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Dans l’Arénaire, texte d’une vingtaine de pages, Archimède propose un système de numération qui permet de noter sans difficultés de très grands nombres. Ce texte, est intéressant à plusieurs titres :- le lecteur d’aujourd’hui ne s’y sent pas dépaysé dans la mesure où il s’agit d’un raisonnement mathématique. La science moderne est héritière directe de cette science des anciens et si le même raisonnement est aujourd’hui plus économe en mots, la rigueur est la même. Le texte ne demande qu’un effort de lecture, non un dépaysement culturel,- Archimède utilise pour son propos les connaissances astronomiques de son époque et nous propose aussi le récit d’une expérimentation précise, la mesure du diamètre apparent du soleil. Nous avons accès par ce biais aux pratiques scientifiques elles-mêmes et non pas seulement aux résultats comme dans le mécanisme d’Anticythère,- la technique de mesure utilisée doit être examinée avec soin car il s’agit d’une méthode d’encadrement de la valeur recherchée, l’équivalent du calcul d’erreur de la physique moderne.Le titre traditionnel en français, l’Arénaire, vient du titre latin arena qui signifie sable, traduction du grec psammitês. En langue anglaise, ce traité est connu comme étant le Sand-Reckoner, le « compteur de sable ». Il s’agit bien en effet de compter des grains de sable, et sur une grande échelle comme on va le voir.***Dans son adresse initiale au roi Gélon, fils de Hiéron, roi de Syracuse, Archimède s’empare d’un dicton populaire qui compare ce qui est incommensurable à du sable dont on ne peut compter les grains. Il se donne le défi de compter le nombre de grains de sable qui se trouvent dans l’univers au sens des anciens, c’est-à-dire le monde avec la terre au centre (ou le soleil, comme nous le verrons), et avec comme périphérie la « sphère des fixes » où sont les étoiles immobiles à l'encontre des planètes errantes. Le but d’Archimède est de mettre au point un système de numération qui permette d’exprimer des nombres, si grands soient-ils.Son but est scientifique et non pratique car pour les besoins courants, on utilise la dizaine dekas,  la centaine hecatontas, le millier khilias, la myriade murias pour 10.000. Ce sont ces mots grecs qui seront d’ailleurs utilisés comme préfixes dans le système métrique (deca, hecta, kilo).Pour donner un exemple parlant de l’efficacité de son système de numération, il va donc faire des estimations de la taille du monde mais à chaque étape, il n’hésitera pas à prendre un nombre plus grand que nécessaire (un majorant). Il développera les possibilités de son système à une échelle tellement grande que seule ses premiers développements en seront utilisés.L’Arénaire permet aussi d’exposer avec rigueur ce qu’Archimède sait des dimensions du monde en tant qu’astronome, et il rappelle à cette occasion qu’il est le fils de l’astronome Phidias (cité dans le texte p. 137)  ((les renvois sont faits à l’édition des Belles Lettres de Charles Mugler, Tome II d’Archimède, 1971)). L’Arénaire est divisé en quatre parties :1) Hypothèses astronomiquesQu’est ce qui est au centre de l’univers ? La croyance commune, nous dit Archimède, est que c’est la terre, mais il fait sien le système d’Aristarque de Samos qui pense que c'est le soleil. Est-ce qu'il l'adopte parce qu’il le juge astronomiquement plus conforme à la réalité, ou parce qu'il constate qu’un tel système entraine des dimensions du « monde » plus grande, ce qui est utile pour son exposé ? Il ne nous le dit pas.Il admet que :πρῶτον μὲν τὰν περίμετρον τᾶς γᾶςD’abord le périmètre de la terreεἶμεν ὡς τ μυριάδων σταδίων καὶ μὴ μείζω,a la valeur de tau myriades de stades et pas plus. (p.136)Le système