Convergence normale
# Convergence normale

En analyse, la convergence normale est l'un des modes de convergence d'une série de fonctions. Si $(f_{n})$ est une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes définies sur un même ensemble X, la série de terme général $f_{n}$ converge normalement sur X s'il existe une suite de réels $u_n$ tels que :

* pour tout n, $|f_{n}|$ est majorée par $u_n$ sur X ;
* la série de terme général $u_n$ converge.

La convergence normale d'une telle série implique sa convergence uniforme. Par conséquent, tous les résultats qui concernent la convergence uniforme sont aussi valables pour la convergence normale. En particulier, si l'ensemble X est muni d'une topologie :

   La somme d'une série de fonctions continues qui converge normalement est une fonction continue.

La convergence normale d'une série implique également sa convergence absolue en tout point.

A fortiori, la convergence normale d'une série implique sa convergence simple, autrement dit la convergence de la série en tout point.

Les implications réciproques sont fausses.

## Histoire

Cette notion a été introduite par Karl Weierstrass, et baptisée « convergence normale » par René Baire.

## Espaces vectoriels normés

Les fonctions bornées sur X à valeurs réelles ou complexes, munies de la norme infinie, forment un espace de Banach, c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet. La convergence normale d'une série de telles fonctions se réinterprète comme la convergence absolue dans cet espace : la série de terme général $f_{n}$ converge normalement sur X si

$\sum _{n}{\|f_{n}\|}_{\infty }<\infty$

## Exemples

* La série de terme général $f_{n}(x)={\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}$ converge normalement sur tout compact de R\Z.

$\pi \cot(\pi x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}$

* Soit $g_{n}$ le produit de $1/n$ par la fonction indicatrice de l'intervalle $\left[n,n+1\right[$. La série $\sum _{n\in \mathbb {N} ^{*}}g_{n}$ n'est pas normalement convergente (${\|g_{n}\|}_{\infty }=1/n$) mais elle est uniformément convergente ($\|\sum _{n\geq N}g_{n}{\|}_{\infty }=1/N$).
* Évoquer l'argument de convergence normale est une façon élégante de prouver la continuité de la courbe de Takagi.

## Propriétés

* Toute combinaison linéaire de séries normalement convergentes est normalement convergente.
* Tout produit de séries normalement convergentes est normalement convergent.
