Nombre de Kimberling
# Nombre de Kimberling

Une liste de centres du triangle a été établie par le mathématicien américain Clark Kimberling dans son Encyclopédie des centres du triangle, disponible en ligne auprès de l'université d'Evansville. Le rang d'un point remarquable dans la liste est appelé son nombre de Kimberling. Par exemple, le centre de gravité , noté X(2), est le numéro 2.

Au 20 octobre 2022, la liste de Kimberling comptait 52 112 points remarquables.

Des paires de points bicentriques sont aussi répertoriées par la notation (P(n), U(n)).

## Définition d'un centre du triangle

D'après Clark Kimberling, un centre du triangle est un point X tel qu'il existe une fonction f non nulle homogène symétrique par rapport à ses deuxième et troisième variable, telle que X ait pour coordonnées barycentriques (ou bien trilinéaires) en notant $a,b,c$ les longueurs des côtés du triangle :

    $(f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b))$

## Exemples

Les premiers points sont :

    RéférenceNom du point X(1)Centre du cercle inscrit X(2)Centre de gravité X(3)Centre du cercle circonscrit X(4)Orthocentre X(5)Centre du cercle d'Euler X(6)Point de Lemoine X(7)Point de Gergonne X(8)Point de Nagel X(9)Mittenpunkt X(10)Centre du cercle de Spieker X(11)Point de Feuerbach X(13)Point de Fermat ou premier point isogonique X(14)Deuxième point isogonique X(15), X(16)les deux points isodynamiques X(17), X(18)les deux points de Napoléon X(20)Point de Longchamps X(21)Point de Schiffler X(485)Point de Vecten X(501)Point de Miquel

## Obtention du nombre de Kimberling par la méthode 6-9-13

Pour obtenir le nombre de Kimberling d'un point dont on connait un système de coordonnées trilinéaires $(f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b))$.

On calcule d'abord une valeur approchée de l'aire du triangle pour $(a,b,c):=(6,9,13)$ : $S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\quad {\text{avec}}\quad p={\frac {a+b+c}{2}}.$

Puis, avec $x=f(a,b,c),y=f(b,c,a),z=f(c,a,b)$, on calcule une valeur approchée de $k=2S/(ax+by+cz)$, puis une valeur approchée de $kx$.

Ensuite grâce à la table de cette page de l'ETC, on obtient le nombre de Kimberling du point, à partir de la coordonnée $kx$.

## Paires bicentriques

Une paire bicentrique de points dans le triangle est un couple de points (P, Q) tel qu'il existe une fonction f non nulle homogène mais non symétrique caractérisant les coordonnées barycentriques de P et Q:

    $P(f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b))\ \mathrm {et} \ Q(f(a,c,b):f(c,b,a):f(b,a,c))\qquad \mathrm {mais} \qquad |f(a,b,c)|\neq |f(a,c,b)|.$

Kimberling répertorie les paires de points bicentriques sous la notation (P(n), U(n)). Au 20 octobre 2022, la liste comptait 210 paires bicentriques remarquables.

    RéférenceNom de la paireDéfinition P(1), U(1)Points de BrocardIntersections de trois céviennes isoclines P(2), U(2)Points de BeltramiInverses des points de Brocard par rapport au cercle circonscrit P(3), U(3)Points d'YffIntersections des trois céviennes telles que les distances entre un sommet et le pied d'une cévienne soient égales P(4), U(4)Intersections de GrinbergPoints d'intersection du cercle circonscrit et du cercle d'Euler du triangle (n'existent que si un des angles est obtus) P(11), U(11)Conjugués isotomiques des points de Brocard
