Fonction à oscillation moyenne bornée
# Fonction à oscillation moyenne bornée

L'ensemble des fonctions à oscillations moyennes bornées, usuellement noté $BMO$ de l'anglais « bounded mean oscillation », est un espace de fonctions utilisé en analyse harmonique.

Il a été introduit par Fritz John et Louis Nirenberg pour résoudre des problèmes d'équations aux dérivées partielles.

## Définition

Pour toute fonction $f\in$$L^1_{loc}$$(\mathbb {R} ^{n})$, on définit $\|f\|_{BMO}=\sup _{Q\subset \mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}|f(x)-f_{Q}|\,\mathrm {d} x.$.

La borne supérieure est prise sur l'ensemble des cubes $Q$ de $\mathbb {R} ^{n}$, l'expression $|Q|$ désigne la mesure de Lebesgue de $Q$, et $f_{Q}$ désigne la moyenne de $f$ sur $Q$ : $f_{Q}={\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}f(x)\,\mathrm {d} x$.

Par définition,

$BMO=\{f\in \mathrm {L_{loc}^{1}} (\mathbb {R} ^{n})\mid \|f\|_{BMO}<\infty \}$

