Hiérarchie (mathématiques)
# Hiérarchie (mathématiques)

On considère un ensemble $\Omega =(x_{1},\dots ,x_{n})$ d'individus et un ensemble $H=\{H_{1},\dots ,H_{g}\}$ de parties de $\Omega$. H est une hiérarchie sur $\Omega$ si et seulement si :

* $\emptyset \in H$.
* quel que soit i, $\{x_{i}\}\in H$.
* $\Omega \in H$.
* quels que soient k et $\ell$, $H_{k}\cap H_{\ell }=\emptyset$ ou $H_{k}\subset H_{\ell }$ ou $H_{\ell }\subset H_{k}$.

Par exemple, pour un ensemble $\Omega =(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ l'ensemble

$H=\left\{\ \emptyset \ ,\{x_{1}\},\{x_{2}\},\{x_{3}\},\{x_{4}\},\{x_{1},x_{2}\},\{x_{3},x_{4}\},\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}\right\}$

est une hiérarchie.

## Indice sur une hiérarchie

On appelle indice sur un hiérarchie H de $\Omega$ une fonction i de $H\backslash \left\{\ \emptyset \ \right\}$ dans $\mathbb {R} ^{+}$ vérifiant les propriétés :

* si $H_{k}\subset H_{\ell }$ et $k\neq \ell$, alors, $i(H_{k})<i(H_{\ell })$.
* quel que soit $x_{i}$ de $\Omega$, $i(\{x_{i}\})=0$.

Le couple $(H,i)$ est alors appelé hiérarchie indexée.

Dans le cas de données continues, la fonction d'inertie définit un indice. En considérant l'exemple précédent et en considérant que les points $x_{i}$ sont des points de $\mathbb {R} ^{2}$ de coordonnées

* $x_{1}=(1,0)\,$
* $x_{2}=(1,0.5)\,$
* $x_{3}=(2,2)\,$
* $x_{4}=(2,2.2)\,$

La fonction d'inertie prend les valeurs suivantes :

* $i\left(\{x_{1}\}\right)=0\,$
* $i\left(\{x_{2}\}\right)=0\,$
* $i\left(\{x_{3}\}\right)=0\,$
* $i\left(\{x_{4}\}\right)=0\,$
* $i\left(\{x_{1},x_{2}\}\right)=1.125\,$
* $i\left(\{x_{3},x_{4}\}\right)=0.2\,$
* $i\left(\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}\right)=4.5674\,$

Une telle hiérarchie peut être représentée par le dendrogramme suivant :

