Généralités sur les machines électriques
# Généralités sur les machines électriques

Le but de cette page est d'expliquer et de démontrer comment une machine électrique fonctionne et produit un couple.

## Circuit statique

Soit un circuit magnétique entouré par un bobinage comportant N spires alimenté par une tension $u\,$. On note $\varphi \,$ le flux par spire et $\Phi =N\varphi \,$ le flux total embrassé par la bobine.

On peut faire le schéma électrique équivalent suivant avec une résistance R qui symbolise les pertes dans les câbles et une fem $e={d\Phi \over dt}\,$ voir Loi de Lenz.

donc on peut écrire :

$u=Ri+{d\Phi \over dt}\,$

En multipliant cette équation par $idt\,$ on obtient :

$u.i.dt=R.i^{2}.dt+N.i.d\varphi \,$

## Bilan des énergies

Donc on alimente un circuit magnétique avec une tension u, le circuit consomme une puissance We, on obtient de la chaleur W_th (les câbles chauffent) et le reste est de l'énergie magnétique. donc $dW_{e}=dW_{th}+dW_{m}\,$

Reprenons la formule plus haut $u.i.dt=R.i^{2}.dt+N.i.d\varphi \,$ On peut identifier $dW_{e}=u.i.dt\,$ la puissance consommée et $dW_{th}=R.i^{2}.dt\,$ les pertes thermiques.

Par identification on en déduit que $dW_{m}=Nid\varphi \,$. Donc :

$W_{m}=\int {Nid\varphi }\,$

Si on considère que le circuit est indéformable alors $dS=0\,$ avec $S\,$ = surface délimitée par le circuit.

$\varphi =B.S\Rightarrow d\varphi =S.dB+dS.B\Rightarrow dW_{m}=N.i.S.dB\,$

$Ni=\int {H.dl}=Hl$

donc on en déduit $dW_{m}=H.l.S.dB=H.dB.V\,$ avec $V=l.S=\,$Volume

donc $W_{m}=\int {H.dB.V}$

Cas linéaire : On considère que le matériau est non saturé.

donc $\Phi =Li\,$ et $B=\mu .H\,$

$W_{m}={\frac {1}{2}}.\Phi .i\,$ si $\Phi =L.i\,$ alors $W_{m}={\frac {1}{2}}.L.i^{2}$

${\frac {W_{m}}{V}}={\frac {1}{2}}.B.H={\frac {1}{2}}.\mu .H^{2}={\frac {B^{2}}{2\mu }}$

on pose $W_{m}+W'_{m}=\Phi .i=N.\varphi .i\,$ avec :

* $W_{m}\,$= énergie magnétique
* $W'_{m}\,$= co-énergie

dans le cas linéaire = $W_{m}=W'_{m}=\Phi .i/2\,$

## Circuit déformable ou dynamique

Comme le circuit est en mouvement, on a de l'énergie mécanique en plus de l'énergie thermique et l'énergie magnétique.

Donc : $dW_{e}=dW_{th}+dW_{meca}+dW_{m}\,$, avec :

* $dW_{e}=u.i.dt=(Ri+N{\frac {d\varphi }{dt}}).i.dt=R.i^{2}.dt+N.i.d\varphi \,$
* $dWth=R.i^{2}.dt\,$
* $dW_{meca}=F.dx\,$ (déplacement linéaire) ou $dW_{meca}=C.d\theta \,$ (rotation)

De plus on néglige les pertes fer et les frottements.

donc on obtient :

    $R.i.dt+N.i.d\varphi =Fdx+dW_{m}\,$
    $F=(-{\frac {dW_{m}}{dt}})\varphi =cste\,$

comme $W_{n}+W'_{m}=\varphi .N.i\,$