savant de numération grecque  ((Geneviève Guitel, Histoire comparée des numérations écrites, Flammarion, 1975, p. 243)) utilise les lettres de l’alphabet (en suivant l’ordre des lettres sémitiques dont elles sont issues) :- pour les unités : alpha=1, bêta=2, gamma=3, delta=4, epsilon=5, digamma à la place du vaw sémitique et du f latin=6, dzêta=7, êta=8, thêta=9 ;- pour les dizaines : iota=10, kappa=20, lambda=30, mu=40 ; nu=50, ksi=60, omicron=70, pi=80, koppa à la place du coph sémitique et du q des latins=90 ;- pour les centaines : rhô=100, sigma=200, tau=300, upsilon=400, phi=500, khi=600, psi=700, oméga=800, sampi en utilisant le tsadé sémitique=900 ;- pour les milliers on réutilise les marques des unités précédées d'une marque graphique (un iota souscrit).Alors que nous découpons les grands nombres par tranches de trois chiffres (mille, million, etc.), la myriade est l’unité de base qui est représentée par des nombres de quatre chiffres. Pour les nombres plus grands, on peut d’abord donner le nombre de myriades, puis les unités : par exemple on connait un nombre très grand que l’on trouve dans Aristarque de Samos  ((Pierre Dedron et Jean Itard, Mathématiques et mathématiciens, Magnard, 1959, p. 278)) qui se présente ainsi (les lettres des unités avec une marque à gauche désignent les milliers ;  M désigne la myriade) : ,ζροε M ,εωοε qui retranscrit en chiffres donne 7175 M 5875 ou encore 7175 x 10000 + 5875.Ce système savant, n'est pas celui qu'Archimède va nous présenter et qui s'apparente plus à un exercice mathématique qu'à la proposition d'un système utilisable.Donc le périmètre de la terre vaut au maximum tau = 300 myriades de stades soit en prenant 157,5m pour la valeur du stade, 300 x 10 000 x 0,1575 km = 472 500 km ; pour Archimède qui veut montrer les possibilités de son système de numération, il s'agit d'un majorant, car la valeur reconnue à son époque (sans qu'il cite sa source) était de lambda = 30 myriades de stades, doit 47 250 km.Après diverses autres hypothèses, il en vient au rayon apparent du soleil. Et là, il nous explique le problème en termes très précis. Le majorant large viendra plus tard, ce qui importe ici c’est la précision de la mesure obtenue par encadrement entre une valeur inférieure (le minorant) et une valeur supérieure (le majorant).Voici d’abord la procédure utilisée pour le minorant : Τεθέντος οὖν μακροῦ κανόνος ἐπὶ πόδα ὀρθὸν ἐν τόπῳ κείμενον,Disposant donc d’une grande règle sur un pied vertical situé en un lieuὅθεν ἤμελλεν ἀνατέλλων ὁ ἅλιος ὁρᾶσθαιd’où le soleil levant [halios= dorien] pouvait être vuκαὶ κυλίνδρου μικροῦ τορνευθέντοςet un petit cylindre ayant été fait au tour,καὶ τεθέντος ἐπὶ τὸν κανόνα ὀρθοῦ εὐθέως μετὰ τὰν ἀνατολὰν τοῦ ἁλίουet disposé verticalement sur la règle aussitôt après le lever du soleilἔπειτ’ ἐόντος αὐτοῦ ποτὶ τῷ ὁρίζοντι καὶ δυναμένου ἀντιβλέπεσθαιensuite, alors qu’il est à l’horizon et pouvant être regardéἐπεστράφη ὁ κανὼν εἰς τὸν ἅλιονla règle est tournée vers le soleilκαὶ ἁ ὄψις κατεστάθη ἐπὶ τὸ ἄκρον τοῦ κανόνοςet l’œil est placé à l’extrémité de la règleὁ δὲ κύλινδρος ἐν μέσῳ κείμενος τοῦ τε ἁλίουalors le cylindre placé entre le soleilκαὶ τᾶς ὄψιος ἐπεσκότει τῷ ἁλίῳet les yeux masque le soleilἈποχωριζόμενος οὖν [τοῦ κυλίνδρου] ἀπὸ τᾶς ὄψιοςen éloignant donc le cylindre des yeuxἐν ᾧ ἄρξατο παραφαίνεσθαι τοῦ ἁλίου μικρὸνsur lequel commence à se laisser voir un peu du soleilἐφ’ ἑκάτερα τοῦ κυλίνδρου, κατεστάθη ὁ κύλινδροςde chacun des deux [côtés] du cylindre, le cylindre est fixé. (p. 138)En effet, si on laisse le soleil apparaitre sur les côtés du cylindre, l’angle obtenu est inférieur au diamètre apparent du soleil et, pour être certain de ce résultat, Archimède en diminue encore la