Nombre premier unique
# Nombre premier unique

Un nombre premier différent de 2 et 5 est dit unique si la période du développement décimal de son inverse n'est égale à la période du développement décimal d'aucun autre inverse de nombre premier.

Les nombres premiers uniques ont été décrits pour la première fois par Samuel Yates en 1980.

Un nombre premier p est unique et de période n si et seulement si il existe un entier naturel c tel que :

    ${\frac {\Phi _{n}(10)}{\mathrm {pgcd} (\Phi _{n}(10),n)}}=p^{c}$

où $\Phi _{n}$ est le n-ième polynôme cyclotomique.

La table ci-dessous rassemble les plus petits nombres premiers uniques p connus (suite A040017 de l'OEIS) et indique la longueur de la période de 1/p (suite  A051627) :

| Longueur de la période | Nombre premier |
| - | - |
| 1 | 3 |
| 2 | 11 |
| 3 | 37 |
| 4 | 101 |
| 10 | 9 091 |
| 12 | 9 901 |
| 9 | 333 667 |
| 14 | 909 091 |
| 24 | 99 990 001 |
| 36 | 999 999 000 001 |
| 48 | 9 999 999 900 000 001 |
| 38 | 909 090 909 090 909 091 |
| 19 | 1 111 111 111 111 111 111 |
| 23 | 11 111 111 111 111 111 111 111 |
| 39 | 900 900 900 900 990 990 990 991 |
| 62 | 909 090 909 090 909 090 909 090 909 091 |
| 120 | 100 009 999 999 899 989 999 000 000 010 001 |
| 150 | 10 000 099 999 999 989 999 899 999 000 000 000 100 001 |
