Fonction de Thomae
# Fonction de Thomae

La fonction de Thomae (parfois appelée fonction pop-corn) constitue un exemple de fonction réelle à la fois continue en tout point d'une partie dense (l'ensemble des irrationnels) et discontinue sur une autre partie dense (l'ensemble des rationnels). La fonction de Thomae $T\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ est définie par

    $T(x)={\begin{cases}0&{\text{ si }}x\notin \mathbb {Q} ,\\1&{\text{ si }}x=0,\\1/q&{\text{ si }}x=p/q,\mathrm {~fraction~irr{\acute {e}}ductible~non~nulle} \end{cases}}$

(une fraction irréductible est un quotient p/q de deux entiers premiers entre eux, avec q > 0).

La fonction de Thomae est une variante de la fonction de Dirichlet. Elle est nommée en l'honneur du mathématicien Carl Johannes Thomae qui l'a définie pour la première fois en 1875.

## Propriétés

La fonction T de Thomae est limite uniforme d'une suite de fonctions $T_n$ dont chacune, sur tout segment [a, b], est nulle sauf en un nombre fini de points. Par conséquent :

* T a une limite (limite « épointée ») nulle en tout point, donc elle est semi-continue supérieurement (donc de classe de Baire 1), continue en tout point irrationnel, et sa restriction aux rationnels est discontinue partout ;
* d'après le critère de Lebesgue, T est donc Riemann-intégrable sur tout segment [a, b] (car continue presque partout) ;
* elle est même réglée (puisque les $T_n$ sont des fonctions en escalier) et son intégrale de Riemann sur [a, b] est nulle (comme celle des $T_n).$
* T n'est différentiable en aucun point.
* Approximation par les $T_n$ : Dans tout intervalle borné il n'y a, pour tout entier n > 0, qu'un nombre fini de rationnels dont l'image par T est supérieure à 1/n : ce sont les p/q tels que q < n . (On le voit d'ailleurs sur le graphe de T tel celui montré à la figure du haut de cet article ; et dans le verger d'Euclide, il n'y a qu'un nombre fini d'arbres dont la hauteur apparente est supérieure à une hauteur donnée.)
* Non-différentiabilité : La question de la différentiabilité ne se pose qu'en les points où T est continue, c'est-à-dire les irrationnels. Or si x est irrationnel, en considérant les accroissements ${\frac {T(h_{n})-T(x)}{h_{n}-x}}$ pour des suites $h_{n}\rightarrow x$ de nombres irrationnels on voit facilement que, si T est supposée différentiable en x alors nécessairement T'(x) = 0. Mais, pour tout entier n > 0, en notant $j_n$ un entier tel que $|j_n$ – nx| < 1, on a $|j_n/n$ – x| < 1/n ; alors, en considérant la suite des accroissements ${\frac {T(j_{n}/n)-T(x)}{j_{n}/n-x}}$ on aboutit à une contradiction car ces accroissements sont en valeur absolue toujours plus grands que 1, et ils ne peuvent donc tendre vers 0.
* T est un exemple de fonction continue sur $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ et discontinue sur $\mathbb {Q}$. À l'inverse, il n'existe aucune fonction discontinue sur $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ et continue sur $\mathbb {Q}$. En effet, $\mathbb {Q}$ n'est pas un $G_δ,$ alors que l'ensemble des points de continuité d'une fonction réelle en est un.

## Fonction de Thomae et verger d'Euclide

Cette fonction est utilisée pour mettre en évidence certains comportements curieux liés à la définition des notions de limite et de continuité en mathématiques. Bien que d'apparence étrange, elle peut s'introduire très naturellement, par l'exemple du « verger d'Euclide ».

Considérons le réseau formé par les segments de droites verticaux joignant (i, j, 0) à (i, j, 1) , où i et j décrivent l'ensemble des entiers strictement positifs. Ces segments, qui représentent des arbres plantés de façon régulière forment le « verger d'Euclide ».

Les arbres visibles depuis l'origine correspondent aux points du réseau (i, j, 0) où i et j sont premiers entre eux. Si le verger est projeté selon une perspective linéaire relativement à l'origine sur le plan x + y = 1 (c'est-à-dire s'il est vu en perspective depuis l'origine en regardant l'image formée sur un plan perpendiculaire à la première bissectrice), les sommets des arbres projetés forment le graphe de la fonction de Thomae.

## Généralisations

### Différentiabilité

La « fonction de Thomae modifiée » suivante est associée à n'importe quelle suite réelle décroissante a = $(a_q)_{q>0}$ convergeant vers 0 :

    $T_{a}(x)={\begin{cases}0&{\text{ si }}x\notin \mathbb {Q} ,\\1&{\text{ si }}x=0,\\a_{q}&{\text{ si }}x=p/q,\mathrm {~fraction~irr{\acute {e}}ductible~non~nulle.} \end{cases}}$

Elle a le même comportement que T du point de vue de la continuité et est encore non dérivable sur un ensemble non dénombrable dense d'irrationnels. Cependant, pour tout ensemble dénombrable E d'irrationnels, il existe une suite a telle qu'en tout point de E, $T_a$ soit dérivable (donc de dérivée nulle). De plus, le domaine de dérivabilité de $T_a,$ déterminé par la rapidité de la décroissance de la suite a, est souvent beaucoup plus gros. Par $exemple^,$ :

* pour $a_q$ = $1/q^k,$ $T_a$ n'est dérivable nulle part si k ≤ 2 mais si k > 2, elle est dérivable en tout irrationnel de mesure d'irrationalité strictement inférieure à k, donc presque partout (et sur une partie dense) ;
* pour $a_q$ = $1/e^q,$ $T_a$ est même dérivable en tout irrationnel qui n'est pas de Liouville.

### Bijectivité

Posons $H_{1}=\mathbb {Z}$, et pour q entier supérieur ou égal à 2, posons $H_{q}$ l'ensemble des fractions ${\frac {p}{q}}$ où p décrit l'ensemble des entiers relatifs non nuls tels que p soit premier avec q. La famille des $H_{q}$ forme une partition de $\mathbb {Q}$. Pour chaque q, $H_{q}$ est un ensemble discret pour lequel on peut dénombrer les éléments par ordre strictement croissant $\dots <a_{-2}(q)<a_{-1}(q)<a_{0}(q)<a_{1}(q)<a_{2}(q)<\dots$, $a_{0}(q)$ étant le plus petit élément positif ou nul de $H_{q}$. Posons alors :

    $f(x)={\begin{cases}x&{\text{ si }}x\notin \mathbb {Q} ,\\a_{n+1}(q)&{\text{ si }}x=a_{n}(q),n\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} ^{*}\end{cases}}$

On peut alors montrer que f est une fonction bijective de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$, continue en tout point irrationnel, discontinue en tout point rationnel.

