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Mon projet d'écriture d'une "biographie" du traité d'analyse des courbes algébriques de Gabriel Cramer trouve sa source dans les questionnements qui ont été les miens lors de l'étude du texte : sachant que presque dix ans se sont écoulés entre les premières pages manuscrites et la mise sous presse, je me suis notamment très vite intéressé aux conditions matérielles de son élaboration, aux dynamiques temporelles de sa rédaction, ainsi qu'aux motivations de l'auteur pour l'écriture et la publication de son ouvrage. Pour étudier et comprendre la genèse de l'ouvrage, j'ai mobilisé plusieurs sources : dans ce billet, je vais présenter de quelle manière le dépouillement systématique de la correspondance conservée de Gabriel Cramer m'a permis de dégager quelques temps forts qui jalonnent cette décennie 1740-1750 et d'établir, grâce au renfort de l'enquête biographique précédemment menée, une chronologie de l'écriture du traité.Premières intentions (1740-1741)Difficile de dire exactement quand et pourquoi le projet d'écriture d'un traité sur l'analyse des courbes algébriques est né dans l'esprit du Genevois. On trouve la toute première évocation d'un projet similaire dans une lettre ((Lettre de Calandrini à Cramer, 8 janvier 1728, BGE Ms Fr 2855 f 8-9. Citée dans J. B. G. Galiffe, 1877. D’un siecle à l’autre: correspondances inédites entre gens connus et inconnus du XXVIIIe et du XIXe siècle. J. Sandoz.)) de Jean-Louis Calandrini, datée de janvier 1728, qui répond à une lettre hélas perdue de Cramer, dans laquelle ce dernier annonçait manifestement se lancer dans l’écriture d’un ouvrage sur les courbes :Je me réjouis fort de voir votre traité, et il ne fâche pas qu’il devienne grand. Dites-moi, ces courbes serpentées, sont-elles le genre des développées, des cycloïdes, ou le genre commun des deux ? A quels cas pratiques s’appliquent-elles ? Un mot là-dessus ; j’attendrai votre livre pour en savoir davantage.Cramer est alors à Cambridge, en Angleterre, une des étapes de son "Grand Tour" de formation, et suit les enseignements de Nicholas Saunderson, titulaire de la chaire lucasienne de mathématiques, dont les cours de mathématiques portent principalement sur l'algèbre et la méthode des fluxions, mais probablement aussi sur d'autres aspects de l'héritage newtonien, comme la géométrie des courbes algébriques et la méthode des séries. Nous n'en saurons hélas pas davantage, et aucune autre allusion à ce projet précoce - et sans doute très vite avorté - n'a pu être retrouvée par ailleurs.La première mention au traité des courbes apparaît dans une lettre ((Lettre de Cramer à Jallabert, Mont-sur-Rolle, 6 novembre 1740, BGE Ms 242 f 50-51.)) à son ancien étudiant et collègue professeur à l'Académie de Genève Jean Jallabert, datée de novembre 1740. Gabriel Cramer passe alors la saison des vendanges, période de vacances académiques, dans sa maison à la campagne à Mont-sur-Rolle, à quelque quarante kilomètres au nord-est de Genève. Il y est arrivé au début du mois d'octobre, et écrit le 6 novembre, quelques jours à peine avant son retour :Je m’etois un peu amusé, quelques matins, à commencer un petit traitté de l’Analyse des Courbes. Il nous manque un ouvrage de ce genre qui soit elementaire. J’aurois voulu d’abord expliquer les différentes sortes de courbes, la manière d’exprimer leur Nature par une Equation, les degrés analytiques des Courbes, les propriétés de celles du 2nd ordre qui sont les Sections Coniques démontrées analytiquem[en]t &#38; quelques exemples des plus connuës des Courbes des Ordres supérieurs. Mais je n’ai gueres avancé, le travail devient long, quand on n’a point le secours des livres, &#38; je n’ai ici que des livres de bagatelles, desquels je m’occupe plus que rien autre.Le manuscrit que Cramer ramène à Genève en novembre 1740 est très probablement d'une envergure assez modeste : "quelques matins" d'écriture, loin des ressources offertes par son cabinet de travail et la Bibliothèque publique de