valeur du fait que l’œil n’est pas ponctuel mais a une certaine largeur.Le majorant est obtenu en faisant la même mesure mais en occultant complètement le soleil par le cylindre. Les résultats sont les suivants exprimés en parties d’angle droit :- le majorant est noté ρξδ  soit donc  rho=100 + ksi=60 + delta=4. Donc le majorant est la 164e partie de l’angle droit (ou, pour prendre nos unités actuelles en divisant 90 degrés par 164  = 0,549°)- le minorant est égal à σ, sigma= 200. Le minorant est la 200e partie d’un droit (ou 0,45°).La valeur estimée aujourd’hui du diamètre apparent du soleil, qui varie quelque peu au cours de l’année, est comprise entre 0,525° et 0,542°. Les valeurs actuelles sont bien comprises dans les bornes indiquées par Archimède.Chacun aujourd’hui peut refaire facilement l’expérience d’Archimède, non en regardant le soleil en face, mais la lune qui a le même diamètre apparent. Il suffit en en effet de tendre sa main vers la lune et de recouvrir son image (comme le cylindre de l’expérience d’Archimède) par un ongle des doigts de la main. D’une manière très approximative, la largeur de l’ongle du petit doigt est de 7 mm et la distance de l’œil à l’extrémité du doigt est de l’ordre de 70 cm. La circonférence est de (reprenons la valeur donnée par Archimède pour pi = 22/7) : 70 x 2 x 22/7 = 440 cm. La largeur de l’ongle de 0,7 cm représente 0,7 / 440 = 1 / 629 de la circonférence pour reprendre la méthode d'Archimède. On multiplie ce résultat par 360 pour avoir le résultat en degrés : 360 / 629 = 0,57° ; c’est une approximation très grossière par rapport à l’encadrement archimédien mais on a au moins un bon ordre de grandeur (un demi-degré).Prenant toujours des précautions dans ses estimations, Archimède fait des corrections et conclut que le diamètre du soleil est plus grand que la 203e partie de l’angle droit ou, en notant en parties de la circonférence (égale à 4 droits), est plus grand que la 812e partie de la circonférence. Arrondissant encore, Archimède démontre que le diamètre du soleil est supérieur au côté d’un polygone régulier de 1000 côtés inscrit dans la sphère des fixes.2) Mise en relation des hypothèsesReprenant alors ses hypothèses précédentes sur les rapports entre les dimensions du soleil, de la lune et de la terre, il arrive au résultat que le diamètre du monde est inférieur à cent myriades de myriades de stades.Il fait ensuite des estimations sur le nombre de grains de sable compris dans un volume donné. Dans un volume d’une graine de pavot il y a moins d’une myriade de grains de sable.Sans entrer dans le détail des mesures, des estimations personnelles faites avec du sable de Fontainebleau manifestent que le nombre retenu par Archimède est plus de dix fois supérieur à une estimation raisonnable, ce qui est normal du fait de sa stratégie.3) Le système de numérationArchimède dispose d’une estimation par excès du diamètre du monde et du nombre de grains de sable par unité de volume. Avant de calculer le nombre de grains de sable contenu dans la sphère des fixes, il présente son système de numération.Dans le système de numération grecque qui note par groupes de quatre chiffres, le dernier nombre de ce système sera égal à 9999 M 9999 et le suivant  sera la myriade de myriade 1 M M (dans notre système d’exposants de base 10, la myriade 10 000 est égale à 104 et la myriade de myriade à 104 x 104 = 108). Archimède appelle premiers nombres tous les nombres jusqu’à la myriade de myriades (M M ou 108) : il va continuer la numération en prenant maintenant une série de seconds nombres qui ont comme unité la myriade de myriades et qui permettent d’en compter une, deux, une myriade, jusqu’à une myriade de myriades : traduits dans notre