Fonction partielle
# Fonction partielle

En mathématiques, une fonction partielle (quelquefois appelée simplement fonction) sur un ensemble donné E est une application définie sur une partie de celui-ci, appelé ensemble de définition (ou domaine de définition) de la fonction partielle.

Cette notion apparaît en particulier en théorie de la calculabilité, qui s'intéresse aux fonctions partielles récursives : celles-ci sont définies sur une partie de N, l'ensemble des entiers naturels, ou plus généralement de $N^p,$ et l'ensemble de définition d'une fonction partielle récursive ne peut éventuellement pas se définir a priori, c'est-à-dire autrement qu'en indiquant que ce sont les entiers (ou tuples d'entiers) pour lesquels le calcul qui permet de définir la fonction aboutit.

## Définitions

Une fonction partielle d'un ensemble E dans un ensemble F est un couple $(D_f,$ f) constitué d'un sous-ensemble $D_f$ de E et d'une application de $D_f$ dans F. On dit que f est définie en x ∈ E quand x ∈ $D_f,$ et $D_f$ est appelé ensemble de définition de f.

Un exemple de fonction partielle est la fonction nulle part définie, celle dont le domaine de définition est vide.

Une fonction f de E dans F est dite totale quand f est partout définie sur E, c'est-à-dire que E = $D_f.$

