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Luciano Boi, maître de conférencesExemples de morphologie et de morphogenèse mathématiques dans les sciences de la nature et de la vieLa première partie du séminaire a servi d’introduction à la topologie de certaines formes spatiales, en particulier de quelques classes de nœuds, des surfaces orientables et non orientables et d’autres variétés à trois dimensions. L’essentiel du travail a ici consisté à présenter et à donner les idées générales de la démonstration du théorème fondamental sur la classification des variétés compactes et fermées de dimension 2, qui est l’un des résultats mathématiques parmi les plus fondamentaux de tous les temps. D’abord, parce qu’il constitue une remarquable synthèse de géométrie, topologie et algèbre. Ensuite, parce qu’il a permis la découverte d’un univers d’entités et de structures mathématiques tout à fait surprenantes et nouvelles. Enfin, parce que c’est un résultat qui éveille l’imagination, même sans démonstration, et permet de mieux comprendre les idées sous-jacentes. Il nous apprend qu’il existe des relations entre des « faits » apparemment sans rapport : l’existence d’une expression d’intégrales en termes de fonctions élémentaires et la topologie de la surface de Riemann correspondante, ou encore le lien entre le nombre des points doubles et le genre de la surface. Ces découvertes nous apprennent en effet à chercher et à trouver d’autres manifestations de l’unité du monde en plus de celles qui sont immédiatement perceptibles. La géométrisation du raisonnement mathématique et les liens intimes avec la physique conduisent à mettre en évidence ces relations. Le théorème peut s’énoncer ainsi :Théorème : toute surface compacte connexe orientée ∑ est homéomorphe soit à une sphère, soit à la somme connexe de tores, ou bien à la somme connexe de plans projectifs ; ou, ce qui revient au même : toute surface compacte connexe orientée correspond à une sphère à laquelle on a ajouté un certain nombre d’anses (i.e. des sous-variétés compactes homéomorphes à la surface ∑).La façon à la fois la plus naturelle et la plus profonde de démontrer ce résultat consiste à introduire un invariant topologique appelé la caractéristique d’Euler qui, dans le cas d’une surface triangulisable, s’exprime par la formule χ(Μ) = s – a + t, où M est une surface compacte triangulisée, s le nombre total des sommets de M, a le nombre total des arêtes de M, et t le nombre total des triangles (on peut admettre que t = n). χ(Μ) est un invariant topologique qui ne dépend que de M, et non pas du type de triangulation choisie.Pour expliquer le théorème de classification des surfaces compactes, nous avons utilisé la méthode qui permet d’obtenir une représentation de la somme connexe de deux tores à partir de l’espace quotient d’un octogone. En répétant ce même processus, on voit que la somme connexe de trois plans projectifs est l’espace quotient d’un hexagone dont les côtés sont identiques deux à deux. De même, on peut se représenter la sphère comme étant l’espace quotient d’un polygone avec les côtés identifiés deux à deux. Pour prouver le théorème précédent, on a montré qu’une surface S admet une triangulation, c’est-à-dire qu’elle peut être divisée ou décomposée en triangles (des sous-espaces compacts et homéomorphes à S) de façon régulière.Définition : une triangulation d’une surface compacte S consiste en une famille finie de sous-ensembles {T1, T2, ..., Tn} qui recouvre S, et une famille d’homéomorphismes φi : T’i → Ti, i = 1, ..., n, où chaque Ti est un triangle dans le plan R2 (i.e. un sous ensemble compact de R2 borné par trois lignes droites distinctes). Ces sous-ensembles Ti sont appelés « triangles ». Les sous-ensembles de Ti qui sont l’image des sommets et des faces du triangle T’i sous l’homéomorphisme φi sont aussi appelés « sommets » et « faces », respectivement. On exige en outre que ces triangles soient disjoints deux à deux, ou alors qu’ils aient un seul sommet ou une seule face en commun.Théorème : toute surface M compacte connexe est difféomorphe à