Loi triangulaire
# Loi triangulaire

En théorie des probabilités, une loi triangulaire est une loi de probabilité dont la fonction de densité est affine de sa borne inférieure à son mode, et de son mode à sa borne supérieure. Elle est mentionnée sous deux versions : une loi discrète et une loi continue.

## Version discrète

La loi triangulaire discrète de paramètre entier positif a est définie pour tout entier x compris entre –a et a par :

    $\mathrm {P} (x)={\frac {a+1-|x|}{(a+1)^{2}}}$.

## Version continue

### Caractérisation

La loi triangulaire continue sur le support ]a ; b[ et de mode c a pour fonction de densité :

    $f\colon x\mapsto {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{ si }}a<x\leq c\\\\\displaystyle {\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\mbox{ si }}c<x\leq b\\\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}$

Dans de nombreux domaines, la loi triangulaire est considérée comme une version simplifiée de la loi bêta.

### Liens avec la loi uniforme

Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables indépendantes et identiquement distribuées selon une loi uniforme standard. Alors:

* la distribution de la moyenne

    $\mathrm {Y} :={\frac {\mathrm {X} _{1}+\mathrm {X} _{2}}{2}}$
    est une loi triangulaire de paramètres a = 0, b = 1 et c = ½. C'est alors un cas particulier de la loi Bates, avec n = 2.
* la distribution de l'écart absolu

    $\mathrm {Z} :=|\mathrm {X} _{1}-\mathrm {X} _{2}|$
    est aussi distribué selon une loi triangulaire de paramètres a = 0, b = 1 et c = 0.
