Nombre hyperparfait
# Nombre hyperparfait

En mathématiques, un nombre k-hyperparfait (quelquefois simplement appelé nombre hyperparfait) est un entier naturel n tel que

$n=1+k(\sigma (n)-n-1),$

où σ(n) est la somme de tous les diviseurs positifs de n. Les nombres parfaits sont donc les nombres 1-hyperparfaits.

## Suites de nombres

Les premiers termes de la suite croissante des nombres k-hyperparfaits sont 6, 21, 28, 301, 325, 496, ... (suite A034897 de l'OEIS), les valeurs correspondantes de k étant 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (suite  A034898). Les premiers nombres k-hyperparfaits qui ne sont pas parfaits sont 21, 301, 325, 697, 1333, ... (suite  A007592).

## Table

La table suivante liste les premiers nombres k-hyperparfaits pour certaines valeurs de k, mis en regard avec le numéro de la suite des nombres k-hyperparfaits dans l'Encyclopédie électronique des suites entières :

| k | OEIS | Quelques nombres k-hyperparfaits connus |
| - | - | - |
| 1 | A000396 | 6, 28, 496, 8128, 33550336, ... |
| 2 | A007593 | 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ... |
| 3 | | 325, ... |
| 4 | | 1950625, 1220640625, ... |
| 6 | A028499 | 301, 16513, 60110701, 1977225901, ... |
| 10 | | 159841, ... |
| 11 | | 10693, ... |
| 12 | A028500 | 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ... |
| 18 | A028501 | 1333, 1909, 2469601, 893748277, ... |
| 19 | | 51301, ... |
| 30 | | 3901, 28600321, ... |
| 31 | | 214273, ... |
| 35 | | 306181, ... |
| 40 | | 115788961, ... |
| 48 | | 26977, 9560844577, ... |
| 59 | | 1433701, ... |
| 60 | | 24601, ... |
| 66 | | 296341, ... |
| 75 | | 2924101, ... |
| 78 | | 486877, ... |
| 91 | | 5199013, ... |
| 100 | | 10509080401, ... |
| 108 | | 275833, ... |
| 126 | | 12161963773, ... |
| 132 | | 96361, 130153, 495529, ... |
| 136 | | 156276648817, ... |
| 138 | | 46727970517, 51886178401, ... |
| 140 | | 1118457481, ... |
| 168 | | 250321, ... |
| 174 | | 7744461466717, ... |
| 180 | | 12211188308281, ... |
| 190 | | 1167773821, ... |
| 192 | | 163201, 137008036993, ... |
| 198 | | 1564317613, ... |
| 206 | | 626946794653, 54114833564509, ... |
| 222 | | 348231627849277, ... |
| 228 | | 391854937, 102744892633, 3710434289467, ... |
| 252 | | 389593, 1218260233, ... |
| 276 | | 72315968283289, ... |
| 282 | | 8898807853477, ... |
| 296 | | 444574821937, ... |
| 342 | | 542413, 26199602893, ... |
| 348 | | 66239465233897, ... |
| 350 | | 140460782701, ... |
| 360 | | 23911458481, ... |
| 366 | | 808861, ... |
| 372 | | 2469439417, ... |
| 396 | | 8432772615433, ... |
| 402 | | 8942902453, 813535908179653, ... |
| 408 | | 1238906223697, ... |
| 414 | | 8062678298557, ... |
| 430 | | 124528653669661, ... |
| 438 | | 6287557453, ... |
| 480 | | 1324790832961, ... |
| 522 | | 723378252872773, 106049331638192773, ... |
| 546 | | 211125067071829, ... |
| 570 | | 1345711391461, 5810517340434661, ... |
| 660 | | 13786783637881, ... |
| 672 | | 142718568339485377, ... |
| 684 | | 154643791177, ... |
| 774 | | 8695993590900027, ... |
| 810 | | 5646270598021, ... |
| 814 | | 31571188513, ... |
| 816 | | 31571188513, ... |
| 820 | | 1119337766869561, ... |
| 968 | | 52335185632753, ... |
| 972 | | 289085338292617, ... |
| 978 | | 60246544949557, ... |
| 1050 | | 64169172901, ... |
| 1410 | | 80293806421, ... |
| 2772 | A028502 | 95295817, 124035913, ... |
| 3918 | | 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ... |
| 9222 | | 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ... |
| 9828 | | 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ... |
| 14280 | | 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ... |
| 23730 | | 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ... |
| 31752 | A034916 | 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ... |
| 55848 | | 15166641361, 44783952721, 67623550801, ... |
| 67782 | | 18407557741, 18444431149, 34939858669, ... |
| 92568 | | 50611924273, 64781493169, 84213367729, ... |
| 100932 | | 50969246953, 53192980777, 82145123113, ... |

## Propriétés

Si k > 1 est un entier naturel impair et p = (3k + 1)/2 etq = 3k + 4 sont des nombres premiers, alors $p^2q$ est k-hyperparfait ; Judson S. McCranie a conjecturé en 2000 que tous les nombres k-hyperparfaits pour k > 1 impair sont de cette forme, mais l'hypothèse n'a pas encore été démontrée. De plus, si p ≠ q sont des nombres premiers impairs et k un entier tel que k(p + q) = pq – 1, alors pq est k-hyperparfait.

Il est aussi possible de montrer que si k > 0 et p = k + 1 est premier, alors pour tout i > 1 tel que q = $p^i$ – p + 1 est premier, n = $p^{i–1}q$ est k-hyperparfait. La table suivante liste les valeurs connues de k et les valeurs correspondantes de i pour lesquelles n est k-hyperparfait :

| k | OEIS | Valeurs de i |
| - | - | - |
| 16 | A034922 | 11, 21, 127, 149, 469, ... |
| 22 | | 17, 61, 445, ... |
| 28 | | 33, 89, 101, ... |
| 36 | | 67, 95, 341, ... |
| 42 | A034923 | 4, 6, 42, 64, 65, ... |
| 46 | A034924 | 5, 11, 13, 53, 115, ... |
| 52 | | 21, 173, ... |
| 58 | | 11, 117, ... |
| 72 | | 21, 49, ... |
| 88 | A034925 | 9, 41, 51, 109, 483, ... |
| 96 | | 6, 11, 34, ... |
| 100 | A034926 | 3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, ... |
