Matrice semi-simple
# Matrice semi-simple

En algèbre linéaire, la notion de matrice semi-simple constitue une généralisation de la notion de matrice diagonalisable. Elle permet de discriminer deux types d'obstruction à la diagonalisabilité : d'une part les obstructions liées à l'arithmétique du corps de coefficients dans lequel la matrice est considérée, et d'autre part les obstructions qui demeurent indépendantes de ce corps.

Une matrice A à coefficients dans un corps commutatif K est dite semi-simple sur K si tout sous-espace stable par A possède un supplémentaire stable par A.

## Résultats généraux

La semi-simplicité se caractérise à l'aide du polynôme minimal de la matrice considérée : une matrice à coefficients dans K est semi-simple si et seulement si son polynôme minimal est sans facteur carré (c'est-à-dire qu'il n'admet aucun diviseur qui soit le carré d'un autre polynôme) dans K[X].

En particulier, dans le cas où toutes les racines du polynôme minimal de A appartiennent à K, ceci se particularise en : A est semi-simple si et seulement si elle est diagonalisable.

Si le corps des coefficients a la propriété d'être parfait (par exemple tout corps fini, ou tout corps de caractéristique nulle comme le corps des nombres rationnels ou le corps des nombres réels), c'est-à-dire que tous les polynômes irréductibles à coefficients dans ce corps n'ont que des racines simples dans une clôture algébrique de ce corps, la caractérisation peut s'écrire : une matrice est semi-simple si et seulement si elle est diagonalisable dans une clôture algébrique du corps.

Si le polynôme minimal M de A admet un carré $P^2$ comme diviseur, alors la matrice A n'est pas semi-simple. En effet, le sous-espace Im(P(A)) est dans ce cas un sous-espace stable, et, si S désigne un supplémentaire stable de ce sous-espace, alors ${\frac {M}{P}}(A)(S)\subset S\cap Im(P(A))$ d'une part par stabilité, et d'autre part, car P divise M/P. Il s'ensuit que M/P est un polynôme annulateur de A, en contradiction avec la définition de polynôme minimal. Réciproquement, si le polynôme minimal M de A est sans facteur carré, que S désigne un sous-espace stable par A, alors le polynôme minimal N de A considéré en restriction à S est un diviseur de M. On vérifie alors que S est le noyau de N(A), et admet comme supplémentaire stable le noyau de M/N(A), d'après le lemme des noyaux.

Dans le cas d'un corps parfait, le polynôme minimal est sans facteur carré si et seulement s'il est séparable, c'est-à-dire qu'il se scinde en facteurs simples dans une clôture algébrique de K. On reconnaît bien une caractérisation classique de la diagonalisabilité dans une clôture algébrique.

## Un exemple dans un corps non parfait

Les définitions et résultats qui précèdent peuvent dépendre du corps K dans lequel on se place.

Voici un exemple quelque peu pathologique, qui permet d'observer certaines subtilités.

Soit $F_2$ le corps à deux éléments, et soit K = $F_2(Y),$ le corps des fractions rationnelles sur $F_2.$ Définissons la matrice

$A={\begin{pmatrix}0&Y\\1&0\end{pmatrix}}.$

Le polynôme caractéristique de cette matrice est $χ_A(Z)$ = $Z^2$ – Y, qui n'a pas de racine dans K car Y n'est pas un carré dans K, puisque sa valuation est impaire. Ceci montre que la matrice A n'a pas de valeur propre dans K. Elle est donc semi-simple sur K.

On considère maintenant l'extension quadratique L = K[X]/(Y – $X^2),$ corps de décomposition de $χ_A.$

Sur L, $χ_A(Z)$ = $Z^2$ – $X^2$ = (Z – $X)^2$ n'est plus irréductible, et A a comme valeur propre double X. Si A était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice scalaire XI, donc égale à cette matrice. Mais on constate que A n'est pas une matrice scalaire. Elle n'est donc pas diagonalisable et donc pas semi-simple sur L.

## Référence

Jean-Marie Arnaudiès et José Bertin, Groupes, algèbres et géométrie, Ellipses, 1993

