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Carlos Alvarez et Jean Dhombres, Une histoire de l'invention mathématique. Les démonstrations du théorème fondamental de l'algèbre dans le cadre de l'analyse réelle et de l'analyse complexe de Gauss à Liouville (Volume II), Hermann, Hors collection, 448 pages – 17 x 24 cm – 36 € - ISBN : 978 2 7056 8317 7Pour sa thèse qu’il débuta en 1797, Gauss a fourni une démonstration – difficile et topologiquement incomplète – du théorème qui affirme l’existence d’au moins une racine complexe à tout polynôme réel non constant. Gauss ne supposait pas l’existence des entités qui avaient été imaginées par Descartes pour permettre la décomposition de tout polynôme en facteurs du premier degré. Laplace en 1795 avait en effet rigoureusement démontré que ces « imaginaires », une fois supposées, se réduisaient aux nombres complexes, lesquels accaparaient le nom de « quantités imaginaires ». Une dizaine d’années après, en inventant des techniques de l’analyse instituant le plan topologique et aussi par la représentation géométrique des nombres complexes, s’inspirant par ailleurs de Legendre et d’un début de calcul des fonctions dérivables d’une variable complexe, Argand fournissait une démonstration aisée du théorème fondamental. Des démonstrations inventives différentes se succédèrent, de Gauss, de Cauchy, de Liouville, etc. , et trouvèrent une place variable dans les grands traités classiques des mathématiques européennes jusqu’à la fin du XIXe siècle, où l’analyse réele restait séparée de l’analyse complexe.C’est cette période d’un siècle que le présent volume inventorie, en explicitant le contexte intellectuel des preuves, mais réservant pour un prochain et dernier volume les explications algébriques à la façon de Galois et les preuves données au XXe siècle.AUTEURS :Jean Dhombres est mathématicien et historien des sciences. Il a été professeur de mathématiques à l’université de Nantes, puis directeur de recherches au CNRS, et est actuellement directeur d’études à l’ÉHESS.Carlos Alvarez est professeur à l’université nationale du Mexique à México. Mathématicien de formation, il a travaillé sur la théorie des ensembles.