système, ces seconds nombres vont de 108 jusqu’à 108 x 108 = 1016 (moins une unité).Le système peut se prolonger avec les troisièmes nombres et continuer beaucoup plus loin jusqu’aux nombres dénommés μυριακισμυριοστῶν, que Mugler (p.146) traduit nombres « cent millionièmes » (102 x 106) ou « dix mille myriadèmes » faute de pouvoir dire : nombres « myriades de myriadèmes » (104 x 104). Notons que ces nombres pourraient servir de première unité pour une nouvelle « période » de nombres. Et l’opération peut se poursuivre, mais cela ne servira pas pour le comptage du sable. 4) mise en œuvre du système pour compter le nombre de grains de sable du monde Τούτων δὲ τῶν μὲν ὑποκειμένων, τῶν δὲ ἀποδεδειγμένων,De toutes ces choses soit admises, soit démontréesτὸ προκείμενον δειχθήσεταιla proposition sera démontrée (p. 149)Archimède va utiliser les valeurs mesurées par lui ou par d’autres (en prenant toujours le majorant) ou démontrées géométriquement ; il va enchainer tous ces résultats puis les situer dans son système de numération.Le système actuel pour noter des nombres très grand utilise habituellement les puissances de 10. Par exemple 100, dix au carré, se note 102, 1 000=10 x 10 x 10 dix au cube ou 103, la myriade 10 000=104. Si on fait le produit de deux nombre, 1 000 fois 1 000 par exemple, il suffit d’ajouter les exposants : 103 x 103 = 1 000 000, un million ou 103+3 soit 106. Archimède commence par démontrer que ce que nous venons d’utiliser en base 10, vaut pour une base quelconque : basea x baseb = basea+b. On notera qu’en utilisant les exposants on note l’importance numérique du nombre et Archimède va faire de même.Le raisonnement va maintenant se dérouler en huit étapes très répétitives après une étape initiale. C’est pratiquement le même texte qui se reproduit de page en page avec simplement des modifications des valeurs finales, ce qui nous permettra de mettre l’ensemble  sous la forme d’un tableau.Etape initiale : soit la sphère de diamètre d’un doigt qui peut contenir au plus  dix myriades de myriades de grains de sable. Pour  visualiser les myriades, je divise les nombres par tranches de 4 chiffres séparés par un point: 10.0000.0000 (ou en abrégé 10 M M). Le nombre le plus à gauche est en 10e position à partir de la droite et c’est d’ailleurs identique en notation moderne où les tranches de trois chiffres sont séparées par un espace : 1 000 000 000 (= 109 : on observe une différence d’une unité entre la position à gauche et l’exposant).Étape 1 : on passe d’un diamètre d’un doigt à un diamètre de 100 doigt. Le volume correspondant est multiplié par 100x100x100 =100.0000 cent myriades (100 M) où le chiffre le plus à gauche est en 7e position (106).Voici le cœur de la méthode d’Archimède : quand on multiplie le résultat de l’étape précédente par ce multiplicateur, il suffit d’ajouter à la position du résultat précédent la position du multiplicateur (moins une unité) pour avoir la position du nouveau résultat (pour nous 109 x 106 = 1015, où le 1 est en 16e position suivi de 15 zéros). La nouvelle position sera donc 10 + (7-1) = 16.Étapes suivantes : on assiste à la répétition mot à mot du texte. On passe d’une étape à la suivante en multipliant par 100 le diamètre, le volume par 1003 soit une augmentation de 6 positions.On passe ainsi, par multiplications successives, par  les étapes suivantes où dans la colonne « Numération d’Archimède » M désigne la myriade ; les premiers nombres vont de 1 à M M-1, les seconds nombres (notés N2) vont de 1 N2 à (M M N2) -1 etc.EtapeVolumePositionNotation moderneNumération d’Archimède (abrégée)01 doigt1010910 N21100 doigts1610151 000 M N221 stade22102110 M N33100 stades2810271 000 N441 myriade de stades (MS)34103310 N55100 MS4010391 