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Transport optimal 12 mars 2010
Piste verte
Euclide
Fabio Acerbi
Chargé de recherche CNRS à l'Université de Lille 3 (page web)
L’article fait le point sur ce que nous savons aujourd’hui sur le personnage et les ouvrages d’Euclide. Il indique quelques pistes qui font aujourd’hui l’objet de recherches.
Les ouvrages d’Euclide
Euclide est pour nous le nom de la personne à laquelle sont attribués des ouvrages mathématiques écrits en grec ancien, lesquels nous ont été transmis par des manuscrits qui ne remontent pas plus haut que le IXe siècle. Cette affirmation, quoique passablement contournée, peut paraître une lapalissade, mais les réserves qu’elle formule de façon implicite n’ont jamais été monnaie courante parmi les historiens des mathématiques. Nous allons d’abord examiner les ouvrages géométriques qu’on attribue à Euclide, pour nous tourner ensuite sur les réserves qu’on entend aujourd’hui formulées au sujet du personnage lui-même. Dans un troisième temps, on introduira quelques pistes récentes de recherche sur les ouvrages attribués à Euclide.
Euclide était, dès l’antiquité, désigné comme « l’homme des Éléments », selon le titre de son traité le plus connu. Ce qui est moins bien connu, c’est que les Éléments ne contiennent pas seulement de la géométrie. Ses 465 propositions sont en effet structurées en treize livres.
Une première partie (livres I-IV) expose bien les fondements de la géométrie plane et certaines de ses applications. Toutefois, elle est suivie par une théorie abstraite des proportions (manipulation de rapports : livre V) et par des applications géométriques de cette dernière (critères de similitude des triangles, théorie des figures semblables : livre VI). Vient ensuite l’exposé le plus articulé de théorie des nombres de tout le corpus mathématique grec (théorie des rapports numériques, des nombres premiers, des suites géométriques : livres VII-IX). Cet exposé est suivi par une classification aux allures monstrueuses des lignes irrationnelles (il s’agit en l’occurrence des quantités que l’on peut représenter, dans un langage algébrique et de façon très approximative, par des sommes ou des différences de deux ou plusieurs radicaux : livre X – en tout 115 propositions !).
Les trois livres suivants proposent, successivement, un compendium de géométrie dans l’espace (livre XI), la détermination des rapports entre certaines figures solides (un cylindre est le triple qu’un cône de même base et de hauteur égale, etc. : livre XII), , la construction des cinq polyèdres réguliers et la comparaison de leurs arêtes (livre XIII).
L’un des plus anciens diagrammes complets des Eléments, trouvé sur un papyrus daté d’entre 75 et 125 de notre ère (la proposition est II.5). Collection des papyri d’Oxyrhynchus
Euclide a écrit d’autres traités que les Éléments. Au premier rang, par importance, de cette production qu’