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> N° 1 - Septembre 2006
> Cercle et tangente
Cercle et tangente
Cercle et tangente Les lignes qui suivent proposent quelques activités géométriques mises en oeuvre avec un logiciel de géométrie dynamique. Ces activités mettent en évidence quelques caractéristiques de la géométrie dynamique et montrent en quoi ce « dynamique » peut apporter un plus indéniable par rapport au support papier seul.
Le choix de la tangente à un cercle n’est pas anodin car le point de contact constitue le point de rencontre entre deux lignes fondamentales en géométrie : le cercle et la droite.
Les activités proposées ont été traitées différemment par les élèves. La première a été traitée par mes élèves de seconde. La seconde a été présentée et commentée par moi-même, puis a été l’objet d’une discussion avec les élèves.
Enfin les élèves ont traité la première question de l’exercice 1. Tout s’est déroulé en salle informatique, par petit groupe (un élève par poste).
Il est préférable que les élèves disposent d’un support papier les guidant dans leurs activités. Ce support contient des questions simples et immédiates, mais également des questions nécessitant une réflexion et la rédaction d’une démonstration.
La mise à disposition de telles fiches n’a de valeur qu’à titre d’exemple : elles ne doivent pas être reprises telles quelles. Leur contenu final dépend en effet de nombreux facteurs : niveau, compétence des élèves en géométrie dynamique, effectif du groupe etc...
Les activités peuvent être traitées par des élèves de collège.
Au collège, on définit la tangente à un cercle par sa propriété caractéristique la plus accessible :
Soit C un cercle de centre O. Soit H un point du cercle.
La tangente au cercle en H est la droite qui passe par H et qui perpendiculaire au rayon [OH].
Telle qu’elle est donnée, cette définition ne permet pas de comprendre ce qu’est réellement une tangente.
Les deux activités suivantes proposent d’étudier de près les conséquences de cette définition, d’en étudier d’autres propriétés...
Le support papier de l’activité 1 est joint en annexe.
Première activité : Etudions d’abord l’intersection de cette tangente avec le cercle
Script n°1
Les élèves construisent donc cette tangente. Une première question que l’on peut poser aux élèves est la suivante :
En combien de points la tangente coupe t-elle le cercle ? Voilà une question qui peut paraître simple...
Oralement, le professeur peut suggérer les démarches suivantes :
se rapprocher de la figure (de l’écran) et regarder de plus près
déplacer le point H, dans le cas où la réponse serait plus claire dans une autre configuration.
A priori, il semble bien qu’il n’y ait qu’un seul point d’intersection . Cela semble presque certain, mais la situation va se compliquer...En effet, le professeur demande de zoomer sur le point H, si du moins les élèves ne l’ont pas déjà fait.
Voilà ce que l’on obtient en zoomant trois fois :
Y aurait-il plusieurs points d’intersection ?
Le doute s’installe soudainement... Ce n’est plus du tout évident : ce que l’on voit maintenant contredit ce que l’on avait pressenti.
Et en effet, même en géométrie dynamique, la figure ne constitue qu’une représentation d’une figure idéale qu’on ne peut pas traduire parfaitement (ce qui n’est pas si évident que cela aux yeux des élèves).
Ces imperfections graphiques présentent un avantage car, bien que ne distinguant pas clairement un seul point d’intersection, l’élève a conjecturé tout de même l’unicité, de sorte que s’impose alors la nécessité d’une autre approche, celle utilisant une démonstration.
La géométrie dynamique se prête en général très bien à la recherche de conjectures et d’invariants dans les figures.comme par exemple la concourance des hauteurs d’un triangle. Mais elle n’a pas seulement pour fonction de découvrir des propriétés constatées sur une figure. Elle peut amener également, comme c’est le cas ici, la nécessité d’établir, à l’aide d’une construction, une propriété conjecturée suite à la manipulation des objets de la figure.
On peut proposer la construction suivante pour démontrer l’unicité du point d’intersection.