut n'est possible. Lorsque la vitesse du liquide n'est pas nettement supérieure à la vitesse critique, la transition apparaît comme un système d'ondes. Si la vitesse du flot devient plus grande, la transition est de plus en plus abrupte, jusqu'à ce que la zone de transition se brise et s'enroule sur elle-même. Lorsque ce phénomène se produit, le ressaut apparaît, en conjonction avec une violente turbulence, la formation de rouleaux et de vagues.

Les deux manifestations principales d'un ressaut hydraulique sont :

* le ressaut hydraulique stationnaire où le flot rapide se transforme en un flot plus lent (figures 1 et 2) ;
* le mascaret, qui est une vague remontant le flot (figure 3).

Le concept de ressaut hydraulique peut se généraliser en météorologie en présence d'ondes de relief. De la même manière que pour un écoulement dans une rivière, si la vitesse de l'air (le vent) est importante, des ressauts hydrauliques se forment, qui peuvent être assez violents pour briser des $aéronefs^,.$

## Ressaut hydraulique dans un écoulement à surface libre

Pour des écoulements caractérisés par la transition d'un écoulement torrentiel à un écoulement de type fluvial, les lignes de courant divergent fortement et l'écoulement devient rapidement varié en ce qui concerne le profil de la surface libre. Si l'exhaussement de la ligne d'eau est suffisamment important, on observe un ou plusieurs rouleaux plus ou moins instables avec déferlement et turbulence importante qui entraînent une dissipation d'énergie non négligeable.

Le ressaut hydraulique désigne uniquement cette transition. Il s'accompagne d'une dissipation d'énergie (perte de charge). Par ailleurs, une partie de l'énergie cinétique est convertie en énergie potentielle (la vitesse diminue et la hauteur augmente). Le ressaut est caractérisé par une forte turbulence.

Ces caractéristiques ont permis aux ingénieurs (à partir des années 1950) de remplacer les évacuateurs de crue « en cascades successives » aussi dénommés « coursiers en marches d'escalier » (stepped spillways) utilisés depuis au moins 3500 ans et équipant environ 1/3 des barrages nord-américains, en les remplaçant par des bassins dissipateurs d'énergie par ressaut hydraulique, bien moins coûteux. Mais la technique "en escalier" a trouvé un regain d'intérêt à la fin du XXe siècle car elle est bien plus efficace pour réoxygéner l'eau prélevée en fonds de réservoir en amont du barrage, moins traumatisante pour les organismes aquatiques présents dans le flux, et car grâce aux nouveaux matériaux et à une meilleure connaissance des écoulements diphasiques (ces derniers entrainent en effet une grande quantité d'air avec l'eau en condition d'écoulement supercritique, formant une « eau blanche » et « mousseuse », et donc bien plus volumineuse) il est aujourd'hui moins nécessaire de surdimensionner les installations. Il a aussi récemment été démontré que la présence d'air dans l'eau s'écoulant à grande vitesse réduit ou empêche l'érosion des matériaux par cavitation.

### Nombre de Froude, flot critique

On considère un canal fluvial ouvert rectangulaire. Soit v la vitesse de l'eau et soit h la profondeur. On appelle charge hydraulique E la quantité suivante :

    $E={1 \over 2}v^{2}+gh$

On définit l'écoulement Q comme étant la quantité :

    $Q=vh$

Pour une charge hydraulique donnée, l'écoulement Q va être maximal lorsque :

    $v_{0}={\sqrt {gh_{0}}}$

Un tel écoulement est appelé écoulement critique.

On cherche à déterminer quelle est la hauteur h₀ pour laquelle l'écoulement sera maximal pour une charge E donnée. Une telle hauteur est appelée hauteur critique.

