Convergence inconditionnelle
# Convergence inconditionnelle

Soient X un groupe topologique abélien — par exemple un espace vectoriel normé — et $(x_n)_{n∈ℕ}$ une suite d'éléments de X. On dit que la série ∑ $x_n$ converge inconditionnellement ou qu'elle est commutativement convergente si, pour toute permutation σ : ℕ → ℕ, la série $\sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}$ converge dans X.

Toute série absolument convergente dans un espace de Banach X est inconditionnellement convergente. La réciproque est vraie si et seulement si X est de dimension finie.

Une base de Schauder de X est dite inconditionnelle si pour tout x ∈ X, la série représentant x converge inconditionnellement.

## Lien avec les familles sommables

Théorème — Une série de terme général $x_n$ est commutativement convergente si et seulement si la suite $(x_n)_{n∈ℕ}$ est une famille sommable, et toutes les sommes $\sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}$ sont alors égales à $∑_{n∈ℕ}$ $x_n.$

Si la suite est sommable, il est immédiat que toutes les séries permutées convergent (vers sa somme). La réciproque — si toutes les séries permutées convergent, alors la suite est sommable, sans supposer a priori que les sommes des séries sont égales — repose sur deux lemmes :

Lemme 1 — Si toutes les séries $\sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}$ vérifient le critère de Cauchy pour les séries, alors la suite $(x_n)_{n∈ℕ}$ vérifie le critère de Cauchy pour les familles :

$\forall V{\text{ voisinage de }}0\quad \exists J_{V}{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \forall K{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \left(K\cap J_{V}=\varnothing \Rightarrow \sum _{k\in K}x_{k}\in V\right).$

Par contraposée, supposons que le critère de Cauchy pour les familles n'est pas vérifié, c'est-à-dire qu'il existe un voisinage V de l'élément neutre 0 du groupe X tel que :

$\forall J{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \exists K(J){\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad K(J)\cap J=\varnothing {\text{ et }}\sum _{k\in K(J)}x_{k}\notin V.$

En posant $J_0$ = ∅ et, pour tout entier naturel n, $J_{n+1}$ = $J_n$ ∪ $K(J_n),$ on obtient une partition de ℕ par les $K(J_n).$ Il existe une permutation de ℕ dans laquelle les éléments de chaque $K(J_n)$ deviennent consécutifs. La série correspondante ne vérifie pas le critère de Cauchy.

Lemme 2 — Si $(x_n)_{n∈ℕ}$ vérifie le critère de Cauchy pour les familles et si l'une des séries $\sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}$ converge, alors $(x_n)_{n∈ℕ}$ est une famille sommable.

Supposons que $(x_n)_{n∈ℕ}$ vérifie le critère de Cauchy pour les familles et — sans perte de généralité — que la série $\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$ soit convergente, de somme S, c'est-à-dire :

$\forall V{\text{ voisinage de }}0\quad \exists N_{V}\quad \forall n\geq N_{V}\quad S-\sum _{k=0}^{n}x_{k}\in V.$

Soient $J_V$ un ensemble associé à V dans le critère de Cauchy pour les familles, J un ensemble fini d'entiers naturels contenant $J_V,$ et n un entier majorant à la fois J et $N_V.$ L'ensemble {0, … , n}\J est alors disjoint de $J_V,$ d'où

$\left(\sum _{k=0}^{n}x_{k}\right)-\sum _{k\in J}x_{k}\in V.$

On en déduit que

$\forall V{\text{ voisinage de }}0\quad \exists J_{V}{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \forall J{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \left(J\supset J_{V}\Rightarrow S-\sum _{k\in J}x_{k}\in V+V\right),$

ce qui prouve que la suite est sommable, de somme S.

## Autres caractérisations

Théorème — Une série de terme général $x_n$ est commutativement convergente si et seulement si pour toute suite $(ε_n)_{n∈ℕ}$ avec $ε_n$ = ±1, la série $\sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}$ converge, ou encore si toute sous-série $\Sigma _{m=0}^{\infty }x_{n_{m}}$ $(n_0$ < $n_1$ < $n_2$ < …) converge.

Ce théorème se déduit du lemme 2 ci-dessus et du lemme suivant, qui se démontre comme le lemme 1 :

Lemme 3 — Si toutes les sous-séries vérifient le critère de Cauchy pour les séries, alors la suite vérifie le critère de Cauchy pour les familles.

