Mesure sigma-finie
# Mesure sigma-finie

Soit (X, Σ, μ) un espace mesuré. On dit que la mesure μ est σ-finie lorsqu'il existe un recouvrement dénombrable de X par des sous-ensembles de mesure finie, c'est-à-dire lorsqu'il existe une suite $(E_n)_{n∈ℕ}$ d'éléments de la tribu Σ, tous de mesure finie, avec

$X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}.$

## Exemples

* Mesure finie
* Mesure de comptage sur un ensemble dénombrable
* Mesure de Lebesgue. En effet, l'ensemble des intervalles $[k,k+1)$ pour tous les nombres entiers $k\in \mathbb {Z}$ est un recouvrement dénombrable de $\mathbb {R}$, et chacun des intervalles est de mesure 1.
* Plus généralement, mesure de Haar sur un groupe localement compact σ-compact

## Propriétés

* En remplaçant $E_n$ par $F_n$ = $E_0$ ∪ … ∪ $E_n,$ on obtient une suite vérifiant les mêmes propriétés et qui de plus est croissante pour l'inclusion, donc μ(X) = lim $μ(F_n).$
* En remplaçant $F_n$ par $G_n$ = $F_n\F_{n–1},$ on obtient une suite vérifiant les mêmes hypothèses que $(E_n)_{n∈ℕ}$ et qui de plus est constituée de parties disjointes deux à deux, donc μ(X) = $∑_{n∈ℕ}$ $μ(G_n).$
* Si Y est un élément de Σ, la restriction de μ à Y est encore σ-finie.

## Usages

* Théorème d'extension de Carathéodory
* Unicité d'une mesure produit
* Théorème de Fubini
* Théorème d'Egoroff
* Cas extrémal de l'inégalité de Hölder
* Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue
* Lien entre mesure complétée et mesure extérieure