On résout :

    ${dv_{0} \over dh_{0}}h_{0}+v_{0}={dQ \over dh_{0}}=0$

On a :

    $0=dE=v_{0}dv_{0}+gdh_{0}$

et donc :

    ${dv_{0} \over dh_{0}}=-{g \over v_{0}}$

Finalement, on résout donc :

    $-{g \over v_{0}}h_{0}+v_{0}=0$

et finalement :

    $v_{0}={\sqrt {gh_{0}}}$

On définit maintenant le nombre de Froude comme suit :

    $Fr^{2}={v_{0}^{2} \over gh_{0}}$

L'écoulement sera dit sous-critique si Fr < 1, critique si Fr = 1 et super-critique si Fr > 1.

### Équation de Belanger

On considère un flux super-critique en aval d'une obstruction. On va démontrer que l'écoulement va être soumis à un ressaut qui va diminuer la charge hydraulique. On suppose qu'à l'origine, l'écoulement est de hauteur h₁ et de vitesse v₁. On rappelle que le nombre de Froude associé sera :

    $Fr^{2}={v_{1}^{2} \over gh_{1}}$

L'équation de Belanger exprime la hauteur h₂ du ressaut comme suit:

${h_{2} \over h_{1}}={-1+{\sqrt {1+8Fr^{2}}} \over 2}$

On constate que lorsque l'écoulement est légèrement super-critique, l'écoulement en aval du ressaut hydraulique va être à une très bonne approximation critique. Même si Fr = 2, le nombre de Froude en aval du ressaut sera proche de 1.

Toutefois, lorsque le nombre de Froude en amont est important, l'écoulement en aval va devenir nettement sous-critique.

Comme on verra plus tard, il est avantageux de supposer que l'accélération de la gravité n'est pas uniforme le long du flot. Cette hypothèse supplémentaire va permettre de généraliser ce modèle aux phénomènes météorologiques en aval d'une montagne.

Le courant super-critique n'est pas dans un état stable et le flot va rebondir. Lors du rebond, le flot va être turbulent et l'énergie (charge) va se dissiper en chaleur. On ne peut donc pas appliquer la loi de conservation de l'énergie. Toutefois, on peut écrire que la différence de la quantité de mouvement en amont et lors du ressaut est égale à la force de pression appliquée au fluide. Soit v₂ la vitesse du flot dans le ressaut hydraulique et soit h₂ la hauteur du ressaut. Soit ρ la densité du fluide. On considère une colonne d'eau de base infiniment petite δ S. On suppose qu'à la position x, la hauteur est h et la vitesse v. On considère maintenant la quantité de mouvement en xx pour une colonne infinitésimale :

    $\delta P(x)=\rho \delta Sh(x)v(x)$

Comme on verra plus tard, il est avantageux de supposer

En x + δ x, où δ x est infiniment petit, la quantité de mouvement sera :

    $\delta P(x+\delta x)=\rho \delta Sh(x+\delta x)v(x+\delta x)$

Soit L la largeur du canal, on a alors :

    $\delta S=L\delta x$.

La différence de quantité de mouvement sera donc :

    $\Delta \delta P=\rho L\delta x\left({dh \over dx}v+{dv \over dx}h\right)\delta x$

La force de pression δ F_p à la hauteur z sera :

    $\delta F_{p}(z)=\rho \left[g(x+\delta x)(h(x+\delta x)-z)-g(x)(h(x)-z)+{1 \over 2}\left(v(x+dx)^{2}-v(x)^{2}\right)\right]L\delta z$

On développe et donc :

    $\delta F_{p}(z)=\rho \left[\left(g(x)+{dg \over dx}(h(x)-z)\delta x\right)(h(x+\delta x)-z)-g(x)(h(x)-z)+{1 \over 2}\left(v(x+dx)^{2}-v(x)^{2}\right)\right]L\delta z$

Donc :

    $\delta F_{p}(z)=\rho \left[g(x)(h(x+\delta x)-z)+{dg \over dx}\delta x(h(x+\delta x)-z)-g(x)(h(x)-z)+{1 \over 2}\left(v(x+dx)^{2}-v(x)^{2}\right)\right]L\delta z$

On obtient donc :

