Corps quadratiquement clos
# Corps quadratiquement clos

En algèbre, un corps quadratiquement clos est un corps commutatif dans lequel tout élément possède une racine carrée.

## Exemples

* Tout corps algébriquement clos est quadratiquement clos.
* La clôture quadratique d'un corps (voir exemples ci-dessous) est — par définition — quadratiquement close.

## Propriétés

Pour tout corps F, les propriétés suivantes sont équivalentes :

* F est quadratiquement clos ;
* son u-invariant (en) est égal à 1, c'est-à-dire que toute forme quadratique sur F de dimension > 1 est isotrope ;
* son anneau de Witt-Grothendieck est isomorphe à ℤ par le morphisme dimension ;
* son groupe de Witt est d'ordre 2.

Tout corps quadratiquement clos est à la fois pythagoricien et non formellement réel mais la réciproque est fausse (penser aux corps de caractéristique 2).

Soit E/F une extension finie avec E quadratiquement clos. Alors, ou bien −1 est un carré dans F et F est quadratiquement clos, ou bien −1 n'est pas un carré dans F et F est euclidien (c'est une conséquence du théorème de Diller-Dress).

## Clôture quadratique

Pour tout corps F, il existe une « plus petite » extension quadratiquement close de F. Cette extension, qui est donc unique à isomorphisme près, est appelée « la » clôture quadratique de F. On peut la construire comme sous-corps de « la » clôture algébrique $F^{alg}$ de F, en prenant la réunion de toutes les tours d'extensions quadratiques sur F dans $F^{alg}.$ Lorsque la caractéristique de F est différente de 2, c'est donc la réunion des 2-extensions finies de F dans $F^{alg},$ c'est-à-dire toutes les extensions galoisiennes de degré égal à une puissance de 2.

Par exemple :

* la clôture quadratique de tout corps euclidien F est l'extension quadratique F(√−1) (elle est algébriquement close si et seulement si F est réel clos) ;
* la clôture quadratique du corps fini $F_5$ est — dans sa clôture algébrique qui est la réunion des $F_{5m}$ pour tout entier naturel m — la réunion des $F_{5(2n)}$ ;
* la clôture quadratique de ℚ est — dans ℚ — le sous-corps des nombres complexes constructibles.
