Orthant
# Orthant

En géométrie, un orthant est la généralisation dans un espace euclidien de dimension quelconque n du quadrant d'un plan ou de l'octant en dimension 3.

Un orthant en dimension n peut être considéré comme l'Intersection de n demi-espaces orthogonaux. Par permutation, il y a $2^n$ orthants dans un espace de dimension n.

De façon spécifique, un orthant fermé dans $\mathbb {R} ^{n}$ est le sous-ensemble défini par une contrainte de signe sur chaque coordonnée cartésienne. Ce sous-ensemble est défini par le système d'inéquations :

    $\varepsilon _{1}x_{1}\geqslant 0,\ \varepsilon _{2}x_{2}\geqslant 0,\ \varepsilon _{n}x_{n}\geqslant 0$

où chaque $ε_i$ a pour valeur +1 ou −1. L'orthant positif (resp. négatif) est celui que l'on obtient en prenant tous les $ε_i$ = 1 (resp. $ε_i$ = -1); on le note souvent $\mathbb {R} _{+}^{n}$ (resp. $\mathbb {R} _{-}^{n}$).

Un orthant ouvert dans $\mathbb {R} ^{n}$ est un sous-ensemble défini par le système d'inéquations strictes :

    $\varepsilon _{1}x_{1}>0,\ \varepsilon _{2}x_{2}>0,\ \varepsilon _{n}x_{n}>0$

où chaque $ε_i$ a pour valeur +1 ou −1.

Par dimension:

* En dimension 0, un orthant est un point
* En dimension 1, un orthant est une demi-droite.
* En dimension 2, un orthant est un quadrant.
* En dimension 3, un orthant est un octant.
