Nombre premier de Wolstenholme
# Nombre premier de Wolstenholme

En mathématiques, un nombre premier p est appelé nombre premier de Wolstenholme si la condition suivante est vérifiée :

    ${{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\bmod {p^{4}}}$.

Les nombres premiers de Wolstenholme sont nommés en l'honneur du mathématicien Joseph Wolstenholme, qui a démontré en 1862 que tout nombre premier p ≥ 5 vérifie la condition analogue modulo $p^3$ (théorème de Wolstenholme), suite à Charles Babbage qui avait prouvé la condition modulo $p^2$ en 1819.

On conjecture qu'il en existe une infinité, bien $que^,^,$ les seuls connus soient 16 843 et 2 124 679 et qu'il n'en existe pas d'autres plus petits que $10^9.$

## Définitions équivalentes

Pour tout nombre premier p, les propriétés suivantes sont $équivalentes^,$ :

* p est un nombre premier de Wolstenholme ;
* ${\binom {2p}{p}}\equiv 2{\bmod {p^{4}}}$ ;
* p divise le numérateur du nombre de Bernoulli $B_{p–3}$ ;
* p > 7 et p divise le numérateur de $\sum _{p/6<k<p/4}{\tfrac {1}{k^{3}}}$.
