Homéomorphisme de graphes
# Homéomorphisme de graphes

En théorie des graphes, une branche des mathématiques, deux graphes $G$ et $G'$ sont homéomorphes si l'on peut obtenir un même graphe en subdivisant certaines de leurs arêtes.

Deux graphes sont homéomorphes si et seulement si leurs représentations graphiques usuelles (avec des segments de droites reliant les sommets entre eux) sont homéomorphes au sens que ce mot a en topologie.

## Définitions

### Subdivision

    La subdivision d'une arête $uv$ conduit à un graphe contenant un nouveau sommet $w$ et où l'on a remplacé l'arête $uv$ par deux nouvelles arêtes, $uw$ et $wv$.
* Avant subdivision
* Après subdivision

    Une subdivision d'un graphe $G$ (parfois appelée expansion de graphe) est le graphe résultant de la subdivision d'arêtes de $G$.

### Lissage

    L'opération inverse, le lissage (smoothing en anglais) d'un sommet $w$ par rapport aux arêtes $uw$ et $wv$ arrivant en $w$ consiste à supprimer $w$ et à remplacer $uw$ et $wv$ par $uv$.
* Avant lissage
* Après lissage

    Seuls les sommets de degré 2 peuvent être lissés.

### Subdivision barycentrique

    La subdivision barycentrique subdivise toutes les arêtes du graphe. Ce cas particulier de subdivision donne toujours un graphe biparti.

### Homéomorphisme

    Deux graphes $G$ et $H$ sont homéomorphes s'il existe un isomorphisme entre une certaine subdivision de $G$ et une certaine subdivision de $H$.
* Graphe G
* Graphe H
* G' et H', subdivisions de G et de H

    Déterminer si un sous-graphe d'un graphe $G$ donné est homéomorphe à un graphe $H$ donné est un problème NP-complet.

## Homéomorphisme et graphes planaires

Il est évident que la subdivision préserve le fait d'être planaire pour un graphe.

Le théorème de Kuratowski affirme :

Théorème — Un graphe fini est planaire si et seulement si il ne contient pas de sous-graphe homéomorphe au graphe complet à 5 sommets $K_{5}$ ni au graphe biparti complet à 6 sommets $K_{3,3}$.

De fait, un graphe homéomorphe à $K_{5}$ ou à $K_{3,3}$ est appelé un sous-graphe de Kuratowski.

Une généralisation qui découle du théorème de Robertson-Seymour affirme que pour tout nombre entier $g$, il y a un ensemble de graphes « interdits » $L(g)=\{G_{i}^{(g)}\}$ tels qu'un graphe $H$ peut être plongé dans une surface de genre $g$ si et seulement si $H$ ne contient pas de copie homéomorphe à l'un des graphes $G_{i}^{(g)}$. Par exemple, $L(0)=\{K_{5},K_{3,3}\}$ est formé des deux graphes interdits $K_{5}$ ou à $K_{3,3}$ pour les surfaces de genre $0$. $L(g)$ est appelé ensemble d'obstruction.

