Fonction multiplicative
# Fonction multiplicative

En arithmétique, une fonction multiplicative est une fonction arithmétique f : ℕ* → ℂ vérifiant les deux conditions suivantes :

* f(1) = 1 ;
* pour tous entiers a et b > 0 premiers entre eux, on a : f (ab) = f(a)f(b).

Une fonction complètement multiplicative est une fonction arithmétique g vérifiant :

* g(1) = 1 ;
* pour tous entiers a et b > 0, on a : g(ab) = g(a)g(b).

Ces dénominations peuvent varier d'un ouvrage à un autre : fonction faiblement multiplicative pour fonction multiplicative, fonction multiplicative ou totalement multiplicative pour fonction complètement multiplicative.

Les fonctions multiplicatives interviennent notamment en théorie analytique des nombres, dans les séries de Dirichlet.

## Détermination et exemples

Une fonction multiplicative ƒ est entièrement déterminée par ses valeurs en les puissances non nulles des entiers premiers. En effet, d'après le théorème fondamental de l'arithmétique, tout entier n > 0 admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l'ordre près des facteurs :

$n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}$

où les $p_i$ sont des nombres premiers et les $k_i$ des entiers naturels, avec (pour assurer l'unicité) : la suite finie des $p_i$ est strictement croissante et chaque $k_i$ (appelé la valuation $p_i-adique$ de n) est non nul.

En appliquant ƒ, il vient :

$f(n)=\prod _{i=1}^{r}f(p_{i}^{k_{i}}).$

Il n'existe aucune contrainte supplémentaire : toute suite de nombres complexes indexée par les puissances non nulles des entiers premiers donne, via la formule ci-dessus, une unique fonction multiplicative.

Pour des raisons analogues, une fonction complètement multiplicative g est entièrement déterminée par ses valeurs en les nombres premiers. En reprenant les notations ci-dessus :

$g(n)=\prod _{i=1}^{r}g(p_{i})^{k_{i}}.$

Ces considérations prouvent qu'il existe une infinité de fonctions complètement multiplicatives.

### Exemples

La liste suivante fournit des fonctions dont l'intérêt est historique et/ou théorique :

**Exemples de fonctions complètement multiplicatives**


   * la fonction puissance $Id_k$ : $Id_k(n)$ = $n^k,$ où k est un entier naturel (ou éventuellement un nombre complexe), en particulier

   ** la fonction constante 1 = $Id_0$ : 1(n) = 1 et

   ** l'application identité Id = $Id_1$ : Id(n) = n ;

   * la fonction indicatrice du singleton {1}, χ$_{{1}}$ = $δ_1$ : $δ_1(1)$ = 1 et pour tout entier n > 1, $δ_1(n)$ = 0 (c'est l'élément neutre pour la convolution de Dirichlet) ;

   * la fonction λ de Liouville : λ(n) = $(–1)^{Ω(n)},$ où la fonction complètement additive Ω associe à tout n le nombre de ses facteurs premiers (comptés avec leurs multiplicités) ;

   * tous les caractères de Dirichlet, comme

   ** l'application $n\mapsto \left({\frac {n}{p}}\right),$ qui associe à tout n le symbole de Legendre de n et p, où p est un nombre premier fixé.

**Exemples de fonctions seulement multiplicatives**


   * la fonction totient de Jordan $J_k,$ qui associe à tout n le nombre de k-uplets d'entiers compris entre 1 et n qui, joints à n, forment un k + 1-uplet de nombres premiers entre eux, en particulier

   ** l'indicatrice d'Euler φ = $J_1$

   * la fonction μ de Möbius : si n est sans carré, produit de k nombres premiers distincts, alors μ(n) = $(–1)^k$ et sinon, μ(n) = 0,

   * la fonction radical d'un entier : le produit de ses diviseurs premiers,

   * l'application n ↦ pgcd(n, m), l'entier m étant fixé,

   * la fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs $σ_k$ qui associe à tout n la somme des puissances k-ièmes de ses diviseurs positifs (où k peut être un nombre complexe quelconque), en particulier :

   ** la fonction nombre de diviseurs d = $σ_0$ (aussi notée τ) et

   ** la fonction somme des diviseurs σ = $σ_1$ ;

   * l'analogue suivant de la fonction λ de Liouville : n ↦ $(–1)^{ω(n)},$ où la fonction additive ω associe à tout n le nombre de ses diviseurs premiers distincts ;

