Corps quasi-fini
# Corps quasi-fini

En mathématiques, un corps quasi-fini est une généralisation d'un corps fini. La théorie des corps de classes locaux traite généralement de corps à valuation complets dont le corps résiduel est fini (c'est-à-dire un corps local non-archimédien), mais la théorie s'applique aussi bien lorsque le corps résiduel est seulement supposé quasi-finis.

## Définition formelle

Un corps quasi-fini est un corps parfait K muni d'un isomorphisme de groupes topologiques.

    $\phi :{\hat {\mathbf {Z} }}\to \operatorname {Gal} (K_{s}/K),$

où $K_s$ est une clôture algébrique de K (nécessairement séparable parce que K est parfait). L'extension de corps $K_s/K$ est infinie, et le groupe de Galois se voit par conséquent attribué la topologie de Krull. Le groupe ${\widehat {\mathbf {Z} }}$ est le groupe profini des nombres entiers à l'égard de ses sous-groupes d'index fini.

Cette définition équivaut à dire que K a une unique (nécessairement cyclique) extension $K_n$ de degré n pour chaque entier n ≥ 1, et que l'union de ces extensions est égale à $K_s.$ En outre, dans le cadre de la structure de corps quasi-fini, il y a un générateur de $F_n$ pour chaque $Gal(K_n/K),$ et les générateurs doivent être cohérent, dans le sens où si n divise m, la restriction de $F_m$ à $K_n$ est égale à $F_n.$

## Exemples

L'exemple le plus simple, est le corps fini K = GF(q). Il a une unique extension cyclique de degré n, à savoir $K_n$ = $GF(q^n).$ L'union de $K_n$ est la clôture algébrique de $K_s.$ Nous prenons $F_n$ comme étant l'élément de Frobenius; c'est-à-dire $F_n(x)$ = $x^q.$

Un autre exemple est K = C((T)), l'anneau des séries formelles de Laurent en T sur le corps C des nombres complexes. Celles-ci sont simplement des séries formelles dans lesquelles nous permettons également un nombre fini de termes de degrés négatifs. Alors K a une unique extension cyclique

    $K_{n}=\mathbf {C} ((T^{1/n}))$

de degré n pour chaque n ≥ 1, dont l'union est une clôture algébrique de K appelée le champ des séries de Puiseux, et dont un générateur de $Gal(K_n/K)$ est donnée par

    $F_{n}(T^{1/n})=e^{2\pi i/n}T^{1/n}.$

Cette construction fonctionne si C est remplacé par un corps fini algébriquement clos C de caractéristique zéro.