l'Académie, ne lui ont pas permis de produire un texte très riche. La structure ici annoncée de son manuscrit confirme les limites de ce projet originel, et les motivations affichées semblent être essentiellement liées à un souci pédagogique du professeur (si l'on considère que le "nous" dans la phrase "Il nous manque un ouvrage de ce genre qui soit élémentaire" ne désigne que lui-même, Jallabert et, dans une certaine mesure, le corps des professeurs de l'Académie). Une seconde mention apparaît dans une lettre adressée à Nicolas Bernoulli au cours de l'été 1741. Alors que les deux hommes travaillent de concert depuis un an à l'édition des Opera de Jacques Bernoulli, qui paraîtront en janvier 1744, le Bâlois soumet à Cramer un manuscrit de son oncle concernant un essai sur les lignes du troisième ordre ((Il s'agit du Typus locorum hypersolidorum que l'on trouve dans les Varia Posthuma de Jacques Bernoulli. Voir http://www.e-manuscripta.ch/bau/content/pageview/1450353.)). Le Genevois lui répond dans une lettre datée du 15 août 1741 :J’ai cru pourtant qu’on pouvoit reduire avec un peu plus de facilité, l’equation generale aux 4 Classes de Mr. Newton, &#38; je l’avois fait dans un petit Ouvrage commencé ou plutot ébauché sur l’Analyse des Courbes, qui n’est pas encore, &#38; ne sera vraisemblablement jamais fini, faute de loisir.Cette lettre - pas plus que les suivantes - ne contient pas d'autre indication sur le "petit ouvrage" de Cramer, mais l'existence d'un premier jet écrit en 1740-1741 est ainsi établie. Nous savons par ailleurs, par la préface ((Cramer, Gabriel. 1750. Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques. Genève: chez les frères Cramer et C. Philibert, page xi.)), que c'est à cette même époque qu'il prend connaissance du livre publié par l'abbé De Gua de Malves quelques mois auparavant, intitulé Usage de l'Analyse de Descartes dont l'objet et les méthodes sont très proches du traité d'analyse des courbes qu'il prépare ((De Gua de Malves, Jean-Paul, 1740. Usage de l’analyse de Descartes pour découvrir sans le secours du calcul différentiel les propriétés ou affections principales des lignes géométriques de tous les ordres. Paris: Jombert.)). Mais, s'il s'en inspire et lui emprunte quelques idées, il y repère également quelques erreurs et différences d'approches qui l'encouragent probablement à poursuivre son projet.Maturation du projet éditorial (1744-1746)La période qui suit ces premiers échanges de 1740-1741 est très chargée pour Gabriel Cramer : il consacre la presque totalité de son temps disponible à l'édition scientifique des Œuvres des frères Jean et Jacques Bernoulli, qui paraissent respectivement en avril 1743 et en janvier 1744. C'est donc assez peu surprenant de ne plus entendre parler du traité des courbes avant le printemps 1744, date à laquelle il fait part à Clairaut de ses récentes recherches sur les intersections des courbes algébriques ((Lettre de Cramer à Clairaut, Genève, mars 1744, BGE Ms. Fr. 657b f 8 (minute), éditée dans Speziali, Pierre, 1955, « Une correspondance inédite entre Clairaut et Cramer. » Revue d’histoire des sciences et de leurs applications n°8, p. 216-217). Voir aussi http://www.clairaut.com/nMai1744po1pf.html.)) :Des bagatelles qui se suivent sans interruption m’empêchent toujours de m’attacher à rien de bon ; et quand elles m’en laisseroient le loisir il faudroit des talens bien supérieurs aux miens pour produire quelque chose digne de vous. Vous ne serés guères content de moi quand je vous dirai que j’ai travaillé en dernier lieu à démontrer un Principe généralement admis, mais sans démonstration que je sache. C’est que deux courbes algébriques, l’une de l’ordre m, l’autre de l’ordre n ne peuvent se rencontrer en plus de mn points. Cela ne laisse pas de faire un asséz long Mémoire parce qu’il a fallu remonter plus haut, et chemin faisant, il s’est présenté quelques considérations, qui ne sont pas inutiles dans l’algèbre commune.Cramer fait ici allusion à un travail en algèbre qu'il publiera en annexe de