Nombre premier primoriel
# Nombre premier primoriel

En arithmétique, un nombre premier primoriel est un nombre premier de la forme n# + 1 (nombre d'Euclide) ou n# – 1, où n# désigne la primorielle d'un entier naturel n (produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à n).

Pour la même valeur de n, l'existence d'un nombre premier primoriel de l'une des deux formes n'implique pas l'existence d'un nombre premier primoriel de l'autre forme, et les nombres d'Euclide ne sont pas tous premiers.

## Exemples

Le produit vide étant égal à 1, le nombre d'Euclide 0# + 1 = 1# + 1 vaut 2. C'est donc le plus petit nombre premier primoriel.

Le k-ième nombre premier étant noté $p_k,$ on remarque que pour n strictement compris entre $p_k$ et $p_{k+1},$ n# $=p_k#.$ Les nombres premiers primoriels supérieurs ou égaux à 3 sont donc à chercher parmi les $p_k#$ ± 1:

* les six plus petits indices k pour lesquels $p_k#$ – 1 est premier (une partie de la suite A057704 de l'OEIS) sont 2, 3, 5, 6, 13, 24 ; les six nombres premiers $p_k$ correspondants ( A006794) sont 3, 5, 11, 13, 41, 89 ;
* les sept plus petits indices k pour lesquels le nombre d'Euclide $p_k#$ + 1 est premier (une partie de la suite A014545 de l'OEIS) sont 1, 2, 3, 4, 5, 11, 75 ; les sept nombres premiers $p_k$ correspondants ( A005234) sont 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379.

Après le nombre premier primoriel 2, les douze plus petits nombres premiers primoriels (dont six nombres d'Euclide) sont donc donnés dans les deux dernières colonnes de la table suivante :

| k | $p_k$ | $p_k#$ – 1 | $p_k#$ + 1 |
| - | - | - | - |
| 1 | 2 | | 3 |
| 2 | 3 | 5 | 7 |
| 3 | 5 | 29 | 31 |
| 4 | 7 | | 211 |
| 5 | 11 | 2 309 | 2 311 |
| 6 | 13 | 30 029 | |
| 11 | 31 | | 200 560 490 131 |
| 13 | 41 | 304 250 263 527 209 | |
| 24 | 89 | 23 768 741 896 345 550 770 650 537 601 358 309 | |

En 2010, les deux plus grands nombres premiers primoriels connus étaient :

* pour la seconde forme, le nombre d'Euclide $p_{33237}#$ + 1 = 392 113# + 1
* pour la première forme, le nombre $p_{67132}#$ – 1 = 843 301# − 1.

En 2012, ce record fut dépassé, pour la première forme seulement, avec $p_{85586}#$ – 1 = 1 098 133# – 1, un nombre à 476 311 chiffres décimaux. En 2020, on ignore s’il existe des paires de premiers jumeaux de cette forme après 2309 et 2311, et à plus forte raison s’il en existe un nombre infini, ce qui confirmerait une conjecture très ancienne.

