Flot géodésique
# Flot géodésique

En mathématiques, le flot géodésique, parfois également appelé coulée géodésique, permet de décrire la dynamique classique d'une particule massive se déplaçant librement sur une variété riemannienne V. Il est formalisé par un groupe continu à un paramètre qui opère sur le fibré tangent unitaire $T_1V$ de la variété V.

Lorsque la variété V est compacte à courbure négative constante, le flot géodésique fournit à la physique théorique le modèle le plus simple de système hamiltonien complètement chaotique.

## Description

Étant donné un point (x,v) du fibré tangent unitaire de V, soit $g:\mathbb {R} \rightarrow V$ l'unique géodésique de V telle que $g(0)=x$ et $g'(0)=v$ parcourue à vitesse constante égale à 1.

Le flot géodésique est alors défini par $\varphi (t,(x,v))=(g(t),g'(t))$

## Exemples

### Le flot géodésique des surfaces à courbure négative constante

Dès 1898, Hadamard reconnaissait que le flot géodésique sur une surface à courbure négative constante possédait une dynamique présentant la propriété de sensibilité aux conditions initiales, devenue depuis l'un des paradigmes de la théorie du chaos.

Ce flot est une parfaite illustration des propriétés de la hiérarchie ergodique ; il est en effet, par ordre d' « instabilité » croissante :

* ergodique (Hedlund et Hopf)
* mélangeant (Hedlund et Hopf)
* hyperbolique (Anosov). Il possède un exposant de Lyapounov strictement positif, qui s'identifie à son entropie de Kolmogorov-Sinaï.
* isomorphe à un système de Bernoulli (Ornstein et Weiss).
