Nombre premier supersingulier
# Nombre premier supersingulier

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie algébrique, un nombre premier supersingulier est un nombre premier correspondant à une courbe elliptique ayant des propriétés exceptionnelles ; il n'en existe que 15 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 et 71 (c'est la suite A002267 de l'OEIS).

## Définition géométrique

Pour un entier naturel donné n, soit $Γ_0(n)$ le n-ième sous-groupe de congruence (en) du groupe modulaire $Γ_0,$ et soit $w_n$ l'involution de Fricke (en) définie par la matrice bloc [[0, −1], [n, 0]]. De plus, soit $X_0(n)$ la courbe modulaire compactifiée de $Γ_0(n)\H$ (où H désigne le demi-plan de Poincaré), et posons $X_0^+(n)$ = $X_0(n)/w_n.$

Un nombre premier p est dit supersingulier si $X_0^+(p)$ est de genre nul.

## Définition algébrique

Il est aussi possible de définir les nombres premiers supersinguliers à l'aide de la théorie des nombres en les associant aux courbes elliptiques supersingulières définies sur la clôture algébrique du corps fini GF(p) qui ont leur j-invariant dans GF(p).

## Propriétés

Les nombres premiers supersinguliers sont exactement les facteurs premiers de l'ordre du groupe Monstre M. Ce fait est lié (de manière toujours inexpliquée en 2020) au monstrous moonshine.

Les nombres premiers supersinguliers sont des nombres premiers de Chen.