l'Introduction : il s'agit d'un mémoire intitulé De l'évanouissement des grandeurs inconnues dans lequel il donne une démonstration de ce que l'on appelle aujourd'hui le théorème de Bézout sur les courbes algébriques, mémoire qu'il envoie à Clairaut en mai 1744 sur sa demande. Mais Clairaut, s'il promet dans un premier temps de le lire en séance à l'Académie royale des sciences de Paris, se voit contraint d'y renoncer à cause de la difficulté des notations qu'il contient ((Comme Cramer l'explique lui-même quelques années plus tard à Euler : Lettre de Cramer à Euler, Genève, 27 novembre 1750, BGE Ms. Fr. 657b f 87–88 (minute).)). Ce qui est surprenant dans cet échange avec Clairaut, c'est que le Genevois ne fait jamais directement allusion à son projet de traité des courbes : les deux hommes s'estiment pourtant beaucoup, se connaissent bien depuis le premier séjour parisien de Cramer en 1729, et les courbes constituent un sujet de recherche commun aux deux hommes. Il n'aura pas les mêmes pudeurs avec Leonhard Euler, lorsque ce dernier, à l'automne 1744, le sollicite à nouveau (après l'expérience réussie du Methodus inveniendi l'année précédente) pour superviser l'impression à Lausanne de son Introduction à l'analyse des infiniment petits qui ne paraîtra finalement que quatre ans plus tard ((Euler, Leonhard. 1748. Introductio In Analysin Infinitorum. Lausanne: Marc-Michel Bousquet &#38; associés.)); Cramer décline cette offre, invoquant une charge de travail incompatible, et surtout ce que l'on appellerait aujourd'hui un conflit d'intérêt ((Lettre de Cramer à Euler, Genève, 30 septembre 1744, BGE Ms. Fr. 657b f 14 (minute).)) :La prémière, c’est le grand nombre d’autres occupations, qui quoi que minces chacune à part, font toutes ensemble une grande charge. La seconde un peu plus délicate, c’est que j’ai aussi composé, il y a deja 4 ou 5 ans, un petit Essai qui roule a peu près sur la même matière, que la seconde partie de votre traité. Je l’intitulois Introduction à l’Analyse des lignes courbes.Le premier jet de 1740-1741 revient sur le devant de la scène. Le projet initial a sans doute été enrichi par des recherches plus profondes de la part du Genevois, notamment sur les questions purement algébriques, comme la correspondance avec Clairaut le laisse clairement voir ; il a déjà reçu (ou presque) son titre final, et il est suffisamment avancé pour que Cramer ose un parallèle avec le second volume de l'ouvrage d'Euler, dont on connaît l'importance. Mais on peut ici comprendre que le manuscrit est à peu près dans l'état dans lequel il était déjà quatre ans auparavant (ce qui est cohérent avec ce que l'on sait des grandes occupations de Cramer lors des années 1741-1743).  La suite de cette lettre à Euler est très riche d'enseignements, et contient de nombreux et précieux détails sur le contenu et l'état de maturité du projet de traité des courbes :Je crois ètre obligé de vous donner ici, Monsieur, quelque idée de l’ordre que j’ai suivi dans cet Essai. Je distingue d’abord les Courbes en régulières et irrégulières, puis en courbes à simple et à double courbure. J’explique ce que c’est que la Nature des premières, et ici vient la Division des Courbes en algebriques, mechaniques et exponentielles. Me bornant aux algebriques, je fais voir ce que c’est que son équation, comment elle réprésente la courbe, comment chaque racine en exprime une branche, en quel cas elle est l’equation d’une seule courbe, ou l’equation de plus[ieurs] tracées sur un même plan.Il poursuit en évoquant au passage le résultat d'algèbre dont il a communiqué la démonstration à Clairaut :Je divise ensuite les courbes en leurs differens ordres, j’examine combien il faut de points pour determiner une Courbe d’un ordre donné, je viens ensuite à la transposition des coordonnées, et je fais voir que cette transposition ne fait point passer une Courbe d’un ordre dans l’autre ; j’indique plus[ieurs] methodes pour operer commodément ces transformations si nécessaires : je demontre que la ligne droite est