000 N561 MMS46104510 M N67100 MMS (diamètre du monde, conception commune)5210511 000 N77bis1MMMS (le texte passe de 7 à 8 directement)58105710 N88100 MMMS (diamètre du monde, conception d’Aristarque)6410631 000 M N8Il reste à nommer les nombres en utilisant les conventions établies plus haut. Rappelons que la nomination se fait par myriade de myriades. Dans la première les nombres vont de 1 à 9999.9999 et le nombre suivant est 1.0000.0000 avec le premier chiffre en 9e position, premier nombre des seconds nombres. Pour savoir où se situe le dernier chiffre en position 64, on compte combien de Myriades de Myriades (Huit zéros) se trouvent dans 64. Il y en a 8 et on est donc dans les huitièmes nombres. Le résultat final est :Φανερὸν τοίνυν ὅτι τοῦ ψάμμου τὸ πλῆθος τοῦ μέγεθοςIl est donc évident que la quantité de sable de grandeurἔχοντος ἴσον τᾷ τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαίρᾳ,égale à la sphère des astres fixesἃν Ἀρίσταρχος ὑποτίθεται,comme suggérée par Aristarqueἔλασσόν ἐστιν ἢ ,α μυριάδες τῶν ὀγδόων ἀριθμῶν.est inférieure à 1000 (=,alpha) myriades de huitièmes nombres (p. 156)Ce que résume le tableau, c’est qu’Archimède fait ses calculs sur la valeur de la position et il somme les positions pour faire le produit des nombres. C’est que nous faisons maintenant en sommant les exposants et non les rangs : on peut dire qu’Archimède a initié d’une certaine façon ce que nous appelons aujourd’hui le calcul logarithmique.L’Arénaire est en quelque sorte le premier article scientifique qui nous soit conservé car il se caractérise par un calcul de mesures physiques muni d’un encadrement et par un système de numération qui permet non seulement d’exprimer des nombres gigantesques mais qui donne un algorithme de calcul des produits par calcul sur la taille du nombre, repéré par sa position.Il faut lire l’Arénaire. Le savoir mathématique est cumulatif : nous relisons ce texte avec plus de deux millénaires de recherche mathématique derrière nous. De ce fait, si nous suivons pas à pas le raisonnement, nous pouvons le réexprimer en termes modernes et nous le replaçons dans l’ensemble du savoir actuel. Comme il est rare de pouvoir comprendre un article d’une revue actuelle de mathématiques, lisons le premier de la série, il est à la portée de chacun s’il en fait l’effort.***Archimède pour conclure s’adresse au roi Gélon et lui disant que ce qu’il vient d’exposer  paraitra peu croyable au commun des mortels mais que ceux qui ont réfléchi sur ces problèmes les accepteront grâce à sa démonstration : c’est encore vrai pour les lecteurs actuels. La force contraignante d’un texte mathématique peut continuer à s’exercer, quelle que soit la distance temporelle.Ce texte est issu d'un séminaire animé par Georges Guilbaud  ((Math. Sci. hum / Mathematics and Social Sciences (46e année, n° 183, 2008(3), p. 9-15)) (1912-2008) dans les années 80 au Centre de Mathématiques Sociales de l'EHESS. C'est l'occasion pour moi de lui rendre hommage : il fut le mathématicien de Lacan  ((Elisabeth Roudinesco, Histoire de la psychanalyse en France (la bataille de cent ans) 2 : 1925-1985, Le Seuil, 1986, p. 564-565)) et, continuant le travail de Condorcet, introduisit des Mathématiques sociales dans les sciences humaines. Ce fut un enseignant qui savait expliquer des concepts mathématiques à des non-mathématiciens en prenant les exemples les plus divers, du calendrier à l'analyse factorielle.Merci aussi à Alain Bernard, Fabio Acerbi et Ramon Masià Fornos, spécialistes de l'histoire de la mathématique grecque.Je signale enfin que mon article sur « L’avenir des humanités » paru dans le numéro de décembre 2012 de la revue Esprit, est désormais disponible sur mon site à cette adresse.