Cardinal régulier
# Cardinal régulier

En théorie des ensembles, un cardinal infini est dit régulier s'il est égal à sa cofinalité. Intuitivement, un cardinal $\kappa$ est régulier si toute réunion indexée par un ensemble petit d'ensembles petits est petite, où un ensemble est dit petit s'il est de cardinalité strictement inférieure à $\kappa$. Une autre définition possible équivalente est que $\kappa$ est régulier si pour tout cardinal $\lambda <\kappa$, toute fonction $f:\lambda \rightarrow \kappa$ est bornée. Un cardinal qui n'est pas régulier est dit singulier.

Par exemple, pour $\kappa =\aleph _{0}$, petit signifie fini, or toute réunion indexée par un ensemble fini d'ensembles finis est finie, donc $\aleph _{0}$ est un cardinal régulier. Pour $\kappa =\aleph _{1}$, petit signifie dénombrable, or, sous l'axiome du choix dénombrable, toute réunion indexée par un ensemble dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable, donc $\aleph _{1}$ est régulier. On peut montrer, sous l'axiome du choix, qu'il en est de même pour tout cardinal successeur : si $\alpha$ est un ordinal, alors $\aleph _{\alpha +1}$ est régulier. C'est une conséquence simple du fait que $\aleph _{\alpha }^{2}=\aleph _{\alpha }$. Un cardinal singulier est nécessairement un cardinal limite. Une question naturelle se pose : la réciproque est-elle vraie ? Un contre-exemple à cette réciproque, c'est-à-dire un cardinal limite et régulier, est appelé cardinal faiblement inaccessible.

Le premier cardinal singulier est $\aleph _{\omega }$. En effet, $\aleph _{\omega }=\bigcup _{n\in \omega }\aleph _{n}$, il peut donc s'écrire comme une réunion indexée par un ensemble dénombrable d'ensembles de cardinalité strictement inférieure.

## En l'absence de l'axiome du choix

Sans l'axiome du choix, certains des résultats précédents ne sont plus valables.

Par exemple, Azriel Lévy a démontré que si $ZF$ est cohérent, alors il en est de même de $ZF$ + $\aleph _{1}$ est singulier. Moti Gitik (en) a généralisé ce résultat et démontre que si $ZFC$ + il existe une classe propre de cardinaux fortement compacts (en) est cohérent, alors il en est de même de $ZF$ + tout ensemble est réunion dénombrable d'ensembles de cardinalité strictement inférieure.