la seule ligne du premier ordre, qu’elle ne sauroit couper une Courbe qu’en autant de points qu’il y a d’unités dans l’exposant de son ordre, et que deux lignes ne se coupent pas en plus de points qu’il n’y a d’unites dans le produit des exposants de leurs ordres. (Principe qui n’a point encore été demontré que je sache,quoi que comunément reçu et très utile dans la connoissance des Courbes).Enfin, il poursuit la description de son "petit essai"  :A cette occasion je dis un mot de la construction des equations. Je dis ensuite, que les courbes n’ont rien de plus remarquable, ni qui les distingue mieux que leurs branches infinies, et leurs points singuliers, soit multiples, soit d’inflexion simples ou composés. J’entre dans un grand détail, suivant la Methode de Mr de Gua, sur la manière de determiner le nombre, la position et la nature de ces branches infinies et de ces points singuliers ; ce qui ne se peut sans chercher la Tangente et quelquefois la Parabole osculatrice de la Courbe : et cela mène aux Recherches des Maxima et Minima, comme aussi des developées. De là je passe aux divisions generales des Lignes du 2. 3. et 4. ordre avec quelque detail sur les deux premiers, car pour le dernier je l’ai trouvé immense. Je viens ensuite aux proprietés generales des Courbes de chaque ordre tirées de leur equation, aux diametres rectilignes et curvilignes, et aux Contrediametres et Centres généraux. Tout cela se termine par des Demonstrations purem[en]t analytiques des proprietés des Sections Coniques, traittées dans cet Ordre, Hyperbole, Parabole, Ellipse. J’avois dessein d’examiner ensuite les diverses descriptions des Courbes qui se trouvent dans les Autheurs, et de les rendre aussi generales qu’il me seroit possible. Mais ce morceau est encore en herbe, n’en aiant que les principaux Materiaux. Le reste est à peu près fini, il y a plus de 4 ans.La difficulté est ici de mesurer, en comparant la lettre à Jallabert de novembre 1740 à celle-ci, l'étendue et le rythme des évolutions connues par le manuscrit entre 1741 et 1744. Mais on peut raisonnablement supposer que l'essentiel de ce qui est décrit ci-dessus était déjà présent en 1741 ("Le reste est à peu près fini, il y a plus de 4 ans") et que le manuscrit n'a été enrichi qu'à la marge (notamment sur la classification des courbes d'ordre 3 et 4), éventuellement complété par des travaux algébriques plus récents, au cours des trois dernières années.Toujours dans la lettre du 30 septembre, Cramer lève (un peu) le voile sur les motivations qui l'ont engagé dans l'écriture du traité :Je l’avois composé pour un ami, qui s’amuse à ces speculations, et qui en a pris copie dans ce tems là et depuis. Dès lors je l’avois negligé, entrainé par d’autres occupations, dans le dessein de le reprendre quelque jour, et d’y donner les coups de lime dont il a besoin.Difficile de savoir qui est cet "ami", même si plusieurs pistes sont envisageables dans l'entourage proche du Genevois ; mais il est intéressant de voir cette motivation exogène invoquée pour la seule et unique fois dans la correspondance de Cramer.Les échanges avec Euler se poursuivent en 1745-1746, principalement (en ce qui concerne le sujet des courbes) autour de deux sujets : un paradoxe à propos du nombre de points d'intersection de deux courbes algébriques (aujourd'hui appelé paradoxe de Cramer), et l'existence des points de rebroussement de seconde espèce, qui avait été niée par De Gua de Malves dans ses Usages de l'Analyse de Descartes, mais qu'Euler rétablit en exhibant un exemple d'équation de courbe présentant une telle singularité. Cette période (1745-1746) constitue une étape importante de maturation du projet éditorial de Gabriel Cramer, qui s'appuie sur les échanges avec Euler pour reprendre, réorganiser et compléter son manuscrit.Stratégies académiques (1748-1750)En avril 1747, Cramer accompagne le jeune prince héréditaire de Saxe-Gotha à Paris, comme précepteur. Il emmène avec lui le manuscrit de son traité, afin de le présenter à ses amis de l'Académie