Fonction quasi-convexe
# Fonction quasi-convexe

En mathématiques, une fonction quasi-convexe est une fonction à valeurs réelles, définie sur un ensemble convexe d'un espace vectoriel réel, telle que l'image réciproque de tout ensemble de la forme $\left]-\infty ,a\right]$ est convexe ou encore telle que, sur tout segment, la plus grande valeur de la fonction est atteinte à l'une des extrémités. L'opposée d'une fonction quasi-convexe est dite quasi-concave.

Toute fonction convexe est quasi-convexe mais la réciproque est fausse : par exemple, toute fonction monotone sur un intervalle réel est quasi-linéaire, c'est-à-dire à la fois quasi-convexe et quasi-concave.

## Définition

Une fonction $f:C\to \mathbb {R}$ définie sur une partie convexe C d'un espace vectoriel réel E est dite :

* quasi-convexe si pour tout réel $a$, l'ensemble de sous-niveau $\{x\in C\mid f(x)\leq a\}$ est convexe ou, ce qui est équivalent, si$\forall x,y\in C\quad \forall z\in \left[x,y\right]\quad f(z)\leq \max \left(f(x),f(y)\right)$ ;
* strictement quasi-convexe si l'on a même :$\forall x,y\in C\quad \forall z\in \left]x,y\right[\quad f(z)<\max \left(f(x),f(y)\right)$ ;
* quasi-concave si son opposée est quasi-convexe, c'est-à-dire si$\forall x,y\in C\quad \forall z\in \left[x,y\right]\quad f(z)\geq \min \left(f(x),f(y)\right)$ ;
* strictement quasi-concave si son opposée est strictement quasi-convexe, c'est-à-dire si$\forall x,y\in C\quad \forall z\in \left]x,y\right[\quad f(z)>\min \left(f(x),f(y)\right)$.
* $quasi-linéaire^,$ (ou quasi-monotone) si elle est à la fois quasi-convexe et quasi-concave.

## Propriétés

Toute forme linéaire est quasi-linéaire.

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I\subset \mathbb {R}$ est quasi-convexe si et seulement si elle est monotone ou « décroissante puis croissante », c'est-à-dire s'il existe dans $I$ deux intervalles complémentaires $I_{1}<I_{2}$ (l'un des deux pouvant être vide) tels que $f$ soit décroissante sur $I_{1}$ et croissante sur $I_{2}$. De même, $f$ est quasi-concave si et seulement si elle est monotone ou « croissante puis décroissante ». Elle est donc quasi-linéaire si et seulement si elle est monotone.

Si une fonction possédant un maximum global en un point m du convexe $C\subset E$ est quasi-concave alors elle est unimodale (en), c'est-à-dire croissante le long de tout segment orienté aboutissant en m. La réciproque est vraie si $E=\mathbb {R}$ (d'après la caractérisation précédente de la quasi-concavité dans ce cas), mais on construit facilement sur $\mathbb {R} ^{2}$ une fonction unimodale et non quasi-concave.

## Intérêt de la notion

En optimisation, les problèmes avec des fonctions objectif quasi-convexes peuvent se résoudre avec les mêmes méthodes que les fonctions objectif convexes. En particulier, dans le cas de problèmes non contraints ou avec un ensemble admissible convexe, tout minimum local est un minimum global, sauf si la fonction est constante au voisinage de ce point. Les algorithmes de descente peuvent être « piégés » par un tel « plateau horizontal ».

