Conjectures de Hardy-Littlewood sur la fonction zêta
# Conjectures de Hardy-Littlewood sur la fonction zêta

En mathématiques, les conjectures de Hardy-Littlewood sur la fonction zêta, d'après Godfrey Harold Hardy et John Edensor Littlewood, sont deux conjectures concernant la répartition et la densité des zéros de la fonction zêta de Riemann.

## Conjectures

En 1914, Godfrey Harold Hardy a prouvé que la fonction zêta de Riemann $\zeta {\bigl{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ a une infinité de zéros réels.

Soit $N(T)$ le nombre de zéros réels inférieurs, $N_{0}(T)$ le nombre de zéros d'ordre impair de la fonction $\zeta {\bigl{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$, situés sur l'intervalle $]0,T]$ .

Hardy et Littlewood ont avancé deux conjectures.

* Pour tout $\varepsilon >0$, il existe $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ tel que pour $T\geq T_{0}$ et $H=T^{0.25+\varepsilon }$ l'intervalle $]T,T+H]$ contient un zéro d'ordre impair de la fonction $\zeta {\bigl{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ .
* Pour tout $\varepsilon >0$, il existe $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ et $c=c(\varepsilon )>0$, tels que pour $T\geq T_{0}$ et $H=T^{0.5+\varepsilon }$ l'inégalité $N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH$ est vérifiée.

## Avancés

En 1942, Atle Selberg étudia le problème 2 et prouva que pour tout $\varepsilon >0$ il existe $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ et $c=c(\varepsilon )>0$, tels que pour $T\geq T_{0}$ et $H=T^{0.5+\varepsilon }$ ont ait l'inégalité $N(T+H)-N(T)\geq cH\log T$.

À son tour, Selberg fait une conjecture selon laquelle il est possible de diminuer la valeur de l'exposant $a=0.5$ pour $H=T^{0.5+\varepsilon }$, ce qui a été prouvé 42 ans plus tard par A. Karatsuba.

