N-sphère
# N-sphère

En géométrie, la sphère de dimension n, l'hypersphère ou n-sphère est une généralisation de la sphère à un espace euclidien de dimension quelconque. L'hypersphère constitue un des exemples les plus simples de variété, elle est plus précisément une hypersurface de l'espace euclidien $\mathbb {R} ^{n+1}$, notée en général $\mathbb {S} ^{n}$.

## Définition

Soient E un espace euclidien de dimension n + 1, A un point de E, et R un nombre réel strictement positif. On appelle hypersphère de centre A et de rayon R l'ensemble des points M dont la distance à A vaut R.

Étant donné un repère affine orthonormé, quitte à effectuer une translation, ce qui ne change rien aux propriétés géométriques, il est possible de se ramener à une hypersphère centrée en l'origine, dont l'équation s'écrit alors

    $\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}^{2}=R^{2}$.

Par exemple :

* pour le cas n = 0, l'hypersphère est constituée de deux points d'abscisses respectives R et –R ;
* pour le cas n = 1, l'hypersphère est un cercle ;
* pour le cas n = 2, l'hypersphère est une sphère au sens usuel.

(Pour un paramétrage de l'hypersurface ainsi définie, voir « Coordonnées hypersphériques ».)

## Propriétés

### Volume

Le volume (ou, plus précisément, la mesure de Lebesgue) de l'espace délimité par une hypersphère de dimension n – 1 et de rayon R, qui est une boule euclidienne de dimension n, vaut :

    $V_{n}={\pi ^{n/2}R^{n} \over \Gamma (n/2+1)}$,

où $\Gamma$ désigne la fonction gamma. En particulier, on a :

| | n pair | n impair |
| - | - | - |
| $V_{n}$ | ${\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}$ | $2^{(n+1)/2}{\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}R^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot n}}$ |

Le tableau suivant donne les valeurs du volume des 8 premières boules de dimension n et de rayon 1 :

| n | Valeur du volume | Valeur du volume |
| - | - | - |
| n | exacte | approchée |
| 1 | $2$ | $2$ |
| 2 | $\pi$ | $3{,}14159$ |
| 3 | ${\frac {4}{3}}\pi$ | $4{,}18879$ |
| 4 | ${\frac {1}{2}}\pi ^{2}$ | $4{,}93480$ |
| 5 | ${\frac {8}{15}}\pi ^{2}$ | $5{,}26379$ |
| 6 | ${\frac {1}{6}}\pi ^{3}$ | $5{,}16771$ |
| 7 | ${\frac {16}{105}}\pi ^{3}$ | $4{,}72478$ |
| 8 | ${\frac {1}{24}}\pi ^{4}$ | $4{,}05871$ |

Le volume d'une telle boule est maximal pour n = 5. Pour n > 5, le volume est décroissant quand n augmente et sa limite à l'infini est nulle :

    $\lim _{n\to \infty }V_{n}=0$.

L'hypercube circonscrit à l'hypersphère unité possède des arêtes de longueur 2 et un volume $2^n$ ; le rapport entre les volumes d'une boule et de l'hypercube inscrit (de côté $2/{\sqrt {n}}$) est croissant en fonction de n.

### Aire

L'aire de l'hypersphère de dimension n−1 et de rayon R peut être déterminée en prenant la dérivée par rapport au rayon R du volume $V_n$ :

    $S_{n-1}={\frac {\mathrm {d} V_{n}}{\mathrm {d} R}}={\frac {nV_{n}}{R}}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n-1}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}$.
    $S_{n}={\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}R^{n}}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}}$.

| | n pair | n impair |
| - | - | - |
| $S_{n}$ | $2^{{\frac {n}{2}}+1}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{1\cdot 3\cdots (n-1)}}$ | ${\frac {\pi ^{\frac {n+1}{2}}R^{n}}{{\frac {1}{2}}\,\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}$ |

La n-sphère unité $\mathbb {S} ^{n}$ a donc pour aire :

    ${\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}}~.$

Le tableau suivant donne les valeurs de l'aire des 7 premières n-sphères de rayon 1 :

| n | Aire de $\mathbb {S} ^{n}$ | Aire de $\mathbb {S} ^{n}$ |
| - | - | - |
| n | exacte | approchée |
| 1 | $2\pi$ | $6{,}28318$ |
| 2 | $4\pi$ | $12{,}56637$ |
| 3 | $2\pi ^{2}$ | $19{,}73920$ |
| 4 | ${\frac {8}{3}}\pi ^{2}$ | $26{,}31894$ |
| 5 | $\pi ^{3}$ | $31{,}00627$ |
| 6 | ${\frac {16}{15}}\pi ^{3}$ | $33{,}07336$ |
| 7 | ${\frac {1}{3}}\pi ^{4}$ | $32{,}46969$ |

L'aire de la n-sphère unité est maximale pour n = 6. Pour n > 6, l'aire est décroissante quand n augmente et sa limite à l'infini est nulle :

    $\lim _{n\to \infty }S_{n}=0$.
