Masse fluide en rotation
# Masse fluide en rotation

Soit un fluide incompressible, autogravitant, en rotation, de masse M, de masse volumique $\rho$. Le problème est de trouver sa forme.

Pour une rotation faible, la solution de Maclaurin (1742) est la bonne : un ellipsoïde de révolution aplati.

Mais Jacobi découvre en 1834 une nouvelle famille de solutions : un ellipsoïde à trois axes différents.

Dès lors, le problème devient l'objet de recherches mathématiques intenses (Meyer, Riemann, Poincaré, Cartan,...) jusqu'à nos jours.

Historiquement, Darwin-fils avait pensé que lors de la formation de la Terre, la "goutte" en rotation rapide avait pu se séparer donnant naissance à la Lune. Ce scénario est écarté aujourd'hui.

## La solution de Maclaurin

Soit un ellipsoïde de révolution aplati, d'aplatissement f = (a-b)/a, d'excentricité e.

La rotation est caractérisée par le paramètre m = $\omega ^{2}a/(GM/a^{2})$. Comme le volume est donné, V = ${\frac {4\pi a^{2}b}{3}}$, m est proportionnel à $\omega ^{2}/\pi G\rho$

La solution donnée par Maclaurin est :

$\omega ^{2}/2\pi G\rho =Arcsin(e)\cdot {\frac {(1-e^{2})^{1/2}(3-2e^{2})}{e^{3}}}+3-3/e^{2}$.

A dire vrai, il vaut mieux considérer que le moment cinétique L = $2/5.Ma^{2}\omega$ est donné. Alors L =f(e) est monotone.

## La solution de Jacobi

Jacobi montrera que si L augmente, l'ellipsoïde de révolution est instable ; il faut lui substituer un ellipsoïde triaxial (a>b>c) , avec c/a = 0.58 , et b/a = 1 au point de bifurcation : la symétrie de révolution est brisée.

La valeur de e = ${\sqrt {}a^{2}-c^{2})/a$ correspondante est : 0. 812 670 ...

Pour des valeurs plus importantes de L , b diminue , ainsi que c , pour atteindre les valeurs b/a = 0.43 et c/a = 0.34 .

Au-delà, la solution bifurque à nouveau : solutions "piriformes" de Poincaré , etc.

