Nombre de Lucas-Carmichael
# Nombre de Lucas-Carmichael

En arithmétique, un nombre de Lucas-Carmichael est un entier positif composé n tel que si p est un facteur premier de n, alors p + 1 est un diviseur de n + 1.

Par convention, on ne considère un entier comme étant un nombre de Lucas-Carmichael que s'il est sans facteur carré, sinon tous les cubes de nombres premiers tels que 8 ou 27 seraient des nombres de Lucas-Carmichael (car $n^3$ + 1 = (n + $1)(n^2$ − n + 1) est toujours divisible par n + 1).

## Exemple

399 = 3 × 7 × 19 est un nombre de Lucas-Carmichael car 399 + 1 = 400 et 3 + 1, 7 + 1 ainsi que 19 + 1 sont tous des diviseurs de 400.

## Propriétés

Le plus petit nombre de Lucas-Carmichael est 399. Le plus petit à 5 facteurs est 588 455 = 5 × 7 × 17 × 23 × 43.

On ne sait pas s'il existe un nombre de Lucas-Carmichael qui soit aussi un nombre de Carmichael.

## Liste

Les 92 premiers nombres de Lucas-Carmichael sont (suite A006972 de l'OEIS) :

| 399 | = 3 × 7 × 19 |
| - | - |
| 935 | = 5 × 11 × 17 |
| 2 015 | = 5 × 13 × 31 |
| 2 915 | = 5 × 11 × 53 |
| 4 991 | = 7 × 23 × 31 |
| 5 719 | = 7 × 19 × 43 |
| 7 055 | = 5 × 17 × 83 |
| 8 855 | = 5 × 7 × 11 × 23 |
| 12 719 | = 7 × 23 × 79 |
| 18 095 | = 5 × 7 × 11 × 47 |
| 20 705 | = 5 × 41 × 101 |
| 20 999 | = 11 × 23 × 83 |
| 22 847 | = 11 × 31 × 67 |
| 29 315 | = 5 × 11 × 13 × 41 |
| 31 535 | = 5 × 7 × 17 × 53 |
| 46 079 | = 11 × 59 × 71 |
| 51 359 | = 7 × 11 × 23 × 291 |
| 60 059 | = 19 × 29 × 109 |
| 63 503 | = 11 × 23 × 251 |
| 67 199 | = 11 × 41 × 149 |
| 73 535 | = 5 × 7 × 11 × 191 |
| 76 751 | = 23 × 47 × 71 |
| 80 189 | = 17 × 53 × 89 |
| 81 719 | = 11 × 17 × 19 × 23 |
| 88 559 | = 19 × 59 × 79 |
| 90 287 | = 17 × 47 × 113 |
| 104 663 | = 13 × 83 × 97 |
| 117 215 | = 5 × 7 × 17 × 197 |
| 120 581 | = 17 × 41 × 173 |
| 147 455 | = 5 × 7 × 11 × 383 |
| 152 279 | = 29 × 59 × 89 |
| 155 819 | = 19 × 59 × 139 |
| 162 687 | = 3 × 7 × 61 × 127 |
| 191 807 | = 7 × 11 × 47 × 53 |
| 194 327 | = 7 × 17 × 23 × 71 |
| 196 559 | = 11 × 107 × 167 |
| 214 199 | = 23 × 67 × 139 |
| 218 735 | = 5 × 11 × 41 × 97 |
| 230 159 | = 47 × 59 × 83 |
| 265 895 | = 5 × 7 × 71 × 107 |
| 357 599 | = 11 × 19 × 29 × 59 |
| 388 079 | = 23 × 47 × 359 |
| 390 335 | = 5 × 11 × 47 × 151 |
| 482 143 | = 31 × 103 × 151 |
| 588 455 | = 5 × 7 × 17 × 23 × 43 |
| 653 939 | = 11 × 13 × 17 × 269 |
| 663 679 | = 31 × 79 × 271 |
| 676 799 | = 19 × 179 × 199 |
| 709 019 | = 17 × 179 × 233 |
| 741 311 | = 53 × 71 × 197 |
| 760 655 | = 5 × 7 × 103 × 211 |
| 761 039 | = 17 × 89 × 503 |
| 776 567 | = 11 × 227 × 311 |
| 798 215 | = 5 × 11 × 23 × 631 |
| 880 319 | = 11 × 191 × 419 |
| 895 679 | = 17 × 19 × 47 × 59 |
| 913 031 | = 7 × 23 × 53 × 107 |
| 966 239 | = 31 × 71 × 439 |
| 966 779 | = 11 × 179 × 491 |
| 973 559 | = 29 × 59 × 569 |
| 1 010 735 | = 5 × 11 × 17 × 23 × 47 |
| 1 017 359 | = 7 × 23 × 71 × 89 |
| 1 097 459 | = 11 × 19 × 59 × 89 |
| 1 162 349 | = 29 × 149 × 269 |
| 1 241 099 | = 19 × 83 × 787 |
| 1 256 759 | = 7 × 17 × 59 × 179 |
| 1 525 499 | = 53 × 107 × 269 |
| 1 554 119 | = 7 × 53 × 59 × 71 |
| 1 584 599 | = 37 × 113 × 379 |
| 1 587 599 | = 13 × 97 × 1259 |
| 1 659 119 | = 7 × 11 × 29 × 743 |
| 1 707 839 | = 7 × 29 × 47 × 179 |
| 1 710 863 | = 7 × 11 × 17 × 1307 |
| 1 719 119 | = 47 × 79 × 463 |
| 1 811 687 | = 23 × 227 × 347 |
| 1 901 735 | = 5 × 11 × 71 × 487 |
| 1 915 199 | = 11 × 13 × 59 × 227 |
| 1 965 599 | = 79 × 139 × 179 |
| 2 048 255 | = 5 × 11 × 167 × 223 |
| 2 055 095 | = 5 × 7 × 71 × 827 |
| 2 150 819 | = 11 × 19 × 41 × 251 |
| 2 193 119 | = 17 × 23 × 71 × 79 |
| 2 249 999 | = 19 × 79 × 1499 |
| 2 276 351 | = 7 × 11 × 17 × 37 × 47 |
| 2 416 679 | = 23 × 179 × 587 |
| 2 581 319 | = 13 × 29 × 41 × 167 |
| 2 647 679 | = 31 × 223 × 383 |
| 2 756 159 | = 7 × 17 × 19 × 23 × 53 |
| 2 924 099 | = 29 × 59 × 1709 |
| 3 106 799 | = 29 × 149 × 719 |
| 3 228 119 | = 19 × 23 × 83 × 89 |
| 3 235 967 | = 7 × 17 × 71 × 383. |
