Champ équiprojectif
# Champ équiprojectif

Dans un espace affine euclidien $E$, un champ de vecteurs $({\overrightarrow {V_{P}}})_{P\in E}$ est équiprojectif si :

       $\forall P\in E,\forall Q\in E,({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {PQ}})=({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {PQ}})$

où $(\cdot |\cdot )$ désigne le produit scalaire.

Il existe alors un endomorphisme antisymétrique $u$ tel que :

       $\forall P\in E,\forall Q\in E,{\overrightarrow {V_{Q}}}={\overrightarrow {V_{P}}}+u({\overrightarrow {PQ)}}$.

Cette notion est utilisée en physique, voir Équiprojectivité en physique.

## Démonstration de l'existence de l'endomorphisme

### Antisymétrie

Soit $O$ un point arbitraire de $E$. Pour tout vecteur ${\overrightarrow {x}}$, il existe un unique point $P$ tel que ${\overrightarrow {x}}={\overrightarrow {OP}}$ et on définit $u$ par $u({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {V_{P}}}-{\overrightarrow {V_{O}}}$.

Montrons que, pour tous vecteurs ${\overrightarrow {x}}={\overrightarrow {OP}}$ et ${\overrightarrow {y}}={\overrightarrow {OQ}}$, on a :

       $(u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})=-({\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))$

ce qui prouve l'antisymétrie de $u$.

On a en effet :

       $(u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})=({\overrightarrow {V_{P}}}-{\overrightarrow {V_{O}}}|{\overrightarrow {OQ}})=({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OQ}})-({\overrightarrow {V_{O}}}|{\overrightarrow {OQ}})$
       $=({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OQ}})-({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})$ en utilisant l'équiprojectivité du champ $V$
       $=({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OP}}+{\overrightarrow {PQ}})-({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})$
       $=({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OP}})+({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {PQ}})-({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})$
       $=({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OP}})+({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {PQ}})-({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})$ en utilisant de nouveau l'équiprojectivité.

Si on échange les rôles de ${\overrightarrow {x}}$ et ${\overrightarrow {y}}$, on obtiendra :

       $({\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))=(u({\overrightarrow {y}})|{\overrightarrow {x}})=({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})+({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {QP}})-({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OP}})$

On obtient bien :

       $(u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})=-({\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))$

### Linéarité

On déduit de l'antisymétrie que $u$ est linéaire. En effet, pour tout ${\overrightarrow {x}}$, ${\overrightarrow {y}}$, $\lambda$, on a :

       $\left(u\left(\lambda {\overrightarrow {x}}\right)|{\overrightarrow {y}}\right)=-(\lambda {\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))=-\lambda ({\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))=\lambda (u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})=(\lambda u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})$

Cette égalité étant vraie pour tout ${\overrightarrow {y}}$, on en déduit que :

       $u\left(\lambda {\overrightarrow {x}}\right)=\lambda u\left({\overrightarrow {x}}\right)$

On procède de même pour montrer que :

       $u({\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {x'}})=u({\overrightarrow {x}})+u({\overrightarrow {x'}})$

## Cas de la dimension 3, torseur

Dans une base orthonormée directe, $u$, étant un endomorphisme antisymétrique, possède une matrice antisymétrique

${\begin{pmatrix}0&-c&b\\c&0&-a\\-b&a&0\\\end{pmatrix}}$

Si on nomme ${\overrightarrow {\Omega }}$ le vecteur de composantes ${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$, alors la matrice précédente est celle de l'application ${\overrightarrow {x}}\mapsto {\overrightarrow {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {x}}$.

On a donc $\forall {\overrightarrow {x}},u({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {x}}$ et donc

       ${\overrightarrow {V_{Q}}}={\overrightarrow {V_{P}}}+{\overrightarrow {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {PQ}}$

$({\overrightarrow {V_{P}}})_{P\in E}$ est le champ des moments d'un torseur de résultante ${\overrightarrow {\Omega }}$.

## Exemple

L'exemple typique de champ équiprojectif en dimension 3 est le champ des vitesses d'un solide en mouvement. En effet, si $P$ et $Q$ sont deux points du solide, et si on note $d$ la distance entre $P$ et $Q$, on a :

       $\|{\overrightarrow {PQ}}\|^{2}=d^{2}=\left({\overrightarrow {PQ}}|{\overrightarrow {PQ}}\right)$

et en dérivant par rapport au temps :

       $\left({\overrightarrow {V_{Q}}}-{\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {PQ}}\right)=0$

où ${\overrightarrow {V}}$ désigne la vitesse en un point.

Le champ des vitesses est donc un torseur. Le vecteur ${\overrightarrow {\Omega }}$ s'appelle vecteur instantané de rotation.

