Matrice unimodulaire
# Matrice unimodulaire

En algèbre linéaire, une matrice unimodulaire sur l'anneau des entiers relatifs est une matrice carrée à coefficients entiers dont le déterminant vaut +1 ou –1. Plus généralement, une matrice unimodulaire sur un anneau commutatif A est une matrice inversible à coefficients dans A, dont l'inverse est aussi à coefficients dans A. Le groupe général linéaire $GL_n(A)$ des matrices unimodulaires de taille n sur l'anneau A est donc constitué des matrices dont le déterminant est inversible dans A.

## Propriétés des matrices unimodulaires

Les matrices unimodulaires d'ordre n forment un groupe pour le produit, c'est-à-dire que les matrices suivantes sont unimodulaires :

* la matrice unité ;
* l'inverse d'une matrice unimodulaire ;
* le produit de deux matrices unimodulaires.

De plus, le produit de Kronecker de deux matrices unimodulaires est unimodulaire.

## Matrice totalement unimodulaire

Une matrice totalement unimodulaire (TUM) est une matrice (non nécessairement carrée) à coefficients entiers dont chaque sous-matrice carrée de déterminant non nul est unimodulaire. On déduit de cette définition que les éléments d'une TUM peuvent uniquement être –1, 0 ou +1.

### Exemple de matrice totalement unimodulaire

La matrice suivante est totalement unimodulaire :

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&-1&0&0&0&+1\\+1&0&-1&-1&0&0\\0&+1&+1&0&-1&0\\0&0&0&+1&+1&-1\\\end{pmatrix}}$

### Condition suffisante pour être totalement unimodulaire

Une condition suffisante mais pas nécessaire pour qu'une matrice A soit totalement unimodulaire :

Soit A une matrice rectangulaire dont les lignes sont partitionnées en 2 ensembles disjoints B et C avec les propriétés suivantes :

* chaque colonne de A contient au plus 2 éléments non nuls ;
* chaque élément de A vaut –1, 0 ou +1 ;
* si 2 éléments d'une colonne de A ont le même signe, alors la ligne de l'un est dans B, l'autre dans C ;
* si 2 éléments d'une colonne de A ont des signes opposés, alors les lignes des 2 éléments sont dans B ou toutes les 2 dans C ;

alors les déterminants des sous-matrices de A sont –1, 0 ou +1.

## Matrices unimodulaires classiques

Les matrices issues des modélisations par programme linéaire du problème de flot maximum et du problème du flot de coût minimum, sont unimodulaires.

