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Piste verte
L’ensemble de Mandelbrot
Chef d’orchestre
Arnaud Chéritat
Chargé de Recherche (CNRS) à l'Institut de Mathématiques de Toulouse (page web)
Icône absolue des fractales, l’ensemble de Mandelbrot frappe l’œil et l’imagination. Mais, c’est quoi au juste ?
Disons, pour commencer en douceur, que c’est un dessin. Un joli dessin généré par un programme.
Et ce programme est très simple.
Des dessins générés par ordinateur, il y en a plein. Alors qu’est-ce qu’il a de particulier celui-là ?
Je ne saurais pointer la cause de son succès. Aussi vais-je vous le présenter, à vous de juger.
De multiples représentations du même objet
D’abord, l’ensemble de Mandelbrot est un sous-ensemble du plan. C’est-à-dire une collection de points. Celle-ci contient des aires mais également des courbes lisses, des filaments, des points d’où émanent de multiples branches, et d’autres choses.
Si on veut le représenter simplement, en noir sur fond blanc, voici ce que cela donne :
L’ensemble de Mandelbrot, brut
Voici le genre d’images qu’on peut trouver sur Internet :
Trois exemples de représentations de l’ensemble de Mandelbrot Les images montrent des détails de l’ensemble, mis en relief de diverses façon, au sens propre comme au sens figuré. Crédits, de gauche à droite : Wolfgang Beyer, Jos Leys, Aexion.
Voire des représentations plus fantaisistes :
Vues originales sur l’ensembe de Mandelbrot
Copyright, dans l’ordre de lecture : Arenamontanus, Paul Nylander, da_duke (dbki), Melinda Green.
On croit sentir comme une préférence pour les tons bleus.
Toutes ces images sont calculées. Certaines sont conçues pour représenter différentes informations sur le phénomène mathématique en jeu (caractère scientifique). D’autres recherchent l’esthétisme (caractère artistique) par un choix de formules, parfois mariées avec l’insertion d’images traditionnelles.
Systèmes dynamiques et fractals
Tout cela est bien joli mais qu’est-ce ?
Il s’agit de systèmes dynamiques. Quelque chose qui évolue en suivant une règle fixe et invariable. Comme les planètes autour du soleil. On sait depuis un siècle que, même avec des lois physiques constantes, un système simple peut avoir un comportement irrégulier ou imprévisible. Je répète : on sait depuis un siècle (les travaux de Poincaré) que même avec des lois physiques constantes (la loi de la gravitation universelle de Newton par exemple