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La mesure de la circonférence de la Terre par Eratosthène
On a souvent tendance à penser qu’il a fallu attendre la Renaissance pour que l’humanité découvre que la Terre n’était pas plate. C’est une fausse croyance, car l’idée que la Terre soit ronde date de l’Antiquité, et était partagée par de nombreux savants comme Platon ou Aristote.
D’ailleurs en 200 avant J.C., Eratosthène a même réussi l’exploit de calculer la circonférence de la Terre à quelques centaines de kilomètres près, puisqu’il l’estima à 39 375 km, alors que la valeur actuellement admise est autour de 40 070 km !
Voyons ensemble comment il a procédé.
Le soleil au fond des puits
A la fin du IIIème siècle en Egypte, sous le règne du pharaon Ptolémée III, le grec Erathostène était un savant réputé. Il dirigeait notamment la grande Bibliothèque d’Alexandrie, et fut le précepteur du futur pharaon Ptolémée IV.
Fort de ses connaissances d’astronomie et de géographie, il mis au point une méthode purement géométrique pour estimer la circonférence de la Terre. Pour cela, il partit de la constatation suivante : "Dans la ville de Syène, à midi le jour du solstice d’été, le soleil éclaire le fond des puits".
Que signifie cette phrase énigmatique ? Tout simplement qu’à Syène, le 21 juin à midi, le soleil est exactement à la verticale du sol (et que ses rayons peuvent donc atteindre le fond des puits.)
Du point de vue géographique, avoir le Soleil à la verticale au solstice d’été signifie que l’on se trouve sur le tropique du Cancer. C’est ce qu’illustre la figure ci-contre, qui rappelle l’inclinaison de l’axe de rotation de la Terre, et montre la position de Syène, située sur le lieu de l’actuelle ville d’Assouan, non loin du tropique.
A l’ombre du phare
Si le 21 juin à Syène, le Soleil est à la verticale du sol, c’est que la trajectoire de ses rayons à cet endroit passe par le centre de la Terre. Pour déterminer la circonférence de la Terre, Erathostène a alors réalisé une deuxième mesure.
Le 21 juin, mais cette fois à Alexandrie, il observa l’ombre du Phare, et mesura l’angle qu’elle formait avec son sommet (bon, pour certains, il ne s’agissait pas de l’ombre du Phare d’Alexandrie, mais de celle d’un simple morceau de bois).
Que ce soit un phare ou un bout de bois, le résultat est le même, Eratosthène observa que l’angle formé valait 1/50ème de cercle, soit 360°/50 = 7.2°. C’est ce qu’illustre le dessin ci-contre, dont j’ai exagéré l’angle pour que ce soit plus facile à visualiser.
Après avoir mesuré cet angle, Eratosthène fit ce qu’aurait fait tout bon élève de 5ème, il fit une figure et invoqua un théorème de géométrie.
La figure ci-dessous montre la surface de la Terre, et la manière dont les rayons du Soleil viennent la frapper le 21 juin à Syène (point A) et à Alexandrie (point B). D’après le théorème des angles alternes-internes, les deux angles en rouge sur la figure sont égaux.
L’angle au sommet du phare est donc égal à l’angle qui sépare les deux villes à la surface de la Terre. D’ailleurs le 7.2° que nous avons trouvé correspond à peu près à leur différence de latitude (31°12′ et 24°05′).
Puisque la mesure de cet angle par Erathostène à Alexandrie donne 1/50ème de cercle, la distance entre Syène et Alexandrie vaut 1/50ème de la circonférence de la Terre. Et pour calculer celle-ci, il ne nous reste plus qu’à connaître la distance de Syène à Alexandrie…et c’est là que le chameau entre en jeu.
A dos de chameau
Pour mesurer les distances, on sait qu’un chameau met environ 50 jours pour aller d’Alexandrie à Syène, et qu’en un jour il parcours une distance de 100 stades (le stade étant l’unité de distance en vigueur à ce moment là). La distance entre les deux villes est donc d’environ 5000 stades. Et puisque cette distance vaut 1/50ème de la circonférence de la Terre, c’est que cette dernière mesure environ 250 000 stades.
Euh, mais ça vaut combien un stade ? Apparemment, chez les Egyptiens, le stade valait 157.5 mètres. Ce qui nous donne comme estimation de la circonférence de la Terre 39 375 km. Pas mal quand on sait que la véritable valeur est environ de 40 000km !
