Représentation d'interaction
# Représentation d'interaction

La représentation d'interaction ou représentation de Dirac de la mécanique quantique est une manière de traiter les problèmes dépendant du temps.

## Condition d'application de la représentation d'interaction

Dans la représentation d'interaction, on applique les hypothèses suivantes :

On considère un hamiltonien ayant la forme suivante :

    ${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)$

où ${\hat {H}}_{0}$ est constant dans le temps et ${\hat {V}}(t)$ décrit une interaction perturbative qui peut dépendre du temps.

* Les états propres sont dépendants du temps
* Les opérateurs sont aussi dépendants du temps
* La dynamique des états est décrite suivant la représentation de Schrödinger tandis que la dynamique des opérateurs est décrite suivant la représentation de Heisenberg.
* La représentation de Dirac ne s'applique efficacement qu'à certains problèmes. L'exemple le plus parlant est celui des perturbations dépendant du temps.

## Propagateurs

Afin de reconnaître qu'on travaille dans la représentation d'interaction, les états et les opérateurs seront suivis de l'indice « I » (comme interaction). Le sens de cette représentation tient en ce que la dépendance en temps due à ${\hat {H}}_{0}$ sera prise en compte dans la dépendance explicite des observables en fonction du temps et la dépendance en temps due à ${\hat {V}}(t)$ dans le développement de la fonction d'onde. C'est une autre façon de décrire la même physique. Ceci signifie que les grandeurs physiques significatives sont inchangées.

Il y a deux opérateurs d'évolution dans le temps :

* l'opérateur "normal" relatif à l'hamiltonien complet ${\hat {H}}$ :

    ${\hat {U}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }$
* l'opérateur relatif à l'hamiltonien non perturbé ${\hat {H}}_{0}$ :

    ${\hat {U}}_{0}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})/\hbar }$

## Définition des hamiltoniens et fonction d'onde d'interaction

L'opérateur dépendant du temps ${\hat {A}}_{I}(t)$ s'écrit comme dans la représentation de Heisenberg

    $A_{I}(t)={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {A}}_{S}(t_{0}){\hat {U}}_{0}(t,t_{0})={\rm {e}}^{\frac {i\,{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}{\hbar }}{\hat {A}}_{S}(t_{0}){\rm {e}}^{-{\frac {i\,{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}{\hbar }}}\,.$

l'état dépendant du temps $|\psi (t)\rangle _{I}$ n'est accessible qu'indirectement, par réduction (dans la représentation de Schrödinger) de l'état de la dynamique complète $|\psi (t)\rangle _{\rm {S}}$,afin de définir.

    $|\psi (t)\rangle _{I}={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})|\psi (t)\rangle _{S}={\rm {e}}^{\frac {i\,{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}{\hbar }}|\psi (t)\rangle _{S}\,.$

À partir de là nous définissons aussi l'opérateur dépendant du temps $H_{I}(t)$:

${\hat {H}}_{I}(t)={\rm {e}}^{\frac {i\,{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}{\rm {e}}^{-{\frac {i\,{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}{\hbar }}}\,={\hat {H}}_{0}.$

## Équations d'évolution de la fonction d'onde et des observables

L'évolution de la fonction d'état s'écrit dans cette représentation:

    $i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t)\rangle ={\hat {V}}_{I}(t)|\psi _{I}(t)\rangle$.

Cette équation est connue sous le nom d'équation de Schwinger-Tomonaga. L'évolution de la grandeur physique représentée par l'opérateur A s'écrit:

    $i\,\hbar {\frac {{\rm {d}}{\hat {A}}_{I}}{{\rm {d}}t}}=\left[{\hat {A}}_{\rm {I}}(t),{\hat {H}}_{0}\right]+i\,\hbar {\frac {\partial {\hat {A}}_{I}}{\partial t}}$
