Conjecture de Gilbreath
# Conjecture de Gilbreath

En théorie des nombres, la conjecture de Gilbreath est une conjecture non résolue attribuée à Norman L. Gilbreath en 1958, bien que déjà énoncée en 1878 par François Proth, qui croyait l'avoir démontrée.

## Définition du problème

On écrit sur une première ligne la suite des nombres premiers, soit :

    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …

et on écrit sur chaque ligne suivante la valeur absolue de la différence entre deux valeurs consécutives de la ligne précédente, ce qui équivaut, en notant $a_n$ les valeurs de la suite d'une certaine ligne et $b_n$ celles de la ligne suivante, à :

    $b_n$ = $|a_n$ – $a_{n+1}|.$

On obtient ainsi une succession de lignes :

    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …
    1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …
    1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …
    1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …
    1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …
    1, 2, 0, 0, 0, 2, …
    1, 2, 0, 0, 2, …

La conjecture de Gilbreath s'énonce ainsi :

    La première valeur de chaque ligne est 1 (sauf dans la première ligne).

Elle a été vérifiée pour tous les nombres premiers inférieurs à $10^{13},$ c'est-à-dire jusqu'à la $3,4.10^{11}-ième$ ligne.

