Catégorie dérivée
# Catégorie dérivée

La catégorie dérivée d'une catégorie est une construction, originellement introduite par Jean-Louis Verdier dans sa thèse et reprise dans SGA 4½, qui permet notamment de raffiner et simplifier la théorie des foncteurs dérivés.

Elle a amené à plusieurs développements importants, ainsi que des reformulations élégantes par exemple de la théorie des D-modules et des preuves de la correspondance de Riemann-Hilbert (en) qui généralise le vingt-et-unième problème de Hilbert. En particulier, le langage des catégories dérivées permet de simplifier des problèmes exprimés en termes de suites spectrales.

Cette construction met également à jour la dualité de Verdier (en), une généralisation de celle de Poincaré et de celle d'Alexander.

## Construction

Soit A une catégorie abélienne. On note $C({\mathsf {A}})$ la catégorie (additive) des complexes de chaînes sur A. On note $K({\mathsf {A}})$ la catégorie (additive) dont les objets sont ceux de $C({\mathsf {A}})$ et les morphismes sont les classes de morphismes de $C({\mathsf {A}})$ équivalents par homotopie. $K({\mathsf {A}})$ est en particulier une catégorie triangulée.

Si on note $X^{\bullet },Y^{\bullet }$ des objets de $K({\mathsf {A}})$ (ce sont des complexes de chaînes), un morphisme $f:X^{\bullet }\to Y^{\bullet }$ est appelé quasi-isomorphisme s'il induit un isomorphisme en cohomologie. On note Q la collection des quasi-isomorphismes, alors la catégorie dérivée $D({\mathsf {A}})$ de A est la localisation de $K({\mathsf {A}})$ par Q.

En se restreignant aux complexes bornés inférieurement, supérieurement ou bornés, on construit respectivement $D^{-}({\mathsf {A}})$, $D^{+}({\mathsf {A}})$ et $D^{b}({\mathsf {A}})$

Il est également possible de définir la catégorie dérivée d'une catégorie exacte.

## Lien avec les foncteurs dérivés

La catégorie dérivée est un objet dont les morphismes ne peuvent pas en général être manipulés aisément, au contraire de la catégorie $K({\mathsf {A}})$. Il existe un foncteur canonique

    $Q:K({\mathsf {A}})\to D({\mathsf {A}})$.

Si $F:K({\mathsf {A}})\to K({\mathsf {B}})$ est un foncteur, on dit que le foncteur dérivé à droite $RF$ existe si le foncteur $G\mapsto \mathrm {Hom} (QF,GQ)$ est représentable. Alors

    $RF:D({\mathsf {A}})\to D({\mathsf {B}})$

en est un représentant et coïncide avec la définition usuelle. Le foncteur dérivé à gauche $LF$ est défini de manière duale.

Le foncteur $Q$ est une équivalence de catégories si on le restreint à une sous-catégorie $K^{\pm }({\mathsf {A}})$. En supposant que A possède assez d'injectifs on peut utiliser une résolution injective (ou, de manière duale, s'il y a assez d'objets projectifs, considérer une résolution projective), et définir à partir d'elle un foncteur dérivé à droite (respectivement, à gauche) pour tout foncteur exact à gauche (respectivement, à droite). On définit alors les foncteurs $R^{\pm }$ et $L^{\pm }$