royale des sciences. Introduit par Clairaut, Buffon et Dortous de Mairan, il fréquente assidûment les sociétés de madame de Tencin, madame Dupré de Saint-Maur, mademoiselle Ferrand et madame Geoffrin, chez qui il rencontre D'Alembert. Désireux de se faire agréger à l'académie de Paris (en tant qu'associé étranger) comme il l'a déjà été dans les sociétés royales de Berlin et de Montpellier, une belle occasion se présente à lui au début de l'année 1748, lorsque les décès successifs de Jean Bernoulli, puis de Joseph Cervi, libèrent deux places parmi les huit dévolues aux étrangers. Mais ces premières candidatures ne sont pas couronnées de succès. Lorsqu'il revient à Genève en mai 1748, cette élection est devenue pour lui un objectif dans lequel il est conforté par d'influents soutiens. Dans ce contexte, l'ouvrage à venir se voit assigner une nouvelle fonction, celle de garantie ou de preuve de l'envergure scientifique de son auteur, qui jusqu'à présent n'a presque rien publié, et n'est vraiment reconnu que pour son travail d'édition scientifique des Œuvres des Bernoulli. C'est ce que lui rappellera madame Geoffrin, soutien particulièrement actif de Gabriel Cramer entre 1748 et 1750, qui y voit un levier important pour convaincre les puissants ministres qui décident du sort de l'élection ((Lettre de madame Geoffrin à Cramer, Paris, 26 juin 1750, BNF Ms. NAF 23240 f 43-45.)) :Lui [Dortous de Mairan] et vos amis (et vous en avés beaucoup) désir[e]roient que vous fissiez imprimer quelques choses ; cela fait une autorité aupres des ministres à qui on ne peut pas parler assés long tems pour leur faire conoitre le mérite, et l’esprit des personnes que l’on leur recommande, un livre est plus tot montré.Au plus tard à la fin de l'année 1748, Gabriel Cramer décide donc de remettre son manuscrit à ses cousins Gabriel et Philibert Cramer, imprimeurs-libraires à Genève, pour une impression qu'il souhaite rapide.  Le 11 mai 1748, il écrit à Clairaut ((Lettre de Cramer à Clairaut, Genève, 11 mai 1748, BGE Ms. Fr. 657b f 47 (minute).)) :J’aurois bien voulu vous voir pour vous demander vos bons avis sur le Plan de mon ouvrage des Courbes. Vous entendez ces matières mieux qu’aucun géomètre et vous êtes plus en état qu’aucun autre de me donner des conseils, et je les recevrai plus volontiers de vous, que de personne. Mais puisque je ne sais quelle fatalité ne m’a pas permis ce bonheur, je vais envoyer cet ouvrage à l’Imprimeur, tel qu’il est.Il est régulièrement questionné sur l'avancement de l'impression par Clairaut et D'Alembert, impatients de lire l'ouvrage du Genevois. Il l'est également par ses soutiens pour l'élection à l'académie des sciences de Paris : une nouvelle place se libère en mars 1750 avec le décès du Lausannois Jean-Pierre de Crousaz. Les influent(e)s ami(e)s de Gabriel Cramer se mobilisent pour que leur favori soit nommé sur le siège laissé vacant, et le traité des courbes serait un argument sérieux en faveur de leur protégé. Hélas, l'impression de l'ouvrage ne se passe pas comme prévu, et Cramer se plaint régulièrement auprès de ses correspondants de la lenteur des imprimeurs. Ainsi, en février 1750, il écrit à Dortous de Mairan ((Lettre de Cramer à Dortous de Mairan, février 1750, BGE Ms. Fr. 657b f 55 (minute).)) :Mon Traitté des Courbes devoit être imprimé, il y a longtems, mais la lenteur de l’imprimeur est désespérante. Il ne s’imprime gueres qu’une feuille en 5 jours, et le livre en aura encore 80. J’éprouve ce que disoit Mr Godeau, que le Paradis d’un Autheur, c’est la composition de son Ouvrage, que son Purgatoire est la Revision, &#38; l’Enfer l’impression. Je compte pourtant de sortir de cet Enfer dans quelques mois.Quelques semaines plus tard, il déplore à nouveau le retard pris dans l'impression auprès de Gérard Levesque de Champeaux (un autre soutien influent, qui occupa la fonction de Résident de France à Genève entre 1739 et 1749) ((Lettre de Cramer à Levesque de Champeaux, Genève, mars 1750, BGE Ms. Fr. 657b f 56-57 (minute).)) :C’est peut être