    $\delta F_{p}(z)=\rho \left[g{dh(x) \over dx}\delta x+{dg \over dx}(h(x)-z)\delta x+v(x){dv \over dx}\delta x\right]L\delta z$

En intégrant suivant z, on obtient :

    $\delta F_{p}=\rho \left[g{dh(x) \over dx}h\delta x+{1 \over 2}{dg \over dx}h\delta x+v(x){dv \over dx}\delta x\right]Lh$

En utilisant la loi de Newton, on écrit :

    $\Delta \delta P=\delta F_{p}\delta t$

On a $\delta t={\delta x \over v}$

En combinant les équations, on obtient :

    $\rho \left[g{dh(x) \over dx}h\delta x+{1 \over 2}{dg \over dx}h\delta x+v(x){dv \over dx}\delta x\right]Lh{\delta x \over v}=\rho L\delta x\left({dh \over dx}v+{dv \over dx}h\right)\delta x$

On obtient alors une grande simplification :

    $\left(g{dh(x) \over dx}h+{1 \over 2}{dg \over dx}h^{2}+v(x){dv \over dx}h\right){1 \over v}={dh \over dx}v+{dv \over dx}h$

et donc :

    $g{dh(x) \over dx}h+{1 \over 2}{dg \over dx}h(x)^{2}={dh \over dx}v^{2}$

On remarque que le flot est uniforme et donc $v\times h=Q$. Donc,

Donc :

    ${dh \over dx}=-{Q \over v^{2}}{dv \over dx}$

Donc :

    ${d \over dx}\left[{1 \over 2}gh^{2}\right]=g{dh(x) \over dx}h+{1 \over 2}{dg \over dx}h(x)^{2}=-{dv \over dx}Q$

Et maintenant en intégrant suivant x, on obtient :

    ${1 \over 2}(g_{2}h_{2}^{2}-g_{1}h_{1})^{2}=-Q(v_{2}-v_{1})=Q(v_{1}-v_{2})$

On remarque que :

    $v_{2}=v_{1}{h_{1} \over h_{2}}$

Donc :

    ${1 \over 2}(g_{2}h_{2}^{2}-g_{1}h_{1}^{2})=Qv_{1}\left(1-{h_{1} \over h_{2}}\right)=v_{1}^{2}h_{1}\left(1-{h_{1} \over h_{2}}\right)$

Dans ce qui suit, on va supposer que l'accélération gravitationnelle est uniforme. Avec cette hypothèse supplémentaire, on obtient donc :

    ${1 \over 2}g(h_{2}+h_{1})(h_{2}-h_{1})h_{2}=v_{1}^{2}h_{1}(h_{2}-h_{1})$

Puisqu'il y a ressaut hydraulique, on a $h_{1}\neq h_{2}$ et donc on peut diviser par h₂-h₁ et donc :

    ${1 \over 2}g(h_{2}+h_{1})h_{2}=v_{1}^{2}h_{1}$

On divise par $h_{1}^{2}$ et donc :

    $\left({h_{2} \over h_{1}}\right)^{2}+{h_{2} \over h_{1}}=2{v_{1}^{2} \over gh_{1}}$

Cette équation est une équation quadratique en y = h₂/h₁. On définit le nombre de Froude Fr comme étant :

    $Fr^{2}={v_{1}^{2} \over gh_{1}}$

L'équation à résoudre est alors :

    $y^{2}+y-2Fr^{2}=0$

La racine positive de cette équation est donc :

    $y={-1+{\sqrt {1+8Fr^{2}}} \over 2}$

Pour des nombres de Froude élevés, on a :

    $x\simeq {\sqrt {2}}Fr$

On définit maintenant $z={h_{2} \over h_{0}}$. On suppose que h₁ < h₀.

On a :

    $z=y{h_{1} \over h_{0}}$.

