Fonction carré
# Fonction carré

En analyse réelle, la fonction carré est la fonction qui associe à chaque nombre réel son carré, c’est-à-dire le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même.

Cette fonction puissance, qui peut s’exprimer sous la forme x ↦ $x^2$ = x × x est une fonction paire, positive et dont la courbe est une parabole d’axe vertical, de sommet à l’origine et orientée dans le sens des ordonnées positives. Comme fonction continue et strictement croissante sur l’intervalle [0, +∞[, elle induit une bijection de cet intervalle dans lui-même, admettant pour réciproque la fonction racine carrée.

La fonction carré est aussi le premier exemple de fonction du second degré, et se généralise à plusieurs variables avec la notion de forme quadratique. Elle s’étend également au plan complexe comme une fonction entière avec une racine double en 0.

## Propriétés

### Signe

La première propriété est la positivité (au sens large) de la fonction carré. En effet pour tout réel x, le réel x × x est le produit de deux nombres réels de même signe ; par la règle des signes il est donc positif.

### Parité

La fonction est paire : f(x) = f(–x) pour tout réel x. En effet, (–x) × (–x) = x × x.

### Convexité

La fonction carré est strictement convexe sur $\mathbb {R}$. En effet, sa dérivée seconde est strictement positive : f '' = 2 > 0.

## Résolution d'équation de type $x^2$ = a

Calculer les antécédents d'un réel a par la fonction carré équivaut à résoudre l'équation $x^2$ = a. Il y a trois cas possibles :

* a < 0 : aucune solution dans l'ensemble des réels ;
* a = 0 : une solution, x = 0 ;
* a > 0 : deux solutions, √a et –√a.

Par exemple, les solutions de $x^2$ = 9 sont 3 et –3.

On peut également déterminer les antécédents graphiquement : les antécédents de a sont les abscisses des points d'intersection de la droite d'équation y = a et du graphe de la fonction carré.

## Dérivée

La dérivée de la fonction carré est $x\mapsto 2x$ (c'est une fonction linéaire donc impaire). Elle est donc (strictement) négative sur $\mathbb {R} _{-}^{*}$ et positive sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$, si bien que la fonction carré est (strictement) décroissante sur ]–∞ , 0] et croissante sur [0, +∞[. Elle s'annule en 0, son minimum global. Le sens de variation de la fonction carré est à prendre en compte lors de la résolution d'inéquations (inversion des inégalités si les valeurs sont négatives).

## Intégrale

Comme la fonction carré est un polynôme quadratique, la méthode de Simpson est exacte lorsqu'on calcule son intégrale. Pour tout polynôme quadratique P et a et b réels, on a :

    $\int _{a}^{b}P(x)\,\mathrm {d} x={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]$

donc pour la fonction carré définie par $f(x)=x^{2}$, on a :

    $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x={\frac {b-a}{3}}(a^{2}+ab+b^{2}).$

## Primitive

La fonction carré possède comme primitives toutes les fonctions $g_C$ définies par, pour C une constante réelle arbitraire :

    $g_{C}(x)={\frac {x^{3}}{3}}+C$.

## Représentation graphique

Dans un repère orthonormal, la fonction est représentée par une parabole dont le sommet est le point (0, 0). L'intégralité de la parabole se situe au-dessus de l'axe des abscisses — ce qui traduit la positivité de la fonction — et la parité est décelable grâce à l'axe de symétrie qu'est l'axe des ordonnées.

La limite de la fonction carré, en plus l'infini et en moins l'infini, est égale à plus l'infini.

## Extension au domaine complexe

On peut étendre la définition de la fonction carré au domaine complexe en définissant $f:z\rightarrow z^{2}$. Par exemple, si $z=2+\mathrm {i}$, $f(z)=3+4\mathrm {i}$. $f$ peut être aussi considérée comme une fonction de $\mathbb {R} ^{2}$ dans $\mathbb {R} ^{2}$, la fonction qui au couple $(x,y)$ associe le couple $(x^{2}-y^{2},2xy)$ puisque, en écrivant $z=x+\mathrm {i} y$, on a $z^{2}=x^{2}-y^{2}+2\mathrm {i} xy$.

La fonction carré peut servir à illustrer des propriétés de différentiabilité, d'holomorphie, sert souvent d'exemple pour illustrer les conditions de $Cauchy-Riemann^,.$

La fonction carré sert également à démontrer une propriété géométrique des triplets pythagoriciens.

La fonction carré sert également à illustrer le théorème de l'application conforme.

