Matrice unitaire
# Matrice unitaire

En algèbre linéaire, une matrice carrée U à coefficients complexes est dite unitaire si elle vérifie les égalités :

$\mathrm {U} ^{*}\times \mathrm {U} =\mathrm {U} \times \mathrm {U} ^{*}=\mathrm {I}$

où la matrice adjointe de U est notée U* (ou $U^†$ en physique, et plus particulièrement en mécanique quantique) et I désigne la matrice identité.

L'ensemble des matrices unitaires de taille n forme le groupe unitaire U(n).

Les matrices unitaires carrées à coefficients réels sont les matrices orthogonales.

## Propriétés

Toute matrice unitaire U vérifie les propriétés suivantes :

* son déterminant est de module 1 ;
* ses vecteurs propres sont orthogonaux ;
* U est diagonalisable :$\mathrm {U} =\mathrm {V} \mathrm {D} \mathrm {V} ^{*}$ où V est une matrice unitaire et D est une matrice diagonale et unitaire ;
* U peut s'écrire sous la forme d'une exponentielle d'une matrice :$\mathrm {U} =\exp(\mathrm {i} \mathrm {H} )$ où i est l'unité imaginaire et H est une matrice hermitienne.
* U est normale.

## Propositions équivalentes

Soit U une matrice carrée de taille n à coefficients complexes ; les cinq propositions suivantes sont équivalentes :

* U est unitaire ;
* U* est unitaire ;
* U est inversible et son inverse est U* ;
* les colonnes de U forment une base orthonormale pour le produit hermitien canonique sur $ℂ^n$ ;
* U est normale et ses valeurs propres sont de module 1.

## Cas particuliers

Les matrices unités sont des matrices unitaires.

