Loi de Tukey-lambda
# Loi de Tukey-lambda

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Tukey-lambda est une loi de probabilité à support compact ou infini, en fonction de la valeur de son paramètre. Cette loi est à densité, cependant sa densité ne possède pas d'expression analytique. La loi est alors définie par ses quantiles.

## Différents paramétrages

La loi de Tukey-lambda est connue de façon implicite par la distribution de ses quantiles:

    $G(p)\equiv F^{-1}(p)={\begin{cases}\left[p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }\right]/\lambda ,&{\mbox{si }}\lambda \neq 0\\\operatorname {logit} (p),&{\mbox{si }}\lambda =0\end{cases}}$

avec la fonction logit.

Le paramètre $\lambda$ est un paramètre de forme, comme le résume le tableau suivant.

| λ = −1 | approximativement une loi de Cauchy |
| - | - |
| λ = 0 | exactement une loi logistique |
| λ = 0,14 | approximativement une loi normale |
| λ = 0,5 | strictement concave |
| λ = 1 | exactement une loi uniforme continue sur]–1 ; 1[ |

La densité et la fonction de répartition de cette loi doivent être approchées numériquement. Cette loi a par la suite été généralisée.

### Lois de Tukey-lambda généralisées

* La version de Ramberg et Schmeiser

$G(p)=\lambda _{1}+{p^{\lambda _{3}}-(1-p)^{\lambda _{4}} \over \lambda _{2}}$

* La version de Freimer, Mudholkar, Kollia et Lin

$G(p)=\lambda _{1}+{{{\frac {p^{\lambda _{3}}}{\lambda _{3}}}-{\frac {(1-p)^{\lambda _{4}}}{\lambda _{4}}}} \over \lambda _{2}}$