On a :

    $Fr^{2}={v_{1}^{2} \over gh_{1}}={v_{0}^{2} \over gh_{0}}\times \left({v_{1} \over v_{0}}\right)^{2}\times {h_{0} \over h_{1}}=1\times \left({h_{0} \over h_{1}}\right)^{3}$

On obtient donc :

    ${h_{2} \over h_{0}}={h_{1} \over h_{0}}\times {1 \over 2}\left[-1+{\sqrt {-1+8\left({h_{0} \over h_{1}}\right)^{3 \over 2}}}\right]$

On considère maintenant la fonction $f:x\to {-1+{\sqrt {1+8x^{3 \over 2}}} \over 2x}$. On a f(1) = 1. On écrit $x=1+h$ et on effectue un développement limité au voisinage de 1. On obtient :

    $f(1+h)={-1+{\sqrt {1+8(1+h)^{3 \over 2}}} \over 2(1+h)}\simeq {1 \over 2}(1-h)\times \left(-1+{\sqrt {9+8\times {3 \over 2}h}}\right)\simeq {1 \over 2}(1-h)\times \left[-1+{\sqrt {9\left(1+{12 \over 9}h\right)}}\right]$

Donc :

    $f(1+h)\simeq {1 \over 2}(1-h)\times \left[-1+{\sqrt {9}}\times {\sqrt {\left(1+{12 \over 9}h\right)}}\right]\simeq {1 \over 2}(1-h)\times \left[-1+3\times \left(1+{6 \over 9}h\right)\right]\simeq {1 \over 2}(1-h)\times \left[2+{18 \over 9}h\right]\simeq 1$

Donc, au premier ordre, on a : $f(1+h)=1$

On constate que f(2) = 0.95 et donc pour des petits nombres de Froude au-desdus de l'unité, le courant devient approximativement critique. Cependant, lorsque x devient grand, on a :

    $f(x)\approx {{\sqrt {8}}x^{3 \over 2} \over 2x}={\sqrt {2x}}$

et l'on sera en présence d'un ressaut important.

On considère le cas extrême où $h_{0}=\infty$. Dans ces conditions, l'équation x devient :

    $x^{3}-3x+2=0$

On doit donc résoudre :

    $(x-1)^{2}(x+2)=0$

### Effet d'un obstacle en travers du flot

On considère maintenant un obstacle en travers du flot de hauteur H₀ on suppose que le flot au-dessus de l'obstacle est critique. Soit h la hauteur du courant en aval de l'obstacle. On définit :

    $h_{0}=h-H_{0}$

La hauteur du courant d'eau h₁ juste en aval de l'obstacle telle que calculée par Joachim Küttner sera donnée par l'équation suivante :

    $h_{0}+2(H_{0}+h_{0})={h_{0}^{3} \over h_{1}^{2}}+2h_{1}$

La loi de conservation du flux s'écrit :

    $Q=h_{0}v_{0}=h_{1}v_{1}$

où v₁ est la vitesse de l'écoulement en aval de l'écluse. On suppose que l'écoulement est laminaire juste en aval de l'obstacle et donc que l'énergie est conservée. On a :

    $E={1 \over 2}v_{0}^{2}+g(H_{0}+h_{0})={1 \over 2}v_{1}^{2}+gh_{1}$

On substitue v₁ et l'on obtient :

    $E={1 \over 2}v_{0}^{2}+g(H_{0}+h_{0})={1 \over 2}{Q^{2} \over h_{1}^{2}}+gh_{1}$

On rappelle que $v_{0}={\sqrt {gh_{0}}}$ et que $Q=v_{0}h_{0}={\sqrt {gh_{0}^{3}}}$ et donc :

    $E={1 \over 2}gh_{0}+g(H_{0}+h_{0})={1 \over 2}{gh_{0}^{3} \over h_{1}^{2}}+gh_{1}$

Cette équation se simplifie et donc :

    $h_{0}+2(H_{0}+h_{0})={h_{0}^{3} \over h_{1}^{2}}+2h_{1}$

On définit $x={h_{0} \over h_{1}}$. Donc finalement :

    $\left(2{H_{0} \over h_{0}}+3\right)x=x^{3}+2$

Cette équation est une équation cubique en x.

