Coefficient de restitution
# Coefficient de restitution

En dynamique, le coefficient de restitution (appelé aussi élasticité au rebondissement) est un coefficient physique qui intervient lors de l'étude d'une collision. Son introduction dans l'étude des chocs de solides réels dans l'air a été suggérée pour la première fois par Isaac Newton en 1687, et c'est pourquoi il est parfois appelé « coefficient de Newton ». Il dépend des caractéristiques physiques des matériaux dont sont faits les corps qui entrent en collision.

Le coefficient, e est défini comme le rapport entre les vitesses relatives après et avant l'impact.

${\text{Coefficient de restitution }}(e)={\frac {\text{Vitesse relative après collision}}{\text{Vitesse relative avant collision}}}$

On peut l'exprimer de la façon suivante: ${\text{vitesse de separation}}=e\times {\text{vitesse d'approche}}$

## Établissement du coefficient

Le coefficient peut prendre des valeurs entre 0 et 1. Un coefficient de restitution supérieur à 1 est théoriquement impossible, et représente une collision qui génère de l'énergie cinétique. Un coefficient de restitution négatif est aussi théoriquement impossible : les deux particules en interaction se « traverseraient » lors du choc.

La valeur du coefficient de restitution $e$ s'obtient par le rapport entre la vitesse relative finale $v_{f}$ et initiale $v_{i}$ des deux corps considérés:

$e={\frac {v_{f}}{v_{i}}}={\sqrt {\frac {K_{f}}{K_{i}}}}$

On montre aisément que la racine du rapport entre la hauteur d'un rebond $h_{n}$ et la hauteur du rebond précédent $h_{n-1}$ donne le même résultat.

$e={\sqrt {\frac {h_{n}}{h_{n-1}}}}$

En effet on peut considérer deux phases, la phase avant le rebond et celle qui le suit. Lors de ces deux phases on néglige toute force de frottement. Ainsi lors de chacune des phases l'énergie mécanique se conserve. D’où :

$E_{\text{m1}}=mgH_{i}={\tfrac {1}{2}}mV_{i}^{2}$

$E_{\text{m2}}=mgH_{p}={\tfrac {1}{2}}mV_{p}^{2}$

On en tire donc :

$V_{i}^{2}=2gH_{i}$

$V_{p}^{2}=2gH_{p}$

$\left({\frac {V_{p}}{V_{i}}}\right)^{2}=e^{2}={\frac {H_{p}}{H_{i}}}$

D’où

$e={\sqrt {\frac {H_{p}}{H_{i}}}}$

Où $H_{p}$ représente la hauteur de rebond et $H_{i}$ la hauteur de lâché. De même $V_{i}$ est la vitesse avant rebond et $V_{p}$ après rebond.

## Collision dans une dimension

Si $v$ est la vitesse finale du système, $u$ la vitesse initiale du système et $e$ le coefficient de restitution, on a simplement $v=-eu$ .

## Quelques valeurs

Les premières valeurs ci-après sont données dans la plupart des mémentos, mais on peut vérifier qu'elles ne sont pas différentes de celles données par Isaac Newton dans les Principia. Ces deux livres donnent pour l'acier un coefficient de 5/9 qui est manifestement trop faible. Dans la Dynamique Appliquée de Léon Lecornu, le coefficient de restitution obtenu par percussion de deux billes d'acier est celui indiqué ci-dessous.

| Solide 1 | Solide 2 | e |
| - | - | - |
| bois | bois | 1/2 |
| liège | liège | 5/9 |
| ivoire | ivoire | 8/9 |
| verre | verre | 15/16 |
| acier | acier | 19/20 |

## Collision élastique

Si la collision est élastique, ${e=1}$, et donc ${v=-u}$. L'énergie cinétique est conservée.

Un corps A de masse $M_{\text{A}}$ avançant rectilignement à une vitesse $u$, percute un corps B de masse $M_{\text{B}}$ au repos. La collision est élastique, donc $e=1$. Soit $v_{\text{A}}$, et $v_{\text{B}}$ les vitesses des corps A et B après la collision.

D'après la loi de la conservation de la quantité de mouvement :

${uM_{\text{A}}=M_{\text{A}}v_{\text{A}}+M_{\text{B}}v_{\text{B}}}$

On applique le coefficient de restitution (et des vitesses relatives) :

$v_{\text{A}}-v_{\text{B}}=-1\times u$

On obtient alors les relations :

${v_{\text{A}}=u{\frac {M_{\text{A}}-M_{\text{B}}}{M_{\text{A}}+M_{\text{B}}}}}$

${v_{\text{B}}=2u{\frac {M_{\text{A}}}{M_{\text{A}}+M_{\text{B}}}}}$

On voit donc que la particule initialement en déplacement ne s'arrêtera (donc aura communiqué l'intégralité de son énergie cinétique à la particule initialement au repos) que si $M_{\text{A}}=M_{\text{B}}$.

