Conjugué
# Conjugué

En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée.

## Définition

Le conjugué $a-b{\rm {i}}$ d'un nombre complexe $z=a+b{\rm {i}}$, où a et b sont nombres réels, est $noté^,$ ${\bar {z}}$ ou $z^{*}$. Dans le plan, le point d'affixe ${\bar {z}}$ est le symétrique du point d'affixe $z\,$ par rapport à l'axe des abscisses. Le module du conjugué reste inchangé.

On peut définir une application, appelée conjugaison, par

    ${\begin{array}{ccc}\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\z&\longmapsto &{\overline {z}}\end{array}}$

Cette application est ℝ-linéaire et continue. C'est de plus un automorphisme du corps ℂ.

## Propriétés

On prend $(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}$.

* ${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$
* $zw^¯=z^¯×w^¯{\textstyle$ {\overline {zw}}={\bar {z}}\times {\bar {w}}}
* ${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}$ si w est non nul
* $\operatorname {Im} \left(z\right)=0$ si et seulement si ${\bar {z}}=z$
* $\left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|$
* $z{\overline {z}}=\left|z\right|^{2}$
* $z^{-1}={{\overline {z}} \over {\left|z\right|^{2}}}$ pour z non nul.

## Quaternions

Le conjugué du quaternion $q=a+bi+cj+dk$ est $q^{*}=a-bi-cj-dk$.

### Propriété

* $q\cdot q^{*}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\,$
* ${\frac {1}{q}}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\cdot q^{*}\,$
* On peut calculer aisément l'inverse d'un quaternion en utilisant les propriétés du quaternion conjugué.

## Algèbre linéaire

L'opération de conjugaison peut s'étendre aux espaces vectoriels complexes et à leurs éléments. Elle permet de former des espaces vectoriels conjugués.

