Fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2
# Fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2

En géostatistique, une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2 (abrégée en FASt-2) est une fonction aléatoire Z sur un espace S telle que :

   * sa moyenne est constante : $E_x[Z(x)]$ = m

   * sa covariance est invariante par translation, fonction du seul vecteur distance h entre les deux points : Cov[Z(x),Z(x+h)]=C(h)

   Le processus est dit centré si sa moyenne est nulle en tout point

Les espérance et variance d'une combinaison linéaire s'expriment simplement : $\mathrm {E} \left[\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}\right]=\mathrm {E} \left[Z\right]\sum _{i}\lambda _{i}$ $\mathrm {Var} \left[\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}\right]=\sum _{i}\sum _{j}\lambda _{i}\lambda _{j}\mathrm {Cov} \left[Z_{i},Z_{j}\right]$

## Propriétés

* La covariance de covariance stationnaire C doit être semi-définie positive :

$\forall m,a\in \mathbb {R} ^{m},z_{1}\cdots z_{m},\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}a_{i}a_{j}C\left(z_{i}-z_{j}\right)\geq 0$

* Usuellement, la covariance tend vers 0 à l'infini.
* En corollaire, la variance de Z est constante : Var[Z(x)] = C(0).
* On définit le corrélogramme ρ(h) = $^{C(h)}⁄_{C(0)},$ coefficient de corrélation entre Z(x) et Z(x+h).
* Une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2 est également intrinsèque.
* ∀ h, C(h)≤C(0)
* La propriété est conservée par linéarité : soit A: $ℝ^d→ℝ^d$ linéaire, le champ image $Z^A=(Z_{Ai,i∈S}$ est stationnaire de covariance $C_A(x_i)=C(A$ $x_i),$ et $C_A$ est définie positive si C l'est et si A est de rang plein.
* Si C est continue à l'origine, elle est uniformément continue partout.
* Si $C_i$ sont des covariances stationnaires, $a_i$ ≥ 0, alors :
   * La somme finie $∑_iC_i$ (i ∈ ⟦1;n⟧) est une covariance stationnaire
   * Le produit fini $∏_iC_i$ (i ∈ ⟦1;n⟧) est une covariance stationnaire
   * La limite $lim_{i→∞}C_i(h)$ est une covariance stationnaire si la limite existe pour tout h
* Si $C_u,$ $u∈U⊆ℝ^k$ sont des covariances stationnaires, μ une mesure positive sur $ℝ^k$ telle que $C_μ(h)=∫_U$ $C_u(h)$ μ(du) existe pour tout h, alors $C_μ$ est une covariance stationnaire.

## Champ stationnaire au second ordre sur $ℤ^d$

Soit X un champ réel sur $ℝ^d,$ centré et stationnaire au second ordre. On le suppose connu sur $D_n$ = ⟦1 ; $n⟧^d.$ Prenons la covariance empirique à une distance k ∈ $ℤ^d$ : ${\hat {C}}_{n}\left(k\right)={\frac {1}{n^{d}}}\sum _{i,i+k\in D_{n}}X_{i}X_{i+k}$ Les effets de bords augmentent avec d : la proportion de points au bord de $D_n$ est en $^d⁄_n.$ L'effet de bord est sans conséquence sur le biais asymptotique sur ℤ, il est significatif sur $ℤ^2$ et dominant sur $ℤ^d,$ d ≥ 3. Pour éliminer ce biais et conserver une covariance empirique semi-définie positive, on procède au rabotage de données, par un rabot w : [0 ; 1]→[0 ; 1], $C^2,$ croissant, w(0) = 0, w(1) = 1.

