Fonction bêta de Dirichlet
# Fonction bêta de Dirichlet

En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C'est la fonction L de Dirichlet associée au caractère de Dirichlet alterné de période 4.

Elle est définie, pour tout complexe s de partie réelle strictement positive, par la série :

       $\beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}$,

ou par l'intégrale

    $\beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}\mathrm {e} ^{x}}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}\,dx$.

Autrement, on peut définir la fonction bêta de Dirichlet par la fonction zêta de Hurwitz, qui est valable pour tous nombres complexes :

    $\beta (s)=4^{-s}\left(\zeta (s,1/4)-\zeta (s,3/4)\right)$.

Ou par une autre définition équivalente, du point de vue de la fonction transcendante de Lerch :

    $\beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{\frac {1}{2}}\right)$,

qui est aussi valable pour tous nombres complexes.

Cette fonction se prolonge en une fonction méromorphe sur le plan complexe.

## Équation fonctionnelle

L'équation fonctionnelle suivante permet d'étendre la fonction β à la partie gauche du plan complexe Re(s) < 1.

    $\beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\beta (1-s)$

où Γ est la fonction gamma d'Euler.

## Valeurs spéciales

On peut noter les valeurs particulières suivantes :

* $\beta (0)={\frac {1}{2}}$,
* $\beta (1)={\frac {\pi }{4}}$,
* $\beta (2)=$ la constante de Catalan,
* $\beta (3)={\frac {\pi ^{3}}{32}}$,
* $\beta (4)={\frac {\psi _{3}\left(1/4\right)-8\pi ^{4}}{768}}$, où $\psi _{3}$ est la fonction polygamma d'indice 3,
* $\beta (5)={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}$,
* $\beta (7)={\frac {61\pi ^{7}}{184320}}$.

Plus généralement, les valeurs prises par la fonction β aux entiers positifs impairs sont des multiples rationnels de puissances de π.

* $\beta (2k+1)={\frac {E_{2k}}{2(2k)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2k+1}$,

    où les $E_{2k}$ sont des nombres d'Euler. Et les valeurs de β aux entiers négatifs pairs sont données aussi par les nombres d'Euler avec :
* $\beta (-k)={{E_{k}} \over 2}$.

Par contre, on ne connaît pas grand chose sur les valeurs aux entiers positifs pairs.