   * la fonction a qui à tout n associe le nombre de groupes abéliens d'ordre n (à isomorphisme près) ;

   * la fonction $r_2/4,$ où $r_2(n)$ est le nombre de décompositions de n en somme de deux carrés d'entiers relatifs, en tenant compte de l'ordre dans les écritures (ce nombre est toujours un multiple de 4 ; par exemple 1 = $1^2$ + $0^2$ = $(–1)^2$ + $0^2$ = $0^2$ + $1^2$ = $0^2$ + $(–1)^2$ et donc $r_2(1)$ = 4) et sa généralisation pour les sommes de k carrés, la fonction $r_k/(2k),$ si (et seulement si) k = 1, 2, 4 ou 8,

   * les fonctions indicatrices de certains ensembles, comme celui des puissances k-ièmes d'entiers (pour k > 1 fixé) ou celui des nombres non divisibles par une puissance k-ième autre que 1.

## Propriétés élémentaires

La multiplicativité et la complète multiplicativité sont préservées par produit, module et conjugaison.

Dans leur définition, la première condition (l'image de 1 est égale à 1) peut être remplacée par : la fonction est non nulle.

Si ƒ est multiplicative alors

    $\forall a,b\in \mathbb {N} ^{*},\quad f(a)~f(b)=f({\rm {pgcd}}(a,b))~f({\rm {ppcm}}(a,b))$

où pgcd est le plus grand commun diviseur et ppcm est le plus petit commun multiple des entiers.

## Convolution de Dirichlet

La convolution de Dirichlet de deux fonctions arithmétiques ƒ et g est la fonction ƒ ✻ g définie par :

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad (f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d)$

où « d|n » signifie que la somme porte sur tous les entiers positifs d diviseurs de n.

On démontre alors que si ƒ et g sont multiplicatives, ƒ ✻ g l'est aussi, et que l'ensemble des fonctions multiplicatives, muni de cette loi interne, est un groupe abélien, d'élément neutre $δ_1.$

Les relations les plus importantes vérifiées par les fonctions multiplicatives listées ci-dessus sont :

* μ ✻ 1 = $δ_1,$
* $J_k$ ✻ 1 = $Id_k$ et (par inversion de Möbius) $J_k$ = μ ✻ $Id_k,$ en particulier
   * φ ✻ 1 = Id et φ = μ ✻ Id,
* $σ_k$ = $Id_k$ ✻ 1 et (par inversion de Möbius) $Id_k$ = $σ_k$ ✻ μ, en particulier
   * d = 1 ✻ 1 et 1 = d ✻ μ,
   * σ = Id ✻ 1 et Id = σ ✻ μ,
* $σ_k$ = $J_k$ ✻ d (via $Id_k$ ✻ 1 = $J_k$ ✻ 1 ✻ 1), en particulier
   * σ = φ ✻ d.

## Produit eulérien

Formellement, à une fonction arithmétique f est associée une série de Dirichlet :

    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$.

Le produit formel des séries associées à f et g est, par définition, la série associée à f ✻ g. On définit de façon analogue le produit formel d'une suite infinie de fonctions arithmétiques $f_i,$ sous réserve que $f_i(1)$ = 1 et que la série qui définit chaque coefficient du produit soit absolument convergente :

    $\prod _{i}\sum _{n_{i}=1}^{\infty }{\frac {f_{i}(n_{i})}{n_{i}^{s}}}:=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{\prod n_{i}=n}\prod _{i}f_{i}(n_{i})}{n^{s}}}$.

Le cas le plus important est celui d'un produit eulérien — c'est-à-dire où les indices i sont les nombres premiers, notés alors plutôt p — dans lequel les fonctions arithmétiques $f_p$ sont définies à partir d'une fonction multiplicative f par : $f_p$ coïncide avec f sur les puissances de p et est nulle ailleurs. Ce produit (des séries associées aux $f_p)$ est alors égal à la série associée à f. Si cette dernière est absolument convergente, cette égalité formelle est vraie aussi au sens de l'analyse. Voir la section d'exemples de l'article sur les séries de Dirichlet.

