Icositétrachore
# Icositétrachore

L'icositétrachore, ou « 24-cellules » est un 4-polytope régulier convexe. Il est spécifique à la dimension 4 dans le sens où il ne possède aucun équivalent dans une autre dimension. On le dénomme aussi « 24-cellules », « icositétratope », ou « hypergranatoèdre ».

## Sommets

On peut définir un icositétrachore dans $\mathbb {R} ^{4}$ au moyen des sommets de coordonnées $(\pm 1,\pm 1,0,0)$, ainsi que ceux obtenus en permutant ces coordonnées. Ils sont au nombre de 24.

On peut répartir ces sommets en trois familles dont chacune correspond aux sommets d'un hexadécachore :

* HexaDec[1] : $(\pm 1,\pm 1,0,0)$ et $(0,0,\pm 1,\pm 1)$
* HexaDec[2] : $(\pm 1,0,0,\pm 1)$ et $(0,\pm 1,\pm 1,0)$
* HexaDec[3] : $(\pm 1,0,\pm 1,0)$ et $(0,\pm 1,0,\pm 1)$

Si on regroupe ensemble deux de ces hexadécachores, on obtient les sommets d'un tesseract. Par exemple, les sommets de Hexadec[1] et Hexadec[2] donnent le tesseract suivant :

    (1,1,0,0) (1,0,0,1) (1,0,0,–1) (1,–1,0,0) carré de côtés (0,–1,0,1) et (0,–1,0,–1)
    (0,1,1,0) (0,0,1,1) (0,0,1,–1) (0,–1,1,0) translaté du précédant de (–1,0,1,0) pour former un cube,

cube qu'on translate de (–1,0,–1,0) pour obtenir les derniers sommets :

    (0,1,–1,0) (0,0,–1,1) (0,0,–1,–1) (0,–1,–1,0)
    (–1,1,0,0) (–1,0,0,1) (–1,0,0,–1) (–1,–1,0,0)

## Arêtes

Les arêtes de l'icositétrachore sont ceux des trois tesseracts qu'on peut définir de la façon précédente. Dans l'exemple ci-dessus, ce sont aussi les segments joignant deux sommets distants de ${\sqrt {2}}$. Ils sont au nombre de 96. Chaque sommet appartient à huit arêtes.

## Faces

Les faces sont des triangles équilatéraux, dont les sommets sont distants de ${\sqrt {2}}$. Dans l'exemple ci-dessus, les sommets d'une face ont pour coordonnées $(a,b,0,0)$, $(a,0,c,0)$, $(a,0,0,d)$, ou bien $(b,c,0,0)$, $(b,0,d,0)$, $(0,c,d,0)$ (ainsi que ceux obtenus par une même permutation), avec $a=\pm 1$, $b=\pm 1$, $c=\pm 1$ et $d=\pm 1$. Ils sont au nombre de 96. Chaque face possède un et un seul sommet de chaque hexadécachore défini plus haut.

## Cellules

Les cellules sont des octaèdres réguliers. Dans l'exemple précédent, huit octaèdres sont contenus dans les hyperplans d'équation $x=\pm 1$, $y=\pm 1$, $z=\pm 1$, $t=\pm 1$, et seize autres sont contenus dans les hyperplans d'équation $\pm x\pm y\pm z\pm t=2$. Il y a 24 cellules en tout.

## Dual

Le polytope dual de l'icositétrachore précédent possède pour sommets les points de coordonnées $(\pm 1,0,0,0)$, ainsi que les points analogues obtenus par permutation des coordonnées, et les points de coordonnées $\left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}}\right)$. Il s'agit également d'un icositétrachore, de sorte que l'icositétrachore est autodual.

## Lien externe

Icositétrachore sur MathCurve.

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* le 24-cellules, sur Wikimedia Commons