un malheur que mon Imprimeur ait travaillé si lentement : mais il n’y a point de ma faute. Vous avez été témoin du chagrin que ses longueurs me causoient, &#38; je serois peu philosophe si je m’affligeois à l’excès d’un malheur qui n’a point dépendu de moi. [...] Il y a environ 550 pages d’imprimées, j’en compte encore environ 200 à imprimer. Les figures sont toutes gravées au nombre de 33 Pl[anches] : mais on ne peut encore tirer les dernières parce qu’il faut marquer au haut de chaque Planche à quelle page du livre elle doit être insérée, ce qui ne se peut connoitre que par l’impression. Ainsi je ne puis point espérer que ce livre voie le jour avant la décision du Procès.Le "Procès" en question ici est sans doute celui qui désignera le successeur de Crousaz à l'Académie de Paris. Gabriel Cramer a raison : en juin, bien que nommé en second, l'élection à l'académie de Paris lui échappe en faveur du médecin de la Cour d'Autriche, Gerard Van Swieten. Le livre paraît finalement à l'été 1750 : le 5 août, Gabriel Cramer prend la plume pour en avertir ses principaux correspondants un peu partout en Europe, et leur fait expédier des exemplaires de son ouvrage.En conclusionLe recueil systématique des indices concernant l'avancement de la rédaction et de l'impression du traité des courbes dans la correspondance de Gabriel Cramer, adossée à l'enquête biographique sur Gabriel Cramer, m'a permis de dresser les chronologies parallèles de l'évolution du manuscrit et des événements de la vie de son auteur sur la décennie 1740-1750 :L'élan initial de 1740-1741 est contrarié par la forte activité de Cramer lors des années 1741-1745 au cours desquelles il annote et édite les Œuvres des frères Bernoulli et le Methodus inveniendi d'Euler. Il reprend son manuscrit en 1745-1746 à la faveur de riches échanges avec Clairaut et surtout Euler, qui le conduisent à remanier son texte. Le séjour à Paris de 1747-1748 l'incite à enfin publier son ouvrage.Ce faisant, la question des motivations de l'auteur pour s'engager dans l'écriture puis la publication du traité est soulevée, mais il est difficile d'obtenir des réponses définitives à ce sujet. Je savais, en m'engageant dans cette étude, que la question du "pourquoi ?" était la plus délicate à traiter. On voit ici que Cramer avance plusieurs motivations pour son projet éditorial : l'incitation pressante d'un ami (mais n'est-ce pas une raison facile à invoquer pour qui veut occulter ou minimiser l'immodestie d'un tel projet ?), la nécessité de proposer un objet de savoir qui sera utile à tous (à commencer par ses étudiants), et enfin le gage d'une envergure suffisante pour être digne d'un siège d'associé étranger à l'Académie des sciences. Cette dernière fonction associée à l'ouvrage m'a paru particulièrement intéressante : la rareté des publications du Genevois tout au long de sa carrière savante, pourtant très active (à l'identique de ses proches collègues d'ailleurs : Calandrini, Jallabert, etc.) malgré un accès privilégié au monde de la librairie est un point qui me semble intéressant à étudier, et je me demande dans quelle mesure la publication du traité des courbes en 1750 ne constitue pas une rupture vis-à-vis d'une nécessité supposée pour un protestant genevois de faire "profil bas" et de ne pas se mettre en avant. Mais je manque d'éléments pour étayer une telle affirmation.Bien entendu l'enquête génétique ne se contente pas de ce relevé d'indices dans la correspondance, et je n'ai fait ici que planter le décor et dresser une chronologie. La part la plus importante de cette enquête réside dans son second acte,  qui est l'étude des manuscrits du traité des courbes aujourd'hui conservés aux archives de la Bibliothèque de Genève, et qui me permet d'avancer sur d'autres pistes de ma recherche, notamment les dynamiques d'écriture et les évolutions de Cramer dans l'approche de son sujet. Ce sera dans un prochain billet à venir !Photo de tête : détail de la minute d'une lettre de Cramer à Euler, 30 septembre 1744, Bibliothèque de Genève.