Fonction centrale
# Fonction centrale

En théorie des groupes, une fonction centrale est une application définie sur un groupe et constante le long de ses classes de conjugaison. Les fonctions centrales à valeurs complexes interviennent dans l'étude des représentations d'un groupe compact ; les fonctions centrales complexes de carré intégrable apparaissent comme les éléments du centre de son algèbre hilbertienne (en), d'où leur nom.

## Définition

Une application $f$ définie sur un groupe G est dite centrale si pour tous s et t dans G, on a :

$f(sts^{-1})=f(t)~$

ou encore (via la bijection (s,t)↦(u=st,v=s $^{−1}))$

$\forall u,v\in G\quad f(uv)=f(vu)$

## Propriétés

Pour tout corps K, le groupe G agit naturellement à droite sur l'espace vectoriel $K^G$ des applications de G dans K par : s.f : $t↦f(sts^{−1}).$ Les fonctions centrales sur G à valeurs dans K sont donc les points fixes de cette représentation, et forment de ce fait un sous-espace vectoriel de $K^G.$

Cet espace vectoriel des fonctions centrales sur G à valeurs dans K est par ailleurs naturellement isomorphe à l'espace $K^C,$ où C désigne l'ensemble des classes de conjugaison de G.

## Exemples

* Sur un groupe abélien, toute fonction est centrale. En effet, les classes de conjugaison sont alors les singletons.
* Un exemple un tout petit peu moins trivial de fonctions centrales est celui des morphismes de groupes à valeurs dans un groupe abélien.
* Un autre est celui de l'application, d'un groupe de torsion G dans l'ensemble ℕ*, qui à chaque élément de G associe son ordre.
* Si G est un groupe topologique, on se restreint en général aux fonctions centrales mesurables, voire continues.

## Algèbre hilbertienne d'un groupe compact

Si G est un groupe compact, on note λ sa mesure de Haar définie comme l'unique mesure de probabilité invariante par translation à gauche, et $L^2(G)$ l'espace de Hilbert des fonctions complexes mesurables sur G et de carré λ-intégrable. Cet espace peut être muni :

* d'un produit associatif et distributif d'élément neutre la fonction constante égale à 1, le produit de convolution, défini par :

$\forall f,g\in L^{2}(G),\,f*g(s)=\int _{G}f(t)g(st^{-1})d\lambda (t);$

* d'une involution définie par :

$\forall f\in L^{2}(G),\,f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}.$

Muni de ces lois, $L^2(G)$ est une algèbre de Banach involutive, et même une algèbre hilbertienne (en). L'étude de cette algèbre est liée à l'étude des représentations continues de G (lire Théorème de Peter-Weyl).

Cette relation transparait dans l'étude du centre de $L^2(G).$ En effet, un calcul direct donne pour toutes fonctions mesurables f et g de carré intégrable :

$f*g(s)-g*f(s)=\int _{G}g(t^{-1}).\left[f(st)-f(ts)\right]~\mathrm {d} \lambda (t).$

Une fonction f appartient au centre de $L^2(G)$ si et seulement si pour toute fonction $g∊L^2(G),$ les convoluées f∗g et g∗f sont égales presque partout, donc partout car elles sont continues. De fait, cela équivaut à ce que pour presque tous u et v dans G, on a : f(uv)=f(vu).

Le centre de $L^2(G)$ est donc le sous-espace vectoriel fermé des (classes de) fonctions centrales mesurables sur G et de carré intégrable.

### Caractère d'un groupe compact

Une représentation continue de dimension finie du groupe compact G est une application continue ρ : G→GL(V) où V est un espace vectoriel complexe de dimension finie.

Le caractère associé est la fonction centrale définie par :

$\chi _{\rho }(s)=Tr\left[\rho (s)\right]$

Deux représentations équivalentes ont même caractère.

On appelle caractère irréductible un caractère associé à une représentation continue irréductible. Les caractères irréductibles appartiennent à $L^2(G),$ les caractères associés à deux représentations irréductibles non équivalentes sont orthogonaux, et l'ensemble des caractères irréductibles forme une base hilbertienne de $L^2(G).$

Pour un groupe fini G, le nombre de représentations irréductibles est le nombre des classes de conjugaison de G.

