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Voici quelques calculs d'amusement que vous pouvez faire avec Pari qui illustrent la puissance et le mystère des courbes elliptiques. Sans expliquer réellement ce qui continue, les espoirs de Darmon ces exemples exciteront quelques lecteurs pour apprendre plus.
Exercice 1
Calculer sur Pari que l'exponentiel de pi chronomètre la racine carrée de 163 en dactylographiant la commande :
exp (Pi*sqrt (163))
du message de sollicitation de commande de Pari. Qu'observez-vous ?
Augmenter l'exactitude à 50 chiffres par défaut de dactylographie (realprecision, 50) et répéter le calcul. L'explication pourquoi ce nombre, alors que pas un nombre entier, est extrêmement de près d'un, se situe dans la théorie de multiplication complexe…
a) Considérer la courbe elliptique y2 = x3 - x, et donné un nombre principal p, laisser N (p) soit le nombre de paires de nombres entiers (x, y) avec x et y entre 0 et p-1, tel que p divise y2 - (x3-x). Calculer les valeurs premières de N (p), pour p =3,5,7,11, 13.17.19, 23, 29. Qu'a-t-vous modelé, le cas échéant, observez-vous ?
b) Un théorème classique de gauss affirme qu'une perfection impaire p peut être écrite comme somme de deux places avec précision quand 4 divise p-1. Vérifier ceci sur les valeurs premières de p (=5, 13, 17, 29) en écrivant p comme a2+b2 dans chaque cas, avec un impair et un b même.
c) Quel rapport observez-vous entre a et N (p) ?
Cet exercice donnera au lecteur un sentiment pour un des aspects de la modularité, qui affirme que le N (p) peut être décrit en termes d'intéresser des données arithmétiques.
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