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Piste bleue
Les mathématiques de la démocratie, III
La quête du Graal électoral
À la recherche de la méthode électorale optimale
Rémi Peyre
Maitre de conférences à l'École des Mines de Nancy (page web)
Au cours de deux articles précédents (ici et là), j’ai présenté les questions mathématiques que soulève la problématique de la démocratie, en particulier de savoir s’il est possible de trouver une méthode électorale qui donne une image fidèle de la préférence collective à partir des préférences individuelles, et ce même quand les électeurs sont prêts à élaborer des stratégies de vote mensongères pour faire triompher chacun son chouchou personnel. Nous avons démontré dans le premier article qu’il ne peut exister aucune méthode qui soit idéale à tous points de vue, puis dans le deuxième article nous avons essayé de proposer malgré tout un critère pour distinguer des méthodes meilleures que d’autres.
Toutefois, nous n’avons toujours pas vraiment répondu à la question fondamentale : quelle est la méthode électorale qui, à défaut d’être parfaite, est la meilleure de toutes — du moins selon tel ou tel critère — ? C’est à cette question que ce texte se propose de répondre, en clôture de notre série d’articles.
Nous allons présenter trois méthodes électorales particulières inventées par les mathématiciens au cours des dernières décennies, chacune d’elles ayant été conçue pour être optimale selon une certaine approche. Après un paragraphe d’introduction ré-expliquant la problématique générale de cette série sur les mathématiques de la démocratie, trois parties indépendantes seront consacrées respectivement aux différentes méthodes qui sont l’objet de cet article : le vote par assentiment, le jugement majoritaire, et le très surprenant scrutin bipartiludique.
IntroductionProblématique : « La volonté du peuple », quésaco ?
(Ce paragraphe revient succinctement sur certaines questions traitées dans le premier article de la série, auquel le lecteur curieux pourra se référer pour plus de détails).
Des « moi » au « nous »
Allégorie de la volonté du peuple.
Nous présentons ici la problématique dans laquelle s’inscrit cet article. Le principe fondamental de la démocratie est que l’État doit suivre la volonté du peuple. Mais les différents individus qui composent ce peuple, évidemment, ne sont en général pas d’accord entre eux... Pour connaitre la volonté populaire, on doit donc consulter les citoyens par le biais d’un scrutin électoral, dans lequel chacun indique ses préférences entre les différentes options parmi lesquelles il s’agit de choisir (par exemple la validation ou non d’une loi, le choix d’un président, la peine infligée à un accusé, ...). Mais même ainsi, ce que signifie au juste l’expression « volonté du peuple » n’est pas clair : quelle est la bonne façon d’agréger les préférences individuelles de chaque électeur pour en faire émerger une préférence collective ? On entend fréquemment que « c’est la majorité qui doit l’emporter », mais cette règle de la majorité présente trois écueils :
Déjà, il n’est pas si clair que cette règle soit vraiment équitable : quand 51 % des citoyens sont “plutôt pour” une loi et que 49 % sont “carrément contre”, la volonté du peuple est-elle vraiment en faveur de la loi ? (voir aussi ici). D’autre part, ce principe ne peut bien fonctionner que dans le cas d’un référendum, car dès qu’il y a au moins trois options en lice, il est évidemment possible qu’aucune des trois ne recueille la préférence de 50 % des électeurs... Pire encore, ce principe aboutit parfois à des décisions contradictoires : il se peut ainsi qu’une option X soit majoritairement préférée à une autre option Y, elle-même majoritairement préférée à une troisième option Z, et que pourtant Z soit majoritairement préférée à X ! (C’est ce qu’on appelle le « paradoxe de Condorcet » ; voir aussi ici).
À vrai dire, de solides arguments philosophiques et mathématiques suggèrent que la meilleure définition de la volonté du peuple serait sans doute de choisir l’option qui maximise le “bonheur total” apporté à la population. Cela correspondrait à une méthode électorale où chaque électeur attribue aux différentes options des “notes” évaluant la “quantité de bonheur” respective que ces options apporteraient pour lui, et où est déclarée vainqueuse l’option qui obtient le meilleur total (voir aussi ici). Nous appellerons cette méthode électorale scrutin utilitariste [1].
Le gros écueil du scrutin utilitariste est cependant qu’il y est facile aux électeurs de “tricher” en déclarant des notes qui ne correspondent pas à leur opinion véritable afin d’amplifier l’impact de leur suffrage personnel. Imaginons ainsi une situation très simple où deux électeurs A et B doivent chacun donner une note entre 0 et 20 à deux options X et Y. L’électrice A, qui aime bien X mais pas du tout Y, donne une note de 15 à X et de 2 à Y. L’électeur B, pour sa part, préfère Y à X mais tolèrerait quand même cette dernière option : s’il mettait ses notes sincèrement, il donnerait ainsi 11 à X et 17 à Y. « Toutefois, se dit B (qui connait les préférences de A), du coup c’est X qui sera élu par 26 à 19... J’ai plutôt intérêt à tricher en exagérant mes préférences : si je donne 0 à X et 20 à Y, le score total deviendra de 15 à 22, et c’est mon choix Y qui gagnera ! ». C’est ce qu’on appelle le problème de la manipulabilité (voir aussi ici), et c’est un sérieux problème, car il n’y a guère de doute que bon nombre d’électeurs n’hésiteront pas à dévoyer le système en leur faveur s’ils le peuvent !
