Flux (mathématiques)
# Flux (mathématiques)

En analyse vectorielle, on appelle flux d'un champ vectoriel deux quantités scalaires analogues, selon qu'on le calcule à travers une surface ou une courbe.

## Flux à travers une surface

On appelle flux (ou intégrale de surface) du champ vectoriel $\mathbf {F}$ de $\mathbb {R} ^{3}$ à travers la surface orientée $\Sigma$ la quantité scalaire

$\Phi \equiv \int _{\Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

où $\mathrm {d} \mathbf {S}$ représente un vecteur normal élémentaire et $\cdot$ le produit scalaire. Si la surface est donnée par le paramétrage $\sigma (u,v)$ (où $u$ et $v$ varient dans un ouvert $\Omega$), ce vecteur est fourni par

$\mathrm {d} \mathbf {S} =\left[{\frac {\partial \sigma }{\partial u}}\times {\frac {\partial \sigma }{\partial v}}\right]\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$

et le flux est alors

$\Phi =\iint _{\Omega }\mathbf {F} {\bigl\sigma (u,v){\bigr )}\cdot \left[{\frac {\partial \sigma }{\partial u}}\times {\frac {\partial \sigma }{\partial v}}\right]\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v=\iint _{\Omega }\det \left(\mathbf {F} ,{\tfrac {\partial \sigma }{\partial u}},{\tfrac {\partial \sigma }{\partial v}}\right)\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$

Si $\Sigma$ est une surface fermée (on dit aussi sans bord) entourant un volume $V$ alors le flux peut être déterminé d'une autre manière, en invoquant le théorème de flux-divergence :

$\Phi =\oint _{\Sigma }\mathbf {F} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =\iiint _{\mathcal {V}}\operatorname {div} \,\mathbf {F} \;{\rm {d}}^{3}V$

## Flux à travers une courbe

De la même manière, on définit le flux du champ $\mathbf {F} =(P,Q)$ de $\mathbb {R} ^{2}$ à travers la courbe $\Gamma$ la quantité

$\Psi =\int _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {n} =\iint _{\Gamma }(P\,\mathrm {d} y-Q\,\mathrm {d} x)$

où $\mathrm {d} \mathbf {n} =(\mathrm {d} y,-\mathrm {d} x)$ représente un vecteur normal élémentaire. Cela revient à définir le flux de $\mathbf {F}$ comme la circulation (ou intégrale curviligne) du champ orthogonal $\mathbf {G} =(-Q,P)$ :

$\Psi =\int _{\Gamma }\mathbf {G} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$

avec $\mathrm {d} \mathbf {r} =(\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)$. Le flux d'un champ à travers une courbe, à l'inverse de sa circulation, ne dépend que de sa composante normale à la courbe.