une autre surface en vertu de la propriété suivante : il s’agit de percer un nombre ν de disques à deux dimensions sur la sphère S2, puis de les recoller en g cylindres (si M est orientable) et en g bandes de Möbius (si M est non orientable). Le nombre g, appelé genre de M, est déterminé uniquement par la topologie de M. La classe des difféomorphismes de M est caractérisée par son genre, par le fait qu’elle soit orientée ou pas, et par le nombre de composantes des bords, c’est-à-dire donc par les propriétés topologiques de M.Théorème : soit M une surface orientable de genre p. Il existe alors ρ cercles disjoints dans M dont le complément est connexe ; mais si on a p + 1 cercles disjoints alors M ne sera plus connexe.Théorème : deux surfaces compactes connexes sont difféomorphes si et seulement si elles ont la même caractéristique d’Euler et le même nombre de composantes de bords ; il faut en outre qu’elles soient orientables, ou non orientables.Dans la seconde partie, nous avons commencé à esquisser les idées et les méthodes de quelques applications possibles du théorème de classification et d’autres concepts topologiques aux domaines notamment de l’embryogenèse et des structures spatiales que peuvent prendre les organismes vivants au cours de leur développement.Nous savons qu’il y a une grande diversité de formes naturelles ; en fait, pour certaines d’entre elles il en existe une variété infinie. Par exemple, il existe 100 000 espèces de coquillages terrestres ou marins, dont 80 000 sont des gastéropodes. Mais nous savons aussi que cette très grande et extraordinaire diversité obéit à quelques propriétés générales communes à toutes les espèces formant telle ou telle grande classe de phénomènes naturels ou de systèmes vivants. En d’autres termes, il est possible d’expliquer toutes ces formes comme autant de variations d’un même processus qui peut être énoncé abstraitement de la façon suivante :Conjecture : toute forme naturelle est une application φ continue d’un espace M de dimension m dans un espace N de dimension n. Si n &#62; m, cette application est une immersion ; dans le cas contraire où n &#60; m, on dit que l’application est une sous-immersion. On a φ : Mm → Nn (m &#60; n). De plus, une telle application admet généralement des points d’intersection.Cette conjecture repose sur la différence fondamentale d’un point de vue topologique, entre les applications qui forment la classe des plongements et la classe des applications qui forment les immersions. Si l’immersion est une application bicontinue (continue et biunivoque), alors l’image de l’espace M ne présente pas de points d’auto-intersection (ou de « points doubles »), et M sera homéomorphe à son image. Si cette condition est satisfaite, l’immersion est appelée un plongement. Deux surfaces ou deux espaces sont dits homéomorphes s’ils sont des variétés flexibles élastiques dans R3 ou dans Rn, et si l’un admet une déformation continue (sans déchirures ni duplicatures) dans l’autre.Il s’agit d’une pure question de topologie, mais qui a des conséquences fondamentales sur la production des formes naturelles et des systèmes vivants ; la bijection φ de l’intervalle I sur φ (I) est certes continue, mais la bijection réciproque φ-1 ne l’est pas : l’image par φ d’un ouvert de R2 ou de Rn ]–π, α[ avec α &#60; 0 n’est pas ouverte dans φ(I). Techniquement cela peut s’exprimer ainsi. Soient V une sous-variété d’un espace vectoriel Ε de dimension finie, et Ф une application de classe C∞ de V dans un autre espace vectoriel de dimension finie F. On a alors :Définition : on dit que Ф est une immersion en α si Τα Ф est injective. On dit que Ф est une immersion si ΤαФ est injective pour tout α ϵ V. On dit que Ф est un plongement si Ф(V) est une sous-variété de F et si Ф induit un difféomorphisme de V sur Ф(V).Proposition : (a) Si Ф est une immersion en a, il existe un ouvert U de Ε contenant α t. q. la restriction de Ф à V ∩ U soit un plongement. (b) Si Ф est injective et si l’application de Ф(V) dans V réciproque de Ф est continue, Ф est un plongement.On appelle variétés