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Le traité des courbes de Gabriel Cramer, intitulé Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, est paru à Genève, en juillet 1750, sous les presses des frères Cramer &#38; Claude Philibert ((Les frères Philibert et Gabriel Cramer, imprimeurs-libraires genevois,  sont des cousins de notre auteur ; ce dernier est également connu pour avoir été l'imprimeur de Voltaire.)), après une longue gestation de près de 10 ans. Son titre contient presque tout ce qu'il y a à savoir de lui : c'est un traité de près de 700 pages (et 33 belles planches de figures) qui vise à donner une classification des courbes algébriques des cinq premiers ordres, au moyen de méthodes purement algébriques (comprendre : sans le secours du calcul différentiel), et propose une étude systématique des courbes algébriques (asymptotes et branches infinies, tangentes, extrema, courbure, etc.) en restant accessibles aux débutants (aux "commençans", comme on disait alors). Dans ce billet, je présente succinctement l'ouvrage en tâchant de le situer parmi les textes traitant du sujet des courbes algébriques du XVIIe au XVIIIe siècles.Dès la première phrase de sa préface, Cramer motive l'écriture de son traité en soulignant l'importance de l'étude des courbes pour les autres sciences :La Théorie des Lignes courbes fait une partie considérable des Mathématiques : Elle commence où finissent les Elémens, au delà desquels on ne va point sans elle. On ne sauroit s'en passer dans les Sciences dont la perfection dépend de la Géométrie, telles que la Méchanique, l'Astronomie, la Physique. Les systèmes modernes supposent nécessairement cette connoissance.Cette approche utilitariste de l'étude des courbes algébriques se manifeste également dans le passage suivant, dans lequel il justifie l'intérêt de son travail de classification : il s'agit ici de...distribuer les Courbes en Ordres, Classes, Genres et Espèces : ce qui, comme dans un Arsenal où les armes sont bien rangées, met en état de choisir, sans hésiter, celles qui peuvent servir dans la Résolution d’un Problème proposé.Nous sommes donc ici dans le domaine de ce que l'on appellera plus tard la géométrie analytique, appliquée à l'étude des courbes algébriques (i.e. définies par une équation algébrique). Une de mes premières questions a té la suivante : pourquoi ne pas utiliser les méthodes différentielles, pourtant déjà éprouvées pour l'étude des tangentes, des extrema, etc. comme nous le faisons assez naturellement aujourd'hui ((En fait l'opposition méthodologique la plus prégnante en géométrie, à l'époque, se situe dans l'alternative offerte par une approche analytique d'une part, synthétique d'autre part.)) ? Un élément de réponse est apporté par d'Alembert dans l'article COURBE de l'Encyclopédie :Revenons aux courbes algébriques et géométriques, qui sont celles dont il sera principalement mention dans cet article, parce que le caractère de leurs équations qui consiste à être exprimées en termes finis, nous met à portée d’établir sur ces courbes des propositions générales, qui n’ont pas lieu dans les courbes mechaniques. C’est principalement la Géométrie des courbes mechaniques, qu’on appelle Géométrie Transcendante, parce qu’elle emploie nécessairement le calcul infinitésimal ; au lieu que la Géométrie des courbes algébriques n’emploie point, du moins nécessairement, ce calcul pour la découverte des propriétés de ces courbes, si on en excepte leurs rectifications &#38; leurs quadratures ; car on peut déterminer, par exemple, leurs tangentes, leurs asymptotes, leurs branches &#38;c &#38; toutes les autres propriétés de cette espèce, par le secours du seul calcul algébrique ordinaire.Vous pouvez trouver une reproduction numérisée du traité sur Google Books :mais je préfère vous conseiller la version disponible sur e-rara (http://www.e-rara.ch/zut/content/titleinfo/1233318) qui est de bien meilleure qualité (notamment sur les planches : les numérisations mécaniques de Google ne s'embarrassant guère de déplier les pages de planches). Toutes les images des pages du livre contenues dans ce billet en sont issues.[caption id="attachment_69" align="aligncenter" width="650"] La page de titre du traité[/caption]Le sujet choisi par l'auteur en 1740 est "en vogue" depuis quelques décennies. Suite aux travaux de Descartes ((La Géométrie de Descartes, un des trois essais de son Discours de la méthode, est parue en 1637.)), l'étude des courbes ne se limite plus aux seules coniques et courbes mécaniques (cissoïdes, spirales...) des Anciens : l'algèbre permet d'associer une équation à chaque courbe (et vice versa), et l'étude de cette équation permet d'obtenir de nombreuses informations sur la courbe associée. Dès la seconde partie du XVIIe siècle, de nombreux géomètres s'attachent à comprendre les courbes algébriques ((Descartes les nommait "géométriques".)) par l'étude de leurs équations, et à tenter