Une faille dans le système...
Allégorie de la manipulation d’une méthode électorale.
But de cet article
Une bonne méthode électorale doit donc non seulement donner une image fidèle de la préférence collective, mais aussi être faite de sorte qu’elle soit difficile à manipuler. Il a été montré dans le premier article qu’il est mathématiquement impossible de trouver une méthode qui soit parfaite de ces deux points de vue à la fois (voir ici). Toutefois, existe-t-il un compromis optimal, une méthode qui serait la seule à présenter une certaine liste de propriétés souhaitables ?
De nombreux exemples de méthodes électorales ont déjà été présentés dans les deux articles précédents ; et certaines d’entre elles semblent particulièrement judicieuses, comme la méthode Schulze (voir ici). Notre but ici ne sera pas de critiquer ces méthodes, mais simplement d’en présenter de nouvelles, auxquelles on n’aurait pas forcément songé à première vue mais qui pourtant jouissent de solides atouts mathématiques. Nous diviserons cet article en trois parties indépendantes, chacune étant consacrée à une telle méthode : respectivement le vote par assentiment, le jugement majoritaire et le « scrutin bipartiludique ». Notez que ces méthodes sont toutes les trois d’invention (ou du moins de mise en exergue) récente, puisqu’ aucune n’a plus de quarante ans !
Le vote par assentimentPréambule : Manipulation du scrutin utilitariste
Nous avons dit dans l’introduction que, si tous les électeurs étaient parfaitement honnêtes, la méthode électorale idéale serait le scrutin utilitariste, dans lequel chaque électeur donne une note aux différentes options (par exemple entre 0 et 20) et où l’option vainqueuse est alors celle qui obtient le meilleur total. Mais nous avons aussi dit qu’il serait facile à un électeur malhonnête de manipuler un tel scrutin en amplifiant ses préférences véritables... L’idée que nous allons suivre dans cette partie est de regarder, justement, ce qui se passerait avec le scrutin utilitariste si tout le monde votait stratégiquement !
J’affirme que pour maximiser l’impact de son vote dans un tel scrutin, un électeur manipulateur a intérêt à écarter ses notes à l’extrême en ne donnant que des notes de 0 et de 20 aux différentes options. C’est évident quand il n’y a que deux options en lice ; et s’il y a plus de deux options, on peut en fait toujours se ramener plus ou moins au cas binaire : car si le nombre d’électeurs est très grand, la voix d’un électeur individuel ne peut en général rien changer au résultat de l’élection ; à la rigueur, si les deux options arrivées en tête se tiennent dans un mouchoir de poche, la voix d’un électeur peut faire basculer le résultat de l’une à l’autre — auquel cas on est ramené au cas de deux options — ; mais pour avoir réellement trois options ou plus à prendre en compte, il faudrait carrément que ce soient les trois options arrivées en tête qui se tiennent dans un mouchoir de poche, ce qui devient tellement improbable qu’on peut considérer que cela n’arrive jamais ! L’argument donné ci-dessus n’est pas tout à fait rigoureux, mais on peut tout de même démontrer le théorème suivant :
Si tous les électeurs ont déjà voté et qu’il ne reste plus qu’au dernier électeur à mettre ses notes, alors le meilleur résultat (à ses yeux) que cet électeur puisse espérer peut toujours être obtenu en ne donnant que des notes de 0 et de 20.
Démonstration
Je ne démontrerai pas ce théorème ici, car sa preuve est la même que celle du théorème de robustesse au mensonge du vote par assentiment que nous verrons un peu plus loin : il faudrait montrer que lorsque les notes sont libres entre 0 et 20, la stratégie optimale du dernier électeur consiste à donner la note de 20 à l’option qu’il préfère parmi celles qui ont encore une possibilité de gagner, à donner également 20 à toutes les options qu’il aime encore mieux, et à donner 0 à toutes les autres options.
Le système de vote par assentiment
L’idée derrière la méthode du vote par assentiment est maintenant simplissime : pour éviter le développement de stratégies mensongères chez les électeurs, n’autorisons à tout le monde que les notes de 0 et de 20, ce qui coupera l’herbe sous le pied des manipulateurs ! Comme il n’y a alors plus que deux notes, il est plus logique de les renommer en « contre » et « pour », ce qui donne la méthode électorale suivante :
Définition (Vote par assentiment)
Dans la méthode du vote par assentiment, chaque électeur vo