immergées les images des immersions, et variétés plongées, les sous-variétés. En d’autres termes, une immersion n’est pas une déformation d’un plongement standard, mais une déformation d’immersion pouvant contenir des points d’auto-intersection ou des « points doubles ». En topologie, on classe des objets en fonction de différentes équivalences : selon les catégories des objets étudiés et la relation d’équivalence choisie, on obtient différentes classifications. Pour des objets lisses, on définit trois relations d’équivalence : l’équivalence topologique (des bijections existent pour les objets eux-mêmes), l’équivalence différentiable (la bijection qui transforme l’objet en l’autre est dérivable), et l’équivalence homotopique (elle requiert la notion de déformation continue). Pour les surfaces, des objets équivalents selon ces trois relations appartiennent à la même classe. En est-il de même pour les objets à trois dimensions ? Cette question est toujours non résolue : il s’agit de l’« hypothèse de Poincaré ».L’étude des déformations de plongements nous a conduit à exposer un théorème dont la compréhension nous apparaît essentielle pour expliquer les relations intimes qui existent entre ces branches des mathématiques que sont la topologie et la géométrie et de nombreux phénomènes naturels qui, en des termes intuitifs dit ceci :Théorème : tout plongement de la sphère peut être relié par une déformation de plongement, soit au plongement standard, soit au plongement antipodal, mais il n’existe pas de déformation de plongement reliant le plongement standard au plongement antipodal.Naturellement, les notions de plongement et de déformation de plongements s’étendent à d’autres surfaces que la sphère, notamment au tore et à certaines surfaces (comme la surface de Boy et la bouteille de Klein) qui ne peuvent être plongées dans l’espace ordinaire, car ce sont des surfaces unilatères sans bord. Mentionnons un exemple de déformation de plongements : le retournement de la sphère. Retourner la sphère consiste à construire une déformation reliant la sphère standard à son plongement antipodal ; c’est là une manipulation qui consiste à amener la face extérieure d’une sphère vers sa partie interne. Il se produit alors une auto-intersection de la courbe bornant la surface, et une interpénétration de la partie convexe (extérieure) avec la partie concave (interne) de la même surface lors de laquelle celle-ci peut se traverser, mais elle ne peut se déchirer, et la courbure ne doit pas devenir infinie. Plusieurs déformations s’ensuivent pour réaliser une transformation qui donne lieu à une forme nouvelle.Nous avons amorcé la modélisation mathématique de trois étapes essentielles du développement de l’embryon et de la morphogenèse, et montré à partir de là comment la topologie éclaire les phénomènes biologiques. Nous avons terminé cette partie du séminaire en soulevant les deux questions suivantes, qui seront abordées plus en détail dans la suite du séminaire de l’an prochain : quelle est la part des processus topologiques (et morphodynamiques) et la part des mécanismes moléculaires biochimiques dans la différenciation cellulaire ? Quelle est leur contribution respective à la construction de l’embryon et, plus généralement, à la morphogenèse dans les organismes adultes ?Nous avons enfin énoncé les propositions, le problème et le théorème suivants dont on donnera ici seuls les énoncés généraux sans démonstration, ni d’autres développements.Proposition 1 : la compréhension de l’évolution morphologique et embryogénétique d’un organisme vivant se ramène à un problème de nature mathématique, et notamment topologique. Il s’agit de déterminer la famille complète des applications bijectives et injectives d’une surface d’un genre donné p dans une autre. C’est-à-dire que, si S et S’ sont deux surfaces canoniques du même genre plongées ou immergées dans une variété M, on peut alors trouver qu’il existe toujours une déformation continue de la variété M sur elle-même, de telle sorte que la surface S résulte isotope à la surface S’.Proposition 2 : les