de mettre de l'ordre dans la formidable diversité offerte par les courbes d'ordres supérieurs, notamment celles du troisième ordre, appelées "cubiques" ou "hypersolides" ((Jacques Bernoulli, en 1704, dans un manuscrit non publié, propose une classification des courbes d'ordre trois dans un texte intitulé Typus locorum hypersolidorum.)).Au tout début du XVIIIe siècle paraît un texte important (bien qu'écrit plus de 30 ans auparavant) : il s'agit de l'Enumeratio Lineæ Tertii Ordinis d'Isaac Newton, publié en 1704 comme annexe à son Optique. Dans ce court opuscule d'une trentaine de pages, Newton donne une classification complète des courbes algébriques du troisième ordre. Hélas le texte de Newton est assez déclaratif, et il ne donne aucun aperçu des méthodes utilisées. Plusieurs auteurs vont tenter d'expliciter les méthodes mises en œuvre par Newton et poursuivre son travail d'étude et de classification : on peut citer notamment le Lineae tertii ordinis Neutonianae de James Stirling en 1717 ou encore les Usages de l'analyse de Descartes de l'abbé de Gua de Malves en 1740. Le traité de Cramer se situe dans cette lignée, comme il le dit lui-même dans sa préface. Voici comment il évoque le texte fondateur de Newton :C’est à l’Illustre M. Newton que la Géométrie est sur-tout redevable de cette distribution. Son Enumeration des Lignes du troisième Ordre est un excellent modèle de ce qu’il faut faire en ce genre, &#38; une preuve convaincante que ce grand Homme avoit pénétré jusqu’au fonds de ce que la Théorie des Courbes a de plus délié &#38; de plus intéressant.Mais il se montre un peu plus sévère quelques lignes plus loin :Il est fâcheux que M. Newton se soit contenté d’étaler ses découvertes sans y joindre les Démonstrations, &#38; qu’il ait préféré le plaisir de se faire admirer à celui d’instruire. Ce n’est pas que dans une Lecture attentive de son Traité on ne puisse apercevoir quelques traces de sa Méthode : on découvre que ses principaux guides dans ses Recherches ont été la Doctrine des Séries infinies, qui lui doit presque tout, &#38; l’usage du Parallélogramme analytique , dont il est l’Inventeur : on peut même entrevoir qu’en quelques endroits il n’a pas suivi ces guides avec l’exactitude qu’on admire dans ses autres ouvrages.Nous reviendrons plus en détail dans un autre billet sur la méthode des séries et le parallélogramme analytique, qui constituent le fondement méthodologique de l'ouvrage de Cramer : pour l'instant, il est seulement besoin de savoir que Cramer utilise régulièrement un dispositif dérivé du parallélogramme de Newton, et emprunté à de Gua de Malves, qu'il appelle "triangle analytique"  pour obtenir des développements en séries pour étudier les branches infinies ou l'allure d'une courbe au voisinage de l'origine.[caption id="attachment_67" align="aligncenter" width="500"] Le "triangle analytique" de Gabriel Cramer, page 56 de son traité[/caption]Le plan de l'ouvrage est le suivant ; on voit qu'il se livre à une étude complète des courbes algébriques, incluant les points singuliers, les extrema, les tangentes, la courbure : Chapitre I : De la Nature des Lignes Courbes en général, &#38; de leurs Équations. Chapitre II : Des transformations que subit l’Équation d’une Courbe, quand on la raporte à d’autres coordonnées. Chapitre III : Des différens Ordres des Lignes algébriques. Chapitre IV : Quelques Remarques su la construction géométrique des Égalités. Chapitre V : Valeur du Produit de toutes les Ordonnées d’une même Abscisse. Chapitre VI : Des Diamètres, Contre-Diamètres, &#38; Centres des Lignes Courbes. Chapitre VII : Détermination des plus grands termes d’une Équation. Principes de la Méthodes des Séries, ou Suites infinies. Chapitre VIII : Des Branches infinies des Courbes. Chapitre IX : Divisions générales des Lignes des cinq premiers Ordres. Chapitre X : Des Points singuliers ; Points multiples, Points d’Inflexion &#38; de Serpentement. Chapitre XI : De la Méthode des Tangentes. Des Points d’Inflexion, &#38;c. Des plus grandes &#38; des plus petites abscisses &#38; ordonées, &#38;c. Chapitre XII : De la Courbure des Lignes Courbes en leurs différens Points. Chapitre XIII : Des différentes espèces de Points multiples dont peuvent être susceptibles les Courbes des six premiers Ordres. Appendices I et II : De l’évanouissement des inconnues. Appendice III : Démonstration de la Règle de Mr. Hudde.L'appendice I est particulièrement connu : il contient la fameuse "règle de Cramer" pour la résolution des systèmes linéaires d'équations (qu'il utilise dans l'ouvrage pour déterminer les coefficients d'une conique passant par cinq points donnés) utilisant ce que l'on appellera "déterminants" :[caption id="attachment_68" align="aligncenter" width="601"] L'appendice des "déterminants", page 657[/caption]Ces appendices très "algébriques" devaient trouver des développements dans un futur traité d'algèbre, annoncé par l'auteur à la toute fin