Loi de Rice
# Loi de Rice

En statistiques et théorie des probabilités, la loi de Rice, nommée d'après Stephen O. Rice (en) (1907–1986), est une loi de probabilité à densité (c'est-à-dire continue).

C'est une généralisation de la loi de Rayleigh utilisée pour décrire le comportement d'un signal radio qui se propage selon plusieurs chemins (multipath) avant d'être reçu par une antenne.

## Caractérisation

Soient deux variables de Gauss centrées, indépendantes, de même variance $σ^2.$ Si on considère qu'elles représentent les deux coordonnées d'un point d'un plan, la distance de ce point à l'origine suit une loi de Rayleigh :

    $f(x,\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$.

En supposant que la distribution est centrée sur un point de coordonnées (ν cos θ, ν sin θ) (coordonnées polaires (ν , θ)), la densité de probabilité devient :

    $f(x|\nu ,\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right)$

où $I_0(z)$ est la fonction de Bessel modifiée de première espèce et d'ordre 0.

## Propriétés

### Moments

Les premiers moments (non centrés) sont :

    $\mu _{1}=\sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{1/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})$
    $\mu _{2}=2\sigma ^{2}+\nu ^{2}\,$
    $\mu _{3}=3\sigma ^{3}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{3/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})$
    $\mu _{4}=8\sigma ^{4}+8\sigma ^{2}\nu ^{2}+\nu ^{4}\,$
    $\mu _{5}=15\sigma ^{5}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{5/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})$
    $\mu _{6}=48\sigma ^{6}+72\sigma ^{4}\nu ^{2}+18\sigma ^{2}\nu ^{4}+\nu ^{6}\,$
    $L_{\nu }(x)=L_{\nu }^{0}(x)=M(-\nu ,1,x)=\,_{1}F_{1}(-\nu ;1;x)$

où, $L_ν(x)$ représente un polynôme de Laguerre et M désigne la fonction hypergéométrique confluente.

Pour le cas ν = 1/2 :

    $L_{1/2}(x)=\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {1}{2}};1;x\right)$
    $=\mathrm {e} ^{x/2}\left[\left(1-x\right)I_{0}\left({\frac {-x}{2}}\right)-xI_{1}\left({\frac {-x}{2}}\right)\right].$

Généralement les moments sont donnés par

    $\mu _{k}=s^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1\!+\!k/2)\,L_{k/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}),\,$

où s = $σ^{1/2}.$

Lorsque k est pair, les moments deviennent des polynômes en σ et ν.

## Distributions liées

* La variable $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ suit une loi de Rice $R\sim \mathrm {Rice} \left(\sigma ,\nu \right)$ à condition que $X\sim {\mathcal {N}}\left(\nu \cos \theta ,\sigma ^{2}\right)$ et $Y\sim {\mathcal {N}}\left(\nu \sin \theta ,\sigma ^{2}\right)$ soient deux variables gaussiennes indépendantes.
* Pour obtenir une variable $R\sim \mathrm {Rice} \left(\nu ,\sigma \right)$, on peut considérer une autre procédure :
* Tirer P selon une loi de Poisson, de paramètre $\lambda ={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}.$
* Tirer X selon une loi du $χ^2$ avec 2P + 2 degrés de liberté.
* Poser R = σ √X.
* Si $R\sim \mathrm {Rice} \left(1,\nu \right)$ alors $R^2$ suit une loi du $χ^2$ non centrée, à 2 degrés de liberté et un paramètre de non-centralité $ν^2.$

## Cas limites

Pour de grandes valeurs de l'argument, le polynôme de Laguerre devient :

    $L_{\nu }(x)\ {\underset {x\rightarrow -\infty }{\sim }}\ {\frac {|x|^{\nu }}{\Gamma (1+\nu )}}.$

On peut constater que lorsque ν devient grand ou que σ devient petit, alors la moyenne devient ν et la variance $σ^2.$