On suppose par exemple que h₀ = 0.4 × H₀. Dans ces conditions, on obtient $x\approx 1.5$.

## Application en météorologie

Il n'y a pas si longtemps, certains phénomènes météorologiques en aval des montagnes n'étaient pas compris. On pourra citer le föhn qui est un vent brûlant provenant du sud soufflant au nord de l'arc alpin. Ce vent est souvent tempétueux et une croyance qui a perduré jusqu'au milieu du XIXe siècle voulait que ce vent provînt directement du Sahara jusqu'à ce qu'une explication plus correcte fût $donnée^,.$ Dans le même ordre d'idées, beaucoup d'avions se sont dans le passé abîmés en aval de la Sierra Nevada par temps de Chinook, les pilotes pensant que les altimètres étaient déréglés alors qu'ils ont simplement été pris dans des ondes de relief qui sont parfaitement laminaires. Ces ondes laminaires surmontent des zones de turbulence appelées rotors qui peuvent être tellement violentes que des aéronefs ont été détruits en tentant de traverser ces zones.

Joachim Küttner a proposé une explication élégante de tous ces phénomènes basée sur l'hydrodynamique. Le caractère tempétueux du föhn peut s'expliquer simplement en considérant que le flux d'air au-dessus d'une chaîne de montagnes peut être assimilé au flot dans un canal fluvial comme le canal du Midi qui rencontre une écluse (qui est inversée car la porte se lèverait à partir du sol).

Ainsi comme il a été montré dans la section ci-dessus, lorsque le flot rencontre un obstacle, l'épaisseur du flot diminue tandis que celui-ci accélère nettement. Cela explique pourquoi le föhn peut être extrêmement violent juste en aval de la chaîne alpine.

Comme l'équation de Belanger indique, un ressaut hydraulique s'accompagne d'une perte de charge et donc cette énergie doit être dissipée sous forme de turbulence et de chaleur. La turbulence sera d'autant plus forte que la perte de charge sera forte.

Dans ce qui suit, on quantifie la violence des rotors.

### Hypothèses de base

Soit $\theta$ la température virtuelle au sein de l'atmosphère et soit $\Delta \theta$ la différence de température virtuelle entre la parcelle d'air en ascension et la température virtuelle de la masse d'air extérieure. On définit alors la flottabilité de la parcelle d'air γ comme étant :

    $\gamma ={g\Delta \theta \over \theta }$

On notera que γ n'est pas uniforme.

La modélisation des rotors et ondes de relief sera basée sur la théorie précédente ou l'on remplace g par γ qui peut être 50 fois plus petite. Le nombre de Froude est défini par :

    $Fr^{2}={v^{2} \over \gamma h}\approx 1$

On remplace γ. On a :

    $\gamma =g{\Delta \theta \over \theta }\simeq g{\partial \theta \over \partial z}{\Delta z \over \theta }$

Si N est la fréquence de Brunt-Väisälä, on a alors :

    $\gamma =N^{2}\Delta z=N^{2}H_{0}$

### Calcul du ressaut : cas fréquence Brunt-Väisälä uniforme

Dans ce qui suit, on va modeler le ressaut hydraulique dans la vallée d'Owens où l'altitude est de 1 200 m. En aval de cette vallée se trouve le Mont Whitney qui est à 4 400 m. On considère un vent d'ouest de 40 nœuds soit 20 m/s au sommet de la montagne qui est typique de la région. En moyenne, on suppose que la chaîne s'élève à 2 700 m. Donc H₀ = 2700 m.

On suppose que l'écoulement au sommet de la montagne est critique. Si v₀ est la vitesse du vent au sommet de la montagne, la hauteur de l'écoulement h₀ sera donc donnée par l'équation :

    $v_{0}^{2}=\gamma h_{0}=N^{2}H_{0}h_{0}$

Donc :

    $h_{0}={v_{0}^{2} \over N^{2}H_{0}}$

On suppose l'atmosphère est standard et donc que $N=1.2\times 10^{-2}$ s. On obtient alors :

    $h_{0}={20\times 20 \over 1.2\times 1.2\times 10^{-4}\times 2700}\approx 1000\ m$

En application de l'équation de Küttner, on obtient ${h_{0} \over h_{1}}=2.7$ et donc : h1 = 370 m.

