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Cicéron admirait Archimède : nous avions cité (à propos du mécanisme d’Anticythère) un texte où il évoque un globe qui aurait été construit par ce savant. Il explique dans les Tusculanes (Livre 5, chap. 13) comment lui Cicéron a, à Syracuse patrie d’Archimède, contribué à sortir de l’oubli ce grand homme.Les Tusculanes sont des conférences qui se seraient déroulées dans une villa de Cicéron à Tusculum. Elles auraient été rédigées en 45 soit peu avant l’assassinat de César : leur but était de faire une présentation simple, compréhensible par beaucoup, de la philosophie morale qui était la sienne. Il y traite du fait que le sage ne craint ni la mort, ni la souffrance, ni le chagrin, ni les passions, ni la souffrance. Pour éviter qu’un tel programme ne soit par trop rébarbatif, Cicéron introduit dans son texte des digressions telles que celle-ci concernant Archimède.Il vient de raconter l’histoire de Denys, tyran de Syracuse, malheureux dans l’abondance car craignant pour sa vie (c’est ici que se place l’histoire fameuse de l’épée de Damoclès). La mention de Syracuse permet à Cicéron de placer un souvenir personnel concernant cette ville :ex eadem urbede cette même ville_____humilem homunculum a pulvere et radio_____ un humble petit homme écrivant sur le sable avec sa règleexcitabo,je ferai surgir_____qui multis annis post fuit, Archimedem._____qui vécut de nombreuses années plus tard, Archimède.Pulvis et radius sont les instruments du géomètre, traduits traditionnellement par « poussière et baguette » mais on ne peut pas tracer de figures géométriques sur de la poussière alors qu’on peut le faire sur du sable humide en se servant d’un objet pour tracer, une baguette ou une règle.Cuius ego quaestordont, alors que j’étais questeur_____ignoratum ab Syracusanis,_____ignoré des Syracusains_____cum esse omnino negarent,_____alors qu’ils niaient complètement son existence_____saeptum undique et vestitum vepribus et dumetis_____[c'était une] enceinte entièrement couverte d’épines et de roncesindagavi sepulcrum.j’ai cherché le tombeauTenebam enim quosdam senariolos,Je connaissais en effet quelques fragments de versquos in eius monumento esse inscriptos acceperam,dont j’avais su que sur son monument il y avait des inscriptionsqui declarabant in summo sepulcroqui faisaient voir en haut du tombeausphaeram esse positam cum cylindro.une sphère associée à un cylindre.En effet Archimède, dans la lettre introductive à son traité « de la sphère et du cylindre », indique que parmi les résultats qu’il a obtenus, un de ceux qu’il juge important est celui concernant les rapports numériques entre la sphère et le cylindreEgo autem cum omnia conlustrarem oculisQuant à moi donc, alors que je fouillais tout des yeux,-est enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum-,(il y a en effet près de la porte d’Agrigente un grand nombre de tombeaux)animum aduerti columellam non multum e dumis eminentem,j’aperçois une colonne pas très grande s’élevant au-dessus des roncesin qua inerat sphaerae figura et cylindri.et sur laquelle était le figure d’une sphère et d’un cylindreAtque ego statimAlors moi immédiatement_____Syracusanis - erant autem principes mecum -_____aux Syracusains – en effet les autorités étaient avec moi -dixije dis_____ me illud ipsum arbitrari esse, quod quaererem._____qu’il me semblait bien que c’était ce que je cherchais.lnmissi cum falcibus.Des [gens] nombreux envoyés  avec des faux,multi purgarunt et aperuerunt locumdégagèrent et rendirent accessible l’endroit.Quo cum patefactus esset aditus,quand l’accès fut libread adversam basim accessimus.nous accédons au soubassement opposé.Apparebat epigrammaL’inscription apparut_____exesis posterioribus partibus_____[étant] rongés dans leur extrémitéversiculorum  