transformations morphologiques, qui sont de nature essentiellement topologique, sont des inducteurs de changements embryogénétiques, ou des générateurs de nouvelles formes au cours de l’ontogenèse.Problème : trouver les conditions nécessaires pour qu’un ensemble donné d’homéomorphismes φn : πnΧ → πnΥ se réalise géométriquement dans un espace substrat approprié.Théorème : dans l’espace à trois dimensions E3 on peut trouver des surfaces fermées de genre 0 ∑ qui possèdent la propriété selon laquelle on peut construire une image topologique d’une sphère S2 et un cercle ordinaire S1 en son intérieur, S1 ⊂ S2, de telle sorte que le cercle ne peut pas être contracté complètement à l’intérieur de la surface sans la traverser.Ce résultat nous a paru très pertinent pour rendre compte de certains processus de l’embryongenèse, et tout particulièrement de la gastrulation. Il contredit le théorème de Jordan qui, généralisé à l’espace tridimensionnel, dit ceci : il existe dans l’espace R3 des surfaces fermées qui chacune divise l’espace en deux régions et forme leur bord commun, tout comme une courbe fermée divise le plan en deux parties et forme leur frontière commune. Le théorème que nous venons d’énoncer reste à démontrer dans le cas précis qui nous occupe ici !Une version sensiblement différente de ce théorème a été prouvée par L. E. J. Brouwer, selon lequel trois régions dans le plan ont une frontière commune formant un ensemble fermé F qui n’est jamais dense.Rappelons qu’un espace X est dit contractile lorsque l’identité id X est homotope à l’application constante. Par exemple, les espaces euclidiens Rn et les boules Bn sont des espaces qui satisfont cette propriété. Un espace est contractile si et seulement s’il est homotopiquement équivalent à un point. Si un espace X est contractile, alors deux applications continues quelconques d’un espace topologique dans X sont homotopes. Cette propriété peut s’exprimer sous la forme de théorème, énoncé par J. H. C. Whitehead.Théorème : un CW-espace connexe X est contractile si et seulement si (a) les groupes d’homotopie πn(Χ), n ≥ 1, sont triviaux, et (b) si tous les groupes d’homologie Hn(X), n ≥ 2, sont aussi triviaux.Le séminaire a bénéficié cette année de trois présentations faites par des étudiants en thèse sous ma direction. Ils ont abordé les sujets suivants : « Le continu mathématique, de Peirce à la topologie moderne » ; « Problèmes d’échelle et niveaux d’organisation dans quelques systèmes naturels » ; « La pertinence épistémologique de la Philosophie de la Nature à la lumière du débat sur la mécanique quantique du début du siècle dernier ».Publications« Préface » au livre d’E. Bois, L’univers sans repos, ou de l’essence première du mouvement, Berne, Peter Lang (« Philosophia naturalis et geometricalis »), 2001, p. vi-xxvii.« The role of intuition and formal thinking in Kant, Husserl and in modem mathematics and physics », Mathesis, 22, 3, 2002, p. 1-32.« Topological ideas in mathematics and in the natural sciences : knots, physics and biology », dans New interactions of mathematics with the natural sciences and the humanities, sous la dir. de L. Boi, Heidelberg, Springer, 2002, p. 103-175.Avec L. Verner, « Enlazar arte, ciencia y naturaleza : nn trabajo visionario con los nudos », dans Jorge Eduardo Eielson. Nudos y Asedios Criticos, sous la dir. de M. L. Canfield et W. Rowe, Francfort-sur-le-Main, Vervuert, 2002, p. 185-198.Avec L. Verner, « Bridging the Gzap between art, science and nature. The visionary work of Jorge Eielson on knots », dans Homenaje a Jorge Eduardo Eielson, sous la dir. de C. Estela et J. I. Padilla, Lima, Fondo Editorial de la Pontificia Universidad Catolica del Peru, 2002, p. 214-279.Avec L. Verner, « Sur quelques aspects phénoménologiques, géométriques et esthétiques de la perception et de la relation entre surface, forme et couleur. Aux sources morphologiques du sens », dans Cognition culturelle et cognition spatiale/Cultural Cognition and Space Cognition, n° sp. de VISIO. Revue de l’Association internationale de Sémiotique visuelle, 6, 2-3, 2001, p. 205-247.