Une collision parfaitement élastique ne s'observe jamais au niveau macroscopique. On considère cependant parfois que la collision est élastique quand son coefficient de restitution est très proche de 1. Plus particulièrement, ce sont des matériaux durs qui ne perdent pas d'énergie sous forme de déformation, l'exemple typique étant une collision entre deux billes de billard.

## Application : rebonds d'un corps

On lâche un corps verticalement, il va donc rebondir, et l'on peut quantifier les grandeurs physiques intervenant dans les rebonds grâce au coefficient de restitution mis en jeu.

Hauteur maximum ${h_{n}}$ après $n$ rebonds : ${h_{n}=e^{2n}h_{0}}$ où $h_{0}$ est la hauteur initiale (avant de lâcher le corps).

La vitesse atteinte par un corps après une chute d'une hauteur $h_{n}$ dans un champ de pesanteur $g$ est (pour plus d'informations voir Chute libre) :

$V_{n}={\sqrt {2gh_{n}}}$

En considérant que le mouvement est conservé, la vitesse restituée du rebond $n$ sera égale à la vitesse de la fin de la chute du rebond $(n+1)$, donc :

$V_{n+1}=eV_{n}=e{\sqrt {2gh_{n}}}$

Et (toujours d'après la formule de la chute libre) :

$V_{n+1}={\sqrt {2gh_{n+1}}}$

D’où:

${\begin{aligned}{\sqrt {2gh_{n+1}}}&=e{\sqrt {2gh_{n}}}\\2gh_{n+1}&=e^{2}2gh_{n}\\h_{n+1}&=e^{2}h_{n}\end{aligned}}$

$h_{n}$ est donc une suite géométrique de premier terme $h_{0}$ et de raison $e^{2}$, ayant par conséquent pour terme général :

$h_{n}=e^{2n}h_{0}~$

Temps ${t_{n}}$ après le $n$ rebond et avant le rebond $n+1$ : ${t_{n}=e^{n}{\sqrt {\frac {8h_{0}}{g}}}}$

Pour démontrer cela il suffit de s'intéresser au mouvement plan d'un corps projeté verticalement avec une vitesse initiale $V_{0}=V_{n}$ (ici, voir Chute libre (physique)). L'accélération est égale à $g$ (accélération de la pesanteur).

$a=g~$

Donc :

$v_{z}=-gt+v_{0}~$

Et l'altitude $z$ est finalement égale à :

$z=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}t+z_{0}$

Au début d'un rebond l'altitude est nulle, donc $z_{0}=0$. Nous cherchons $t$ tel que $z=0$, ce qui revient alors à résoudre :

$-{\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}t=0\quad \Leftrightarrow \quad t\left(-{\frac {1}{2}}gt+v_{0}\right)=0$

Ce qui présente deux solutions, $t=0$, car le corps a une altitude nulle au début du rebond, et :

$t={\frac {2v_{0}}{g}}$

Pour le $n$e rebond, la vitesse initiale est égale à la vitesse en fin de chute et peut donc s'écrire :

$V_{n}={\sqrt {2gh_{n}}}$

D’où:

$t_{n}={\frac {2{\sqrt {2gh_{n}}}}{g}}={\frac {\sqrt {8gh_{n}}}{g}}={\sqrt {\frac {8h_{n}}{g}}}$

Et finalement, grâce à la formule générale de $h_{n}$ trouvée lors de la dernière démonstration :

$t_{n}={\sqrt {\frac {8e^{2n}h_{0}}{g}}}$

Nous retrouvons alors bien :

$t_{n}=e^{n}{\sqrt {\frac {8h_{0}}{g}}}$

À l'aide de la dernière relation, le temps total de rebondissement est :

${T=t_{0}+{\sqrt {\dfrac {8h_{0}}{g}}}\sum _{i=1}^{\infty }e^{i}}$

Par une suite géométrique, on trouve finalement :

${T=t_{0}+\left({\dfrac {e}{1-e}}\right)\times {\sqrt {\dfrac {8h_{0}}{g}}}}$

avec $t_{0}$ temps avant le premier rebond.

$T=t_{0}+t_{1}+\ldots +t_{n}+\ldots +t_{\infty }=t_{0}+{\sqrt {\frac {8h_{0}}{g}}}\sum _{i=1}^{\infty }e^{i}$

et

$\sum _{i=1}^{\infty }e^{i}=S_{n}={\dfrac {e(1-r^{n})}{1-r}}$

$r$

$e$

$r^{n}=e^{n}\rightarrow 0$

Donc

$\sum _{i=1}^{\infty }e^{i}={\dfrac {e}{1-e}}$

$T=t_{0}+\left({\dfrac {e}{1-e}}\right)\times {\sqrt {\dfrac {8h_{0}}{g}}}$

Remarque : Le nombre de rebonds est infini mais $T$ est fini.