Quelques éléments sur la validité de la mesure
Le calcul fait par Erathostène repose sur quelques suppositions que l’on peut mentionner et discuter.
La première, c’est bien sûr que la Terre est ronde ! Or on sait aujourd’hui qu’il s’agit plutôt d’une sphère légèrement applatie au niveau des pôles. Ce qui fait que la circonférence de l’équateur mesure environ 70km de plus que la circonférence qui passe par les pôles.
La deuxième supposition, c’est que les rayons du Soleil qui frappent la Terre sont bien parallèles entre eux. Cela revient à supposer que le Soleil est situé suffisament loin, ce qui en l’espèce est une approximation tout à fait raisonnable.
Enfin la dernière hypothèse faite par Eratosthène, c’est que Syène et Alexandrie sont situées sur le même méridien. C’est en effet une supposition implicite quand on réalise la figure qui nous a permis de conclure. Bien que les deux villes soient toutes les deux situées sur le cours du Nil, elle ne sont pas strictement sur le même médirien, comme le montre la carte ci-contre. Heureusement, Eratosthène commis une autre erreur qui compensa celle-ci : par la technique du chameau il sous-estima légèrement la distance entre les deux villes (il devait avoir des chameaux de compétition…)
A vous de jouer !
Pour reproduire le calcul d’Eratosthène, nul besoin d’aller en Egypte, ni d’attendre le solstice d’été pour s’y balader à dos de chameau. On peut utiliser deux villes quelconques, du moment qu’elle sont bien situées sur le même méridien. Pour cela il faut adapter un peu la mesure.
Supposons que vous viviez à Nancy, et que vous ayez un ami habitant Toulon. Le même jour, à midi au soleil, plantez un bâton bien vertical dans le sol, repérez l’ombre formée et mesurez chacun l’angle au sommet. Avec un tout petit peu de géométrie du triangle (voir ci-contre), vous pouvez vous convaincre que l’angle C est la différence entre l’angle B à Nancy et l’angle A à Toulon.
Il ne vous reste plus qu’à connaître la distance entre Nancy et Toulon, et vous retrouvez la circonférence de la Terre ! Bien sûr dans ce calcul, il y a aussi une hypothèse forte, celle qu’on puisse trouver du soleil à Nancy…
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This entry was posted on Lundi 3 octobre 2011 at 00:01 and is filed under Mathématiques.	You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed.
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14 réponses à La mesure de la circonférence de la Terre par Eratosthène
La mesure de la circonférence de la Terre par Eratosthène | Beyond the cave wall | Scoop.it dit :	3 octobre 2011 à 08:05	[...] La mesure de la circonférence de la Terre par Eratosthène [...]
Réponse	Prométhée SAS (@prometheesas) dit :	3 octobre 2011 à 11:52	Je pense que l’on peut rajouter une hypothèse à ta liste, qui est évoquée implicitement dans l’article : la distance est basée sur une distance journalière parcourue par le chameau à la fois constante et bien connue (100 stades). Mais la température, la fatigue du chameau, la qualité de la route peuvent être autant de facteurs rendant cette distance journalière variable, et j’imagine que les 100 stades et les 50 jours sont plus un ordre de grandeur qu’une estimation précise. On devrait donc s’attendre à une marge d’erreur sur la distance assez forte, typiquement 20%. La bonne précision évoquée relève donc à mon sens du coup de bol. A moins que la méthode de mesure de la distance soit différente (la mesure de la longitude n’a été résolue complètement qu’au XVIIIe siècle par les Britanniques).
Réponse	ScienceEtonnante dit :	3 octobre 2011 à 13:53	Tu as parfaitement raison, c’est cet effet que je mentionne à la fin en disant que les erreurs de distance et de longitude se compensent. D’après la fonction de mesure de distance à vol d’oiseau de Google Maps, la distance entre Alexandrie et Assouan est de 842 kilomètres, soit 5346 stades. Le coup de bol d’Eratosthène, c’est que les deux villes ne sont pas sur le même méridien, mais que cette sous-estimation de la distance lui a permis de retomber quand même sur la bonne valeur.