dimidiatum ferepresque la moitié des versIta nobilissima Graeciae civitas,Ainsi la plus noble cité de la Grèce,quondam vero etiam doctissima,un jour même la plus savante,sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset,aurait ignoré le monument  du plus ingénieux de ses citoyensnisi ab homine Arpinate didicisset.si elle n’avait pas été instruite par un natif d’Arpinum.Sed redeat, unde aberrauit oratio:Mais revenons au point où notre exposé a dévié…Archimède estime donc important le résultat qu’il a obtenu concernant la sphère et le cylindre : de quoi s’agit-il ? La réponse se trouve dans le traité De la sphère et du cylindre  ((Archimède, texte établi et traduit par Charles Mugler, tome premier, Les Belles Lettres, 1970)) où, dans son introduction il donne plusieurs résultats qu’il estime importants, dont celui-ci (transcription : lettres de l’alphabet latin + êta = ê, thêta = th, phi = ph, khi = kh, psi = ps, oméga = ô, h pour l’esprit rude) :hoti pasês sphairasque [pour] toute sphèreho kulindrosle cylindreholui,_____basin_____la basemen ekhônayant en effet_____isên tô megistô kuklô_____égale au grand cercle_____tôn en tê sphaira_____de ceux qui sont dans la sphère,(un grand cercle correspond à la circonférence)hupsos de ison tê diametrô tês sphairaset de hauteur égale au diamètre de la sphèreautos te hêmiolios estin tês sphairas,est lui-même une fois et demi la sphèrekai hê epiphaneia autou tês epiphaneias tês sphairaset [de même] pour sa surface et la surface de la sphèreOn notera que l’épiphanie d’un volume est ce qui est visible, c’est-à-dire sa surface.Ce résultat qui semble important à Archimède nous parait banal, en effet :- volume d’une sphère = 4/3 π R3- volume d’un cylindre = base x hauteur :__la hauteur c’est ici le diamètre de la sphère, soit 2 R, le volume est égal à π R2 x 2 R, soit 2 π R3Volume cylindre / volume sphère = 2 π R3 / 4/3 π R3 = 6/4 ou 3/2  soit une fois et demi.De même la surface de la sphère = 4 π R2 :Surface du cylindre : base inférieure = π R2 ; côté 2 π R x 2 x R = 4 π R2 ; sommet π R2 soit au total 6 π R2. Le rapport est le même 3/2 soit une fois et demi.Pourquoi ce qui nous semble simple à démontrer était aux yeux d’Archimède le résultat dont il était le plus fier ? On peut légitimement parler de progrès des mathématiques car ce qui avait été long et difficile à obtenir tient pour nous dans le creux de la main.Georges Guilbaud  ((Georges Th. Guilbaud, Leçons d’à peu près, Christian Bourgois, 1985)) souligne aussi qu’il faut distinguer les textes techniques et les textes mathématiques. Dans toute civilisation, ceux qui travaillent sur des objets ronds, des colonnes, des vasques, des roues, sont confrontés au problème de savoir, pour un diamètre donné, quelle est la longueur du périmètre et ils résolvent le problème en utilisant une valeur approchée. Il est probable que « le triple plus un septième » devait être connu avant Archimède. Où il se signale en tant que mathématicien, c’est en démontrant que le rapport peut être encadré par deux valeurs par excès et par défaut et que, si l’on poursuit le processus, on peut arriver à la précision que l’on veut.Encadrement de π par Archimède (La mesure du cercle):pantos kuklou hê perimetrosla [ligne] périmètre de tout cercle(la ligne=grammê f. est sous-entendue)tês diametrou triplasiôn estiest le triple du diamètrekai eti huperekheiet de plus l’emporteelassoni men ê hebdomô merei tês diametroupar soit, d’une part, moins  de sept parties du diamètremeizoni de ê deka hebdomêkostomonoispar soit, d’autre part, plus de dix soixante et onzièmesTraduction de G. Guilbaud  (mathématicien qui dit vouloir traduire en pastichant une écriture archaïque) :Pour tout cerclele périmètre dépassele triple du diamètrede moins d’un septièmemais de plus dedix septante-et-unième  ((Leçons d’à peu près, p.24))En notations modernes on peut dire  que le rapport de la circonférence au diamètre est comprisentre 3 + 1/7 (ou 22/7) par excès et 3 + 10/71 (ou 223/71) par défaut ;ou encore 22/7 = 3,1429 &#62; π &#62; 223/71 = 3,1408&#160;Archimède obtient ce résultat en encadrant le cercle par des polygones inscrits ou circonscrits au cercle et en augmentant le nombre des polygones. Le graphique ci-joint  ((Numéro spécial pi, supplément au Petit Archimède, n°64-65, mai 1980, p.146)) en propose une méthode pour faire comprendre le processus :L’unité d’aire est le quart de cm2 ; le quart de cercle est divisé en 6 régions, de A à F. L’aire de A + B + D = 240, l’aire de F = aire de C . On peut encadres l’aire de F par les valeurs 24 et 39, l’aire de F par les valeurs 6 et 13 et l’aire totale par les valeurs 294 et 331. On en déduit 2,94 &#60; π &#60; 3,31, ce qui est assez grossier mais qui est destiné à faire comprendre la méthode. L’emploi de la même méthode avec des carreaux de 1 mm2 donne : 3,1072 &#60; π &#60; 3,1612- Pourquoi l’usage de la lettre grecque π ?L’usage d’utiliser la notation de la lettre π date du début du 18e siècle : à la fin du 17e Isaac Barrow utilise des abréviations tirées du grec : δ signifie diametros, π signifie perimetros. Au début du 18e siècle William Jones utilise π pour désigner 3,14159 etc. Cette notation est reprise dans ce même siècle par Euler qui va assurer son succès  ((Petit Archimède, n°64-65, p.264)).***On s’étonnera peut-être que le texte grec ait été transcrit en caractère latin : la raison en est que le but de l’enseignement des langues anciennes doit être d’aider à la compréhension de l’époque présente où, tributaires des latins pour la transmission du grec, nous utilisons leurs caractères qui sont devenus les nôtres (en particulier ph pour phi où la notation est purement arbitraire, contrairement à th pour thêta et kh pour khi). Si à la Renaissance, le grec est redevenu une source directe pour la création lexicale, de nombreux mots grecs introduits en français au Moyen Âge, ont été importés à travers le latin. Parmi ceux-ci citons, pour la simple lettre A : agronome, anarchie, antipode, anthrax, apostasie, apostat, architectonique, aristocratie, asthmatique  ((Ferdinand Brunot, Histoire de la langue française des origines à nos jours, Tome I, nouvelle édition Armand Colin, 1966, p. 576)).De même qu’il faut connaitre le latin du français, de même il faut connaitre les mots grecs du français et la transcription en caractères latins est particulièrement parlante dans le domaine de la géométrie.Actualité : je signale le dossier « Refaire les humanité » de la revue Esprit de décembre (voir le sommaire du numéro sur son site) et dans lequel je présente un article « L’avenir des humanités » dont voici le résumé (et le début de l'article ici) :"La culture classique ne peut plus aujourd’hui être considérée comme un « héritage » à réactiver. Il faut la réapprendre, non comme un patrimoine, mais comme une manière de penser le monde dans sa globalité, sans se laisser enfermer dans des savoirs techniques qui ont tendance à devenir hégémoniques ; cela suppose de repenser les méthodes d’enseignement du français, du latin, etc., pour faire contribuer ces matières à une éducation à la démocratie."Je reprends le débat sur le livre de Pierre Judet de La Combe et Heinz Wismann, l’Avenir des langues. Repenser les Humanités, (Cerf, 2004) en examinant non seulement les recommandations finales sur l’enseignement (comme je l'avais déjà fait sur ce carnet), mais le cœur de l’ouvrage, c’est-à-dire comment il faut se positionner par rapport au passé.Pour citer ce billet : Philippe Cibois, « Cicéron et Archimède », La question du latin, 9 décembre 2012 [En ligne] http://enseignement-latin.hypotheses.org/6391