Condition d'extinction
# Condition d'extinction

En cristallographie, les conditions d'extinction donnent l'ensemble des réflexions systématiquement absentes, c'est-à-dire d'intensité nulle, lors d'expériences de diffraction (de rayons X, de neutrons ou d'électrons) sur un cristal. Ces extinctions sont dues aux interférences destructives des rayons diffractés, causées par la présence d'opérations de symétrie contenant des composantes translatoires dans le groupe d'espace du cristal. Les réflexions systématiquement éteintes par symétrie sont appelées « réflexions interdites ». Les conditions de réflexion donnent, au contraire, pour un groupe d'espace donné, l'ensemble des réflexions d'intensité non nulle ou « réflexions autorisées » (même si dans la pratique certaines intensités mesurées peuvent être très faibles).

Il existe trois types d'extinctions systématiques, qui se différencient par leurs effets dans l'espace réciproque : les extinctions intégrales, les extinctions zonales et les extinctions sérielles.

## Extinctions et groupes d'espace

Pour déterminer une structure cristalline, la connaissance des conditions d'extinction est essentielle : elle permet l'identification des éléments de symétrie translatoires du cristal (axes hélicoïdaux, miroirs translatoires) et ainsi la sélection d'un ensemble limité de groupes d'espace pouvant décrire sa symétrie. Pour cette raison, les tables internationales de cristallographie contiennent, pour chaque groupe d'espace, la liste des conditions de réflexion.

Les groupes d'espace symmorphiques décrits par rapport à une maille primitive ne présentent aucune condition d'extinction, c'est-à-dire que toutes les réflexions sont autorisées : P1, P1, P2, Pm, P2/m, P222, Pmm2, Pmmm, P4, P4, P4/m, P422, P4mm, P42m, P4m2, P4/mmm, P3, P3, P312, P321, P3m1, P31m, P3m1, P31m, P6, P6, P6/m, P622, P6mm, P6m2, P62m, P6/mmm, P23, Pm3, P432, P43m et Pm3m.

## Extinctions intégrales

Les extinctions intégrales concernent toutes les réflexions, d'indices $hkl$, de l'espace réciproque. Elles ont lieu lorsque la maille utilisée pour décrire la structure cristalline n'est pas primitive.

Conditions d'extinction et conditions de réflexion intégrales :

| Maille | Réflexions | Vecteur de translation | Condition d'extinction | Condition de réflexion |
| - | - | - | - | - |
| Primitive | $hkl$ | aucun | aucune | toutes |
| Face A centrée | $hkl$ | ${\vec {b}}/2+{\vec {c}}/2$ | $k+l=2n+1$ | $k+l=2n$ |
| Face B centrée | $hkl$ | ${\vec {a}}/2+{\vec {c}}/2$ | $h+l=2n+1$ | $h+l=2n$ |
| Face C centrée | $hkl$ | ${\vec {a}}/2+{\vec {b}}/2$ | $h+k=2n+1$ | $h+k=2n$ |
| Centrée | $hkl$ | ${\vec {a}}/2+{\vec {b}}/2+{\vec {c}}/2$ | $h+k+l=2n+1$ | $h+k+l=2n$ |
| À faces centrées | $hkl$ | ${\vec {b}}/2+{\vec {c}}/2$ ${\vec {a}}/2+{\vec {c}}/2$ ${\vec {a}}/2+{\vec {b}}/2$ | $h$, $k$ et $l$ de parités différentes | $h$, $k$ et $l$ de même parité |
| Rhomboédrique | $hkl$ | $2{\vec {a}}/3+{\vec {b}}/3+{\vec {c}}/3$ | $-h+k+l$ ≠ $3n$ | $-h+k+l$ = $3n$ |

## Extinctions zonales

Les extinctions zonales ne concernent que les réflexions appartenant à certains plans de l'espace réciproque. Elles ont lieu lorsque le groupe d'espace du cristal contient des miroirs translatoires qui ne sont pas parallèles à des miroir non-translatoires.

Conditions d'extinction et conditions de réflexion zonales :

| Miroir translatoire | Réflexions | Vecteur de translation | Condition d'extinction | Condition de réflexion |
| - | - | - | - | - |
| $a\perp {\vec {b}}$ | $h0l$ | ${\vec {a}}/2$ | $h=2n+1$ | $h=2n$ |
| $a\perp {\vec {c}}$ | $hk0$ | ${\vec {a}}/2$ | $h=2n+1$ | $h=2n$ |
| $b\perp {\vec {a}}$ | $0kl$ | ${\vec {b}}/2$ | $k=2n+1$ | $k=2n$ |
| $b\perp {\vec {c}}$ | $hk0$ | ${\vec {b}}/2$ | $k=2n+1$ | $k=2n$ |
| $c\perp {\vec {a}}$ | $0kl$ | ${\vec {c}}/2$ | $l=2n+1$ | $l=2n$ |
| $c\perp {\vec {b}}$ | $h0l$ | ${\vec {c}}/2$ | $l=2n+1$ | $l=2n$ |
| $n\perp {\vec {a}}$ | $0kl$ | ${\vec {b}}/2+{\vec {c}}/2$ | $k+l=2n+1$ | $k+l=2n$ |
| $n\perp {\vec {b}}$ | $h0l$ | ${\vec {a}}/2+{\vec {c}}/2$ | $h+l=2n+1$ | $h+l=2n$ |
| $n\perp {\vec {c}}$ | $hk0$ | ${\vec {a}}/2+{\vec {b}}/2$ | $h+k=2n+1$ | $h+k=2n$ |
| $d\perp {\vec {a}}$ | $0kl$ | ${\vec {b}}/4\pm {\vec {c}}/4$ | $k+l$ ≠ $4n$ | $k+l=4n$, $k=2n$, $l=2n$ |
| $d\perp {\vec {b}}$ | $h0l$ | ${\vec {a}}/4\pm {\vec {c}}/4$ | $h+l$ ≠ $4n$ | $h+l=4n$, $h=2n$, $l=2n$ |
| $d\perp {\vec {c}}$ | $hk0$ | ${\vec {a}}/4\pm {\vec {b}}/4$ | $h+k$ ≠ $4n$ | $h+k=4n$, $h=2n$, $k=2n$ |

## Extinctions sérielles

Les extinctions sérielles ne concernent que les réflexions appartenant à certaines droites de l'espace réciproque. Elles ont lieu lorsque le groupe d'espace du cristal contient des axes hélicoïdaux qui ne sont pas parallèles à des axes de rotation du même ordre.

