Masse réduite
# Masse réduite

En physique, la masse réduite est la masse attribuée à l'objet fictif mis en œuvre dans la simplification des problèmes d'interaction de deux corps de la mécanique newtonienne.

On note habituellement la masse réduite par la lettre grecque μ et ses unités SI sont les mêmes que celles de la masse : les kilogrammes (kg).

## Équations

### Problème à deux corps

Soit deux particules en interaction mutuelle, l'une de masse $m_{1}$ et l'autre de masse $m_{2}$, le mouvement de ces deux masses peut être réduit au mouvement d'une seule particule de masse (réduite) $\mu$ :

$\mu ={1 \over {{1 \over m_{1}}+{1 \over m_{2}}}}={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\ .$

La force appliquée sur cette masse est la résultante des forces entre les masses initiales. Le problème est alors résolu mathématiquement en remplaçant les masses comme suit:

$m_{1}\rightarrow \mu$

et

$m_{2}\rightarrow 0$

### Problème à N corps

La définition de masse réduite peut être généralisée au Problème à N corps:

$\mu =\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{m_{i}}}\right)^{-1}$

### Approximation

Lorsque la masse $m_{1}$ est très supérieure à la masse $m_{2}$ la masse réduite est approximativement égale à la plus faible des masses :

$\mu ={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\ ={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1}}({1+{{m_{2}} \over {m_{1}}})}}\ ={{m_{2}} \over {1+{{m_{2}} \over {m_{1}}}}}\ \approx m_{2}$

## Dérivation

Les équations de la mécanique sont dérivées comme suit.

### Mécanique newtonienne

La deuxième loi de Newton permet d'exprimer la force exercée par la particule 2 sur la particule 1 comme

    $\mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}.\!\,$

La force exercée par la particule 1 sur la particule 2 est

    $\mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}.\!\,$

La troisième loi de Newton prévoit que le force exercée par la particule 2 sur la particule 1 est égale et opposée à la force exercée par la particule 1 sur la particule 2

    $\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}.\!\,$

Ainsi,

    $m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}.\!\,$

et

    $\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}.\!\,$

L'accélération relative $a_{rel}$ entre les deux corps est donnée par

    $\mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{2}}}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}.$

Ceci permet de conclure que la particule 1 se déplace par rapport à la position de la particule 2 comme s'il s'agissait d'un corps de masse équivalente à la masse réduite.

### Mécanique lagrangienne

Le problème à deux corps est décrit en mécanique lagrangienne par le lagrangien suivant

    $L={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)\!\,$

où $r_i$ est le vecteur de position de la particule $i$ (de masse $m_i)$ et V est une fonction d'énergie potentielle, qui ne dépend que de la distance entre les particules (condition nécessaire pour conserver l'invariance translationnelle du système). On définit

    $\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$

et on positionne l'origine du système de coordonnées utilisé afin qu'il coïncide avec le centre de masse, ainsi

    $m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0$.

De cette manière,

    $\mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\mathbf {r} _{2}={\frac {-m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.$

En substituant ceci dans le lagrangien on obtient

    $L={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),$

un nouveau lagrangien pour une particule de masse réduite :

    $\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.$

Nous avons donc réduit le problème initial à deux corps à un problème simplifié à un corps.

