Capacité symplectique
# Capacité symplectique

En géométrie symplectique, les capacités symplectiques sont des classes d'invariants vérifiant des propriétés de monotonicité et de conformité, formalisées à la suite des travaux de Ivar Ekeland, Helmut Hofer et Eduard Zehnder.

## Définition

Une capacité symplectique est la donnée pour toute variété symplectique (M,$\omega$) d'un nombre réel positif ou l'infini, noté C(M,$\omega$), vérifiant des conditions de croissance, d'homogénéité, et de non-trivialité :

* Croissance : S'il existe un plongement symplectique de (M,$\omega$) dans (N,$\omega '$), alors :

    $C(M,\omega )\leq C(N,\omega ')$.
* Homogénéité : Pour tout réel r non nul, on a :

    $C(M,r.\omega )\leq |r|.C(M,\omega )$.
* Non-trivialité : la capacité symplectique des deux ouverts suivants de $R^{2n}$ est finie et non nulle :

    $B=\{x\in \mathbf {R} ^{2n},|x|<1\}$
    $Z=B^{2}\times \mathbf {R} ^{2n-2}$.

Il n'y a pas unicité des capacités symplectiques. Il existe différentes approches pour en définir explicitement.

## Application

En 1981, Yakov Eliashberg démontre que le groupe des symplectomorphismes d'une variété symplectique compacte est fermé pour la topologie $C^0.$ En 1990, Ekeland et Hofer fournissent une démonstration faisant appel à l'utilisation des capacités symplectiques. Le schéma de la démonstration est le suivant. Une capacité symplectique induit une application réelle sur l'ensemble des parties ouvertes d'une variété symplectique compacte (M,$\omega$), continue pour la distance de Hausdorff. Un homéomorphisme de M préserve cette application ssi il est un difféomorphisme symplectique ou antisymplectique. La continuité implique que le groupe Symp(M,$\omega$) soit fermé pour la topologie de la convergence uniforme. L'équivalence est le cœur de la démonstration.

