Nombre premier régulier
# Nombre premier régulier

En mathématiques, un nombre premier p > 2 est dit régulier si une certaine propriété liée aux racines du polynôme $X^p$ – 1 est vérifiée. Cette notion a été introduite par Ernst Kummer en 1847, en vue de démontrer le « dernier théorème de Fermat », dans un article intitulé « Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von $x^λ+y^λ$ = $z^λ$ für eine unendliche Anzahl Primzahlen λ ».

## Définitions

Un nombre premier impair p est dit régulier s'il ne divise pas le nombre de classes du corps cyclotomique $ℚ(ζ_p),$ où $ζ_p$ est une racine primitive p-ième de l'unité.

Une manière de tester la régularité en pratique est donnée par le critère de Kummer : p est régulier si et seulement s'il ne divise le numérateur d'aucun des nombres de Bernoulli $B_k,$ pour k prenant les valeurs paires entre 2 et p – 3.

Un nombre premier irrégulier est un nombre premier impair non régulier. Les nombres premiers irréguliers forment la suite A000928 de l'OEIS : 37, 59, 67, 101, etc., les réguliers formant la suite  A007703.

Il existe une infinité de nombres premiers irréguliers. Plus précisément, un théorème de Metsänkylä (fi) assure que pour tout sous-groupe propre H du groupe des unités de l'anneau ℤ/nℤ, il existe une infinité de nombres premiers irréguliers dont la classe modulo n n'appartient pas à H.

En revanche, l'existence d'une infinité de nombres premiers réguliers reste une question ouverte.

## Travaux de Kummer

Le travail de Kummer permet précisément de montrer l'assertion suivante : si p est un nombre premier régulier, l'équation $x^p$ + $y^p$ = $z^p$ n'a pas de solutions pour x, y et z entiers relatifs tous non divisibles par p. Le point central de l'argument, développé en termes modernes, est qu'une telle identité se factorise en :

$\prod _{i=0}^{p-1}(x+\zeta _{p}^{i}y)=z^{p},$

dans le corps $ℚ(ζ_p).$ Cette égalité peut alors être interprétée comme une égalité entre le produit des idéaux (x + $ζ^i$ $_p$ y) et l'idéal (z) élevé à la puissance p. On peut montrer que les idéaux (x + $ζ^i$ $_p$ y) sont premiers entre eux ; la théorie de la décomposition des idéaux premiers et celle des anneaux de Dedekind permettent d'assurer que chacun est la puissance p-ième d'un certain autre idéal $A_i$ ; l'idéal $A^p$ $_i$ est principal, l'hypothèse que le nombre p est régulier — il n'est pas diviseur du nombre de classes de $ℚ(ζ_p)$ — montre alors que l'idéal $A_i$ lui-même est principal, ce qui fournit une égalité de la forme x + $ζ^i$ $_p$ y = $εα^p,$ pour une certaine unité ε. Quelques calculs permettent d'aboutir à une contradiction.

