Loi inverse-χ²
# Loi inverse-χ²

En théorie des probabilités et en statistique, la loi inverse-$\chi ^{2}$ (ou loi du $\chi ^{2}$ inverse) est la loi de probabilité de la variable aléatoire dont l'inverse suit une loi du χ². Une variante par changement d'échelle existe également.

Cette loi est utilisée en inférence statistique. Si X suit une loi $inverse-χ^2,$ on notera : $X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(\nu )$.

## Définition

Si X suit une loi du χ² à $\nu$ degrés de liberté, alors $1/X$ est de loi $inverse-χ^2$ à $\nu$ degrés de liberté.

Sa densité de probabilité est donnée par :

    $f(x;\nu )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {2^{-\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}\,x^{-\nu /2-1}e^{-1/(2x)}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}$

où $\Gamma$ est la fonction gamma et $\nu$ est appelé le nombre de degrés de liberté.

### Variante

Une variante de la loi $inverse-χ^2$ existe, par un changement d'échelle. C'est la loi de $\nu /X$ lorsque X suit une loi du χ² à $\nu$ degrés de liberté. La densité de probabilité est alors donnée par :

    $f(x;\nu )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {(\nu /2)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}x^{-\nu /2-1}e^{-\nu /(2x)}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

Le degré de liberté est encore $\nu$.

## Liens avec d'autres lois

* loi du χ² : Si $X\thicksim \chi ^{2}(\nu )$, alors ${\frac {1}{X}}\thicksim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(\nu )$.
* la loi $inverse-χ^2$ est la loi inverse-gamma avec $\alpha ={\frac {\nu }{2}}$ et $\beta ={\frac {1}{2}}$.
