Catégorie enrichie
# Catégorie enrichie

Une catégorie enrichie sur une catégorie monoïdale ${\mathcal {M}}$, ou ${\mathcal {M}}$-catégorie est une extension du concept mathématique de catégorie, où les morphismes, au lieu de former une classe ou un ensemble dépourvu de structure, sont des éléments de ${\mathcal {M}}$.

## Motivation

Le concept de catégorie enrichie part de l'observation que dans de nombreuses situations, les morphismes ont une structure naturelle d'espace vectoriel ou topologique. La catégorie ${\mathcal {M}}$ doit être monoïdale afin de pouvoir définir la composition des morphismes, appelés dans ce cas hom-objets au lieu de hom-sets.

## Définition

Une catégorie ${\mathcal {C}}$ enrichie sur ${\mathcal {M}}$, où ${\mathcal {M}}$ est une catégorie monoïdale, est la donnée des éléments suivants :

* Un ensemble d'objets $\mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$ ;
* Pour toute paire d'objets x, y, un objet de ${\mathcal {M}}$ appelé hom-objet et noté $\mathrm {hom} (x,y)$ ;
* Pour tout triplet d'objets de ${\mathcal {C}}$, un morphisme dans ${\mathcal {M}}$, dit de composition : $\mathrm {hom} (b,c)\otimes \mathrm {hom} (a,b)\to \mathrm {hom} (a,c)$
* Pour tout objet a de ${\mathcal {C}}$, un morphisme ${\mathsf {id_{a}}}:1\to \mathrm {hom} (a,a)$ dit d'identité, où 1 est l'unité du produit tensoriel dans ${\mathcal {M}}$
* Les diagrammes commutatifs correspondant à l'associativité de la composition, et au bon comportement des morphismes identité dans cette composition.

## Exemples

* Une catégorie enrichie sur la catégorie Set des ensembles n'est autre qu'une catégorie (au sens usuel) localement petite ;
* Une catégorie enrichie sur la catégorie Top des espaces topologiques est une catégorie topologique (en) ;
* Une catégorie enrichie sur la catégorie des ensembles simpliciaux est une catégorie simplicialement enrichie (en) :
* Une catégorie enrichie sur la catégorie Cat des catégories est une 2-catégorie stricte.
