Nombre de Kynea
# Nombre de Kynea

En mathématiques récréatives, le n-ième nombre de Kynea (où n est un entier naturel) est l'entier

$(2^{n}+1)^{2}-2.$

Les nombres de Kynea furent étudiés par Cletus Emmanuel, qui les baptisa du prénom d'une petite fille.

## Propriétés

Les dix premiers nombres de Kynea (suite  A093069) sont

    2, 7, 23, 79, 287, 1 087, 4 223, 16 639, 66 047 et 263 167.

Leurs classes de congruence modulo 7 sont

    2, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 2

donc pour tout entier k > 0, le (3k+1)-ième nombre de Kynea n'est pas premier.

Sur les 25 premiers nombres de Kynea, seuls les 5 suivants ne sont ni premiers, ni multiples de 7 :

* $k(6)=41\times 103$
* $k(11)=1399\times 3001$
* $k(14)=15913\times 16871$
* $k(20)=47\times 353\times 66271697$
* $k(24)=23\times 41\times 71\times 353\times 11909543.$

Le n-ième nombre de Kynea est égal à $4^n$ + $(2^{n+1}$ – 1), ainsi qu'à $((2^n$ – $1)^2$ – 2) + $2^{n+2}.$

Sa représentation binaire si n ≥ 1 (suite  A244663) est un 1, suivi de n – 1 zéros, suivis de n + 1 uns, puisque

    $4^{n}+2^{n+1}-1=2^{2n}+\sum _{i=0}^{n}2^{i}.$

Donc, par exemple, 23 est 10111 en binaire, 79 est 1001111, etc.

## Nombres de Kynea premiers

Les dix plus petits nombres de Kynea premiers (suite  A091514) et leurs indices (suite  A091513) sont :

| indice n | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 9 | 12 | 15 | 17 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| nombre de Kynea premier | 2 | 7 | 23 | 79 | 1 087 | 66 047 | 263 167 | 16 785 407 | 1 073 807 359 | 17 180 131 327 |

Le plus grand nombre de Kynea premier connu, d'indice n = 281 621, vaut approximativement 5,46 × $10^{169552}.$ Il a été trouvé par Cletus Emmanuel en 2005, en utilisant le k-crible de Phil Carmody et OpenPFGW. C'est le 46e nombre de Kynea premier.

