Moyenne de Riesz
# Moyenne de Riesz

En mathématiques, les moyennes de Riesz sont certaines moyennes des termes d'une série. Elles ont été introduites par Marcel Riesz en 1911 comme une amélioration de la moyenne de $Cesàro^,.$ Les moyennes de Riesz ne doivent pas être confondues avec celles de Bochner-Riesz (en) ni avec les moyennes fortes de Riesz.

## Définition

La moyenne de Riesz d'une série de terme général $s_{n}$ est définie par :

    $s^{\delta }(\lambda )=\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }s_{n}$

et sa moyenne de Riesz généralisée est définie par :

    $R_{n}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\sum _{k=0}^{n}(\lambda _{k}-\lambda _{k-1})^{\delta }s_{k},$

où $(\lambda _{n})~$ est une suite arbitraire telle que $\lambda _{n}\to \infty$ et $\lambda _{n+1}/\lambda _{n}\to 1$ quand $n\to \infty$.

Les moyennes de Riesz sont souvent utilisées pour explorer la sommabilité des séries ; les théorèmes de sommabilité usuels traitent du cas de $S_{n}=\sum _{k=0}^{n}s_{n}$. Typiquement, une série est sommable lorsque la limite $\lim _{n\to \infty }R_{n}$ existe, ou la limite $\lim _{\delta \to 1,\lambda \to \infty }s^{\delta }(\lambda )$ existe, néanmoins, les théorèmes de sommabilité précis en question imposent souvent des conditions supplémentaires.

## Cas particuliers

Soit $s_{n}=1$ quel que soit $n$. Alors

    $\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}\zeta (s)\lambda ^{s}~\mathrm {d} s={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}.$

Ici, on doit prendre $c>1$ ; $\Gamma$ est la fonction gamma et $\zeta$ est la fonction zêta de Riemann. On peut montrer que la série de puissances $\sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}$ converge pour $\lambda >1$. Remarquons que l'intégrale est de la forme d'une transformée de Mellin inverse.

Un autre cas intéressant relié à la théorie des nombres survient en prenant $s_{n}=\Lambda (n)$ où $\Lambda (n)$ est la fonction de von Mangoldt. Alors

    $\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}~\mathrm {d} s={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.$

De nouveau, on doit prendre $c>1$. La somme sur $\rho$ est la somme sur les zéros de la fonction zêta de Riemann, et $\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}$ converge pour $\lambda >1$.

Les intégrales qui apparaissent ici sont similaires à l'intégrale de Nörlund-Rice ; très grossièrement, elles peuvent être reliées à cette intégrale par la formule de Perron.