Conditions d'extinction et conditions de réflexion sérielles :

| Axe hélicoïdal | Réflexions | Vecteur de translation | Condition d'extinction | Condition de réflexion |
| - | - | - | - | - |
| $2_{1}$, $4_{2}$, $6_{3}$ // [100] | $h00$ | ${\vec {a}}/2$ | $h=2n+1$ | $h=2n$ |
| $2_{1}$, $4_{2}$, $6_{3}$ // [010] | $0k0$ | ${\vec {b}}/2$ | $k=2n+1$ | $k=2n$ |
| $2_{1}$, $4_{2}$, $6_{3}$ // [001] | $00l$ | ${\vec {c}}/2$ | $l=2n+1$ | $l=2n$ |
| $3_{1}$, $3_{2}$, $6_{2}$, $6_{4}$ // [100] | $h00$ | ${\vec {a}}/3,$ $2{\vec {a}}/3$ | $h$ ≠ $3n$ | $h=3n$ |
| $3_{1}$, $3_{2}$, $6_{2}$, $6_{4}$ // [010] | $0k0$ | ${\vec {b}}/3,$ $2{\vec {b}}/3$ | $k$ ≠ $3n$ | $k=3n$ |
| $3_{1}$, $3_{2}$, $6_{2}$, $6_{4}$ // [001] | $00l$ | ${\vec {c}}/3,$ $2{\vec {c}}/3$ | $l$ ≠ $3n$ | $l=3n$ |
| $4_{1}$, $4_{3}$ // [100] | $h00$ | ${\vec {a}}/4,$ $3{\vec {a}}/4$ | $h$ ≠ $4n$ | $h=4n$ |
| $4_{1}$, $4_{3}$ // [010] | $0k0$ | ${\vec {b}}/4,$ $3{\vec {b}}/4$ | $k$ ≠ $4n$ | $k=4n$ |
| $4_{1}$, $4_{3}$ // [001] | $00l$ | ${\vec {c}}/4,$ $3{\vec {c}}/4$ | $l$ ≠ $4n$ | $l=4n$ |
| $6_{1}$, $6_{5}$ // [100] | $h00$ | ${\vec {a}}/6,$ $5{\vec {a}}/6$ | $h$ ≠ $6n$ | $h=6n$ |
| $6_{1}$, $6_{5}$ // [010] | $0k0$ | ${\vec {b}}/6,$ $5{\vec {b}}/6$ | $k$ ≠ $6n$ | $k=6n$ |
| $6_{1}$, $6_{5}$ // [001] | $001$ | ${\vec {c}}/6,$ $5{\vec {c}}/6$ | $l$ ≠ $6n$ | $l=6n$ |

## Calcul des conditions d'extinction

Les conditions d'extinction pour un élément de symétrie translatoire donné se trouvent en cherchant les conditions sur les indices $hkl$ qui annulent systématiquement le facteur de structure :

    $F(hkl)=\sum _{p=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}f_{j}\cdot e^{2i\pi (hx_{j,p}+ky_{j,p}+lz_{j,p})}=\sum _{j=1}^{n}F_{j}(hkl)=0$

où $f_{j}$ est le facteur de diffusion atomique de l'atome $j$ de l'unité asymétrique de la maille, $x_{j,p}$, $y_{j,p}$, $z_{j,p}$ sont ses coordonnées dans la maille en fonction de l'opération de symétrie $p$ et $F_{j}(hkl)$ est sa contribution partielle au facteur de structure.

Pour cela, il suffit de considérer un atome $j$ en position générale : si pour cet atome

    $F_{j}(hkl)=f_{j}\sum _{p=1}^{m}e^{2i\pi (hx_{j,p}+ky_{j,p}+lz_{j,p})}=0,$

alors $F(hkl)=0$ pour l'ensemble des atomes du cristal. Il suffit donc de résoudre l'équation

    $\sum _{p=1}^{m}e^{2i\pi (hx_{j,p}+ky_{j,p}+lz_{j,p})}=0$

en fonction de $h$, $k$ et $l$ pour $x_{j,p}$, $y_{j,p}$, $z_{j,p}$ quelconques.

Par exemple, pour une maille centrée :

    ${\begin{array}{rcl}F_{j}(hkl)&=&e^{2i\pi (hx_{j}+ky_{j}+lz_{j})}+e^{2i\pi [h(x_{j}+1/2)+k(y_{j}+1/2)+l(z_{j}+1/2)]}\\[1ex]~&=&e^{2i\pi (hx_{j}+ky_{j}+lz_{j})}(1+e^{2i\pi (h/2+k/2+l/2)})\end{array}}$

L'annulation du facteur de structure partiel de l'atome $j$ conduit à

    $e^{2i\pi (h/2+k/2+l/2)}=-1,\,$

ce qui n'est possible que si $h/2+k/2+l/2$ est un demi-entier : la somme $h+k+l$ doit être impaire pour que l'on ait une extinction.