de sa préface, qu'il n'a hélas pas eu le temps d'écrire ((Cramer est mort le 4 janvier 1752, à peine dix-huit mois après la parution de l'Introduction)).Cramer a, dans son ouvrage, un souci pédagogique très marqué ((Rappelons que l'essentiel de sa carrière a été occupé par ses fonctions d'enseignants à l'Académie de Genève.)) : il souhaite se faire comprendre de tous ses lecteurs, et ne veut rien laisser dans l'ombre. L'ouvrage fourmille d'explications, d'exemples et d'applications, de difficultés graduées, qui témoignent de son souci de pédagogie. Il écrit, toujours dans la préface :Tel est le Plan que je me suis proposé dans cet Essai. C’est à mes Lecteurs à juger si je l’ai rempli. J’ai tant de graces à leur demander, que je ne leur ferai point d’excuses, ni sur le style, où je n’ai cherché que la clarté ; ni sur certains détails, que j’ai crû nécessaires aux jeunes Géomètres en faveur desquels j’écris ; ni sur la longueur de cet Ouvrage, dont je suis moi-même surpris. Elle vient principalement du nombre d’Exemples que j’aporte pour illustrer les Règles que je donne. Je sens fort bien que les Savans en voudroient moins, mais en échange les Commençans en désireroient peut-être davantage. Je puis dire aux uns, que je ne crois pas avoir placé un seul Exemple sans quelque raison particulière ; &#38; j’ose assurer les autres que je ne pense pas qu’ils trouvent dans les Règles aucune difficulté qui ne soit éclaircie par quelque Exemple.Je trouve les planches de courbes particulièrement soignées et agréables à regarder :[caption id="attachment_70" align="aligncenter" width="557"] Planche XV de l'Introduction[/caption]Il faut remarquer que l'Introductio de Cramer est donné au public deux ans à peine après l'Introduction à l'analyse des infiniment petits (Introductio in analysin infinitorum) de Leonhard Euler, paru en 1748, dont le second volume a le même objet. D'ailleurs, dans sa préface, Cramer concède :J'aurois tiré une grande utilité de l'Introduction à l'Analyse des infiniment petits  de Mr. Euler si ce Livre m'avoit été plûtôt connu ((Ce qui est une affirmation étonnante, car on sait aujourd'hui que Cramer a eu le manuscrit d'Euler en main dès 1744.)). son objet étant presque le même que le mien, il n'est pas surprenant que nous nous soions souvent rencontré dans les Conclusions. Mais la différence des Méthodes est aussi grande qu'elle peut l'être quand on travaille sur un même sujet [...]Les deux traités sont donc "cousins", mais l'Introductio d'Euler (surtout le 1er volume) connaîtra une bien meilleure fortune au cours des années et décennies suivantes, devenant un ouvrage fondateur de l'analyse mathématique.Voici pour cette courte présentation de l'Introduction de Cramer. Pour finir, je vous joins le tiré à part d'un de mes premiers textes (qui pêche sans doute par jeunesse, mais il a bien fallu commencer un jour !)  publié dans les actes du colloque Inter-IREM Histoire &#38; Épistémologie de Limoges (2012), parus aux Presses universitaires de Limoges sous le titre Les ouvrages de mathématiques dans l'histoire : entre recherche, enseignement et culture (voir ici), article intitulé L’Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques de Gabriel Cramer : Newton pour les débutants ?L’Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques de Gabriel Cramer : Newton pour les débutants ?NB : Une première version de ce billet a été publiée sur mon autre blog (mathonautes) en juillet 2015. La photo située en en-tête est une photographie personnelle de l'auteur de l'exemplaire conservé à la bibliothèque de Rennes Métropole.Livres cités et références bibliographiques : Boyer, Carl B. 2004. History of analytic geometry. Dover Publications (chapitres VII et VII, notamment p. 194--196 sur le traité de Cramer). Newton, Isaac. 1704. « Enumeratio Linearum Tertii Ordinis ». In Opticks: Or, A Treatise of the Reflexions, Refractions, Inflexions and Colours of Light. Also Two Treatises of the Species and Magnitude of Curvilinear Figures. London: Sam. Smith, and Benj. Walford, Printers to the Royal Society. http://archive.org/details/opticksortreatisnewt. Stirling, James. 1717. Lineae tertii ordinis Neutonianae, sive, Illustratio tractatus D. Neutoni De enumeratione linearum tertii ordinis: cui subjungitur, solutio trium problematum. Oxford: Edvardi Whistler. https://archive.org/details/lineaetertiiord00newtgoog  De Gua de Malves, Jean-Paul. 1740. Usage de l’analyse de Descartes pour découvrir sans le secours du calcul différentiel les propriétés ou affections principales des lignes géométriques de tous les ordres. Paris: Jombert. https://archive.org/details/usagesdelanalys00malvgoog Euler, Leonhard. 1748. Introductio In Analysin Infinitorum. Vol. 2. Lausanne: Marc-Michel Bousquet &#38; associés. Euler, Leonhard. 1835. Introduction a l’analyse infinitésimale. Vol. 2. Traduit par Jean-Baptiste Labey. Bachelier. https://archive.org/details/introductionla02eule