Ca n’enlève rien à l’exploit, même s’il s’était trompé de 10000 kilomètres sur les 40000 km, j’aurai considéré ça comme une mesure vachement précise pour l’époque ! (encore qu’apparemment Aristote avait proposé 400 000 stades, mais je ne sais pas sur la base de quoi…)
Réponse	Frédéric Mazoit dit :	3 octobre 2011 à 16:35	Je ne suis pas convaincu par la preuve.
Il se pourrait très bien que la terre soit plate et que le soleil pas si loin que ça de la terre.
À la louche, l’angle mesuré est environ de alpha=2pi/50=.125.
Notons d la distance Alexandrie-Syène et D la distance terre-soleil.
Dans mon hypothèse, on a tan(alpha)=d/D D’où, avec l’approx « quivabien » alpha=tan(alpha), D=d/alpha=40000 stades=6300km.
Cette distance me paraît largement assez grande pour être crédible.
L’explication que j’ai lue quelque part est qu’Eratosthène s’était dit que si la lune et le soleil était rond, il n’y avait pas de raison de penser que la terre était plate. De plus, on peut supposer que c’est l’ombre portée de la terre sur la lune qui cause les phases de la lune et l’observation de ces phases est beaucoup plus compatible avec une terre ronde qu’une terre plate.
Réponse	ScienceEtonnante dit :	3 octobre 2011 à 17:25	Tu as bien raison de ne pas être convaincu par la "preuve", puisque ça n’en est pas une ! Eratosthène ne démontre pas que la Terre est ronde ! Comme je l’ai écrit, il suppose que la Terre est ronde et le Soleil infiniment loin, et sous ces hypothèses se propose d’estimer sa circonférence. Et tu as parfaitement raison, une hypothèse alternative est que la Terre est plate et le Soleil "pas si loin que ça". On doit même pouvoir forger pour le fun tout un tas d’hypothèses intermédiaires avec une Terre de courbure non-constante :-)
Réponse	RuBisCO dit :	4 octobre 2011 à 10:42	Dans ces écrits, il justifie que la Terre est ronde par le phénomène de disparition des bateau : en effet, quand les bateaux s’éloignent vers l’horizon, on les voit "disparaître", alors que ce ne serait pas possible avec un disque plat.
Mais je dois avouer que c’est extraordinaire cette méthode pour l’époque, vue par les lycées en seconde (un petit calcul de tangente et hop, le tour est joué)
Pierre dit :	21 juin 2013 à 23:22	Un premier petit commentaire : l’ombre des phases de la Lune est celle de la Lune elle même, donc la Lune n’est pas un disque mais une sphère. En revanche, lors d’une éclipse de lune, il s’agit cette fois de l’ombre de la terre projetée sur la lune, ombre ronde … La Terre peut être ronde elle aussi.
Un second commentaire : nul besoin d’être sur le même méridien, il suffit de mesurer l’ombre la plus petite, celle du midi local, puis de connaitre la distance séparant les deux parallèles : seulement la partie Nord-Sud.
Réponse	lea dit :	19 avril 2012 à 11:00	bonjour est ce que vous pouvez m’aidez car je dois trouvez la circonférence de la terre en km qui fait 39375 km mais ses pour un devoir maison mais je ne sais pas comment l’expliquer aidez-moi svp
Réponse	Anonyme dit :	21 juin 2012 à 05:40	[...] [...]
Réponse	Michel R. Magistris dit :	24 juin 2012 à 17:06	J’ai reçu d’un excellent ami épris de physique un livre épatant qui raconte la mesure de la grandeur de la terre par Eratosthène. Je viens de terminer la lecture de ce roman attachant de Denis Guedj « Les cheveux de Bérénice » Editions du Seuil. Je vous en recommande la lecture.
Michel R.M.
Réponse	Grimper à l’échelle des distances cosmiques | Science étonnante dit :	6 mai 2013 à 00:02	[...] le diamètre de la Terre. Oh mais ça c’est facile, je vous l’ai expliqué dans ce billet : Erathostène l’avait mesuré à partir d’un simple bâton et de quelques chameaux [...]
Réponse	TPE | Pearltrees dit :	1 octobre 2013 à 17:07	[…] La mesure de la circonférence de la Terre par Eratosthène […]
Réponse	teke dit :	13 novembre 2013 à 12:36	ma parole ken sa rem la societe wesh
Réponse	La mesure de la circonférence de la Terre par Eratosthène | maadi gazette dit :	2 mars 2014 à 12:42	[…] Source : Science étonnante […]
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