On applique l'équation de conservation de la masse en ce qui concerne le vent v₁ en x₁. On a donc : $v_{0}h_{0}=v_{1}h_{1}$ et donc $v_{1}={v_{0}h_{0} \over h_{1}}$. Donc en théorie, le vent en x₁ serait v₁ = 40 × 2.7 = 108 nœuds. En pratique le vent au sol sera plus faible ce à cause de la friction. On notera que le papier de Küttner est incorrect lorsqu'il affirme que ${h_{0} \over h_{1}}\approx 2$ le facteur correct étant 2.7. Le nombre de Froude à cette location vaut :

    $Fr=\left({h_{0} \over h_{1}}\right)^{3 \over 2}=2.7^{3 \over 2}=4.5$

En application de l'équation de Belanger, on obtient donc :

    ${h_{2} \over h_{1}}={-1+{\sqrt {8Fr^{2}+1}} \over 2}\approx {\sqrt {2}}Fr=6.3$

On obtient alors h₁ = 2330 mètres. Le ressaut n'atteint même pas la hauteur de la ligne de crêtes qui est à 2700 mètres. Ce modèle est donc incomplet.

### Équation de Belanger généralisée

Küttner affirme que les rotors sont beaucoup plus violents en fin d'après midi lorsque le sol a été chauffé par le soleil. En effet la région située à l'est de la Sierra Nevada est une région semi-aride et il est courant que le versant californien soit pris par les nuages tandis que le versant est dégagé ce qui permet aux basses couches de l'atmosphère de plus se réchauffer en cours de journée, ce qui tend alors à réduire l'inversion de température. Ainsi, Küttner a modelé cet affaiblissement de l'inversion par un coefficient d'accélération moindre au niveau du ressaut.

On suppose que l'accélération de la gravité varie de g₁ à g₂ lors du ressaut hydraulique. La hauteur du ressaut est alors donnée par l'équation suivante qui est l'équation de Belanger généralisée :

    ${1 \over 2}(g_{2}h_{2}^{2}-g_{1}h_{1}^{2})=v_{1}^{2}h_{1}\left(1-{h_{1} \over h_{2}}\right)$

En d'autres termes, le ressaut va être d'autant plus violent que l'inversion sera diminuée et donc que g₂ sera diminuée.

Lors d'un ressaut hydraulique, on $h_{2}\gg h_{1}$ et $v_{1}\gg v_{2}$. L'équation généralisée de Belanger peut se simplifier comme suit :

    ${1 \over 2}g_{2}h_{2}^{2}\approx v_{1}^{2}h_{1}$

Et donc :

    $h_{2}\approx v_{1}{\sqrt {2h_{1} \over g_{2}}}$

On suppose que g₂ = g₁ / 4. On suppose que g₁ = 0.4 m/s². On a vu que h₁ = 370 et v₁ = 54. On obtient alors :

    $h_{2}=54\times {\sqrt {2\times 370 \over 0.1}}=4650$ mètres.

Dans ces conditions, le ressaut s'élève nettement au-dessus de la ligne de crête. On notera que des ressauts s'élevant jusqu'à 9000 mètres ont pu être $observés^,.$

### Étude d'un phénomène identique en Colombie

En Colombie, la vallée de Cauca située dans les Andes sépare 2 chaînes de montagnes de manière à peu près identique à la vallée d'Owens qui sépare la Sierra Nevada des monts de Panamint. Ainsi, par vent d'ouest de l'air frais provenant de l'océan Pacifique se réchauffe par effet de föhn dans la vallée de Cauca et engendre un ressaut hydraulique générateur d'orages.

