Complexe de Čech
# Complexe de Čech

En topologie algébrique et en analyse topologique des données (en), le complexe de Čech est un complexe simplicial abstrait construit à partir d'un ensemble de points dans un espace métrique. Il est nommé d'après le mathématicien tchécoslovaque Eduard Čech.

Étant donnés un ensemble fini $X$ de points et $\varepsilon >0$, le complexe de Čech ${\check {C}}_{\varepsilon }(X)$ est défini comme l'ensemble des simplexes $\sigma \subset X$ tels que les boules de rayon $\varepsilon$ et de centres les points de $\sigma$ ont une intersection non vide, c'est-à-dire :

    ${\check {C}}_{\varepsilon }(X)=\left\{\sigma \subset X|\bigcap \limits _{x\in \sigma }B_{\varepsilon }(x)\neq \emptyset \right\}.$

Il peut être vu comme le nerf de l'ensemble des boules de rayon $\varepsilon$ centrées sur les points de $X$. Par le théorème du nerf, le complexe de Čech est homotopiquement équivalent à l'union des boules.

Le complexe de Čech est un sous-complexe du complexe de Vietoris–Rips.

