Nombre de Carol
# Nombre de Carol

En mathématiques récréatives, le n-ième nombre de Carol (où n est un entier strictement positif) est l'entier

$(2^{n}-1)^{2}-2=4^{n}-2^{n+1}-1.$

L'amateur qui les étudie, Cletus Emmanuel, leur a donné le nom d'une amie, Carol G. Kirnon.

## Propriétés

Les dix premiers nombres de Carol (suite A093112 de l'OEIS) sont

    –1, 7, 47, 223, 959, 3 967, 16 127, 65 023, 261 119 et 1 046 527.

Leurs classes de congruence modulo 7 sont

    –1, 0, –2, –1, 0, –2, –1, 0, –2, etc.

donc pour tout entier k > 0, le (3k+2)-ième nombre de Carol n'est pas premier.

Le n-ième nombre de Carol est égal à $(2^{2n}$ – 1) – $2^{n+1},$ ainsi qu'à $((2^n$ + $1)^2$ – 2) – $2^{n+2}.$

Sa représentation binaire si n > 2 est, de gauche à droite, (n – 2) uns consécutifs, un zéro au milieu, puis (n + 1) uns consécutifs, puisque

    $2^{2n}-1-2^{n+1}=\sum _{0\leq k\leq 2n-1,~k\neq n+1}2^{k}.$

Par exemple, le troisième nombre de Carol (47) s'écrit 101111 en binaire et le quatrième (223) s'écrit 11011111.

## Nombres de Carol premiers

Les dix plus petits nombres de Carol premiers (suite  A091516) et leurs indices (suite  A091515) sont :

| indice n | 2 | 3 | 4 | 6 | 7 | 10 | 12 | 15 | 18 | 19 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| nombre de Carol premier | 7 | 47 | 223 | 3 967 | 16 127 | 1 046 527 | 16 769 023 | 1 073 676 287 | 68 718 952 447 | 274 876 858 367 |

Le plus grand nombre de Carol premier connu est le nombre de Carol d'indice 253 987, qui a 152 916 chiffres. Il a été trouvé par Cletus Emmanuel en 2007 en utilisant les programmes MultiSieve et PrimeFormGW. C'est le 40e nombre de Carol premier.

