Droite projective
# Droite projective

En géométrie, une droite projective est un espace projectif de dimension 1.

En première approche (en oubliant sa structure géométrique), la droite projective sur un corps $K$, notée $\mathbb {P} ^{1}(K)$, peut être définie comme l'ensemble des droites vectorielles du plan vectoriel $K^{2}$. Cet ensemble s'identifie à la droite $K$ à laquelle on ajoute un point à l'infini.

La notion de droite projective se généralise en remplaçant le corps $K$ par un anneau.

## Coordonnées homogènes

Une droite vectorielle de $K^{2}$, et donc un point de la droite projective $\mathbb {P} ^{1}(K)$, est définie par un point $(x_{1},x_{2})$ de cette droite autre que l'origine. Autrement dit, un point sur la droite projective $\mathbb {P} ^{1}(K)$ est représenté par une paire de la forme : $[x_{1}:x_{2}]\,$ où $x_{1},x_{2}\in K\,$ ne sont pas tous deux nuls. On dit que la paire $[x_{1}:x_{2}]\,$ est un système de coordonnées homogènes de ce point.

Ce point de $\mathbb {P} ^{1}(K)$ correspond à la droite de $K^{2}$ d'équation $x_{2}x=x_{1}y\,$.

Deux telles paires $[x_{1}:x_{2}]\,$ et $[x_{1}^{\prime }:x_{2}^{\prime }]\,$ représentent donc le même point de $\mathbb {P} ^{1}(K)$ si elles ne diffèrent que par un facteur non nul λ :

    $[x_{1}:x_{2}]=[\lambda x_{1}:\lambda x_{2}].\,$

On a défini ainsi une relation d'équivalence sur $K^{2}\setminus (0,0)$ et $P^{1}(K)$ est l'ensemble quotient de $K^{2}\setminus (0,0)$ par cette relation d'équivalence, ou encore le quotient ${\bigK^{2}\setminus (0,0){\big )}/K^{\ast }$ de $K^{2}\setminus (0,0)$ par l'action par homothéties du groupe multiplicatif $K^{\ast }$.

On peut K identifier au sous-ensemble de $\mathbb {P} ^{1}(K)$ donné par :

    $\left\{[a:1]\in \mathbb {P} ^{1}(K)\ {\big |}\ a\in K\right\}$

(l'élément $a$ de $K$ correspond à la droite de $K^{2}$ d'équation $x=ay$).

Ce sous-ensemble couvre tous les points de $\mathbb {P} ^{1}(K)$, excepté le point à l'infini $\infty =[1:0]$ (correspondant à la droite de $K^{2}$ d'équation $y=0$).

## Homographies

Le groupe linéaire GL(2, K) agit sur $K^{2}\setminus \{(0,0)\}$ et cette action passe au quotient. Comme les homothéties donnent l'identité par passage au quotient, on obtient une action du groupe quotient $\mathrm {GL} (2,K)/K^{*}$, noté PGL(2, K) et appelé groupe des homographies.

Soit $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$ une application linéaire inversible. L'homographie correspondante $f$ est donnée, avec les conventions du paragraphe ci-dessus, par

    $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$ si $x\in K$ est différent de $-{\frac {d}{c}}$.

Pour $x=-{\frac {d}{c}}$, on a $f(x)=\infty$. L'image du point à l'infini est ${\frac {a}{c}}$.

Si $c=0$, alors $f$ est une transformation affine : les transformations affines apparaissent comme les homographies qui conservent le point à l'infini.

L'action de PGL(2, K) sur $P^1(K)$ est strictement 3-transitive, c'est-à-dire qu'étant donné deux triplets de points deux à deux distincts $(x_{1},x_{2},x_{3})$ et $(y_{1},y_{2},y_{3})$, il existe une homographie et une seule telle que $f(x_{i})=y_{i}$ (pour le montrer, on peut se ramener par composition au cas particulier $(y_{1},y_{2},y_{3})=(0,1,\infty )$).

### Birapport

Soient $a,b,c,d$ quatre points distincts. Il existe une homographie et une seule qui envoie $(a,b,c)$ sur $(\infty ,0,1)$. L'image du quatrième point $d$ est par définition le birapport de ces quatre points, et noté $[a,b,c,d]$. Si ces points sont tous différents de $\infty$,

    $[a,b,c,d]={\frac {c-a}{c-b}}:{\frac {d-a}{d-b}}$, d'où le nom. (Comparer à l'article Rapport anharmonique.)

Le birapport $[a,b,c,\infty ]$ est égal à ${\frac {c-a}{c-b}}$.

## Exemples

### Nombres réels

Si $K$ est le corps $\mathbb {R}$ des nombres réels, alors la droite projective réelle est obtenue en intersectant les droites vectorielles de $\mathbb {R} ^{2}$ avec le cercle unité et en identifiant chaque point de ce cercle au point diamétralement opposé (puisqu'il correspond à la même droite). En termes de théorie des groupes, ceci équivaut à prendre le groupe quotient du cercle par le sous-groupe $\{1;-1\}$.

La topologie de cet espace quotient est celle d'un cercle. On peut en effet le concevoir en imaginant les $+\infty$ et $-\infty$ des nombres réels collés ensemble pour ne former qu'un seul point à l'infini, $\infty$, dit point à l'infini dans la direction de la droite réelle.

La droite projective réelle diffère donc de la droite réelle achevée, où une distinction est faite entre $+\infty$ et $-\infty$.

### Nombres complexes

Si le corps $K$ est l'ensemble des nombres complexes, on obtient de même la droite projective complexe comme espace topologique quotient, homéomorphe à la sphère usuelle. Elle est aussi connue sous le nom de sphère de Riemann ou sphère de Gauss. Elle s'identifie au plan complexe $\mathbb {C}$ auquel on ajoute un point à l'infini.

C'est l'exemple le plus simple de surface de Riemann compacte. Ceci explique qu'on rencontre souvent la droite projective en analyse complexe, en géométrie algébrique et en théorie des variétés complexes.

### Corps finis

Sur les autres projets Wikimedia :

* Droite projective sur un corps fini, sur Wikimedia Commons

Si $K$ est le corps corps fini à $q$ éléments, alors la droite projective est constituée de $q+1$ points. En effet, on peut décrire toutes les droites de $K^{2}$, sauf une, par une équation de la forme $x=ay$ où $a\in K$. La droite restante est celle d'équation $y=0$.

