Nombre pyramidal
# Nombre pyramidal

En arithmétique géométrique, un nombre pyramidal est un nombre figuré polyédrique représenté par une pyramide dont la base, un polygone régulier, représente un nombre polygonal.

Pour tous entiers k ≥ 3 et n ≥ 1, le n-ième nombre k-pyramidal est donc la somme des nombres k-gonaux d'indices 1 à n :

${\begin{aligned}P_{n}^{(k)}&=\sum _{i=1}^{n}P_{k,i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(k-2)i^{2}-(k-4)i}{2}}={\frac {1}{2}}\left((k-2){\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}-(k-4){\frac {n(n+1)}{2}}\right)\\&={\frac {n(n+1)}{2}}{\frac {(k-2)n-(k-5)}{3}}.\end{aligned}}$

## Exemples

| Nombre pyramidal | Somme de | Formule | Les dix premiers nombres | Numéro OEIS |
| - | - | - | - | - |
| Nombre pyramidal triangulaire, ou nombre tétraédrique | nombres triangulaires | $P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}$ | 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220 | suite A000292 de l'OEIS |
| Nombre pyramidal carré | nombres carrés | $P_{n}^{(4)}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ | 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385 | suite A000330 de l'OEIS |
| Nombre pyramidal pentagonal | nombres pentagonaux | $P_{n}^{(5)}={\frac {n^{2}(n+1)}{2}}$ | 1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550 | suite A002411 de l'OEIS |
| Nombre pyramidal hexagonal | nombres hexagonaux | $P_{n}^{(6)}={\frac {n(n+1)(4n-1)}{6}}$ | 1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525, 715 | suite A002412 de l'OEIS |
| Nombre pyramidal heptagonal | nombres heptagonaux | $P_{n}^{(7)}={\frac {n(n+1)(5n-2)}{6}}$ | 1, 8, 26, 60, 115, 196, 308, 456, 645, 880 | suite A002413 de l'OEIS |

## Note et référence

* ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Pyramidal Number », sur MathWorld.
