Conjecture de Herzog-Schönheim
# Conjecture de Herzog-Schönheim

En mathématiques, la conjecture de Herzog-Schönheim est un problème de combinatoire et de théorie des groupes, dont la résolution généraliserait à un groupe quelconque le théorème de Mirsky-Newman, valable pour le groupe ℤ des entiers relatifs.

## Énoncé

Soient G un groupe et ${a_1G_1,$ … , $a_kG_k}$ (k > 1) une partition finie de G par des classes à gauches suivant des sous-groupes $G_1,$ … , $G_k.$ Marcel Herzog et Jochanan Schönheim ont conjecturé que les indices (finis) $[G:G_1],$ … , $[G:G_k]$ ne peuvent être tous distincts.

## Groupes pyramidaux

Berger, Felzenbaum et Frankel ont démontré cette conjecture dans le cas où G est un groupe fini « pyramidal », c'est-à-dire qu'il existe une suite de sous-groupes

$\{1\}=G_{n}\subset G_{n-1}\subset \ldots \subset G_{0}=G$

telle que pour chaque k < n, l'indice $[G_k:G_{k+1}]$ soit le plus petit facteur premier de l'ordre de $G_k$ (ce qui implique que $G_{k+1}$ est normal dans $G_k,$ donc que G est résoluble).

Tout groupe fini super-résoluble est pyramidal et tout groupe nilpotent de type fini est super-résoluble.

## Sous-groupes sous-normaux

Plus généralement, Zhi Wei Sun a démontré la conjecture sous la seule hypothèse que les sous-groupes $G_i$ sont sous-normaux dans G (ce qui ne nécessite plus que G soit fini, et s’applique en particulier à G = ℤ), et en supposant seulement que les classes $a_iG_i$ forment, au lieu d'une partition, un système « exactement couvrant », ou « uniforme », c'est-à-dire que le nombre de ces classes auxquelles un élément de G appartient est indépendant de cet élément, mais pas forcément égal à 1.

Il utilise entre autres le lemme de base suivant : si $G_1,$ … , $G_k$ sont des sous-groupes sous-normaux d'indices finis dans G, alors

${\biggG:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg |}\ \prod _{i=1}^{k}[G:G_{i}].$

