Méthode du nombre d'or
# Méthode du nombre d'or

La méthode du nombre d'or est un algorithme d'optimisation, c'est-à-dire de recherche de l'extremum d'une fonction, dans le cas d'une fonction unimodale, c'est-à-dire dans lequel l'extremum global recherché est le seul extremum local. S'il existe plusieurs extrema locaux, l'algorithme donne un extremum local, sans qu'il soit garanti que ce soit l'extremum absolu. Cet algorithme, ainsi que la méthode de Fibonacci, ont été mis au point par le statisticien $Kiefer^,.$

## Principe de base

Considérons une fonction réelle ƒ. On a calculé sa valeur en trois points, $x_1,$ $x_2$ et $x_3,$ avec $x_1$ < $x_2$ < $x_3$ ; ceci est représenté sur le dessin ci-contre, avec y = ƒ(x).

Supposons que l'on ait $ƒ(x_2)$ < $ƒ(x_1)$ et $ƒ(x_2)$ < $ƒ(x_3)$ ; comme la fonction est unimodale, on sait que le minimum est dans l'intervalle $]x_1$ ; $x_3[.$ On « sonde » la fonction en prenant un point $x_4$ dans cet intervalle, afin de réduire l'intervalle de recherche.

On peut prendre $x_4$ dans $]x_1$ ; $x_2[$ ou bien dans $]x_2$ ; $x_3[$ ; il est plus « rentable » de le prendre dans l'intervalle le plus grand, ici $]x_2$ ; $x_3[.$ Selon la valeur de $ƒ(x_4),$ alors :

* cas a : $ƒ(x_{4a})$ > $ƒ(x_2),$ on sait que le minimum se trouve dans $]x_1$ ; $x_4[$ ;
* cas b : $ƒ(x_{4b})$ < $ƒ(x_2),$ on sait que le minimum se trouve dans $]x_2$ ; $x_3[.$

On procède ensuite de manière récursive. L'algorithme n'est pas très différent d'une recherche dichotomique, mais le choix des points utilise le nombre d'or plutôt que le nombre 2.

La mise en œuvre de la méthode doit prévoir le cas où $ƒ(x_4)$ = $ƒ(x_2),$ et notamment le cas extrême où la fonction est uniforme sur $]x_1$ ; $x_3[$ ; ce n'est pas un cas unimodal, donc hors des hypothèses de l'algorithme, mais la recherche est en général lancée sans connaître le nombre de modes de la fonction.

## Choix de la sonde

La particularité de la méthode est de choisir la sonde $x_4$ telle que les deux segments possibles, $]x_1$ ; $x_4[$ ou $]x_2$ ; $x_3[,$ aient la même longueur. Sinon, on pourrait par « malchance » avoir une convergence lente. On choisit donc

    $x_4$ - $x_1$ = $x_3$ - $x_2$

soit

    $x_4$ = $x_1$ + $(x_3$ - $x_2).$

Si l'on désire toujours garder la même proportion entre la largeur du segment à l'étape i et celle à l'étape i + 1, alors dans le cas a, il faut

    ${\frac {x_{4}-x_{2}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {x_{2}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}}$

ou, avec les notations introduites sur la figure :

    ${\frac {c}{a}}={\frac {a}{b}}$

et dans le cas b :

    ${\frac {c}{b-c}}={\frac {a}{b}}$

En éliminant c dans ces équations, on obtient

    $\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}={\frac {b}{a}}+1$

ce qui donne le nombre d'or φ :

    ${\frac {b}{a}}=\varphi$

Si l'intervalle de départ est $[x_1$ ; $x_3],$ alors la première sonde est prise en

    $x_{2}=x_{1}+{\frac {x_{3}-x_{1}}{1+\varphi }}$.
