Fonction maximale de Hardy-Littlewood
# Fonction maximale de Hardy-Littlewood

En mathématiques et plus particulièrement en analyse, la fonction maximale de Hardy-Littlewood est un opérateur qui associe à toute fonction localement intégrable f en tout point x sur $ℝ^n$ comme étant la borne supérieure des valeurs moyennes de |f| sur les boules centrées en x. La notion de fonction maximale est intervenue pour la première fois dans un article publié en 1930 par Godfrey Harold Hardy et John Edensor Littlewood.

## Formulation

À toute fonction localement intégrable $f\in \mathrm {L} _{\text{loc}}^{1}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ on peut associer la fonction maximale de Hardy-Littlewood $Mf:\mathbb {R} ^{n}\to [0,+\infty ]$ définie par

    $Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{\lambda _{n}\left(B(x,r)\right)}}\int _{B(x,r)}|f(t)|\,\mathrm {d} \lambda _{n}(t)$

où B(x, r) désigne la boule de $ℝ^n$ centrée en x et de rayon r > 0 et $λ_n$ désigne la mesure de Lebesgue sur $ℝ^n.$

## Propriétés

* La fonction maximale de Hardy-Littlewood associée à toute fonction localement intégrable est semi-continue inférieurement.

Il suffit de montrer que chacune des fonctions

    $x\mapsto {\frac {1}{\lambda _{n}\left(B(x,r)\right)}}\int _{B(x,r)}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)$

(pour r > 0 fixé) est semi-continue inférieurement, autrement dit, que

    $x\mapsto \int _{B(x,r)}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)=\int 1_{B(x,r)}(t)|f(t)|\,\mathrm {d} \lambda _{n}(t)$

l'est.

Or cette application est même continue, par convergence dominée.

* Cette fonction Mf n'est jamais intégrable, sauf si f = 0. Il existe même f intégrable telle que Mf ne soit pas localement intégrable.

## Inégalité maximale de Hardy-Littlewood

* Pour toute application intégrable f sur $ℝ^n$ et tout réel c > 0, on a$\lambda _{n}\left([Mf\geq c]\right)\leq 3^{n}{\frac {\|f\|_{1}}{c}}$(donc Mf est finie presque partout).
* Pour toute fonction réelle croissante F sur un intervalle réel [a , b] on a, de façon analogue$\lambda _{1}\left([G\geq c]\right)\leq 2{\frac {F(b)-F(a)}{c}},{\text{ pour }}G(x)=\sup _{h\neq 0 \atop x+h\in [a,b]}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}.$
* Pour toute fonction réelle croissante continue F sur [a , b],$\lambda _{1}\left([G\geq c]\right)\leq {\frac {F(b)-F(a)}{c}},$ pour G étant l'une des quatre dérivées de Dini de F.
* Première inégalité. Quitte à passer ensuite à la limite quand d → $c^–,$ il suffit de montrer que$\forall d>0,\lambda _{n}\left([Mf>d]\right)\leq 3^{n}\|f\|_{1}/d$et pour cela, par régularité intérieure, de montrer que pour tout compact K inclus dans [Mf > d],$\lambda _{n}(K)\leq 3^{n}\|f\|_{1}/d.$Pour tout point x de K, il existe un rayon $r_x$ > 0 tel que${\frac {1}{\lambda _{n}\left(B(x,r_{x})\right)}}\int _{B(x,r_{x})}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)>d.$Par compacité, K est recouvert par un nombre fini de telles boules et l'on peut, d'après le lemme de recouvrement de Vitali dans le cas fini, choisir parmi elles des boules $\left(B(x,r_{x})\right)_{x\in X}$ disjointes telles que$K\subset \bigcup _{x\in X}B(x,3r_{x}).$On a alors :$\lambda _{n}\left(K\right)\leq \lambda _{n}\left(\bigcup _{x\in X}B(x,3r_{x})\right)\leq \sum _{x\in X}\lambda _{n}\left(B(x,3r_{x})\right)=3^{n}\sum _{x\in X}\lambda _{n}\left(B(x,r_{x})\right)\leq {\frac {3^{n}}{d}}\sum _{x\in X}\int _{B(x,r_{x})}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{1}}{d}}$car les boules sont disjointes.
* Deuxième inégalité. En procédant comme pour la première, il suffit de montrer que pour tout d > 0 et tout compact K inclus dans [ G > d ],$\lambda (K)\leq 2(F(b)-F(a))/d.$Pour tout point x de K, il existe un réel $h_x$ non nul tel que${\frac {F(x+h_{x})-F(x)}{h_{x}}}>d.$Notons alors, pour ε > 0 fixé, $J_x$ l'intervalle fermé d'extrémités x + $h_x$ et x – $εh_x$ (choisi ainsi pour qu'il contienne x + $h_x$ et soit un voisinage de x). Par compacité, K est recouvert par une famille finie $(J_{x})_{x\in X}$ et l'on peut même, en enlevant des $J_x$ superflus, supposer qu'un point n'appartient jamais à plus de deux d'entre eux (car si trois intervalles ont un point commun, l'un des trois est inclus dans la réunion des deux autres). On a alors :$\lambda (K)\leq \sum _{x\in X}\lambda (J_{x})=(1+\varepsilon )\sum _{x\in X}|h_{x}|\leq {\frac {1+\varepsilon }{d}}\sum _{x\in X}|F(x+h_{x})-F(x)|\leq {\frac {1+\varepsilon }{d}}2(F(b)-F(a)),$la dernière inégalité étant due à la croissance de F et au fait que les $J_x$ se chevauchent au plus par deux. Ainsi,$\forall \varepsilon >0,\lambda (K)\leq 2(1+\varepsilon )(F(b)-F(a))/d\quad {\text{donc}}\quad \lambda (K)\leq 2(F(b)-F(a))/d.$
* La troisième inégalité peut se démontrer à l'aide du lemme du soleil levant et se généraliser en utilisant le théorème de recouvrement de Vitali.

## Applications

* Théorème de différentiation de Lebesgue
* Théorème de Rademacher

## Généralisation au cas des mesures de Borel

En gardant les notations précédentes, on peut associer à toute mesure de Borel μ sur $ℝ^n$ la fonction maximale Mμ définie par :

    $M\mu (x)=\sup _{r>0}{\frac {\mu \left(B(x,r)\right)}{\lambda _{n}\left(B(x,r)\right)}}.$

La propriété de semi-continuité inférieure et, si μ est finie, l'inégalité maximale, sont alors encore vraies et se démontrent de la même manière.

