Matrice à diagonale dominante
# Matrice à diagonale dominante

En algèbre linéaire, une matrice carrée à coefficients réels ou complexes est dite à diagonale dominante lorsque le module de chaque terme diagonal est supérieur ou égal à la somme des modules des autres termes de sa ligne. Si $A=(a_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^{2}}$, on a alors :

    $\forall i\in [\![1,n]\!],\ |a_{i,i}|\geq \sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}|a_{i,j}|.$

De la même manière, A est dite à diagonale strictement dominante lorsque :

    $\forall i\in [\![1,n]\!],\ |a_{i,i}|>\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}|a_{i,j}|.$

La matrice

    $A={\begin{pmatrix}3&1&1\\1&-3&2\\-1&2&4\end{pmatrix}}$

vérifie

    $\left\{{\begin{array}{ccc}|a_{11}|&\geq &|a_{12}|+|a_{13}|\,&{\text{car}}\,&|3|&\geq &|1|+|1|\\|a_{22}|&\geq &|a_{21}|+|a_{23}|\,&{\text{car}}\,&|-3|&\geq &|1|+|2|\\|a_{33}|&\geq &|a_{31}|+|a_{32}|\,&{\text{car}}\,&|4|&\geq &|-1|+|2|\end{array}}\right..$

C'est donc une matrice à diagonale dominante.

La matrice

    $B={\begin{pmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{pmatrix}}$

vérifie

    $\left\{{\begin{array}{ccc}|b_{11}|&<&|b_{12}|+|b_{13}|\,&{\text{car}}\,&|-2|&<&|2|+|1|\\|b_{22}|&\geq &|b_{21}|+|b_{23}|\,&{\text{car}}\,&|3|&\geq &|1|+|2|\\|b_{33}|&<&|b_{31}|+|b_{32}|\,&{\text{car}}\,&|0|&<&|1|+|-2|\end{array}}\right..$

Ce n'est donc pas une matrice à diagonale dominante.

La matrice

    $C={\begin{pmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{pmatrix}}$

vérifie

    $\left\{{\begin{array}{ccc}|c_{11}|&>&|c_{12}|+|c_{13}|\,&{\text{car}}\,&|-4|&>&|2|+|1|\\|c_{22}|&>&|c_{21}|+|c_{23}|\,&{\text{car}}\,&|6|&>&|1|+|2|\\|c_{33}|&>&|c_{31}|+|c_{32}|\,&{\text{car}}\,&|5|&>&|1|+|-2|\end{array}}\right..$

C'est donc une matrice à diagonale strictement dominante.

## Lemme de Hadamard

Le « lemme de Hadamard » est un cas particulier du théorème de Gerschgorin. Inversement, il peut servir de lemme pour démontrer ce dernier.

   Si $A=(a_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^{2}}$ est une matrice à diagonale strictement dominante alors A est inversible.

Raisonnons par contraposition, en supposant A non inversible. Alors, 0 est valeur propre donc d'après le théorème de Gerschgorin :

    $\exists i\in [\![1,n]\!]\quad |a_{i,i}|\leq \sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}|a_{i,j}|$,

autrement dit : A n'est pas à diagonale strictement dominante.

## Corollaire

   Soit A une matrice hermitienne.
   * Si A est à diagonale dominante alors, elle est positive si (et seulement si) ses coefficients diagonaux sont des réels positifs ou nuls.

   * Si A est à diagonale strictement dominante alors, elle est définie positive si (et seulement si) ses coefficients diagonaux sont des réels strictement positifs.

Le sens « seulement si » résulte immédiatement de la définition des matrices positives et définies positives. Réciproquement, supposons que $A=(a_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^{2}}$ est une matrice hermitienne à diagonale dominante dont les coefficients diagonaux sont des réels positifs ou nuls (resp. strictement positifs). Soit λ une valeur propre (nécessairement réelle) de A. Alors,

    $\exists i\in [\![1,n]\!]\quad |a_{i,i}-\lambda |\leq \sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}|a_{i,j}|\leq |a_{i,i}|$ (resp. $<|a_{i,i}|$).

Comme $|a_{i,i}|$ est positif ou nul (resp. strictement positif), λ l'est aussi, ce qui prouve que A est positive (resp. définie positive).

Le second point peut aussi se déduire du premier et du lemme d'Hadamard.

