Caractéristique d'un anneau
# Caractéristique d'un anneau

En algèbre, la caractéristique d'un anneau (unitaire) A est par définition l'ordre pour la loi additive de l'élément neutre de la loi multiplicative si cet ordre est fini ; si cet ordre est infini, la caractéristique de l'anneau est par définition zéro.

On note, pour un anneau unitaire (A, +, ×), $0_A$ l'élément neutre de « + » et $1_A$ celui de « × ».

La caractéristique d'un anneau A est donc le plus petit entier n > 0 tel que

    ${\ n.1_{A}~=~\underbrace {1_{A}+1_{A}+\cdots +1_{A}} _{n\;{\text{termes}}}~=~0_{A}}$

si un tel entier existe. Dans le cas contraire (autrement dit si $1_A$ est d'ordre infini), la caractéristique est nulle.

Le sous-anneau de A engendré par $1_A,$ appelé le sous-anneau premier de A, est isomorphe à ℤ/cℤ, où c est la caractéristique de A.

Lorsque l'anneau A est intègre et de caractéristique non nulle, cette caractéristique est un nombre premier et ce sous-anneau premier est un corps fini, appelé le sous-corps premier de A.

Remarque 1 : La présente définition est conforme à des ouvrages publiés au XXIe siècle. Bourbaki dit explicitement ne définir la caractéristique d'un anneau que si cet anneau contient un corps. Lang considère l'idéal de ℤ formé par les n tels que $n.1_A$ = 0 ; si cet idéal est premier, c'est-à-dire de la forme cℤ où c est zéro ou un nombre premier, il définit la caractéristique de A comme étant le nombre c. Il ne la définit pas dans le cas contraire.

Remarque 2 : Certains auteurs n'exigent pas la présence d'un élément unitaire dans la définition d'un anneau (voir l'article détaillé), une structure souvent appelée pseudo-anneau. Dans ce cas, la définition précédente doit être remplacée par la suivante, plus générale. La caractéristique de A est le plus petit entier n, s'il existe, tel que, pour tout élément a de A, $\underbrace {a+\cdots +a} _{n\ {\text{fois}}}=0.$ Si un tel n n'existe pas, la caractéristique est 0.

## L'homomorphisme de Z dans A

Il existe un unique morphisme d'anneaux unitaires $f$ de ℤ dans A (ℤ est en effet un objet initial de la catégorie des anneaux). Par définition, si n est un entier strictement positif, on a :

$f(n)=1_{A}+\cdots +1_{A}$

où $1_A$ est répété n fois. Comme ℤ est un anneau euclidien, le noyau de $f$ est un idéal principal et, par définition, la caractéristique de A est son générateur positif. Plus explicitement, c'est l'unique entier naturel n tel que le noyau de $f$ soit l'idéal nℤ.

## Propriétés sur les anneaux

* La caractéristique d'un anneau A est l'unique entier n positif ou nul tel que $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ soit un sous-anneau unitaire de A. Ceci résulte de la définition ci-dessus et du théorème de factorisation. On en déduit en particulier :
* Si B est un sous-anneau unitaire de A, alors A et B ont même caractéristique.
* Les anneaux de caractéristique nulle sont ceux dont ℤ est un sous-anneau unitaire. Ils sont donc infinis. C'est le cas du corps $\mathbb {C}$ des nombres complexes et de tous ses sous-anneaux unitaires, comme le corps $\mathbb {R}$ des nombres réels ou le corps $\mathbb {Q}$ des nombres rationnels.
* Tout anneau totalement ordonné est de caractéristique nulle. En effet, l'homomorphisme $\mathbb {Z} \to A$ est croissant. Tout entier strictement positif est envoyé sur un élément strictement positif de l'anneau, a fortiori différent de 0.C'est par exemple le cas de $\mathbb {R}$ (et ses sous-anneaux unitaires).
* Le seul anneau dont la caractéristique vaut 1 est l'anneau nul.
* La caractéristique d'un anneau intègre est soit nulle, soit un nombre premier.

    En effet, si $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ est un sous-anneau unitaire d'un anneau intègre alors il est lui-même intègre, donc n est nul ou premier.
* Pour tout morphisme d'anneaux unitaires g : A → B, la caractéristique de B divise celle de A. En effet, l'homomorphisme d'anneaux unitaires $\mathbb {Z} \to B$ est l'homomorphisme composé g ∘ f. Si p et q sont les caractéristiques respectives de A et de B, le noyau de g ∘ f est donc $q\mathbb {Z}$, or g(f (p)) = $g(0_A)$ = $0_B,$ si bien que $q\mathbb {Z}$ contient p, autrement dit q divise p.
* Si A est un anneau commutatif, et si sa caractéristique est un nombre premier p, alors pour tous éléments x, y dans A, on a (x + $y)^p$ = $x^p$ + $y^p.$ L'application qui à x associe $x^p$ est un endomorphisme d'anneau appelé endomorphisme de Frobenius. Le résultat découle immédiatement de la formule du binôme de Newton et de ce que p divise les coefficients binomiaux apparaissant dans le développement.
* La caractéristique d'un produit d'anneaux A × B est le P.P.C.M des caractéristiques de ces anneaux.

## Propriétés sur les corps

Comme pour tout anneau intègre, la caractéristique d'un corps K est soit 0, soit un nombre premier p. De plus, dans le second cas, comme pour tout anneau de caractéristique p non nulle, K contient une copie de $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ qui (puisqu'ici p est premier) est un corps : c'est l'unique corps fini $F_p$ à p éléments.

* Tout corps de caractéristique nulle contient une copie de $\mathbb {Q}$.

    En effet, un tel corps K contient déjà (comme tout anneau de caractéristique nulle) une copie de $\mathbb {Z}$. Comme K est un corps, il contient donc le corps des fractions de $\mathbb {Z}$, à savoir le corps $\mathbb {Q}$ des rationnels. Tout corps possède donc un sous-corps minimal, son corps premier, isomorphe (selon sa caractéristique) à un corps fini $F_p$ ou au corps $\mathbb {Q}$.
* Tout corps fini a pour caractéristique un nombre premier, et pour cardinal une puissance de ce nombre.

    Si K est un corps fini il est, comme tout anneau fini, de caractéristique non nulle. Par ce qui précède, sa caractéristique est donc un nombre premier p et K contient une copie du corps $F_p.$ De fait, K est un espace vectoriel sur $F_p.$ Donc son cardinal est p à la puissance sa dimension (laquelle, de ce fait, est nécessairement finie, autrement dit K est une extension finie de $F_p).$
* Pour tout nombre premier p, il existe des corps infinis de caractéristique p :

    par exemple le corps des fractions rationnelles sur $F_p$ ou la clôture algébrique de $F_p.$
