Corps valué
# Corps valué

En mathématiques, un corps valué est un corps K muni d'une valeur absolue $x\mapsto |x|$. Celle-ci détermine sur K une structure d'espace métrique définie par la distance invariante $d(x,y)=|x-y|$, et K, muni de la topologie métrisable ainsi définie, est un corps topologique.

Par exemple, toute valuation à valeurs réelles sur K permet de définir une valeur absolue sur K (la réciproque n'est vraie que pour les valeurs absolues ultramétriques). Pour cette raison, certains auteurs appellent corps valué tout corps muni d'une valuation.

La topologie d'un corps valué est discrète si, et seulement si la valeur absolue est triviale, c'est-à-dire issue de la valuation triviale.

L'anneau complété d'un corps valué est un corps valué.

Soient $(K,d)$ un corps muni d'une distance associée à une valuation $|~|$ et $({\widehat {K}},{\widehat {d}})$ l'anneau complété. Par prolongement des identités, ${\widehat {d}}$ est invariante par translations et l'application $x\mapsto {\widehat {d}}(x,0)$ (qui prolonge $|~|$) est une valuation sur ${\widehat {K}}$. L'application $K^{*}\to K,\;x\mapsto x^{-1}$ est ${\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}$-lipschitzienne sur $\{x\in K\mid |x|\geq \varepsilon \}$ pour tout $\varepsilon >0$. Elle s'étend donc continûment en une application $x\mapsto x^{-1}$ définie sur $\cup _{\varepsilon >0}\{x\in {\widehat {K}}\mid |x|\geq \varepsilon \}={\widehat {K}}^{*}$.

